TALLER 8 - ESPACIOS VECTORIALES

TALLER 8 - ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial 𝑉, es un conjunto de elementos

denominados vectores, junto con dos operaciones: adición y multiplicación por un escalar. Si 𝑢 y 𝑣 se encuentran en 𝑉, la suma de 𝑢 y 𝑣 es notada por 𝑢 + 𝑣 , y si es un escalar, el múltiplo escalar de 𝑢 por 𝛼, se denota por 𝛼𝑢. Si los siguientes axiomas son válidos para todo 𝑢, 𝑣 y 𝑤 en 𝑉 y para todos los escalares 𝛼 y 𝛽, entonces 𝑉 se denomina espacio vectorial.

1. 𝑢 + 𝑣 está en 𝑉 2. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

3. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑢 + 𝑤

4. Existe un elemento 0 en 𝑉, denominado vector nulo, tal que u + 0 = u. 5. Para cada 𝑢 en 𝑉, existe un elemento – 𝑢 en 𝑉, tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0. 6. 𝛼𝑢 está en 𝑉 7. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 8. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 9. 𝛼(𝛽𝑢) = (𝛼𝛽)𝑢 10. 1𝑢 = 𝑢 EJEMPLOS

1) Sea 𝑉 = ℝ, el conjunto de todos los números reales, y sean 𝑥 + 𝑦 y 𝑎𝑥, la adición y multiplicación ordinaria de números reales.

2) Sea 𝑉 = ℂ, el conjunto de los números complejos, definimos 𝑥 + 𝑦 como la adición ordinaria de números complejos y 𝛼𝑥 como la multiplicación del número complejo 𝑥 por el número real 𝛼.

La verificación que los diez axiomas para la adición y multiplicación por un escalar se cumplen es bastante simple en los dos casos.

SUBESPACIO

Un subconjunto 𝑾 de un espacio vectorial 𝑽, se denomina subespacio de 𝑽, si 𝑾 mismo es un espacio vectorial con los mismos escalares, adición y multiplicación por escalares que 𝑽.

TEOREMA: Sea 𝑽 un espacio vectorial, y 𝑾 un subconjuntom no vacío de 𝑽,

entonces W es un subespacio de 𝑽 si y solo si cumple las siguientes condiciones:

1. 𝒖 y 𝒗 se encuentran en 𝑾, entonces 𝒖 + 𝒗 se encuentra en 𝑾.

2. 𝒖 se encuentra en 𝑾 y 𝜶 es un escalar, entonces 𝜶𝒖 se encuentra en 𝑾.

EJEMPLOS

1. Si 𝑉 es un espacio vectorial, entonces {0} y 𝑉 son subespacios. Son llamados los subespacios triviales.

2. Sea 𝑉 un espacio vectorial y sea vV, fijo, v0. El conjunto U = {𝐯 ∶

 } es un subespacio de . La verificación de que es subespacio es rápida.

i) U,

ii) Si u, wU y , ∈ ℝ, entonces:

𝑢 + 𝑣 = 𝜆₁𝑣 + 𝜆₂𝑣 = (𝜆₁+ 𝜆₂)𝑣 ∈ 𝑈, ya que 𝜆₁, 𝜆₂ son escalares y suma de escalares es escalar.

iii) Sea 𝑢 U y 𝛼 un escalar, tenemos que 𝛼𝑢 = 𝛼 𝜆𝑣 = (𝛼𝜆)𝑣 ∈ 𝑈, pues 𝛼 y 𝜆, son escalares y producto de escalares es escalar.

Luego de i), ii) y iii) 𝑈 es un subespacio de 𝑉

3. Sea 𝑊 el conjunto de las matrices simetricas de 𝑛 × 𝑛. Demuestre que 𝑊, es un subespacio de las matrices 𝑛 × 𝑛.

i) 𝑊 es no vacío puesto que la matriz nula es simétrica.

ii) Sean 𝐴 y 𝐵 ∈ 𝑊, mostremos que 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑊, como 𝐴 y 𝐵, son simétricas se tiene que 𝐴 = 𝐴𝑇 _{y 𝐵 = 𝐵}𝑇_{, luego tenemos que 𝐴 + 𝐵 =} 𝐴𝑇_{+ 𝐵}𝑇 _{= (𝐴 + 𝐵)}𝑇_{, por lo tanto 𝐴 + 𝐵 es simétrica, es decir 𝐴 + 𝐵 ∈} 𝑊.

