CURSO 2003-2004
INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL - Esp. ELECTRÓNICA INDUSTRIAL
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA
Práctica nº 5: Integración de funciones de una variable
Integral indefinida.
En esta práctica trataremos dee encontrar una función F(x), que llamaremos primitiva, cuya derivada es una función f(x) dada.
Es evidente que si la función F(x) es una primitiva de la función f(x), F(x) es continua salvo en un número finito de puntos y su derivada cumple que F'(x)=f(x). De hecho, F(x) + cte. es también una primitiva de f. Al conjunto de todas las primitivas de f se llama integral indefinida de la función f y se denota por
d
⌠ ⌡
( )f x x
Si F es cualquier primitiva de la función f, entonces =
d
⌠ ⌡
( )f x x F x( ) + cte
En MAPLE se pueden calcular las integrales indefinidas de la mayor parte de las funciones integrables cuya estructura no sea muy complicada. La forma de obtener una primitiva es mediante la orden
int ( f(x) , x )
NOTA: Observar que MAPLE no nos da lo que conocemos como integral indefinida ya que no
añade la constante arbitraria a la primitiva calculada.
EJEMPLOS:
> Int(a*log(1+b*x),x)=int(a*log(1+b*x),x); > Int(1/(x^2-1),x)=int(1/(x^2-1),x);
> Int(x^n,x)=int(x^n,x);
Sin embargo, no siempre se pueden encontrar las primitivas de cualquier función, por ejemplo,
> Int(1/ln(x),x)=int(1/ln(x),x); > Int(exp(-x^2),x)=int(exp(-x^2),x);
Integral definida: integral de Riemann.
Riemann define la integral definida de una función f(x) positiva como el área comprendida entre su gráfica y el eje OX para los valores de x dados por los límites de integración. Para calcularla, se recubre la región con el mayor número de rectángulos posibles , así el área total será
aproximada por la suma de las áreas de todos estos rectángulos.
El valor de la integral, en caso de existir, será el valor límite al que tienden las sumas del área de estos rectángulos cuando aumentamos el número de rectángulos usados. La idea de fondo de este
método es que al utilizar cada vez rectángulos más estrechos podemos ajustar mejor el cálculo del área total. A este valor límite se le llama integral definida y se denota por
d ⌠ ⌡ a b ( ) f x x
Para basarnos en la definición de Riemann de integral definida, nos limitaremos a definir los rectángulos considerando la altura como el valor de la función en el extremo izquierdo (leftsum), en el extremo derecho (rightsum) y en el punto medio (middlesum) del subintervalo que
constituye su base.
Para calcular las sumas aproximantes, previamente hemos de cargar el paquete
with(student)
Vamos a aproximar el valor de la integral de la función y=f(x) en el intervalo [a,b] recubriendo el área encerrada en este intervalo con n rectángulos de igual base. Si tomamos sus alturas por el valor de la función en el extremo izquierdo del intervalo que determina su base, la
representación gráfica de la función y de estos rectángulos la obtenemos con la orden
leftbox ( f(x), x=a..b, n )
y el valor de la suma de sus áreas viene dada por
leftsum( f(x), x=a..b, n )
En el caso de tomar las alturas de los rectángulos por el valor de la función en el extremo derecho,
la representación y la suma viene dadas por las órdenes
rightbox ( f(x), x=a..b, n ) rightsum ( f(x), x=a..b, n )
Si nos vamos a basar en el punto medio, utilizaremos
middlebox( f(x), x=a..b, n ) middlesum( f(x), x=a..b, n) EJEMPLOS:
Tratemos de dar un valor aproximado de la integral
d ⌠ ⌡ 0 1 xcos 2( π xsin 2( π x)) x
con quince rectángulos. Aumentar el número de intervalos para deducir una aproximación del valor de la integral definida propuesta.
> with(student): leftbox(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15); leftsum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15) =evalf(leftsum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15)); rightbox(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15); rightsum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15) =evalf(rightsum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15)); middlebox(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15); middlesum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15) =evalf(middlesum(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1,15));
Para obtener el valor exacto de la integral, es decir, calcular el límite de las sumas anteriores
(siempre que converjan), usaremos la orden
int( f(x), x=a..b).
