AnAlisis MatemAtico II - HEctor Di Caro

HECTOR A. DI CARO

LILIANA B. GALLEGO

ANALISIS II

MATEMATICO II

CON APLICACIONES A LA ECONOMIA

^ E D ic io n e s m n c e H i

I.S.B.N.: 950-537-479-8 Tod os los derechos reservados Hecho el depósito que marca la ley 11.723 M A C C H I G R U P O E D IT O R S.A. 1999 © by E D IC IO N E S M A C C H I Córdoba 2015 - (1120) T e l. y Fax (5 4 -11) 4961-8355 Alsin a 1535/37 - (1088) Tel. (54-11)4375-1195 (líneas rotativas) Fax (54-11)4375-1870 Buenos A ires - Argentina http://www.macchi.com E -M a il:in fo @ macchi.com

E l derecho de propiedad de esta obra comprende para su autor la facultad exclusiva de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproducirla en cualquier form a, total o parcial, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocop ia, cop ia x cro g rá fica , grabación m agn etofón ica y cualquier sistema de almacenamiento de información. Por consiguiente ninguna persona física o jurídica está facultada para ejercitar los derechos precitados sin permiso escrito del autor y del editor. L o s in fra cto res serán re p rim id o s con las penas de los arts. 172 y concordantes del C ó d igo P e n al (arts. 2o, 9", 10, 71, 72 de la ley 11.723).

PROLOGO

C o m o ocurriera c o n otras publicaciones, las prim eras ideas que llevarían luego a la con creción de este lib ro surgieron en el a ñ o 1 9 7 5 , ante un p ed id o que m e fuera form ulado p o r mis alum nos y que m e llevaron en ton ces a la publicación de los p rim eros apuntes.

Tam b ién , c o m o lo h e exp resad o en otras oportu nidades, n o sería honesto com en zar este trabajo, sin exp resar m i reco n o c im ie n to a qu ienes m e ofrecieron su con fian za y a p o y o o contribu yeron d e una u o tra m an era — tal v e z sin saberlo— a que este trabajo se concretara.

C re o que al d ed icarm e, p o r vo ca ció n , exclusivam ente a la docen cia, he sido útil al gran ausente, qu e es el alum no, p e ro de lo que n o te n g o la m en or duda, es del a p o y o que m e brindó, sobre to d o en m o m e n to s difíciles d e m i vida, p o r ello quiero d evolverle en p a rte, co n tnis pu blicaciones, to d o m i agradecim ien to

L a obra es a p ro p ia d a para los cursos que se dictan en las Facultades de C iencias E con óm icas y destinada esp ecialm en te a los alum nos qu e en los prim eros a ñ os de estudio se encuentran desorien tados p o r la falta de un texto que responda a los program as exigidos.

N o d ig o nada n u e v o en este libro, sino qu e h e tratado de v o lc a rla experiencia didáctica adquirida a través de largos añ os d e enseñar la asignatura en las principales universidades del país.

F.l con ten ido se re fie re al estudio de las funciones d e m ás d e una variable, recordan do p reviam en te c o n cep to s básicos d e g e o m e tría analítica, en dos y tres dim ensiones fe o particular, estudio d e curvas y superficies, co n sus gráficos respectivos) indispensables para la rep resen tación d e las funciones d e dos variables y que el alum no, en gen era l, n o recuerda o d esco n o ce.

VIH PROLOGO

A n te s de c o m e n za r cada capitulo co n (os tem as esp ecífico s, les recuerdo el misrno tem a para fu nciones d e una variable, y antes de finalizarlos, el alum no en contrará p rim ero un cuestion ario de rep aso — que si lo con testa correctam ente significará qu e está elab oran d o el co n ten id o del texto— y en segu n do lugar, ejercicios de a p licación , co n respuestas, sugerencias y soluciones d e los mism os, al final de la obra.

A d e m á s d e los ejercicios respectivos específicos, el libro con tien e co n todo detalle y para cada te m a las aplicacion es econ óm ica s respectivas, d e b ie n d o destacar que esta parte, tan im portan te, ha estado a c a rg o de la p ro fe s o ra I.u (a n a Ga l l e g o. quien ha a p o rta d o un trabajo valiosísim o. El m ism o servirá, adem ás d e la capacita­ ción de los alum nos en sus respectivas especialidades, al p e rfeccio n a m ien to de los docen tes en d ich os tem as.

Si esta obra contribu ye en a lgo a la com p ren sión d e los tem as tratados, los autores sentirán qu e sus esfu erzos han estado justificados.

Indice

1 . F U N C I O N E S D E V A R I A S V A R I A B L E S 7

1.1 In tro d u c c ió n ... 7

1.2 C o n cep to s básicos de g e o m e tría a n a lític a ...

8

1 .2.1 E spacio euclídiano u-dim ensional ... 9

1 .2 .2 S istem a co o rd en a d o l in e a l... 10

1 .2 .3 S istem a co o rd en a d o bidim ensionaí o p l a n o ... 10

1 .2 .4 S istem a co o rd e n a d o tridim ensional o en el e s p a c io 11 1 .2.5 Estudio d e gráficas en el p i a n o ... 17

1 .2.6 Estudio d e curvas en el p la n o o esp a cio d e dos d im e n s io n e s ... 18

1 .2.7 Estudio de gráficas en el esp a cio ... 28

1 .2.8 Estudio d e superficies en el e s p a c i o ... 3 2 1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. R e c in to s ... 4 9 1.3.1 C lasificación de p u n to s ... 5 3 1.4 F u n cion es...'... 5 4 1.5 Subconjunto de variabilidad... 6 2 1.6 R epresen tacion es gráficas d e c a m p o s esca la res ... 6 9 1.7 Curvas de n i v e l ... 8 3 1.8 Aplicacion es e c o n ó m ica s del c o n c e p to de curvas d e n i v e l 9 0 1.9 C uestionario d e r e p a s o ... 1 0 6 1 .1 0 Ejercicios de a p lic a c ió n ... 108

2 . L I M I T E S Y C O N T I N U I D A D 1 1 3 2.1 Lím ites para funciones de una v a r ia b le ... 113

2 INDICE

2 .2 Lím ites para fu nciones d e d os variables in d e p e n d ie n te s ... 120

2 .3 L ím ite d o b le o s im u ltá n e o ... 121

2 .4 Lím ites su cesivos o r e ite ra d o s ... 125

2 .5 Lím ites r a d ia le s ... 128

2

6

P ro p ied a d es de los lím ite s ... 135

2 .7 D efin ición d e C o n tin u id a d ... 136

2 .8 P ro p ie d a d e s d e las funciones c o n tin u a s ... 137

2 .9 C u estion ario d e r e p a s o ... 141

2 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 142

3 . D E R I V A D A S 1 4 7 3 .1 D erivada p a ra fu n cion es d e una v a r ia b le ... 147

3 .2 D erivadas p a rc ia le s... 149

3 .3 In terp retación g e o m é t r ic a ... 150

3 .4 Función derivada, cálculo d e derivadas parciales d e p rim er orden ap lican d o la d e fin ic ió n ... 151

3 .5 C álculo d ire c to d e derivadas p a r c ia le s ... 154

3 .6 D erivadas parciales d e o rd en s u p e r io r ... 163

3 .7 A p lic a c io n e s eco n ó m ica s: fu n cion es m argin ales y elasticid ad es.... 169

3 .7 .1 Estudio d e la función p r o d u c c ió n ... 175

3 .7 .2 E je r c ic io s ... 179 3 .7 .3 Estudio d e la función d e m a n d a ... 181 3 .7 .4 E la sticid a d ... 186 3 .7 .5 Ejercicios ... 104 3 .8 T e o r e m a d e l va lor m e d i o ... 195 3 .8 .1 A p lic a c io n e s e c o n ó m ic a s ... 198 3 .9 C u estion ario d e r e p a s o ... 201

3 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 202

4 . D I F E R E N C I A L 2 0 9 4 .1 In tr o d u c c ió n ... 209

4 .2 Funciones diferenciabíes. D iferen cia t o t a l ... 215

4 .3 S ign ifica d o g e o m é tr ic o d e la d ife r e n c ia l... 216

4 .4 R ecta n orm al a una s u p e r fic ie ... 218

INDICE

₃

4 .6 A p lica cion es e c o n ó m ica s del c o n c e p to de diferen cia t o t a l 226