iii) Sea 𝐴 ∈ 𝑊 y 𝛼 ∈ ℝ, veamos que 𝛼𝐴 ∈ 𝑊, tenemos que: 𝛼𝐴 = 𝛼 𝐴𝑇 ₌ 𝛼𝐴𝑇_{= (𝛼𝐴)}𝑇 _{∈ 𝑊.}

De la anterior 𝑊 es un Subespacio de las matrices 𝑛 × 𝑛.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES COMBINACIÓN LINEAL Sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘, 𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 y 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘, escalares, el vector de la forma

𝛼₁𝑣₁+ 𝛼₂𝑣₂+ ⋯ + 𝛼_𝑘𝑣_𝑘

Se llama combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘; los escalares 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘, se llaman coeficientes de la combinación lineal.

EJEMPLOS

1. Calcular la combinación lineal de 1₂𝑣 −3₂𝑢, siendo 𝑣 = 2₄ y 𝑢 = −1₁ Solución: Llamemos 𝑤 a la combinación lineal entonces

𝑤 = de 1 2𝑣 − 3 2𝑢 = de 1 2 24 − 3 −11 = 12 + 3−3 = 4−1 2. Determine si cada uno de los siguientes vectores

𝑢1 = 0 2 1 y 𝑢2 = 0 1 2

es una combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2 y 𝑣3, donde 𝑣1 = −1 1 0 , 𝑣2 = 2 0 1 y 𝑣3 = 1 1 1

Solución:

 Veamos si 𝑢1 es combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2 y 𝑣3. Encontremos los escalares 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, tales que :

𝑢1 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ 𝛼3𝑣3, es decir 0 2 1 = 𝛼₁ −11 0 + 𝛼₂ 20 1 + 𝛼₃ 11 1

, por consiguiente tenemos que: −𝛼₁+ 2𝛼₂+ 𝛼₃ 𝛼₁+ 𝛼₃ 𝛼2+ 𝛼3 = 02 1 , o sea que −𝛼₁+ 2𝛼₂+ 𝛼₃ = 0 𝛼1+ 𝛼3 = 2 𝛼₂+ 𝛼₃ = 1

Al solucionar este sistema lineal con incógnitas 𝛼₁, 𝛼₂y 𝛼₃, tenemos que 𝛼1 = −𝑟 + 2, 𝛼2 = −𝑟 + 1 y 𝛼3=r, con 𝑟 ∈ ℝ. Por lo tanto existen los escalares 𝛼1, 𝛼2y 𝛼3, tales que 𝑢1 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ 𝛼3𝑣3, es decir que 𝑢1 es combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2 y 𝑣3.

 Veamos si 𝑢2 es combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2 y 𝑣3. Encontremos los escalares 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, tales que

𝑢2 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2 + 𝛼3𝑣3, es decir que: 01 2 = 𝛼1 −1 1 0 + 𝛼2 2 0 1 + 𝛼3 1 1 1

, por consiguiente tenemos −𝛼₁+ 2𝛼₂+ 𝛼₃ 𝛼₁+ 𝛼₃ 𝛼₂+ 𝛼₃ = 0 1 2 , es decir, −𝛼₁+ 2𝛼₂+ 𝛼₃ = 0 𝛼₁+ 𝛼₃ = 1 𝛼2+ 𝛼3 = 2

Este sistema es inconsistente por ello no existen los escalares 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, y por lo tanto 𝑢₂ no es combinación lineal de 𝑣₁, 𝑣₂ y 𝑣₃.

CONJUNTOS GENERADORES

DEFINICIÓN: Sea 𝑉 un espacio vectorial y 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘, vectores en 𝑉, el conjunto de todas las combinaciones lineales de 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘, se llama

generador de 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 y se representa con 𝐺𝑒𝑛 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 . Si 𝑉 =

𝐺𝑒𝑛 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 , se dice que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 genera a 𝑉 y que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 es un conjunto generador de 𝑉.

EJEMPLOS:

1. Demuestre que los vectores siguientes están en G𝑒𝑛 𝑣1, 𝑣2 0, 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣1 +𝑣2 , 3𝑣1− 2𝑣2.

