Conceptos Básicos de Redes Equivalentes

Conceptos Básicos de Redes Equivalentes

I. Gutierrez, J.I. Huircán

Abstract — Las redes equivalentes permiten la simpli…-cación de redes más complejas, ésto, sustituyendo partes de un red que es más complicada por otra más simple. Esta nueva red de tener las mismas características terminales. Finalemente, se traduce en igualdad de volta je y corriente en los terminales, tanto de la red original como de a la red equivalente.

Index Terms— Electrical Network

I. Introduction

Las redes equivalentes son utilizadas cuando el interés del análisis se centra en una parte especí…ca de la red o en un componente. De esta forma, circuitos complejos se repre-sentan en forma más simple.

II. Conceptos de redes equivalentes

Las redes R1 y R2 serán equivalentes respecto a la red

arbitraria R, si al ser conectadas a dicha red, los valores

de voltajes y corrientes de las componentes de R no se

alteran. R e d R R R e d 1 1 2 n Red R R Red 2 1 2 n

Fig. 1. Redes equivalentes.

La elección de R2 debe ser tal que los cálculos de R

resulten más sencillos que conR1.

Note que si se realizan mediciones externas a las redes

R1 y R2 en R, se obtendrán idénticos resultados. R1 y

R2 pueden contener componentes diferentes y en general

tendrán estructura distintas.

No es posible efectuar comparaciones entre las variables

internas de R1 y R2. Finalmente, R1 y R2 pueden ser

consideradas como cajas negras en el sentido en que no tienen mayor interés para el observador. Lo que se puede

comparar entreR1 y R2 son las relaciones entre sus

vari-ables terminales o sea los voltajes y corrientes que están

asociadas a la redR.

III. Equivalencias debido a iguales caracteristicas de termiales A. Propiedad de conmutatividad

A.1 Conmutatividad en serie

En muchas situaciones es conveniente realizar el inter-cambio de dos o más componentes que se encuentran serie, lo cual permite simpli…car la visión de la red.

Documento preparado en la Universidad de La Frontera para la asignatura de Teoría de Redes I y Redes Eléctricas. ver. 1.5, 2009.

Red R R Red v i 1 + _ C1 C2 v+ _1 v+ _2 Red R R Red v i 2 + _ C 1 C 2v+ _ 1 v+ _ 2

Fig. 2. Propiedad de conmutatividad serie.

Para la Fig. 2, las redes R1 y R2 son equivalentes

re-specto de R y tienen iguales características terminales.

Esto queda en evidencia al plantear la LVK y la LCK.

Sean C1y C2componentes de red de cualquier naturaleza,

de acuerdo a las leyes de Kirccho¤ se tiene:

i = iC1 = iC2 (1)

v = v1+ v2 (2)

La corriente por ambos componentes es la misma y la suma de los voltajes corresponde al voltaje aplicado.

Planteando la LVK en el ejemplo de la Fig. 3, se tiene

vs= vR1+ vb+ vR2+ vC+ vR3 (3) Red R R v 1 R₂ R₃ + + i a v (t)_b i _C 1 R v 1 R2 R₃ + + i a i v (t)b C Red R2

Fig. 3. Conmutatividad de componentes.

Note que la corriente es la misma tanto para R1 como

paraR2. Se han agrupado las fuentes en un sector y los

re-sistores en otra. Esta conmutatividad sólo se puede aplicar a componentes que están en serie.

A.2 Conmutatividad en Paralelo

Sea las redes de la Fig. 4, en la cual los elementos C1 y

C2están en paralelo.

El intercambio de lugar de los componentes no altera las ecuaciones de la red, así

v = vC1 = vC2 (4)

i = i1+ i2 (5)

El voltaje se mantiene en ambos componentes, de ésta

forma la redR1 y R2 son equivalentes. En la Fig. 5, se

Red R R Red v i 1 + _ C1 i₁ C2 i₂ Red R R Red v i 2 + _ C2 C1 i_{2 i1}

Fig. 4. Propiedad de conmutatividad paralelo.

is= i1+ kvx+ i2 (6) Kvx i1 i 2 R₁ R 2 i_s Kvx i1 i2 R₁ R 2 i s

Fig. 5. Comnutatividad paralela.

