ejercicios resultos

(1)

TRABAJO COLABORATIVO 1 TRABAJO COLABORATIVO 1 ESTADÍSTICA COMPLEJA ESTADÍSTICA COMPLEJA TUTOR TUTOR

ING. ALVARO JAVIER ROJAS BARACALDO ING. ALVARO JAVIER ROJAS BARACALDO

GRUPO 301014_61 GRUPO 301014_61

PRESENTADO POR: PRESENTADO POR: GENISER RAMIREZ RAMIREZ código

GENISER RAMIREZ RAMIREZ código:: 10882832571088283257 ANA MARIA LOZA VALENCIA Código

ANA MARIA LOZA VALENCIA Código 63.483.67263.483.672 MARIBEL

MARIBEL CHAVERRA CHAVERRA CódigoCódigo 10379475551037947555 MARIA LOURDES HERNANDEZ

MARIA LOURDES HERNANDEZ

ELIZABETH VALBUENA código 39.811.215 ELIZABETH VALBUENA código 39.811.215

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES ARTES Y HUMANIDADES ESCUELA DE CIENCIAS SOCIALES ARTES Y HUMANIDADES

PROGRAMA DE PSICOLOGÍA PROGRAMA DE PSICOLOGÍA

OCTUBE

(2)

TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION INTRODUCCION OBJETIVOS OBJETIVOS 1.

1. PROPUESTA PROPUESTA DE DE EJERCIOSEJERCIOS

1.1 ANA MARIA LOZA VALENCIA 1.1 ANA MARIA LOZA VALENCIA 1.2 MARIBEL CHAVERRA

1.2 MARIBEL CHAVERRA

1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ 1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ 1.4 ELIZABETH VALBUENA 1.4 ELIZABETH VALBUENA 1.5 GENISSER RAMIREZ 1.5 GENISSER RAMIREZ CONCLUSIONES CONCLUSIONES BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA

(3)

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

La realidad casi

La realidad casi nunca es totalmente nunca es totalmente predecible. Sin embargo predecible. Sin embargo materias como lamaterias como la estadística y probabilidad; permiten acercarnos de forma más segura y certera a estadística y probabilidad; permiten acercarnos de forma más segura y certera a esa realidad. la estadística proporciona las herramientas necesarias para hacer esa realidad. la estadística proporciona las herramientas necesarias para hacer inferencias sobre un todo (población) en base a los datos recopilados en sólo unos inferencias sobre un todo (población) en base a los datos recopilados en sólo unos cuantos elementos

cuantos elementos observados de observados de la población la población (muestra) y (muestra) y lala probabilidad probabilidad aporta aporta

los elementos de validación de los métodos estadísticos. los elementos de validación de los métodos estadísticos. Cuando a un alumno le preguntamos por

Cuando a un alumno le preguntamos por el término “probabilidad”, no tiene unael término “probabilidad”, no tiene una

visión clara de su definición, sin embargo, asocia este concepto a juegos de azar, visión clara de su definición, sin embargo, asocia este concepto a juegos de azar, lanzamientos de monedas y en algunos casos a la toma de decisiones lanzamientos de monedas y en algunos casos a la toma de decisiones importantes.

importantes.

Este curos de probabilidad nos permite más que adquirir conocimientos, ampliar Este curos de probabilidad nos permite más que adquirir conocimientos, ampliar nuestra forma de

nuestra forma de ver y ver y entender lo que entender lo que nos rodea; pensar de nos rodea; pensar de manera manera distinta,distinta, pero a la vez aceptar las buenas ideas;

pero a la vez aceptar las buenas ideas;

En este trabajo desarrollaremos un taller de ejercicios propuesto por el grupo; que En este trabajo desarrollaremos un taller de ejercicios propuesto por el grupo; que comprendan los contenidos de los capítulos 1, 2 y 3 de la unidad 1 y que

comprendan los contenidos de los capítulos 1, 2 y 3 de la unidad 1 y que

Permiten profundizar en los temas allí tratados. Y en el cual cada estudiante Permiten profundizar en los temas allí tratados. Y en el cual cada estudiante propone 6 ejercicios uno por cada tema previamente establecido y tomados de propone 6 ejercicios uno por cada tema previamente establecido y tomados de alguna fuente documentación relacionada con el curso

(4)

OBJETIVOS OBJETIVOS GENERAL GENERAL

Estudiar y aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad 1 Estudiar y aplicar los conocimientos adquiridos en la unidad 1

11

. Espacio muestral. Espacio muestral 2. eventos sucesos 2. eventos sucesos 3. técnicas de conteo 3. técnicas de conteo 4. Axiomas de probabilidad 4. Axiomas de probabilidad 5. probabilidad condicional 5. probabilidad condicional 6. teorema de bayes 6. teorema de bayes ESPECIFICO ESPECIFICO 

 Desarrollar en Desarrollar en grupo, grupo, la la guía guía correspondiente a correspondiente a la la unidad unidad 1.1. 

 Proponer de manera Proponer de manera individual un individual un ejercicio por ejercicio por tema, el tema, el cual serácual será

desarrollado por cada uno de los participantes. desarrollado por cada uno de los participantes.



(5)

1.1 ANAMARIA LOZA VALENCIA 1.1 ANAMARIA LOZA VALENCIA

1.1.1

1.1.1 Espacio Espacio muestral.muestral.

1.1.2

1.1.2 Eventos Eventos sucesossucesos 1.

1. Se le pidió Se le pidió a 110 comerciantes a 110 comerciantes que dijeran que que dijeran que tipo de programa tipo de programa de televisiónde televisión preferían. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de preferían. La tabla muestra las respuestas clasificadas a la vez según el nivel de estudios de los comerciantes y según el tipo de programa preferido.

estudios de los comerciantes y según el tipo de programa preferido.

NIVEL DE ESTUDIOS NIVEL DE ESTUDIOS TIPO DE TIPO DE PROGRAMA PROGRAMA COLEGIO

COLEGIO A A UNIVERSIDADUNIVERSIDAD B

B

POSTGRADO

POSTGRADO C C TOTALTOTAL DEPORTES D DEPORTES D 15 15 8 8 7 7 3030 NOTICIAS N NOTICIAS N 3 3 27 27 10 10 4040 DRAMA M DRAMA M 5 5 5 5 15 15 2525 COMEDIA W COMEDIA W 10 10 3 3 2 2 1515 TOTAL TOTAL 33 33 43 43 34 34 110110

Especifique el número de elementos en cada un

Especifique el número de elementos en cada uno de los siguientes eventos yo de los siguientes eventos y defínalos con palabras:

defínalos con palabras: Solución: Solución: a) D = 30 a) D = 30 b) A b) A  M = 33 + 25 - 5 = M = 33 + 25 - 5 = 5353 c) W c) W ` = ` = 110 - 15 110 - 15 == 9595 d) C d) C ∩∩ N = 10N = 10 e)D e)D∩∩ B = 8B = 8 f) ( M f) ( M ∩∩ A) A) = = 110 - 5 =110 - 5 = 105105 Ejercicio 1

(6)

Ejercicio 2

Ejercicio 2 CAPITULO 2 tomado CAPITULO 2 tomado de modulo de probabilidad, Adriana de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 21Robayo pág. 21 2. Se desea observar una familia que posee dos automóviles y para cada uno 2. Se desea observar una familia que posee dos automóviles y para cada uno observamos si fue fabricado en Colombia, si es americano o si es Europeo.

observamos si fue fabricado en Colombia, si es americano o si es Europeo. a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento?

a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? Solución

Solución

a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento? a.- Cuales son los posibles resultados de este experimento?

