Estrategia para la identificación y la aplicación de las funciones Gamma y Beta.

VICERRECTORIA DE ESTUDIOS DE POSGRADO

MAESTRÍA EN MATEMÁTICA SUPERIOR

Estrategia para la identificación y la aplicación de las

funciones Gamma y Beta.

Sustentante

Ricardo Benjamín Valdez Reyes

2013-1027

Asesor

MSc. Francesco Semerari

DEDICATORIA

A Dios, por ser nuestro Padre y no permitir que desmayemos en este esfuerzo, que en momentos creíamos inalcanzable.

A mi esposa Esther por su paciencia y comprensión por el tiempo que le deje de dedicar y por ser luz e inspiración en todo lo que me propongo.

A mis hijos Diana Esther, Richard José y Enmanuel Alexander gracias por su paciencia y comprensión, espero esto les sirva de ejemplo.

A mis padres por la formación inicial que me inculcaron para que luche siempre hasta alcanzar la meta en lo que nos propusiéramos.

A UNAPEC, a través de su Departamento de Matemática, encabezado por la Dra. Génova Feliz, por su política de actualización y capacitación del personal docente de la cual hemos sido beneficiados.

Al profesor Francesco Semerari por su entrega y paciencia durante nuestra capacitación y elaboración de este proyecto. Sin sus orientaciones este trabajo no fuera una realidad.

A mis compañeros de maestría José Armando, Celenia, Dionisio y Joa, sin ustedes no hubiese sido posible.

“Los matemáticos han intentado en vano, hasta la actualidad, descubrir algún orden

en la secuencia de números primos, y tenemos razones para creer que se trata de un misterio

que la mente humana nunca resolverá”. Leonhard Euler

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano”.

“Si he logrado ver más lejos ha sido porque he subido a hombros de gigantes”

Isaac Newton

“Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”.

“Matemática es la reina de las ciencias”. Carl Friedrich Gauss

RESUMEN

El presente trabajo de investigación fue diseñado para efectuar un aporte de la problemática en la que se encuentran los estudiantes de la catedra de Análisis Matemático de la Universidad APEC, los cuales muestran poco o ningún conocimiento sobre la identificación de las integrales impropias que pueden ser resueltas a través del uso de las funciones Gamma y Beta. Debido a su desconocimiento, nos perdemos de aprovechar las potencialidades que ofrecen estas funciones en distintas áreas del saber, como es el caso de la ingeniería, la medicina, la economía, la probabilidad, etc. Además de aplicar estas funciones en situaciones problemáticas de la vida real, relacionadas con la ingeniería, que es el área que nos compete. El objetivo de este trabajo es presentar una estrategia apropiada para la identificación y la aplicación de las funciones Gamma y Beta, lo cual puede resolver la contradicción entre las potencialidades de aplicación de las funciones Gamma y Beta y el escaso conocimiento de ellas, contribuyendo a la formación de un conocimiento profundo sobre estas funciones y sus aplicaciones. Para realizar esta estrategia, se sustentara en el método deductivo y se parte de las integrales impropias especiales de primera y segunda especie, las cuales nos pueden generar una función Gamma o Beta, analizamos su convergencia a partir de los parámetros característicos de estas funciones y procedemos a resolverlas aplicando su definición.

Palabras claves: Integrales impropias, integrales impropias de primera y

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ... 1

CAPITULO I: Aspectos Generales Preliminares ... 7

1. Marco de Referencia ... 7

1.1. Marco Histórico ... 7

1.1.1. Concepto de función ... 8

1.1.2. Límite de una función ... 12

1.1.2.1. Evolución histórica del conceptode límite ... 12

1.1.3. La pendiente de una recta ... 22

1.1.4. La derivada de una función ... 22

1.1.5. Origen de la Integral ... 25

1.1.6. Integral definida e Integral de Riemann... 34

1.1.7. Integrales impropias ... 36

1.2. Marco Socio – Cultural ... 37

1.3. Marco Teórico ... 37

1.4. Marco Conceptual ... 39

1.4.1. Función ... 39

1.4.2. Límite de una función ... 44

1.4.3. La derivada de una función ... 45

1.4.4. Integral definida ... 46

1.4.5. Integrales impropias ... 47

1.4.6. Integrales Impropias Especiales ... 50

1.5. Marco Metodológico ... 51

1.5.1. Tipos de investigación ... 51

CAPITULO II: Funciones Gamma y Beta ... 52

2.1 Funciones Gamma (𝚪) ... 52

2.2 Funciones Beta (𝜷) ... 58

2.4 Extensión del concepto de Función Factorial a losnúmeros reales

no naturales ... 62

2.5 Extensión del dominio de la Función Gamma (𝚪) de cero y de los números enteros negativos ... 64

2.6 Otras definiciones de la Función Gamma (𝚪) según otros autores ... 65

2.7 Funciones Gamma (𝚪) incompletas ... 67

2.8 El símbolo (𝝀)𝒌 de Pochhammer ... 67

2.9 La integral de Gauss ... 68

2.10 Estrategia para la identificación y aplicación de lasfunciones Gamma y Beta ... 70

2.11 Ejemplos prácticos ... 71

CONCLUSIÓN ... 86

RECOMENDACIONES ... 87

1

INTRODUCCIÓN

Es evidente que las integrales son tan útiles en toda el área del saber, muy especialmente en la ingeniería y por ello es necesario desarrollar estrategias que resulten más sencillas y permitan comprender mejor el proceso de integración de algunas funciones.

Existen algunos tipos de integrales, como son las integrales impropias, que resolverlas implica que se debe poseer habilidades sobre identidades trigonométricas, propiedades y leyes de los logaritmos, así como respecto a la derivación; es por esto que en la búsqueda de métodos alternos, que le permita a una persona desarrollar habilidades para identificar estos tipos de integrales impropias y su aplicación, se presenta las funciones Gamma y Beta como opción a esta situación.