Por tanto, en el ejemplo anterior,
> Int(x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x)),x=0..1)=evalf(int(x*cos(2*Pi*x* sin(2*Pi*x)),x=0..1));
Nótese que la mejor aproximación al valor de la integral lo proporcionan las sumas basadas en el punto medio.
Métodos de integración numérica.
Las técnicas anteriores de recubrir por rectángulos son conocidas como métodos numéricos de
aproximación de la integral. Son especialmente útiles cuando no sabemos calcular una
primitiva de la función, o cuando no la conocemos completamente sino una muestra de sus valores, situación muy común en la práctica. En esta sección conoceremos dos métodos
numéricos de integración que no están basados en la suma de áreas de rectángulos, sino en otras figuras más adecuadas.
Supongamos que el intervalo de integración es [a,b] y hemos elegido una partición del intervalo en n+1 puntos {xi} equiespaciados
a = xo< x1<...< xn 1 − < xn = b Entonces, si h = b a −
n , cada punto puede representarse de la forma xk = a + k h, k= 0, 1,..., n
A esta colección de puntos se le denomina partición del intervalo [a,b]. Supongamos además que conocemos el valor de la función en cada uno de los puntos anteriores { yi = f (xi)}.
Regla Trapezoidal.
Para aproximar el valor de la integral de la función f(x) en el intervalo [a,b] podemos hacerlo sumando las áreas de los trapecios formados por los puntos del plano ( xi , 0 ), (xi 1 + , 0 ), (
xi 1 + , yi 1 + ) y ( xi , yi ), tal y como se muestra en la figura.
Obtenemos de esta forma la regla trapezoidal. Nótese que el área de cada trapecio es: (yi + yi 1 + )h
2
que hemos construido, obtenemos la fórmula para aproximar el valor de la integral de f: d ⌠ ⌡ a b ( ) f x x ≅ h = + + y0 2
∑
= i 1 − n 1 yi y n( ) 2 h + + ( ) f x0 2 ∑
= i 1 − n 1 ( ) f xi f x( n) 2 .Apliquemos este algoritmo al ejemplo anterior.
> restart; a:=0; b:=1;
f:=x->x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x));
#Seleccionamos un número de subintervalos n:=15;
h:=(b-a)/n;
El algoritmo de la Regla de los Trapecios es
> Int(f(x),x=a..b)=evalf(h*(f(a)/2+sum(f(a+i*h),i = 1 .. n-1)+f(b)/2));
Acotación del error: Si la derivada segunda de la función
f ''(x)
existe en el intervalo [a,b] y está acotada por M , esto es, | f ''(x) | < M en [a,b], entonces podemos dar una acotación del error entre el valor exacto de la integral y la aproximación dada por la regla trapezoidalError < M (b a − )
3
12 n2 .
Luego, podemos determinar el número de subintervalos mínimo para segurar una
aproximación con error menor que ε dado. Una vez calculada la cota M, podemos despejar n en:
M (b a − )3 12 n2 < ε y obtener así que
M (b a − )3 12ε < n
Estudiemos el número de subintervalos necesarios para asegurarnos una aproximación con un error inferior a ε =0.001.
> epsilon:=10^(-3);
Necesitamos acotar la derivada cuarta de la función. Procedemos como siempre hemos hecho, estudio de la representación gráfica de la derivada segunda en valor absoluto.
> # Acotación de la segunda derivada plot(abs((D@@2)(f)(x)),x=a..b); M:=abs((D@@2)(f)(b));
la aproximación de la integral con error inferior al error fijado ε
Primera Forma: Nosotros tenemos que determinar el valor de n > 'n'> sqrt(M*(b-a)^3/(12*epsilon));
> #Debes elegir el valor apropiado según la desigualdad anterior
n:= ;
> # Determinación de h h:=(b-a)/n;
Segunda Forma: Un algoritmo que nos da directamente el valor de n que debemos tomar > # Cálculo del número de subintervalos
error:=n->M*(b-a)^3/(12*n^2): n:=1:
aux:=evalf(error(n)): while epsilon < aux do n:=n+1:
aux:=evalf(error(n)): od:
`El número de subintervalos es: `.n; # Determinación de h
h:=(b-a)/n:
`El valor de h es: `.h;
Determinado el número de subintervalos necesarios n y la aplitud de cada subintervalo h, aplicamos la regla de los Trapecios para estos valores
> Int(f(x),x=a..b)=evalf(h*(f(a)/2+sum(f(a+i*h),i = 1 .. n-1)+f(b)/2));
Método de Simpson.
