8.G.2, 8.G.3, 8.G.4, 8.G.5

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Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J e rs e y (NJEA) s omos funda dore s orgullos os y a poyo de NJCTL y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro.

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8º Grado Matemática

Geometría en 2D

Transformaciones

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Vínculos para preguntas PARCC de

muestra

Slide 4 / 227

Tabla de Contenidos

·

Reflexiones

·

Dilataciones

·

Traslaciones

Click en un tema para ir a esta sección

·

Rotaciones

·

Transformaciones

·

Congruencia y Semejanza

Common Core Standards: 8.G.1, 8.G.2, 8.G.3, 8.G.4, 8.G.5

·

Pares especiales de ángulos

·

Simetría

·

Glosario

·

Ángulos exteriores remotos

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Algunas veces cuando se restas fracciones, encuentras que no puedes porque el el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar desde los números enteros.

¿Cuántos tercios es en un entero? ¿Cuántos quintos hay en un entero? ¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están

indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado a la página en la parte del glosario que contienen el vocabulario de la tabla.

(Haz click sobre el subrayado.)

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Factor

4

hacer un tercer número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario

1

Su significado

2

Ejemplos/

Contraejemplos

Vínculo para volver a la

página con el tema.

(Cómo se utiliza en esta lección)

Transformaciones

Volver a la Tabla de Contenidos

Cada vez que mueves, encoges o agrandas una figura haces una transformación. Si la figura que estás moviendo (preimagen) está marcada con las letras A, B, y C, puedes marcar los puntos de la figura transformada (imagen) con las mismas letras y una comilla.

A B C A' B' C' pre-imagen imagen N ota s pa ra e l p ro fe so r

Transformación

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La imagen también se puede marcar con letras nuevas, como se muestra a continuación.

El triángulo ABC es la pre-imagen de la imagen reflejada del triángulo XYZ A B C X Y Z pre-imagen imagen

Transformación

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· Traslaciones

· Rotaciones

· Reflexiones · Dilataciones

Las primeras tres transformaciones preservan el tamaño y la forma de la figura.

En otras palabras:

Si tu pre-imagen es un trapezoide, tu imagen es un trapezoide congruente .

Si tu pre-imagen es un ángulo, tu imagen es un ángulo con la misma medida.

Si tu pre-imagen contiene rectas paralelas , tu image contiene rectas paralelas.

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Traslaciones

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Trasladar es mover una figura a otra posición (izquierda, derecha, arriba o abajo) sin cambiar su tamaño o forma y sin voltear o girar..

Puedes utilizar una flecha para mostrar la dirección y la distancia del movimiento

Traslación

Esto muestra una traslación de la pre-imagen ABC a la imagen A'B'C'. Cada punto en la pre-imagen se movió a la derecha 7 y hacia arriba 4.

Traslación

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Click para ir a la página web

Traslación

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¿Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura? Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

A B C D A' B' C' D'

Para completar una traslación, mueve cada punto de la pre-imagen y marca los nuevos puntos.

Ejemplo: Mueve la figura 2 unidades a la izquierda y 5 hacia arriba. ¿Cuáles son las coordenadas de la pre-imagen e imagen?

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Traslada la pre-imagen ABC 2 a al izquierda y 6 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y la pre-imagen?

A

B C

¿Son los segmentos en la pre-imagen y en la imagen de la misma longitud? En otras palabras, fue preservado el tamaño de la figura? Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Slide 18 / 227

Traslada la pre-imagen ABCD 4 a la derecha y 1 hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen y de la pre-imagen?

A

B

C D

Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, ¿tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura? Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

A

B C D

Traslada la pre-imagen ABCD 5a la izquierda y 3 hacia arriba. ¿Cuál es la regla y cuáles son las nuevas coordenadas de la imagen.

Los segmentos de la pre-imagen y de la imagen, ¿tienen igual longitud? En otras palabras, se conservó el tamaño de la figura? Ambas, la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas. Mira las siguientes reglas y coordenadas para ver si puedes encontrar un patrón.

2 Izquierda y 5 Arriba A (3,-1) A' (1,4) B (8,-1) B' (6,4) C (7,-3) C' (5,2) D (2, -4) D' (0,1) 2 Izquierda y 6 Abajo A (-2,7) A' (-4,1) B (-3,1) B' (-5,-5) C (-6,3) C' (-8,-3) 4 Derecha y 1 Abajo A (-5,4) A' (-1,3) B (-1,2) B' (3,1) C (-4,-2) C' (0,-3) D (-6, 1) D' (-2,0) 5 Izquierda y 3 Arriba A (3,2) A' (-2,5) B (7,1) B' (2,4) C (4,0) C' (-1,3) D (2,-2) D' (-3,1)

Reglas de traslación

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Trasladando a la izquierda o derecha cambias la coordenada de x. Trasladando hacia arriba o abajo cambias la coordenada de y.

