Guía de Matemáticas
Para uso a partir de enero o septiembre de 2008 Programa de los Años IntermediosGuía de Matemáticas
Para uso a partir de enero o septiembre de 2008 Programa de los Años IntermediosPrimera publicación en enero de 2009
Reeditada en febrero de 2010 con ejemplos de objetivos intermedios Bachillerato Internacional
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Programa de los Años Intermedios
Guía de Matemáticas
Versión en español del documento publicado en enero de 2009 con el título Mathematics guide
Declaración de principios del IB
El Bachillerato Internacional (IB) tiene como meta formar jóvenes solidarios, informados y ávidos de conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y más pacífico, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto intercultural.
En pos de este objetivo, la organización colabora con establecimientos escolares, gobiernos y organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educación internacional exigentes y métodos de evaluación rigurosos.
Estos programas alientan a estudiantes del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus diferencias, también pueden estar en lo cierto.
Perfil de la comunidad de aprendizaje del IB
El objetivo fundamental de los programas del IB es formar personas con mentalidad internacional que, conscientes de la condición que los une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta, contribuyan a crear un mundo mejor y más pacífico.
Los miembros de la comunidad de aprendizaje del IB se esfuerzan por ser:
Indagadores Desarrollan su curiosidad natural. Adquieren las habilidades necesarias para indagar y realizar investigaciones, y demuestran autonomía en su aprendizaje. Disfrutan aprendiendo y mantendrán estas ansias de aprender durante el resto de su vida.
Informados e instruidos
Exploran conceptos, ideas y cuestiones de importancia local y mundial y, al hacerlo, adquieren conocimientos y profundizan su comprensión de una amplia y equilibrada gama de disciplinas.
Pensadores Aplican, por propia iniciativa, sus habilidades intelectuales de manera crítica y creativa para reconocer y abordar problemas complejos, y para tomar decisiones razonadas y éticas.
Buenos comunicadores
Comprenden y expresan ideas e información con confianza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes y formas de comunicación. Están bien dispuestos a colaborar con otros y lo hacen de forma eficaz.
Íntegros Actúan con integridad y honradez, poseen un profundo sentido de la equidad, la justicia y el respeto por la dignidad de las personas, los grupos y las comunidades. Asumen la responsabilidad de sus propios actos y las consecuencias derivadas de ellos.
De mentalidad abierta
Entienden y aprecian su propia cultura e historia personal, y están abiertos a las perspectivas, valores y tradiciones de otras personas y comunidades. Están habituados a buscar y considerar distintos puntos de vista y dispuestos a aprender de la experiencia. Solidarios Muestran empatía, sensibilidad y respeto por las necesidades y sentimientos de los
demás. Se comprometen personalmente a ayudar a los demás y actúan con el propósito de influir positivamente en la vida de las personas y el medio ambiente.
Audaces Abordan situaciones desconocidas e inciertas con sensatez y determinación y su espíritu independiente les permite explorar nuevos roles, ideas y estrategias. Defienden aquello en lo que creen con elocuencia y valor.
Equilibrados Entienden la importancia del equilibrio físico, mental y emocional para lograr el bienestar personal propio y el de los demás.
Reflexivos Evalúan detenidamente su propio aprendizaje y experiencias. Son capaces de reconocer y comprender sus cualidades y limitaciones para, de este modo, contribuir a su aprendizaje y desarrollo personal.
Índice
Matemáticas del PAI
1
Cómo utilizar esta guía 1
Introducción a Matemáticas del PAI 2
Objetivos generales y específicos 4
Requisitos 7
Desarrollo del currículo 11
Marco general de Matemáticas 20
Evaluación
28
La evaluación en el PAI 28
Criterios de evaluación de Matemáticas 30
Cómo determinar la calificación final 35
Matemáticas: moderación 37
Matemáticas: seguimiento de la evaluación 42
Apéndices
44
Preguntas frecuentes 44
Glosario de Matemáticas del PAI 51
Cómo utilizar esta guía
Matemáticas del PAI
Este documento proporciona el marco para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el Programa de los Años Intermedios (PAI) y debe leerse y utilizarse junto con el documento El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008).
La guía se publicó originalmente en julio de 2007 para comenzar a utilizarse en enero de 2008 (hemisferio sur) y septiembre de 2008 (hemisferio norte). No obstante, puesto que la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008) incluye ahora toda la información general acerca del programa, se ha modificado el contenido de las guías de los grupos de asignaturas de manera que únicamente incluyan información específica de cada asignatura.
La edición revisada de la guía de Matemáticas incluye toda la información específica que contenía la edición anterior. Es importante destacar que no han cambiado los requisitos del grupo de asignaturas, los objetivos generales y específicos ni la sección sobre la evaluación final. En cambio, se ha eliminado información general acerca del PAI y se ha agregado más información específica del grupo de asignaturas (como ejemplos de preguntas relacionadas con cada una de las áreas de interacción).
Introducción a Matemáticas del PAI
Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino la suprema belleza.
Bertrand Russell
Las matemáticas cumplen una función fundamental tanto dentro del colegio como en la sociedad en general. Fomentan un lenguaje universal que ofrece enormes posibilidades, y estimulan las habilidades de razonamiento analítico y resolución de problemas que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico, abstracto y analítico. Además, comprender y ser capaz de utilizar las matemáticas con confianza no solo es una ventaja para la educación dentro del colegio sino también para la resolución de problemas y la toma de decisiones en la vida diaria. Por lo tanto, debe ser una asignatura al alcance de todos los alumnos y que todos los alumnos deben estudiar.
Las matemáticas constituyen la base para el estudio de las ciencias, la ingeniería y la tecnología, y son cada vez más importantes en otras áreas del conocimiento tales como la economía y otras ciencias sociales. El curso de Matemáticas del PAI tiene como objetivo proporcionar a los alumnos los conocimientos, la comprensión y las habilidades intelectuales necesarias para realizar cursos posteriores en esta disciplina, así como preparar a aquellos alumnos que utilizarán las matemáticas en su trabajo y en la vida en general. En Matemáticas del PAI, los cuatro objetivos principales buscan plasmar las características del perfil de la comunidad de aprendizaje del BI, ya que fomentan el desarrollo de alumnos que sean informados e instruidos, indagadores, buenos comunicadores y reflexivos.
El conocimiento y la comprensión promueven el aprendizaje de las matemáticas, permitiendo a los alumnos interpretar resultados, formular conjeturas y emplear el razonamiento matemático para resolver problemas en el colegio y en situaciones de la vida real.
La investigación de patrones sirve de apoyo al aprendizaje basado en la indagación. Mediante las investigaciones, los profesores ofrecen a los alumnos la posibilidad de descubrir por sí mismos, reconocer patrones y estructuras y describirlos como relaciones o reglas generales, y explicar su razonamiento empleando justificaciones y demostraciones matemáticas.
La comunicación en matemáticas estimula a los alumnos a utilizar el lenguaje matemático y las diversas formas de representarlo para comunicar los hallazgos y los razonamientos de manera eficaz, tanto oralmente como por escrito.
La reflexión en matemáticas les ofrece la oportunidad de reflexionar sobre los hallazgos y los procesos utilizados, además de evaluar su importancia en contextos de la vida diaria. La reflexión permite a los alumnos conocer sus puntos fuertes y los desafíos que enfrentan en el proceso de aprendizaje.
En general, se espera que a través del curso de Matemáticas del PAI todos los alumnos logren apreciar la belleza y utilidad de las matemáticas como importante legado cultural e intelectual de la humanidad, y como instrumento valioso para los cambios sociales y económicos.