La idea es utilizar arcos de parábola para aproximar la curva en cada intervalo de la forma [
xi 1 − , xi 1 + ] que pasan por los puntos ( xi 1 − , yi 1 − ), ( xi , yi ) y ( xi 1 + , yi 1 + ), tal y como se muestra en la figura.
Entonces, la integral queda aproximada por la suma de las áreas encerradas debajo de cada parábola que es de la forma y = a x2 + + b x c. Si le imponemos que ha de pasar por los
puntos anteriores, teniendo en cuenta que xi 1 + = xi + h y que xi 1 − = xi − h, y calculamos en
área que encierra, obtenemos que es
h (4 yi + yi 1 − + yi 1 + ) 3
Si dividimos el intervalo en un número n par de subintervalos, podemos aproximar la integral por la suma del área que hay debajo de esas n
2 parábolas (téngase en cuenta que n lo hemos elegido par). De esta forma queda que
⌠⌡ d a b ( ) f x x ≅ h 3 ( y0 + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 + 4 y5 + 2 y6 + ··· + 2 yn 2 − + 4 yn 1 − + yn )
Apliquemos este algoritmo al ejemplo anterior.
> restart; a:=0; b:=1;
f:=x->x*cos(2*Pi*x*sin(2*Pi*x));
#Seleccionamos un número par de subintervalos n:=20;
h:=(b-a)/n;
El algoritmo del Método de Simpson para este número de subintervalos es
> Int(f(x),x=a..b)=evalf((h/3)*(f(a)+sum(4*f(a+(2*i-1)*h),i = 1..n/2)+sum(4*f(a+(2*i)*h),i = 1..n/2-1)+f(b)));
Acotación del error: Si la derivada cuarta de la función fiv(x) existe en el intervalo [a,b] y está acotada por M en el mismo intervalo ( | fiv(x) | < M ), entonces una acotación del error para el método de Simpson viene dado por
Error < M (b a − )
5
180 n4 .
Poodemos igualmente de aquí determinar el número de subintervalos mínimo n para segurar una aproximación con error menor que ε dado. Un vez calculada la cota M podemos
despejar n en: ( ) M b a − 5 180 n4 < ε y obtenemos que n > M(180b a − ε )5 14
Estudiemos el número de subintervalos necesarios para asegurarnos una aproximación con un error inferior a ε =0.001.
> epsilon:=10^(-3);
Necesitamos acotar la derivada cuarta de la función. Procedemos como siempre hemos hecho, estudio de la representación gráfica de la derivada en valor absoluto.
> # Acotación de la cuarta derivada plot(abs((D@@4)(f)(x)),x=a..b); M:=abs((D@@4)(f)(b));
Veamos ahora dos formas de determinar el número de subintervalos necesarios para obtener la aproximación de la integral con error inferior al error fijado ε
Primera Forma: Nosotros tenemos que determinar el valor de n > 'n'> (M(b-a)^5/(180*epsilon))^(1/4);
> #Debes elegir el valor apropiado según la desigualdad anterior
n:= ;
> # Determinación de h h:=(b-a)/n;
Segunda Forma: Un algoritmo que nos da directamente el valor de n que debemos tomar > error:=n->M*(b-a)^5/(180*n^4):
n:=1:
aux:=evalf(error(n)): while epsilon < aux do n:=n+1:
aux:=evalf(error(n)): od:
#Han de ser un número par de intervalos. if irem(n,2)=1 then
n:=n+1; fi;
`El número de subintervalos es: `.n; # Determinación de h
h:=(b-a)/n:
`El valor de h es: `.h;
Determinado el número de subintervalos necesarios n y la aplitud de cada subintervalo h, aplicamos el Método de Simpson para estos valores
> Int(f(x),x=a..b)=evalf((h/3)*(f(a)+sum(2*f(a+(2*i-1)*h),i = 1 .. n/2)+sum(4*f(a+(2*i)*h),i = 1 .. n/2-1)+f(b)));
Integrales impropias.