2 Izq. y 5 Arriba A (3,-1) A' (1,4) B (8,-1) B' (6,4) C (7,-3) C' (5,2) D (2, -4) D' (0,1) 2 Izq. y 6 Abajo A (-2,7) A' (-4,1) B (-3,1) B' (-5,-5) C (-6,3) C' (-8,-3) 4 Der. y 1 Abajo A (-5,4) A' (-1,3) B (-1,2) B' (3,1) C (-4,-2) C' (0,-3) D (-6, 1) D' (-2,0) 5 Izq. y 3 Abajo A (3,2) A' (-2,5) B (7,1) B' (2,4) C (4,0) C' (-1,3) D (2,-2) D' (-3,1)

Reglas de traslación

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Reglas de traslación

Trasladando izquierda/derecha cambias la coordenada de las x

· izquierda restas a la coordenada x

· Derecha sumas a la coordenada x

Trasladando arriba/abajo cambias la coordenada y.

· Abajo restas a la coordenada y · Arriba sumas a la coordenada y

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Puede escribirse una regla para describir traslaciones en el plano de coordenadas .

2 unidades a la izquierda … coordenada x - 2

coordenada y queda igual

regla = (x - 2, y)

5 unidades derecha

y tres unidades abajo… coordenada x + 5 coordenada y - 3 regla = (x + 5, y - 3) click click

Reglas de traslación

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click para revelar click para revelar click para revelar

1 ¿Qué regla describe la traslación mostrada? A _{(x,y) (x - 4, y - 6)} B _{(x,y) (x - 6, y - 4)} C (x,y) (x + 6, y + 4) D (x,y) (x + 4, y + 6) D E _F G D' E' F' G'

2 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?

A _{(x,y) (x, y - 9)} B _{(x,y) (x, y - 3)} C _{(x,y) (x - 9, y)} D _{(x,y) (x - 3, y)} D E F G D' E' F' G'

Slide 27 / 227

3 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?

A _{(x,y) (x + 8, y - 5)} B (x,y) (x - 5, y - 1) C (x,y) (x + 5, y - 8) D (x,y) (x - 8, y + 5) D E F G D' E' F' G'

Slide 28 / 227

4 ¿Qué regla describe la traslación mostrada?

A _{(x,y) (x - 3, y + 2)} B _{(x,y) (x + 3, y - 2)} C _{(x,y) (x + 2, y - 3)} D _{(x,y) (x - 2, y + 3)} D E F G D' E' F' G'

Slide 29 / 227

5 _{¿Qué regla describe la traslación mostrada?}

A _{(x,y) (x - 3, y + 2)} B _{(x,y) (x + 3, y - 2)} C _{(x,y) (x + 2, y - 3)} D _{(x,y) (x - 2, y + 3)} D E F G D' E' F' G'

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Rotaciones

Una rotación (giro) es mover una figura alrededor de un punto. Este punto puede estar en la figura o puede ser algún otro punto exterior. Este punto se llama

punto de rotación. P

Rotaciones

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Rotación

Slide 34 / 227

Cuando giras una figura, puedes describir la rotación, dando la dirección (en sentido horario o en sentido antihorario) y el ángulo de la figura gira alrededor del punto de giro. Las rotaciones son en sentido antihorario , a menos que se le indique lo contrario.

Esta figura se rota 90 grados en sentido contrario

a las agujas del reloj alrededor del punto A.

Esta figura se rota180 grados en sentido de

las agujas del reloj alrededor del punto B.

A B click para revelar

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¿Cómo se rotó esa figura en torno al origen? En el plano de coordenadas cada cuadrante representa 90º.

Controla para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Para determinar el ángulo, dibuja dos semirrectas (una desde el punto de rotación hasta el punto de la pre-imagen y otra desde el punto de rotación hasta el punto de la imagen. Mide ese ángulo.

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Las siguientes descripciones describen la misma rotación. ¿Qué notas?

La suma de las dos rotaciones (horaria y antihoraria) es 360 grados. Si tienes una rotación, puedes calcular la otra restandola de 360.

6 _{¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto A? (Elige}

más de una respuesta.) A horario B antihorario C 90 grados D 180 grados E 270 grados

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes. A, A' C' C B B' D' E' D E

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7 _{¿Cómo está rotada esta figura alrededor del punto de}

origen? (Elige más de una respuesta).

A horario

B antihorario

C 90 grados

D 180 grados

E 270 grados

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

A B C D A' B' C' D'

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Rotaciones

Slide 41 / 227

¿Qué sucede con las coordenadas en un medio giro? Escribe las coordenadas para la pre-imagen y la imagen. ¿Qué notas?

Rotaciones

Slide 42 / 227

¿Podrías resumir que pasa con las coordenadas durante una rotación?

90° sentido antihorario:

Medio giro: 90° sentido horario:

8 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto A (5, -6) despues de una rotación horaria de ?

A _{(-6, -5)}

B _{(-6, 5)}

C _{(-5, 6)}

D _{(5, -6)}

9 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto S (-8, -1)

despues de una rotación anti horaria de ?

