Distribución de Gumbel

Introducción

Introducción

El presente trabajo contiene una breve explicación acerca de El presente trabajo contiene una breve explicación acerca de dis

distribtribuciucioneones y s y solsoluciución de ón de prprobloblemaemas s rereferferenteentes a s a datdatosos má

máxiximomos s y y mímíninimomos, s, aqaquí uí ununa a brbreveve e eexpxplilicacacición ón de de esestete método:

método: En

En teteoríoría a de de prprobobababililididad ad y y esestatadídístistica ca la la didiststriribubucición ón dede Gumbel (llamada así en onor de Emil !ulius Gumbel ("#$"% Gumbel (llamada así en onor de Emil !ulius Gumbel ("#$"% "$&&' es utiliada para modelar la distribución del máximo (o "$&&' es utiliada para modelar la distribución del máximo (o el mínimo', por lo que se

el mínimo', por lo que se usa para calcular valores extremos)usa para calcular valores extremos) *or ejemplo, sería muy +til

*or ejemplo, sería muy +til para representar la distribución delpara representar la distribución del má

máxiximmo o ninivevel l de de un un rírío o a a papartrtiir r dde e llos os ddatatos os dde e niniveveleless máximos durante " a-os) Es por esto que resulta muy +til máximos durante " a-os) Es por esto que resulta muy +til pa

para ra prprededececir ir teterrrrememototosos, , ininunundadacicionones es o o cucualalququieier r ototrroo desastre natural que pueda ocurrir)

desastre natural que pueda ocurrir) .a

.a didiststriribubucición ón de de GuGumbmbel el a a sisido do ututililiiadada a cocon n bubuenenosos resultados para valores extremos independientes de variables resultados para valores extremos independientes de variables meteoroló/icas y parece ajustarse bastante bien a los valores meteoroló/icas y parece ajustarse bastante bien a los valores má

máxiximomos s de de la la prprececipipititacacióión n en en didifeferrenentetes s inintetervrvalalos os dede tiempo y después de mucos a-os de uso parece también tiempo y después de mucos a-os de uso parece también c

conon0r0rmmararsse e ssu u ututililiiddad ad een n lolos s prprobobllememas as ppráráctctiiccos os dede iin/n/enenieieríría a de de ddimimeensnsioionanammieientnto o de de rreededes s dde e drdrenenajaje e yy diversas obras idráulicas)

diversas obras idráulicas)

En nuestro caso, se puede emplear para el estudio de los En nuestro caso, se puede emplear para el estudio de los p

peeríríooddoos s dde e rreetotorrnno o dde e llas as pprreecciippiittaacciioonnees s mmáxáxiimmaass rre/e/isistrtradadas as en en 12 12 ooraras, s, asasí í cocomo mo papara ra el el cácálclcululo o de de loloss periodos de retorno de los caudales de un río)

periodos de retorno de los caudales de un río) Ejemplo

Ejemplo

3e tienen las probabilidades de que aya ", 1, 4, ))) etc, días 3e tienen las probabilidades de que aya ", 1, 4, ))) etc, días nub

nublaladodos s popor r sesemamana na en en un un dedetetermrmininadado o lulu/a/ar, r, cocon n elelloloss calcule la

X P(x) F(x) 0 0.05 0.05 1 0.15 0.20 2 0.25 0.45 3 0.20 0.65 4 0.15 0.80 5 0.10 0.90 6 0.08 0.98 7 0.02 1.00 Total 1.0

.a aplicabilidad potencial de la distribución de Gumbel para representar los máximos se debe a la teoría de valores extremos que indica que es probable que sea +til si la muestra de datos tiene una distribución normal o exponencial)

Es una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia idroló/ico es la distribución /eneral de valores extremos, la cual a sido ampliamente utiliada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos')

Función de densidad

En donde a y b son los parámetros de la distribución) Esti!ación de "ar#!etros

donde son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra)

5onde 6r es el periodo de retorno) *ara la distribución Gumbel se tiene que el caudal para un período de retorno de 1)44 a-os es i/ual a la media de los caudales máximos)

L%!ites de con&an'a 7t 8 t("%a' 3e

9  6 es el factor de frecuencia y t("%a' es la variable normal

estandariada para una probabilidad de no excedencia de "%a) E!E*.; ":

En un río se tienen 4 a-os de re/istros de <máximos instantáneos anuales con x= "> m4?s, 3 = > m4?s (media y desviación estándar para los datos ori/inales') Encontrar el caudal para un periodo de retorno de " a-os y los limites de con0ana para un a = >@) < 6r" = x A 9  6 s 9  6 = 4)"2 < 6r" = "> A 4)"2B> < 6r" = 4)C m4?s Dntervalos de con0ana

t("%a' = t()$>' = ")&2> (.eído de la tabla de la normal' d = 4)$4 7t 8 t("%a' 3e 4)C m4_{?s 8 (")&2' (4)>#'} 12)#4 m4_{?s 4&)># m}4_{?sF Dntervalo de} con0ana para <6r"