Solución: Cada uno de estos vectores es combinación lineal de 𝑣1 y 𝑣2 , porque se puede escribir de la forma

0 = 0𝑣1+ 0𝑣2 𝑣1 + 𝑣2 = 1𝑣1+ 2𝑣2 𝑣₁ = 1𝑣₁+ 0𝑣₂ 3𝑣1 − 2𝑣2 = 3𝑣1+ (−2)𝑣2 𝑣2 = 0𝑣1+ 1𝑣2

2. Demuestre que los polinomios 1, 𝑥 y 𝑥2, generan a ℘2(conjunto de polinomios de grado 2).

Solución: Por su misma definición, un polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2es una combinación lineal de 1, 𝑥 y 𝑥2_{. Por lo tanto ℘}

2 = 𝐺𝑒𝑛 1, 𝑥, 𝑥2 .

3. En ℘2 determine si 𝑟 𝑥 = 1 − 4𝑥 + 6𝑥2, se encuentra en el generado de 𝑝 𝑥 y 𝑞(𝑥), donde:

𝑝 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥2 _{y 𝑞 𝑥 = 2 + 𝑥 − 3𝑥}2_.

Solución: Estamos buscando escalares α y 𝛽, tales que

𝛼𝑝 𝑥 + 𝛽𝑞 𝑥 = 𝑟(𝑥), lo cual significa que:

𝛼(1 − 𝑥 + 𝑥2_{) + 𝛽 2 + 𝑥 − 3𝑥}2 _{= 1 − 4𝑥 + 6𝑥}2_{, si agrupamos según las} potencias de 𝑥, tenemos que

𝛼 + 2𝛽 + −𝛼 + 𝛽 𝑥 + 𝛼 − 3𝛽 𝑥2 _{= 1 − 4𝑥 + 6𝑥}2

Luego igualamos los coeficientes de potencias semejantes de 𝑥 y obtenemos:

𝛼 + 2𝛽 = 1 −𝛼 + 𝛽 = −4

𝛼 − 3𝛽 = 6

Este sistema se resuelve fácilmente para obtener que 𝛼 = 3 y 𝛽 = −1. Por lo tanto 𝑟 𝑥 = 3𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 , de modo que 𝑟(𝑥) se encuentra en el 𝐺𝑒𝑛 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) .

TEOREMA: Sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘, vectores en un espacio vectorial y 𝑉, entonces se tiene que:

i. 𝐺𝑒𝑛 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 es un subespacio de y 𝑉.

ii. 𝐺𝑒𝑛 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 es el subespacio más pequeño de 𝑉 que contiene 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘.

INDEPENDENCIA LINEAL

DEFINICIÓN Un conjunto de vectores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 , de un espacio vectorial 𝑉, es linealmente dependiente si existen escalares 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘, al menos uno de ellos no nulo, tales que:

𝛼1+ 𝛼2+ ⋯ + 𝑣𝑛 = 0

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se dice que es

TEOREMA Un conjunto de vectores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 , de un espacio vectorial 𝑉 es linealmente dependiente de si y solo si al menos uno de los vectores puede ser expresado como una combinación lineal de los otros.

EJEMPLOS

1. Dado 𝑉 el espacio de las matrices de 2 × 2, sean 𝐴 = 1 1_{0 1} y 𝐵 = 1 −1_{1 0} y 𝐶 = 2 0

1 1

Entonces 𝐴 + 𝐵 = 𝐶, de manera que el conjunto 𝐴, 𝐵, 𝐶 , es inealmente dependiente por el teorema anterior.

2. Sea 𝑆 = 1,2,3 , 4,5,6 , (7,8,9) ⊂ ℝ3. Entonces 𝑆, es linelmente dependiente. En efecto tenemos que:

𝛼1 1,2,3 + 𝛼2 4,5,6 + 𝛼3 7,8,9 = (0,0,0), implica que 𝛼1+ 4𝛼2+ 7𝛼3, 2𝛼1+ 5𝛼2+ 8𝛼3, 3𝛼1+ 6𝛼2+ 9𝛼3 = (0,0,0) Lo cual equivale al siguiente sistema de ecuaciones:

𝛼₁+ 4𝛼₂+ 7𝛼₃ = 0 2𝛼₁+ 5𝛼₂+ 8𝛼₃ = 0 3𝛼₁+ 6𝛼₂+ 9𝛼₃ = 0

Resolviendo este sistema encontramos que el sistema tiene una infinidad de soluciones, por ejemplo, 𝛼1 = 1, 𝛼2 = −2 y 𝛼3 = 1, lo cual demuestra la afirmación.

