MATEMÁTICA [DISEÑO INDUSTRIAL]
P O L I E D R O S y
C U E R P O S
R E D O N D O S
Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño
UBICACIÓN DEL TEMA EN CRONOGRAMA DE MATEMÁTICA :: Cónicas cerradas y abiertas :: Sist. de coordenadas en el espacio :: Poliedros y cuerpos redondos :: TEMAS PARCIAL 2:
I. POLIEDROS
- Definición
- Elementos
- Clasificación
- Regulares o SÓLIDOS PLATÓNICOS
- IRREGULARES: PRISMA /PIRÁMIDE / PIRÁMIDE TRUNCA
[Definición / Elementos / Clasificación / Áreas / Volumen]
[Aplicaciones en Diseño Industrial]
II. CUERPOS REDONDOS
- Definición
- Elementos
- CILINDRO / CONO / CONO TRUNCO
[Definición / Elementos / Clasificación / Áreas / Volumen]
[Aplicaciones en Diseño Industrial]
APLICACIÓN DEL TEMA EN EL DESARROLLO DE TRABAJOS FINALES DE CARRERA
«Equipamiento portátil de fotografía profesional», G. Pongolini y L. Cagliero, 2013 + «Detector y proyector de venas no invasivo…», L. Capello y V. Zuin, 2013
I. POLIEDROS: DEFINICIÓN Y ELEMENTOS Definición:
Dados cuatro o más polígonos convexos tales que: - dos cualesquiera de ellos no estén en el mismo plano, - cada lado es común solamente a dos polígonos,
- y el plano de cada polígono deja a los demás en un mismo semiespacio…
Se llama poliedro al CUERPO GEOMÉTRICO LIMITADO POR PORCIONES DE PLANOS DENOMINADAS CARAS.
Elementos:
Poliedro:
del griego clásico πολύεδρον
(polyedron), de la raíz πολύς (polys), "muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara" Sólido de Arquímides CUBOCTAEDRO CARAS ÁNGULOS POLIÉDRICOS ÁNGULOS DIÉDRICOS VÉRTICES
ARISTAS ángulo diédrico
ángulo triédrico
POLIEDRO:
CUERPO GEOMÉTRICO LIMITADO POR PORCIONES DE PLANOS LLAMADOS CARAS.
1. REGULARES: sus caras son
polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurren el mismo número de caras. Existen 5 poliedros reg. o SÓLIDOS PLATÓNICOS.
2. IRREGULARES: son aquellos
poliedros que poseen todas, o varias de sus caras y ángulos no
congruentes. A esta clase pertenecen los PRISMAS y las
PIRÁMIDES.
POLIEDROS REGULARES
TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO
SÓLIDOS PLATÓNICOS:
4 CARAS TRIÁNGULOS 6 CARAS CUADRADOS 8 CARAS TRIÁNGULOS 12 CARAS PENTÁGONOS 20 CARAS TRIÁNGULOSTodo poliedro regular:
-
Circunscribe a una esfera (tangente a cada
una de sus caras).
-
Está inscripto en una esfera (sus vértices
son puntos de la misma).
El radio de la esfera inscripta en el poliedro es
igual a su apotema (línea que une el centro del
cuerpo con el centro de gravedad de cada una
de sus caras).
El radio de la esfera circunscripta al poliedro
es la línea que une el centro del cuerpo con
cada uno de sus vértices (se denomina
Radio).
PRISMA
Definición:
Sólido determinado por dos bases poligonales paralelas y congruentes y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, denominadas caras.
Elementos:
BASES: abcd ≅ a´b´c´d´
CARAS LATERALES: ej. aa´b´b ARISTAS LATERALES: ej. aa´ ARISTAS DE LA BASE: ej. ab
ALTURA: H, distancia de un punto cualquiera de una base al plano de la cara opuesta.
Clasificación:
PRISMA RECTO
Las aristas son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son rectángulos.
Las aristas son congruentes a la altura.
PRISMA RECTO REGULAR
La base es un polígono regular.
PRISMA OBLICUO
PRISMA
PARALELEPÍPEDOS
Prismas cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser: - rectos - oblicuos Áreas y volumen: AL = PB . h V = AB . h h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura PB: Perímetro de la Base V : volumen AT = AL + 2 AB
PIRÁMIDE
Definición:
Dado un ángulo poliedro de vértice v y un plano π que corta a todas sus aristas, se llama pirámide a la intersección del ángulo poliedro y el semiplano de borde π que contiene al vértice.