Las funciones Gamma y Beta son de gran utilidad en diferentes áreas del saber y el desconocimiento de esto ha venido impidiendo un mejor aprovechamiento de estas funciones en su aplicación.

Se trata de resolver la siguiente situación problémica que está a base de esta investigación, que es la contradicción entre las potencialidades de aplicación de las funciones Gamma y Beta y el escaso conocimiento de ellas.

De esto se desprende que esta investigación tiene como objeto de estudio el análisis matemático real, delimitando el campo de acción en el estudio de las funciones Gamma y Beta.

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En resumen, se cree que la hipótesis de la investigación es válida y consiste en que si se utiliza una estrategia apropiada para la identificación y la aplicación de las funciones Gamma y Beta, se puede resolver la contradicción evidenciada en el problema científico de la investigación, contribuyendo a la formación de un conocimiento profundo sobre estas funciones y sus aplicaciones.

Habiendo analizado el problema anterior, surgen las siguientes interrogantes, a ser satisfechas con la presente investigación:

- ¿Se podrá presentar una estrategia que resulte atractiva y que ayude a desarrollar habilidades en los usuarios de este tipo de integrales?

- ¿Qué puede estar causando la poca habilidad para identificar las funciones que pueden ser integradas a través de las funciones Gamma y Beta?

- ¿Cómo afecta esta situación la autoestima y la parte intelectual de los estudiantes?

- ¿Cuál es el nivel de aceptación por parte de los estudiantes al conocer este método de resolución?

El objetivo general de la investigación es presentar una propuesta de estrategia para la identificación y la aplicación de las funciones Gamma y Beta que facilite la resolución de integrales de ciertos tipos, dar a conocer su importancia y mostrar la versatilidad en la aplicación de estas funciones en distintas áreas del saber. Esta investigación estará acompañada de los siguientes objetivos específicos:

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- Indagar los orígenes de las funciones Gamma y Beta - Definir la funciones Gamma y Beta

- Identificar las funciones que se le pueden aplicar esta estrategia. - Relacionar la función Gamma con la función Beta

- Aplicar las funciones Gamma y Beta a las funciones a integrar. - Aplicación de las funciones Gamma y Beta en la ingeniería y otras

áreas del saber

- Comparar los resultados obtenidos a través de las funciones Gamma y Beta y los métodos tradicionales.

Estas funciones permiten desarrollar ciertas habilidades, como es el caso relacionar las integrales con el análisis combinatorio, específicamente el factorial de un numero complejo, la probabilidad, el mejor conocimiento de las sucesiones de números, además estas funciones presentan un crecimiento vertiginoso en distintas áreas del saber, como es la teoría atómica y nuclear, problemas de tráfico en líneas telefónicas, problemas de Teoría de la confiabilidad, etc. Si se compara la cantidad de tiempo que se suele invertir al implementar esta estrategia de resolución de integrales aplicando las funciones Gamma y Beta y el tiempo que se invierte al resolver este tipo de problemas a través de los métodos tradicionales, es notable un ahorro significativo, además de lo ligero que resulta la resolución de dichos problemas. Es por estas razones que se establece esta estrategia como útil para que los estudiantes de Análisis Matemático Real a nivel superior puedan incorporarla en su conjunto de conocimientos y habilidades.

Las razones por las que se plantea la investigación son de tipo prácticas, ya que la investigación propuesta ayudará en la solución de problemas de

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ciertos tipos de integrales especiales y en la toma de decisiones relativo a cuando usar esta estrategia.

Las integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las cuales el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas características especiales, como son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontinuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.

La función Gamma aparece en el año 1729 en algunos trabajos de Leonhard Euler y es lo que se conoce como Integral de Euler de segunda especie, o función Gamma (𝛤).

𝛤(𝑛) = ∫ 𝑒∞ −𝑡_𝑡𝑛−1

0 dt para 𝑛 > 1.

En la cual la condición 𝑥 > 0 es exigida para la convergencia de la integral.

La integral de Euler de primera especie o función beta se define mediante otra integral impropia que depende de dos parámetros 𝑛 > 0 y 𝑟 > 0, la cual está definida por

𝛽(𝑛, 𝑟) = ∫ 𝑥1 𝑛−1

0 (1 − 𝑥)𝑟−1𝑑𝑥.

Para comprender y poder aplicar las funciones Gamma y Beta de una forma adecuada, existen un gran número de conceptos que deben ser

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dominados previamente para comprender mejor esta estrategia. A continuación se presenta algunos de estos:

a) Identidades trigonométricas

b) Propiedades y leyes de los logaritmos c) La derivación y sus reglas

d) Área bajo curvas e) Integral definida f) Integración por partes g) Integración por sustitución h) Integrales impropias

i) Integrales impropias de primera y segunda especie

El tipo de estudio en el que se sustentara esta investigación es el método deductivo. Este método deductivo consiste en la totalidad de reglas procesos, con cuya ayuda es posible deducir conclusiones finales a partir de unos enunciados supuestos llamados premisas. Si de una hipótesis sigue una consecuencia y esa hipótesis se da, entonces, necesariamente, se da la consecuencia (Tamayo, E., 2009).

El método deductivo es el procedimiento o camino que sigue el investigador para hacer de su actividad una práctica científica. Este método tiene varios pasos esenciales: observación del fenómeno a estudiar, creación de una hipótesis para explicar dicho fenómeno, deducción de consecuencias o proposiciones más elementales que la propia hipótesis, y verificación o comprobación de la verdad de los enunciados deducidos comparándolos con la experiencia. Este método obliga al investigador a combinar la reflexión racional o momento racional (la formación de hipótesis y la deducción) con la observación de la

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realidad o momento empírico (la observación y la verificación) (Valdivia, E.; de la Cruz, J., 2012).