Esta guía ofrece a los profesores y alumnos del PAI: Los requisitos del curso
t
Estrategias para incorporar las áreas de interacción a las matemáticas t
Los objetivos generales y específicos del curso de Matemáticas del PAI t
Introducción a Matemáticas del PAI
El marco curricular prescrito t
Información pormenorizada sobre los requisitos de la evaluación final, incluida la moderación y el t
seguimiento de la evaluación
El IB publica un material de ayuda al profesor que complementa esta guía y facilita la implementación del curso en los colegios.
El continuo de matemáticas del IB
Matemáticas del PAI se basa en las experiencias de aprendizaje de matemáticas que los alumnos han adquirido durante el Programa de la Escuela Primaria del IB (PEP). Las experiencias de enseñanza y aprendizaje del PEP animan a los alumnos a que sean curiosos, hagan preguntas, exploren e interactúen con el entorno de forma física, social e intelectual para que construyan significado y perfeccionen su comprensión. El uso de la indagación estructurada los prepara para el enfoque basado en la indagación y la resolución de problemas de Matemáticas del PAI. Los alumnos que continúen su formación en el Programa del Diploma del IB no solo habrán desarrollado un enfoque de indagación y reflexión en el aprendizaje de las matemáticas sino también habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas que podrán aplicar y ampliar en posteriores cursos de matemáticas del Programa del Diploma. En concreto, el marco general de Matemáticas del PAI refleja los conceptos y habilidades que se consideran conocimientos previos necesarios para los cursos de Matemáticas Nivel Medio (NM) y Matemáticas Nivel Superior (NS) del Programa del Diploma. Los dos niveles de Matemáticas del PAI (general y avanzado) se han perfeccionado para facilitar la transición entre Matemáticas del PAI y los cursos de Matemáticas del Programa del Diploma.
Objetivos generales y específicos
Objetivos generales
Los objetivos generales de todas las asignaturas del PAI formulan a grandes rasgos lo que se espera que el profesor enseñe o lleve a cabo durante el curso y lo que el alumno podrá experimentar o aprender en las clases. Además, sugieren las formas en que la experiencia del aprendizaje puede transformar al alumno. Los objetivos generales de la enseñanza y del aprendizaje de Matemáticas son fomentar y favorecer que los alumnos:
Reconozcan que las matemáticas están presentes en el mundo que nos rodea t
Aprecien la utilidad, la importancia y la belleza de las matemáticas t
Disfruten de las matemáticas y desarrollen paciencia y constancia en la resolución de problemas t
Comprendan el lenguaje, los símbolos y la notación matemáticos y sean capaces de utilizarlos t
Desarrollen la curiosidad matemática y utilicen el razonamiento inductivo y deductivo para resolver t
problemas
Adquieran confianza en el uso de las matemáticas para analizar y resolver problemas tanto en el t
colegio como en situaciones de la vida real
Desarrollen el conocimiento, las habilidades y las actitudes necesarias para continuar estudiando t
matemáticas
Desarrollen el pensamiento abstracto, lógico y crítico y la capacidad de reflexionar sobre su propio t
trabajo y el de los demás
Desarrollen una apreciación crítica del uso de las tecnologías de la información y las comunicaciones t
(TIC) en matemáticas
Aprecien la dimensión internacional de las matemáticas y sus diversas perspectivas culturales e t
históricas
Objetivos específicos
Los objetivos específicos de todas las asignaturas del PAI formulan los fines concretos que se persiguen con el aprendizaje de la asignatura. Establecen lo que el alumno será capaz de hacer como resultado de haber estudiado la asignatura.
Los siguientes objetivos específicos de Matemáticas están directamente relacionados con los criterios de evaluación A a D (véase la sección “Criterios de evaluación de Matemáticas”).
A Conocimiento y comprensión
El conocimiento y la comprensión son fundamentales en el estudio de las matemáticas y constituyen la base para explorar conceptos y desarrollar habilidades para la resolución de problemas. A través del conocimiento y la comprensión, los alumnos desarrollan el razonamiento matemático para hacer deducciones y resolver
Objetivos generales y específicos
Al final del curso, el alumno debe ser capaz de:
Conocer y demostrar comprensión de los conceptos de las cinco ramas de las matemáticas (números y t
operaciones, álgebra, geometría y trigonometría, estadística y probabilidad, y matemática discreta) Hacer uso adecuado de las habilidades y los conceptos matemáticos al resolver problemas en t
situaciones conocidas y desconocidas, incluidos aquellos tomados de contextos de la vida real Seleccionar y aplicar correctamente reglas generales para resolver problemas, incluidos aquellos t
tomados de contextos de la vida real
B Investigación de patrones
La investigación de patrones permite a los alumnos experimentar el placer y la satisfacción del descubrimiento matemático. La indagación matemática los anima a ser audaces, indagadores y pensadores críticos. La capacidad de indagar es de gran valor en el PAI y contribuye a formar personas que continúan aprendiendo durante toda la vida.
Mediante el uso de investigaciones matemáticas, los alumnos tienen la oportunidad de aplicar conocimientos matemáticos y técnicas de resolución de problemas, generar y analizar información, encontrar relaciones y patrones, y describirlos en términos matemáticos como reglas generales proporcionando justificaciones o pruebas.
Al final del curso, cuando se investiguen problemas tanto teóricos como de la vida real, el alumno debe ser capaz de:
Seleccionar y aplicar las técnicas matemáticas de resolución de problemas y de investigación t
adecuadas
Reconocer patrones t
Describir patrones como relaciones o reglas generales t
Extraer conclusiones coherentes con los hallazgos t
Justificar o demostrar reglas generales y relaciones matemáticas t
C Comunicación en matemáticas
Las matemáticas constituyen un lenguaje universal que ofrece enormes posibilidades. Se espera que los alumnos utilicen el lenguaje matemático adecuadamente al comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos, tanto de forma oral como escrita.
Al final del curso el alumno deberá ser capaz de comunicar las ideas, los razonamientos y los hallazgos demostrando que:
Utiliza el lenguaje matemático adecuado (notación, símbolos, terminología) en explicaciones tanto t
orales como escritas
Utiliza diferentes formas de representación matemática (fórmulas, diagramas, tablas, cuadros, gráficas t
y modelos)
Comunica una línea de razonamiento matemático completa y coherente utilizando diferentes formas t
de representación en la investigación de problemas complejos
Se anima a los alumnos a elegir y utilizar las TIC apropiadas, cuando dispongan de ellas, para mejorar la comunicación de sus ideas matemáticas. Dichas herramientas pueden incluir calculadoras de pantalla gráfica, capturas de pantalla, programas de elaboración de gráficas, hojas de cálculo, bases de datos, procesadores de textos y programas de dibujo.
Objetivos generales y específicos
D Reflexión en matemáticas
La asignatura de Matemáticas del PAI favorece que los alumnos reflexionen sobre sus hallazgos y los procesos de resolución de problemas que utilizan. Se les estimula a comunicar sus ideas a profesores y compañeros, y a examinar diferentes estrategias para la resolución de problemas. La reflexión crítica en matemáticas los ayuda a identificar sus puntos fuertes y débiles y apreciar el valor de los errores como eficaces elementos motivadores del aprendizaje y la comprensión.
Al final del curso, el alumno debe ser capaz de:
Explicar si sus resultados tienen sentido en el contexto del problema t
Explicar la importancia de sus hallazgos t
Justificar el grado de precisión de sus resultados, cuando corresponda t
Sugerir mejoras para el método cuando sea necesario t
Requisitos
Matemáticas es un componente obligatorio en todos los años del PAI.
