4ºA ESO - REFUERZO DE VERANO MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

4ºA ESO - REFUERZO DE VERANO

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

INSTRUCCIONES PARA SU REALIZACIÓN

 Organiza tu trabajo poco a poco.

 Debes presentar este trabajo el día del examen matemáticas en septiembre a tu profesor del curso.

 Copia los enunciados de los ejercicios y su resolución en folios aparte.

 Sé ordenad@ y meticulos@ con tu presentación.

 Este documento es un complemento al trabajo realizado durante todo el curso, que se refleja en las hojas de ejercicios y en los deberes del libro que han sido realizados durante el mismo. Esto se traduce en que no debes basarte únicamente en este refuerzo para preparar la prueba de septiembre.

 Para conseguir el refuerzo, puedes descargártelo de la página web del colegio, www.oviedo.fesd.es en el icono REFUERZOS DE VERANO.

EXAMEN DE LA CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE

El examen de la convocatoria de Septiembre consistirá en una prueba escrita que versará sobre los contenidos impartidos durante el curso. El alumno/a deberá examinarse únicamente de las evaluaciones que tenga suspensas.

OBTENCIÓN DE LA CALIFICACIÓN FINAL

El examen de la convocatoria de Septiembre se obtendrá de la suma de la nota del examen (con un peso del 90%) y la nota del trabajo (con un peso del 10%). Superará la asignatura si su calificación es de 5 o superior.

En Oviedo, a 24 de Junio de 2020 El profesor de la asignatura

FICHA 01: NÚMEROS REALES. INTERVALOS. POTENCIAS Y RAÍCES 1. Realiza las siguientes operaciones, simplificando el resultado:

a) b)

c) d)

e) f)

2. Clasifica en su conjunto numérico mínimo:

; -3´21111... ; ; ; -2´25 ; ; ; 3. Calcula exactamente:

a) 1,1555…+ 1,151515… + 1,15 b) 32,555… - 3,252525… - 0,325325325… 4. Expresa en forma de intervalo y representa:

a) 3 £ x < 11 b) -4 < x c) -2 < x < 1 d ) x ³ 5 e) – 8 £ x £ - 4 f) x < - 1 5. Expresa en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:

a) (-2, 0) b) [3, 11) c) (-¥, 4] d) [-6, 3] e) (2,+¥)

6. El Uranio 238 tarda 1,4·1017 _{segundos en desintegrarse. ¿Cuántos siglos son esos} segundos? Expresa el resultado en notación científica.

7. El valor aproximado de la masa de la Tierra es 5,98·1024 _{Kg y la masa del Sol 1,98·10}30 _Kg ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra?

8. El cabello humano crece, más o menos, un centímetro en un mes. Calcula la velocidad de crecimiento del cabello humano, expresando el resultado en km/h.

9. El peso estimado de nuestra galaxia es de 2,2 Kg ; y el peso estimado del Sol es 1,989 Kg. ¿Cuántos soles harían falta para conseguir el peso de nuestra galaxia? 10. Simplifica utilizando las propiedades de las potencias, transformando las potencias de

forma que las bases sean números primos. Expresa el resultado con exponentes positivos.

a) b) c) d)

11. Realiza las operaciones indicadas a continuación, empleando las propiedades de las potencias:

a) 35_·27_·34_·2-4_·3-8 _b)43_·25_·58_·(4·5)10 _{c) d)} 12. Extrae factores de estas expresiones radicales:

a) b) c) 2 5 ) 4 3 ( 3 1 1 2 1 3 3 2 _{- -} 2_× -× -3 1 2 2 3 3 3 4 2 1 1 + ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ -× -3 2 1 1 4 2 5 1 1 0 2 × ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ ₊ = × × + -÷ ø ö ç è æ -9 6 6 9 : 2 2 3 2 1 3 3 2 1 2 ÷ ø ö ç è æ -ú ú û ù ê ê ë é + ÷ ø ö ç è æ -× -3 1 6 5 : 6 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 ú û ù ê ë é ₊ ÷ ø ö ç è æ -ú ú û ù ê ê ë é -÷ ø ö ç è æ + × + -0 1 3 3 2 1 : 3 3 2 3 1 2 1 1 16 - _3×10-3 3 ₆₄ 3 4 p 15 41

10

×

30

10

×

15 45 75 5 5 3 2 0 × ×

-( )

12 3 4 9 8 2 1 2 2 0 2 5 6 -- -× × × × 3 1 2 2

54

15

20

32

-×

×

3 5 20 400 50 10 -× × 3 5 3 5 2 · 2 5 · 5 2 - -÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ 2 2 3 2 3 10 : 10 3 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ø ö ç è æ -3375 675 3 ₃₅₁

d) e) f) 13. Opera y simplifica:

a) b)

c) d)

e) f)

14. Expresa en un único signo radical, sin exponentes negativos ni fraccionarios y extrayendo al máximo: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 15. Racionaliza y simplifica: a) b) c) d) e) f) 16. Calcula: a) b) c)

17. Realiza los cálculos indicados a continuación. Recuerda que los resultados deben estar simplificados y racionalizados: a) b) c) d) e) 18. Racionaliza y simplifica: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

