A
A nánálislis is dis d e la variane la varian za (za (AA NOVANOVA ))
Permite analizar el efecto de variables independientes cualitativas Permite analizar el efecto de variables independientes cualitativas (factores) sobre una variable dependiente cuantitativa (variable (factores) sobre una variable dependiente cuantitativa (variable respuesta)
respuesta) ANÁLISIS DE
ANÁLISIS DE LA VARIANZA LA VARIANZA SIMPLE SIMPLE (ANOVA con (ANOVA con un factor fun factor fijo)ijo)
La técnica estadística de análisis de la varianza simple es la extensión La técnica estadística de análisis de la varianza simple es la extensión de la prueba T de diferencias de medias con dos muestras de la prueba T de diferencias de medias con dos muestras independientes.
independientes. El El ANOVA permiANOVA permite comparar la te comparar la medias de medias de 2 o 2 o másmás poblaciones.
poblaciones.
Por ejemplo, un investigador educacional desea comparar la Por ejemplo, un investigador educacional desea comparar la efectividad de tres métodos diferentes para enseñar Matemática. Para efectividad de tres métodos diferentes para enseñar Matemática. Para evaluar si los métodos de enseñanza producen resultados diferentes, evaluar si los métodos de enseñanza producen resultados diferentes, es decir, promedios diferentes, el investigador debe plantear las es decir, promedios diferentes, el investigador debe plantear las siguientes hipótesis:
siguientes hipótesis: H
H00: μ: μ11 = = μμ22 = = μμ33 (Las medias de los tres métodos (poblaciones) son iguales(Las medias de los tres métodos (poblaciones) son iguales
H
H11: Por lo menos una media es distinta.: Por lo menos una media es distinta.
En general, en un problema como éste, se tienen muestras aleatorias En general, en un problema como éste, se tienen muestras aleatorias independientes tomadas
independientes tomadas de de k k po bla cio ne s pob lac ion es no rmn orm alea les s co n v ac on variarianz anza
común σ
común σ 22 (todas las poblaciones tienen la misma varianza (todas las poblaciones tienen la misma varianza ≡≡
homocedasticidad): homocedasticidad):
Variable
Variable de de interés interés = = YY Tratamiento 1 Tratamiento 1 1 1 1 111 1122 11nn y y y y ... . yy Tratamiento 2 Tratamiento 2 2 2 2 211 2222 22nn y y y y ... . yy … … …… Tratamiento k Tratamiento k k k k k11 kk22 kknn y y y y ... . yy n = n n = n11 + n+ n22 … n… nkk
El modelo de cada observación está
El modelo de cada observación está dadodado yyijij está compuesto por: está compuesto por:
En la práctica a las diversas poblaciones En la práctica a las diversas poblaciones se les sueles llamar tratamientos, esto se se les sueles llamar tratamientos, esto se debe que las técnicas de análisis de la debe que las técnicas de análisis de la varianza se crearon, originalmente, en varianza se crearon, originalmente, en conexión con experimentos agrícolas. conexión con experimentos agrícolas.
ij i ij
Y = μ + ε ; μi representa la media de la población i, i = 1,2, …, k
ij
ε es el error aleatorio, j = 1,2 …, nk
ij
ε se distribuyen Normal con media cero y varianza constante
También cada observación se puede expresar de la forma i
ij i ij
μ
Y = μ + ε
donde μ representa a la media global y i representa el efecto del
tratamiento i.
Del ejemplo: Cada resultado o puntaje y1j está compuesto por un puntaje medio global (μ) + el efecto de enseñanza con el método 1( 1)
+ ε1j (en el error pueden estar las horas de estudio, alimentación, etc.)
La hipótesis nula “H0: μ1 = μ2 = …= μk” es ≡ a “H0: 1 = 2 ... = k = 0“
Decir que las medias de las poblaciones son iguales es equivalente a
“el efecto del tratamiento es nulo” ← estadísticamente
La prueba en si está basada en un análisis de la variabilidad o dispersión total de los datos (numerador de la varianza de la variable de interés o dependiente Y)
Se resuelve ¿a qué se debe la fuente de variabilidad de los datos?, al tratamiento? o al error?