3. Demuestre que el conjunto 𝑥2_{, 1 + 𝑥, −1 + 𝑥 , es linealmente} independiente en ℘3 _{(polinomios de grado tres).}

Si una combinación 𝑝 𝑥 = 𝛼1𝑥2+ 𝛼2 1 + 𝑥 + 𝛼3 −1 + 𝑥 = 0, entonces 𝑝 𝑥 = 𝛼₁− 𝛼₃ + 𝛼₂+ 𝛼₃ 𝑥 + 𝛼₁𝑥2 _{= 0 para toda 𝑥 ∈ ℝ, por} consiguiente

𝛼1 − 𝛼3 = 0 𝛼2 + 𝛼3 = 0

𝛼₁ = 0

Lo cual implica que 𝛼₁ = 𝛼₂ = 𝛼₃ = 0 y por tanto el conjunto es linealmente independiente.

BASES Y DEMENSIÓN

DEFINICIÓN Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial 𝑉 dististo de

cero es una base de 𝑉 si

i) es linealmente independiente y si ii) genera a V.

El conjunto vacío es, por convención, la única base del espacio vectorial nulo 0 .

TEOREMA Todo espacio vectorial tiene al menos una base. EJEMPLOS

1. 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 es una base de ℝ𝑛 y se llama la base estándar o canónica de ℝ𝑛_.

2. 1, 𝑥, 𝑥2_{, … , 𝑥}𝑛 _{es una base para ℘}

𝑛, denominada base estándar para ℘𝑛. 3. Demuestre que ℬ = 1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥2_{, 1 + 𝑥}2 _{es una base para ℘}

2.

Solución

 Veamos que 1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥2_{, 𝑥 + 𝑥}2 _{es linealmente independiente} Sean 𝛼1, 𝛼2 y 𝛼3 escalares tales que:

𝛼1 1 + 𝑥 + 𝛼2 𝑥 + 𝑥2 , 𝛼3(1 + 𝑥2) = 0, entonces

(𝛼1+ 𝛼3) + (𝛼1+ 𝛼2)𝑥 + (𝛼2+ 𝛼3)𝑥2 =0, esto implica que: 𝛼1+ 𝛼3 = 0

𝛼1+ 𝛼2 = 0 𝛼₂ + 𝛼₃ = 0

Cuya solución es: 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 0, de aquí se sigue que 1 + 𝑥, 𝑥 + 𝑥2_{, 1 + 𝑥}2 _{es linealmente independiente.}

 Veamos que genera a ℘2.

Sea 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 _{un polinomio arbitrario en ℘}

2, debemos mostrar que existen escalares 𝛼₁, 𝛼₂ y 𝛼₃, tales que

𝛼1 1 + 𝑥 + 𝛼2 𝑥 + 𝑥2 , 𝛼3(1 + 𝑥2) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, es decir que

(𝛼1+ 𝛼3) + (𝛼1+ 𝛼2)𝑥 + (𝛼2+ 𝛼3)𝑥2 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2, al igualar las potencias de 𝑥, obtenemos el sistema lineal

𝛼1+ 𝛼3 = 𝑎 𝛼1+ 𝛼2 = 𝑏 𝛼₂+ 𝛼₃ = 𝑐

el cual tiene única solución ya que el determinante de la matriz asociada al sistema es diferente de 1. No necesitamos la solución, por lo tanto genera a ℘2. Por tanto es una base para ℘2.

DEFINICIÓN Sea ℬ = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 una base para el espacio vectorial 𝑉. Sea 𝑣 un vector en 𝑉, que se puede expresar como combinación lineal de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 , entonces 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛, se conocen como coordenadas de 𝒗 con respecto a la base 𝓑, y el vector columna

𝑣 ℬ = 𝛼₁

⋮ 𝛼𝑛

Se denomina vector de coordenadas de 𝒗 con respecto a la base 𝓑.

EJEMPLO

Encuentre el vector de coordenadas 𝑣 _ℬ de 𝐴 = 2 −1

4 3 , con respecto a la base estándar ℬ = 𝑬_𝟏𝟏, 𝑬_𝟏𝟐, 𝑬_𝟐𝟏 , 𝑬_𝟐𝟐 de 𝑀_2×2 .

