Matemáticas discretas
Unidad 1. Sistemas numéricos
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Unidad 1.
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Unidad 1. Sistemas numéricos
Tabla de contenidos
UNIDAD 1. SISTEMAS NUMÉRICOS _____________________________________________________ 3
Presentación de la unidad ___________________________________________________________ 3 Propósito de la unidad ______________________________________________________________ 3 Competencia específica _____________________________________________________________ 4
1.1. Sistemas numéricos _____________________________________________________________ 4
1.1.1. Características de los sistemas numéricos 5
1.1.2. Sistema decimal ______________________________________________________________ 5 1.1.3. Sistema binario _______________________________________________________________ 6 1.1.4. Sistema octal ________________________________________________________________ 7 1.1.5. Sistema hexadecimal __________________________________________________________ 8
Actividad 1. Aplicación de las representaciones numéricas _________________________________ 8
1.2. Conversiones __________________________________________________________________ 9
1.2.1. Conversiones decimal-binario ___________________________________________________ 9
Actividad 2. Conversión de decimal a binario ___________________________________________ 11
1.2.2. Conversiones binario-octal-hexadecimal __________________________________________ 12
Actividad 3. Conversiones binario- octal-hexadecimal ____________________________________ 15
1.2.3. Conversiones entre distintas bases ______________________________________________ 15
Actividad 4. Conversiones entre distintas bases ________________________________________ 17
1.3. Operaciones binarias ___________________________________________________________ 17
1.3.1. Suma binaria _______________________________________________________________ 18 1.3.2. Resta binaria _______________________________________________________________ 19
Evidencia de aprendizaje. Sistema numérico de mi fecha de nacimiento ____________________ 21 Cierre de la unidad _________________________________________________________________ 22 Fuentes de consulta _______________________________________________________________ 22
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Unidad 1. Sistemas numéricos
UNIDAD 1. SISTEMAS NUMÉRICOS
Presentación de la unidad
Gran parte de los sistemas tecnológicos manejan sistema binario y los sistemas tecnológicos que aún no manejan este sistema numérico tienden a hacerlo en el corto plazo. De ahí la importancia de comprender e interpretar estos sistemas numéricos.
En la actualidad existe una tendencia muy marcada para el uso de sistemas digitales (estos sistemas utilizan el sistema binario para representar su funcionamiento y comunicación). Una de las principales ventajas es que estos sistemas pueden manejar volúmenes grandes de información, ya sea para almacenar o para procesar. Los sistemas tecnológicos no solo ocupan sistema binario para representar su funcionamiento, sino que utilizan también otros sistemas (octal y hexadecimal) para poder representar grandes volúmenes de
información de forma abreviada.
Propósito de la unidad
El propósito de esta unidad es identificar las características principales y aplicaciones de los sistemas numéricos actuales (decimal, binario, octal y hexadecimal), además de realizar operaciones para conocer la equivalencia entre sistemas
numéricos. Este hecho es de gran importancia para comprender el funcionamiento de sistemas tecnológicos tales como la computadora.
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Unidad 1. Sistemas numéricos
Competencia específica
Resolver operaciones aritméticas para identificar la
equivalencia entre diferentes códigos numéricos mediante la aplicación de métodos establecidos con fundamento en las reglas de conversión.
1.1. Sistemas numéricos
Desde hace cientos de años, los sistemas numéricos forman parte del desarrollo de la humanidad, su principal aplicación es la de representar cantidades es así que se tienen el sistema numérico decimal, sistema numérico romano, etc. Con la aparición de la
tecnología informática fue necesario desarrollar nuevas representaciones de las cantidades, tal es el caso de los sistemas de numeración binario, octal y
hexadecimal.
En esta unidad analizaremos las características de los sistemas numéricos actuales y aplicaremos
operaciones para obtener su equivalencia entre cada uno de ellos.
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1.1.1. Características de los sistemas numéricos
A pesar de que existe un número considerable de sistemas numéricos los más utilizados son decimal, binario, octal y hexadecimal y su principal característica es que estos sistemas numéricos utilizan una base. La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.