Esta tesis está estructurada en dos capítulos:

En el primer capítulo se examina los conocimientos previos que se deben tener para trabajar y/o dominar estas funciones especiales, además de los procesos históricos que precedieron y que dieron origen a estas funciones Gamma y Beta. A todo esto se le agrega el bajo conocimiento o desconocimiento de estas funciones, en lo relativo a su versatilidad y aplicación en distintas áreas del saber.

En el segundo capítulo, se plantea una Metodología alternativa, a los métodos de integración más conocidos, como son los casos de la integral por partes y la sustitución. Como se relacionan estas funciones con el factorial de un número, la relación entre las funciones Gamma y Beta. Además en este capítulo, se pone en marcha la identificación, resolución y aplicación de las funciones Gamma y Beta a situaciones problémicas en distintas áreas del saber.

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CAPITULO I: Aspectos Generales Preliminares

1 Marco de Referencia

Es por todos conocido que la formación matemática es base y parte esencial en la formación de todo profesional, muy especialmente el ingeniero, de esto se desprende la importancia en su enseñanza y es el aprendizaje por parte de todos los alumnos de un saber seguro, exacto, estructurado sistemáticamente y aplicable. En este capítulo se presentara un resumen del proceso histórico que ha vivido las matemáticas con el nacimiento del cálculo infinitesimal, a través de nacimiento del concepto de límite de una función, la derivada y la integral, en este caso definida, de una función.

1.1.

Marco Histórico

El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos sujetos a cambios. Las referencias más antiguas al concepto de función se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento, siendo uno de los primeros en realizarlo Nicolás de Oresme (1323-1392), el cual represento en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto al tiempo. (Hernández M., Y. N., Pág. 83, 2013).

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Tres siglos más tarde, Galileo, en 1630, estudio el movimiento desde un punto de vista cuantitativo, justificándolo experimentalmente y estableciendo a partir de ello, leyes y relaciones entre magnitudes.

A partir de Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que a comienzos del siglo XIX, en 1837, Dirichlet formulo la definición de función como relación entre dos variables, que es la que actualmente aceptamos y manejamos. (Hernández M., Y. N., Pág. 83, 2013).

1.1.1.

Concepto de función

Vamos a comenzar el estudio de las funciones dando su definición actualmente aceptada, relativamente moderna para la importancia del concepto. Para ello, necesitamos conocer primero lo que es una aplicación.

Una aplicación debe entenderse como cualquier ley que asocie elementos de un conjunto con elementos de otro conjunto, sin más condiciones. Este concepto debe refinarse hasta llegar al de función (Rodríguez, D., 2012).

Usaremos la flecha para indicar el sentido de la aplicación, es decir, cuál es el conjunto origen y cuál el destino. Lo denotaremos:

𝑠 ∶ 𝑋 → 𝑌

Con ello queremos expresar que la aplicación 𝑠 asocia o relaciona los elementos de 𝑋 (origen) con los elementos de 𝑌 (destino).

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Veamos un ejemplo, que nos permita comprender mejor este concepto.

Fuente: Internet

En este ejemplo, la aplicación relaciona los elementos de 𝑋 (números) con los de 𝑌 (letras). Las flechas indican los elementos emparejados entre sí:

𝑠 ∶ 1 → 𝑏, 2 → 𝑐, 3 → 𝑑, 4 → 𝑏

Esta aplicación también se puede expresar como conjunto de pares ordenados: 𝑠 = {(1, 𝑏), (2, 𝑐), (3, 𝑑), (4, 𝑏)} con el criterio de que el primer valor de cada par pertenece al conjunto origen y el segundo valor del par pertenece al conjunto destino.

La idea que subyace en el núcleo central del concepto de función, es la de relación de dependencia entre magnitudes o variables. Al estudiar un fenómeno cualquiera, se suele observar que las magnitudes o cantidades que intervienen presentan una relación entre ellas, de forma que una de las magnitudes depende de la otra. La expresión analítica de esa relación de dependencia es la función (Rodríguez, D., 2012).

Una función matemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto:

10 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 𝑋 → 𝑌 = 𝑓(𝑥)

Al conjunto 𝑋 se le llama Dominio y al conjunto 𝑌 se le llama Imagen.

Y se debe cumplir que:

a) Todos los elementos de 𝑋 están relacionados con elementos de 𝑌. b) A cada elemento 𝑥 ∈ 𝑋 le corresponde un único elemento 𝑦 ∈ 𝑌.

A la variable 𝑥 se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente.

Si dos elementos 𝑥 e 𝑦 están relacionados por la función 𝑓, tenemos que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Entonces como 𝑓(𝑥) = 𝑦, diremos que 𝑦 es la imagen de 𝑥 o que 𝑥 es la anti imagen de 𝑦. Las imágenes son elementos del conjunto imagen y las anti imágenes son elementos del dominio.

Ejemplo:

Supongamos una función 𝑓 que a cada 𝑥 le hace corresponder su cuadrado:

𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑥2 Si 𝑥 = 2 entonces 𝑓(2) = 22 _{= 4}

Si 𝑥 = 3 entonces 𝑓(3) = 23 _{= 8}

Entonces:

4 es la imagen de 2 por la función 𝑓 ↔ 2 es la anti imagen de 4. 9 es la imagen de 3 por la función 𝑓 ↔ 3 es la anti imagen de 9.

11 La siguiente aplicación no es función:

X Y

En conclusión, el concepto de función, es sin duda, el más importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. Históricamente no fue fácil llegar a él y una gran cantidad de mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa. (Rodríguez, D., 2012).

Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usarlo (aunque se aclara, no en la forma que hoy la conocemos), pasando por Newton y Leibniz, que fue el primero que en 1673 uso la palabra "función" para referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, pero fue Euler, quien le dio su formulación moderna 𝑦 = 𝑓(𝑥). Cauchy, Dirichlet y Gauss, parte de las mejores mentes de la historia de la humanidad, le dedicaron su atención y sus desvelos. (Rodríguez, D., 2012).

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1.1.2.

Límite de una función

El límite de una función junto al de función, es la idea básica del “análisis o cálculo infinitesimal”, el cual comprende tanto el estudio de la derivada como el de la integral.