19. Utilizando las propiedades de las potencias simplifica las siguientes expresiones:

4 ₈₇₅₀ 5 _x11_*y7_*z8 ₄ 8 4 6 9 5 q p z y x × × × 18 180 2 1 98 2 20- + - 3 2 1 20 3 3 125 5 1 _{- +} -80 3 2 125 45 5 - - 4 _{25- 80+3}6₁₂₅ 4₁₄₄ 3 147 18 50 2 - + + 147 2 18 2 1 50 4 12 2 - +

-( )

₌ 6 5 3 3 3 3 3

( )

5 5 5 4 3 5 6 2_× 3 6 2 2 16×

( )

(

2 32

)

2 3 3 5 3 × = 3 _x5 _x3 18 24 32 5 6 4 × 24 36 8 6 5 3 × = 3 2 3 2 a a a a 5 5 1 3 7 2 2 7 7 2 ÷÷ ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ × -12 4 3 5 3 3 5 5 3_× 3 3 7 + -2 1 5 + 2 3 5 3 - 2 3 3 2 6 -= + -3 2 2 2 2 3 = -+ -- 2 3 1 2 3 1 2 3 7

(

5-3

) (

× 5+3

)

(

3 7-5 2

) (

× 2 7 +3 2

)

(

₂₊₁

)

_×3 ₂₄ 12 3 5000 5 4 135 3 3 3 _{- +} 1024 16 32 8_×4 _×3 30 125 8 27 3 3 3 _{× ×} 3 3 3 125 125 125×

(

_{3 2}

) (

2 _{3 2}

)

2 ₁ + -+ 125 5 8 8 3 ₂₅ 15 a a 3 _b2 b 2 4 2 - 5 1 16 - 27 1 10 + x y xy 2 2

a) b) c) d) e) f) g) h) (Sol: a) b) c) d) e) 2-3_{× 3}-3 _{f) g) h) )} 20. Efectúa y simplifica: (Sol: a) 1/3 b) 0 ) 21. Expresa en forma exponencial y simplifica cuando sea posible:

a) b) c) d) e) f)

22. Saca del radical los factores que sea posible:

a) b) c) d) e) f) 23. Calcula y simplifica: a) b) c) d) e) 24. Racionaliza: a) b) c) d) e) f) g) h)

25. Racionalizar y simplificar si es posible

a) b) (Sol: a) b) c) ) 3 3 2 2 3 ) 9 ( 6 3 ) 4 ( 2 -× × -× 2 5 1 2 4 3 9 8 ) 2 ( 9 3 ) 4 ( 2 × × × -× × -× --

( )

2 2 1 2 3 b a b b a 2 1 -× × × 4 2 1 5 12 10 3 6 2 ÷ ø ö ç è æ × ÷ ø ö ç è æ × ÷ ø ö ç è æ - -

(

)

3 2 3 2 1 3 8 3 2 -× × ₂1 2 3 4 3 3 4 1 2 1 b a b b a -× × ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ

( )

(

)

₄ 1 3 2 -÷ ø ö ç è æ - 3 ₂ 3 ₄ 2 ) 20 ( 15 ) 9 ( ) 8 ( ) 5 ( -× -× -× -7 3 4 2 -5 3 2 2 5 3 2 2 ×- = -- a×b4 2 5 3 3 10 2 × 2 b 3 a 2 b 3 a × - = 212 2×36×5 2 3 27 2 a) b) 48-2 12 7 53 425 3 22 43 5 43 2 3_·3·5 2 120 3144 464·a3·b4 72·a5·b3·c 45·x·y6

( )

3 _{2 3}2 ·b a 34

( )

123 2 3 4₁₀₀ ÷÷ ø ö çç è æ 3₄ 8 5 1 2 3 6 2 3₂ 3 2 1 1 - 6 2 3 + 5 2 5 - 2 3 4 + 1 2 2 2 + 3 2 2 2 + + 5 6 5 6 c) -+ 7 2 4 -7 2 4+ 30 2 11+

FICHA 02: LOGARITMOS

1. Calcula el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo: c) (Sol: a) 6 b) 4 c) 81) 2. Utilizando la definición de logaritmo, calcula:

a) (Sol: 25/3)

b) (Sol: -3/2)

3. Indica si es verdadero o falso razonando tu respuesta: log 1000x = 3 log x

4. Sabiendo que log 2 = 0,3010, calcula (sin utilizar la calculadora): (Sol:-1,0178)

5. Escribe mediante un solo logaritmo:

3 a + x - b + 3 c - 4 3 (Sol: )

6. Si sabemos que log x = 0,85, calcula (Sol: 5,567) 7. Calcula el valor de “x” en cada una de estas expresiones:

a) b) c) d) e)

8. Calcula el valor del término desconocido de cada una de estas igualdades:

a) b) c) d) e)

9. Calcula el valor de “x” para que las igualdades se cumplan: a) b) c) d)

10. Calcula el valor del término desconocido que permite que las igualdades sean ciertas: a) b) c) d)

11. Calcula el resultado de estas operaciones sin usar la calculadora:

a) log 100 – 2 · log5 25 + log2 512 -1 b) log3 27 + log5 625 – log2 0,25 – log 0,001 c) 5 · log x + log x3 _{– 3 ·log + 1 d) 3 · log + 10 · log - log}