SOLUCIÓN En razón de que

𝐴 = 2 −1_{4 3} = 2 1 0_{0 0} − 0 1_{0 0} + 4 0 0_{1 0} + 3 0 0_{0 1} = 2𝐸₁₁− 𝐸₁₂+ 𝐸₂₁+ 3 𝐸₂₂ Tenemos que: 𝐴 ℬ= 2 −1 4 3

TEOREMA Sea ℬ = 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 una base para el espacio vectorial 𝑉.

Sean 𝑢 y 𝑣 un vectores en 𝑉 y sea α un escalar. Entonces: 1. 𝑢 + 𝑣 ℬ = 𝑢 ℬ+ 𝑣 ℬ

2. 𝛼𝑢 _ℬ = 𝛼 𝑢 _ℬ

DIMENSIÓN Si un espacio vectorial 𝑉 tiene una base con 𝑛 elementos

entonces se dice que 𝑉 es de dimensión finita y 𝑛 es la dimensión de 𝑉, se expresa dim⁡(𝑉) = 𝑛, un espacio vectorial que no tenga una base finita se dice que su dimensión es infinita.

EJEMPLOS

1. dim⁡(ℝ𝑛) = 𝑛 2. dim ℘𝑛 = 𝑛 + 1 3. dim 𝑀𝑛×𝑚 = 𝑛. 𝑚

4. Determine la dimensión del subespacio

𝑉 = 2𝑥 + 𝑦, 𝑥, −𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ 𝑑𝑒 ℝ4

Solución

2𝑥 + 𝑦, 𝑥, −𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 2,1, −1,1 + 𝑦 1,0, −2,1 + 𝑧(0,0,0,1) Entonces ℬ = 2,1, −1,1 , 1,0, −2,1 , (0,0,0,1) es una base para el subespacio 𝑉, por tanto dim 𝑉 = 3.

TEOREMA Sea ℬ = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 una base para un espacio vectorial 𝑉 1. Cualquier conjunto de más de 𝑛 vectores en 𝑉 debe ser linealmente

dependiente.

2. Cualquier conjunto con menos de 𝑛 vectores en 𝑉 no puede generar a 𝑉

TEOREMA DE LA BASE Si un espacio vectorial tiene una base con 𝑛

vectores, entonces toda base para , tiene exactamente 𝑛 vectores.

TEOREMA Sea 𝑊 un subespacio vectorial de un espacio vectorial de

dimensión finita. Entonces

1. 𝑊 es de dimensión finita y dim 𝑊 ≤ dim 𝑉 2. dim 𝑊 = dim 𝑉 si y solo si W = V

EJERCICIOS

1. Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones especificadas de adición y multiplicación por un escalar, es un espacio vectorial, si no lo es enumere los axiomas que no cumplen.

a) El conjunto de todos los vectores 𝑥_{𝑦 en ℝ}2, con 𝑥𝑦 ≥ 0, con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar habituales.

b) El conjunto de todos los números reales positivos. Con la adición , definida por 𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑥𝑦 y la multiplicación por un escalar definida por 𝛼 ⊙ 𝑥 = 𝑥𝛼_.

c) ℝ2, con la operación habitual de adición pero con la multiplicación por un escalar definida por:

𝛼 𝑥_{𝑦 =} 𝑐𝑥_𝑦

2. Determine si 𝑊 es un subespacio del espacio vectorial 𝑉 dado. a) 𝑉 = ℝ3, 𝑊 = 𝑎 𝑜 𝑎 b) 𝑉 = ℝ3, 𝑊 = 𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 1 c) 𝑉 = 𝑀2×2, 𝑊 = 𝑎_{𝑏 2𝑎}𝑏

3. Determine si el primer vector es combinación lineal de los restantes. a) −𝑎 − 2𝑏_{4𝑎 + 3𝑏} , −1₄ , 2₋₃ b) −3 2 4 , 11 1 , 10 −1 , −10 1