A continuación se ejemplifica en la tabla 1.1 esta definición con los sistemas numéricos más comúnmente utilizados.
A lo largo de este curso para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos encerraremos entre paréntesis el número y añadiremos un subíndice indicando su base. Sin embargo, si no se usa subíndice se entenderá que el número está en base diez.
Ejemplo
A continuación se analizará con detalle los sistemas numéricos decimal, binario, octal y hexadecimal.
1.1.2. Sistema decimal
Un sistema numérico se define como el conjunto ordenado de símbolos o dígitos y a las reglas con que se combinan para representar
cantidades numéricas.
El sistema numérico que usamos todos los días en la escuela y en nuestra vida cotidiana se conoce como sistema numérico decimal, en éste un número es representado por una cadena de dígitos y cada posición tiene un peso asociado.
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El valor del número es la suma ponderada de todos los dígitos, por ejemplo:
El peso de cada potencia de 10 corresponde a la posición del dígito (tabla 1.2).
Ejemplo
El sistema numérico decimal es expresado con una base 10, lo que significa que las cantidades son representadas utilizando 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
1.1.3. Sistema binario
La información que manejan los circuitos que contienen los sistemas de cómputo tiene señales que están en una de dos condiciones: alto o bajo, activado o desactivado, etc.
Este sistema numérico utiliza la base 2, es decir, solo utiliza dos dígitos (0 y 1) para representar cantidades; la agrupación de varios bits se conoce como byte.
Ejemplo
Las señales en estos circuitos representan dígitos binarios llamados bits. Un bit es un dígito binario (abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un 1.
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El bit ubicado más a la izquierda de un número binario se llama bit de orden superior o bit más significativo (MSB, siglas en inglés de most significant bit); y el bit más a la derecha es el bit de orden inferior o bit menos significativo (LSB, siglas en inglés de least significant bit). En conclusión, podemos decir:
Cada uno de los bits que forman un byte tiene un peso específico de acuerdo a su posición.
1.1.4. Sistema octal
Los sistemas numéricos que utilizan la base 10 son de suma importancia, ya que se usan en la vida cotidiana, y los de base 2 son los que pueden procesarse directamente mediante circuitos electrónicos digitales. Aunque los números en otras bases no se procesan directamente, a menudo se utilizan para representaciones breves que son convenientes para números con múltiples bits en un sistema digital, tal es el caso del sistema numérico octal.
Este sistema utiliza como base el 8. El sistema octal necesita 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7) para poder representar cantidades.
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1.1.5. Sistema hexadecimal
Al igual que el sistema numérico octal, el sistema numérico hexadecimal es utilizado ampliamente como código para representar números de múltiples bits en códigos abreviados. Este sistema tiene como base el 16, lo que significa que utiliza 16 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) para representar
cantidades.
Ejemplo
Actividad 1. Aplicación de las representaciones numéricas
Propósito
Presentar áreas en donde se puedan utilizar las representaciones numéricas además de la computación.
Instrucciones
Esta es la primera actividad de nuestro curso, es por eso que antes de realizar el trabajo propiamente relacionado con el tema que acabamos de estudiar, haremos un pequeño paréntesis para dedicar un momento a presentarnos con el grupo.
Entonces, lo primero que tienes que hacer, es ingresar al foro que lleva el mismo nombre que esta actividad, una vez ahí, da clic sobre la entrada Presentación y dentro de ésta, agrega tu presentación en un nuevo comentario. Considera lo siguiente:
Indica tu lugar de residencia, tus expectativas de la asignatura, que conocimientos previos tienes de ésta, entre otros puntos que quieras compartir.
Cuando ya hayas realizado tu presentación regresa a la pantalla principal del foro y esta vez accede a la entrada Aplicaciones de las representaciones numéricas. Posteriormente responde las siguientes preguntas:
¿De lo que te rodea dónde puedes utilizar las representaciones numéricas?
¿Dónde has observado estos tipos de numeración?
¿Crees que estos códigos además de representar números puedan representar objetos o colores?
Consulta la Rúbrica de participación general en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.