1.1.2.1.

Evolución histórica del concepto

de límite

Luego de revisar distintas investigaciones realizadas, la evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en cuatro etapas, las cuales se diferencian básicamente por la concepción de límite (Ferrante, J.J.L., 2009).

De Eudoxo de Cnido a la primera mitad del siglo XVIII.

En esta etapa aparece una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite. No existe el concepto como tal, ya que ni siquiera se ha explicitado el concepto de función, pero sí aparece como proceso implícito en algunos métodos utilizados, básicamente, para resolver cuatro tipos de problemas:

 Dada la fórmula del espacio en función del tiempo, obtener la velocidad y aceleración en cualquier instante o recíprocamente, dada la aceleración o velocidad obtener la fórmula del espacio.

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 Obtención de la tangente a una curva. En óptica es necesario conocer la normal a una curva y en el estudio del movimiento la dirección de la tangente. Aparecen problemas de definición de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas) pues la definición de tangente como recta que toca en un sólo punto o deja a un lado la curva sólo sirve para algunas cónicas.

 Estudio de máximos y mínimos de una función, relacionado con el movimiento de los planetas, el movimiento de proyectiles, etc.

 Cálculo de áreas acotadas por curvas, volúmenes acotados por superficies, longitudes de curvas, centros de gravedad y atracción gravitatoria.

Se presenta a continuación un breve resumen de algunos de estos métodos infinitesimales.

Método de exhaución. Se atribuye a Eudoxo, aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes en sobre la esfera y el cilindro y en La cuadratura de la parábola. El método se aplicaba al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitudes de curvas, tangentes a las curvas, etc. Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud, de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada. Por ejemplo para estimar la superficie del círculo se inscriben y circunscriben polígonos regulares de 𝑛 lados cuya superficie se conoce (en definitiva es la de 𝑛 triángulos isósceles) luego se duplica el número de lados de los polígonos inscriptos y circunscriptos hasta que la diferencia queda exhausta. Arquímedes halló la superficie del círculo con este método llegando a polígonos de noventa y seis lados.

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Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630). Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas como los que aparecen en “Nova stereometria doliolum vinatorum”, (Kepler, 1615). La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes, infinitamente pequeñas, de áreas o volúmenes conocidos. Galileo utilizará un método semejante para mostrar que el área encerrada bajo la curva tiempo-velocidad es el espacio.

Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Cavalieri representaba estos objetos mediante una superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar. Lo hace en su libro “Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota”, (Cavalieri, 1635).

“Este caballero merece algo más que una mención por el daño que hizo

en la conceptualización del análisis. No fue un antecesor del cálculo,

fue el que impregnó a muchos bien pensantes hombres que un infinitésimo es un “cero pequeño”. Es el mismo que logró que se dijese que la tangente a una curva estaba definida por dos puntos sucesivos sobre la misma, dado que es como un collar de cuentas muy pequeñas, una al lado de otra; es el que dijo que una superficie estaba conformada por líneas sin ancho y que un volumen, un montón de superficies sin espesor”. (Ferrante, J.J.L., 2009).

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Método de Fermat para buscar extremos de curvas. Este lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva, cuando ε es pequeño, los valores de la función 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥 + 𝜀) están tan próximos que se pueden tomar iguales. El método consiste en hacer 𝑓(𝑥 + 𝜀) = 𝑓(𝑥), dividirlo por 𝜀 y tomar 𝜀 = 0. Si bien no habla de límite, está bastante cerca.

Método de las tangentes. Fermat envía a Mersenne en 1637 una memoria que se titula Sobre las tangentes a las líneas curvas donde parece plantear un método para calcular tangentes en un punto de cualquier curva, si bien sólo lo utiliza con la parábola. En un intento de clarificar dicho método, Descartes crea el suyo propio según reza en la carta que envía a Mersenne en Mayo de 1638 y, así, considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y, para ello, calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de triángulos. En la práctica, para obtener los segmentos necesarios se consideraba 𝑓(𝑥 + 𝜀) − 𝑓(𝑥), se dividía por 𝜀 y se tomaba 𝜀 = 0, lo que equivale a hallar el límite funcional en la abscisa del punto 𝑃.

Método de Barrow (1630-1677). Su método es muy semejante al de Fermat, pero en él aparecen dos incrementos 𝑒 y 𝑎, que equivalen a los 𝛥𝑥 y 𝛥𝑦 actuales.

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Todos estos métodos fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecánica, de la astronomía y de la física. El álgebra aportó las herramientas necesarias para que algunos de estos métodos se desarrollaran, destacando el método de las coordenadas, que facilitó el estudio de las curvas. Sin embargo, estos métodos funcionaban de forma separada y no se tenía conciencia de su generalidad; faltaba algo que les armonizara y además les diera ese carácter de universalidad (Ferrante, J.J.L., 2009).

a) Nacimiento del concepto de límite

Isaac Newton (1648-1727) es el creador de la teoría de las fluxiones, un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal. Propone el método de las fluxiones, expuesto en la obra “Methodus fluxionum et serierum infinitorum” (Newton, 1736), donde se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo denominadas fluentes. Todas las fluentes son variables dependientes y tienen un argumento común, el tiempo. Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, que se denominan fluxiones (Ferrante, J.J.L., 2009).