Organización del curso de Matemáticas en el
colegio
Es responsabilidad de los colegios desarrollar su propio currículo para Matemáticas del PAI de modo que los objetivos generales y específicos finales establecidos por el IB puedan alcanzarse satisfactoriamente al final del programa. El PAI permite a los colegios gran flexibilidad en la forma de estructurar y organizar sus cursos, para que también cumplan con los requisitos de los sistemas educativos locales y nacionales.
Horas lectivas
Es esencial que los profesores dispongan en el colegio del número de horas lectivas necesarias para cumplir los requisitos del curso de Matemáticas. Si bien el mínimo prescrito de horas lectivas para cada grupo de asignaturas en cada año es de 50, el IB reconoce que, en la práctica, serán necesarias más horas, no solo para cumplir los requisitos del programa en los cinco años, sino también para poder enseñar las disciplinas simultáneamente, con continuidad y en cada año del programa, lo cual hace posible el aprendizaje interdisciplinario.
Además, los colegios deben asegurarse de que los alumnos dispongan de tiempo de clase suficiente para poder alcanzar los objetivos finales de Matemáticas.
Marco general de Matemáticas
El curso de Matemáticas del PAI proporciona un marco de conceptos y habilidades organizado en las siguientes ramas de la disciplina:
Números y operaciones t Álgebra t Geometría y trigonometría t Estadística y probabilidad t Matemática discreta t
Los colegios deben estructurar sus currículos de Matemáticas de modo que las cinco ramas mencionadas se estudien a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa.
Se espera que utilicen este marco general como herramienta para elaborar un mapa curricular que les permita realizar la planificación vertical y la articulación horizontal de los cursos y desarrollar unidades de trabajo para Matemáticas. No se prescribe ningún orden o secuencia en particular para el estudio de las distintas ramas incluidas en el marco general, así como tampoco ningún modo específico de utilizar los conceptos y las habilidades a la hora de estructurar las unidades de trabajo. Los colegios pueden desarrollar los cursos y estructurar las unidades de trabajo de manera que se ajusten a sus preferencias y a las necesidades de sus alumnos.
Requisitos
No obstante, a lo largo de los cinco años de duración del programa los colegios deben asegurarse de ofrecer a sus alumnos oportunidades de aprendizaje en todas las ramas del marco general y garantizar que no se vea afectado el cumplimiento de los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI.
Niveles de Matemáticas
Matemáticas del PAI debe ser una disciplina al alcance de todos los alumnos y que todos los alumnos deben estudiar. Los colegios deben asegurarse de que el currículo permita a todos los alumnos desarrollar su potencial al máximo y alcanzar los objetivos generales y específicos finales de la asignatura. Para ello, los conceptos y habilidades del marco general están organizados de manera que los alumnos puedan trabajar en dos niveles de aptitud: Matemáticas (nivel general) y Matemáticas (nivel avanzado).
Matemáticas (nivel general) ofrece a todos los alumnos un conocimiento sólido de los conceptos
matemáticos básicos y, además, les permite desarrollar las habilidades necesarias para cumplir con los objetivos específicos de la asignatura.
Matemáticas (nivel avanzado) incluye el marco del nivel general complementado por conceptos y
habilidades adicionales. Este nivel proporciona las bases para los alumnos que deseen realizar estudios avanzados de matemáticas, por ejemplo, Matemáticas Nivel Superior (NS) en el Programa del Diploma. Ambos niveles permiten solicitar calificaciones finales validadas por el IB y la certificación al término del programa. Los colegios pueden ofrecer un solo nivel o ambos; en este último caso, se ubicará a los alumnos en el nivel que corresponda.
Los criterios de evaluación de Matemáticas, que se refieren directamente a los objetivos generales y específicos de la asignatura, se aplican en los dos niveles. Para consultar ejemplos de cómo aplicar los criterios cuando se evalúa el trabajo de los alumnos, véase el material de ayuda al profesor que complementa esta guía.
Enseñanza diferenciada y necesidades educativas especiales
Se reconoce que todos los alumnos no aprenden matemáticas al mismo ritmo ni de la misma forma, y que no responden de igual manera a las mismas estrategias de enseñanza. Los alumnos de un mismo año pueden presentar aptitudes muy diferentes para las matemáticas, y pueden contar con distintos conocimientos previos y experiencias en relación con la disciplina. También pueden tener diferentes intereses y preferencias en cuanto a la forma de aprender. Sin embargo, es importante que se ofrezca a todos los alumnos una experiencia de aprendizaje positiva en matemáticas y la oportunidad de desarrollar su potencial al máximo. Cuando los alumnos de una misma clase presentan diversos niveles de aptitud, los profesores deben diferenciar la enseñanza y adaptar las tareas de evaluación teniendo en cuenta la diversidad de habilidades y aptitudes presentes en la clase. Es responsabilidad de los colegios y los profesores desarrollar estrategias de enseñanza y aprendizaje que ofrezcan a los alumnos la oportunidad de alcanzar los objetivos finales de Matemáticas del PAI.
Existen distintas formas de diferenciar la enseñanza, tales como:
Examinar el contenido del curso y determinar qué nivel esencial de comprensión se requiere en cada t
caso
Centrarse en los resultados y permitir diferentes modos de demostrar la comprensión t
Evaluar cuál es la mejor manera de utilizar el espacio, el tiempo y los recursos de que se dispone para t
crear condiciones eficaces que permitan mejorar el aprendizaje de todos los alumnos
Para obtener más información y asesoramiento sobre la enseñanza diferenciada y cómo crear un entorno donde los alumnos con necesidades educativas especiales se integren eficazmente, consulte la página de necesidades educativas especiales, los materiales pedagógicos y los foros de debate respectivos en el
Requisitos
Recursos pedagógicos
Los recursos usados y las tareas asignadas deberán escogerse y prepararse cuidadosamente para permitir el logro de los objetivos específicos y la aplicación de los criterios de evaluación. Los recursos pedagógicos del colegio también deben reflejar los diferentes niveles de aptitud de los alumnos.
Biblioteca
Los colegios deben facilitar a profesores y alumnos una amplia variedad de recursos pedagógicos para reforzar la enseñanza y el aprendizaje en matemáticas. Una biblioteca dotada de un amplio catálogo y actualizada, provista de libros, revistas y recursos multimedia y que refleje la diversidad de aptitudes de los alumnos del colegio puede contribuir a incentivar su curiosidad y a estimular su interés.
Tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC)
El uso adecuado de computadores, aplicaciones informáticas y calculadoras pueden contribuir a la comprensión de los temas por parte de todos los alumnos.
Dependiendo de los recursos del colegio, las TIC deben utilizarse cuando resulte apropiado:
Como medio para ampliar los conocimientos que tienen los alumnos sobre el mundo en que viven t
Como vía para desarrollar conceptos y habilidades t
Como una poderosa herramienta de comunicación t
Las TIC ofrecen una amplia variedad de recursos y aplicaciones que los profesores pueden explorar a fin de mejorar la enseñanza y el aprendizaje.
En matemáticas, pueden utilizarse como herramienta para realizar cálculos complejos, resolver problemas, dibujar gráficas e interpretar y analizar datos. También pueden resultar útiles para:
Investigar datos y conceptos matemáticos t
Obtener respuestas rápidamente en la comprobación de soluciones t
Observar patrones y hacer generalizaciones t
Pasar de la representación analítica a la gráfica y viceversa t
Visualizar transformaciones geométricas t
Asimismo, el uso adecuado de las TIC puede contribuir al desarrollo de las habilidades de comunicación de los alumnos, ya que resultan de utilidad en la recopilación, organización y análisis de la información y en la presentación de los hallazgos.