Se observa que (6) representa ambas redes. B. Propiedad de redundancia

B.1 Redundancia serie

Considere la situación de la Fig. 6.

Red R R Red v i 1 + _ i (t)_s C1 Red R R Red v i 2 + _ i (t)_s

Fig. 6. Propiedad de redundancia serie.

En ambos casos para todo t, i = is(t) y v es

indepen-diente de R1 y R2: Su forma de onda dependerá de R,

por lo tantoR1red equivalente aR2, respecto deR. Así,

todo componente en serie con una fuente de corriente es redundante y se puede eliminar, reemplazándolo por un cortocircuito. En el ejemplo de la Fig. 7 el voltaje en el

resistor Ra siempre está dado por la expresión vR= isRa:

v_R Rc Ra i Rb ₊ _ C Ra vR + _ s is

Fig. 7. Ejemplo de Propiedad de redundancia serie.

B.2 Redundancia paralelo

Sea la redR1de la Fig. 8, en la cual se tiene una fuente

de voltaje vs en paralelo con un elemento, considerando

que i es independiente deR1 yR2. Red R R Red v i 1 + _ v_s+ _C1 Red R R Red v i 2 + _ v_s+

Fig. 8. Propiedad de redundancia en paralelo.

Todo componente en paralelo con una fuente ideal de voltaje es redundante y se puede eliminar reemplazándolo por un circuito abierto. En el ejemplo de la Fig. 9, el voltaje siempre será v = vs:

v_a+ v R1 R2 v_a+ C _{v R} Red + _ R Red + _

Fig. 9. Propiedad de redundancia en paralelo.

C. Características equivalentes de componentes de igual tipo

Un caso clásico son las transformaciones estrella- delta (Y- ) y delta- estrella ( -Y).

R1 R2 R R e d R3 a b c R1 Rca Rbc R R e d Rab a b c R₂

Fig. 10. Ejemplo de la equivalencia Y- .

La red R2 es equivalente a R1, respecto de la red R si

se cumple que R1 = RcaRab Rab+ Rca+ Rcb R2 = RabRbc Rab+ Rca+ Rcb R3 = RcaRbc Rab+ Rca+ Rcb

Para pasar de Y a , se debe aplicar

Rab = R1R2+ R2R3+ R3R1 R3 Rbc = R1R2+ R2R3+ R3R1 R1 Rca = R1R2+ R2R3+ R3R1 R2

En forma general, se tiene que

RY =

Productos de las resistencias adjuntas P

de las resistencias

R =

P

productos de las resistencias en Y en pares La resistencia opuesta Y

IV. Equivalencias debido a valores iguales de las variables

A. Teorema de sustitución de fuentes independientes de voltaje

Si el voltaje terminal de la red R1 es conocido e igual

a vs(t), la red R1 puede sustituirse por la red R2

equiv-alente indicada; siempre que la red R tenga una

carac-terística controlada por voltaje. Si la red R no tiene esta

característica no puede aplicarse.

Red R R Red v i 1 + _ Red R R Red v i 2 + _ v_s+

Fig. 11. Sustitución por una fuente de voltaje.

B. Teorema de sustitución de fuentes independientes de corrientes

Si se conoce que la corriente terminal deR1 es is(t) y si

la redR tiene una característica controlada por corriente

(independiente de la red que se le conecte entre los ter-minales, la corriente debe mantenerse), se puede sustituir

la red R1 por una fuente de corriente is(t) sin alterar la

solución de la redR. Red R _R Red v i 1 + _ Red R R Red v i 2 + _ i_s

Fig. 12. Sustitución por fuente de corriente.

C. Teorema de sustitución por cortocircuito

Si el voltaje terminal de la red R1 es cero, y R tiene

característica controlada por voltaje, la red R2 será

con-siderada equivalente a un cortocircuito.

Planteando la LVK, se tiene v = vs vs= 0.

D. Teorema de sustitución por circuito abierto

Si se sabe que i = 0, se puede reemplazar la redR1por

un circuito abierto.