12. Calcula el valor de “x” en cada una de estas igualdades algebraicas:

a) b) x 64 log a) ₂ = b) log_x64=3 log₃ x=4 25 1 log 81 log 32 log 3 ₅ 3 2 + -1 log 27 log 8 1 log₂ + ₃ - ₄ 4 3 3 2 z y x log z log 3 y log 4 3 x log 2 - + = 8 02 , 0 log 3 3 log 2 1 3 log 3 2 3

log log₃ log₃

4 3 3 2_b 3 c x 3 a 3 og l × × × 1000 x log x 100 log - 3 125 log5 = x x=log3729 x=log10000 5 22 log = x 2 55 log = x 3 8

logx = logx1024=5 logx100=2 logx0,01=-2 logx0.01=-1 1 log3 x= log2x=8 1024 1 log4 x= logx=0,1 64 log 2x= _{4 x}2 ₌log₄256 _{log 36 2} 2x = log 125 3 2 = x 3 _x 3 _{x x} 5 _2x 3 2 log log log log logX + A= B- C -2 2 log log log 2 log C A X B + =

-FICHA 03: POLINOMIOS 1. Opera y simplifica: a. 2 (x2 _{– x – 1) – (x – 2) (4x – 6)} b. 6x3 _{– 3x (4 – 2x – x}2_{) + 5x (x – 3)} c. (2x – 3)2 _{+ (1 – x) (x + 1) – (3x}2 _{+ 2x – 5)} d. e.

2. Halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones: a. (2x3 _{– 7x}2 _{– 13x) : (2x + 3)}

b. (2x4 _{– 3x}3 _{+ 6x – 8) : (x}2 _{– 2)} c. (5x

4 _{– 2x}3 _{+ 3x – 1) : (x}2 _{– 2x + 3)} d. (2x4 _{+ 6x}3 _{– 5x}2 _{– 10x + 2) : (2x}2 _{– 4)} 3. Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a. (5x3 _{+ 4x}2 _{– 3x – 1) : (x – 2)} b. (2x3 _{– 3x}2 _{– 11x + 2) : (x – 3)} c. (x4 _{– 5x}2 _{+ x – 2) : (x + 2)} d. (3x4 _{+ x}3 _{– 4x – 7) : (x + 3)} e. (3x5 _{– 15x}4 _{– x}2 _{– x + 30) : (x – 5)} 4. Justitifica tu respuesta:

a. Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(2), P(5), P(-3) en el polinomio P(x) = 2x3 _– 4x2 _{+ 3x – 5.}

b. El polinomio P(x) = 4x4 _{– 3x}2 _{+ 12x + 8 ¿es divisible por x + 2?}

c. Comprueba si x = 2, x = -1, x = -4 son raíces del polinomio P(x) = x3 _{+ 4x}2 _{– 2x – 8.} 5. Saca factor común cuando sea posible y utiliza las identidades notables para factorizar

estos polinomios: a. 9x5 _{– 6x}4 _{+ x}3 b. 5x3 _{– 5x} c. 4x4 _{– 12x² + 9} d. 3x² + 30x + 75 e. 9x3 _{+ 24x}2 _{+ 16x} 6. Descompón factorialmente los siguientes polinomios:

a. 2x2 _{+ 4x – 6} b. 2x2 _{+ 7x – 4} c. x3 _{+ 2x}2 _{– x – 2} d. 2x4 _{– 6x}3 _{– 6x}2 e. x3 _{– 2x}2 _{– 5x + 6} f. 2x4 _{– 5x}3 _{– x}2 _{+ 6x} g. x4 _{– 3x}3 _{– 19x}2 _{+ 27x + 90} h. x5 _{– x}4 _{– x}3 _{– x}2 _{– 2x} 7. Opera y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) b) c) d) e) f) 8. Opera y simplifica: a) b) c) d) e) f) 2 (x 2 _{- 3x + 1) - (-5x + 2) · (-2x}2 _{+ 5) = g)} h) i) j) k)

9. Descomponer en factores los polinomios siguientes:

A(x)=2x3 _{– 5x}2 _{-2x +5 B(x)=3x}4 _{- 3x C(x)=x}4_{- 2x}2 _{– 3 D(x)=x}3 _{+ 5x}2 _{– x – 5} 3 ) 2 ( 4 ) 1 4 ( 2 ) 2 ( 3 x x x x x - _{- - +} -2 ) 2 )( 2 ( 4 ) 3 2 ( 3 ) 1 (x+ 2- x+ + x- x+ 1 1 2 1 + -x x x 1 1 1 4 3 2 2_- - -+ x x x x x 1 1 1 2- + + - x x x 3 3 9 1 2 2_- + ₊ + x x x 4 2 2 2 3 2 -× + x x x x x 2 1 : 1 2 4 -+ - x x x

(

5 -7

) (

2 - 5 -7

)

(

-2 3 +7 -5

)

= x x x x 3 1

(

)

2 1 2 2 2 2 2 x + - x × x +x

-(

)

3

(

2

)

2 1 2 1 2 _÷- 3 ₊ 2 ₊ ø ö ç è æ ₊ -× - x x x x x 2 5 2 3 1 ÷ ø ö ç è æ_{- - x} 2 2 1 5 3 ÷ ø ö ç è æ _x -2 2 2 2 + æ è ç ö ø ÷×æ_èç - ö ø ÷ x x 2 2 2 ÷ø ö ç è æx₊ 2 2 2 1 ÷ ø ö ç è æ - x ÷ ø ö ç è æ -× ÷ ø ö ç è æ ₊ 3 1 2 3 1 2 x x æ_{- +} è ç ö ø ÷ 1 2 3 2 x

10. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de P(x), Q(x) y R(x): P(x) = x3 _{+ x}2 _{– x – 1 Q(x) = x}3 _{– x}2 _{– x + 1 R(x) = x}4 _{– 1}

11. Calcula el valor de K para que el polinomio 3x4 _{+ Kx}3 _{– 3x + K sea divisible entre x+1} 12. Efectúa las siguientes divisiones:

a) b)

c) : d)

13. Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini:

a) b) c)

14. Calcula k para que al dividir entre tenga de resto 10

15. Halla el valor de “m” para que el polinomio P(x) = , tenga por resto –13 al dividirlo entre x + 3.

16. Calcula el valor de “m” para que el polinomio P(x) = - x 2_{- (m+1) x + 8 sea divisible por} x+2.

17. Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4 _{- 7x} 3_{- m x + 2 para que al dividirlo entre} x+2 tenga de resto - 40.

18. Calcula el valor de “m” del polinomio P(x) = x 4 _{- m x} 2 _{+ 3x - 2 para que sea divisible por} x+2.

19. Halla el valor de k para que la división sea exacta.

20. Halla el valor de a para que el polinomio P(x) = x3 _{– 2ax + 8 sea divisible por x+2.} 21. Factoriza y calcula la raíces del polinomio:

a) P(x) = x 3_{- x} 2_{- 5x - 3 b)} c) P(x) = d) e) f) P(x) = x 4 _{+ 3x} 3 _{- x} 2_{- 3x} g) P(x) = x 3_{- 6x} 2 _{- x + 30 h) P(x) = 6x}3 _{+ 5x}2 _{– 3x – 2} i) Q(x) = 2x4 _{– 10x}2 _j) k) l) m) n) ñ) P(x) = 4x3 _{+ 8x}2 _{+ x - 3 o)} 22. Calcula en m.c.m. y el M.C.D. de los polinomios:

a) x 3 _{- 9x , x} 2 _{- 6x + 9 , x} 2 _{- 3x b) x} 3 _{- 4x , x} 2 _{+ 4x + 4 , x} 2 _+2x 23. Opera y simplifica el resultado:

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(

_x4_-5_x3₊11_x2_-12_x+6

) (

: _x2 _-x+2

)

(

_6x4_-x3_+2x2_+3x-14

) (

_{: 2x}2 _-3x+7

)

(

_x4 _-x3 ₊3_x2 _-2_x+2

)

(

_x2₊₂

)

(

)

2 3 : 1 2 1 3 2 4 _{÷ - +} ø ö ç è æ_{x - x + x x} ) 2 ( : ) 1 3 (_x4 _{- x+ x- (3x}5 _+2x+1):(x+1)

(

)

÷ ø ö ç è æ ₊ -+ 2 1 : 2 2 3 _{x x} x

1

2

2 4

_-

_x

₊

_kx

₊

x

x+2 4 x 12 mx 2 x3 ₊ 2 _{- +}

-(

2_x3 _-kx+3

)

:

(

_x+3

)

6 13 6 3 2 ) (_{x = x}4 _{+ x}3 _{- x}2 _{- x} -P -3 + 3 2 2 x x _P(_x)_{= x}4 _-2_x3 _-3_x2 ₊4_x+4 18 6 16 8 ) (_{x = x}3 _{- x}2 _{- x+} q 2 4 ₉ 3 ) (x x x p = -6 4 6 4 ) (_{x = x}3 _{- x}2 _{- x+} q _p(_x)₌4_x3 _-16_x2 ₊13_x-3 2 6 ₄₈ 3 ) (x x x p = - P₍x₎= x4 -x3 -x2 +x 12 8 3 2 ) (_{x = x}3 _{- x}2 _{- x+} P 2 3 1 2 1 3 2 2 _{- +} -+ x x x x x x x x x x x x 3 1 1 2 3 _- -+ -4 4 3 2 2 6 6 2 + -+ + + -+ -x x x x x x x 2 3 1 2- _- - 2 _{- +} - x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 2 2 + -+ -+ -+ x x x x x x ÷ ø ö ç è æ -× ÷ ø ö ç è æ -+ + 1 1 1 2 1 1 2 _x x x x ÷ ø ö ç è æ -+ × ÷ ø ö ç è æ ₊ × ÷ ø ö ç è æ - 1 1 1 1 1 x x x x x ÷÷_ø ö çç è æ _{- -} -× ÷ ø ö ç è æ + -× ÷ ø ö ç è æ -+ x x x x x x x 2 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x 5 6 3 : 8 2 4 4 2 2 -+ -+ +

FICHA 04: ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Resuelve las ecuaciones de primer grado:

a) b)

c) d) e)

2. Resuelve las ecuaciones de segundo grado que proponemos a continuación.

a) b)

c) d)

3. Resuelve las ecuaciones siguientes. No olvides señalar al final las soluciones:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p) q) r) s) t) u) v)3 - 12x2 _{= 0 w)} x) y) z)

4. Resuelve las ecuaciones siguientes. No olvides señalar al final las soluciones:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

(

) (

)

3 1 1 5 3 2 3 5× - x + x- =x- -x 2 3 4 1 2 1 5 x _÷÷=x- -x ø ö çç è æ ÷ ø ö ç è æ -×