No obstante, para que las TIC constituyan una herramienta útil para el aprendizaje, los alumnos deben estar familiarizados con los recursos y las aplicaciones, y saber cómo y cuándo utilizarlos. Los alumnos deben ser capaces de decidir cuándo resulta apropiado el uso de estas tecnologías y cuándo es mejor utilizar otros métodos, tales como papel y lápiz, cálculo mental o diagramas. Por lo tanto, es importante que los profesores les enseñen cómo emplear estos recursos de modo eficaz apoyando a la vez el desarrollo de sus habilidades intelectuales.
Las TIC pueden servir de apoyo a los alumnos con necesidades educativas especiales que tengan dificultades para entender un concepto en particular o que requieran más práctica. También pueden suponer un desafío adicional a los alumnos talentosos y superdotados, permitiéndoles explorar otras ideas y conceptos. Las tecnologías adaptativas pueden ayudar a los alumnos con dificultades de aprendizaje graves a participar en la clase junto con sus compañeros. Para obtener más información sobre tecnologías adaptativas y necesidades educativas especiales, véase la sección correspondiente a dichas necesidades educativas en el CPEL.
Requisitos
Algunos recursos relacionados con las TIC que se pueden emplear en matemáticas son: Bases de datos y hojas de cálculo
t
Programas informáticos de trazado de gráficas t
Programas de geometría dinámica t
Programas de cálculo simbólico t
Lenguajes de programación t
Programas de contenido matemático específico t
Calculadoras de pantalla gráfica t
Motores de búsqueda en Internet t
CD–ROM t
Procesadores de textos y programas de autoedición t
Organizadores gráficos t
Lenguas de instrucción
En aquellos colegios en que la lengua de instrucción de Matemáticas no es la lengua materna de algunos de los alumnos, deben tomarse las medidas necesarias para que dichos alumnos no se encuentren en desventaja y tengan la oportunidad de demostrar el nivel de logro más alto de los objetivos finales. Estas medidas pueden incluir:
La capacitación de profesores t
La adaptación del lenguaje de los materiales t
La diferenciación de las tareas de evaluación t
La búsqueda de recursos paralelos en la lengua materna de los alumnos t
Para obtener más información, véase el documento El aprendizaje en una lengua distinta a la materna en los programas del IB.
Desarrollo profesional
El desarrollo profesional debe planificarse cuidadosamente en el colegio con el fin de ayudar a los profesores a cumplir los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI. Es necesario que los profesores tengan la posibilidad de asistir a talleres realizados en el colegio y conferencias regionales del IB para poder comprender cabalmente la filosofía en que se basa el programa y los requisitos de Matemáticas del PAI en particular.
El Centro pedagógico en línea (CPEL)
El CPEL es un recurso valioso para los profesores del PAI. Se invita a los profesores a participar y aportar materiales en este sitio web como forma de desarrollar la comunidad de aprendizaje en línea del IB. El CPEL ofrece foros de debate y materiales didácticos para todos los grupos de asignaturas del PAI, el Proyecto Personal, las necesidades educativas especiales y la probidad académica.
Cuenta también con consejeros pedagógicos designados por el IB que responden a consultas de los profesores y les proporcionan asesoramiento sobre la enseñanza, el aprendizaje, la implementación del programa y la moderación. Los profesores pueden publicar consultas, compartir materiales y descargar todas las publicaciones oficiales del IB. Para obtener el código del colegio y la contraseña de acceso, póngase en contacto con su coordinador del PAI.
Desarrollo del currículo
Introducción
Todos los grupos de asignaturas del PAI, incluido Matemáticas, tienen un marco curricular con objetivos generales y específicos finales. Los colegios son responsables de desarrollar y estructurar los cursos de forma que permitan a los alumnos alcanzar dichos objetivos al final del programa.
Se espera que los profesores organicen las experiencias de enseñanza y aprendizaje de los alumnos para cada año del programa. Los cursos de Matemáticas del PAI deben estructurarse cuidadosamente de manera secuencial y articulada con el fin de contribuir a que los alumnos desarrollen su comprensión conceptual y habilidades prácticas e intelectuales, así como valores y creencias personales.
El PAI insta a los colegios a facilitar y promover el trabajo en colaboración para planificar y revisar el currículo, así como para reflexionar sobre este.
El personal responsable de la enseñanza y el aprendizaje de Matemáticas deberá determinar los contenidos de la asignatura en cada año para asegurarse de que las cinco ramas del marco general se cubren a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa. Todos los objetivos específicos se deben desarrollar en el nivel apropiado en cada año del programa. Al planificar el currículo de Matemáticas, los profesores deberán organizar los objetivos específicos de modo que lo que se aprenda del primer al cuarto año permita alcanzar los niveles de logro más altos en el último año del programa, para lo cual debe haber una continuidad y una progresión en todos los objetivos específicos. Los objetivos específicos enunciados en esta guía y los ejemplos de objetivos intermedios de Matemáticas disponibles en el CPEL servirán a los profesores para tomar decisiones sobre la elección de contenidos y experiencias de aprendizaje que se ofrecerán a los alumnos, incluidos los tipos de evaluación adecuados para cada etapa de desarrollo particular de los alumnos.
Al desarrollar el currículo para los distintos años del programa, se recomienda a los profesores que planifiquen tareas o unidades de trabajo cada vez más complejas que cubran los objetivos específicos en todo su alcance. No obstante, en estas tareas o unidades puede haber, a su vez, tareas o unidades de trabajo más pequeñas que se concentren en objetivos específicos.
En el último año del programa, el currículo debe dar a los alumnos la oportunidad de alcanzar los niveles más altos de los criterios de evaluación final (véase “Criterios de evaluación de Matemáticas”).
En el documento El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008) se proporciona información detallada sobre cómo organizar el currículo escrito, su evaluación y su enseñanza, incluido el uso de objetivos intermedios, criterios de evaluación modificados para los años 1 al 4 del programa y la planificación de unidades de trabajo.
El desarrollo del currículo en la asignatura
Además de cumplir con las normas educativas nacionales y locales, los profesores deben asegurarse de que el currículo que desarrollen refleje los principios y prácticas del PAI. Para ello, deben utilizarse los conceptos fundamentales y el perfil de la comunidad de aprendizaje del IB como principios rectores.
Desarrollo del currículo
Estrategias de enseñanza y aprendizaje
Para ofrecer a los alumnos oportunidades de lograr los objetivos de Matemáticas del PAI, los profesores deben crear en el aula un entorno que favorezca el aprendizaje y utilizar una variedad de estrategias de enseñanza y aprendizaje para estimular a los alumnos.
Para lograr esto, los profesores del PAI deben adoptar las estrategias que se mencionan a continuación.
Utilizar las áreas de interacción como punto de partida para la enseñanza y el
aprendizaje
La enseñanza de las matemáticas a través de las áreas de interacción refuerza la experiencia de aprendizaje en la asignatura. El uso de las áreas de interacción incorpora una nueva dimensión a la indagación y permite una exploración más rica y profunda de los conceptos y los temas. Pueden utilizarse como punto de partida para desarrollar unidades de trabajo en Matemáticas, o como puentes para explorar conexiones con otras disciplinas y temas del mundo real.
Permitir a los alumnos comunicar su pensamiento matemático
La lectura e interpretación de textos matemáticos, problemas, funciones y ecuaciones no resulta algo natural para la mayor parte de los alumnos. En matemáticas, algunas palabras y símbolos no tienen el mismo significado que en la vida diaria. Además, muchos alumnos no estudian el currículo en su lengua materna. Los alumnos deben familiarizase con el lenguaje matemático para poder comunicar sus ideas y los hallazgos cada vez con mayor seguridad.