La teoría de fluxiones resuelve dos problemas: la determinación de la relación entre fluxiones, conocidas la relación entre fluentes y el recíproco, dada la relación entre fluxiones, encontrar las fluentes Para resolver estos problemas aplicó sendos métodos basados en el uso de cantidades infinitamente pequeñas. Para el propio Newton en estos métodos resolutivos no se explicaban de forma satisfactoria. En 1704 en su obra “Tractatus quadratura curvarum”, explicita el método de las "razones primeras y últimas", en la que el incremento de la variable se

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"desvanece", lo que supone la explicitación de una idea de límite un tanto metafísica. Allí resuelve el siguiente problema:

“Fluya una cantidad x uniformemente; ha de encontrarse la fluxión de la cantidad 𝑥𝑛. En este tiempo, la cantidad 𝑥, al fluir, se convierte en 𝑥 + 0,

la cantidad 𝑥_𝑛 resultará (𝑥 + 0)_𝑛; que por el método de las series infinitas es 𝑥𝑛+𝑛0𝑥𝑛−1+ ((𝑛2− 𝑛)/2)02𝑥2− 2 +…. Y los incrementos 0 y 𝑛𝑜𝑥𝑛 − 1 + ((𝑛2 − 𝑛)/2)𝑜2𝑥𝑛 − 2 + 𝑒𝑡𝑐., estarán entre sí como 1 y 𝑛𝑥_𝑛−1+ (𝑛2−𝑛

2 ) 0𝑥𝑛−2+… Desvanézcanse ahora aquellos incrementos, y

su última razón será 1 a 𝑛𝑥_𝑛−1. Y por eso, la fluxión de la cantidad 𝑥 es a la fluxión de la cantidad 𝑥_𝑛 como 1 a 𝑛𝑥_𝑛−1 ”.

En su obra Principia Mathematica, Newton aclara el concepto de límite:

"Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales".

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática, contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias. Usa una notación que perdura actualmente, pero no aclara lo que, para él significa “infinitamente pequeño”. Pero peor, a veces habla de "infinitamente, infinitamente pequeño".

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La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de límite puesto que se trabaja en problemas de índole geométrica. La noción de límite en realidad se encuentra implícita, y se ve una evolución de su estatus, pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser, con los infinitésimos y las razones primeras y últimas de Newton, una herramienta para resolver problemas.

Ahora bien, esta idea de límite como aproximación sin más no basta. Por una parte, la aproximación tiene que ser indefinida, es decir, tiene que existir la posibilidad de tomar aproximaciones cada vez mejores, cosa que se consigue en todos los métodos revisados, pero hasta Newton esta posibilidad no se plasma claramente en el hecho de que los objetos se han de aproximar “más que cualquier diferencia dada”, lo cual implica que el límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles.

b) Segunda mitad del siglo XVIII. Transformación de los fundamentos del análisis infinitesimal.

Utilizando infinitésimos pequeños y grandes, que surgen de la teoría de las razones primeras y últimas de Newton, los matemáticos de la época obtienen solución para muchos de sus problemas. La dificultad más importante para el desarrollo del análisis infinitesimal era la necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor número de funciones, para lo que se requería una idea clara de dependencia funcional y, para ello, fue necesario investigar el significado del concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. Los matemáticos del siglo XVIII, que se preocuparon de la fundamentación del análisis, buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos, no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite. (Ferrante, J.J.L., 2009).

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Leonhard Paul Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibniz y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas, que, desde entonces, se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. Se plantea la regularidad de las funciones, introduciendo la función continua como sumas, productos y composiciones de funciones elementales.

Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. En el tomo IX de la “Encyclopédie”, D´Alembert escribe la siguiente definición de límite:

“Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad, cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer, sin que, no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima; de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable”.

En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral, es decir, la magnitud que se aproxima no le puede superar, y así, aunque la aproximación es objetiva no se puede tener un control completo de la misma.

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias, sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite.

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c) Siglo XIX y principios del siglo XX. Aritmetización del análisis.

A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último, en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función, la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos, y la evolución de la enseñanza de las matemáticas, que tras la revolución francesa pasa de ser una disciplina obligatoria en la escuela normal superior y en la politécnica. De estos matemáticos se destacan Cauchy, Bolzano y Weierstrass (Ferrante, J.J.L., 2009).

Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Este retoma el concepto de límite de D'Alembert, rechazando el planteamiento de Lagrange, prescinde de la geometría, de los infinitésimos y de las velocidades de cambio, dándole un carácter más aritmético, más riguroso pero aún impreciso. La definición de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente:

“…, cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todos los demás”.

La noción de límite dada por D’alembert es más objetiva que la de Cauchy, ya que en ésta aparece el término "tanto como queramos" que la hace subjetiva. Define además infinitésimos como una cantidad variable que converge a cero Cauchy basa todo el análisis en el concepto de límite.

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Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy, basada en la misma idea de límite.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis, dando una definición satisfactoria de número real y otra del concepto de límite. Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que, según él, esto sugiere tiempo y movimiento, y dio una formulación métrica, puramente estática, definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. Esta definición, que aparece en la obra de su discípulo Heine Elemente, es la siguiente:

"Si, dado cualquier ε, existe un no, tal que para 0 < 𝑛 < 𝑛₀, la diferencia 𝑓(𝑥𝑜 ± 𝑛) − 𝐿 es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) para 𝑥 = 𝑥₀".

La noción de límite es ya, en esta etapa, una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad, la derivada y la integral, hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma. Sin embargo, esta definición, que evoluciona desde la concepción dinámica de Cauchy a una concepción estática, no es el final de un largo proceso evolutivo, ya que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico, ligadas a la generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente numéricos, lo que constituye una cuarta etapa en el desarrollo del concepto (Ferrante, J.J.L., 2009).

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1.1.3.

La pendiente de una recta

Se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "𝑚" es el ángulo en radianes (Ecured, 2014).

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas. Sean 𝑃1 (𝑥1; 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2; 𝑦2), dos puntos de una recta, no paralela al eje 𝑌; la pendiente:

𝑚 =_𝑥𝑦2 − 𝑦1 2− 𝑥1

Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje 𝑥 positivo.

Si 𝑚 > 0 se dice que la pendiente es positiva, si 𝑚 < 0 se dice que la pendiente es negativa, si 𝑚 = 0 la recta es paralela al eje (𝑥) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (𝑦) del plano cartesiano.

1.1.4.

