Lección 5: Factorización de Trinomios Cuadráticos de la forma ax 2 + bx + c con a 1. Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009

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Lección 5: Factorización de

Trinomios Cuadráticos de la

forma ax

2

+ bx + c con a≠1

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009 ©

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Objetivos de la Lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

• Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma

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Introducción

• En la lección anterior estudiamos trinomios cuadráticos de la forma ax2 + bx + c donde a = 1.

• En esta lección estudiaremos trinomios cuadráticos donde a ≠ 1, como los siguientes:

3x2 _{+ x - 18}

15x2 _{- 6x - 10}

8x2 _{+ 2xy + 27y}2

6x2 + 15xy + 8y2

• Para factorizar este tipo de trinomios cuadráticos

usaremos el mismo método que aplicamos en la lección anterior.

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Proceso para factorizar

Tinomios Cuadráticos

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Pasos a seguir para factorizar

Trinomios Cuadráticos

1. Buscar dos factores del primer término: ( 3x . _x₎

2. Buscar dos factores del tercer término:( -5 . 1) ó (5 . -1)

3. Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término:

(3x . ₅_{) + (}_x. _-1_{) =}_15x ₊_-x ₌_14x

(3x . -5) + (x . 1) = -15x + x = -14x

(3x . _-1_{) + (}_x. ₅_{) = -}_3x ₊_5x ₌_2x

(3x . ₁_{) + (}_x. _-5_{) =}_3x ₊_-5x ₌_-2x

3x2 _{- 2x - 5}

Observa que la última combinación de factores es la que produce el término del medio: -2x

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12x2 + 23x + 10 1 2 3 8x 3 23x + 3x 4x 2 5 3 15x 12x2 _{+ 23x + 10 = (3x + 2) (4x + 5)}

Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer término.

Paso 2: Buscar dos factores del tercer término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

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3x2 + 10x – 8 1 2 3 -2x 3 10x + 3x x -2 4 3 12x 3x2 _{+ 10x – 8 = (3x – 2) (x + 4)}

Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

Paso 1: Buscar dos

Paso 3: Buscar la

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Reflexión

• Recuerda que al tantear las combinaciones de

posibles factores debes considerar los signos de los términos del polinomio.

• En el ejemplo anterior, 3x2 + 10x – 8, al tantear otras posibilidades tenemos:

3x2 + 10x – 8 3x2 + 10x – 8 3x2 + 10x – 8

3x -8 -8x 3x 8 8x 3x 2 2x x 1 + 3x x -1 + -3x x -4 + -12x

-5x 5x -10x

• Observa que ninguna de estas posibilidades nos

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30x2 + 23xy – 11y2 1 2 3 33xy 23xy + 10x 3x 11y -y 3 -10xy

30x2 _{+ 23xy – 11y}2 _{= (10x + 11y) (3x – y)}

Ejemplo 3: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( ₎

Paso 1: Buscar dos

Paso 3: Buscar la

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6x2 _{+ 23xy + 20y}2 3 15xy 5 23xy 1 2x 3x 2 5y 4y 4 8xy +

6x2 _{+ 23xy + 20y}2 _{= (2x + 5y) (3x + 4y)}

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Ejemplo 5: Factoriza:

• Este polinomio no es un trinomio cuadrático,

sin embargo puede factorizarse por factor común.

• El factor común es 3x4.

• Sacamos el factor común y tenemos:

18x6 _{– 57x}5 _{+ 30x}4 _{= 3x}4_(6x2 _{– 19x + 10)}

• Ahora podemos factorizar el polinomio que

está dentro del paréntesis ya que éste es un trinomio cuadrático.

• Veamos…

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6x2 – 19x + 10 1 2 3 -4x 3 -19x + 3x 2x -2 -5 3 -15x 18x6 – 57x5 + 30x4 = 3x4 (3x – 2) (2x – 5 )

Ejemplo 5: Factoriza:

( ) ( ₎ 18x6 – 57x5 + 30x4 = 3x4(6x2 – 19x + 10) 18x6 – 57x5 + 30x4 Factorizando el trinomio cuadrático tenemos:

Recuerda que debemos añadir el factor común que habíamos sacado previamente. Así que la factorización final es: Sacamos factor común primero y tenemos:

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5x2 + 3x + 2 1 2 3 2x 3 7x + 5x x 2 1 3 5x

Ejemplo 6: Factoriza:

5x2 + 3x + 2 Al tratar esta combinación de factores no obtenemos el término del medio así que

tratamos otra

posibilidad. Veamos en la próxima pantalla.

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5x2 + 3x + 2 1 2 3 x 3 11x + 5x x 1 2 3 10x 5x2 + 3x + 2 = Polinomio Primo

Ejemplo 6: Factoriza:

5x2 + 3x + 2

Al tratar esta otra posibilidad tampoco obtenemos el término del medio. Como no hay ninguna otra posibilidad, decimos que este

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Instrucciones

• Factoriza completamente los polinomios a continuación en tu libreta.

• Después de hacer el ejercicio, haz clic para ver resultados.

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Factoriza Completamente:

3x2 _{- 6x - 72 =}

3x2 _{- 13x + 10 =} 8x2 _{- 51x + 18 =} 6x2 - 11xy – 10y2 =

Se saca el 3 como factor común

primero y obtenemos: 3 (x - 6) (x + 4) (3x - 10) (x - 1)

(8x - 3) (x - 6)

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Factoriza Completamente:

2x2 _{- 5x – 12 =} 2x2 _{+ 6x + 5 =} 12x2 _{- 19xy + 5y}2 ₌ 24x2 + 60x – 36 = (2x + 3) (x - 4) No se puede factorizar (4x - 5y) (3x - y) 12 (2x - 1) (x + 3)