Curso de nivelación Estadística y Matemática

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Curso de nivelación Estadística y Matemática

Pruebas de hipótesis, Mínimos Cuadrados Ordinarios y Modelos

ARIMA

Luis Diego Fernández Gómez Programa Técnico en Riesgo, 2017

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Agenda

1 Pruebas de Hipótesis 2 Medidas de Asociación

Asociación

Medidas de asociación para variables intervalo y razón

3 Modelo de Regresión

Regresión Lineal Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios Medidas de Bondad de Ajuste

4 Modelo de series de tiempo

Componentes de una serie de tiempo Estadísticos importantes

Estacionariedad

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Pasos para realizar una prueba de hipótesis

Prueba de hipotesis

Enuncia laH₀ y la H₁, además del nivel de signicancia (α).

Seleccionar el estadístico de prueba apropiado y calcular el valor del estadístico de prueba de los datos muestrales. Establecer la región crítica (cálcule los grados de libertad si es el caso).

Tome la decisión.

Si el valor del estadístico de prueba cae en la región crítica o si el P-value es menor que el nivel de signicancia, rechazar laH₀.

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Agenda

Asociación

Medidas de asociación para variables intervalo y razón 3 Modelo de Regresión

Regresión Lineal Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios Medidas de Bondad de Ajuste 4 Modelo de series de tiempo

Estacionariedad

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Asociación

¾Qué es la asociación?

Es la relación entre dos variables. Existe una relación entre dos variables si los valores de una variable tienden a ocurrir con más frecuencia con ciertos valores de otra variable. Busca medir la fuerza o intensidad de la relación.

Para determinar la medida de asociación a calcular se debe determinar primero el nivel de medición de las dos variables en estudio.

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Ejemplos medidas de Asociación

Si tenemos variables nominales

Clasicación Urbana Rural Total Fila (total marginal)

Por encima del promedio Promedio

Frecuencia Conjunta Por debajo del promedio

Total columna (total marginal)

Si tenemos variables de intervalo o razón

ρ=cov(X,Y) σXσY

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Agenda

Asociación

Medidas de asociación para variables intervalo y razón

3 Modelo de Regresión Regresión Lineal Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios Medidas de Bondad de Ajuste 4 Modelo de series de tiempo

Estacionariedad

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Correlación de Pearson

Pasos

Primero realizar un gráco de dispersión.

Para determinar la existencia o no de la relación entre las variables.

Análizar la forma o patrón de la relación, aquí repasaremos la relación lineal

Dirección de la relación.

Luego se debe calcular el coeciente de correlación de Pearson: Cuanticar la relación lineal entre las variables

Siρ=1, existe una asoción lineal positiva.

Siρ=−1, existe una asoción lineal negativa.

Siρ=0, no hay relación lineal pero puede existir una

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Correlación de Pearson

Pasos ρX,Y = ∑nx=1 Xi−X Yi−Y (n−1)σXσY

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Agenda

Asociación

Regresión Lineal Simple

Mínimos Cuadrados Ordinarios Medidas de Bondad de Ajuste 4 Modelo de series de tiempo

Estacionariedad

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Regresión lineal simple

El modelo de regresión se basa en métodos estadísticos para estimar relaciones teoricas y poner a prueba estas teorías así como poner en práctica algunas conclusiones.

Es importante determinar si la relación entre las variables son deterministicas o estocásticas (aleatorias).

Serie estocástica una parte conocida (sistemática) susceptible de predecir y de una parte totalmente desconocida (aleatoria). Serie determinística el futuro se puede predecir sin error. Es una variable que está determinada o ja y que no cambia de una muestra a otra.

Ejemplo

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Regresión lineal simple

Datos muestrales

Yi= ˆβ₀+ ˆβ₁Xi+εi Yi = ˆYi+εi

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Agenda

Asociación

Regresión Lineal Simple

Mínimos Cuadrados Ordinarios

Medidas de Bondad de Ajuste 4 Modelo de series de tiempo

Estacionariedad

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Míminos Cuadrados Ordinarios

¾Qué son los mínimos cuadrados ordinarios?

Se basa en la idea de determinar una recta que se ajuste a los datos muestrales mejor que cualquier otra recta.

Por lo tanto, busca mínimizar el error al cuadrado de los datos. MCO n

∑

i=1 Yi−Yˆi =εi n

∑

i=1 Yi−Yˆi 2 =⇒m´ınima n

∑

i=1 Yi−βˆ₀−βˆ₁Xi 2 =⇒m´ınima

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Míminos Cuadrados Ordinarios

Modelo Simple ˆ β₀= ¯Y−βˆ₁X¯ ˆ β₁=Cov(X,Y) Var(X) Modelo Múltiple ˆ β = X0X−1X0Y

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Supuestos MCO

Supuestos de especicación y forma La variable X (explicativa) está dada.