4 .6.1 Sustitución de factores en la p ro d u c c ió n ... 226

4 .6 .2 Sustitución de b ien es en la función u tilid ad... 228

4 .7 D iferenciales su cesiva s... 233

4 .8 C u estionario d e r e p a s o ... 235

4 .9 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 235

5 . F U N C I O N E S C O M P U E S T A S , I M P L I C I T A S Y H O M O G E N E A S 2 3 9 5 .1 Funciones c o m p u e s ta s ... 239

5 .2 Derivadas d e fu nciones c o m p u e s ta s ... 242

5 .2 .1 D erivadas d e fu nciones com puestas de una variable in d e p e n d ie n te ... 242

5 .2 .2 D erivadas de fu nciones com puestas de varias variables in d e p e n d ie n te s ... 246

5 .2 .3 O tro s ejercicios de a p lic a c ió n ... 247

5 .3 Funciones im p líc ita s ... 253

5 .4 Derivada d e fu nciones im p lícita s... 255

5.4.1 E jem p los d e funciones e c o n ó m ica s definidas en form a im p líc ita ... 2 5 9 5 .5 Ecuación del p la n o tan gen te cuando la su perficie está expresada en form a im p líc ita ... 262

5 .6 Funciones h o m o g é n e a s ... 264

5 .7 T e o re m a de E u le r ... 267

5 .8 Funciones e c o n ó m ic a s h o m o g é n e a s ... 269

5 .8 .1 Fu n cion es d e utilidad h o m o g é n e a s ... 269

5 .8 .2 Fu n cion es d e produ cción h o m o g é n e a s ... 272

5 .9 C u estionario de r e p a s o ... 278

5 .1 0 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 279

6 . F O R M U L A S D E T A Y L O R Y D E M A C L A U R I N P A R A F U N C I O N E S D E D O S V A R I A B L E S 2 8 5 6.1 Introducción ... 285

6 .2 Fórm ula d e T a y lo r y M a c Laurin para funciones d e una variable .. 287

6 .3 Fórmulas d e T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os variab les.. 291

6 .4 A p lica cio n es e c o n ó m ic a s d e la fórm ula de T a y lo r y M ac Laurin para funciones d e d os v a r ia b le s ... 306

4

INDICE

6 .5 C u estion ario d e r e p a s o ... 310

6 .6

Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 3 1 0 7 . E X T R E M O S 3 1 3 7.1 In tro d u c c ió n ... 313

7 .2 E xtrem os para funciones de una va ria b le... 314

7 .3 E xtrem os para funciones de dos va ria b les ... 317

7 .4 A p lica cio n es e c o n ó m ic a s ... 337

7 .4 .1 D iscrim inación d e p r e c io s ... 337

7 .4 .2 P rob lem a d e una em p resa de produ cción m ú lt ip le 341 7 .5 Extrem os c o n d ic io n a d o s ... 343

7 .5 .1 M é to d o d e L a g r a n g e ... 3 4 4 7 .6 A p lica cio n es econ óm ica s de extrem os ligados o v in c u la d o s 355 7 .6 .1 C om bin ación de costo m ínim o con nivel de producción fijo 355 7 .6 .2 M axim ización del produ cto con co s to f i j o ... 3 5 8 7 .6 .3 M axim ización del b en eficio para un nivel d e ven tas d a d o .. 361

7 .6 .4 M axim ¡

2

ación d e la utilidad con renta f i j a ... 362

7 .6 .5 M inim ización d e los gastos del consum idor co n utilidad fija . 366 7 .6 .6 M axim ización del ingreso en produ cción conjunta co n una cantidad d e Insumo f i j o ... 368

7 .7 C u estionario de r e p a s o ... 372

7 .8 Ejercicios de a p lic a c ió n ... 372

8 . I N T E G R A L E S M U L T I P L E S : I N T E G R A L E S D O B L E S 3 7 9 8.1 Introducción ... 379

8 .2 Integral d e fin id a ... 380

8 .2 .1 P ro p ied a d es de la integral definida ... 382

8 .2 .2 T e o r e m a del va lor m e d io del cálculo in t e g r a l... 383

8 .2 .3 L a función área c o m o función p r im itiv a ... 383

8 .2 .4 C álculo d e la integral definida m ediante la p r im it iv a 3 8 4 8 .2 .5 Integrales con límites in fin ito s ... 385

8 .3 A p lica cio n es d e la integral d e fin id a ... 386

8 .4 Integrales ite r a d a s ... 400

8 .5 Integrales d o b l e s ... 4 0 4 8 .5 .1 Interpretación g e o m é tr ic a ... 407

8 .5 .2 P rop ied a d es d e la integral d o b le ... 409 8 .5 .3 R edu cción de la integral doble a integrales ite r a d a s 410

INDICE

₅

8 .6

A p licacion es de las integrales d o b le s ... 411 8 .7 Cuestionario de r e p a s o ... 4 2 5

8 .8

Ejercicios de a p lic a c ió n ... 4 2 6

9 . I N T E G R A L E S M U L T I P L E S : C A M B I O D E V A R I A B L E S 4 2 9 9.1 In tro d u c c ió n ... 4 2 9 9 .2 C am bio de variables en las integrales d o b le s ... 4 3 2 9 3 Integrales trip le s ... 4 3 7 9 .3 .1 P rop ied a d es de las Integrales trip le s ... 441 9 .4 Reducción de integrales triples a integrales ite ra d a s ... 4 4 2 9 .5 A p licacion es de las integrales trip le s ... 4 4 3 9 .6 C am bio de variables en las integrales m ú ltiples... 4 5 0 9 .7 Cuestionario d e r e p a s o ... 4 5 2 9 .8 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 4 5 2

1 0 . E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D I N A R I A S D E P R I M E R

O R D E N 4 5 5

10.1 In tro d u c c ió n ... 4 5 5 1 0 .2 Ecuaciones diferenciales. D efin icion es y fu n d a m en to s ... 4 5 6 10.2.1 Existencia y unicidad d e s o lu c io n e s ... 4 5 9 1 0 .3 Ecuaciones diferenciales de p rim er o r d e n ... 4 6 2 10.3.1 Ecuaciones diferenciales co n variables s e p a ra b le s 4 6 2 1 0 .3 .2 E cuaciones h o m o g é n e a s ... 4 7 3 1 0 .3 .3 Ecuaciones diferenciales lin e a le s ... 4 7 8 1 0 .3 .4 Ecuación de B e rn o u lli... 4 8 7 1 0 .3 .5 Ecuaciones diferenciales e x a c t a s ... 4 8 9 1 0 .4 Cuestionario d e r e p a s o ... 4 9 4 1 0 .5 Ejercicios d e a p lic a c ió n ... 4 9 4

1 1 . E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S O R D I N A R I A S D E

S E G U N D O O R D E N 5 0 1

11.1 Introducción. T e o r e m a d e e x is te n c ia ... 501 11.2 Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducidles a ecuaciones

d e p rim er o r d e n ... 5 0 2 11.2.1 Ecuaciones d on d e falta la variable d e p e n d ie n te ... 5 0 2 1 1 .2 .2 Ecuaciones en las que falta la variable in d e p e n d ie n te 5 0 4

6

INDICE

1 1 .3 E cuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficien ­

tes c o n s ta n te s ... 505

1 1 4 Ecuaciones diferenciales lineales h o m o g é n e a s de segundo orden con co eficien tes c o n s ta n te s ... 506

1 1 .5 Ecuaciones diferenciales lineales n o h o m o gén ea s (com pletas) de segundo orden con coeficien tes co n sta n tes... 514

1 1 .6 C u estionario de r e p a s o ... 523

1 1 .7 Ejercicios de a p lic a c ió n ... 524

A . R E S P U E S T A S , S U G E R E N C I A S Y S O L U C I O N E S A L O S E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S 5 2 7 A . 1 C apitu lo 1 ... 527 A . 2 C apítu lo 2 ... 536 A . 3 C apítu lo 3 ... 541 A .4 C apítulo 4 ... 545 A . 5 C apítulo 5 ... 546 A