La derivada de una función

Galileo Galilei (1564 - 1642), al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo Diferencial; el cálculo con derivadas.

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La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier fenómeno funcional. Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen al estudio de las derivadas (Sorando, J.M., 2002).

En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo transcurrido: 𝑠 = 𝑠 (𝑡)

La tasa de variación entre dos instantes 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 es el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo:

𝑠 (𝑏) – 𝑠 (𝑎)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como velocidad media:

𝑣_𝑚 = 𝑠 (𝑏) – 𝑠 (𝑎) 𝑏 − 𝑎

Cuando el intervalo de tiempo [a, b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad instantánea:

𝑣_𝑖(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 𝑎→𝑏

𝑠(𝑏) – 𝑠 (𝑎) 𝑏 − 𝑎

A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese momento:

𝑣_𝑖(𝑎) = 𝑠’(𝑎)

A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del tiempo:

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La tasa de variación entre dos instantes 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 es la aceleración experimentada en ese intervalo de tiempo:

𝑎_𝑚 = 𝑣_𝑖(𝑏) – 𝑣_𝑖(𝑎) = 𝑠’(𝑏) – 𝑠’ (𝑎)

La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración media:

𝑎_𝑚 = 𝑠’ (𝑏) – 𝑠’ (𝑎) 𝑏 − 𝑎

Cuando el intervalo de tiempo [a, b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración instantánea:

𝑎_𝑖(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚 𝑎→𝑏

𝑠’ (𝑏) – 𝑠’ (𝑎) 𝑏 − 𝑎

Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función del tiempo en un momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese momento:

𝑎_𝑖(𝑎) = 𝑣_𝑖’(𝑎) = [ 𝑠’]’(𝑎) = 𝑠”(𝑎)

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, ambos por separado y casi a la vez, continuaron lo que Galileo comenzó, lo cual originó una fuerte disputa entre ellos.

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“Newton y Leibniz iniciaron el Cálculo Diferencial y, al medir el ritmo de cambio de los fenómenos físicos, naturales e incluso sociales, abrieron las puertas al espectacular desarrollo científico y tecnológico que ha transformado el mundo en 3 siglos tanto o más que en toda la historia anterior. Parecía que por fin se había cumplido el sueño pitagórico: explicar el mundo con Matemáticas” (Sorando, J.M., 1982).

1.1.5.

Origen de la Integral

Al inicio del siglo XVII es, justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo, que junto con la geometría analítica es “la mayor creación de todas las matemáticas” (Boyer, C., 2007). En esos tiempos existían cuatro tipos de problemas principalmente:

1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surge directamente del estudio del movimiento.

2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento.

3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para aplicarlo al problema del tiro parabólico y el estudio del movimiento de los planetas.

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4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos.

Pero en aquel entonces aún no había constancia de la estrecha relación existente entre los cuatro problemas.

Los griegos ya habían aplicado métodos exhaustivos para el cálculo de áreas y volúmenes. A pesar del hecho de que lo aplicaban para áreas y volúmenes relativamente sencillos, tenían que utilizar mucha ingeniosidad, porque al método le faltaba generalidad, y no obtuvieron respuestas numéricas muy a menudo. Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad. El Método exhaustivo se modificó primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo.

Los trabajos del siglo XVII al respecto de este cuarto problema comienzan con Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles. Este trabajo (en “Stereometria Dolorium”) es tosco para los niveles actuales; por ejemplo, el área de un círculo es el área de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una base en la circunferencia. De la fórmula del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia, la mitad del perímetro por la apotema, obtenía el área del círculo. De forma análoga, consideraba el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de la esfera y cuyas bases están en la superficie. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio del radio por la superficie.

27

Consideró el cono como una suma de discos circulares muy estrechos y así pudo calcular su volumen. (García, V., 2008).

Galileo, en dos nuevas ciencias, concibe las áreas de un modo parecido a Kepler; al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado, presentó un razonamiento para mostrar que el área de la curva tiempo-velocidad es la distancia.

Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y profesor en un liceo de Bolonia fue influido por Kepler y Galileo, y fue estimulado por este último para interesarse por problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de Galileo y otros sobre los indivisibles mediante un método geométrico, y publicó un trabajo sobre el tema, “Geometría Indivisibilibus Continuorum Nova quadam Ratione Promota” (“Geometría superior mediante un método bastante desconocido, los indivisibles de los continuos”, Cavalieri, 1635). Considera un área como constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas; a estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los indivisibilistas mantenían, como expresa Cavalieri en sus “Exercitationes Geometricae Sex” (Cavalieri, 1647), que una línea está hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas, sin embargo aceptaban un número infinito de elementos constituyentes. (García, V., 2008).

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El método o principio de Cavalieri puede ilustrarse mediante la proposición siguiente que, por supuesto puede, demostrarse de otras formas. Para demostrar que el paralelogramo ABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulos ABD o BCD, hace notar que cuando GD = BE, se tiene que GH = FE.

Fuente: Internet

Por tanto los triángulos 𝐴𝐵𝐷 y 𝐵𝐶𝐷 están constituidos por igual número de líneas iguales, tales como 𝐺𝐻 y 𝐸𝐹, y por tanto tienen que tener áreas iguales.

Este mismo principio está incluido en la proposición que se enseña actualmente en los libros de geometría de sólidos y que se conoce como teorema de Cavalieri. Con este método encontró el área acotada bajo funciones del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 para 𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9. Sin embargo, su método era enteramente geométrico.

Roberval, utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área encerrada bajo un arco de cicloide, un problema sobre el que Mersenne había llamado su atención en 1629. Denominó a su método el “método de las infinidades”, aunque utilizó como título de su trabajo “el de Traité des Indivisibles” (Roberval, 1634).