No correlación entre el término de error y las variables explicativas.

El modelo esta bien especicado. Lineal en los parámetros.

Supuestos sobre el residuo No autocorrelación. Homocedasticidad. Normalidad.

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Agenda

Asociación

Regresión Lineal Simple Mínimos Cuadrados Ordinarios

Medidas de Bondad de Ajuste

4 Modelo de series de tiempo

Estacionariedad

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Error estándar de la estimación

Medida del grado de dispersión de los valores deYi alrededor

de la recta de regresión Fórmula Se = v u u t∑ Yi−Yiˆ 2 n−k

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Coeciente de Determinación

Mide que parte de la variabilidad total de la variable dependiente es explicada por el modelo.

Fórmula R2=SCE SCR R2= (correlacion´ )2=Cov(Y,X) 2 σ_x2σ_y2

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Limitaciones

Algunas limitaciones

No pueden determinar relaciones Causa-Efecto.

Problema cuando dos variables no relacionadas parecen presentar alguna relación (Correlación espurea).

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Agenda

Asociación

Componentes de una serie de tiempo

Estadísticos importantes Estacionariedad

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Series de tiempo

Qué es una serie de tiempo?

Las series de tiempo son colecciones de observaciones sobre un determinado fenómeno efectuadas en sucesivos momentos del tiempo, usualmente equiespaciados. Corresponde a una realización de un proceso generador de datos.

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Series de tiempo

Tendencia (T): Es un movimiento de larga duración que se mantiene durante todo el período de observación.

Movimientos cíclicos (C): Son oscilaciones alrededor de la tendencia producidos por periodos alternativos de prosperidad y depresión.

Variación estacional (E): Son los movimientos que se producen dentro del año y que se repiten de un año a otro. Se observa en algunas series de periodicidad mayor al año

(mensual, trimestral, semanal, etc).

Movimientos irregulares (I): Son las oscilaciones erráticas o accidentales que obedecen a variadas causas. No siguen ningún patrón (son impredecibles).

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Agenda

Asociación

Estadísticos importantes

Estacionariedad

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Estadísticos

Autocorrelación

La correlación entreYt y Yt−k se conoce como autocorrelación de

ordenk y se denota como ρk. (rk es el estimador muestral). Yt−k

se le conoce como rezagadak periodos. rk =∑

n−k

t=1(Yt−Y¯)(Yt−k−Y¯) ∑nt=1(Yt−Y¯)2

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Estadísticos

Autocorrelación parcial

La correlación parcial mide el grado de asociación entreYt y Yt−k,

cuando el efecto de otros rezagos es removido. La correlación parcial es calculada mediante una ecuación de regresión, donde los coecientes de los rezagos de Y representan la correlación parcial, del siguiente modo

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Agenda

Asociación

Estacionariedad

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Qué es la estacionariedad?

Estacionariedad

Se dice que el proceso está en equilibrio estadístico alrededor de un valor medio.

La distribución de probabilidad es común e invariante en el tiempo:

La media es única (local y global) y representativa de todo el período analizado.

La varianza es constante y nita.

La función de autocorrelación decae rápidamente en el tiempo. Un shock en un momento dado tiene efecto en el corto plazo.

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Agenda

Asociación

Estacionariedad

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Qué tipos de modelos se pueden utilizar

Ar(p) Yt=c+φ₁Yt−₁+φ₂Yt−₂+...+φpYt−p+εt Ma(q) Yt=c+θ1εt−₁+θ₂εt−₂+...+θqεt−q+εt Arma(p,q) Yt=c+φ₁Yt−₁+...+φpYt−p+θ₁εt−₁+...+θqεt−q+εt

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Pronóstico

Autoselección del modelo

Existen diversos algorítmos que permiten determinar el orden más adecuado para un modelo ARIMA, en nuestro caso se utiliza el siguiente cómando: Ejemplo auto.arima(x,d=NA,D=NA, max.p=5,max.q=5,max.P=2,max.Q=2, max.order=5,max.d=2,max.D=1,start.p=2, start.q=2,start.P=1,start.Q=1, stationary=FALSE,seasonal=TRUE)

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Bibliografía

Woodridge, J.

Introducción a la Econometría. Thomson Learning, 2001.

Maddala, G.

Introducción a la Econometría

Prentice Hall, 1996.

Woodridge, J.

EconometricAnalysis of Cross Section And Panel Data. MIT

press, 2010.

Webster L., Allen

Estadística aplicada a los negocios y la economía