.6

C apítulo

6

... 548 A . 7 C apítulo 7 ... 5 4 8 A

.8

C apítulo

8

... 5 4 9 A . 9 C apitulo 9 ... 550 A . 1 0 C apítulo 1 0 ... 551 A . 11 C apitu lo 11 ... 555 B I B L I O G R A F I A 5 5 7

C a p ítu lo 1

F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B LES

1.1 I n t r o d u c c ió n

E l conocimiento del cálenlo infinitesimal os requisito previo indis­ pensable para acometer el estudio de casi cualquier ram a ele la matemá­ tica superior

John Yon Neumann, uno do los matem áticos más n o ta b le de este siglo en su obra “ The M a th en m h cia rí’ ha escrito:

*'E1 c á lc u lo h a s id o el p r im e r lo g r o d e la m a te m á tic a m o d e r n a y r e s u lta d ifíc il e x a g e r a r su im p o r ta n c ia . C r e o q u e d e fin e d o fo r m a m á s in e q u ív o c a q u e cu a lq u ier o t r a c o s a el c o m ie n z o d e la m a t e m á t ic a a ctu a l; el a n á lis is m a t e m á t ic o , q u e es su d e s a r r o llo ló g ic o , con s­ t i t u y e t o d a v ía e l m á x im o a v a n c e t é c n ic o r e a liz a d o en e l c a m in o d e l p e n s a m ie n to r ig u r o s o "

L a m ayoría de las cuestiones teóricas del cálculo infinitesimal pueden expresarse cu términos geométricos, de modo que el cfílenle y la

(¡Cómairia constituyen una unidad cuyo estudio es indispensable.

E l estudio de 1¿ls funciones entre números variables limitó en el curso de Análisis M atem ático I, al caso de una variable independiente: explíci t. ámente

V -■ f ( x ) '1-1]

o, en form a im plícita

F ( * , í

, ) « 0

'

1

.

2

;

Am pliarem os esta 1 i mi f ación definiendo funciones entre unías variables. P o r simplicidad nos referiremos ai caso de dos variables

indo-8

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

pondLccUcs (se ttat.au ow L.4): explícitamente

- = y) (1.3)

o, en form a implícita

(1.4)

Sin embargo, haremos la generalización correspondiente en aqno- j)o<i casos en que la consideración de ties o más variables independientes sea de interés y las aplicaremos a la interpretación de los fenómenos científicos o económicos.

Yá\ lóeonomía. pot ejemplo, cuando so consideran t e compras

rio nn individuo en el mercado, la demanda para un bien cualquiera de pende no sólo dol prodo riel mismo, sino también del nivel de su renta m onetaria y do los precies de los bienes conexos

Teniendo en cuuuia que debernos generalizar la noción de deriva­ da ordinaria y los métodos del cálculo diferencial (además del calculo in­ tegral) desarrollados en el primor cursa para no fracasar en este seguido curso, es noces ario dominar los temas o,s! lidiados en o! prim ero y los con­ ceptos de geom etría que exponemos a continuación.

1.2 C o n c e p to s básicos de g e o m e tría analítica

E sp a c io s ™ chicos Todo conjunto no vacío de elementes llamados

punios, entre los cuales se ha definido la función distancia, constituye un espacio ruélvic/i.

D ista ocm de. un punto X a otro Y es un número ic a i uu ne­

gativo, que denota*omos con |X — Y\ y que goza de las siguientes propto- dades: L a d i s t a n c i a d e X a

Y

os la m is m a q u e d e Y a X , e s d e c ir , só lo d e p e n d e d o l p a r d o p u n t o s y n o d o s u o rd e n , luego: bY - Y\ = 0 X r (1.5) i x - v í + í x ■ z\ > ¡ y - z\ \ X - Y \ = \ Y - X \ (1.7)

1.2 Conceptos b á sic o s de geometría analítica

9

1.2. t Espacio aw'li&iunn rt-riimeTisioncl

Se. llama n-upla a una sucesión de n números. Si con R n in

dinamos el conjunto de todo* los puntos de un espacio i\■dimensional, con í renuencia resultará conveniente representar un punto de R * por una sola letra tal como X. O sea llamamos pim ío X en este espacio a i .oda n-upla ordenada de números reales

X = {X i,X 2 , . . . ..Tn)

Dos n-uplas ordenadas

X - (r.u x 2.. . • • , 3 * ) y y =* (y) ./;/■>,... ; yn) coinciden si y sólo si

*1

= V i; -T*» = ]Í2\ ■ • • ; S-n - Vn (1.8)

Se llama distancia en el i di ana entre dos puntos

X = ( x \, X'2, . . . ; x n) = . yn) o simplemente distancia, al núincro real

\y - X| = | - i t f ~ + fe:. - X

»)1

+ . -TlVn - x n)*\ ( U ) )

E l espacio asi definido se llam a espo o o cudtdinno n - d? traer**

siono}. Puede demostrarse que este espacio es un espado métrico La

expresión anterior de distaría a coincido para ti = 2 y n — 3 con la que

(v¡ obtiene para la distancia cuclidiana entre dos puntos en el plano ( R 2)

y en el espacio ( R 3) respectivamente (ver expresiones (1.11) y (1.12)) mediante aplicación del teorema de Pitágoras.

Así como desistíamos un punto do. un espacio de n-dimensiones por una 7i-ado ordenado. o u-npla de números i cales, para designar uri punto de un espacio de dos dimensiones ( R 2) emplearemos un por ordo-

nodo o dupla de números reales (a*, y) (donde x es la prim era componente

c* y os la segunda componente) y para designar un punto de un espacio de tras dimensiones ( R 3) emplearemos una leiam. orden ado de m i meros reales.

10 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

1.2.2 Sistema coordenado lineal

Sabemos qne lo » números reales pueden representarse gráficamente p o r los puntos de una línea recta.

A -|/2 7/3 B P

I - L . I l ...

-2 - 1 0 1 2 3 4 x

F ig u r a 1

En el esquema (figura 1) al establecerse una correspondencia biunívoca entre puntos de un recta y los números reales se obtiene un

sistemo, coordenado y en este caso com o todos los puntos están sobre la

mism a recta, el sistema se llam a coordenado lineal o sistema unidimen­

sion a l

El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se indica P ( x ) . Análogamente: A (-2); B (3 ); etc. La distancia entre dos puntos A (a ) y B (b ) se denota con |AB| y es igual a la expresión :

\ A B \ ~ \ b -a \ (1.10)

En el ejemplo

|3B| = | 3 - ( - 2 ) | = 5

1.2.3 Sistema coordenado bidim.ensional o plano

E l sistem a anterior no nos perm ite representar puntos de un plano, para ello cuusiduramos el esquema (figura

2

)

1.2 C o nceptos b á sicos de geometría analítica

₁₁

donde a cada punto corresponde un pm ordenado, (prim eva componente: abeisa; segunda componente: ordenada) de coordenadas y cada par or­ denado de numeras se identifica con un punto, llam ado gráfica del par ordenado. Éste sisterna rectangular de coordenados en el plano establece una correspondencia biunívoea entre cada punto del plano y un par or­ denado de números reales.

Si como en la figura 2 un punto P en el plano tiene coordenadas (a,

6

), indicamos este hecho escribiendo P (a ,

6

); en la misma figura con­ sideramos el punto Q (4,-1).

D ados dos puntos P\ (íó , y\) y (x -¿, ) corno se ve en la figura 3, aplicando el teorema de Pitágoras, la distancia entre dichos puntas puede cal cu liarse por medio de la siguiente fórmula:

l ^ i ^ l “ y / fa - * i

)2

+ (V2 * V i)2 (

1

-

1 1

)

1.2.4 Sistema coordenado triá im en jiorw ! o en el espacio

Los sistemas anteriores no nos perm iten representar puntos del espacio, para ello utilizaremos el sistema de coordenadas rectangulares en el espacio que consiste

12

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

Figura 4

(figura 4 ) cu referir cada punto a tres píanos mutuamente perpendicu­ lares que se cortan en el punto

0

, origen del sistema (pues para localizar un punto en el espacio necesitamos otra dimensión, que denominaremos Z o eje de cotas, además de las dos dimensiones del sistema coordenado plajio, llam ados X c Y . Estos tres planos (coordenados) se cortan por pares, determ inando tres ejes coordenados, uno vertical (el Z ) y dos horizontales ( X e Y ).