29 Fuente: Internet

Sea 𝑂𝐴𝐵𝑃 el área situada bajo la mitad de un arco de cicloide. El diámetro de la circunferencia generatriz es 𝑂𝐶 y 𝑃 es un punto cualquiera del arco. Se toma 𝑃𝑄 = 𝐷𝐹. El lugar geométrico descrito por 𝑄 se llama curva asociada a la cicloide. (La curva 𝑂𝑄𝐵 es, en nuestra notación, 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑥_𝑎), donde 𝑎 es el radio de la circunferencia generatriz, con tal que el origen esté en el punto medio de 𝑂𝑄𝐵 y el eje 𝑂𝑋 sea paralelo a 𝑂𝐴.) La curva 𝑂𝑄𝐵 divide al rectángulo 𝑂𝐴𝐵𝐶 en dos partes iguales porque a cada línea 𝐷𝑄 en 𝑂𝑄𝐵𝐶 le corresponde una línea igual 𝑅𝑆 en 𝑂𝐴𝐵𝑄. Entonces puede aplicarse el principio de Cavalieri. El rectángulo 𝑂𝐴𝐵𝐶 tiene su base y su altura iguales, respectivamente, a la semicircunferencia y diámetro de la circunferencia generatriz; por lo tanto su área es el doble de la circunferencia. Entonces 𝑂𝐴𝐵𝑄 tiene la misma área que la circunferencia generatriz. Además el área entre 𝑂𝑃𝐵 y 𝑂𝑄𝐵 es igual al área del semicírculo 𝑂𝐹𝐶 porque de la misma definición de 𝑄 se tiene que 𝐷𝐹 = 𝑃𝑄, de modo que estas dos áreas tienen la misma anchura en todas partes. En consecuencia, el área encerrada debajo del

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semiarco es una vez y media el área de la circunferencia generatriz. Además, también obtuvo el área encerrada en un arco de la curva seno, el volumen generado por la revolución del arco alrededor de su base, otros volúmenes conectados con la cicloide y el centro de su área. (García, V., 2008).

El método más importante para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades comenzó con modificaciones del método exhaustivo griego. Así como los griegos utilizaban diferentes tipos de figuras aproximantes rectilíneas, en el siglo XVII adoptaron un procedimiento sistemático utilizando rectángulos. Supongamos que se quiere calcular el área situada por la parábola 𝑥2_{, desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝐵.}

Fuente: Internet

Si dividimos el área bajo esa parábola en rectángulos de ancho 𝑑, a medida que la anchura 𝑑 de estos rectángulos se hace más pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se aproxima al área encerrada bajo la curva. Esta suma, si las bases son todas ellas de anchura 𝑑, y si se utiliza la propiedad característica de la parábola de que la ordenada es el cuadrado de la abscisa, 𝑑 ∙ 𝑑2+ 𝑑(2𝑑)2+ 𝑑(3𝑑)2+. . . +𝑑(𝑛𝑑)2 lo que es lo mismo, 𝑑3₍₁2_{+ 2}2_{+ 3}2_{+. . . +𝑛}2_).

31

La suma de las potencias 𝑚-ésimas de los primeros 𝑛 números naturales había sido obtenida por Pascal y Fermat precisamente para su uso en tales problemas; por ello los matemáticos pudieron sustituir fácilmente la última expresión por 𝑑3₍2𝑛3+3𝑛2+𝑛

6 )

Si sustituimos 𝑑 por la longitud fija 𝑂𝐵 dividida por 𝑛, el resultado es 𝑂𝐵3₍1 3+ 1 2𝑛+ 1 6𝑛2).

Si se considera, como lo hicieron ellos entonces, que los dos últimos términos se pueden despreciar cuando 𝑛 es infinita, se obtiene el resultado correcto. El proceso de paso al límite no había sido introducido todavía (o se percibía toscamente) y por lo tanto el despreciar términos tales como los dos últimos no estaba justificado. Este enfoque que fue mostrado por Stevin en 1586 en su obra “Statics” fue seguido por muchos otros, incluyendo a Fermat, que ya antes de 1936 conocía

1 1 0   



n _{, para todo 𝑛 racional excepto -1.}

En 1658 Pascal considero algunos problemas sobre la cicloide. Calculo el área de cualquier segmento de la curva cortada por una recta paralela a la base, el centroide del segmento y los volúmenes de los sólidos generados por esos segmentos al girar alrededor de sus bases o de una recta vertical (el eje de simetría). (García, V., 2008).

32 Fuente: Internet

John Wallis (1616-1703) fue de los primeros en introducir métodos analíticos en el cálculo, así en sus esfuerzos por calcular el área del círculo, analíticamente obtuvo una nueva expresión de 𝜋. Calculó el área acotada por los ejes, la ordenada en 𝑥 y la curva para las funciones 𝑦 = (1 − 𝑥2₎𝑛_{, para 𝑛 = 1, 2, 3 … y obtuvo áreas}

𝑥, 𝑥 −

𝑥

_{, 𝑥 −}

𝑥

₊

𝑥

_{, 𝑥 −}

𝑥

₊

𝑥

₋

𝑥

_{, ….}

respectivamente. Cuando 𝑥 = 1 estas áreas son 1, 2₃

,

15

,

, ….

Pero la circunferencia viene dada por 𝑦 = (1 − 𝑥2)12_{. Por inducción e} interpolación, Wallis calculó su área y, mediante complicados razonamientos posteriores llegó a que

𝜋 2

=

2∙2∙4∙4∙6∙6∙8∙8∙…. 1∙3∙3∙5∙5∙7∙7∙9…

33 Fuente: Internet

Gregorio de San Vicent, en su obra “Opus Geometricum” (San Vicent, 1647), proporcionó las bases para la importante conexión entre la hipérbola rectangular y la función logaritmo. Demostró, utilizando el método exhaustivo, que si para la curva 𝑦 =1_𝑥, las 𝑥_𝑖 se eligen de modo que las áreas 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 … son iguales, entonces las 𝑦_𝑖 están en progresión geométrica. Esto significa que la suma de las áreas desde 𝑥₀ hasta 𝑥_𝑖, cuya suma forma una progresión geométrica, es proporcional al logaritmo de los valores de las 𝑦𝑖 o, en nuestra notación, ∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥0 = 𝑘 ∙ log 𝑦

La observación de que las áreas pueden interpretarse como logaritmos se debe en realidad a un discípulo de Gregorio, el jesuita belga Alfonso de Sarasa (1618-1667) en sus “Solutio Problematis a Mercenno Propositi” (de Sarasa, 1649).