A _{(-1, -8)}

B _{(1, -8)}

C _{(-1, 8)}

D _{(8, 1)}

Slide 45 / 227

10 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto H (-5, 4)

despues de una rotación anti horaria de ?

A _{(-5, -4)}

B _{(5, -4)}

C _{(4, -5)}

D _{(-4, 5)}

Slide 46 / 227

11 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto R (-4, -2)

después de una rotación horaria de ?

A _{(4, -2)}

B _{(-2, 4)}

C _{(2, 4)}

D _{(-4, 2)}

Slide 47 / 227

12 ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de un punto Y (9, -12)

despues de una rotación de medio giro?

A _{(-12, 9)}

B (-9,12)

C _{(-12, -9)}

D _(9,12)

Slide 48 / 227

13 El paralelogramo A' B' C' D' (no el mostrado) es la imagen del paralelogramo ABCD después de una rotación de 180° en torno al origen. ¿Qué afirmaciones sobre el paralelogramo A'B'C'D son ciertas?. Selecciona cada afirmación correcta

A A'B' es paralelo a B'C' B A'B' es paralelo a A'D' C A'B' es paralelo a C'D' D A'D' es paralelo a B'C' E A'D' es paralelo a D'C'

From PARCC sample test

A B

C D

x y

Reflexiones

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Una reflexión (vuelta) crea una imagen de espejo de una figura.

Reflexión

Slide 52 / 227

Un reflejo es una vuelta porque la figura se voltea sobre una línea. Cada punto de la imagen está a la misma distancia de la línea como del punto original..

A y A' están ambos a 6 unidades de la recta t.

B y B' están ambos a 6 unidades de la recta t.

C y C' están ambos a 3 unidades de la recta t.

Cada vértice en el ABC está a la misma distancia de la recta t como los vértices en el A'B'C'.

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Reflexión

Slide 53 / 227

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Reflexión

x

y

Slide 54 / 227

¿Qué notas acerca de las coordenadas cuando reflejas transversalmente al eje y?

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

Reflexión

x

y

¿Cuál es tu predicción sobre las coordenadas cuando se refleja sobre el eje x?

Reflexión

x

y

Refleja la figura transversal al eje de las y, y luego al eje x. Haz click para ver cada reflexión

x y A B C D

Slide 57 / 227

Haz click para ver la reflexión.

x

y

Slide 58 / 227

x

y

Slide 59 / 227

x

y

Slide 60 / 227

14 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del:

A el eje x

B el eje y

C el eje x, luego el eje y

D el eje y, luego el eje x

x

y

15 La reflexión representada debajo es una reflexión a través del:

A el eje x

B el eje y

C el eje x, luego el eje y

D el eje y, luego el eje x

x

y

16 _{¿Cuál de las siguientes representa una reflexión simple}

de la Figura 1? A B C D Figure 1 Figura 1

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17 ¿Cuál de las siguientes describe el movimiento de la

figura inferior? A reflexión B rotación, 90 horario C deslizamiento D rotación, 180 horario Figura 1 Figura 2

Slide 64 / 227

18 Describe la reflexión mostrada debajo:

A transversalmente a la recta y = x B transversalmente al eje y C transversalmente a la recta y = -3 D transversalmente al eje x

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

x

y

Slide 65 / 227

19 Describe la reflexión mostrada debajo:

A transversalmente a la recta y = x B transversalmente al eje x C transversalmente a la recta y = -3 D transversalmente a la recta x = 4

Revisa para ver si la pre-imagen y la imagen son congruentes.

x

y

Slide 66 / 227

En el plano de coordenadas se muestran tres

figuras congruentes. Usa esas figuras para

responder a las siguientes dos preguntas.

From PARCC sample test 1

2

3

y

20 Parte A

Selecciona una transformación para cada grupo de opciones para hacer esta afirmación cierta.

La figura 1 puede ser transformada en la figura 2 mediante A una reflexión transversal al eje de las x

B una rotación de 180° en sentido horario en torno al origen C una traslación de 2 unidades hacia la izquierda

D una reflexión transversal al eje de las y

E una rotación de 90° en sentido horario y en torno al origen F una traslación de 3 unidades a la derecha

seguida por

21 Parte B

La figura 3 puede ser formada transformando la figura 1 con una secuencia de dos pasos. Selecciona una transformación de cada conjunto de opciones para hacer esta afirmación cierta. La figura 1 puede ser transformada en la figura 3 a partir de A una reflexión transversal al eje de las y

B una rotación 90° en sentido horario en torno al origen C una traslación 7 unidades a la derecha

D una reflexión transversal al eje x

E una rotación 180° en sentido horario en torno al orgien F una traslación 3 unidades a la izquierda

seguida por

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Dilataciones

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Slide 71 / 227

Una dilatación es una transformación en la que una figura se amplía o se reduce en torno a un punto central, utilizando un factor de escala = 0.

El punto central no se altera..