A la variabilidad se le llama Suma de Cuadrados (SC) Variabilidad Total: SC(total)
Variabilidad d ebida a los tratamientos ): SC(Tratamiento) o SC(entre las
Hipótesis básicas del modelo
El procedimiento estadístico (análisis de la varianza) que permite probar la hipótesis nula
μ1 = μ2 = …= μk, se resumen en la tabla siguiente:
ANOVA Fuente Variación Suma de cuadrados gl Media cuadrática (Varianzas) F (estadístico de prueba) Inter-grupos (tratamientos) 2 i. i j (y -y) K -1 (n° grupos -1) M.C.(Inte-grupos) M.C.(Inter-grupos) M.C.(Error) Intra-grupos (Error) 2 ij i j i. (y -y ) n – k (n –n° grupos) M.C. (Error) Total 2 ij i j (y -y) n - 1
Se rechaza la hipótesis de que todas la medias poblacionales son iguales o que el tratamiento tiene efecto nulo sobre la variable dependiente si el valor de F (calculado con los datos de la muestra) es mayor que el valor tabla F(1- α ; k-1, n – k – 1) , donde α en el nivel de significación, esto quiere decir, que rechazamos para valores grande de F lo que implica que rechazamos cuando la varianza explicada por el tratamiento es mucho mayor que la varianza de error.
El cálculo de la MC(Tratamiento), MC(Error) y MC(total) se explicará en el ejemplo siguiente:
Ejemplo: (Met-enseñanza.sav) Quince estudiantes de cuarto año básico se asignaron al a tres grupos (5 alumnos por grupo), con el objeto de experimentar con tres métodos de enseñanza da la matemática. Al final del semestre se aplicó el mismo test a los 15 estudiantes. En la tabla se presentan los resultados:
SC(Total) = SC(Tratamiento) + SC(Error )
Y = Puntaje del test
Método 1 77 81 71 76 80
Método 2 72 58 74 66 70
Método 3 76 85 82 80 77
Tenemos: SC(Total) = SC(Tratamiento) + SC(Error) ij j y 2ij j y ni i. y Método 1 77 81 71 76 80 385 29707 5 77 Método 2 72 58 74 66 70 340 23280 5 68 Método 3 76 85 82 80 77 400 32054 5 80 i 1125 85041 n = 15 SC(Total) = 2 ij i j (y -y) = ; 2 ij i j 2 ij i j y y -n ; n = n1 + n2 + n3 = 2 (1125) 85041 -15 = 666 SC(Tratamiento) = 2 i. i j (y -y) = 2 2 ij ij j=1 i j i i y y -n n 2 2 2 2 385 340 400 1125 5 5 5 15 = 390 La SC(Error) = 2 ij i j i.
(y -y ) se puede calcular por diferencia:
SC(Total) = SC(Tratamiento) + SC(Error) SC(Error) = SC(Total) - SC(Tratamiento) SC(Error) = 666 – 390 = 276
Variable dependiente: Puntaje de test, Variable independiente (factor): Método de enseñanza
Supuestos: normalidad en los datos
las varianzas de los tres métodos son iguales H0: μ1 = μ2 = μ3
H1: Por lo menos una media es distinta
Nivel de significación:α = 0,05
Estadístico: F = M.C.(Explicada)
M.C.(Error) F(k -1 = 2, n – k= 12) ; k = 3 ; n = 15;
RC = { F > F0,95(2,12) = 3,885} α = 0,05 Tabla ANOVA
Fuente de Variación SC gl MC Fobs
Método (Inter-grupos) 390 2 390 2 = 195 195 23 = 8,478 Error (Intra-grupos) 276 12 27 6 12 = 23 Total 666 14
Como Fobs = 8,478 es mayor que 3,885, debe rechazarse la hipótesis nula y se concluye que los tres métodos de enseñanza no son igualmente efectivos, en otras palabras, el método de enseñanza de la matemática influye significativamente en los puntajes promedio de los estudiantes. P-valor = P(F(2,12) > 8,478) = 0,005.
Ob s. Para verificar si las poblaciones tienen la misma varianza se
puede hacer a través del test de Levene.
F(2,12)
8,478
α =0,05
Si se rechaza la hipótesis H0: μ1 = μ2 = …= μk, se puede realizar pruebas a posterior (comparaciones múltiple post hoc. Tukey,
Bo nfe rro ni, Duncan, ….) para determinar que medias difieren.
Ejercicio ANOVA Puntaje 39 0,00 0 2 19 5,00 0 8,4 78 ,00 5 27 6,00 0 12 23 ,000 66 6,00 0 14 Inter-grupos Intra-grupos Total Suma de cu adra dos gl Media cu adrá tica F Si g.