4. Calcule los valores de 𝑘, tales que 𝑘2 −𝑘

, sea una combinación lineal de 02 1 y 10

𝑘

5. Determine si los conjuntos dados son linealmente dependiente o linealmente independientes. a) 1_{0 −1}1 , 1 −1_{1 0} , 1 0_{3 2} b) 𝑥, 2𝑥 − 𝑥2_{, 3𝑥 + 2𝑥}2 _{en ℘} 2. c) −21 0 , 11 1 , −10 1

6. Encuentre el vector de coordenadas de a) 𝑝 𝑥 = 2 − 𝑥 + 3𝑥2 con respecto a la base

ℬ = 1,1 + 𝑥, −1 + 𝑥2 _{de ℘} 2.

b) 𝐴 = 1 2_{3 4} , con respecto a la base ℬ = 1 0_{0 0} , 1 1_{0 0} , 1 1_{1 0} , 1 1_{1 1} de 𝑀2×2

7. Calcule una base y encuentre la dimensión de: a) 𝑉 = 𝐺𝑒𝑛 −5 −1 1 , 41 7 , −10 8 b) 𝑉 = 𝐺𝑒𝑛 −1₁ , −2₀ , 7₅

8. Determine los valores de α tales que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente a) −32 1 −46 −2 𝛼 1 2 b) 1 2 3 −12 4 𝛼3 4 9. Determine el 𝑔𝑒𝑛 12 3 21 0 45 6 y el 𝑔𝑒𝑛 12 3 −12 3 52 3 10. Encuentre los valores de 𝛼 tales que

𝑔𝑒𝑛 11 0 −10 −1 01 𝛼 = 𝑅3 11. Determine la dimensión de : a) 𝑉 = 𝑎 − 𝑏_{2𝑎 + 𝑏} , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ b) 𝑉 = 𝑎 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 5𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ c) 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛 – 𝑥 + 𝑥2, −5 + 𝑥, −𝑥2, 3 + 𝑥2 , 𝑉 ⊆ ℘₂

12. Obtenga la dimensióndel conjunto 𝑉 de todas las matrices de la forma 𝑎 𝑏

𝑐 −𝑎

13. Determine la falsedad o veracidad de cada una de las siguientes afirmaciones, justifique:

a) ℝ10, tiene una base con 11 elementos b) ℝ10, tiene una base con sólo 10 elementos c) ℝ10, solo tiene 10 elementos

d) Un subespacio 𝑉, distinto del nulo de ℝ10, puede tener dos bases distintas.

VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS

Sea A una matriz 𝑛 × 𝑛. Una matriz x no nula de nx1 es un vector característico de A si existe un escalar real  talque Axx. A  se le llama valor característico o valor propio o eigenvalor correspondiente a x y x es un vector característico o propio o eigenvector correspondiente a  .

TEOREMA

Sea 𝐴 una matriz de 𝑛 × 𝑛. Entonces 𝜆 es un valor propio de 𝐴 si y sólo si

𝑝 𝜆 = det 𝐴 − 𝜆𝐼 = det⁡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0

La ecuación anterior se llama Ecuación característica de 𝑨; 𝑝 𝜆 se llama el polinomio característico de 𝑨.

El polinomio característico 𝑝 𝜆 = 0 se puede factorizar en la forma 𝑝 𝜆 = (−1)𝑛 _{𝜆 − 𝜆}

1 𝑟1 𝜆 − 𝜆2 𝑟2⋯ 𝜆 − 𝜆𝑚 𝑟𝑚 = 0

Donde los números 𝑟1, 𝑟2, … 𝑟𝑚 se llaman multiplicidades algebraicas de los valores propios 𝜆1, 𝜆2, ⋯ , 𝜆𝑚 respectivamente.

Contando multiplicidades, toda matriz de 𝑛 × 𝑛 tiene exactamente 𝑛 eigenvalores o valores propios.

TEOREMA

Sea 𝜆 un valor propio de la matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 y sea 𝐸𝜆 = 𝒗: 𝐴𝒗 = 𝜆𝒗 . Entonces 𝐸𝜆 es un subespacio de ℂ𝑛. Este subespacio se llama espacio propio correspondiente a 𝜆.

La multiplicidad geométrica de 𝜆 es la dimensión del espacio propio asociado a 𝜆.

EJEMPLO:

a. Hallar los valores propios de 𝐴 = 10 −18_{6 −11} .