Dilatación

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El factor de escala es la razón de los lados:

Cuando el factor de escala de una dilatación es mayor que 1, la dilatación es una ampliación.

Cuando el factor de escala de una dilatación es menor que 1, la dilatación es una reducción.

Cuando el factor de escala es | 1 |, la dilatación es una

identidad.

Ejemplo.

Si la pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea entera, ¿qué tipo de dilatación es esta? ¿Cuál es el factor de la escala de la dilatación?

Dilatación

x

y

¿Qué pasó con las coordenadas con un factor de escala de 2?

A (0, 1) A' (0, 2) B (3, 2) B' (6, 4) C (4, 0) C' (8, 0) D (1, 0) D' (2, 0)

El centro para esta dilatación fue el origen (0,0).

x

y

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22 ¿Cuál es el factor de escala de la imagen se muestra a

continuación? La pre-imagen está en línea punteada y la imagen en línea llena.

A ₂ B ₃ C _-3 D ₄

x

y

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23 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto S (3, -2) despues

de una dilatación con un factor de escala de 4 alrededor del origen? A _{(12, -8)} B _{(-12, -8)} C _{(-12, 8)} D _{(-3/4, 1/2)}

Slide 77 / 227

24 _{¿Cuáles son las coordenadas de un punto Y (-2, 5) despues}

de una dilatación con un factor de escala de 2.5?

A (-0.8, 2)

B (-5, 12.5)

C _{(0.8, -2)}

D _{(5, -12.5)}

Slide 78 / 227

25 ¿Cuáles son las coordenadas de un punto X (4,- 5)

despues de una dilatación con un factor de escala de 0.5?

A _{(-8, 16)}

B (8, -16)

C _{(-2, 4)}

26 _{Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente}

manera durante una dilatación:

(-6, 3) (-2, 1)

¿Cuál es el factor de escala?

A ₃

B _-3

C _1/3

D _-1/3

27 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente

manera durante una dilatación

(4, -9) (16, -36)

¿Cuál es el factor de escala?

A ₄

B _-4

C _1/4

D _-1/4

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28 Las coordenadas de un punto cambian de la siguiente

manera durante una dilatación:

(5, -2) (17.5, -7) ¿Cuál es el factor de escala?

A ₃

B _-3.75

C _-3.5

D _3.5

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29 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una rotación?

(y no se podría haber logrado sólo mediante una reflexión)

A Figura A B Figura B

C Figura C D Figura D

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30 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una reflexión?

A Figura A B Figura B

C Figura C D Figura D

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31 _{¿Cuál de las siguientes figuras representa una dilatación?}

A Figura A B Figura B

32 ¿Cuál de las siguientes figuras representa una traslación? A Figura A B Figura B C Figura C D Figura D

Simetría

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Simetría

Un eje de simetría divide una figura en dos partes que coinciden exactamente entre sí cuando se pliegue a lo largo una línea de puntos. Dibuja los ejes de simetría de cada figura a continuación, si existen.

Slide 89 / 227

Simetría

Slide 90 / 227

¿Tienen simetría estas imágenes ? ¿Dónde?

Will Smith con una cara simétrica.

Pensamos que nuestras caras son simétricas, pero la

mayoría de las caras son asimétricas (no simétricas).

Aquí hay algunas fotos de gente donde sus caras son

simétricas.

Marilyn Monroe con una cara

simétrica

Simetría

Click sobre la imagen de abajo para aprender

como hacer tu cara simétrica.

Tina Fey

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Ocurre Simetría Rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos que un giro de 360°.

Rota la figura de abajo para ver la cantidad de veces que la figura rota sobre sí misma.

Simetría

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Simetría

Para determinar los grados de cada simetría rotacional: 1. Divide 360° pro el número de veces que la figura rotó sobre su misma.

2. Sigue sumando ese número hasta que alcances un número que sea mayor o igual que 360°.

Nota: el número mayor que o igual a 360° no se toma en cuenta

Grados de simetría = 60°, 120°, 180°, 240°, 300° 360

6 = 60°

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Ocurre simetría rotacional cuando una figura puede girar alrededor de un punto sobre sí misma en menos de 360º. Rota estas figuras. ¿Que grado de simetría rotacional tienen cada una?

Simetría

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33 ¿Cuántos ejes de simetría tiene esta figura?

A ₃

B ₆

C ₅

34 _{¿Cuál figura muestra una línea de simetría?}

A B C D

P

ull

35 ¿Cuál de los objetos no tiene simetría rotacional?

A

B C

D

Se produce Simetría rotacional cuando una figura puede ser rotada alrededor de un punto sobre sí misma a

menos de 360º.

Click para pista

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36 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo

A 90° B 120° C 180° D 270°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente.

Click para pista

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37 Determina los grados de simetría rotacional en la figura de abajo. Escoge las opciones que apliquen.

A 60° B 90° C 120° D 180° E 240° F 300°

Recuerda: divide 360° por el número de veces que se rota el objeto simétricamente.