S= (AA,

S= (AA, AE, AC, AE, AC, EA, EE, EA, EE, EC, EC, CA, CECA, CE, CC), CC)

b.- Defina el evento A: Los dos automóviles no son fabricados en Colombia, b.- Defina el evento A: Los dos automóviles no son fabricados en Colombia, Liste el evento B: Un automóvil es colombiano y el otro no.

Liste el evento B: Un automóvil es colombiano y el otro no. A= (AA, AE, EA, EE)

A= (AA, AE, EA, EE) B= (AC, EC, CA, CE) B= (AC, EC, CA, CE) c.- Defina los eventos A

c.- Defina los eventos AᴒᴒB y BUA.B y BUA.

A

AᴒᴒB = (EXCLUYENTES)B = (EXCLUYENTES)

BUA =(AA, AE, AC,EA,EC, EE, CA,CE) BUA =(AA, AE, AC,EA,EC, EE, CA,CE)

1.1.3

(7)

3.¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra 3.¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de la palabra PROBABILIDAD? PROBABILIDAD? Solución: Solución: ...12! ...12! ---(2!)(2!)(2!)(2!) (2!)(2!)(2!)(2!) ...12! ...12! ---...16 ...16 479 001 600 479 001 600 ---...16 ...16 29 937 600 29 937 600

Ejercicio 3 CAPITULO 2 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág32 Ejercicio 3 CAPITULO 2 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág32

1.1.4

1.1.4 Axiomas Axiomas de de probabilidadprobabilidad 4. En una bolsa hay

4. En una bolsa hay seis bolitas blancas y seis bolitas blancas y cinco amarillas. Si se sacan se una cinco amarillas. Si se sacan se una sinsin reposición ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo reposición ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo amarilla y la tercera blanca y así sucesivamente

amarilla y la tercera blanca y así sucesivamente Se dicen

Se dicen que dos que dos o más o más sucesos son sucesos son (DEPENDIENTES), si (DEPENDIENTES), si la probabilidad la probabilidad dede presentación de alguno

presentación de alguno de ellos de ellos queda influenciada queda influenciada por la por la presencia del otro. presencia del otro. EnEn caso contrario se

caso contrario se dicen que dicen que son son (INDEPENDIENTES). (INDEPENDIENTES). En otras En otras palabras si palabras si elel resultado de un suceso no afecta al otro, se dice que son independientes, por lo resultado de un suceso no afecta al otro, se dice que son independientes, por lo tanto se efectuara la multiplicación de las probab

tanto se efectuara la multiplicación de las probabilidades para cada sucesoilidades para cada suceso P = P

P = P11 x x PP22x Px P33………Pn………Pn

Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad del segundo no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad del segundo suceso depende

suceso depende del primer del primer suceso, el tsuceso, el tercero de ercero de lo que lo que haya sucedido haya sucedido en elen el primero y en el segundo y así sucesivamente

primero y en el segundo y así sucesivamente Solución:

(8)

P = P P = P11 x x PP22x Px P33………Pn………Pn P = P P = P11 x ( x ( PP22 | P | P11 )…)… B A B A B B A A B B A A B B AA P = P = 6/11 x 6/11 x 5/10 x 5/10 x 5/9 x 5/9 x 4/8 x 4/8 x 4/7 x 4/7 x 3/6 x 3/6 x 3/5 x 3/5 x 3/5 x3/5 x 2/4 2/4 x x 2/3 2/3 x x 1/2 1/2 x x 1/1 1/1 = = 84.400/ 84.400/ 39.916.80039.916.800 P = P = 1/462 1/462 = = 0, 0, 00216 = 00216 = 0, 216 0, 216 %%

la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo amarilla y la tercera blanca la probabilidad de que la primera sea blanca, la segundo amarilla y la tercera blanca y así

y así sucesivamente ES DE sucesivamente ES DE 0, 216 0, 216 %%

Ejercicio 4 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición Ejercicio 4 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

revisada y aumentada

1.1.5

(9)

5. Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no 5. Fabián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabián no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. a) Cual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. b) Cual es la probabilidad de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que de que Fabián pierda una materia y Pilar ninguna. C) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia.

los dos pierdan una materia. Solución:

Solución:

P(F)=0.85 ---> Prob. no pierda Fabián P(F)=0.85 ---> Prob. no pierda Fabián P(P)=0.90 ---> Prob. no pierda Pilar P(P)=0.90 ---> Prob. no pierda Pilar

a) Cuál es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia a) Cuál es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia P(F)*P(P) = 0.85*0.90 = 0.765

P(F)*P(P) = 0.85*0.90 = 0.765 b)

b) Cuál es la probabilidad de Cuál es la probabilidad de que Fabián pierda una que Fabián pierda una materia y Pilar ningunamateria y Pilar ninguna (1-P(F))*P(P) = (1-0.85)*0.90 = 0.135

(1-P(F))*P(P) = (1-0.85)*0.90 = 0.135

c) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. c) Cual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. (1-P(F))*(1-P(P)) = (1-0.85)*(1-0.90) = 0.015

(1-P(F))*(1-P(P)) = (1-0.85)*(1-0.90) = 0.015

Ejercicio 5 CAPITULO 3 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. Ejercicio 5 CAPITULO 3 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 50

50

1.1.6

(10)

6. A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable 6. A un sospechoso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es confiable en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En en 90% cuando la persona es culpable y en 99% cuando la persona es inocente. En otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el otras palabras el 10% de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogió de suero y el 1% de los inocentes se juzgan culpables. Si el sospechoso se escogió de un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la un grupo del cual solo 5% han cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente?

persona es culpable, cual es la probabilidad de que sea inocente? Solución: Solución: Se sabe Se sabe P(CC/C) = 0,9 P(CC/C) = 0,9 P(CC/I) = 0.01 P(CC/I) = 0.01 P(C) = 0,05 P(C) = 0,05 P(I) = 0,95 P(I) = 0,95 P(CC) = P(CC/I)·P(I) + P(CC/C)·P(C) P(CC) = P(CC/I)·P(I) + P(CC/C)·P(C) P(CC y I) = P(CC/I)·P(I) =P(I/CC)·P(CC) P(CC y I) = P(CC/I)·P(I) =P(I/CC)·P(CC) Despejando Despejando P(I/CC) = P(CC/I)·P(I) / P(CC) P(I/CC) = P(CC/I)·P(I) / P(CC) P(I/CC) = 0,01 · 0,95 / (0,01 ·0,95 + 0,9·0,05) P(I/CC) = 0,01 · 0,95 / (0,01 ·0,95 + 0,9·0,05) = 0.0095 / (0.0095 + 0.045) = 0.0095/0.0545 = 0 = 0.0095 / (0.0095 + 0.045) = 0.0095/0.0545 = 0,1743,1743 Ejercicio 6