En la práctica es suficiente trazar los ejes coordenados, como en la figura 5.

E l eje X so lia trazado formando un ángulo de 135° con c\ *je Y , pero representa una recta perpendicular al plano Y Z , que es el plano de la página.

1.2 C onceptos b á sic o s de geometría analítica 13

P a ra medir distancias sobre los ejes Y y 7 n nn form a paralela a )u»s mismos se utiliza la eseaJa com pleta mientras qn c las distancias medi­ das a lo largo del eje X paralelamente al mismo se acortan, generalmente hasta alrededor de siete décimas (y/2¡2) de la escala com pleta. E sta dis­ minución en la escala do representación sobre el eje X paralelamente a él se realiza para aumentar el efecto de profundidad en la perspectiva.

D ado un punto P cualquiera del espacio determinamos su posi­ ción haciendo pasar por P planos paralelas a los coordenados, que cortan a los ejes X , Y y Z en los puntos A , B y C respectivamente (figura

6

).

14

C ap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S ¿, c ■i gura

6

/

o z y B

/

Estos planos, junto con los coordenados forman un paralelepípedo re d orectainrular.

Las distancias de P a las planos coordenados están dadas por las longitudes O A . O B y O C , números reales que llamamos respectiva­ m ente x, y, 7.y que constituyen las coordenadas de P ;la s indicamos por

P (x <

2

/, -)■

Observamos que un sistemo, de coordenadas rectangulares en el

espacio establece una correspondencia biunívoca entre cada punto del

espacio y una terna ordenada de numeras reales.

E \ jercirio l t Indicar las coordenadas do Ion puntos A , B. C, D. O y P de la figura

6

.

Solución. Las coordenadas pedidas son: A (x,0 .0 ); B(0,v.0); C(O,0,z);

D (x.y,0 )j 0 (0 ,0 ,0 ) y P (x ,y ,z).

E je r c i c i o 2: Trazar los puntos —i ) y —3,4).

Solución. C om o se indica en la figura 7, para trazar el punto P>. asig­

namos a x y a y los valores 3 y 4 respectivamente, obteniendo el punto D sobre el plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano horizontal X Y . P o r dicho punto y perpendicular al plano mencionado, llevam os el valor —i . obteniendo P\.

1.2 C onceptos b á sic o s de geometría analítica 15

Análogam ente, para trazar P

2

los valores —2 y —3 determinan E. P o r éste, perpendicular al plano horizontal llevamos 4 * mi dad es. obte­ niendo p2

Dados dos puntos P \ {x \ ,y \, zx) y P¿(x-¿,y2> del espacio (figura S) para hallar la distancia entre ios mismos

construimos un paralelepípedo cuyas caras sean paralelas a los planos coordenados y en el que los puntos P\ y P2 sean vértices opuestos Si

A (x-¿1y i, Z j) y B ( x2,U2>z\) eligen com o en la figura, resulta ¡P,.4| = \x2 - X i i ; \AB\ = \y2 — y il; \BP¿\ = |r

2

- z-¡\;

16 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

A

E l triángulo P i A B tiene un ángulo recto en A y el triángulo A

P i B P i uu ángulo recto en B. P o r lo t.tinto

\P7a \2 + |A B \ 2 = I K s l 2; l ^ s f + \ m \ 2 = p y ^ l 2;

0

sea

\ T \ R \ 2 = * | 7 \ A | 2 + \ m \ 2 = ( * J - X i) 3 + ( j f t — V i) 2 + ( i s

-Luego la fórmula de la distancia pedida es

\ p j \ f = - * i

)2

+

(!/2

- !/iT

2

+ t e -

*1

j* (

1

.

12

) L u g a r g e o m é t r ic o o c o n ju n to d e p u n to s:

Hemos insto que existe una correspondencia biim ívoca entre los puntos del plano (o del espacio de tres dimensiones) y los pares ordenados de ni uñeros reales (las ternas ordenadas de números reales), llamados co­ ordenadas del punto. Nos interesa encontrar ahora una correspondencia similar, entre elementos geométricos como curvas del plano o superficies del espacio, y elementos algebraicos com o ecuaciones en dos y tres variables respectivamente.

Llam am os iugar^geom.éfjico o co n ju n to de puntos a todos los puntos del plano (o del espacio) que verifiquen una o varias propiedades geom étricas y sólo a ellos. O sea, si un punto del plano (o del espacio) no verifica dichas propiedades no pertenece al conjunto de puntos.

Para indicar que “C es d conjunto de puntos del plano de coor­ denadas x ,y que cumplen cierta propiedad p " escribimos C = { P ( x ,

2

/) tales que cumplen p }.

Análogam ente, en R ? la notación es C = { P { x , y , z ) t.aies que cumplen p } indica que “ C es el conjunto de puntos del espacio de coor­ denadas x, y, z que cumplen la propiedad p”

A continuación desarrollaremos el concepto de curva en el plano com o un subconjunto de puntos dei plano y también obtendremos los conceptos de curva alabeada y superficie com o subconj untos de puntos del espacio.

1.2 C onceptos b á sic o s úe geom etría analítica 17

1.2.5 Estudio de gr áficos en el plano

Un conjunto de pares ordenados tiene una gráfica que consiste en el conjunto form ado por las gráficas de los pares ordenados individúalas. E j e r c i c i o 3

IV azar la gráfica del conjunto {(x ,t/ )/ 0 < r < 4; 1 < y < 3}

Solución.

La gráfica la coastituye el rectángulo sombreado (figtira 0).

Si se tiene una ecuación (o inecuación) en dos variables x e y, es decir F ( x , y ) = 0 o F ( x , y ) < 0, se dice que el par (a , fe) es solución de la misma si al reemplazar x por a e y por b la ecuación (o inecuación) resulta -verdadera.

P o r ejemplo, (3,4) es una solución de la ecuación

x ¿ + y ¿ = 25

puesto que 3” + 4

2

= 25 es una ecuación verdadera. En cam bio (2,1) no os una solución puesto que la ecuación 2

2

4- \¿ = 25 es falsa.

E l conjunto S de todas las soluciones de una ecuación en dos variables es llamado conjunto solución o gráfica de la ecuación.

Dado un conjunte? S de puntos en el plano coordenado se de­ nomina uecnación do S” a la expresión —

0

, ta l que el conjunto de todas las soluciones de esta ecuación constituye el conjunto S.

18 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

1.2.6 Estudio de cuinos en elpln.no o espacio de dos dimensiones.

Conviene recordar las siguientes gráficas en el plano .representadas por:

1). Ecuaciones de p rim e r grado:

Lo. Recta. L a ecuación general de la recta es

A x H- B y 4- C = 0 (1.13)

con A , B y C constantes cualesquiera, siempre que A y B no sean si­ multáneamente nulas.

L a form a sim étrica es (ver figura 10), con p y q distintos de cero

(1.14)

Siendo p el valor de a b a s a donde la recta corta al eje x y q el valor de ordenada correspondiente a la intersección con el eje y.

L a form a explícita es

y = m x + q (1.15)

siendo m la pendiente (recordar que m = tg<p) y cuya ordenada al origen es q (intersección con ol eje Y .

1.2 C once pto s b á sic o s de geometría analítica 19

Com o caso particular, si q *= 0, la ecuación es

y = 77?,T (1.16)

(la recta pasa por el origen de coordenadas)(figura

1 1

).

L a ecuación de la recta que pasa por un punto P i ( i y . y-.) y tiene pendiente m, es

V - V \ = m ( x - x i ) 11.17) Variando la pendiente, la anterior es la ecuación del haz de rectas (figu ra

12

) que pasa por P*.

D ado un punto perteneciente a un plano, el conjunto de todas las rectas incluidas en ese plano que pasan por el ¡junto se denominan haz de rectas que pasan por dicho punto, en consecuencia su ecuación responde a la expresión (1.17) donde la pendiente m es variable.