Click para pista

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Congruencia y

Semejanza

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Congruencia y Semejanza

2 figuras son congruentes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones y / o rotaciones.

Recuerda - traslaciones, reflexiones y rotaciones conservan el tamaño y la forma de la imagen .

Las figuras semejantes tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales .

2 figuras son semejantes si la segunda figura puede obtenerse a partir de la primera por una serie de traslaciones, reflexiones, rotaciones y / o dilataciones.

N ota s de l p ro fe so r

Congruencia y Semejanza

Click para ir a la página web

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j

Semejanza

¿Cuál sería la medida del ángulo j tiene para que las siguientes figuras sean semejantes?

180 - 112 - 33 = 35 j = 35

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38 ¿Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes?

A

B

C

D

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39 ¿Qué par de figuras son semejantes pero no congruentes?

A

B

C

40 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de figuras?

A congruentes

B semejantes

C ni congruentes ni semejantes

41 ¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de

figuras?

A congruentes

B semejantes

C ni congruentes ni semejantes

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42 _{¿Cuál de los siguientes términos describe mejor al par de}

figuras?

A congruentes

B semejantes

C ni congruentes ni semejantes

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Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la pre-imagen está en línea llena.

Slide 113 / 227

Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la pre-imagen está en línea llena.

Slide 114 / 227

Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la pre-imagen está en línea llena.

Click en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.

Determina si las dos figuras son congruentes o semejantes. Explica cómo obtuviste la otra figura a través de una serie de traslaciones, rotaciones, reflexiones y / o dilataciones. La pre-imagen está en línea punteada, la pre-imagen está en línea llena.

Click en la ubicación de la figura del medio, para que aparezca, si es necesario.

Pares Especiales

de Ángulos

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· Ángulos Complementarios son dos ángulos cuya suma da 90

grados

Estos dos ángulos son complementarios porque su suma es 90.

Observa que forman un ángulo recto cuando se colocan juntos.

· Ángulos Suplementarios son dos ángulos cuya suma da 180

grados.

Estos dos ángulos son suplementarios porque su suma es 180.

Observa que forman un ángulo llano cuando se colocan juntos.

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Los ángulos verticales o ángulos opuestos por el vértice son dos ángulos que están opuestos entre sí cuando se cruzan dos rectas

En este ejemplo, los ángulos opuestos por el vértice son: Los ángulos opuestos por el vértice tienen la

misma medida. Entonces: 1 2 ₃ 4 ∠1 y ∠3 ∠2 y ∠4 m∠1 = m∠3 m∠2 = m∠4

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Los ángulos opuestos por el vértice pueden explicarse además usando la transformación de la reflección.

Transformaciones

La recta x corta a los ángulos 1 y 3 a la mitad

Cuando el ángulo 2 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 4. Cuando el ángulo 4 se refleja sobre la recta x, forma el ángulo 2.

x 2 4 1 3

∠2 ≅ ∠4

∠4 ≅ ∠2

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La recta y corta a los ángulos 2 y 4 a la mitad.

Cuando el ángulo 1 se refleja sobre la recta y, se forma el ángulo 3.

Cuando se refleja el ángulo 3 sobre la recta y, se forma el ángulo 1.

Transformaciones

Uando lo que sabes acerca de los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice, encuentra la medida de los ángulos que faltan.

Por medio de los

opuestos por el vértice: Por medio de los ángulos Suplementarios:

Click

Click

2 3

1

43 _{¿Los ángulos 2 y 4 están opuestos por el vértice?}

1 2 3

4

Si No

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44 _{¿Los ángulos 2 y 3 están opuestos por el vértice?}

1 2 3 4 Si No

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45 _{Si el ángulo 1 es de 60 grados , ¿cuál es la medida del}

ángulo 3? Debes ser capaz de explicar por qué

2 1 ₃ 4 A ₃₀o B 60o C ₁₂₀o D ₁₅o

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46 _{Si el ángulo 1 es de 60 grados , ¿cuál es la medida}

del ángulo 2? Debes ser capaz de explicar por qué

2 1 ₃ 4 A ₃₀o B ₆₀o C ₁₂₀o D ₁₅o

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Los ángulos adyacentes son dos ángulos que están uno junto al otro y tienen una semirrecta común entre ellos. Esto significa que están en el mismo plano y que no comparten los puntos internos

A

B

C

D

es adyacente a ¿Cómo te das cuenta?

· Tienen un lado común (semirrecta ) · Tienen un vértice común (punto B)

¿Adyacente o No Adyacente? ¡Tu Decides! a b _a b a b Adyacente No Adyacenteclick para revelar No Adyacenteclick para revelar click para revelar

47 _{¿Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro?}

A 1 y 4 B 2 y 4 1 2 3 4 5 6

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48 _{¿Qué dos ángulos son adyacentes uno con el otro?}

A 3 y 6 B 5 y 4 1 2 3 4 5 6

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Actividad Interactiva -Click Aquí

A P Q R B A E F

Una transversal es una recta que corta transversalmente dos o más (por lo general ) rectas paralelas.