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1.2. Conversiones
Para diferentes aplicaciones tecnológicas de electrónica y computación es importante utilizar equivalencias entre cada uno de los sistemas numéricos aplicando conversiones; sin embargo, la conversión entre dos bases no puede hacerse por simple sustitución, se requiere de operaciones aritméticas.
1.2.1. Conversiones decimal-binario
Una de las conversiones más utilizadas es de decimal a binario y viceversa. Antes de realizar las
conversiones es importante mencionar que existen diferentes técnicas para conocer su equivalencia; sin embargo, utilizaremos una técnica sencilla llamada equivalencia de acuerdo a su posición. Esta técnica implica la suma ponderada de cada una de sus posiciones.
En la tabla 1.3 es posible observar el valor en decimal de cada posición del sistema numérico binario.
Recordemos que en el sistema numérico binario se utilizan 2 dígitos (0 y 1). El 1 es utilizado para dar el valor numérico, y el 0, para llenar la posición de la cual no necesitamos el valor.
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Ejemplo
De acuerdo con la tabla 1.3, el valor equivalente en decimal según su posición es:
Recordemos que solo se toma en cuenta el valor del dígito 1, ya que el dígito 0 se utiliza para llenar los espacios donde no necesitamos el valor, de tal forma que:
Otro ejemplo sería:
Tomando en cuenta la posición de los dígitos 1 tenemos:
La suma de las posiciones es: (190)10
Por lo tanto:
Hasta el momento hemos realizado operaciones para conocer la equivalencia de sistema numérico binario a sistema numérico decimal. Para realizar conversiones de sistema numérico decimal a binario se utiliza un método semejante.
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Ejemplo
Tenemos el número en decimal (48)10 y necesitamos su
equivalente binario utilizando la tabla 1.3. Comenzamos con la posición 6ª, que equivale al número 32 en decimal, ya que la posición 7ª es 64 en decimal y excede el número (48)10 del
cual necesitamos conocer su equivalencia. A partir de la posición 6ª comenzaremos nuestra suma de posiciones procurando que esa suma se ajuste al número que
necesitamos conocer, recordemos que el dígito 1 en binario es el que le da el valor a la posición y el dígito 0 es solo para llenar espacio. Por lo tanto, tenemos:
Actividad 2. Conversión de decimal a binario
Propósito
Realizar conversiones de sistema decimal a sistema binario.
Instrucciones
Ha llegado la hora de llevar a la práctica lo que acabas de aprender, para hacerlo, deberás realizar lo siguiente:
1. En un archivo de Word, convierte los siguientes ejercicios de numeración decimal a numeración binaria. a. (135)10 b. (77)10 c. (83)10 d. (200)10 e. (15)10
2. Guarda tu documento con el nombre MDI_U1_A2_XXYZ. 3. Envía tu archivo a Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
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1.2.2. Conversiones binario-octal-hexadecimal
Una parte importante de las conversiones es que podemos tener representaciones breves utilizando diferentes sistemas de numeración, tal es el caso de los sistemas de numeración octal y hexadecimal, esto se debe a que utilizan diferentes dígitos. Comencemos con la conversión de binario a octal. Recuerda que el sistema de numeración octal utiliza 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Haciendo uso de la tabla 1.4 observemos la equivalencia de binario a octal.
Ejemplo
Conversión binario a octal
Supongamos que tenemos el número en binario (10111001)2 y necesitamos su equivalente en sistema
numérico octal.
El primer paso es realizar agrupaciones de tres bits partiendo de derecha a izquierda como se muestra a continuación:
Utilizando la tabla 1.4 de forma directa convertimos su equivalente de binario en octal como si fueran grupos independientes.
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Ejemplo
En resumen tenemos:
Ahora realizaremos la conversión de binario a hexadecimal, recordando que el sistema numérico
hexadecimal utiliza 16 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,). Haciendo uso de la tabla 1.5 observemos la equivalencia de binario a hexadecimal:
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Ejemplo
Conversión binario a hexadecimal
Supongamos que tenemos el número en binario (111010111001)2 y necesitamos su equivalente en sistema
numérico hexadecimal.