Y

O

F igu ra 12

20

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R I A S V A R IA B L E S

O tros casos particulares rasult.an cuando en (1.13), una o más constantes son nulas.

A sí, si C = 0, la recta pasa por el origen. Si A — 0, resulta, reemplazando

C

V = ~ B

o sea, y = e tc, que podemos indicar

V = k (1.18)

la recta es horizontal, es decir paralela al eje X (figura 13).

Y y = k r k X

0

Figura 13

Además, si A = C = 0, resulta k = 0, o sea

í/ = 0

que es la ecuación del eje X.

Análogamente, si B = 0, la recta es vertical, es decir

(1.19)

(

1

.

20

)

1 2 C onceptos b á sic o s de geometría analítica 21 Y r h

0

X Figura 14 Si B = C = O, resulta h = 0, o sea x = 0 (

1

.

2 1

)

que es la ecuación del eje Y .

2) Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado en dos variables se pueden escribir en la form a general

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y -+ F = 0 (1 2 2 ) en donde todos los coeficientes son constantes y al menos uno de los tres primeros, distintas de cero. Las valores relativos de los coeficientes determinan el tip o de curva representada por la ecuación. Las más uti­ lizadas en nuestro estudio son las cónicas:

a) L a circunferencia. Una circunferencia es el lugar de los puntos

de un plano situados a una distancia dada r (radio) de un punto fijo C (centro).

Designando por P { x , y ) un punto cualquiera de la curva (figura 15), es \CP\ = r , o sea, según (1.11)

y / { x - h y + ( y - k y = r (1.23) o bien

22

C ap. 1 F U N C IO N E S D E V A R ÍA S V A R IA B L E S

qu e es la ecuación, en Coima ordinaria, do \a circunferencia de centro

C (k , k ) y radio r.

Figu ra 15

O

P (x .y )

Si el cent ro coincide con el origen (figura 16) > por ser h = k = 0, se reduce a

x 2 + y2 = r 2 (1.25)

ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

D esarrollando (1.24) obtenemos la form a general de la ecuación

x ¿ H- y2 H- D x + E y + F = 0

1.2 Conceptos b á sic o s de geom etría analítica

₂₃

E je r c ic io 4:

¿Cuál es el lugar de los puntos P ( x , y ) cuyas coordenadas satis­ facen la inecuación (x - h )2 + (y - k )2 < r 2?

Solución:

C om o el primer m iem bro de esta inecuación os el cuadrado de la distancia \CP\ entre el punto ( h , k ) y cualquier punto ( x t f/); entonces la expresión establece que la distancia \CP\ debe ser menor que el valor r; es decir que dicha ecuación se satisface para todos los puntos cuya distancia al punto ( h ,k ) sea menor que r. (|CP| < r ).

Dichas puntos pertenecen al círculo de centro (h^k) y radio r excepto las que pertenecen a la circunferencia borde (por ello represen­ tam os en línea punteada la curva borde o frontera).

Y ^ \ / P / I

\

\ / \ / Figura 17

N O T A : Si la inecuación es: (x — h)~ + (y — k )2 < r 2 su gráfica corresponde a to d o el círculo de centro en ( h , k ) y radio r incluida la circunferencía borde.

b ) Lo. pm'ííbola. Una parábola es el lugar de los puntos del plano

que equidistan de un punto F , llam ado foco y de una recta denominada directriz ambos incluidos en el mismo plano.

Entonces designado por P ( x ty ) un punto cualquiera de la curva (figu ra 18), debe cumplirse |FP| = |FA|*

24 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

P o r la fórm ula de la distancia (1.11)

y

'1 7 ^ 1 =

1

^ +

11

Igu alando estas dos expresiones, elevando al cuadrado y simplificando, resulta

y 1 =

2

px (

1

.

20

)

que es l a ecuación de l a parábola de vértice en el origen y eje X L a ecuación general de la parábola cuyo eje es par al et o (o coincide con) el eje X es de i a forma

y2 + D x -f- E y + F = 0 (1.27j O seaf si la expresión (

1

.

22

) representa una parábola como la m encionada, entonces A — f í = 0.

Análogam ente, si el vértice está en el origen y su eje coincide con el eje Y (figura 19), la ecuación de la parábola es

1.2 C o nceptos b á sic o s de geometría analítica

25

c) L a elipse. Una elipse es el lugar geom étrico de los puntos P [ x , y ) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F j y llamados

focos, es constante.

Si designamos p o r (2 a ) a la suma | F

1

(P| + \P¿P\ de las distancias (figura

20

), entonces las coordenadas de P deben satisfacer la ecuación

Z ( x + c ) - + T

,2

+ ^ { x - c f + y2 = 2 a (1.29)

Para simplificar esta expresión, transponemos el segundo radical al segundo miembro de la ecuación, elevamos al cuadrado y reducimos términos semejantes

2 6

Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Volviendo a elevar al cuadrado y simplificando, se obtiene

= 1 (1.31)

a 2

o } - c2

P u e r t o qu e la sum a |/*\P| H-

\£'¿P\ — '2<>

d e dos lados del

¿N

______

tr iá n g u l o F 3 F e s m a y o r q u e oí t.c ie e r la d o |F , F j =

2

o. resulto.

2

n

>

2

c, en c o n s e c u e n c ia 4a- > Acr => a

2

> c2 =? ci¿ -- c~ > O E n to n c e s «al se r

a -

— c2 p o s itiv o , s u r a íz c u a d r a d a e s ro a l y p o d f b a . taloi* q u e d e n o m i­ n a r n o s ‘b ’ o sea:

b ¡=

\ / b

2

— c

2

Reem plazando en (1.31) obtenemos

quo oh la ecuación canónica de la elipse (con centro en ni origen y ejes coi ncirlont.es con los ejes en ordenados), donde o y b son los semiejes mayor

y m eh or respectivamente (ver figura

20

).

L a ecuación general de la elipse cor. ejes paralelos a les coorde­ nados es

A ? - -f C y L + D x + E y + F = 0 (1.33)

con )«i condición do que si <*r Ja expresión (1.22) j(presenta una elipse corno la m encionarla,A y C deben tener el mismo signo v B —

0

.

dj La hipérbola tin a hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(:r,?y) cuya diícrcncia do distancias a dos puntos fijos P\ y P¿

(fo c o s ) os constante

Si la constante es igual a 2a (ver figura 21) se tiene la condición

1.2 Conceptos b á sic o s de geometría analítica 27

v

bisum

21

x

a

Siguiendo un razonamiento análogo al efectuado en la elipse, •*> obtiene

Esta expresión parece exactamente igual que la obtenida pava la elipse, pero ahora a

2

— c

2

es negativo, ya que la diferencia de los dos lados del triángulo fq F-¿P es menor que el tercero: 2u < 2c. Así. en este caso, c

2

— ar es positivo y su raíz cuadrarla real y positiva la dosignarc-(1.34) obtenemos

que es la ecuación canónica de la hipérbola, donde a v b son los ejes transverso y conjugado, respectivamente (ver figura

2 1

).

I.a ecuación general de la hipérbola con ejes paralelos a los coordenados es

con la condicióu de que si la expresión (

1

.

22

) representa una hipérbola com o la m en cion ad a^ Y C deben tener signos opuestos y B — 0.

Com o caso particular, si a = b, la hipérbola se llama hipérbola equilátera y la ecuación (1.36) tom a la form a más sencilla ícon eje transverso coincidcntc con el eje X )

A r

4

- C y 2 *h D x 4* E y 4* F = 0 (1.3b)

28 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

/

2 . 7 Estucho do gráficos e n el espacio

Repasaremos las principales gráficas y las ecuaciones respectivas on el espacio, haciendo algunas consideraciones previas.

Angulos y cosenos directores. Si consideramos dos recias no

copian ares decimos que se cruzau. LI ai riamos ángulo de dos rectas que se cruzan al form ado por otras dos rectas cualesquiera que se cortan, de m odo tal que estas últimas rectas tienen el mismo sentido y son paralelas a las anteriores.

