Tarea Número 4. MA0501 Análisis Numérico I Prof: Oldemar Rodríguez Rojas Fecha de entrega: Viernes 14 de octubre del 2014.

(1)

MA0501 An´alisis Num´erico I Prof: Oldemar Rodr´ıguez Rojas

Fecha de entrega: Viernes 14 de octubre del 2014.

Tarea N´

umero 4

1. Desarrolle funciones iterativas y recursivas en Mathematica para los algoritmos de los métodos de: iteración de punto fijo, bisección, método de Newton–Raphson, método de la secante y el método de Steffensen vistos en clase, y el método Regula–Falsi que se describe en el ejercicio 9.

2. Use el procedimientoBisecci´onpara resolver las siguientes ecuaciones, con por lo menos 5 d´ıgitos signi-ficativos. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamente_Mathematica.

a) cos2(x) = 2 sin(x) para 0≤x≤1.

b) −x3₊_x_{+ 1 = 0} _{para 1}_≤_x_≤_2.

Para cada una de las ecuaciones anteriores, de acuerdo con los teoremas de error vistos en clase, calcule el número de iteraciones necesarias para obtener la precisión pedida, compare éstos resultados con los obtenidos conMathematica.

3. Use el procedimientoBisecci´onpara resolver las siguientes ecuaciones, con por lo menos 4 d´ıgitos signi-ficativos. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamente_Mathematica.

a) ex_{+ 4}_x₋_{5 = 0.}

b) x4₋₂_x₋_{1 = 0.}

Determine gr´aficamente un intervalo inicial [a, b], cona, b∈_Z.

4. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinese el intervalo [a, b] en el cual la iteración de punto fijo converge. Estime el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con 5 d´ıgitos sig-nificativos, y efectue los cálculos con el procedimientoPuntoFijo. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamenteMathematica.

a) e−x₋_x_{= 0.}

b) ex= 3x.

5. Repita el ejercicio anterior usando el m´etodo de Steffensen.

6. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a, b] en el cual la iteración de punto fijo converja a una solución positiva de la ecuación, debe probar queg(x) cumple las hipótesis del teorema de Banach. Encuentre ésta solución usando el procedimientoPuntoFijo. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamente_Mathematica.

a) 3x2−ex= 0.

b) x−cos(x) = 0.

a) Considere la ecuaci´onx2_−x−_{2 = 0, encuentre una funci´}_on_g₍_x_{) que permita resolver ´}_{esta ecuaci´}_{on en}

el intervalo [0,7] utilizando el algoritmo delPunto Fijo. Debe probarse queg(x) cumple la hip´otesis del teorema visto en clase.

b) Determine usando el estimado del error a priori y a posterioricu´antas iteraciones se requieren para que el error absoluto sea menor a = 10−6 si se tomap0= 0.

7. Use el procedimientoNewtonpara resolver las siguientes ecuaciones, con por lo menos 4 d´ıgitos significa-tivos. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamente_Mathematica.

a) cos(x)−x2_{= 0.} b) 4 sin(x) =ex_.

(2)

9. Método Regula Falsi: Este es otro método para encontrar una ra´ız de la ecuación f(x) = 0 que se encuentra en el intervalo [a, b]. El método es similar a el de la bisección en que se generan intervalos [ai, bi] encerrando la ra´ız de f(x) = 0 y es similar al método de la secante en la forma de obtener los nuevos intervalos aproximados.

Suponiendo que el intervalo [ai, bi] contiene una ra´ız def(x) = 0, calculamos la intersecci´on con el ejex y la recta que pasa por los puntos (ai, f(ai)) y (bi, f(bi)), denotando ´este punto porpi. Sif(pi)f(ai)<0, se defineai+1=ai ybi+1=pi, en caso contrario se defineai+1=pi ybi+1=bi.

a) Dé una interpretación geométrica del método Regula Falsi con ayuda del siguiente gráfico

? -6 ai bi (ai, f(ai)) (bi, f(bi)) l l l l l l l l l l l l l l l l pi

b) C´alcule la ecuaci´on de la recta que pasa por (ai, f(ai)) y (bi, f(bi)).

c) Pruebe que:

pi=

aif(bi)−bif(ai)

f(bi)−f(ai)

d) Escriba un algoritmo en pseudocódigo para el métodoRegula Falsi. e) Escriba una función enMathematicapara éste algoritmo.