MAPLE trabaja con las integrales impropias considerándolas como cualquier otro tipo de integral definida. Dentro de las integrales impropias distinguiremos dos tipos:
1) Integrales con límites de integración infinitos: Los límites de integración son intervalos de la forma [ a , ∞ ), ( −∞ , a ] o ( −∞ , ∞ ).
2) Integrales de funciones discontinuas: La función dada es continua en todo el intervalo [a,b], a excepción de un número finito de puntos aislados llamados singulares.
También se pueden presentar combinaciones de estos dos tipos
1) Integrales con límites de integración infinitos
En primer lugar consideremos unaintegral impropia con límites infinitos. Representemos a continuación la función f(x) = 1
x2. ¿Qué área encierra esta curva en [1, ∞ ]?
> with(plots):
plot(1/x^2,x=1..infinity);
Una forma directa de calcular este área es:
> int(1/x^2,x=1..infinity);
¿Conocemos algún resultado teórico que nos permita justificar este hecho?
Dibujemos la función en [1, n] y aproximemos su integral por rectángulos de amplitud 1
n y
evaluados en el punto medio. ¿Qué ocurre con el valor de estas sumas cuando aumenta el valor de n? > with(student): > middlebox(1/x^2,x=1..10,10); middlesum(1/x^2,x=1..10,10)=evalf(middlesum(1/x^2,x=1..10,10) ); middlebox(1/x^2,x=1..50,50); middlesum(1/x^2,x=1..50,50)=evalf(middlesum(1/x^2,x=1..50,50) ); Page 8
middlebox(1/x^2,x=1..100,100);
middlesum(1/x^2,x=1..100,100)=evalf(middlesum(1/x^2,x=1..100, 100));
Luego vemos que crece hacia el valor de la integral. Este es el sentido de convergencia de la integral.
Tratemos de generalizar este resultado considerando la función y = 1
xa. El problema se plantea
para qué valores de a es convergente la integral de la funión en [1, ∞ ). Representemos la función para varios valores de a.
> plot({1/x,1/x^4,1/x^5},x=1..infinity,color=[red,black,blue]);
Calculemos el valor de la integral en función del parámetro a. Integregmos primero en [1, b], considerando que a es distinto de uno.
= d ⌠ ⌡ 1 b 1 xa x − b(1 a − ) 1 − 1 a
¿Qué ocurre con este valor a medida que aumenta b?. Simplemente hemos de estudiar el límite cuando b tiende a infinito y ver para qué valores de a es finito.
El parámetro b lo consideraremos para calcular el límite. Evidentemente hay que hacer un distinción entre los valores posibles de a. El caso a = 1 lo consideraremos después. Si a > 1 se tiene = lim → b ∞ b (1 a − ) 0 y si a < 1 = lim → b ∞ b (1 a − ) ∞
Por tanto, la integral converge para valores de a >1 y diverge para a <1. Esto confirma lo que ya vimos que ocurría con f x( ) = 1
x2.
Estudiemos ahora el caso a = 1, que equivale a estudiar la función f(x) = 1
x.
¿Qué área encierra esta curva en [1, ∞ )?
> with(plots): plot(1/x,x=1..infinity); > middlebox(1/x,x=1..10,10); middlesum(1/x,x=1..10,10)=evalf(middlesum(1/x,x=1..10,10)); middlebox(1/x,x=1..50,50); middlesum(1/x,x=1..50,50)=evalf(middlesum(1/x,x=1..50,50)); middlebox(1/x,x=1..100,100); middlesum(1/x,x=1..100,100)=evalf(middlesum(1/x,x=1..100,100) );
Aunque la gráfica no parece muy distinta de la anterior, si somos cuidadosos podremos notar cómo parece aplanarse menos que la de 1
x2.