Ejercicio 6 CAPITULO 3 CAPITULO 3 tomado de tomado de modulo de probabilidad, modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág.52Adriana Robayo pág.52

1.2

1.2 MARIBEL MARIBEL CHAVERRACHAVERRA 1.2.1

1.2.1 Espacio Espacio muestralmuestral

7. Suponga que el observatorio meteorológico clasifica cada día, según las condiciones 7. Suponga que el observatorio meteorológico clasifica cada día, según las condiciones del viento,

del viento, como ventoso o en como ventoso o en calma; según la cantidad de llcalma; según la cantidad de lluvia caída: en húmedo uvia caída: en húmedo yy seco y según la temperatura en caluroso, normal o frio ¿ qué espacio muestral es seco y según la temperatura en caluroso, normal o frio ¿ qué espacio muestral es necesario para caracterizar un día?¿qué valores se pueden asignar a los puntos necesario para caracterizar un día?¿qué valores se pueden asignar a los puntos muéstrales?

muéstrales? Al resu

Al resultado de ltado de una una prueba sprueba se llama e llama resultado, resultado, punto muespunto muestral o tral o suceso suceso y y el coel conjuntonjunto de todos los resultados posibles constituyen un espacio muestral.

de todos los resultados posibles constituyen un espacio muestral. Solución:

(11)

VHC VHC = = 1/12 1/12 CHC CHC = = 1/121/12 VHN VHN = = 1/12 1/12 CHN CHN = = 1/121/12 VHF VHF = = 1/12 1/12 CHF CHF = = 1/121/12 VSC VSC = = 1/12 1/12 CSC CSC =1/12=1/12 VSN VSN = = 1/12 1/12 CSN CSN =1/12=1/12 VSF VSF = = 1/12 1/12 CSF CSF =1/12=1/12 P= 1/2x1/2x1/3=1/12 P= 1/2x1/2x1/3=1/12 P=1/12 = 0,0833=8.33% P=1/12 = 0,0833=8.33%

Ejercicio 7 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición Ejercicio 7 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

1.2.2

1.2.2 Eventos Eventos sucesossucesos

8. En un experimento aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas 8. En un experimento aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir determinado producto

al azar, si son partidarias o no de consumir determinado producto a)

a) Escribe el espacio muestral asociado a Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la dicho experimento, utilizando la letra "s"letra "s" para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. para las respuestas afirmativas y "n" para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso " al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto"? c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de c) Describe el suceso contrario de "más de una persona es partidaria de consumir el producto

consumir el producto

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los

siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6} Solución:

Solución: a)

a) Espacio Espacio muestral muestral EE

E = ( sss,ssn,sns,snn,nss, nsn, nns,nnn) E = ( sss,ssn,sns,snn,nss, nsn, nns,nnn)

b)

b) Sea el suceso A al Sea el suceso A al menos dos de las personas son menos dos de las personas son partidarias de consumir elpartidarias de consumir el producto

producto

A = (sss, ssn, sns,nss) A = (sss, ssn, sns,nss)

(12)

c)

c) El suceso contrario del El suceso contrario del suceso B más suceso B más de una persona es de una persona es partidaria de consumirpartidaria de consumir el producto. Es B´ como máximo una persona es partidaria de consumir el

el producto. Es B´ como máximo una persona es partidaria de consumir el producto

producto

B = ( snn, nsn,nns, nnn) B = ( snn, nsn,nns, nnn)

1.2.3

1.2.3 Técnicas Técnicas de de conteoconteo

9. Las placas de los automóviles Tiene 3 letras seguidas de 3 digitos. ¿Cuántas 9. Las placas de los automóviles Tiene 3 letras seguidas de 3 digitos. ¿Cuántas placas se pueden tener si:

placas se pueden tener si: a)

a) se se repiten repiten letrasletras b)

b) no no se se permite permite repetir repetir letrasletras

Cuando un procesos involucra una sucesión de K etapas, donde n

Cuando un procesos involucra una sucesión de K etapas, donde n11 sea el numero de sea el numero de maneras que puede ocurrir la etapa y n

maneras que puede ocurrir la etapa y n22el numero de maneras que puede ocurrir lael numero de maneras que puede ocurrir la etapa dos después de la primera. Entonces el numero de maneras diferentes en que etapa dos después de la primera. Entonces el numero de maneras diferentes en que el proceso puede ocurrir es multiplicando las n formas.

el proceso puede ocurrir es multiplicando las n formas. Solución:

Solución: N

N11xnxn22……nk……nk

Tamaño del espacio muestral Tamaño del espacio muestral

a)

a) Se Se permite permite repetir repetir letrasletras



 El El alfabeto alfabeto se compone se compone de 26 de 26 letrasletras 

 Los Los dígitos dígitos son son 10 10 (0-9)(0-9)

26x26x26x10x10x10= 17.576.000 26x26x26x10x10x10= 17.576.000

b)

b) Sin Sin repetir repetir letrasletras

26x25x24x10x10x10= 15.600.000 26x25x24x10x10x10= 15.600.000 a)

a) Se Se pueden pueden tener tener 17.576.000 17.576.000 placas placas repitiendo repitiendo letrasletras b)Se pueden tener

b)Se pueden tener 15.600.000 placas 15.600.000 placas sin repetir sin repetir letrasletras 1.2.4

1.2.4 Axiomas Axiomas de de probabilidadprobabilidad

10 La probabilidad de obtener AS o REY, sacando una sola carta en una baraja 10 La probabilidad de obtener AS o REY, sacando una sola carta en una baraja española de 40 cartas

española de 40 cartas

Cuando dos o más eventos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un Cuando dos o más eventos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad solo ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad

(13)

adictiva y será igual ala suma de las probabilidades de cada suceso. adictiva y será igual ala suma de las probabilidades de cada suceso. Solución: Solución: P = P P = P11++ PP22+ P+ P3 ……3 ……PnPn P P11= 4/40 = 1/10 (REY)= 4/40 = 1/10 (REY) P = P P = P11+ P+ P22= 1/10+1/10 = 2/10 = 1/5= 1/10+1/10 = 2/10 = 1/5 La probabilidad es de 1/5 La probabilidad es de 1/5 1.2.5

1.2.5 Probabilidad Probabilidad condicionalcondicional

11. Si en un salón de clases hay 10 jóvenes con camisa negra, 5 con camisa roja y 7 11. Si en un salón de clases hay 10 jóvenes con camisa negra, 5 con camisa roja y 7 con camisa azul. Calcular la probabilidad que al seleccionar un joven al azar este con camisa azul. Calcular la probabilidad que al seleccionar un joven al azar este traiga puesta una camisa roja.

traiga puesta una camisa roja. Solución:

Solución:

5/22 = 0.23 X 100 = 23% 5/22 = 0.23 X 100 = 23%

La probabilidad que un joven traiga camisa roja es de un 23% La probabilidad que un joven traiga camisa roja es de un 23%

Ejercicios Tomados de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición Ejercicios Tomados de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

1.2.6

1.2.6 Teorema Teorema de de BayesBayes

12. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 12. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

elegido al azar sea ingeniero? El

El teorema de Bayesteorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad,, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio

aleatorio A A dado dado BB en términos de la distribución de probabilidad condicional del en términos de la distribución de probabilidad condicional del

evento

evento BB dado dado A A y la distribución de probabilidad marginal de sólo y la distribución de probabilidad marginal de sólo A A.. Sea {A

Sea {A11,A,A33,...,A,...,Ai i ,...,A,...,Ann } } un un conjunto conjunto de de sucesos sucesos mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes yy

exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A ). ).i i

(14)

Solución: Solución:

Entonces, la probabilidad P(A

Entonces, la probabilidad P(Ai i | B) viene dada por la expresión: | B) viene dada por la expresión:

donde: donde:



 P P (( A A_i_i) son las probabilidades a priori.) son las probabilidades a priori. 

 P P ((BB | | A A_i_i) es la probabilidad de) es la probabilidad de BB en la hipótesis en la hipótesis A A_i_i..

P

P (( A Ai i | | BB) son las probabilidades a posteriori) son las probabilidades a posteriori

P (ingeniero/directivo)

P (ingeniero/directivo) = 0,2. 0,7= 0,2. 0,75/ 0,2.0,75+0,2.0,5+0,6. 5/ 0,2.0,75+0,2.0,5+0,6. 0,2 = 0.40,2 = 0.40505

la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero es de 0.405

ingeniero es de 0.405 Rafael Díaz.

Rafael Díaz. Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la EstadísticaIntroducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

en Ingeniería. Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de Venezuela.. Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de Venezuela.

2000 2000

1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ 1.3 MARIA LOURDES HERNANDEZ

1.3.1

1.3.1 Espacio Espacio muestralmuestral

13. Una computadora en el hogar está conectada con un servidor a través de un 13. Una computadora en el hogar está conectada con un servidor a través de un módem telefónico. La primera marca repetidamente hasta establecer el contacto. Por módem telefónico. La primera marca repetidamente hasta establecer el contacto. Por supuesto, el proceso de marcado termina una vez logrado el contacto telefónico. Sea supuesto, el proceso de marcado termina una vez logrado el contacto telefónico. Sea que c denota el hecho de que se establece contacto en un intento específico, y n, que que c denota el hecho de que se establece contacto en un intento específico, y n, que no se establece.

no se establece.

a) Elabore un diagrama de árbol para representar el proceso de marcado. a) Elabore un diagrama de árbol para representar el proceso de marcado.

b) Enumere los puntos muestrales que genera el árbol. ¿Acaso puede completarse b) Enumere los puntos muestrales que genera el árbol. ¿Acaso puede completarse

(15)

esta lista? esta lista? Solución: Solución: S = { c, nc, nnc, nnnc,…} S = { c, nc, nnc, nnnc,…}

Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

1.3.2

14. Dos artículos se seleccionan al azar y simultáneamente de una línea de montaje y 14. Dos artículos se seleccionan al azar y simultáneamente de una línea de montaje y se clasifican como de calidad superior (+), promedio (0), o inferior (-).

se clasifican como de calidad superior (+), promedio (0), o inferior (-). a) Enumere los elementos del espacio muestral de este experimento. a) Enumere los elementos del espacio muestral de este experimento. b) Liste los puntos muestrales que constituyen los eventos siguientes: b) Liste los puntos muestrales que constituyen los eventos siguientes: A: el primer artículo seleccionado es de calidad inferior.

A: el primer artículo seleccionado es de calidad inferior. B: la calidad de ambos artículos es la misma.

B: la calidad de ambos artículos es la misma.

C: la calidad del primer artículo es mayor que la del segundo. C: la calidad del primer artículo es mayor que la del segundo. c) Dé una descripción verbal breve de los eventos siguientes: c) Dé una descripción verbal breve de los eventos siguientes: A' n B A' n B A' n B'A' n B' A n B' A n B' A n C' n BA n C' n B Solución: Solución: S = { ++, +0, +-, 0+, 00, 0-, -+, -0, -- } S = { ++, +0, +-, 0+, 00, 0-, -+, -0, -- } A = { -+, -0, -- } A = { -+, -0, -- } B = { ++, 00, --} B = { ++, 00, --}

(16)

C = { +0, +-, 0- } C = { +0, +-, 0- }

A' n

A' n B = { B = { ++, 00 } ++, 00 } “son iguales pero no d“son iguales pero no de calidad inferior”e calidad inferior”

A' n B' = { +0, +-, 0+,

0- A' n B' = { +0, +-, 0+, 0- } } “son diferentes y “son diferentes y el primero no el primero no es de es de calidad inferior”calidad inferior”

A n B' = { +,

- A n B' = { -+, -0 } 0 } “son diferentes y “son diferentes y el primero es el primero es de calidad inferior”de calidad inferior”

A n C' n B = {

-- A n C' n B = { -- } } “son iguales “son iguales y y de calidad de calidad inferior”inferior”

1.3.3

1.3.3 Técnicas Técnicas de de conteoconteo

15. Una compañía tiene 10 programadores, 8 analistas de sistemas, 4 ingenieros 15. Una compañía tiene 10 programadores, 8 analistas de sistemas, 4 ingenieros

en sistemas y 3 estadísticos. Se elegirá un “equipo” para un nuevo proyecto de en sistemas y 3 estadísticos. Se elegirá un “equipo” para un nuevo proyecto de

largo plazo. El equipo consistirá en 3 programadores, 2 analistas de sistemas, 2 largo plazo. El equipo consistirá en 3 programadores, 2 analistas de sistemas, 2 ingenieros en sistemas y 1 estadístico.

ingenieros en sistemas y 1 estadístico.