Los profesores pueden ayudar a los alumnos a comprender el lenguaje matemático y desarrollar las habilidades de comunicación proporcionándoles tareas que les permitan leer textos matemáticos, expresar su razonamiento y comunicar los hallazgos utilizando el lenguaje matemático (terminología, notación, símbolos) y el formato apropiados.
Asimismo, pueden facilitar la comprensión si reformulan las instrucciones, plantean los problemas de forma oral y explican su propio razonamiento para que los alumnos aprendan y realicen las tareas matemáticas habiendo comprendido los temas.
Concebir investigaciones para explorar ideas y conceptos matemáticos
Se espera que los profesores del PAI conciban investigaciones en las que los alumnos puedan elegir sus propias estrategias y métodos para la resolución de problemas. Dichas investigaciones pueden estar relacionadas con situaciones de la vida real o puramente matemáticas. En Matemáticas del PAI se hace hincapié en las investigaciones abiertas donde es posible más de una respuesta.
Utilizar contextos y situaciones de la vida real
Cuando los alumnos resuelven problemas que se enmarcan dentro de situaciones de la vida real o que se relacionan con sus intereses, establecen conexiones entre lo que han aprendido en la clase y sus aplicaciones en otras asignaturas y en el mundo real. Poder conectar las ideas y los conceptos matemáticos con otras asignaturas y con contextos de la vida real los ayuda a entender que aprender matemáticas es importante y útil. Esto permite que razonen y utilicen las matemáticas para resolver problemas tanto en contextos matemáticos propiamente dichos como en otros contextos.
En general, las prácticas docentes en esta disciplina están cambiando. En la tabla que se incluye a continuación se mencionan algunas prácticas que han cambiado y han resultado eficaces para mejorar la comprensión de las matemáticas por parte de los alumnos. Estos cambios se deben reflejar en el aula del PAI.
Desarrollo del currículo
¿Cómo están cambiando las prácticas docentes en matemáticas?
Mayor énfasis en: Menor énfasis en:
Conectar los conceptos y las aplicaciones matemáticas
Considerar las matemáticas como hechos y conceptos aislados
Desarrollar la comprensión matemática mediante el desarrollo del razonamiento y las habilidades analíticas, para hacer que los alumnos vean la importancia de las matemáticas
La repetición, memorización y manipulación de símbolos
La solución de problemas de la vida real en los cuales el contexto es significativo para el alumno
La solución de problemas descontextualizados La enseñanza basada en lo que los alumnos ya
saben y en lo que necesitan aprender
La enseñanza centrada en lo que los alumnos no saben
Una variedad de estrategias para obtener varias soluciones posibles
Un solo método, una sola respuesta Estimular a los alumnos a que realicen
especulaciones y sigan sus propias ideas
El profesor como la única autoridad para dar respuestas correctas
Explicar procesos de modo claro y lógico, y reflexionar sobre los resultados obtenidos
Obtener respuestas El trabajo en equipo entre los profesores y colegas
de su asignatura y de otros grupos de asignaturas
El trabajo de forma aislada por parte de los profesores
El uso de diversas fuentes y recursos para el aprendizaje
Un currículo basado en un libro de texto La investigación, cuestionamiento, debate y
justificación o demostración por parte de los alumnos
El uso de hojas de ejercicios
Las actividades prácticas, incluidas tareas conjuntas o en grupos dependiendo de la actividad
Las clases tradicionales basadas en lo que el profesor dice y escribe en la pizarra
La evaluación como parte integral de la enseñanza (evaluación formativa)
Los exámenes finales Una amplia gama de estrategias de evaluación,
que incluye pruebas donde los alumnos deben mostrar su razonamiento
La evaluación basada en preguntas de respuesta corta y opción múltiple
Desarrollo de las unidades de trabajo
Al planificar una unidad de trabajo de Matemáticas, los profesores deben asegurarse de que:
Los aspectos pertinentes de la unidad se presenten desde la perspectiva de al menos una de las áreas t
de interacción
Se desarrollen conocimientos, comprensión y habilidades matemáticas t
Se utilice un enfoque de enseñanza interdisciplinario siempre que sea pertinente t
Desarrollo del currículo
Se utilicen diversas estrategias de enseñanza y enseñanza diferenciada como apoyo para el aprendizaje t
basado en la indagación y los distintos niveles de aptitud de los alumnos
Se empleen situaciones de la vida real como contexto para las tareas matemáticas, siempre que resulte t
adecuado
Se usen cuestiones locales o globales para fomentar la indagación de la función que desempeñan las t
matemáticas en la sociedad y en relación con el medio ambiente
Las tareas permitan a los alumnos pensar en los procesos de resolución de problemas, reflexionar t
sobre los métodos que emplean y los resultados que obtienen, y explorar las conexiones con la vida diaria
Se informe a todos los alumnos sobre las herramientas de evaluación tales como tablas de evaluación, t
con descripciones claras de los resultados, y que estos reflejen los objetivos generales y específicos de Matemáticas del PAI (véase la sección “Objetivos generales y específicos”)
Los resultados del aprendizaje se correspondan con los objetivos específicos de Matemáticas del PAI t
(véase la sección “Objetivos generales y específicos”) y se tengan en cuenta durante los cinco años del programa
El desempeño de los alumnos en relación con los objetivos específicos se valore empleando los t
criterios de evaluación (véase la sección “Criterios de evaluación de Matemáticas”)
Cómo utilizar las áreas de interacción
Las áreas de interacción proporcionan los contextos en los que los profesores y los alumnos ubican la enseñanza y el aprendizaje, abordan las disciplinas y establecen relaciones entre estas. Son elementos organizadores que fortalecen y amplían el conocimiento y la comprensión de los alumnos mediante una exploración de temas de la vida real. Todos los profesores comparten la responsabilidad de utilizar las áreas de interacción como eje de las unidades de trabajo.
El proceso de indagación en los contenidos de la asignatura mediante las distintas perspectivas o contextos de las áreas de interacción permite a los alumnos desarrollar una comprensión más profunda de la asignatura, así como de las dimensiones de las áreas de interacción. Mediante el ciclo de indagación que abarca comprensión y conocimiento, reflexión y acción, los alumnos participan en la reflexión y la metacognición, lo cual los lleva del conocimiento académico a la acción meditada y ayuda a que desarrollen actitudes positivas y un sentido de responsabilidad tanto personal como social.
En la publicación El Programa de los Años Intermedios: de los principios a la práctica (agosto de 2008), en la sección “Áreas de interacción”, se proporciona más información con respecto a las dimensiones de cada área de interacción, el ciclo de indagación, la planificación de unidades de trabajo y cómo abordar los contenidos mediante las áreas de interacción.
Las áreas de interacción son cinco: Aprender a Aprender (AaA) t
Comunidad y Servicio t
Salud y Educación Social t
Entornos (anteriormente denominada “Medio Ambiente”) t
Ingenio Humano (anteriormente denominada “
t Homo faber”)
Las siguientes secciones sobre las áreas de interacción proporcionan ejemplos de preguntas que se pueden utilizar como preguntas de las unidades de trabajo del PAI o en el ciclo de indagación, dependiendo
Desarrollo del currículo
imparta y, al preparar sus propias preguntas, los profesores pueden relacionarlas con el contenido específico que se explore en una unidad de trabajo.
Es importante tener en cuenta que las áreas de interacción son maneras de enfocar el contenido: algunas de las siguientes preguntas podrían abordarse desde la perspectiva de más de un área de interacción, y también pueden explorarse mediante otras asignaturas, además de Matemáticas.
