P O L I E D R O S y C U E R P O S R E D O N D O S

Texto completo

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MATEMÁTICA [DISEÑO INDUSTRIAL]

P O L I E D R O S y

C U E R P O S

R E D O N D O S

Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño

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UBICACIÓN DEL TEMA EN CRONOGRAMA DE MATEMÁTICA :: Cónicas cerradas y abiertas :: Sist. de coordenadas en el espacio :: Poliedros y cuerpos redondos :: TEMAS PARCIAL 2:

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I. POLIEDROS

- Definición

- Elementos

- Clasificación

- Regulares o SÓLIDOS PLATÓNICOS

- IRREGULARES: PRISMA /PIRÁMIDE / PIRÁMIDE TRUNCA

[Definición / Elementos / Clasificación / Áreas / Volumen]

[Aplicaciones en Diseño Industrial]

II. CUERPOS REDONDOS

- Definición

- Elementos

- CILINDRO / CONO / CONO TRUNCO

[Definición / Elementos / Clasificación / Áreas / Volumen]

[Aplicaciones en Diseño Industrial]

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APLICACIÓN DEL TEMA EN EL DESARROLLO DE TRABAJOS FINALES DE CARRERA

«Equipamiento portátil de fotografía profesional», G. Pongolini y L. Cagliero, 2013 + «Detector y proyector de venas no invasivo…», L. Capello y V. Zuin, 2013

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I. POLIEDROS: DEFINICIÓN Y ELEMENTOS Definición:

Dados cuatro o más polígonos convexos tales que: - dos cualesquiera de ellos no estén en el mismo plano, - cada lado es común solamente a dos polígonos,

- y el plano de cada polígono deja a los demás en un mismo semiespacio…

Se llama poliedro al CUERPO GEOMÉTRICO LIMITADO POR PORCIONES DE PLANOS DENOMINADAS CARAS.

Elementos:

Poliedro:

del griego clásico πολύεδρον

(polyedron), de la raíz πολύς (polys), "muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara" Sólido de Arquímides CUBOCTAEDRO CARAS ÁNGULOS POLIÉDRICOS ÁNGULOS DIÉDRICOS VÉRTICES

ARISTAS ángulo diédrico

ángulo triédrico

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POLIEDRO:

CUERPO GEOMÉTRICO LIMITADO POR PORCIONES DE PLANOS LLAMADOS CARAS.

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1. REGULARES: sus caras son

polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurren el mismo número de caras. Existen 5 poliedros reg. o SÓLIDOS PLATÓNICOS.

2. IRREGULARES: son aquellos

poliedros que poseen todas, o varias de sus caras y ángulos no

congruentes. A esta clase pertenecen los PRISMAS y las

PIRÁMIDES.

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POLIEDROS REGULARES

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

SÓLIDOS PLATÓNICOS:

4 CARAS TRIÁNGULOS 6 CARAS CUADRADOS 8 CARAS TRIÁNGULOS 12 CARAS PENTÁGONOS 20 CARAS TRIÁNGULOS

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Todo poliedro regular:

-

Circunscribe a una esfera (tangente a cada

una de sus caras).

-

Está inscripto en una esfera (sus vértices

son puntos de la misma).

El radio de la esfera inscripta en el poliedro es

igual a su apotema (línea que une el centro del

cuerpo con el centro de gravedad de cada una

de sus caras).

El radio de la esfera circunscripta al poliedro

es la línea que une el centro del cuerpo con

cada uno de sus vértices (se denomina

Radio).

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PRISMA

Definición:

Sólido determinado por dos bases poligonales paralelas y congruentes y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases, denominadas caras.

Elementos:

BASES: abcd ≅ a´b´c´d´

CARAS LATERALES: ej. aa´b´b ARISTAS LATERALES: ej. aa´ ARISTAS DE LA BASE: ej. ab

ALTURA: H, distancia de un punto cualquiera de una base al plano de la cara opuesta.

Clasificación:

PRISMA RECTO

Las aristas son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son rectángulos.

Las aristas son congruentes a la altura.

PRISMA RECTO REGULAR

La base es un polígono regular.

PRISMA OBLICUO

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PRISMA

PARALELEPÍPEDOS

Prismas cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser: - rectos - oblicuos Áreas y volumen: AL = PB . h V = AB . h h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura PB: Perímetro de la Base V : volumen AT = AL + 2 AB

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PIRÁMIDE

Definición:

Dado un ángulo poliedro de vértice v y un plano π que corta a todas sus aristas, se llama pirámide a la intersección del ángulo poliedro y el semiplano de borde π que contiene al vértice.