A(USTE DE DISTRIBUCIONES

*ara la modelación de caudales máximos se utilian, entre otras, las distribuciones .o/ % ormal, Gumbel y .o/%Gumbel

principalmente) *ara seleccionar la distribución de

probabilidades de la serie istórica se deben tener en cuenta al/unas consideraciones)

• Huando en la serie istórica se observan Ioutliers"FJ es necesario

veri0car la sensibilidad del ajuste debido a la presencia de estos, (Ashkar, et al. 1994)

• *ara el ajuste a las distribuciones .o/%ormal, .o/%Gumbel y .o/%

*earson se requiere transformar la variable al campo lo/arítmico para modelarla, con lo que se disminuye la variana muestral, pero también se 0ltran las variaciones reales de los datos)

• .as distribuciones de dos parámetros 0jan el valor del coe0ciente

de asimetría, lo que en al/unos casos puede no ser recomendable) .a distribución .o/ % ormal de dos parámetros sólo es recomendable sí el coe0ciente de asimetría es cercano a cero) .as distribuciones Gumbel y .o/ % Gumbel son recomendables si el coe0ciente de asimetría de los eventos re/istrados es cercano a ")"4

• *ara ajustar distribuciones de tres parámetros (.o/ ormal DDD, .o/

*earson' se requiere estimar el coe0ciente de asimetría de la distribuciónK para ello es necesario disponer de una serie con lon/itud de re/istros lar/a, mayor de > a-os, (9ite, "$##') .as distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando se dispone de pocos datos, porque reducen la variana de la muestra, (LsMar, et al) "$$2')

• *ara seleccionar la distribución de probabilidades adecuada se

debe tratar de utiliar información adicional del proceso idroló/ico que permita identi0car la forma en que se distribuye la variable) Nsualmente es muy difícil determinar las propiedades físicas de los procesos idroló/icos para identi0car el tipo de distribución de probabilidad que es aplicable)

• 9ite ("$##' y amdou ("$$4' a0rman que no existe consistencia

sobre cual es la distribución que mejor se ajusta a los caudales máximos y recomiendan seleccionar el mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste /rá0co o basado en el comportamiento de las pruebas estadísticas de bondad del ajuste (por ejemplo Hi Huadrado, 3mirnov%9olmo/orov, Hramer%Oon ises' en las que se calcula un estimador y se compara con un valor tabulado para determinar si el ajuste es adecuado o no) En la prueba de ajuste /rá0ca se dibujan los valores re/istrados en la serie contra la distribución teórica de probabilidades y de manera visual (subjetiva' se determina si el ajuste es adecuado o no)

Huando la información es adecuada el análisis de frecuencia es la metodolo/ía más recomendable para la evaluación de eventos extremos, ya que la estimación depende solamente de los caudales máximos anuales que an ocurrido en la cuenca y no da cuenta de los procesos de transformación de la

precipitación en escorrentía) ;bviamente tiene al/unas

limitaciones relacionadas con el comportamiento de la serie istórica y con el tama-o y calidad de los datos de la muestra)

• Huando se presenten cambios o tendencias en la serie istórica se

deben utiliar técnicas estadísticas que permitan removerlos para poder realiar el análisis de frecuencias (9ite, "$##K amdou, "$$4K LsMar, et al) "$$2')

• .a selección inadecuada de la distribución de probabilidades de la

serie istórica arrojará resultados de con0abilidad dudosa, (LsMar, et al) "$$2')

• El tama-o de la muestra inPuye directamente en la con0abilidad

de los resultados, así a mayor período de retorno del estimativo mayor lon/itud de re/istros necesaria para mejor con0abilidad en los resultados)

BIBLIOGRAF)A

 ttp:??spij)minjus)/ob)pe?Gra0cos?*eru?1""?octubre?"?Q5%1% 1""%6H%"2)pdf   ttp:??es)RiMipedia)or/?RiMi?5istribuci@H4@S4nTdeTGumbel  ttp:??transparencia)mtc)/ob)pe?idmTdocs?normasTle/ales?"TT1$> )pdf  

 Uillemse, U) !) and 9aas, Q), VQational reconstruction of frailty%based mortality models by a /eneralisation of GompertW laR of mortalityV, Insurance:

Mathematics and Economics, 2 (4' (1C', 2&#X2#2)

 onco, Q)K Haselles, O)K Hust, G) (1"1': VLlternative model of probability distribution of precipitation: application to 3painV) Hlimate Qesearc, >": 14:44