La dirección de una recta cualquiera r en el espacio {ver figura

22

) se determina por los ángulos que form a con los ejes coordenados. Si r

110

pasa por el ongen, trazamos r ’ por O, paralela a r y del mismo sentirlo. Los ángulos a. fi v

7

formados por r ’ v las partes positivas de X , Y y Z se llaman ángulos duve lores de la recta dirigida r.

En lugar cío dichos ángulos, con frecuencia emplearemos los cosenos de los mismos. Estos cosenos (c o s (a ), cos(.tf), cos(*,)) se llaman t co s e ros

directores de r.

Si de la recta conocemos dos puntos P i ( x

1

. ¿n, ~i) y P ¿ (x

2

, y¿, z-¿) y hacemos pasar por ellas planos paralelos a los coordenados (ver figura 23) estos planos forman un paralelepípedo recto rectangular que tiene a

1.2 C once pto s b á sic o s de geometría analítica

29

Teniendo en cuenta que

í ’iV'i = A iA ? — x ¿ — x-i

~P\ V'i — B \ B 2

= i/:» -

Vi

=

= Z . - Z :

resultan de los triángulos

F i g u r a 2 3 a ) que x 2 -c o s e •= S \P2 (1.38; (1.39)

30 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

eos

7

= ^ # (1-40)

r \ l 2

re spect. i vamenl c .

Números directores. Si consideramos números que sean propor­

cionales a los cosenos directores, reciben el nombre de números direc­ tores.

Una recta dirigida tiene un número infinito de numeras direc­ tores. pero solamente tiene un conjunto de cosenos directores.

Si a. b y c son números directores de una recta, los indicaremos [a, b, r] debiendo cumplirse que

b C (1.41)

c o s a eos/? eos

7

Si en (1.88) multiplicamos las cosenos directores por PiP-¿ ve­ mos que una terna de números directores de la recta que pasa por

P : t e i , y i , - i ) y , y-¿, z2) es

[x 2 - x t i y2 -

2

/

1,22

- ^il (1.42)

Angulo form a d o p o r dos rectos. C ond iciones de paraleh.sm.0 y ríe pcrpendiculo.ri.dnd.

Dadas dos rectas

77

y r 2 cuyos ángulos directores son a 1? /3|,

7

i

y c\¿, 0 2 >

72

respectivamente y considerando un punto cualquiera de

i ' i . para hallar el ángulo 0 que las mismas forman (fig 24) proyectamos

sobre r 2 la poligonal O R Q P ) , así como su resultante O P j, obteniendo

QP\ eos

0

— O R c v s c t2 -b R Q eos 02 + Q P i eos

71

pero

( j R = O P ¡ cü s a L

R Q — OP\ eos 0i Q T \ = O P ¡ c o s

7

X

1.2 C onceptos b á sic o s de geometría analítica 31

reemplazando, resulta

O P \e o s

9

= O P \ e o s a i e o s - f

ü f\

e o s ¡3ic o s / b

•¥

O P \e o s -; eos o s e a

eos 9

=2

eos a i eos a¿ + eos fi\ eos &¿ + e o s l eos

--2

(1 -43J Si, como caso parí icular, las rectas son paralelas v están dirigidas en el mismo sentido, sus correspondientes ángulos directores síin iguales.

Entonces e o s a i ^ c o s a * eos

0

! = eos 1% eos

7

j = cos->* luego

jh

£i_ cIj bn C2

siendo (1.44) la comb a ón de pomlelis7no de dos •nieta.s.

(1 44!

En cambio, si son perpendiculares, 9 = 90" por Jo tanto eos'? = 0.

Según (1.43)

eos e¡i eos

02

+ eos (3i eos

02

+ eos -)\ eos y¿ = 0 luego

fi) a2 +

¿162

+ cxc

2

= 0 (1-45) que es la condición de perpendicularidad de dos redas.

32 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA D L E S

cS' I& tiid?o de sapcí/t'ac.s o * e i e s p a c io 77/ p/er?o

Vim os que en geom etría analítica del plano, considerando un per do ejes coordenados, podernos hacer corrresponder o cada ecuación

c v dos va nebíes

F ( x . y ) - ^ 0 (1.46)

o en fo n na explícita

?/ = / ( * ) (1.-17)

una lín m plan o que constituye la gráfica de aquella ecuación. También vim os que. recíprocamente, considerada una línea plana definida geomé­ trica monto, so puedo encontrar una ecuación, (1 4fi} o (1.47). veiiíioada solamente por las coordenadas de todos los pumos do la línea.

Análogamente, en geom etría analítica de) espacio, dada una

¿cuaoóv- en tres m m i f o

n ^ v ,

2

) * o (1.48)

o, en form a explícita

z = C (T -,y ) (1.49)

<4

l u g a r g e o m é tric o d e to d o s lo s p u n t o s y s o la m e n te d e lo s p u n to s , c u y a s c o o r d e n a d a s s a tis f a c e n (3

48

) y (

1

.

40

), c o n s titu y o u n a . m p v rfi(.in q u e es l a g r á fic a d e la e c u a c ió n d a d a . R e c íp r o c a m e n te , d a d a e n el e sp a c io u n a s u p e r f ic ie d e fin a ;a cm f o r m a g e o m c t r i a n p u e d e h a lla rs e u n a e x p re sió n a n a l í t i c a (

1

.

48

) v (

1

.

49

) c u m p lid a ú n ic a m e n te p o r la s c o o r d e n a d a s de t o d o s lo s p u n to s d e la su p e rfic ie . E s a e x p r e s ió n c o n s titu y e la a c u n o ó n

d e l a su p e rfic ie .

Comenr.nvemos con la ecuación lineal, estudiando la superficie más simple que es el plano

Sea el plano rj que con tiene al punto P ( x \. j-¡, ¿ i ) yes perpen­ dicular a la recta n, cuyos números directores son ¡.4, B , C] (fig. 25).

1.2 C onceptas b á sic a s de geom etría analítica 33

Sea P (z .y > z ) un punto cualquiera .diferente de i l , sobre ex y r la recta que pasa por A y P, y que. por cotisigr liante está contenida en el plano, entonces r y n son perpendiculares entre .sí.

Según (1.42) los números directores de r son [x — X\s y — ?/¡, ~ - ~ i ) luego, por (1.45)

A ( z - X ]) + J . i ( y - V i ) + C [ Z - 2 i ) = 0 (1.50)

que os la form a ordinaria do la ecuación de un plano que pasa por un punto.

Desarrollando (1.5(1)

A x + B y -h C z - [Á X j + *f C-z{ ) — 0

- D

y reemplazando la expresión constante por el término constante - D ,

resulta

A z + B y + C z +

D - i )

(1.51) que os la- forrnn. y e n e ro l de la ecuación d tl p lan o .

Recíprocam ente, puedo demostrarse, que toda ecuación de. la form a (1.51) representa un plano.

Luego, toda ecuación lineal de la forma

34 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

en la que por lo menos uno de los tres ooefioient.es (A B, y C ) es dife­ rente de cero, ropiosonta tin plano, cuyos coeficientes (A . B, C ) son los m im eios directores de .su normal.

Observamos que en este espacio, las ecuaciones condenen, en general, tros variables; pero su número puede ser me ñor. pues si uno de los coeficientes es ceio, por ejem plo C de (1.51) es cero, la normal al plano es perpendicular al eje Z y por consiguiente el plano as paralelo a ese eje y perpendicular al plano determinado por los ottos dos.

Así

A x + B y + D

^ 0

(1.52)

t\-. la ecuación de un plano tí (lig.26) paralelo al eje 7. y perpendicular al plano X Y .

Comparando (1.52) con (1.13) vemos que mientras en el plano la ecuación lineal en dos variables representa una iect.a, en el espudo, la misma ecuación, representa una superficie, en este caso un plano per­ pendicular al plano X Y .

Si dos de los coeficientes son nulos, por ejemplo B = C = 0, la ecuación (1.52) se reduce a

A z + D = t) (1.53)

1.2 Conceptos b á sicos de geometría analítica 35

ejes correspondientes ;i las variables ausentes. De (1.53)

D

x = — - = con stan te

O sea,

X T - ¡¡ _(1.54)

en el espado es la ecuación de un piano

7

pa: alele al plano Y Z (fig. 27). Com parando (1.54) con (1.20). vemos que la misma ecuación considerada en el plano representa uno recta paralela ál eje Y (ñ g .llj.