Comparac iones múltiples Variab le dependie nte: Puntaje
HSD de Tukey 9,000* 3,033 ,029 ,91 17,09 -3,000 3,033 ,597 -11,09 5,09 -9,000* 3,033 ,029 -17,09 -,91 -12,000* 3,033 ,005 -20,09 -3,91 3,000 3,033 ,597 -5,09 11,09 12,000* 3,033 ,005 3,91 20,09 (J) Metodo 2 3 1 3 1 2 (I) Metodo 1 2 3 Diferencia de
m edias (I-J) Error típico Si g. Lím ite inferior
Límite superior Intervalo de confianza al
95%
La diferencia de medias es significativa al nivel .05. *.
Promedio del grupo 1
Como p-valor = 0,407 > 0,05 se asume que las varianzas son iguales.
Se debe probar la hipótesis de normalidad.
H0: los residuos ~ Normal H1: los residuos ~ Normal
Interpretación: como n = 15 (pequeño), el test de Shapiro-Wilk indica que se puede asumir normalidad (p-valor = 0,567 < 0,05)
Prueba de homogeneidad de varianzas PUNTAJE
,971 2 12 ,407
Estadís tico
de Levene gl1 gl2 Sig.
El estadístico de Levene es la F de un ANOVA simple con las desviaciones medias |y - y |
Ejercicio
Se mide la contaminación de un río analizando la cantidad de oxígeno que contiene en disolución el agua. Se toman muestras en cuatro lugares diferentes del río (a 10, 25, 50 y 100 km. del nacimiento), obteniéndose:
A 100 km. (1) 4,8 5,2 5,0 4,7 5,1 A 50 km. (2) 6,0 6,2 6,1 5,8
A 25 km. (3) 5,9 6,1 6,3 6,1 6,0 A 10 km. (4) 6,3 6,6 6,4 6,4 6,5
Queremos averiguar si existen diferencias signicativas en el nivel medio de contaminación a distintas alturas del cauce. α = 0,05.
Variable de interés: Y =
Variable independiente (factor) =
Hipótesis básica del modelo:
εij ~ Normal con media 0 y varianza σ2 (varianza constante ≡ homocedasticidad)
Si estas hipótesis no se cumplen las conclusiones del ANOVA pueden ser incorrectas.
Bajo el modelo ANOVA unifactorial se quiere probar
Lugar 4 3 2 1 C _ o x í g e n o 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0
Estadístico de prueba: M.C.(Explicada) F(3 , 15) M.C.(Error) ANOVA C_oxigeno Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Lugar 6,082 Error Total Decisión: Conclusión: Coeficiente de determinación: R2 = . Método de Bonferroni
Si se rechaza H0 hay que determinar qué parejas de medias son distintas entre sí. Se puede utilizar IC(μi – μ j); i j con nivel de confianza 1 – α.
i j (gl del error;1-α/2 i j 1 1 (y y ) t · MC(Error) n n
El método de Bonferroni utiliza α = 0,05 k 2 , k = número de tratamientos
En ejemplo, con 95% de confianza α = 0,0083
Comprobación de las hipótesis básicas del modelo:
Comparaciones múltiples
Variable dependiente: C_oxigeno Bonferroni -1,0650* ,1095 ,000 -1,397 -,733 -1,1200* ,1032 ,000 -1,433 -,807 -1,4800* ,1032 ,000 -1,793 -1,167 1,0650* ,1095 ,000 ,733 1,397 -,0550 ,1095 1,000 -,387 ,277 -,4150* ,1095 ,011 -,747 -,083 1,1200* ,1032 ,000 ,807 1,433 ,0550 ,1095 1,000 -,277 ,387 -,3600* ,1032 ,020 -,673 -,047 1,4800* ,1032 ,000 1,167 1,793 ,4150* ,1095 ,011 ,083 ,747 ,3600* ,1032 ,020 ,047 ,673 (J) Lugar A 50 km A 25 km A 10 km A 100 km A 25 km A 10 km A 100 km A 50 km A 10 km A 100 km A 50 km A 25 km (I) Lugar A 100 km A 50 km A 25 km A 10 km Diferencia de
medias (I-J) Error típico Sig. Lím ite inferior
Límite superior Intervalo de confianza al
95%
La diferencia de media s es sig nificativa al nivel .05. *.
Prueba de homogeneidad de varianzas
C_oxigeno ,873 3 15 ,477 Estadístico de Levene gl1 gl2 Sig. Pruebas de normalidad ,969 19 ,759
Residuo para C_oxigeno
Es tadístico gl Sig.