En la Fig. 14 al plantear la LCK se tiene que i = is is=

0. Un ejemplo clásico es el circuito puente de la Fig. 15, el cual si está equilibrado, no permite el paso de la corriente por la resistencia Ra. Red R R Red v i 1 + _ v + _ s + _vs Red R R Red v i 2 + _

Fig. 13. Sustitución por corto circuito.

Red R R Red v i 1 + _ i_s i_s Red R R Red v i 2 + _

Fig. 14. Sutitución por circuito abierto.

Como la corriente por Ra es cero, el resistor se puede

reemplazar por un circuito abierto.

V. Equivalencias debido a movilidad de fuentes A. Teorema de movilidad de fuentes independientes de

cor-rientes

Sea la red R1 de la Fig. 16, en la cual una fuente de

corriente is(t) alimenta los componentesC1,C2 yC3. Esta fuente puede conectarse en paralelo con cada uno de los componentes indicados, como se muestra para la

redR2. Aplicando la LCK en dicha red, se observa que la

corriente que pasa porC1 y C3 es is(t) y la corriente que

pasa porC2es is(t) i, lo que se cumple enR1.

En la Fig. 17, planteando la LCK para R1 se tiene que

is+ i1 = i2 (7) i2+ i3 = i4 (8) R R Ra v R Red + _ R R R₁ R R v R Red + _ R R R₂

Fig. 15. Sustitución de la resistencia Rapor circuito abierto.

Red R R Red v i 1 + _ C1 i (t)_s C2 C3 Red R R Red v i 2 + _ C1 i (t)_s C2 C3 i (t)s i (t)_s

R R R2 v i _R R₂ s i_s 1 3 4 R R R 1 v + _ i R R₁ s 2 3 4 i1 i₂ i3 i4 + _ i3 i1 i2 i4

Fig. 17. Movilidad de Fuentes de corriente.

Por otro lado, para la redR2, se tiene

is+ i1 = i2 (9)

i2+ is+ i3 = i4+ is (10)

Note que ambos pares de ecuaciones son iguales. B. Teorema de movilidad de fuentes independientes de

ten-sión

Considerando la siguiente con…guración.

v Red R R Red v i 1 + _ + s 1 2 n ... Red R R Red 2 vs₊ + + vs vs v + _ 1 2 n

Fig. 18. Movilidad de fuentes de voltaje.

Una fuente de voltaje v conectada a varios terminales simultáneamente. Estos terminales pueden ser separados cada uno conectado a una fuente respectiva. Note en la Fig.

18 que tanto en la red R1 y en la red R2 cada terminal

está sometido a un voltaje vs.

Sea el ejemplo de la Fig. 19.

v v i + _ + s R2 R3 v₁+ i + 2 R₁ k 2 i v v i + _ + s R2 R3 v₁+ i₂+ R₁ R 2 i v_s+ v_s+

Fig. 19. Ejemplo de movilidad de fuentes de voltaje.

Planteando la LVK

vs = i2R2 (11)

vs = vR3+ v1 (12)

vs = Ri2+ vR1 (13)

Observe que (11), (12) y (13) representan aambas redes. VI. Equivalencias debido a transformación de

fuentes

Planteando un LKV en la redR1 de la Fig. 20, se tiene

vs(t) = i(t)Rs+ v (14) Despejando la corriente i(t) = vs(t) Rs v Rs (15) La corriente i(t) esta dada por la resta de dos corrientes.

v (t) Rs s Red R v i(t) 1 + _ + Red R v (t)s Rs Red R v i(t) 2 + _ Red R Rs

Fig. 20. Transformnación de fuentes.

Por otro lado, en la red R2, la corriente i(t) será

i(t) = vs(t) R

v Rs

(16) Como las ecuaciones (15) y (16) son idénticas, las redes

R1 yR2 son equivalentes. Es decir, una fuente de voltaje

en serie con un resistor puede ser transformado en una fuente de corriente en pararlelo con un resistor. Esto puede ser extendido para capacitores e inductores en la misma posición serie.