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Recuerda desde el 3º grado

Formas y Perímetros

Rectas Paralelas son un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan (tocan).

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Los ángulos correspondientes están en el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a cada intersección.

En este diagrama los ángulos correspondientes son: 1 ₂ 8 ₃ 7 4 6 5 Transve rsal

49 _{¿Cuáles son los pares de ángulos correspondientes?} A 2 y 6 B _{3 y 7} C 1 y 8 1 2 3 4 5 6 7 8

50 _{¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?} A 2 y 6 B _{3 y 1} C 1 y 8 1 2 3 4 5 6 7 8

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51 _{¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?} A 1 y 5 B _{2 y 8} C 4 y 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Slide 136 / 227

52 _{¿Cuáles son pares de ángulos correspondientes?}

1 2 3 4 5 6 7 8 A _{2 y 4} B 6 y 5 C _{7 y 8} D 1 y 3

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Los ángulos alternos externos están en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos externos son: ¿Qué recta es la transversal? 1 2 8 ₃ 7 4 6 5 k m n

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Los ángulos interiores alternos están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas dadas.

En este diagrama los ángulos alternos internos son: 1 2 8 ₃ 7 4 6 5 k m n

Los ángulos interiores del mismo lado están en el mismo lado de la transversal y en el interior de las rectas dadas

En este diagrama los ángulos interiores del mismo lado son:

1 2 8 3 7 4 6 5 k m n

53 ¿Los ángulos 2 y 7 son alternos externos?

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l Si No

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54 ¿Los ángulos 3 y 6 son alternos externos?

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l Si No

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55 _{¿Los ángulos 7 y 4 son alternos externos?}

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l No Si

Slide 143 / 227

56 _{¿Qué ángulo es correspondiente al ángulo 5?}

A B C D 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

Slide 144 / 227

57 _{¿Qué par de ángulos tienen el mismo lado interior?}

A B C D 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

58 ¿Qué tipo de ángulos son y ?

A Ángulos alternos internos

B Ángulos alternos externos

C Ángulos correspondientes

D Opuestos por el _vértice

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

E Mismo lado interior

59 ¿Qué tipo de ángulos son y ?

A Ángulos alternos internos

B Ángulos alternos externos

C Ángulos correspondientes D Ángulos opuestos por el vértice 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

E Mismo lado interior

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60 _{¿Qué tipo de ángulos son y ?}

A Ángulos alternos internos

B Ángulos alternos externos

C Ángulos correspondientes D Ángulos opuestos por el vértice 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

E Mismo lado interior

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61 ¿Los ángulos 5 y 2 son alternos internos?

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l Si

No

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62 ¿Los ángulos 5 y 7 son alternos internos?

1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

Si

No

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63 ¿Los ángulos 7 y 2 son alternos internos?

P ull 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

Si

No

64 ¿Los ángulos 3 y 6 son alternos externos? 1 3 5 7 2 4 6 8 m n l

Si

No

Estos casos especiales aún se pueden explicar mediante las transformaciones de reflexión y traslación

Casos Especiales

Si rectas paralelas son cortadas por una transversal entonces:

· Los Ángulos Correspondientes son congruentes

· Los Ángulos Alternos Internos son congruentes · Los Ángulos Alternos Externos son congruentes · Los Ángulos del Mismo lado Interior son suplementarios

Por lo tanto: son suplementarios son suplementarios

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Slide 154 / 227

Reflexiones. Continuación

La recta d corta los ángulos 2 y 8 a la mitad.

Cuando el ángulo 4 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 6. Cuando el ángulo 6 se refleja por encima de la recta d, forma el ángulo 4. La recta c corta los ángulos 1

y 7 a la mitad.

Cuando el ángulo 3 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 5.

Cuando el ángulo 5 se refleja por encima de la recta c, forma el ángulo 3.

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Traslaciones

La recta m es paralela a la recta l.

Si la recta m se traslada y unidades hacia abajo, se solapará con la recta l.

2 4 6 8 l n 1 3 5 7 m

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Traslaciones Continuación

Si la recta m se traslada entonces x unidades a la izquierda, todos los ángulos formados por las rectas m y n se superponen con los ángulos formados por las rectas l y n. 2 4 6 8 l n 1 3 5 7 m

Las traslaciones también funcionan si la recta l se traslada y unidades hacia arriba y x unidades a la derecha 1 3 5 7 m 2 4 6 8 l n

65 _{Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las}

medidas de tantos ángulos como sea posible. ¿Qué ángulos son congruentes con el ángulo dado?

4 5 6 2 7 1 8 l m n A _{<4, <5, <6} B _{<5, <7, <1} C _<2 D _{<5, <1}

66 _{Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las}

medidas de tantos ángulos como sea posible. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos 4, 6, 2 y 8?

4 5 6 2 7 1 8 l m n A ₅₀o B ₄₀o C ₁₃₀o

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67 _{Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las}

medidas de tantos ángulos como sea posible. ¿Que ángulos son congruentes con el ángulo dado?