¿En cuántas formas puede seleccionarse el equipo? ¿En cuántas formas puede seleccionarse el equipo? Solución:

Solución:

Se trata de una serie de combinaciones consecutivas: Se trata de una serie de combinaciones consecutivas: Formas de seleccionar el equipo =

Formas de seleccionar el equipo = 1010CC33 XX 88CC22 XX 44CC22 XX 33CC11 = 60480 = 60480

4) AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA

4) AXIOMAS DE PROBABILIDAD: REGLA DE LA ADICIÓN, REGLA DE LAADICIÓN, REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

MULTIPLICACIÓN

16. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de 16. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de

software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos

software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos

problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?

sobrecarga? Solución: Solución:

(17)

SC: sobrecarga, PS: problema de software SC: sobrecarga, PS: problema de software Datos:

Datos: P(SC) P(SC) = = 0.75, 0.75, P(PS) P(PS) = = 0.15, 0.15, P(SCP(SC UU PS) = 0.85 PS) = 0.85

La probabilidad de que se deba a ambos problemas es: La probabilidad de que se deba a ambos problemas es: P(SC

P(SC n n PS) PS) = = P(SC) P(SC) + + P(PS) - P(PS) - P(SCP(SC UU PS) PS) = = 0.75 0.75 + + 0.15 0.15 - - 0.85 0.85 = = 0.050.05

La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS n La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS n C'), la cual se despeja de la siguiente ecuación:

C'), la cual se despeja de la siguiente ecuación: P(PS n

P(PS n SC) SC) + + P(PS n P(PS n SC') SC') = = P(PS) P(PS) <=> <=> P(PS n P(PS n SC') SC') = = P(PS) - P(PS) - P(PS P(PS n n SC) SC) == 0.15

0.15 - - 0.05 0.05 = = 0.100.10

1.3.4

17. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de 17. Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que se deba a un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos de software es de 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin problemas? ¿Cuál es la probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga?

sobrecarga? Solución: Solución:

SC: sobrecarga, PS: problema de software SC: sobrecarga, PS: problema de software Datos:

Datos: P(SC) P(SC) = = 0.75, 0.75, P(PS) = P(PS) = 0.15, 0.15, P(SCP(SC UU PS) = 0.85 PS) = 0.85

La probabilidad de que se deba a ambos problemas es: La probabilidad de que se deba a ambos problemas es:

(18)

P(SC n

P(SC n PS) PS) = = P(SC) P(SC) + + P(PS) - P(PS) - P(SCP(SC UU PS) PS) = = 0.75 0.75 + + 0.15 0.15 - - 0.85 0.85 = = 0.050.05

La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS La probabilidad de que haya un problema de software sin sobrecarga es P(PS n C'), la cual se despeja d

n C'), la cual se despeja de la siguiente ecuación:e la siguiente ecuación: P(PS n

P(PS n SC) SC) + + P(PS n P(PS n SC') SC') = = P(PS) P(PS) <=> <=> P(PS n P(PS n SC') SC') = = P(PS) - P(PS) - P(PS P(PS n n SC) SC) == 0.15

0.15 - - 0.05 0.05 = = 0.100.10

1.3.5

18. El uso del aspecto de las plantas en la prospección de depósitos minerales se 18. El uso del aspecto de las plantas en la prospección de depósitos minerales se denomina prospección geobotánica. Un indicador de cobre es una pequeña planta denomina prospección geobotánica. Un indicador de cobre es una pequeña planta de menta con flores de color malva. Suponga que en una región dada se tiene de menta con flores de color malva. Suponga que en una región dada se tiene probabilidad de 30% de alto contenido de cobre en el suelo y de 23% de

probabilidad de 30% de alto contenido de cobre en el suelo y de 23% de presencia de esa planta. Si el contenido de cobre es alto, existe 70% de presencia de esa planta. Si el contenido de cobre es alto, existe 70% de probabilidad de que esté presente la planta.

probabilidad de que esté presente la planta.

a) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto y la planta esté a) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto y la planta esté presente.

presente.

b) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto, dada la b) Calcule la probabilidad de que el contenido de cobre sea alto, dada la presencia de la planta.

presencia de la planta. Solución:

Solución:

ACCu: alta concentración de cobre, PPM: presencia de la planta de menta ACCu: alta concentración de cobre, PPM: presencia de la planta de menta

Datos:

Datos: P(ACCu) P(ACCu) = = 0.30, 0.30, P(PPM) P(PPM) = = 0.23, 0.23, P(PPM P(PPM | | ACCu) ACCu) = = 0.700.70

a) P(ACCu n PPM) = P(ACCu) P(PPM | ACCu) = (0.30)(0.70) = 0.21 a) P(ACCu n PPM) = P(ACCu) P(PPM | ACCu) = (0.30)(0.70) = 0.21

b)

b) P(ACCu P(ACCu | | PPM) PPM) = = P(ACCu P(ACCu n n PPM) PPM) / / P(PPM) P(PPM) = = 0.21 0.21 / / 0.23 0.23 = = 0.9130.913 Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Ejercicios tomados de MILTON, J. Susan, ARNOLD, Jesse C. Probabilidad y Estadística 4ªEd. Mexico: Mc Graw Hill Interamericana, 2004.

(19)

1.3.6

19. Un centro de cómputo tiene 3 impresoras A, B y C, que imprimen a velocidad 19. Un centro de cómputo tiene 3 impresoras A, B y C, que imprimen a velocidad distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las

distinta. Los programas se envían a la primera impresora disponible. Las

probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B y C son de probabilidades de que un programa se envíe a las impresoras A, B y C son de 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. En ocasiones, los impresos se atoran en la 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente. En ocasiones, los impresos se atoran en la impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresora y se destruyen. Las probabilidades de que se atore el papel en las impresoras A, B y C son de 0.01, 0.05 y 0.04 en el mismo orden. Un programa impresoras A, B y C son de 0.01, 0.05 y 0.04 en el mismo orden. Un programa escrito por usted se destruye al atorarse el papel en la impresora. ¿Cuál es la escrito por usted se destruye al atorarse el papel en la impresora. ¿Cuál es la probabilidad de que ello haya ocurrido en la impresora A, en la B o en la C? probabilidad de que ello haya ocurrido en la impresora A, en la B o en la C? Solución:

Solución:

Dado que el trabajo se debe imprimir en alguna de las tres impresoras, es Dado que el trabajo se debe imprimir en alguna de las tres impresoras, es aplicable la ley de Bayes. Z: el papel se atora. Datos:

aplicable la ley de Bayes. Z: el papel se atora. Datos: P(Z | A) = 0.01, P(Z | A) = 0.01, P(Z | B) =P(Z | B) = 0.05,

0.05, P(Z | P(Z | C) = C) = 0.040.04

P(A | Z)

P(A | Z) = P(Z | = P(Z | A)P(A) / { A)P(A) / { P(Z | A)P(A) + P(Z | A)P(A) + P(Z | P(Z | B)P(B) + P(Z B)P(B) + P(Z | C)P(C) } | C)P(C) } = = 0.240.24

P(B | Z)

P(B | Z) = P(Z | = P(Z | B)P(B) / { B)P(B) / { P(Z | A)P(A) + P(Z | A)P(A) + P(Z | P(Z | B)P(B) + P(Z B)P(B) + P(Z | C)P(C) } | C)P(C) } = = 0.60.6

P(C | Z)

P(C | Z) = P(Z | = P(Z | C)P(C) / { C)P(C) / { P(Z | A)P(A) P(Z | A)P(A) + P(Z | + P(Z | B)P(B) + P(Z B)P(B) + P(Z | C)P(C) } | C)P(C) } = = 0.160.16

1.4 ELIZABETH VALBUENA 1.4 ELIZABETH VALBUENA

1.4.1

1.4.1 Espacio Espacio muestralmuestral 20.

20. jugar con jugar con el dado, el dado, si el si el dado cae dado cae par, juego par, juego con la con la moneda una moneda una vez, si vez, si caecae impar juego con la moneda dos veces. Escribe los posibles resultados.