10. Use el método de Regula Falsi para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones con 6 d´ıgitos significativos, determine el intervalo inicial gráficamente. Compare los resultados con los que se obtienen usando directamenteMathematica.

a) log(1 +x)−x2_{= 0.} b) x3+ 2x−1 = 0.

11. Pruebe que la sucesi´on construida por:

xn+1=    1 sin= 0 a+ (m−1)xm n mxmn−1 sin≥1 converge a m√_a_{, con}_{a >}_0.

12. Demuestre que las siguientes sucesiones (xn) convergen linealmente ax= 0. Encuentre cu´antos t´erminos deben generarse antes de que|xn−x| ≤5×10−2.

a) xn= 1 n n≥0. b) xn= 1 n2 n≥0.

(3)

13. Demuestre que la sucesi´on definida por xn = 1/nk, n ≥ 1, para cualquier entero positivo k, converge linealmente ax= 0. Para cada par de enteroskym, determinar un n´umeroNpara el cual 1/Nk <10−m.

14. Demostrar que la sucesi´onxn= 10−2

n

converge cuadr´aticamente a cero.

15. Para la siguientes sucesiones (xn), linealmente convergentes, use el m´etodo ∆2 de Aitken para generar una sucesi´on (xn) hasta que|xn−x| ≤5×10−2.

a) xn= 1 n n≥0. b) xn= 1 n2 n≥0.

16. Un conocido método numérico para minimizar funciones estrictamente unimodales (una función f que decrece estrictamente (que crece estrictamente) hasta su punto m´ınimo, (máximo) se llama la función estrictamente unimodal) en un intervalo [a, b] es el Método Igualmente Espaciado, la idea geométrica de éste se ilustra en el siguiente gráfico:

-6 ? x1 x2 _b a f(x2) f(x1) 6 intervalo descartado p

Se tomaa1=ayb1=by adem´as:

x1:= 2a+b

3 , x2:=

a+ 2b

3 Entonces, como se ilustra en el gr´afico:

Sif(x1)> f(x2) entonces se toma:

a2=x1, b2=b1, p1=a2

y entonces el nuevo intervalo es [a2, b2] = [x1, b1] =

2a1+b1

3 , b1

. en caso contrario se toma:

a2=a1, b2=x2, p1=b2

y entonces el nuevo intervalo es [a2, b2] = [a1, x2] =

a1,a1+2b1

3

Con el nuevo intervalo se aplica el proceso de nuevo, y as´ı sucesivamente hasta queanybn est´en suficien-temente cerca. La sucesi´on (pn) converge al punto pdondef alcanza el m´ınimo.

a) De acuerdo con lo anterior pruebe que x1< x2.

b) Construya un algoritmo en pseudocódigo y la correspondiente funciónMathematicapara el método Igualmente Espaciado descrito anteriormente.

(4)

c) Pruebe que el intervalo construido con el algoritmo anterior satisface la relaci´on: |bn−an| ≤ ₂ 3 n (b−a)

¿Qu´e se puede concluir, respecto al error absoluto?

d) ¿Cu´antas iteraciones se requieren te´oricamente para minimizarf(x) =x4−4x3+ 3x2 en el intervalo [1,4] si se desea que el resultado tenga un error absoluto menor a 10−5? Encuentre el m´ınimo.