1 3 5 7 2 4 8 m n l A _<4 B _{<4, <5, <3} C _<2 D _<8

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68 _{Teniendo en cuenta la medida de un ángulo, encuentra las}

medidas de tantos ángulos como sea posible. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 4 y 8 respectivamente? 1 3 5 7 2 4 8 m n l A ₅₅o_{, 35}o_{, 55}0 B ₃₅o_{, 35}o_{, 35}o C ₁₄₅o_{, 35}o_{, 145}o

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69

_{Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación}

justifica por qué ?

A

_{Sólo Reflexión}

Sólo Traslación

_{Reflexión y Traslación}

D

Los ángulos NO son Congruentes

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70

_{Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación}

justifica por qué ?

A

Sólo Reflexión

SóloTraslación

_{Reflexión y Traslación}

D

Los ángulos NO son Congruentes

71

_{Si las rectas a y b son paralelas, ¿qué transformación}

justifica por qué ?

A

Sólo Reflexión

_{Sólo Traslación}

_{Reflexión y Traslación}

D

Los ángulos NO son Congruentes

Aplicando lo que hemos aprendido para

probar algunos hechos interesantes de

matemática

Slide 165 / 227

Podemos usar lo que hemos aprendido para establecer alguna información interesante sobre triángulos.

Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo = 180. ¡Vamos a ver por qué!

Dado

B

A C

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A través de B vamos a dibujar una recta paralela a AC.

Luego entonces tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la suma de las medidas de los ángulos es igual a 180°.

l m n p B A C 2 1

Slide 167 / 227

1.

∠C

≅

∠1

si

2

dos rectas paralelas

son cortadas por una

transversal

,

los

ángulos interiores alternos

son congruentes.

Slide 168 / 227

2.

∠2

=

∠B

+

∠1

porque si

dos rectas paralelas

son cortadas

por una

transversal,

los

ángulos exteriores alternos

son

congruentes.

l m n p B A C 2 1

3.

∠A

es suplementario con

∠2

porque si

2 rectas paralelas

son cortadas por una

transversal

, entonces

los ángulos

interiores del mismo lado

son suplementarios.

4. De manera que,

∠A

+

∠2

=

∠A

+

∠B

+

∠1

=

∠A

+

∠B

+

∠C

=

180°.

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Vamos a mirarlo de esta otra manera...

1.

∠A

≅

∠2

porque si

2 rectas parelas

son cortadas por una

transversal

, entonces

los ángulos interiores alternos

son

congruentes.

Slide 172 / 227

2.

∠C

≅

∠1

porque si

2 rectas paralelas

son cortadas por

una

transversal

, entonces

los ángulos interiores alternos

son congruentes.

Slide 173 / 227

3.

∠2

+

∠B

+

∠1

= 180°, ya que los tres ángulos forman

una línea recta.

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Ángulos exteriores

remotos

Volver a la Tabla de Contenidos

Teorema del ángulo exterior - la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores remotos.

B

A C

1

Ángulo exterior

Ángulos interiores remotos

Dados

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Slide 178 / 227

Vamos a dibujar una recta que pase por B y que sea paralela a AC. Tenemos dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Usa el número de ángulos y lo que sabes para probar que la medida de ∠1 = suma de las medidas de ∠B y ∠C.

l m n p B A C 2 1

Slide 179 / 227

1.

∠C

≅

∠2

porque si

2 rectas paralelas

están cortadas por

una

transversal

, entonces

los ángulos interiores alternos

son congruentes.

Slide 180 / 227

2.

∠1

=

∠B

+

∠2

porque si

tdos rectas paralelas

son cortadas

por una

transversal,

los á

ngulos exteriores alternos

son

congruentes.

3. A sí que,

∠1

=

∠B

+

∠2

=

∠B

+

∠C

.

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Ejemplo

¿Cuál es la medida del ángulo v en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.

2

163° = m∠2 + 27°

m∠2 = 136°

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¿Cuál es la medida del ángulo q en el diagrama de abajo? El diagrama NO está a escala.

3

125° = m∠3 + 95°

m∠3 = 30°

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Calcula el valor de x. El diagrama NO está a escala.

73 ¿Cuál es la medida del ángulo 5 en el diagrama de abajo?

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

5

74 ¿Cuál es la medida del ángulo 6 en el diagrama de abajo?

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

6

Slide 189 / 227

75 Calcula el valor de x en el diagrama de abajo. El diagrama NO está hecho a escala.

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

(x + 5)°

(10x - 34)° (x - 7)°

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Los alumnos escriben sus respuestas aquí

(2x - 3)° (3x)° 172°

Slide 191 / 227

Ejemplo

Nombra los pares de ángulos cuya suma sea igual a m∠9.

Slide 192 / 227

77 Elige la expresión que hace que esta afirmación sea cierta:

p r g h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C D

m∠12 =

m∠1 + m∠6

m∠4 + m∠5

m∠5 + m∠6

m∠3 + m∠4

Ejemplo

¿Qué ángulos son congruentes al ángulo 9?