impar juego con la moneda dos veces. Escribe los posibles resultados. Solución:

(20)

S=

S= (1CC, (1CC, 1CS, 1CS, 1SC, 1SC, 1SS, 1SS, 2C, 2C, 2S, 2S, 3CC, 3CC, 3CS, 3CS, 3SC, 3SC, 3SS, 3SS, 4C, 4C, 4S 4S 5CC, 5CC, 5CS,5CS, 5SC,

5SC, 5SS, 5SS, 6C, 6C, 6S)6S)

a) Escribe el resultado donde se lanzó la moneda

a) Escribe el resultado donde se lanzó la moneda dos vecesdos veces y el resultado fue el y el resultado fue el mismo

mismo

A= (1CC, 1SS, 3CC, 3SS, 5CC, 5SS) A= (1CC, 1SS, 3CC, 3SS, 5CC, 5SS) b)

b) Sub conjunto donde Sub conjunto donde el dado es el dado es un número menor a un número menor a 33 B= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC, 2C, 2S)

B= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC, 2C, 2S) c)

c) Operaciones con Operaciones con eventos: Hallar eventos: Hallar A U A U B, AB, AᴒᴒBB

AUB= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC,2C, 2S, 3CC

AUB= (1CC, 1CS, 1SS, 1SC,2C, 2S, 3CC, 3SS, 5CC, 5SS), 3SS, 5CC, 5SS) A

AᴒᴒB= (1CC, 1SS)B= (1CC, 1SS)

Ejercicio 20 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 22 Ejercicio 20 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 22

1.4.2

20 .- Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos de la medicación 20 .- Se estudian el ejercicio y la dieta como posibles sustitutos de la medicación para bajar la presión sanguínea. Se utilizarán tres grupos de individuos para para bajar la presión sanguínea. Se utilizarán tres grupos de individuos para estudiar el efecto del ejercicio. El grupo uno es

estudiar el efecto del ejercicio. El grupo uno es sedentariosedentario, mientras que el, mientras que el grupo dos

(21)

de los tres grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo

de los tres grupos de ejercicio tendrá una dieta sin sal. Un grupo adicionaladicional de de individuos no hará ejercicio no restringirá su consumo de sal, pero tomará la individuos no hará ejercicio no restringirá su consumo de sal, pero tomará la medicación estándar. Use

medicación estándar. Use ZZ para sedentario, para sedentario, WW para caminante para caminante, , SS para para nadador,

nadador, Y Y para sal, para sal, NN para sin sal, para sin sal, MM para medicación y para medicación y FF para sin para sin medicación.

medicación. Solución: Solución:

a)

a) muestre todos muestre todos los elementos los elementos del espacio del espacio muestral Smuestral S s

s = = (ZYM, (ZYM, ZYF, ZYF, ZNM, ZNM, ZNF ZNF WYM, WYM, WYF, WYF, WNM, WNM, WNF WNF SYM, SYM, SYF, SYF, SNM, SNM, SNF,SNF, AYM)

AYM) b)

b) Dado que A es el Dado que A es el conjunto de individuos sin conjunto de individuos sin medicamento y B el medicamento y B el conjuntoconjunto de caminantes, liste l

de caminantes, liste los elementos de A os elementos de A U B, y U B, y de A n Bde A n B A= (ZYF, ZNF, WYF,

A= (ZYF, ZNF, WYF, WNF, SYF, SNF)WNF, SYF, SNF) B= (WYM, WYF, WNM, WNF)

B= (WYM, WYF, WNM, WNF) A U B= (ZYF, ZNF,

A U B= (ZYF, ZNF, WYF, WNF, WYM, WNM,SYF, WYF, WNF, WYM, WNM,SYF, SNF )SNF ) A n B = (WYF, WNF)

A n B = (WYF, WNF)

Ejercicios 21 tomado de ejercicios propuestos inicialmente en el foro colaborativo. Ejercicios 21 tomado de ejercicios propuestos inicialmente en el foro colaborativo.

1.4.3

(22)

22.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) 22.- Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina?

parqueadero más próximo a su oficina?11 Solución:

Solución: 3

3 rutas- rutas- Medellín Medellín 3rutas- 3rutas- centro centro 4 4 rutas rutas para para parqueaderoparqueadero Principio de la multiplicación: 3x3x4= 36

Principio de la multiplicación: 3x3x4= 36

36 rutas distintas podría tomar para llegar de la casa a la oficina 36 rutas distintas podría tomar para llegar de la casa a la oficina

23. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? 23. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con el conjunto S={a,b,c,d}? Describa cada una de las permutaciones posibles

Describa cada una de las permutaciones posibles22 Solución:

Solución:

S= ( ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da,db, dc) S= ( ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da,db, dc) 12 permutaciones

12 permutaciones

Ejercicio 3 y 4 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33 Ejercicio 3 y 4 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33

1.4.4

24. Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres 24. Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes alternativas, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?

puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?33 Solución

Solución

11 _{Ejercicio 22 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33}_{Ejercicio 22 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33} 22 _{Ejercicio 23 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33}_{Ejercicio 23 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 33} 33 _{Ejercicio 24 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 34}_{Ejercicio 24 tomado de modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág. 34}

(23)

SI SON 15 PREGUNTAS CADA UNA CON TRES OPCIONES DE SI SON 15 PREGUNTAS CADA UNA CON TRES OPCIONES DE RESPUESTA, ENTONCES EL NÚMERO DE MANERAS DE

RESPUESTA, ENTONCES EL NÚMERO DE MANERAS DE RESPONDERRESPONDER ES

ES 3 X 3 X ... X 3 (15 VECES 3) Y ESTO ES IGUAL A 33 X 3 X ... X 3 (15 VECES 3) Y ESTO ES IGUAL A 31515 = 14'348.907 = 14'348.907 Ejercicio 5

Ejercicio 5 tomado de tomado de modulo de probabilidad, modulo de probabilidad, Adriana Robayo pág.34Adriana Robayo pág.34

1.4.5

25. El 18% de las familias de un barrio tienen vehículo propio el 20% tiene 25. El 18% de las familias de un barrio tienen vehículo propio el 20% tiene vivienda de su propiedad y el 12% tiene vivienda y vehículo. ¿ cual es la vivienda de su propiedad y el 12% tiene vivienda y vehículo. ¿ cual es la probabilidad

probabilidad de tener de tener vivienda si vivienda si se tiene se tiene vehículo?vehículo?

Como en algunos eventos se tiene alguna información que reduce el espacio Como en algunos eventos se tiene alguna información que reduce el espacio muestral original a uno de sus subconjuntos: las probabilidades asociadas a muestral original a uno de sus subconjuntos: las probabilidades asociadas a esos subconjuntos determinan la probabilidad condicional.

esos subconjuntos determinan la probabilidad condicional.