Los contextos en los que se desarrolle el contenido del currículo de Matemáticas deben ser naturales y pertinentes para los alumnos. A menudo, al diseñar unidades de trabajo, el contexto del contenido surgirá de manera natural. Para que las experiencias de aprendizaje sean pertinentes, los profesores deben cerciorarse de que la pregunta de la unidad de trabajo del PAI permita a los alumnos indagar en los temas del contenido. En consecuencia, el área de interacción servirá de guía para la indagación, ya sea dirigida por el profesor o iniciada por el alumno.
Recuerde que cualquier referencia a la primera persona del singular en las preguntas de las áreas de interacción también podría sustituirse por la primera persona del plural en los casos en los que sea más apropiado para los valores sociales del colegio o lugar.
Aprender a Aprender
¿Cómo aprendo mejor? ¿Cómo sé?
¿Cómo comunico lo que he comprendido?
Aprender a Aprender (AaA) es un área de interacción clave en todos los grupos de asignaturas del PAI y en el Proyecto Personal. A través de ella, los colegios proporcionan a los alumnos las herramientas que les permitirán hacerse responsables de su propio aprendizaje. Para ello, tienen que articular, organizar y enseñar las habilidades, las actitudes y las prácticas que los alumnos necesitan para poder aprender. En el PAI, AaA abarca siete grupos de habilidades: organización, colaboración, comunicación, manejo de la información, reflexión, pensamiento y transferencia. La comunidad escolar debe dedicar el tiempo necesario a definir las actitudes, las habilidades y las prácticas de AaA que se consideran importantes en cada uno de estos grupos, tanto en cada asignatura como en todas en su conjunto.
Algunas actividades que pueden realizarse para desarrollar habilidades de AaA a través de las matemáticas son las siguientes:
Utilizar el razonamiento deductivo para formular una hipótesis que pueda comprobarse científicamente t
mediante un experimento
Analizar e interpretar patrones e información presentada en forma de tablas, cuadros y gráficas de t
varias fuentes, tales como periódicos, revistas y otras publicaciones
Usar investigaciones abiertas que tengan más de una solución posible y permitan emplear más de una t
estrategia para resolver problemas, con el fin de fomentar el pensamiento divergente
Emplear las teselaciones de Escher para examinar principios y diseños geométricos, y explorar cómo t
se pueden usar las matemáticas para crear diseños y efectos artísticos
Utilizar la lotería nacional y otros juegos de azar para entender conceptos relacionados con la t
probabilidad y las posibilidades de ganar
Usar problemas de la vida real tales como embotellamientos, colas en el supermercado o situaciones t
de distintos juegos para diseñar modelos matemáticos basados en la probabilidad y encontrar soluciones para esos problemas
Emplear redes y diagramas de flujo como herramientas para tomar decisiones en la planificación de t
Desarrollo del currículo
Ejemplos de preguntas
¿Qué aprendemos en Matemáticas? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el aprendizaje en t
Matemáticas y el aprendizaje en otras asignaturas? ¿Qué habilidades son específicas de Matemáticas? t
¿En qué se diferencia la comunicación en Matemáticas de otras asignaturas? t
¿De qué manera el aprendizaje de las matemáticas me ayuda a aprender en otras asignaturas? t
¿Qué habilidades y conocimientos puedo tomar de otras asignaturas para utilizarlos en mi aprendizaje t
de las matemáticas?
¿Cómo puedo planificar y organizar mi aprendizaje de manera más eficaz? t
¿Qué maneras de trabajar con mis compañeros de clase son eficaces? ¿Cómo puede el trabajo en t
equipo mejorar mis habilidades matemáticas? ¿Qué valor tiene la reflexión en matemáticas? t
¿Cómo pueden las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) ayudarme a aprender t
matemáticas?
¿Cómo puede el aprendizaje de las matemáticas mejorar mis habilidades de pensamiento? t
Los alumnos pueden tener como objetivo hacia el final del programa responder a estas preguntas sobre matemáticas.
Comunidad y Servicio
¿Cómo vivimos en relación con los demás? ¿Cómo puedo contribuir a la comunidad? ¿Cómo puedo ayudar a los demás?
El objetivo del área de Comunidad y Servicio es desarrollar en los alumnos una conciencia comunitaria y un sentido de pertenencia y responsabilidad hacia la comunidad para que se comprometan y se sientan capaces de responder a las necesidades de los demás.
Comunidad y Servicio comienza en el aula pero trasciende sus límites y requiere que los alumnos descubran la realidad social propia, de los demás y de las comunidades. A su vez, esto puede dar lugar a su participación en la comunidad en que viven y a que lleven a cabo acciones de servicio en ella. La reflexión sobre las necesidades de los demás y el desarrollo de la capacidad de los alumnos de comprometerse y responder a dichas necesidades contribuyen a su formación como personas responsables y solidarias.
Los alumnos explorarán a través de las matemáticas la naturaleza de comunidades pasadas y actuales, así como su lugar en sus propias comunidades. Al incorporar Comunidad y Servicio al estudio de las matemáticas se promueve la ciudadanía responsable, pues los alumnos profundizan sus conocimientos y su comprensión del mundo que los rodea.
Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para integrar Comunidad y Servicio en Matemáticas son: Organizar un acto en el colegio a fin de recaudar fondos para una organización benéfica; preparar t
un presupuesto sencillo estimando los gastos, los ingresos y las ganancias de las diversas actividades programadas
Usar pruebas para medir la condición física de diferentes grupos de personas en una comunidad; t
analizar los resultados teniendo en cuenta la edad, la actividad, si se es fumador o no, etc.; comunicar los resultados empleando tablas y gráficas comparativas y elaborar carteles para generar conciencia sobre la importancia de mantener una buena condición física
Desarrollo del currículo
Utilizar periódicos locales para analizar artículos relacionados con estadísticas y temas sociales y t
debatir de qué forma las estadísticas pueden informar correctamente o inducir a error
Emplear un folleto local sobre seguridad vial para explorar los conceptos de velocidad, aceleración, t
distancia y desplazamiento; elaborar folletos para la comunidad a fin de generar conciencia sobre la importancia de reducir la velocidad de circulación en las áreas cercanas a colegios
Ejemplos de preguntas
¿Qué papel desempeñan las matemáticas en una comunidad y en el mundo? t
¿Qué utilidad tienen los conocimientos de matemáticas en las comunidades? t
¿Cómo puede una comunidad influir en el aprendizaje de las matemáticas? t
¿Cuál es mi papel en la comunidad? ¿Cómo puedo contribuir a mi comunidad por medio de las t
matemáticas?
¿Cómo sería el mundo sin las matemáticas? t
¿Cómo puedo mejorar mi comunidad mediante lo que he aprendido en Matemáticas? t
Los alumnos pueden tener como objetivo hacia el final del programa responder a estas preguntas sobre matemáticas.
Salud y Educación Social
¿Cómo pienso y actúo? ¿Cómo estoy cambiando?
¿Cómo puedo cuidar de mí mismo y de los demás?
Esta área de interacción trata sobre el efecto que tienen varios temas sociales (incluida la salud) en la humanidad. Incluye una apreciación de estos efectos en varios contextos culturales y en distintas épocas. Esta área se ocupa de la inteligencia y de la salud física, social y emocional, aspectos clave del desarrollo que llevan a una vida plena y equilibrada.
Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para integrar Salud y Educación Social en Matemáticas son:
Investigar sobre proporciones y relaciones: considerar platos típicos de distintas culturas y realizar t
cálculos a fin de adaptar las recetas para prepararlos para toda la clase
Utilizar observaciones: investigar sobre el tráfico mediante observaciones, así como análisis de datos y t
estadísticas, para realizar una campaña de seguridad vial en los alrededores del colegio
Investigar sobre el crecimiento de la población: usar análisis de datos, estadísticas y probabilidad para t
comparar tasas de crecimiento de la población de distintos países
Investigar sobre las aplicaciones de los códigos de barras, el proceso de codificar y decodificar, o el t
tráfico en calles de sentido único empleando matemática discreta
Utilizar funciones matemáticas para predecir la propagación de una enfermedad o el comportamiento t
de una determinada población
Discutir la función de la estadística y la probabilidad como fuente de información, así como su t
importancia y fiabilidad
Ejemplos de preguntas
¿Cómo afectan las matemáticas a la sociedad? ¿Y a las personas? ¿Y a mí? t
¿Se pueden emplear las matemáticas para influir en la salud de una sociedad? t
¿En qué medida pueden contribuir las matemáticas al bienestar de las personas y sociedades? t
Desarrollo del currículo
¿Cómo pueden ayudar las matemáticas a comunicar la salud de una sociedad o nación? t
¿De qué formas me permiten las matemáticas expresarme? t
¿Cómo me permiten las matemáticas aprender sobre mí mismo y sobre los demás? t
¿Cómo puede ayudarme el aprendizaje de las matemáticas a elegir opciones más saludables? t
Los alumnos pueden tener como objetivo hacia el final del programa responder a estas preguntas sobre matemáticas.
Entornos (anteriormente denominada “Medio Ambiente”)
¿Cuáles son nuestros entornos? ¿Qué recursos tenemos o necesitamos? ¿Cuáles son mis responsabilidades?
Esta área de interacción considera los entornos como la totalidad de las condiciones que nos rodean, ya sean naturales, artificiales o virtuales. Se centra en el lugar del ser humano en el mundo y en cómo creamos nuestros entornos e influimos en ellos. Anima a los alumnos a cuestionar, a desarrollar actitudes positivas y responsables, y a adquirir la motivación, las habilidades necesarias y el compromiso para mejorar sus entornos.
Algunas actividades que pueden llevarse a cabo para fomentar la conciencia, responsabilidad, acción y reflexión en relación con el medio ambiente en Matemáticas son:
Investigar sobre los recursos naturales: utilizar técnicas para medir y analizar datos a fin de formular t
preguntas y realizar predicciones sobre el uso y la disponibilidad de un recurso específico en un momento dado del futuro
Desarrollar proyectos prácticos: usar la geometría y la trigonometría para responder a necesidades t
específicas en el medio ambiente local (planificación urbana, diseño y realización de modelos de edificios reales o imaginarios, u otras aplicaciones relacionadas con la gestión del espacio)
Estimar el uso del agua: emplear las matemáticas para estimar el consumo de agua y elaborar planes t
para la gestión y conservación de este recurso tanto en el colegio como en casa
Investigar sobre los desechos del hogar o del colegio: predecir la cantidad de desechos de la comunidad t
para elaborar una campaña de toma de conciencia sobre la gestión de los residuos, sugiriendo formas de reducir, reutilizar y reciclar los desechos
Investigar sobre especies en peligro de extinción: usar estadísticas y probabilidad para estimar el t
tamaño de la población de una especie determinada en un momento dado, para generar conciencia sobre la conservación y protección de especies en su ambiente natural
Investigar sobre el cambio climático: utilizar análisis de datos y probabilidad para debatir la evidencia t
de la correlación existente entre la emisión de gases de efecto invernadero y el aumento de la temperatura del planeta
Ejemplos de preguntas
¿De qué modo pueden influir las matemáticas en los entornos naturales, artificiales y virtuales? t
¿Cómo influyen las matemáticas en el entorno escolar? t
¿Qué cuestiones plantean los entornos naturales, artificiales y virtuales a las matemáticas? t
¿Cómo pueden las matemáticas afectar a nuestra comprensión de los distintos entornos? t
¿Cómo me permiten mis habilidades en matemáticas comprender distintos entornos? t
¿Cómo pueden mis habilidades en matemáticas ayudarme a mejorar mis entornos? t
¿Qué poder nos pueden conferir las matemáticas para informar al mundo de cuestiones relacionadas t
Desarrollo del currículo
Los alumnos pueden tener como objetivo hacia el final del programa responder a estas preguntas sobre matemáticas.
Ingenio Humano (anteriormente denominada “Homo faber”)
¿Por qué y cómo creamos? ¿Cuáles son las consecuencias?
En Ingenio Humano se estudian las contribuciones humanas al mundo en sus respectivos contextos y como parte de un proceso continuo. Hace hincapié en la manera en que los seres humanos pueden generar cambios, ya sea para bien o para mal, y analiza sus consecuencias (tanto intencionadas como no intencionadas). Esta área también pone énfasis tanto en la importancia de investigar los avances logrados por el ser humano en diferentes lugares, épocas y culturas, como en la importancia de detenerse a reflexionar sobre dichos avances.
Las matemáticas son uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad y, como tal, ofrecen muchas oportunidades para integrar esta área de interacción en el currículo. Algunas actividades que pueden llevarse a cabo son:
Investigar la historia y la evolución de las matemáticas en distintas culturas y su impacto en los t
individuos y las sociedades
Investigar sobre los inventos matemáticos, por ejemplo, la universalidad de las matemáticas como t
lenguaje o el concepto de cero
Explorar la aplicación del conocimiento matemático en el desarrollo industrial y tecnológico t
Desarrollar modelos y fórmulas matemáticas para describir fenómenos de la vida real t
Desarrollar ideas matemáticas tales como la simetría en geometría, mediante la creación de t
teselaciones
Explorar proyectos matemáticos con temas interdisciplinarios, por ejemplo, investigar los vínculos t
entre la geometría y el arte o la arquitectura, o las formas y motivos que utilizan distintas culturas
Ejemplos de preguntas
¿Qué son las matemáticas? ¿De dónde proceden las matemáticas? t
¿Cómo han evolucionado las matemáticas a lo largo del tiempo? t
¿Cómo pueden las matemáticas generar cambios? t
¿Cómo sería el mundo sin las matemáticas? t
¿De qué manera han dado las personas forma a las matemáticas? ¿De qué manera han dado las t
matemáticas forma a nuestras vidas? ¿Cómo afectan las matemáticas a la lengua? t
¿De qué maneras ha influido el conocimiento en las matemáticas? t
¿De qué maneras han influido las matemáticas en el conocimiento? t
¿Cómo se están desarrollando las matemáticas en mi época y en mi cultura? t
¿Qué utilidad tienen las matemáticas en mi vida? t
¿Cómo han contribuido las matemáticas a las civilizaciones? t
Los alumnos pueden tener como objetivo hacia el final del programa responder a estas preguntas sobre matemáticas.
Marco general de Matemáticas
El marco general de Matemáticas del PAI comprende cinco ramas de estudio:
Números y operaciones t Álgebra t Geometría y trigonometría t Estadística y probabilidad t Matemática discreta t
Los colegios pueden usar este marco como herramienta para elaborar sus mapas curriculares a fin de diseñar y planificar los cursos de Matemáticas. No se espera que se estudien todas las ramas indicadas en cada año del programa, ni que se traten todos los conceptos y habilidades sugeridos. No obstante, es importante que a lo largo de los cinco años (o la duración completa) del programa, los alumnos tengan una experiencia de aprendizaje en las cinco ramas del marco general de Matemáticas.
En esta sección, se sugieren conceptos y habilidades que se pueden tratar en cada una de las cinco ramas de la asignatura. Dichos conceptos y habilidades son ejemplos de lo que los alumnos pueden estudiar en los dos niveles: Matemáticas (nivel general) y Matemáticas (nivel avanzado).