Elementos:

BASE: polígono abcde VÉRTICE: v

CARAS LATERALES: ej. triángulo avb ARISTAS LATERALES: ej. va

ARISTAS DE LA BASE: ej. ab

ALTURA: H, distancia del vértice al plano de la base

Clasificación:

PIRÁMIDE REGULAR RECTA

La base es un polígono regular y el pie de la altura coincide con el centro del polígono. Elementos: Las caras laterales son congruentes (triángulo isósceles) y la apotema de la pirámide es la altura de cada una de las caras.

PIRÁMIDE OBLICUA:

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Definición:

Si una pirámide se secciona con un plano π, paralelo al plano de base, se llama tronco de pirámide a la intersección de la pirámide y el semiespacio de borde πque no contiene al vértice.

Elementos:

BASE MAYOR: abcdef

BASE MENOR: a´b´c´d´e´f´ ALTURA: oo´

ARISTAS: segmento determinado por 2 vértices corresp. de las bases.

APOTEMA: segmento determinado por un par de puntos medios de 2 lados correspondientes de las bases.

Las bases son secciones paralelas y en consecuencia son «polígonos semejantes».

PIRÁMIDE TRUNCA

Áreas y volumen de pirámide:

AL= 12 . PB . hC AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura hC: Altura de la cara PB: Perímetro de la Base V : volumen AT= AL + AB h V = 31 . AB . h

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PIRÁMIDE Y PIRÁMIDE TRUNCA

Silla Panton de Verner Panton + Sofá piramidal de Karim Rashid

Claraboya piramidal de apertura eléctrica con

especificación de alternativas de

dimensiones y superficies de

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II. CUERPOS REDONDOS: CILINDRO

Definición:

Dados una curva C y una dirección D, si por cada punto de la curva se traza una recta de dirección D se genera una

superficie cilíndrica.

Elementos:

- las generatrices son las rectas de dirección D, - la directriz es la curva sobre la que se desplaza D.

Definición:

Dada una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que corten a todas sus generatrices, se llama cilindroal sólido limitado por la superficie cilíndrica y ambas secciones.

Elementos:

BASES: B y B´, son las secciones paralelas.

GENERATRICES: G, segmentos de las rectas generatrices comprendidos entre las bases.

ALTURA: H, distancia entre los planos de bases.

Clasificación:

CILINDRO CIRCULAR

CILINDRO CIRCULAR RECTO CILINDRO OBLICUO

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Áreas y volumen: AL= PB . h V = A B . h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total h: Altura PB: Perímetro de la Base V : volumen AT= AL+ 2 . AB h

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CUERPOS REDONDOS: CONO

Definición:

Dados una curva C y un punto v no perteneciente a ella, si se trazan todas las rectas determinadas por el punto v con cada uno de los puntos de la curva se genera una sup. curva llamada sup. cónica.

Definición:

Dada una superficie cónica y un plano que corte a todas sus generatrices, se llama cono al cuerpo sólido limitado por la superficie cónica comprendida entre el vértice y la sección.

Elementos:

BASE: B / RADIO DE LA BASE: R / ALTURA: H

VÉRTICE: v / CENTRO DE LA BASE: o / GENERATRIZ: G

Clasificación:

CONO CIRCULAR RECTO CONO OBLICUO

CONO

Elementos:

- las generatrices son las rectas determinadas por cada punto de la curva con el punto v,

- la directriz es la curva,

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Definición:

Si un cono se secciona con un plano paralelo al plano de la base , se llama tronco de cono a la intersección del cono y el semiespacio de borde π que no contiene al vértice.

CONO TRUNCO

d. Áreas y volumen de pirámide:

AL = G . R . π V = 1 3 . AB . h AB: Área de la Base AL: Área Lateral AT: Área Total G: Generatriz h: Altura R: Radio de la base V : volumen AT = AL + AB h G R G R Elementos:

BASE MAYOR: centro o y radio R BASE MENOR: centro o´ y radio R´ GENERATRIZ: G

ALTURA: H

Clasificación:

CONO TRUNCO RECTO CONO TRUNCO OBLICUO

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CONO Y CONO TRUNCO

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