B B´ TOTAL B B´ TOTAL A A 0,120,12 0,060,06 0,180,18 A´ A´ 0,8 0,8 0,74 0,74 0,820,82 TOTAL

TOTAL 0,200,20 O,80O,80 1,OO1,OO

Solución: Solución:

Su formula está dada así. P (B/A) = P (B n A)/ P (A) Su formula está dada así. P (B/A) = P (B n A)/ P (A) A = propietario de vehículo

A = propietario de vehículo A ´= no propietario de vehículo A ´= no propietario de vehículo

B

B = = propietario propietario de vde viviendaivienda B´ = no propietario de vivienda B´ = no propietario de vivienda P (B/A) = 0,12/0,18 = 0,66 P (B/A) = 0,12/0,18 = 0,66

la probabilidad

la probabilidad de tener vde tener vivienda si se ivienda si se tiene vehículo tiene vehículo ES DE 0,66ES DE 0,66

Ejercicio 25 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta Ejercicio 25 Tomado de Ciro Martínez Bencardino. 1987. Estadística. Cuarta edición revisada y aumentada

(24)

1.4.6

1.4.6 Teorema Teorema de de BayesBayes 26.

26. En una fabrica hay dos maquinas de helados que producen 50% y 50% delEn una fabrica hay dos maquinas de helados que producen 50% y 50% del total. La A elabora 5% de helado de baja calidad. La B elabora un 6% de helado total. La A elabora 5% de helado de baja calidad. La B elabora un 6% de helado de baja cali

de baja calidad. Encuentre ldad. Encuentre la a probabilidad de que probabilidad de que un helado dun helado de baja calide baja calidadad provenga de la maquina A

provenga de la maquina A.. Solución:

Solución:

H = helado de baja calidad H = helado de baja calidad M = Helado normal M = Helado normal P(H) = P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(H) = P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(H) = 0,5 x 0,05 + 0,5 x 0,06 P(H) = 0,5 x 0,05 + 0,5 x 0,06 P(H) = 0.025 + 0.03 P(H) = 0.025 + 0.03 P(H) = 0.055 P(H) = 0.055 TEOREMA DE BAYES TEOREMA DE BAYES P(A/H)

P(A/H) = = . . P(A) x P(A) x P(H/A) P(H/A) .. P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(A) x P(H/A) + P(B) x P(H/B) P(A/H) P(A/H) = = 0.5 0.5 x x 0.050.05 0.055 0.055 P(A/H) = 0.455 P(A/H) = 0.455

La probabilidad que se encuentre un helado de baja calidad en la maquina A es La probabilidad que se encuentre un helado de baja calidad en la maquina A es del 45.5%

del 45.5%

1.5 Geniser Ramírez 1.5 Geniser Ramírez

1.5.1

1.5.1 Espacio Espacio muestralmuestral 27.

27. una mujer euna mujer es portadora ds portadora de hemofilia clásica. Esto e hemofilia clásica. Esto significa que, aunque significa que, aunque lala mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella mujer no tenga hemofilia, puede transmitir la enfermedad a sus hijos. Ella tiene tres hijos. Describa el espacio muestral de este experimento.

(25)

S = [(TTT), (TTN), (TNT), (TNN), (NTT), (

S = [(TTT), (TTN), (TNT), (TNN), (NTT), (NTN), (NNT), (NNN)}NTN), (NNT), (NNN)}

1.5.2

1.5.2 Eventos Eventos sucesossucesos 28.

28. Suponga que una Suponga que una contraseña está formada por contraseña está formada por 6 caracteres, siendo 6 caracteres, siendo las doslas dos primeras letras del alfabeto y los 4 últimos, dígitos. ¿Cuál es el número de

primeras letras del alfabeto y los 4 últimos, dígitos. ¿Cuál es el número de opciones para escoger la contraseña?

opciones para escoger la contraseña?

El número de opciones que se tienen para escoger la contraseña está dado por El número de opciones que se tienen para escoger la contraseña está dado por 26 formas de escoger cada uno de los 2 primeros caracteres y 10 formas de 26 formas de escoger cada uno de los 2 primeros caracteres y 10 formas de escoger cada uno de los últimos 4 caracteres.

escoger cada uno de los últimos 4 caracteres. Solución: Solución: n n == 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 n n == 26 × 26 × 10 × 10× 10 × 26 × 26 × 10 × 10× 10 × 10 = 6’760.00010 = 6’760.000 Tomado de

Tomado de LIPSCHUTZ, Seymor. Probabilidad. Mc. Graw Hill. Segunda edición.LIPSCHUTZ, Seymor. Probabilidad. Mc. Graw Hill. Segunda edición.

1.5.3

(26)

29.

29. En un pueblo lEn un pueblo lejano el 50% ejano el 50% ha estado muy enfha estado muy enfermo alguna vez, el ermo alguna vez, el 50%50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casi muerto alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, estado casi muerto alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn. condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn. Solución

Solución

Digamos que contamos con 100 personas para el ejercicio Digamos que contamos con 100 personas para el ejercicio Sea

Sea CC el conjunto de los que han muy enfermos alguna vez. el conjunto de los que han muy enfermos alguna vez.

““BB“tienen“tienen - de 70 años.- de 70 años.

“E

“E “no padecen enfermedad contagiosa.“no padecen enfermedad contagiosa.

(C )

(C ) = = 50% 50% de de la la población; población; (E) (E) = = 80%;80%; (B) =50%: (B) =50%: (E (E Ç Ç B) B) = = 48%; 48%; (E (E Ç Ç C) C) = = 32%; 32%; (C (C Ç Ç B) B) = = 10%;10%; A A CC C C E E (C Ç E Ç B) = 10% (C Ç E Ç B) = 10% 1.5.4

30. De una bolsa de 40 bombones extraemos dos bombones a la vez., ¿cuál es 30. De una bolsa de 40 bombones extraemos dos bombones a la vez., ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea rojo?

la probabilidad de que al menos uno de ellos sea rojo? Solución.

Solución. Sea el suceso “al extraer dos bombones al menos uno es rojo”.Sea el suceso “al extraer dos bombones al menos uno es rojo”. LoLo

ponemos al contrario, A

ponemos al contrario, Acc , es decir calculamos la probabilidad de que ninguno , es decir calculamos la probabilidad de que ninguno

38 38

22 10 22 1610 22 16

10 10

(27)

sea rojo. sea rojo.

Sucesos

Sucesos posibles: posibles: , , que que son son todos todos los los grupos grupos de de 2 2 bombones bombones que que sese pueden sacar.

pueden sacar.

Sucesos

Sucesos favorables: favorables: pues pues hay hay 30 30 bombones bombones que que no no son son rojos.rojos.

Por la

Por la regla de regla de Laplace tenemos: Laplace tenemos: p(Ap(Acc ) ) = = = = 0,56 0,56 Þ Þ p(A) p(A) = = 1 1 --0,56 = 0,44 0,56 = 0,44 2) p(f) = 0 . 2) p(f) = 0 . 3) Si A I b 3) Si A I b Þ p(A) £ p(B)Þ p(A) £ p(B)

44)) Si A y B son sucesos compatibles p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B)Si A y B son sucesos compatibles p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B)

1.5.5

31.