Figura 27

C b m o in d ic a m o s e n l a f ig u ra

27

, h e s i a clist.fiiicía e n tre el orig en y e l p u n t o e n q u e e l p la n o corta a l e je X . P o r lo ta n to , si a d e m á s es

D = 0, o sea B = C — D = 0, r e s u l ta

x

= 0

(1.5 5!

36 Cap. 1 F U N C f O N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Fisura

c o n f r o n t a r c o n (

1

.

21

).

Auuílo ¿am onte en io s d em ás casos

y = k

que os la ecuación tic un piano paralelo al X Z .

J = 6 quo os la ecuación tlrJ plano X Z .

Z = = k

que e s la acuna ón de un plano paralelo al X Y . 2 = 0

que es la ecuación del plano X V .

(1.56)

(1.57)

(1.58)

(1.59)

E c u a c io n e s d e la r e c ta e n e l e s p a c io d e tr e s d im en sio n es D ijim os que si un conjunto cíe puntas del espacio satisfacen una condición, .su representación geométrica es una superficie (en particular estudiamos el plano); s¡ satisfacen, en cambio, do* condiciones será una curva en el espacio.

Sabemos también que dados dos conjuntos de puntos C\ y C¿, la u n ió n de esos dos conjuntos, que indicamos

1.2 C o nceptos b á sic o s de geom etría analítica

37

el conjunto de puntos í< t inados por todos l o s punto* que pertenecen a C', y a G9> mientras que la intersección que indicamos.

c \ n c 2

es el conjunto form ado por los puntos que pertenecen simultáneamente a C ] y a Cq.

Luego, si

C\ — { P { x . y . z ) / x = h; y, z arbitrarios} y C 2 = { P ( x , y , z ) I z = k] x , y arbitrarios}

C\ tiene ecuación x — h — 0, siendo un plano paralelo al Y Z (figura 29).

C 2 tiene ecuación z • • k =

0

. siendo un plano paralelo al X Y .

z Figura 29

X

L a ecuación do G\ U C? es

(x - h ){ z — k ) = 0

y rl conjunto C¡ U C< está constituido por los dos planos.

Las ecuaciones de C\ n C 2 c-s el sistema

r x - h = o

{ t - k

= 0

y el conjunto C\ n C i es la recta r (figura 29) de jntorscx:dón de los planos { x — h y z = k ) paralela al eje Y .

38 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

O sea

X = k (1.60)

z = k

son las ecuaciones ele una recta paralela al eje Y . Es decir, conside­ radas separadamente, cada una de las ecuaciones de (1.60) coastituyen la ecuación de un plano; mientras que consideradas simultáneamente, son las ecuaciones de una recta en el espacio de tres dimensiones.

Análogam ente, resultan

x = h y = k

que son las ecuaciones de una recta paralela a) eje Z.

y = h. z = k

que son las ecuaciones de una recta paralela al eje X. En particular, resultarán

X s s s 0 2 = 0 que son las ecuaciones del eje Y .

que son las ecuaciones del eje Z.

x =

0

V - 0 V = 0 2 = 0 (1.61) (1.62) (1.63) (1.64) (1.65) que son las ecuaciones clel eje X.

O tra s f o í m o s im p o r t a n t e s d e las e c u a c io n e s d e la r e c ta e n el e s p a cio .

Sea la recta r(A ,B ,C ] y P i ( x i , f l i i z \) un punto de la misma (figura 30). Luego r es el lugar geom étrico de los puntos P { x , y , z ) tales que los números directores de P \ P , [x — X\.y — y\, z — z^], son propor­ cionales a A , B, C y el punto P pertenece al lugar.

1 2 C onceptos b á sicos de geometría analítica 39

Llam ando t al factor de proporcionalidad, estas condicionen son

x — X i = A t

y - y ) = B t (1.66)

z - z i = C t

A m edida que t varía, P genera la recta, siendo ( l (Stfí las ecua­ ciones paramétricas de r.

Elim inando en (1.60) el parám etro fc, obtenemos jas ecuaciones de la recta en formn. simétrico.

que es im portante recordar. Solamente dos, de las tres ecuaciones de (1.67), son independientes.

0 tr a 3 s u p e r fic ie s . C u á d ric a s . Estudiamos la ecuación lineal en tres

variables, o sea el plano.

Es muy im portante también el estudio de la ecuación de segundo grado con tres variables:

A x 2 -+ B y 2 + C z 7 + D x ij -f B x z ■+ F y z -+ G x + H y 4 i z -f K = 0 (1.68)

en donde uno, por lo menos, de los seis coeficientes ÍA . B. C. D, E ? F ) es distinto de cero.

40 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Las superficies que representan se llaman caddriais; es (1.68) la ecuación de una cuádrica en form a gen eral

Sin hacer un estudio detallado de estas superficies, que com­ pletaremos con los ejercicios (ver

1

.

0

), mencionaremos las más utilizadas:

a ) Ia superfino esférica:

Una superficie esférica es el lugar geométrico de todos los plintos del espacio cuya distancia a un punto fijo C, llamada centro, es constante. Esa distancia dada se denomina radio de la superficie esférica

(r).

Designando por P ( x , y t z) un punto cualquiera de la superficie (figura 31), os \CP\ = r . o sea, según (1-12)

[ x - h )2 + (y - k )2 + ( z - i ) 2 = r

2

(1-G9) que es la ecuación, en form a ordinaria, de la superficie esférica de centro

C { K ki 0 y radio r.

Si el centro coincide con el origen, por ser

h = k =

1

=

0

x 2 + y '¿ Jr Z2 = r ¿ (L.70)

1.2 C o nceptos b á s ic o s d e geometría analítica 41

e c u a c i ó n d e l a .st ij íc *r l ic j* * c s í m e a u m c c n i n j c u e l o r i g e n ,

b ) Curídricns con centro.

Se llaman así a las que tienen un centro de simetría, e l origen L a ecuación canónica es de la forma

o o o

* í _ ± g ± - = i

o? b2 c

2

(1-71)

representando las siguientes superficies:

1) Elipsoide renl: (todos los coeficientes positivos)

i ! f !

o ? + ti2 + c

2

N O T A : ver ejercicio 14 a continuación

- 1 (1.72)

2) Hiperboloide de una hoja: (dos coeficientes positivos, uno

n egativo) por ejemplo:

O 'i

b2

c2

u

(1.73)

en esto caso el eje de sim etría es z; en correspondencia con el coeficiente n egativo del térm ino en z * .

42 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

H ip e rb o lo id e

3) Hiperboloide de dos hojas: (un coeficiente positivo,

dos negativos) por ejemplo:

9 O

_ í l + ¿ _ £ l = i

a

2

fi

2

c

2

(1.74)

en este caso el e\e de simetría es y, en correspondencia con e¡ coeficiente positivo del término en y¿.

c) Cuádricnx sin centro: Cuya ecuación es de la forma:

i 2

y 2

± — ± ¿ r = C Z

a2 o

2

(1.75)

1.2 C onceptos b á sic o s de geom etría analítica 43

1) Pam boloide elíptico: (los coeficientes del primer miembro

positivos) por ejemplo:

0 . ^ 1 ? (1.7G)

la gráfica tiene eje z y com o z >

0

responde al siguiente gráfico:

U n caso particular es el paraboloide circular donde a — b, es decir: L a ecuación > 'f x ¿ y ¿

— +

—

cz = k (x * + >S) V“ z * k x = 4-r + — F c*

corresponde a un paraboloide elíptico de eje x y la ecuación

a:-

1

/ ^ = “T + T? _a

₂

corresponde a un paraboloide elíptico de eje y. Por ejemplo:

y ~ a

*2

- f z

2

tiene por gráfica:

(1.77)

(1.78)

(1.79)

44 Cap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

z

Paraboloide elíptico Y X

2) Pnruboloxit hiperbólico: (un coeficiente positivo y otro nega­

tiv o ) Por ejemplo:

I.a gráfica corresponde a una siip o ifric simétrica respecto al plano y z (ir —

0

).