17. En este ejercicio se presenta el Método Dicotómico para minimizar funciones estrictamente unimodales. En este método primeramente se evalua la funciónf(x) en dos puntos que están a una distancia deε/2 del punto medio del intervalo [a, b], es decir se calculan:

f _a₊_b₋_ε 2 y f _a₊_b₊_ε 2 , y se procede a compararlos. Si a) f _a₊_b −ε 2 ≤ f _a₊_b₊_ε 2 ,

entonces se descarta el intervalo a+₂b+ε, b y as´ı el punto m´ınimo x? debe estar en el intervalo

a,a+₂b+ε, el cual ser´a el nuevo intervalo de b´usqueda. Si

f _a₊_b −ε 2 > f _a₊_b₊_ε 2 ,

entonces se descarta el intervaloa,a+₂b−εy en este caso el punto m´ınimox?debe estar en el intervalo de b´usquedaa+₂b−ε, b. Pruebe que en cualquiera de los casos la longitud del intervalo de b´usqueda se reduce deb−aa b−a₂+ε.

b) Suponga que se tiene el caso

f _a₊_b₋_ε 2 ≤ f _a₊_b₊_ε 2 ,

entonces se descarta el intervaloa+b+ε

2 , b

, y el nuevo intervalo de b´usqueda es

a,a+₂b+ε . Ahora se debe calcular f ₃_a₊_b₋_ε 4 y f ₃_a₊_b_{+ 3}_ε 4 ,

y surgen de nuevo dos posibilidades, si

f ₃_a₊_b₋_ε 4 ≤ f ₃_a₊_b_{+ 3}_ε 4 ,

entonces se descarta el intervalo3a+₄b+3ε,a+₂b+εy el nuevo intervalo de búsqueda esa,3a+₄b+3ε. En el otro caso se descarta el intervaloa,3a+₄b−εy el nuevo intervalo de búsqueda es3a+₄b−ε,a+₂b+ε. Pruebe que en cualesquiera de los casos la longitud del intervalo de búsqueda se reduce de b−a+ε

2 a

b−a+3ε

4 .

c) Repitiendo el procesonveces deben calcularse

f ₍₂n₋₁₎_a₊_b₋_ε 2n y f ₍₂n₋₁₎_a₊_b_{+ (2}n₋₁₎_ε 2n ,

pruebe que en cualquiera de los dos casos que surgen la longitud del intervalo de b´usqueda es

b−a+ (2n₋₁₎_ε

(5)

Con lo cual, sixn representa lan−´esima aproximaci´on del punto m´ınimox? entonces, pruebe que:

|x?−xn| ≤

b−a+ (2n₋₁₎_ε

2n .

El proceso se ilustra en la Figuras 1 y 2.

Figura 1 a u b u a+b 2 ε z }| { | {z }

N uevo intervalo de incertidumbre longitudb−a+ε

2 Rechazado z }| { u a+b−ε 2 f(a+₂b−ε) u u a+b+ε 2 f(a+₂b+ε) u u Figura 2 a u a+b+ε 4 u 3a+b+ε 4 ε z }| { | {z }

N uevo intervalo de incertidumbre longitudb−a+3ε

4 Rechazado z }| { u 3a+b−ε 4 f(3a+₄b−ε) u u 3a+b+3ε 4 f(3a+₄b+3ε) u u

d) Construya un algoritmo en pseudocódigo y la correspondiente funciónMathematicapara elMétodo Dicotómico descrito anteriormente.

e) ¿Cu´antas iteraciones se requieren te´oricamente para minimizarf(x) =x4₋₄_x3_{+ 3}_x2 _{en el intervalo}

[1,4] si se desea que el resultado tenga un error absoluto menor a 10−5? Encuentre el m´ınimo.

18. El objetivo de este ejercicio es demostrar la convergencia del m´etodo de Newton–Raphson sin utilizar el Teorema de punto fijo de Banach.

Teorema: Seaf ∈C2_[_{a, b}_{]. Si}_x_∈_[_{a, b}_{] con}_f₍_x_{) = 0 y}_f0₍_x₎₆_{= 0, entonces existe}_>_{0 tal que el m´}_etodo

de Newton–Raphson:

xn+1:=xn−

f(xn)

f0₍_x_n)

genera una sucesi´on que est´a bien definida y converge axcuandon→ ∞, para todox0∈[x−, x+].