31. En una equipo de fútbol el 45% de los jugadores suspende juega el primerEn una equipo de fútbol el 45% de los jugadores suspende juega el primer tiempo, el 60% juega el segundo tiempo y el 30% juega en los dos tiempos. Se tiempo, el 60% juega el segundo tiempo y el 30% juega en los dos tiempos. Se selecciona al azar un futbolista:

selecciona al azar un futbolista:

a) Si juego el primer tiempo ¿Cuál es la probabilidad de que jugara el primer a) Si juego el primer tiempo ¿Cuál es la probabilidad de que jugara el primer tiempo?

tiempo?

b) Si jugo el segundo tiempo b) Si jugo el segundo tiempo Solución

Solución Sea

Sea A = “jugo A = “jugo el primer el primer tiempo” ytiempo” y B = “jugo el segundo tiempo”B = “jugo el segundo tiempo”

p (A) = 0,45; p(B) = 0,60 ;

p (A) = 0,45; p(B) = 0,60 ; p(A Ç B) = 0,30p(A Ç B) = 0,30

a)p (A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3 a)p (A/B) = 0,30/0,60 =1/2; p(B/A) = 0,30/0,45 = 2/3

(28)

1.5.6

31. Una fábrica de galletas tienen tres (3) cadenas de producción. Cada una de ellas fabrica 31. Una fábrica de galletas tienen tres (3) cadenas de producción. Cada una de ellas fabrica el 30%, 45% y el 25% de la producción de un día. Se conoce que el porcentaje de galletas el 30%, 45% y el 25% de la producción de un día. Se conoce que el porcentaje de galletas no aptas para su venta en cada una de las cadenas de producción es del 5%, 4% y 3%, no aptas para su venta en cada una de las cadenas de producción es del 5%, 4% y 3%, respectivamente. De la producción total de un día se selecciona una galleta al azar.

respectivamente. De la producción total de un día se selecciona una galleta al azar. Se pide:

Se pide: a.

a. Liste los respectivos sucesosListe los respectivos sucesos b.

b. Sabiendo que la galleta seleccionada es apta para la venta, determine la probabilidad deSabiendo que la galleta seleccionada es apta para la venta, determine la probabilidad de que haya sido fabricada por

que haya sido fabricada por la primera cadena de producción.la primera cadena de producción.

Solución Solución:: a.

a. Representaré porRepresentaré por A, A, B,B, yy CC los sucesos una galleta es producida por la cadena 1,2 y 3los sucesos una galleta es producida por la cadena 1,2 y 3 respectivamente. Así mismo

respectivamente. Así mismo , D , D va a representar el suceso que es una galleta no apta parava a representar el suceso que es una galleta no apta para la venta. Conozco las siguientes

la venta. Conozco las siguientes probabilidades:probabilidades: P(A) =0,30 P(A) =0,30 P(D/A)=0,05 P(D/A)=0,05 P(B) =0,45 P(B) =0,45 P(D/B)=0,04 P(D/B)=0,04 P(C) =0,25 P(C) =0,25 P(D/C)=0,03 P(D/C)=0,03 Nota:

Nota: Los sucesos A, B y C forman para mí una partición del espacio muestral y dadoLos sucesos A, B y C forman para mí una partición del espacio muestral y dado que conocemos las

que conocemos las Probabilidades Condicionadas Del SucesoProbabilidades Condicionadas Del Suceso D sobre los sucesos de laD sobre los sucesos de la partición, estamos en condiciones de usar y resolver la parte

(29)

CONCLUSIONES CONCLUSIONES



 Al Al terminar terminar esta esta actividad actividad podemos podemos concluir concluir que que la la estadística estadística es es un un mediomedio

que es aplicable a cualquier campo, cuyo objeto es operar con un grupo de que es aplicable a cualquier campo, cuyo objeto es operar con un grupo de datos e interpretarlos. Se ocupa de los métodos y procedimientos para datos e interpretarlos. Se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa específica siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa específica de los mismos; así como de realizar probabilidades a partir de ellos, con la de los mismos; así como de realizar probabilidades a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones con respecto a los datos tomados

predicciones con respecto a los datos tomados.. 

 Este trabajo Este trabajo permitió permitió fomentar en fomentar en el el estudiante la estudiante la capacidad de capacidad de reconocer yreconocer y

establecer modelos apropiados para describir fenómenos aleatorios que establecer modelos apropiados para describir fenómenos aleatorios que surgen en

surgen en cada área cada área de especialidad, de especialidad, y apunta y apunta a que a que reconozcareconozcamos sumos su importancia en la cotidianeidad

importancia en la cotidianeidad



 las probabilidades las probabilidades son son una herramienta una herramienta fundamental en fundamental en el desarrollo el desarrollo de unde un

individuo que van más allá de realizar experimentos aleatorios y juegos de individuo que van más allá de realizar experimentos aleatorios y juegos de azar, son una forma de entender el mundo, ampliar nuestra forma de azar, son una forma de entender el mundo, ampliar nuestra forma de pensar y acercarnos al resultado de un presunto evento para afrontarlo, de pensar y acercarnos al resultado de un presunto evento para afrontarlo, de tal manera, que sea productivo para nosotros. más que saber que la tal manera, que sea productivo para nosotros. más que saber que la probabilidad que salga cara al lanzar una moneda es , es comprender e probabilidad que salga cara al lanzar una moneda es , es comprender e interpretar que me dice tal cifra, que puedo hacer con ese conocimiento o interpretar que me dice tal cifra, que puedo hacer con ese conocimiento o como lo puedo adaptar en mi vida.

como lo puedo adaptar en mi vida.



 Los problemas Los problemas de probabilde probabilidad proporcionan idad proporcionan una una fuente intfuente interesante paraeresante para

que pensemos un poco más allá de nuestro sentido común, y unido a la que pensemos un poco más allá de nuestro sentido común, y unido a la estadística nos permite hacer la llamada inferencia estadística

estadística nos permite hacer la llamada inferencia estadística



 La estadística La estadística la vivla vivimos en imos en todo sentido todo sentido de nuestras de nuestras vidas, (profesional,vidas, (profesional,

personal, etc.) personal, etc.)



 Entre más nos Entre más nos adentramos a los adentramos a los conocimientos aquí conocimientos aquí aplicados masaplicados mas

podemos ver en como la realidad que vivimos todos los días puede ser podemos ver en como la realidad que vivimos todos los días puede ser cambiada, o por lo menos vista de otra forma.

cambiada, o por lo menos vista de otra forma.



 La La probabilidad es probabilidad es un un numero asociado numero asociado a a una vuna variable aleatariable aleatoria,oria, mediantemediante

una regla de correspondencia una regla de correspondencia

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BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA

DÍAZ Rafael.

DÍAZ Rafael. Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y laIntroducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

Estadística en Ingeniería. Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de. Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de

Venezuela. 2000 Venezuela. 2000

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ROBAYO, Adriana. Modulo de probabilidad. Universidad Nacional Abierta y a ROBAYO, Adriana. Modulo de probabilidad. Universidad Nacional Abierta y a distancia. Bogotá. 2007