¿Sabemos qué área encierra?
> Int(1/x,x=1..10)=int(1/x,x=1..10); Int(1/x,x=1..100)=int(1/x,x=1..100); Int(1/x,x=1..1000)=int(1/x,x=1..1000); Int(1/x,x=1..10000)=int(1/x,x=1..10000); Int(1/x,x=1..100000)=int(1/x,x=1..100000); Int(1/x,x=1..1000000)=int(1/x,x=1..1000000);
Luego, el área que encierra cada vez va aumentando más y más, intuimos que la integral es divergente
> Int(1/x,x=1..infinity)=int(1/x,x=1..infinity); 2) Integrales de funciones discontinuas
Estudiemos ahora un ejemplo de integral impropia en la que la función a integrar es discontinua en el intervalo de integración.
Sea f x( ) = 1
x e intentemos calcular el área que encierra debajo.
> with(plots):
plot(1/sqrt(x),x=0..1);
Es una función parecida al caso anterior. Presenta una discontinuidad en el origen. Calculemos la integral entre [b,1], considerando b cada vez más próximo a cero.
> Int(1/sqrt(x),x=0.1..1)=int(1/sqrt(x),x=0.1..1); Int(1/sqrt(x),x=0.01..1)=int(1/sqrt(x),x=0.01..1); Int(1/sqrt(x),x=0.001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.001..1); Int(1/sqrt(x),x=0.0001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.0001..1); Int(1/sqrt(x),x=0.00001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.00001..1); Int(1/sqrt(x),x=0.000001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.000001..1); Int(1/sqrt(x),x=0.0000001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.0000001..1); Int(1/sqrt(x),x=0.00000001..1)=int(1/sqrt(x),x=0.00000001..1) ;
Véase que el valor de la integral se aproxima a 2.
> Int(1/sqrt(x),x=0..1)=int(1/sqrt(x),x=0..1);
Al igual que hicimos antes podemos generalizar el tipo de funciones f x( ) = 1
xa y ver para qué
valores de a es convergente. Representemos la función para varios valores de a.
> plot({1/x^(0.9),1/x,1/x^(1.1)},x=0..1,color=[red,black,blue]) ;
Calculemos el valor de la integral, dependiente del parámetro a. Integregmos primero en [b, 0], considerando que a es distinto de uno.
= d ⌠ ⌡ b 1 1 xa x − 1 b(1 a − ) − 1 a
¿Qué ocurre con este valor a medida que aumenta b?. En el caso de a = 1
2 teníamos que era finito, pero ¿para el resto? Simplemente hemos de considerar el límite cuando b tiende a cero y
ver para qué valores es finito. El parámetro b lo consideraremos para calcular el límite. Evidentemente hay que hacer un distinción entre los valores posibles de a.
El caso a = 1 lo consideraremos después. Si a < 1 se tiene = lim → + b 0 b(1 a − ) 0 y si a > 1 = lim → + b 0 b(1 a − ) ∞
Por tanto, la integral converge para valores de a <1 y diverge para a >1. Esto confirma lo visto para f x( ) = 1
x.
Estudiemos ahora el caso a = 1, que de nuevo nos lleva ala función f(x) = 1
x.
¿Qué área encierra esta curva entre [0,1]?
> with(plots): plot(1/x,x=0..1);
Veamos unas cuantas aproximaciones de la integral. Veámoslo también gráficamente.
> middlebox(1/x,x=0.1..1,10); middlesum(1/x,x=0.1..1,10)=evalf(middlesum(1/x,x=0.1..1,10)); middlebox(1/x,x=0.01..1,100); middlesum(1/x,x=0.01..1,100)=evalf(middlesum(1/x,x=0.001..1,1 00)); middlebox(1/x,x=0.001..1,1000); middlesum(1/x,x=0.001..1,1000)=evalf(middlesum(1/x,x=0.0001.. 1,1000));
La integral realmente diverge
> Int(1/x,x=0..1)=int(1/x,x=0..1); >