Para esto haga lo siguiente:

a) Pruebe que si (rn)n≥0 es una sucesi´on de n´umeros positivos o nulos que verifican:

(6)

Pruebe que si r0<1 entonces (rn) converge a 0. Adem´as pruebe que: rn ≤(r0)2 n . b) Pruebe que: xn+1−x= (xn−x)f0(xn)−f(xn) +f(x) f0₍_x_n) . (1)

c) Pruebe que existen n´umeros estrictamente positivos 1yM tales que:

para todoy∈[x−1, x+1] se tiene que |f0(y)| ≥M.

d) Justifique por qu´e:

m´ax y∈[x−1,x+1]

|f00(y)|:=L <∞.

e) Pruebe que el valor absoluto de la parte derecha del numerador de la ecuaci´on (1) es igual a:

Z x xn f00(t)(x−t)dt . (2)

f) Pruebe que (2) est´a acotado por:

L

2 |xn−x|

2 .

g) Pruebe que si se definern:=

L|xn−x| 2M entonces rn+1≤r 2 n. h) Sea < m´ın 1, 2M L

, pruebe que si |xn−x| < entonces use la parte (a) para probar que

|xn+1−x|< y concluya el resultado.

19. Demuestre que en el caso de ceros de multiplidadmelM´etodo de Newton Modificado xn+1=xn−m

f(xn)

f0₍_x

n) es cuadr´aticamente convergente. Sugerencia: Use series de Taylor.

20. El objetivo de este ejercicio es demostrar la convergencia del m´etodo de la Secante sin utilizar el Teorema de punto fijo de Banach.

Teorema:Seaf una funci´on de claseC2_[_{a, b}_{] con}_{a < b}_{. Si existe un punto}_x_{tal que}_f₍_x_{) = 0 y}_f0₍_x₎₆_{= 0}

entonces existe un número >0 tal que si x0 y x1 están dentro del intervalo [x−, x+] la sucesión generada por el método de la secante

xn+1=xn−

(xn−xn−1)f(xn) f(xn)−f(xn−1)

.

est´a bien definida dentro del intervalo [x−, x+] y converge ax(cero de la ecuaci´onf(x) = 0).

a) Sea (rn) una sucesi´on de n´umeros reales positivos tales que

rn+1≤rnrn−1.

Pruebe que sir0<1 yr1 <1 entonces la sucesión (rn) está acotada por 1 y converge a 0. Además pruebe que existe una constante Ctal que:

rn ≤Crρ

n ,

donder es un n´umero estrictamente menor que 1, y

ρ= 1 +

√

5

(7)

b) Se denota: f[xn, xn−1] := f(xn)−f(xn−1) xn−xn−1 , pruebe que: f(xn) = (xn−x)f[xn, x]. c) Pruebe que: xn+1−x= (xn−x) f[xn, xn−1]−f[xn, x] f[xn, xn−1] . d) Pruebe que: xn+1−x= (xn−x) (x−xn−1)f[xn, xn−1, x] f[xn, xn−1] , donde: f[xn, xn−1, x] := f[xn, xn−1]−f[xn−1, x] xn−x .

e) Sea [x−1, x+1] un intervalo sobre el cual |f0(x)| ≥M. Pruebe que sixn yxn−1 est´an dentro del

[x−1, x+1] entonces:

|f[xn, xn−1]| ≥M.

f) SeaL la cota superior de|f00_| _{en el intervalo [}_x₋_{1, x}₊₁_{]. Pruebe que si}_x

n yxn−1 est´an dentro del [x−1, x+1] entonces: |f[xn, xn−1, x]| ≤ L 2. g) Pruebe que: |xn+1−x| ≤ L 2M |xn−x| |xn−1−x|. h) Tome: rn:= L 2M |xn−x| y <m´ın 1,2M L ,

usando (a) concluya que si x0 y x1 est´an dentro del intervalo [x−, x+] entonces xn est´a dentro de este intervalo para todony|xn−x| →0 cuandon→ ∞.