Sea la fuente de voltaje en serie con un bobina de

induc-tancia L; planteando la LVK en la redR1de la Fig. 21, se

tiene vs(t) = L diL dt + v v (t) L s Red R v i(t) 1 + _ + Red R i (t)L L Red R v i (t) 2 + _ Red R

∫

Fig. 21. Transformación de fuente de voltaje en serie con un inductor.

i(t) = 1 L Z t 0 vs( )d 1 L Z t 0 v( )d (17)

Para la redR2, se tiene que la corriente i(t) será

i(t) = is iL (18) = 1 L Z t 0 vs( )d 1 L Z t 0 v( )d (19)

Luego, como (17) y (19) son idénticas, ambas redes son equivalentes.

Sea la red de la Fig. 22, donde se tiene una fuente de voltaje en serie con un capacitor, planteando la LVK

v (t) C s Red R v i (t) 1 + _ + Red R C ₌ dtv is Cds C Red R v i (t) 2 + _ Red R i(t) i (t)_C

Fig. 22. Transformación de fuente de voltaje en serie con un capac-itor. vs(t) = 1 C Z t 0 iC( )d + v (20)

Sin embargo, iC(t) = i(t); despejando la corriente

i(t) = Cdvs

dt C

dv

dt (21)

Para la redR2, se tiene

i = Cdvs dt ic (22) = Cdvs dt C dv dt (23)

Se observa que (21) y (23) son idénticas, luego R1 es

equivalente aR2.

VII. Equivalencia respecto de un instante de referencia

Cuando se desea saber el comportamiento de una parte de la red para tiempos mayores que un tiempo de referencia

t = to, las redes pueden ser consideradas equivalentes a

partir de dicho tiempo, muchas veces este tiempo de refer-encia se elige como t = 0.

A. Redes con interruptores

La red R1 de la Fig. 23 tiene un interruptor el cual

se cierra en t = 0, esto puede ser reemplazado por una fuente que se encuentre activa sólo par instantes de tiempo, t > 0, lo que es equivalente a multiplicar dicha fuente por un escalón unitario. v (t)_s Red R v t=0 1 + _ + Red R v (t)s Red R v 2 + _ + _Red R u(t)

Fig. 23. Fuente con interruptor.

De acuerdo a la Fig. 23 , la red R2 es equivalente a

R1 para tiempos mayores que cero, respecto de R. Los

voltajes y corrientes deR1 conectados aR2, sólo podrán

determinarse para tiempos mayores que cero. B. Redes con capacitores cargados

Un condensador con una carga inicial, puede ser rep-resentado como un condensador sin carga en serie con una fuente de voltaje, la cual representa el voltaje inicial (carga) del condensador.

C Red R v i (t) 1 + _ Red R c v + _ c v (0)=0_c C Red R v i (t) 2 + _ Red R c v' + _ c v (0)u(t)_c + v' (0)=0_c

Fig. 24. Condensador con carga inicial.

Para la redR1se tiene que

v = vc(t) (24) = 1 C Z t 0 i ( ) d + vC(0) (25)

Por otro lado para la red R2 se tiene

v = v;_C(t) + vC(0) u(t) (26)

Pero como v_C; (t) = 1_cR₀ti ( ) d , entonces

v = 1

c

Z t

0

i ( ) d + vC(0) u(t) (27)

Luego la redR1será equivalente a la redR2para t > 0.

C. Redes con inductores con energía almacenada

Un inductor con energía almacenada, puede ser repre-sentado por un inductor descargado en paralelo con una fuente de corriente, la cual dará cuenta de la energía ini-cial.

Para la redR1se tiene que

i = iL(t) (28) = 1 L Z t 0 v ( ) d + iL(0) (29)

L Red R v i (t) 1 + _ Red R L v + _ L i (0)= 0_L i (0)u(t) L L Red R v i' (t) 2 + _ Red R L i' (0)= 0L i(t)

Fig. 25. Inductor con energía inicial y su equivalente.

Por otro lado para la redR2 se tiene

i = i;_L(t) + iL(0) u(t) (30)

Pero como i;_L(t) = _L1 R₀tv ( ) d , entonces

i = 1

L

Z t

0

v ( ) d + iL(0) u(t) (31)

Luego la redR1 será equivalente a la redR2para t > 0.

En general, se reemplazan elementos con energía inicial almacenada, por elementos sin energía inicial, con sus cor-respondientes fuentes de voltaje en serie (para el caso de un condensador) y las fuentes de corriente en paralelo (para el caso de los inductores).