-(

x 4

)

5

(

10 3x

)

3× - = × -x x 7 15 10 3 7 2 -=

(

)

1 1 5 2 4 3 ₊ -+ × = x x

(

_-1

)

₊2_×

(

2 _-10

)

₊9_=-9 × x x x 2_×

(

_x2_-3

) (

₊5_{× x}2 _-10

)

₊4₌1 16 9 3 2 x x x x x ₌ -+ 2-x-x=0 x x x- = + 3 6 2 9_x4 _-6_x2 ₊1₌0 _{2x+1+1= x} 5 2 1 2 2 _{- x- = x} -x x

(

x-3

)(

x+2

)

=-6 _x4 _-7_x2 _-18₌0

(

)

₁ 2 5 14 9 2 + = -x _x+5+1=x 0 10 3 2 4 _{+ x - =} x

(

)

_{9 0} 4 2 2 = -+ x 5 1 3x- x- = 2_x4 _-5_x2 ₌2_x2 ₊4 x x- = + 3 6 2 9_x4 _-6_x2 ₊1₌0 10 3 3 1 1 ₌ + -x x

(

)

_{9 0} 4 2 2 _{- =} + x _{2 2-x+x=-1} 5 2 1 2 2 _{- x- = x} -x x2 4 -4=0 2x+1+1= x

2

+

3

x

-

6

=

x

0 18 7 2 4 _{- x - =} x 3 2 6 5 4 2 = - x x 0 4 9 2 3 3 2 2 _{- =} ÷ ø ö ç è æ x _{+ 2x-2 + 3x = 11 x}5 _-10x3_+9x=0 x x x 3 10 3 2 + - = + 6 1 6 2 3 4 2 15 ₌ -÷ ø ö ç è æ -+ - x x x x 3 2 3 ) 3 ( 2 2_- - × ₌ -x x x x

₍

₎

1 x 3 x 2 3 x 2 3 1 -x _- + _{= - +} 1 6 1 6 2 1 2 5 3 2 2 _- = -+ -x x x x x x 3 2 3 ) 3 ( 2 2_- - × ₌ -- x x _x x

(

) (

)

(

)

3 1 2 6 5 2 1 1 × + _- - ₌ + - x x x x

₉

1

x

9

1

x

2

2

_-

-

₊

=

-1 x 1 1 x 1 x 1 x x 2 3 2 -= -+ 3 1 2 6 2 5 2 _- = + -+ -x x x x x x

5. Resuelve las ecuaciones polinómicas:

a) x5 _{- 26x}3 _{+ 25x = 0 b) x}3 _-2x2 _{– 5x + 6 = 0 c) x}2 _{+ 3x – 4 = 0 d) x}3 _{- x}2 _{– 4x +2 = 0} 6. Resuelve las ecuaciones bicuadradas:

a) x4 _{- 8x}2 _{– 9 = 0 b) x}4 _{– 25x}2 _{+ 144 = 0 c) 9x}4 _{- 5x}2 _{– 4 = 0} d) 36x4 _{– 13x}2 _{+ 36 = 0 e) x}4 _{– 13x}2 _{+ 36 = 0}

7. Resuelve las ecuaciones irracionales:

a) b) c) d)

8. Resuelve las ecuaciones exponenciales:

a) 2x _{+ 2}x+1 _{+ 2}x-1 _{- 2}2x-3 _{= 10 - 2}x _{b) 7}x _{– 7}x-2 _{= 1 c) 3}x _{– 9}x _{= 1 d)} 9. Resuelve las ecuaciones logarítmicas:

a) – log x + log x2 _{= - 0,25 b) log x – 5 = -log x}2 _{+ 96 c) logx + 3 logx = 5log x + 3} d) 5 log x + 0,5 log x = 1 – log x

10. Resuelve las ecuaciones:

a. (Sol: x = 4) b. (Sol: x = 6 ) c. (Sol: x = 1, x = 3) d. (Sol: x = 2) e. (Sol: x = 0) f. (Sol: x = 3) g. (Sol: x = 2) h. (Sol: x = 1, x = -2) i. (Sol: x = 10)

j. 2× log x + log 10 = 1 + log (10x -9) (Sol: x = 1, x = 9)

k. (Sol: x = 1)

l. log (x +1) = 2 log 2 + log x - log (3 - x) (Sol: x = 1) m.log (6x -1) - log (x + 4) = log x (Sol: x = 1)

n. 3× log x - log 30 = log (Sol: x = 6)

o. (Sol: x = -1) p. (Sol: x = 3) 2 1 2 16 2 x x=- + + 9-x =x-3 11₊ x2 _-5x₊1₌2x _{x- x+3=-3} 25 124 5 1 5x - _x+1 = 243 3 9× x-1 = x x 3 1 x 4 64 2 8 _{= ×} -( ) ₁₅ 5 3× x-22 = 0 44 4 4 4x + x-1- x+1+ = 25 31 5 5 5x + x+1+ x+2 = 2352 49 7x+1- = 18 3 32x-1- x = 9 28 3 1 3 1 x x _{+ =} + x log 2 100 log x 10 log =

-(

x 1

)

log

( )

2x log 2 log 2 + - = 5 x2 32 log ) 3 x ( log 5 ₂ + = ₂ x log ) 3 x 2 ( log 2 1 _{+ =}

11. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales:

a) b) c)

12. Resuelve los sistemas de ecuaciones no lineales:

a) b) c) d)

e) f) (Sol: x = 3, y = 1; x = 2, y = -1)

g) h) i)

j) k)

l)

13. Resuelve los siguientes sistemas exponenciales y logarítmicos:

a) b) c)

d) e)

14. Resuelve y representa gráficamente:

a) b) c)

15. Dos pares de zapatos y tres pares de deportivas cuestan 170€. Me han hecho un descuento del 25% en los zapatos y del 20% en las deportivas, así que sólo he pagado 132€ por todo. ¿Qué costaba cada par?

16. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 2 cm más que el otro y la hipotenusa mide 2 cm más que el cateto mayor. Calcula la longitud de los tres lados del triángulo. 17. En un triángulo isósceles la altura mide 2 cm más que la base. Sabiendo que el área es

de 60 cm2_{, halla la medida de los lados.}

18. Se tiene un cuadrado cuyo lado es 3 cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 149 cm2 _{de área, calcula el área de cada uno de ellos.}

ï ï î ïï í ì = -= + -10 33 10 1 5 3 2 6 11 6 2 y x y x x ïî ï í ì = -= + 25 1 6 5 2 3 7 4 2 . y x x y x ï ï î ïï í ì = -+ = -12 31 4 3 4 3 5 22 5 3 2 y x y y x x ï ï î ïï í ì -= × -× = + 6 11 2 5 3 2 6 5 2 3 y x y x ï ï î ïï í ì = + = × 3 4 3 1 y x y x ïî ï í ì = + = 14 2 5 y x y x î í ì = × = -4 2 4 2 y x x î í ì = + -= × 1 1 y x y x ïî ï í ì = -+ = + + 0 5 y x 2 1 x y x 2

(

)

ï ï þ ï ï ý ü = -+ -= + -2 3 2 x y 3 y x 1 3 1 x 1 y 2 ï ï î ïï í ì = -= + -+ 1 4 1 2 8 2 3 1 2 6 3 3 3 y x y x ï ï î ïï í ì -= -= + -+ 1 8 2 3 4 1 2 1 3 3 2 6 3 y x y x î í ì = + = + -5 0 3 2 2 _y x y x î í ì = × = + 9 6 y x y x

(

)

(

)

î í ì = + = + -+ -3 2 0 6 2 4 2 3 2 y x y x ï î ï í ì = + = 5 3 3 2 y log x log y x log ïî ï í ì + = -= + 3 2 2 2 75 2 2 log log y log x log y x ï î ï í ì = + = 5 3 3 2 y log x log y x log ï î ï í ì = = -+ 2 2 2 5 y x log ) y x log( ) y x log( ïî ï í ì = -× = × + × -+ 339 6 5 15 807 6 2 5 3 1 1 y x y x î í ì = -= + 2 3 5 3 y x y x ïî ï í ì = -= -5 2 2 5 2 , y x y x ïî ï í ì = -= -14 2 3 7 2 9 y x y x

19. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2500 € y los vende, después de algún tiempo, por 2157,5 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada objeto?

20. En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5 ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?

21. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si a los tres segmentos les añadimos una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Hallar dicha longitud.

22. El número de animales de una granja es 9000 entre conejos y gallinas. Tienen sobrepeso 4000 animales, que son el 35 % de los conejos y el 60 % de las gallinas. Calcular el número de conejos y gallinas de la granja.

23. En un triángulo rectángulo el lado mayor es 4 cm mas largo que el mediano, el cual, a su vez es 4 cm mas largo que el pequeño. Calcula la longitud de sus lados.

24. Marta quiere hacer el marco de un cuadro con un listón de madera de 2 metros sin que sobre ni falte madera. Si el cuadro es rectangular y tiene una superficie de 24 dm2_{, ¿de} qué longitud deben ser los trozos que debe cortar?

25. Se quiere aprovechar un antiguo estanque circular de 13 metros de diámetro para convertirlo en una piscina rectangular, de forma que un lado tenga 7 metros más que el otro y que la diagonal del rectángulo coincida con el diámetro del estanque. ¿Cuáles serían las dimensiones de la piscina?

FICHA 05: INECUACIONES

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) b)

2. Resuelve las siguientes inecuaciones: a. 2 (x – 3) + 4x £ 3 – (2 – 5x) b. x2 _{+ 5x – 2 > 4x + x (x – 1) + 10} c.

d.

3. Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c) d)

4. Halla la solución gráfica de los siguientes sistemas:

a) b) c)

d) e) f)

5. Resuelve los siguientes inecuaciones de expresión racional: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(

)

_÷ ø ö ç è æ ₊ -< -2 1 x 1 x 4 2 1 x 3 3 1 x 1 2 1 x- £ - + 2 3 6 5-x£x+x ) 2 3 ( 2 3 1 3 2x- x+ > x -ï ï þ ï ï ý ü + ³ + -£ -+ x x x x x 6 1 3 1 2 1 ) 3 ( ) 2 ( 2 2 ïî ï í ì £ -+ -< + -15 4 ) 2 ( 3 2 3 5 3 2 6 1 -2x x x x x ï ï þ ï ï ý ü + -> + -£ + -3 1 1 6 1 3 2 1 2 7 ) 3 ( 2 2 x x x x x x x