Elementos:
BASE: polígono abcde VÉRTICE: v
CARAS LATERALES: ej. triángulo avb ARISTAS LATERALES: ej. va
ARISTAS DE LA BASE: ej. ab
ALTURA: H, distancia del vértice al plano de la base
Clasificación:
PIRÁMIDE REGULAR RECTA
La base es un polígono regular y el pie de la altura coincide con el centro del polígono. Elementos: Las caras laterales son congruentes (triángulo isósceles) y la apotema de la pirámide es la altura de cada una de las caras.
PIRÁMIDE OBLICUA:
Definición:
Si una pirámide se secciona con un plano π, paralelo al plano de base, se llama tronco de pirámide a la intersección de la pirámide y el semiespacio de borde πque no contiene al vértice.
Elementos:
BASE MAYOR: abcdef
BASE MENOR: a´b´c´d´e´f´ ALTURA: oo´
ARISTAS: segmento determinado por 2 vértices corresp. de las bases.
APOTEMA: segmento determinado por un par de puntos medios de 2 lados correspondientes de las bases.
Las bases son secciones paralelas y en consecuencia son «polígonos semejantes».
PIRÁMIDE TRUNCA
Áreas y volumen de pirámide:
AL= 12 . PB . hC AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura hC: Altura de la cara PB: Perímetro de la Base V : volumen AT= AL + AB h V = 31 . AB . h
PIRÁMIDE Y PIRÁMIDE TRUNCA
Silla Panton de Verner Panton + Sofá piramidal de Karim Rashid
Claraboya piramidal de apertura eléctrica con
especificación de alternativas de
dimensiones y superficies de
II. CUERPOS REDONDOS: CILINDRO
Definición:
Dados una curva C y una dirección D, si por cada punto de la curva se traza una recta de dirección D se genera una
superficie cilíndrica.
Elementos:
- las generatrices son las rectas de dirección D, - la directriz es la curva sobre la que se desplaza D.
Definición:
Dada una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que corten a todas sus generatrices, se llama cilindroal sólido limitado por la superficie cilíndrica y ambas secciones.
Elementos:
BASES: B y B´, son las secciones paralelas.
GENERATRICES: G, segmentos de las rectas generatrices comprendidos entre las bases.
ALTURA: H, distancia entre los planos de bases.
Clasificación:
CILINDRO CIRCULAR
CILINDRO CIRCULAR RECTO CILINDRO OBLICUO
Áreas y volumen: AL= PB . h V = A B . h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura PB: Perímetro de la Base V : volumen AT= AL+ 2 . AB h
CUERPOS REDONDOS: CONO
Definición:
Dados una curva C y un punto v no perteneciente a ella, si se trazan todas las rectas determinadas por el punto v con cada uno de los puntos de la curva se genera una sup. curva llamada sup. cónica.
Definición:
Dada una superficie cónica y un plano que corte a todas sus generatrices, se llama cono al cuerpo sólido limitado por la superficie cónica comprendida entre el vértice y la sección.
Elementos:
BASE: B / RADIO DE LA BASE: R / ALTURA: H
VÉRTICE: v / CENTRO DE LA BASE: o / GENERATRIZ: G
Clasificación:
CONO CIRCULAR RECTO CONO OBLICUO
CONO
Elementos:
- las generatrices son las rectas determinadas por cada punto de la curva con el punto v,
- la directriz es la curva,
Definición:
Si un cono se secciona con un plano paralelo al plano de la base , se llama tronco de cono a la intersección del cono y el semiespacio de borde π que no contiene al vértice.
CONO TRUNCO
d. Áreas y volumen de pirámide:
AL = G . R . π V = 1 3 . AB . h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total G: Generatriz h: Altura R: Radio de la base V : volumen AT = AL + AB h G R G R Elementos:
BASE MAYOR: centro o y radio R BASE MENOR: centro o´ y radio R´ GENERATRIZ: G
ALTURA: H
Clasificación:
CONO TRUNCO RECTO CONO TRUNCO OBLICUO