SOLUCIÓN:

𝑝 𝜆 = det 10 −18

6 −11 − 𝜆 1 00 1 = 𝑑𝑒𝑡 10 − 𝜆6 −11 − 𝜆−18 = 0 ⟹ 10 − 𝜆 −11 − 𝜆 + 108 = 0 ⟹ −110 − 10𝜆 + 11𝜆 + 𝜆2_{+ 108 = 0 ⟹} 𝜆2_{+ 𝜆 − 2 = 0 ⟹ 𝜆 + 2 𝜆 − 1 = 0 ⟹ 𝜆 = 1, 𝜆 = −2.}

Así los valores propios o eigenvalores son 𝜆 = 1 y 𝜆 = −2. b. Hallar los eigenvalores y los eigenvectores para A= _

     2 4 3 1 SOLUCIÓN:

Con la ecuación característica, se hallan los eigenvalores:







5. = ó 2 -= 0 = 5) 2)( + ( , 0 10 3 0 12 2 1 0 2 4 3 1 0 2 4 3 1 1 0 0 1 2                                                             Det Det

Al polinomio P()2310 se le llama polinomio característico. Los eigenvectores se obtienen cuando en (I –A)x = 0 se soluciona para x. Así,           2 4 3 1         2 1 x x = _      0 0 ; si  = -2 tendríamos ,           4 4 3 3       2 1 x x = _      0 0 , es decir,          0 4 4 0 3 3 2 1 2 1 x x x x

entonces, como las dos ecuaciones son equivalentes el sistema tiene infinitas soluciones de la forma _

    

tt con 𝑡 ∈ ℝ y de la misma forma, si =5 entonces las soluciones serían los pares _

     t t 4/ 3 con 𝑡 ∈ ℝ que son los eigenvectores.

c. Sea 𝐴 = 3 2 42 0 2 4 2 3

, hallar el espacio propio correspondiente a cada valor propio.

SOLUCIÓN:

Para encontrar los valores propios: det 𝐴 − 𝜆𝐼 = 3 − 𝜆2 −𝜆2 42

4 2 3 − 𝜆

= −𝜆3_{+ 6𝜆}2_{+ 15𝜆 + 8 = − 𝜆 + 1} 2 _{𝜆 − 8 = 0. Así 𝜆}

1 = 8 y 𝜆2 = −1 con multiplicidad 2.

Para 𝜆1 = 8 buscamos el vector propio correspondiente resolviendo el sistema: 𝐴 − 8𝐼 𝒗 = −52 −82 42 4 2 −5 𝑥1 𝑥2 𝑥3 = 00 0

Entonces, 𝑥₃ = 2𝑥₂ y 𝑥₁ = 𝑥₃. Así, si 𝑥₂ = 1, un vector propio asociado a 𝜆1 = 8 es 𝒗 =

2 1 2

y por lo tanto el espacio propio es 𝐸8 = 𝑔𝑒𝑛 2 1 2

.

Para 𝜆2 = −1 buscamos el vector propio correspondiente resolviendo el sistema: 𝐴 + 𝐼 𝒗 = 4 2 42 1 2 4 2 4 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ = 0 0 0

Entonces, 2𝑥₁+ 𝑥₂+ 2𝑥₃ = 0 o equivalentemente 𝑥₂ = −2𝑥₁− 2𝑥₃. Así, si 𝑥₁ = 1 y 𝑥₃ = 0, entonces un vector propio asociado a 𝜆₂ = −1 es 𝒗 = −21

0

. Si 𝑥₁ = 0 y 𝑥₃ = 1, entonces un vector propio asociado a 𝜆₂ = −1 es 𝒗 = −20

1

. Por lo tanto el espacio propio es 𝐸−1 = 𝑔𝑒𝑛 1 −2 0 , 0 −2 1 . La multiplicidad geométrica de 𝜆2 = −1 es 2.

EJERCICIOS

1. Calcule los valores propios y los espacios propios de la matriz dada. Si la multiplicidad algebraica de un valor propio es mayor que 1, calcule su multiplicidad geométrica.

a. −2 −2_{−5 1} b. −3_{0 −3}0 c. 10 2 22 1 −1 2 2

2. Muestre que 1_𝑖 , y 1_−𝑖 son vectores propios de 2 1 −1 2 . 3. Dada la matriz 𝐴 = 10 2 22 1

−1 2 2

, hallar los valores propios de 𝐴−1 _y 𝐴2_.