₍

_{) (}

₎

ïî ï í ì + -> + -£ + -6 1 5 3 1 2 3 2 1 2 1 2 2 x x x x x î í ì < -> + 8 y 2 x 4 y x 2 î í ì £ + > -30 y 10 x 5 1 y x 2 î í ì > -£ + 1 3 2 2 3 y x y x î í ì £ + < -x y x y x x 3 4 4 ) ( 2 3 þ ý ü < + ³ -2 3 3 2 y x y x þ ý ü < -³ + 0 3 3 8 2 y x y x

(

)

₀ 4 3 _³ -+ x x 0 5 6 2 _³ -+ x x 0 6 3 8 _< -x x 0 2 2_< + -x x 0 4 3_< + x x

( ) (

)

₀ 4 3 2 1 2₊ ³ -× -x x x 0 3 4 5 _< -+ x x 0 5 14 2 _³ + -x x ₀ 6 3 6 2 2 > + -x x x x

FICHA 06: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

1. Sabiendo que sen 25º = 0,42, halla, sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora, las razones trigonométricas de 155º y de 205º

2. Si sena = 0,35 y 0 < a < 90, halla ,sin calculadora: a) sen (180 -a) b) cos (180 + a) 3. Si y sen a < 0, ¿a qué cuadrante pertenece a?. Calcula el seno y el coseno de

a. (Sin calcular el ángulo). (Sol: 3º, sen a = -5/13, cos a = -12/13)

4. Mirando un mapa topográfico averiguamos que las cotas de las cimas de dos montes son de 567 m y 648 m respectivamente. Desde el más bajo de los dos, se ve la cima del otro bajo un ángulo de 12º, ¿cuál es la distancia (en línea recta) que separa las dos cimas? (Sol: 389,59 m)

5. Desde el punto medio de la distancia entre dos torres A y B, se ven los puntos más altos de cada uno, bajo ángulos de 30º y 60º respectivamente. Si A tiene una altura de 40 m, halla la altura de B y la distancia entre ambas torres. (Solución: 120 m; 138,56 m) 6. Se quiere montar un tendido eléctrico como el señalado en el dibujo. Necesitamos saber

cuántos metros de cable son necesarios para conectar B y C y salvar el barranco. Para ello sólo conocemos la distancia entre las torres A y B, que es de 200 m; con ayuda de un goniómetro, desde el punto A, medimos el ángulo que forma la visual a C con la horizontal: 30º. Repitiendo la medida en B, el ángulo que forma ahora la visual a C con la horizontal es de 60º. ¿Cuántos metros de cable se necesitan para unir B y C? (Solución: 200 m)

7. La chimenea de una fábrica mide 10 m y está situada sobre el tejado del edificio. Nos situamos frente a éste, a una cierta distancia. Desde ahí, se observa la base de la chimenea bajo un ángulo de 53º y su extremo superior bajo un ángulo de 63º. ¿A qué distancia estamos del edificio? ¿Cuál es su altura total?

8. Determina la altura de un árbol si desde un punto situado a una cierta distancia de su base se observa su copa con un ángulo de 65º, y si nos alejamos 100 metros se ve la copa con un ángulo de 54º

9. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero, como indica la figura. Calcula:

a. La altura de la antena b. La longitud de los cables

c. El valor del ángulo

12 5 taga= Bˆ A B C 126 m  = 30º

10. Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:

a. ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? b. ¿Qué distancia separa ambas

casas?

11. Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25º. Calcula la altura del árbol y la anchura de río.

12. Resuelve los siguientes apartados:

a. Si cos = 1/2 ; calcula sen y tg b. Si sen = 4/5; calcula cos y tg

13. Demuestra las siguientes razones trigonométricas:

a. cosa tga = sena b. sena seca = tga c. sena cotga = cosa d. sena tga + cosa = seca e. coseca - sena = cotga cosa f. = coseca - cotga g. (sena + cosa)2 _{+ (sena - cosa)}2 _{= 2} h. (sena + coseca)2 _{= sen}2_{a + cotg}2_{a + 3}

i.

j.

k. cos4_{a - sen}4_{a +1= 2 cos}2_a l. sec4_{a - sec}2_{a = tg}4_{a - tg}2_a

m. = sena

n. (seca + cosa) (seca - cosa) = tg2_{a + sen}2_a

o. cotg4_{a + cotg}2_{a = cosec}4_{a + cosec}2_a p. (1+ tg2_{a) cos}2_{a = 1}

q. sen2_{a + sen}2_{a tg}2_{a = tg}2_a r. sec2_{a + cosec}2_{a = sec}2_{a cosec}2_a s. tga + cotga = seca coseca t. (1 + cotg2_{a) sen}2_{a = 1} u. cos4_{a - sen}4_{a - 2 cos}2_{a= -1}

v. sen3_{a cosa + cos}3_{a sena = sena cosa} w.

x.

y. =

z. sen2_{a cos}2_{a + cos}4_{a = cos}2_a

aa. Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ a a cos 1 cos 1 + -a a a a a _2cosec sen cos 1 cos 1 sen = + + + a a a a cos tg g cot ec cos ₌ + a a 2 2 tg 1 tg + a a a a a ec cos 2 sen cos 1 cos 1 sen + ₌ + + a a a a cosec cos 1 sen g cot = + + ) sen 1 )( sen 1 ( - a + a a sec 1 a a a a a a cos sen tg c 1 sen tg 1 cos + = -+