El primer paso es hacer agrupaciones de cuatro bits partiendo de derecha a izquierda como se muestra a continuación:
Utilizando la tabla 1.5 de forma directa convertimos su equivalente de binario en hexadecimal como si fueran grupos independientes.
Ejemplo
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Actividad 3. Conversiones binario- octal-hexadecimal
Propósito
Realizar conversiones de sistema binario a sistema octal o sistema hexadecimal.
Instrucciones
Para practicar lo aprendido sobre las conversiones de binario a octal y decimal, realiza lo que se te pide a continuación:
1. Convierte los siguientes ejercicios de numeración binaria a octal o hexadecimal. (110101)2 a octal
(11001111)2 a hexadecimal
(111111)2 a octal
(11101110)2 a hexadecimal
2. Guarda tus ejercicios en un documento de Word con el nombre MDI_U1_A3_XXYZ y envíalo a Facilitador(a).
1.2.3. Conversiones entre distintas bases
Ya hemos realizados operaciones para conocer sus equivalencias de decimal a binario y viceversa, de binario a octal y de binario a hexadecimal, pero ¿qué pasaría si quisiéramos realizar una conversión de decimal a hexadecimal o a octal? A continuación realizaremos los procesos.
Ejemplo
Conversión de decimal a octal.
Supongamos que necesitamos conocer la equivalencia de (105)10 en sistema numérico octal.
El primer paso tendría que ser la conversión del sistema numérico decimal en el sistema numérico binario como se muestra a continuación:
Recordemos que este proceso ya lo hemos analizado en la sección 1.1.6; una vez que tenemos el código en binario lo que resta es convertir el sistema binario en sistema octal usando la tabla 1.4 como se muestra:
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Por lo tanto en conclusión podemos decir que:
El proceso para conocer el equivalente de decimal en hexadecimal es muy parecido.
Ejemplo
Supongamos que necesitamos conocer el número (170)10 en sistema numérico hexadecimal.
El primer paso será convertir el número decimal en número binario como se ha hecho en la sección 1.1.6.
Una vez que tenemos el número en binario lo convertimos en hexadecimal como en la sección 1.1.7 usando la tabla 1.5 de tal forma que:
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Actividad 4. Conversiones entre distintas bases
Propósito
Realizar conversiones entre los distintos sistemas numéricos.
Instrucciones
Ahora toca el turno a las conversiones entre distintas bases, realiza lo que se pide enseguida: 1. Convierte los siguientes ejercicios en el código que se te indica.
(4F)16 a binario
(101111)2 a octal
(36)8 a decimal
(69)10 a binario
2. Guarda tu documento en Word con el nombre MDI_U1_A4_XXYZ. 3. Envía los resultados a tu Facilitador(a).
1.3. Operaciones binarias
La suma y la resta de números binarios usan la misma técnica aprendida en la escuela para los números decimales. Es importante mencionar que este tipo de operaciones se realiza con frecuencia en los sistemas digitales tales como computadoras y sistemas de comunicación, entre otros, por lo que cobra una mayor importancia utilizar operaciones binarias.
Fig. 1. Representación de conteo modular de números de 4 bits.
En la numeración decimal para
representar números negativos solo hay que multiplicar por (-1) el número
positivo; sin embargo, en el sistema binario existe una representación especial para las cantidades negativas. En la figura 1., se expresan los números decimales tanto positivos como
negativos y su correspondiente en binario.
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1.3.1. Suma binaria
La suma se realiza bit a bit entre columnas de derecha a izquierda, verificando si existe un acarreo.
El acarreo es un bit extra que se genera a partir de la suma de 1 + 1 este bit de acarreo se asigna a la columna
izquierda próxima. En la tabla 1.6 se muestra bajo qué condiciones se presenta un acarreo.