Marco general de Matemáticas
Conceptos y habilidades
Números y operaciones
La capacidad de trabajar con números es una habilidad fundamental en matemáticas. Se espera que los alumnos comprendan los conceptos relacionados con los números y desarrollen habilidades de cálculo y estimación. Deben comprender que el uso de números para expresar patrones y describir situaciones de la vida real se remonta a los orígenes de la humanidad, y que las matemáticas tienen raíces multiculturales.
Conceptos Habilidades
Matemáticas (nivel general y nivel avanzado)
Formas de los números: enteros, fracciones, decimales, potencias, forma estándar (notación científica) e irracionales/radicales
Conjuntos de números: conjuntos de enteros positivos y el cero ( ), enteros ( ), racionales ( ), irracionales ( ΄) y números reales ( )
Ordenar números
Transformar números entre distintas formas Simplificar expresiones numéricas en los sistemas numéricos y las formas de los números
Reconocer y clasificar números en diferentes sistemas numéricos
Las cuatro operaciones Utilizar las cuatro operaciones (suma, resta, multiplicación y división) con enteros, decimales y fracciones simples
Números y factores primos, incluido el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Representar un número como el producto de sus factores primos y usar esa representación para hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Rectas numéricas Expresar el conjunto de soluciones de una
inecuación lineal en la recta numérica
Estimación Emplear diferentes formas de redondeo,
aproximación decimal y cifras significativas Utilizar formas de redondeo adecuadas para estimar resultados
Unidades de medida Convertir entre diferentes unidades de medida y entre diferentes monedas
Razón, porcentaje, proporción directa e inversa Dividir una cantidad entre una razón dada Hallar una constante de proporcionalidad, establecer ecuaciones y graficar relaciones directas e inversas
Sucesiones numéricas Predecir el término siguiente de la sucesión (lineal, cuadrática, triangular, Fibonacci)
Solo Matemáticas (nivel avanzado)
Exponentes fraccionarios Usar las propiedades de las potencias para simplificar expresiones numéricas con radicales y potencias Error absoluto y porcentaje de error en estimaciones Calcular el error absoluto y el porcentaje de error
Marco general de Matemáticas
Álgebra
El álgebra es una abstracción de los conceptos relacionados con los números y es fundamental para realizar estudios posteriores de matemáticas. Utiliza letras y símbolos para representar números, cantidades y operaciones, y emplea variables para resolver problemas matemáticos.
Los alumnos que deseen continuar el estudio de las matemáticas después del PAI necesitarán adquirir conceptos y habilidades algebraicas. Cuando resulte apropiado, los profesores deben ayudar a los alumnos a entender el álgebra mediante la aplicación de conocimientos y habilidades algebraicas a la resolución de problemas en situaciones de la vida real.
Conceptos Habilidades
Matemáticas (nivel general y nivel avanzado)
Suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas
Desarrollar y simplificar expresiones algebraicas Factorización de expresiones lineales y
cuadráticas
Factorizar expresiones algebraicas
Sustitución Usar la sustitución para evaluar expresiones
Transformación de expresiones algebraicas Expresar una variable en función de la otra en una fórmula
Fracciones algebraicas Resolver ecuaciones con fracciones algebraicas Exponentes enteros (incluidos los números
negativos)
Utilizar las propiedades de las potencias Patrones y sucesiones Hallar y justificar o demostrar reglas generales y
fórmulas para sucesiones Funciones:
Tipos de funciones: lineales, cuadráticas t
Dominio y recorrido t
Resolver la función linear f (x) = mx + c, su gráfica, pendiente e intersección con el eje y Graficar diferentes tipos de funciones y comprender sus características
Determinar el recorrido, dado el dominio
Gráficas Trazar e interpretar gráficas
Ecuaciones: Lineales t Simultáneas t Cuadráticas t
Resolver ecuaciones de manera algebraica y utilizar gráficas
Inecuaciones Resolver y graficar inecuaciones lineales
Solo Matemáticas (nivel avanzado)
Logaritmos y potencias: Exponentes fraccionarios t
Logaritmos con distintos números de base t
(incluidos los logaritmos naturales)
Marco general de Matemáticas
Conceptos Habilidades
Funciones y gráficas:
Tipos de funciones: Trigonométricas, t
exponenciales, logarítmicas, función recíproca (f (x) = 1—x y sus transformaciones), raíz cuadrada Función inversa y compuesta t
Graficar diferentes tipos de funciones y comprender sus características
Determinar las funciones inversa y compuesta, y sus gráficas
Ecuaciones con las funciones anteriores Resolver ecuaciones de manera algebraica y utilizar gráficas
Inecuaciones Resolver inecuaciones no lineales
Programación lineal
Series aritméticas y geométricas Desarrollar y justificar o demostrar reglas generales y fórmulas para sucesiones
Hallar la suma de una serie
Hallar incógnitas (razón, término, etc.)
Matrices Realizar operaciones básicas con matrices
Utilizar matrices (resolver ecuaciones,
Marco general de Matemáticas
Geometría y trigonometría
El estudio de la geometría y la trigonometría contribuye al desarrollo de la noción de espacio y ofrece a los alumnos las herramientas necesarias para analizar, medir y transformar cantidades geométricas en dos y tres dimensiones.
Conceptos Habilidades
Matemáticas (nivel general y nivel avanzado)
Elementos geométricos y su clasificación Nombrar y clasificar diferentes elementos geométricos (punto, recta, ángulo, figuras planas regulares e irregulares, sólidos)
Distancia Medir distancias (entre dos puntos, entre una
recta y un punto)
Propiedades de los ángulos Resolver problemas empleando las propiedades de: Ángulos en diferentes figuras o posiciones t
Ángulos agudos, rectos y obtusos en t
triángulos
Ángulos entre rectas que se cortan y en t
rectas paralelas
Ángulos en polígonos regulares e irregulares t
Ángulos en círculos t
Propiedades de los triángulos Resolver problemas con triángulos aplicando: El teorema de Pitágoras y su recíproco t
Las propiedades de los triángulos t
semejantes
Las propiedades de los triángulos t
congruentes
Perímetro, área y volumen Hallar el perímetro (circunferencia), el área y el volumen de formas bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D) regulares e irregulares El plano cartesiano Identificar los distintos componentes del plano
cartesiano: ejes, origen, coordenadas (x, y) y puntos
Comprender y utilizar el plano cartesiano, elaborar gráficas y medir distancias entre puntos
Razones trigonométricas en triángulos rectángulos
Relacionar ángulos y lados de triángulos rectángulos utilizando seno, coseno y tangente Resolver problemas en triángulos rectángulos usando razones trigonométricas
Construcciones Utilizar instrumentos de geometría para realizar
construcciones básicas y emplear estas para resolver problemas
Marco general de Matemáticas
Conceptos Habilidades
Transformaciones isométricas sencillas Transformar una figura por rotación, simetría, traslación y homotecia
Lugares geométricos Emplear el concepto de lugar geométrico para resolver problemas en dos dimensiones
Solo Matemáticas (nivel avanzado)
Vectores y espacios vectoriales Sumar, restar y realizar la multiplicación escalar de vectores
Teoremas de congruencia y semejanza Justificar o demostrar teoremas de congruencia, semejanza, figura y ángulos
Razones trigonométricas para ángulos de más de 90°
Justificar o demostrar relaciones trigonométricas sencillas para simplificar y resolver ecuaciones donde 0° ≤ θ ≤ 360°
Teorema del seno y teorema del coseno Utilizar el teorema del seno y el del coseno para resolver problemas