VIII. Redes equivalentes debido a aproximaciones numéricas

Algunas veces se está interesado en ver el comportamiento cualitativo de la red, o bien, la tolerancia de los compo-nentes hace aconsejable simpli…car los cálculos, debido a que sólo ciertas cifras tendrán signi…cado.

A. Redes equivalentes al 10%

Cuando los valores de los componentes di…eren mucho en sus valores, pueden no ser considerados en el análisis, pues, su efecto no incide mucho en el resultado. Un cri-terio muy utilizado es la equivalencia al 10%, esto quiere decir por ejemplo si para dos resistores en serie y uno de ellos tiene un valor equivalente al 10% del otro, el menor podría despreciarse. Esto es factible ya que comúnmente se trabajan con resistores que tienen una tolerancia entre el 5 y 10%, luego, no se cometería error grave al despreciar el componente con menor valor.

Ra Red R v i 1 + _ Red R Rb Ra Red R v i 2 + _ Red R Fig. 26. Aproximación al 10%.

R2 es equivalente al 10% con R1 si se cumple que

Rb< Ra

10 (32)

Observe que al calcular la resistencia en serie, si Ra >>

Rb, entonces Ra Ra+ Rb.

Sean las redes de la Fig. 27.

Ra Red R v i 1 + _ Red R Rb Red R v i 2 + _ Red R Rb

Fig. 27. Equivalencia al 10% de resistores en paralelo.

R2 es equivalente al 10% conR1 si se cumple que

Ra> 10Rb (33)

En este caso, si Ra>> Rb entonces RajjRb Rb. B. Redes con valores de componentes que tienden a cero

Si un resistor o inductor lineal e invariante en el tiempo tiende a cero, puede aplicarse el teorema de sustitución

por cortocircuito. Esto es debido a que si vr= iR, luego,

si R ! 0, entonces vr ! 0. Por otro lado, el voltaje en

un inductor está dado por LdiL

dt, luego si L ! 0, entonces LdiL dt ! 0. R Red R v i 1 + _ Red R 0 Red R v i 2 + _ Red R

Fig. 28. Reemplazo de una resistencia por un Cortocircuito.

L Red R v i 1 + _ Red R 0 Red R v i 2 + _ Red R

Fig. 29. Reemplazo de un inductor por un cortocircuito.

Si la capacidad de un condensador lineal e invariante en el tiempo tiende a cero se puede aplicar la sustitución por

circuito abierto, pues, la expresión i = CdvC

dt ! 0.

C. Redes con valores de componentes que tienden a in…nito Cuando el parámetro del resistor e inductor lineal in-variante en el tiempo tiende a in…nito, se aplica la sustitu-ción por circuito abierto, esto es porque para el resistor se

C Red R v i (t) 1 + _ Red R 0 Red R v i (t) 2 + _ Red R

Fig. 30. Reemplazo de un Capacitor por un circuito abierto.

cumple que iR = _Rv lo cual tiende a cero y por otro lado

para el inductor se tiene que iL=_L1 R₀tvL( )d ! 0. Si un condensador tiende a in…nito, se reemplaza por un cortocircuito, pues, vc =_C1 Rt 0ic( )d ! 0. R Red R v i 1 + _ Red R ∞ Red R v i 2 + _ Red R

Fig. 31. Reemplazo de una resistencia por un circuito abierto.

C Red R v i (t) 1 + _ Red R ∞ Red R v i (t) 2 + _ Red R

Fig. 32. Reemplazo de un capacitor por un cortocircuito.

D. Redes equivalentes debido al rango de operación Si se sabe que algunas variables están limitadas dentro de un rango dado, no se pueden efectuar aproximaciones. Las características no lineales pueden aproximarse por segmen-tos lineales, dentro de un rango de operación, permitiendo así un tratamiento más simple. La importancia práctica de esta situación permite modelar dispositivos eléctricos y electrónicos con características no lineales, a través de los métodos estudiados.

IX. Conclusiones

Los conceptos de redes equivalentes permiten simpli…car y reducir las redes, haciendo más simple el análisis. Estos conc.ptos puede ser usado previo a la aplicación de técnicas más elaboradas para el análisis.

References

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