A continuación se presenta un ejemplo de la suma de dos números binarios:
En la primera columna de la derecha, el número 1+1=0 con acarreo 1. Ese bit de acarreo se pasa a la siguiente columna de la izquierda para sumarlo, por lo tanto queda 1+0=1 y 1+1=0 con acarreo 1. Este bit de acarreo pasa a la siguiente columna de la izquierda, pero en esta ocasión no tiene que sumarse con ningún bit por lo tanto pasa hasta el resultado.
Una forma de comprobar la suma es convirtiendo los sumandos y el resultado a decimal y comprobar si coinciden.
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Otro ejemplo sería:
Realiza la siguiente operación:
Verifica el resultado convirtiendo el número binario en decimal.
1.3.2. Resta binaria
La resta de números binarios puede realizarse como si fuesen números binarios ordinarios sin signo, y pueden formularse reglas apropiadas para detectar el desborde. El desborde es un bit final que determina el signo del resultado. Sin embargo, la mayoría de los circuitos para resta de números binarios no realiza la resta de forma directa; más bien niega el sustraendo y luego lo suma al minuendo con las reglas normales de la suma.
Negar el sustraendo y sumar el minuendo puede realizarse con una sola operación de suma como sigue: convierte a binario el sustraendo, luego súmalo al minuendo con un acarreo inicial de 1 en vez de 0. En seguida se dan algunos ejemplos:
En este ejemplo es importante mencionar que, para negar el sustraendo (0011)2 equivalente al +3,
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Finalmente se realiza la suma bit a bit obteniendo el resultado. Otro ejemplo es:
Ejemplo
En este ejemplo observamos la resta de dos números negativos. Utilizando la figura 1.3 podemos conocer qué combinación binaria corresponde a cada número negativo, por ejemplo -3 = (1101)2 y -8 = (1000)2.
Ahora el siguiente paso es aplicar las reglas: negar el sustraendo, es decir, en (1000)2 cambiamos ceros
por unos y viceversa quedando como resultado (0111)2; a continuación se realiza la suma bit a bit y
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Evidencia de aprendizaje. Sistema numérico de mi fecha de nacimiento
Como sabes, la entrega de tus Evidencias de aprendizaje es muy importante para tu evaluación final del curso. La evidencia consta de dos partes: de las entregas que hagas de los trabajos solicitados y de las autorreflexiones por unidad, de modo que para cada una de las unidades de la asignatura deberás cumplir con ambas cosas.
Para comenzar con la primera parte:
1. Realiza la conversión de la fecha de nacimiento de 5 miembros de tu familia como sigue:
o El día convertirlo a sistema hexadecimal
o El mes convertirlo a sistema octal
o El año convertirlo a sistema binario
2. Averigua cuál es la fecha que se obtiene de convertir los siguientes códigos en sistema decimal. 1. (1111)2 / (0B)16 / (1563)8
2. (1001)2 / (09)16 / (1753)8
3. (1100)2 / (0A)16 / (1436)8
3. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios que debe cumplir tu actividad. 4. Cuando hayas terminado tu evidencia, guarda tu documento con el nombre MDI_U1_EA_XXYZ
y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente. Posteriormente revisa los comentarios y atiéndelos para mejorar tu trabajo y volverlo a enviar
Para la segunda fase de la Evidencia de esta unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de
Autorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) formule, a partir de ellas, debes elaborar tu
Autorreflexión en un archivo de texto llamado MDI_U1_ATR_XXYZ. Tu archivo lo deberás enviar mediante la herramienta Autorreflexiones.
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Cierre de la unidad
¡¡¡Felicidades!!!, has llegado al final de esta unidad, en la cual aprendiste las características de los
sistemas numéricos decimal, binario, octal y hexadecimal, así como los procedimientos para realizar conversiones de un sistema numérico a otro.
Te invitamos a iniciar el estudio de la unidad 2. Grafos y árboles en donde aprenderás a representar datos.
Fuentes de consulta
Matousek, J. y Nesetril, J. (2008). Invitación a la matemática discreta. España: Reverte.
Morris Mano, M. (2007). Fundamentos de diseño lógico y de computadoras. España: Pearson. Hortala González, M. T. (2008). Matemática discreta y lógica matemática. España: Complutense.