Grafio amos z — - r 2 \ y7

corresponde a un paraboloide hiperbólico simétrico respecto al plano XZ

( y = Ü)

La ecuación

1.2 C onceptos b á sic o s de geom etría analítica 45

Análogam ente pueden determinarse ecuaciones de paraboloides hiperbólicas con otra orientación.

d ) Superficie-'» ol'iirh'kw

-5

Están engendradas por lina recta (genorata iz) que se muevo de tal manera que se mantiene siempre paralela

a una recta lija dada y pasa siempre por una curva fija dada (directriz';. Si las generatrices son perpendiculares al plano de su directriz, dicha superficie cilin du ra se llam a reet.a y. en caso contrario, oblicuo

U n a ecuación do segundo grado que contenga dos variables re­ presenta en el espacio una superficie cilindrica recta cuyas generatrices son paralelas <al eje de la variable ausento. La directriz tiene la inisina ecuación que la superficie y está sobre el plano coordenado que es per- pcndiculai a las generatrices de la superficie.

E jem plo 1:

x 2 = 4

7

/

es la ecuación de una superficie cilindrica patabólica (ver figura siguiente), en el espacio de tres dimensiones. (Observar que dicha ecua­ ción, en el plano, representa una parábola de eje Y y vórtice coinciden'o con el origen) / c i l i n d r o p a r a t i ú l i o u \

V

-E jem plo 2:

x 1 -t- r

2

=s r - es la ecuación de una superficie cilindrica circular de eje Y {variable ausente.

46 Cap, 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Su directriz es i a circunferencia x

2

— — t2 incluirla en el plano

X Z (y -

0

)

Análogam ente se determinan ecuaciones correspondientes a su­ perficies cilindricas parabólicas, elípticas o circulares en distintas posi­ ciones.

Ejem plo 3:

e s la ecuación de una superficie cilindrica cilindrica elíptica ele eje X (variable ausente).

Su directriz es la elipse = 1 incluida en el plano y z (x = 0) N O T A : ver ejercicio 17 a continuación

1.2 C onceptos b á sicos de geometría analítica

4 7

Análogam ente se determinan ecuaciones currespendientes a su­ perficies cilindricas paiabúlicas, elípticas o amularas en distintas posi­ ción as.

« ) Superficies cóniois.

Están engendradas por una recta (generatriz) que se mueve de tal m anera que pasa siempre por una curva fija (directriz! y por un punt.u fijo (vértice) no contenido en el plano de osa curva.

U na ecuación de segundo grado representa una superficie cónica con vértice en el origen, sí y solo si es homogénea un polinomio es ho­ m ogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado) en las tres variables

Su ecuación es

(siempre que los t.res signos no sean iguales).

Ejem plo 1:

(1.83)

í l + £ _ £ i = 0

a

2

i P c

2

as la ecuación de una superficie cónica elíptica do eje Z y vértice en eí origen de coordenadas.

48 Cap, 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

E jem plo 2:

es Ifi ecuación de una superficie cónica elíptica de eje y y vértice en el origen ele coordenadas.

/v elíptica de eje Y

N O T A : V er observación en el ejercicio Id a continuación. R e s u m ie n d o :

- U n a ecuación con una variable representa: • En la recta: un conjunto de puntos

• En el plano: un conjunto de rectas paralelas al eje de la otra Z

Y

variable

• En el espacio: un conjunto de planos paralelos al plano opuesto a la variable.

U na ecuación con dos variables representa: • En el plano: una curva

1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos 49

• E n el espacio: un conjunto de planos paralelos al eje de la variable ausente (si la ecuación es lineal); o una superficie cilindrica con generatrices paralelas a la variable que falta (si la ecuación es de segundo grado)

■ Una ecuación con tres variables representa en el espacio una superficie

1.3 C o n ju n to s pu ntu ales. E n torn os. R ecin to s

P a ra discutir funciones de dos o más variables, necesitamos conceptos asociados con conjuntos de puntos en das o más dimensiones.

Recordem os previam ente que en el primer curso de Análisis M atem ático hamos trabajado con funciones reales, cuyos dominios son intervalos en el eje X (cada número representado geométricamente por un punto de una recta) y que distinguíamos intervalos que incluyen sus extrem as do aquellos que no los incluyen.

Si q < b, llamamos intervalo abierto )a ,b ( al conjunto de todos

los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 34)

Si a < ó. llam am os intervalo cerrado [a, /;] al conjunto de todos los puntos cuyas abscisas x verifican la condición (figura 35)

a < x < b

no incluyendo los extremas.

Figura 34

a < x < b

incluyendo las extremos.

50 Gap. 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

Análogamente, pueden definirse intervalos semiab'iertos :

K ó ] y |a,6(

Si C’o £ R ‘ y S os un número real positivo, llamamos esfera,

hiperesfem o bola completa o cerrada, de centro Co y radio 6 al conjunto

{le todos ios puntos P tales que su distancia a Ce es < ó. L a i a d iarem os

E (C o ,S ).

E n las mismas condiciones, llamamos esfera., o bola abierta al conjunto de todos los puntos P tales que su distancia a Cn es < La indicaremos E (C n ,6 ).

Si Ce € R l la e s fe r a c e rr a d a psun seg m en to . Si Co £ R

2

la e s fe r a c e r r a d a e s u n c ír c u lo y si Co € R

3

la esfera c e rr a d a es u n a esfera.

Si un subconjunto de R a está contenido en alguna esfera cerrada <te centro

0

(

11

,

0

,

0

) decimos que es acotado y , cu caso contrario, que no es acotado.

Si Co € R n y 6 > 0, el conjunto de todas los puntos de R n tales que

\ P - C o \ < 6

sfc llama» gntpTTsu de Cu, con radio

6

y lo representamos con E (C o , S) o

E ( Cq)\ es decir un entorno de Co está incluido en R n, es un subconjunto

de R n que contieno una esfera abierta con centro en Co.

Si F es un entorno de Co, llamamos entorv.o y-eAuci.do de Co, al conjunto C. R n que resulta de excluir al punto Co de E. L o indicamos E’'(C o ). O sai,

F ( C 0) = £ (C o ) - { C U

En el espacio R

1

el entorno reducido representa geométrica­ mente a un intervalo abierto de centro C o(zo) y radio 6 (figura 36):

F ( C o ) - { x ¡ \x - x 0\ < 6} (1.84) excluido Ce».

1.3 Conjuntos puntuales. Entornos. Recintos 51

O

Xq - 6 *0 Xq + 5

F igura 36

En R

2

el entorno reducido representa geométricamente el interior de im círculo de radio ó> excluido el centro Cí>(^o ■ 2/o) (figura 37)

E ' ( C } ) = {(x,?/) / (x - X rt)- + (?; - I f i , ) 2 < ó2} (1.85)

En R * el entorno reducido representa geométricamente el interior de una esfera de radio 6, excluido e l centro Cof^o Vo> io ) (figura 38)

E '( C o ) = { x , y , z f { x - x oy + { y - j/o

}2

+ ( z - * ) 2 < 62) (

1

.

86

)

l ' ^

í

52

Cap, 1 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

v X

V

T a m b ié n d e b e re m o s c o n s i d e r a r e n n u e s tro e s tu d io e n to rn o s c u a d r a d o s

Entorno cuadrada

d e s e m ia m p lif u d

6 >

0 d e u n p u n to C ofx 'm p o ) o s e l c o n ju n t o de* p u n t o s (x*,

y)

t a l e s que

í I?; - z a\ < ó

{ \ y - V o ' < £

E n e l e s p a d o d e d a s d im e n sio n e s d e fin im o s ta m b ié n a l

intervalo

caira do:

a s t o d o r e c tá n g u lo d e la d o s p a ra le lo s a los e je s d e fin id o p o r los p u n t o s

{x,y)

ta l e s q u e (f i g u r a 3 9 )

(e n R ‘ ) y e n to r n o s c ú b ic o s ( e n R 3 ). e s p e c ia lm e n te lo s p rim e ro s

(1 .S 7 )

Y