-14. Sabiendo que , halla el resto de las razones trigonométricas. 15. Sabiendo que , halla el resto de las razones trigonométricas. 16. Sabiendo que , halla el resto de las razones trigonométricas. 17. Simplifica: Solución: 0

18. Simplifica: Solución: sen x 19. Simplifica: Solución: 3 2 = a sen 4 3 cosa = 4 5 = a tg x x tg x x cos cos cos 1 _{- -} 2 _× senx x x)(1 cos ) cos 1 ( - + a a a a 3 3 cos cos sen sen -- _a tg

FICHA 07: VECTORES EN EL PLANO

1. Dados los siguientes vectores calcula gráficamente , ,

2. Dados los vectores y = (-2, 2) referidos a una base ortonormal, Calcula: a. (Sol: -6)

b. 2 (Sol: -12) c. ( + )× (Sol: 2)

d. Calcula el valor de m para que el vector sea unitario. (Sol: ) 3. Calcula un vector unitario y perpendicular a = (8, -6). (Sol: (3/5, 4/5) o (-3/5, -4/5)) 4. Halla las componentes del vector libre , siendo A(2, -3) y B(-5, 9). (Sol (-7, 12)) 5. Dados los vectores = (2, -1) y = (3, 3), calcula:

a. (Sol: 3) b. | | (Sol: ) c. | + | (Sol: d. cos (Sol: )

6. Halla el valor de x para que los vectores y sean paralelos. (Sol: x = -16/3)

7. Dados los vectores e , halla los valores de a y b para que e sean perpendiculares y que .

8. Dado el vector , halla:

a. El ángulo que forma con (Sol: )

b. El valor de k para que sea perpendicular (Sol k = 3/2)

b a!+ a-b 2a+ 2 b ) 2 , 1 ( u!= - v! × u! v! × u! v! u! v! v! ÷ ø ö ç è æ = ,m 3 1 u! 3 2 2 ± u! AB u! v! × u! v! u ! 5 u ! _v! 29

( )

u!,v! 10 10 ) 8 , 6 ( u! = - v! =(4,x) ) 1 , a ( x= ! _y! _{=(-2,b) x}! _y! 2 2 y = ! ÷÷ ø ö çç è æ þ ý ü = = þ ý ü -= -= 2 b 1 a y 2 b 1 a : Sol 2 2 1 1 ) 4 , 3 ( u!=

-(

2, 1

)

v= - 153º26¢6¢¢

( )

2,k w= u!

FICHA 08: RECTAS

1. Escribe todas las ecuaciones de la recta que:

a. Pasa por el punto A(1,3) y es paralela a la recta: .

b. Pasa por el punto B(2,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por P(1,0) y Q(-2,3) 2. Estudia la posición relativa de las dos rectas siguientes, hallando el punto de intersección

si se cortan: ,

3. Calcula el valor de k para que la recta r de ecuación 2x - (k + 1)y - 4 = 0 pase por el punto (1, 1). (Sol: k = -3)

4. Calcula el valor de a para que las rectas r: 2x + ay = 3 y s: 3x + 5y = 1 sean rectas paralelas. (Sol: a = 10/3)

5. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P(3, -2) y es perpendicular a la recta 2x - y + 4 = 0. (Sol: )

6. Halla la ecuación continua de la recta que pasa por P (1, 2) y por el punto de corte de las rectas: x - 2y + 3 = 0 , 2 x + y + 1 = 0. Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en el paso anterior, con 2x - 4y +1 = 0.

7. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = -2x + 3, y = 4x + 1. (Sol: ) 8. Dadas las rectas r: 3x + 4y - 1 = 0 y s: 4x - 3y + 2 = 0, calcula el ángulo que forman. . (Sol:

90º)

9. Averigua en cada caso, la ecuación general de la recta paralela y de la recta perpendicular a r que pasa por el punto (1, 3):

a. r: 3x - 2y + 4 = 0 (Sol: 3x - 2y + 3 = 0; 2x + 3y - 11 = 0) b. r: (Sol: x - 3y + 8 = 0; 3x + y - 6 = 0) c. y = -2x + 3 (Sol: 2x + y - 5 = 0; x - 2y + 5 = 0)

10. Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y s: x + 3y - 2 = 0.

11. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x - 4y + 1 = 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3.

12. Dados los puntos P(0, -4), Q(2, -5) y la recta r: -3x + y + 1 = 0, halla la distancia: a. Entre P y Q

b. De Q a r.

13. Halla el área del triángulo de vértices A(4, 0), B(2, 3) y C(0, -2). (Sol: 8 u2 ₎ 14. Halla el área que encierra la recta 3x + 4y - 12 = 0 con los ejes de coordenadas. 15. Averigua cual es el valor de m para que los puntos A(1, 0), B(4, -1), C(m, 2) estén

alineados. (Sol: m = -5)

16. Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1, -3) y B(2, 0). 17. Dados los puntos A(-2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y distan dos unidades

de B. 0 1 2x+y- = î í ì + = -= º l l 2 1 y x r 3 2 y x sº + = î í ì -= + = t 2 y t 2 3 x : r 5 6 3 40 ¢ ¢¢ = a ! 2 4 y 6 2 x- ₌ -÷ ÷ ø ö ç ç è æ 10 10 3 : Sol