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Glosario

Slide 196 / 227

Ángulos adyacentes

Dos ángulos que están al lado uno de otro y tienen un segmento común.

a

b a

b

a b

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Ángulos exteriores alternos

Cuando dos rectas se cruzan con otra recta, los pares

de ángulos en los lados opuestos de la recta

transversal pero del lado de afuera de las dos rectas.

a b c d a b c d a b c d Volver al tema

Slide 198 / 227

Cuando dos rectas se cruzan por otra recta, son los pares de ángulos ubicados en los lados opuestos de

la transversal pero dentro de las dos rectas

a b c d a b c d a b c d Volver al tema

Ángulos interiores alternos

Asimétrico

Algo que no es simétrico.

Volver al tema

Ángulos complementarios

Volver al tema

=

+

+

C

Dibujando una línea extra w, a la"C", formas un 9 para 90°

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Congruente

forma y tamaño.

Dos cosas que

son

equivalentes.

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Ángulos correspondientes

Ángulos que están sobre el mismo lado de la transversal y en igual ubicación en relación a

cada intersección.

Slide 203 / 227

dilatación (aumento)

Dilatación

Una transformación por la cual una figura se aumenta o reduce de tamaño alrededor de un punto central. Se

utiliza una escala de un factor distinto de cero.

Cada coordenada se multiplica por 2! A:(0,1) C:(3,0) B:(3,2) A':(0,2) C':(6,0) B':(6,4) la forma queda igual! Volver al tema

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Ampliación

Es una dilatación donde el factor de escala es más grande que uno.

> 1

{

{

(

)

Identidad

Una dilatación donde el factor de escala es uno.

= 1

_{la imagen es}

igual a la

pre-imagen

{

(

)

Imagen

Una figura que se arma después de una transformación de una pre-imagen.

Volver al tema

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Eje de simetría

La línea imaginaria donde se podría plegar la imagen y obtener dos mitades que coinciden

exactamente. puede ser más q ue un o! Volver al tema

Slide 208 / 227

Rectas paralelas

Un conjunto de dos rectas que están en el mismo plano y que no se intersecan, (no se tocan).

Volver al tema

Slide 209 / 227

Punto de rotación

Un punto sobre una figura o sobre otro punto que hace rotar a una figura a su

alrededor.

punto afue ra de la fig

ura punto en el medio _{de la figura}

punto en el lado de la figura Volver al tema

Slide 210 / 227

Pre-Imagen

La figura original antes de la transformación.

antes de la traslación antes de la dilatación antes de la rotación Volver al tema

Reducción

Una dilatación donde el factor de escala es menor que uno.

< 1

{

{

(

₎

Reflexión

Una vuelta sobre una línea que forma una imagen espejo de la figura, donde cada punto en el imagen tiene la misma distancia desde la recta

que el punto original.

reflexión (movimiento)

{

{

{

{

{ {

Slide 213 / 227

Rotación

Un giro que mueve a una figura alrededor de un punto. A La figura se rota 90° en sentido antihorario alrededor de un punto A. etiquetado por: y punto de rotación dirección A Volver al tema

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Simetría rotacional

Una transformación donde una figura puede ser rotada menos de 360° alrededor de un punto o de

sí misma.

90o

Volver al tema

Slide 215 / 227

Ángulos interiores del mismo lado

transversal pero adentro de las dos rectas.

a b c d a b c d a b c d Volver al tema

Slide 216 / 227

Factor de escala

La razón de los lados de una imagen y los

lados de una pre- imagen.

= 0

{

{

₎

(

Semejantes

Dos cosas que tienen la misma forma, ángulos congruentes y lados proporcionales.

congruente

no

semejante!

Ángulos suplementarios

Volver al tema

+

+

=

=

S

w/ a la "S", formas un 8, para 180°

Slide 219 / 227

Transformación

Movimiento, aumento o disminución de una forma mientras mantiene igual medida de sus

ángulos y proporcionales las longitudes de sus segmentos. traslación (movimiento ) rotación (movimiento ) dilatación (aumento) Volver al tema

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Traslación

Una figura movida a una posición diferente (izquierda, derecha, arriba, abajo) sin cambio en su

tamaño o forma y sin girarla o darla vuelta.

mueve a la derecha 6 unidades mueve arriba 4 unidades establece la regla: ( x + 6, y + 4 ) ( x + a, y + b ) Volver al tema

Slide 221 / 227

Transversal

rectas (usualmente paralelas).

Volver al tema

Slide 222 / 227

Vértice

líneas rectas/caras/aristas

se encuentran. Una esquina.

A C B vértice vértice vértice

Un

triángulo

tiene 3

vértices.

Ángulos opuestos por el

vértice (ángulo vertical)

rectas se intersecan. Volver al tema 70o 70o 110o 110o 120o 120o 60o X

x = 60

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