En el último tercio del siglo XVII, Newton (en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675) inventaron el Cálculo de manera independiente:

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Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares. Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier significado geométrico, que hacía casi automático, el uso de dichos conceptos generales (García, V., 2008).

Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración. Newton llamó a nuestra derivada una fluxión (una razón de cambio o flujo); Leibniz vio la derivada como una razón de diferencias infinitesimales y la llamó el cociente diferencial. Newton hizo sus primeros descubrimientos diez años antes que Leibniz quien, sin embargo, fue el primero en publicar sus resultados (Hernández, M., 2014).

1.1.6.

Integral definida e Integral de Riemann

Sea 𝑓 una función continua y definida para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, en la cual dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏] en n subintervalos de igual ancho ∆𝑥 = |𝑏−𝑎_𝑛 |. Sean 𝑥₀ = 𝑎 y 𝑥_𝑛 = 𝑏 y además 𝑥_0, 𝑥_1, 𝑥_2, 𝑥_3,… . . 𝑥_𝑛 los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto 𝑡𝑖 en estos subintervalos de

modo tal que 𝑡_𝑖 se encuentra en el 𝑖-ésimo subintervalo 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1, 2, 3, . . , 𝑛. Entonces se llama integral definida de 𝑓 de

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Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aun cuando 𝑓(𝑥) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje 𝑥). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje 𝑥.

La suma ∑𝑛1𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥 que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud. Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una partición arbitraria de dicho intervalo 𝑎 = 0 ≤ 𝑥₁ ≤ 𝑥₂ ≤ 𝑥₃… … . ≤ 𝑥_𝑛−1 ≤ 𝑥_𝑛 = 𝑏 donde ∆𝑥𝑖 indica la amplitud o longitud del 𝑖-ésimo subintervalo. Si 𝑥𝑖 es

cualquier punto del 𝑖-ésimo subintervalo, a la suma ∑ 𝑓(𝑥𝑛 _𝑖)∆𝑥

1 , 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑛 se llama suma de Riemann de 𝑓 asociada a la partición.

Si bien es cierto que la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a los tiempos de Riemann, él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función 𝑓 es que esté definida en el intervalo [𝑎, 𝑏]. (se suponía, anteriormente, que 𝑓 era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva) (marlhen.wordpress.com, pág. 2, 2010).

36

1.1.7.

Integrales impropias

Para definir la integral de Riemann de una cierta función 𝑓(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏], se necesita que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la función esté acotada dentro del intervalo. Cuando una de estas dos condiciones no se cumple, se define la integral impropia como una generalización de la integral de Riemann. “Este concepto, de múltiples aplicaciones (probabilidades, normas funcionales, transformadas de Fourier,…), ofrece una gran resistencia a los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia” (González-Martín, 2002).

“Las integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las cuales el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas características especiales” (Navas, P., 2009).

Las integrales impropias no son realmente una nueva forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un replanteamiento del concepto de área bajo la curva.

Normalmente las integrales que se han analizado tienen ambos límites de integración finitos (integral de Riemann), y la función que se integra es continua en el intervalo de integración.

Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontinuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.

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1.2.

Marco Socio – Cultural

La presente investigación va dirigida a estudiantes de ingeniería que cursan las asignaturas Ecuaciones Diferenciales y Método Matemático de la Cátedra de Análisis Matemático de la Universidad APEC, para que sirva como parte del material didáctico y/o de consulta tanto para estos, así como para el cuerpo docente de esta Cátedra. Con esta investigación se busca desarrollar habilidades, en los futuros profesionales de la ingeniería, como es la capacidad de análisis e interpretación de situaciones problémicas aplicando las funciones Gamma (𝛤) y Beta (𝛽).

1.3.

Marco Teórico

Sobre esta investigación podemos decir que existen muy pocas fuentes bibliográficas, para lo mucho que se pudiera investigar y presentar sobre las funciones Gamma (𝛤) y Beta (𝛽). Pero, independientemente de las pocas informaciones disponibles, existen algunos materiales que han servido de orientación y marco teórico de esta investigación.

Algunas de estas investigaciones solo dirigen su enfoque investigativo hacia la función Gamma, limitando así el alcance de las funciones Eulerianas.

Uno de estos trabajos es la tesis de grado “Sobre la función Gamma(𝛤)” (Vásquez, L., 1999), cuya investigación está enfocado hacia el plano complejo. Este trabajo define, describe y relaciona la función Gamma con el factorial de un número.

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Un trabajo muy limitado es “Las funciones Gamma y Beta” (Villalobos), el cual solo muestra el concepto de función Gamma y Beta, sus propiedades y la relación entre estas.

Otro trabajo de investigación es la tesis doctoral “Funciones especiales y ecuaciones diferenciales matriciales” (Cortés. J. C., 1997). Esta tesis solo le dedica un capítulo a estas funciones Eulerianas, para mostrar su definición y propiedades, pero desde el punto de vista matricial.

Se le agrega otro trabajo “La función Gama” (Rivaud, J.J., 2004). Este material de poca extensión, pero muy bien logrado, nos muestra distintas definiciones de la función Gamma, presentadas por Euler, Gauss, Weierstras, Stirling, Hankel, etc. Además la función Gamma como un producto infinito, así como la derivada y la derivada logarítmica de la función Gamma. También trata brevemente la función Beta y la función Zeta de Riemann.

Se pudo hallar otro trabajo relativo a estas funciones, “Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior” (Abascal, R., 2006). Este muestra las funciones Gamma como el factorial de un número, además nos muestra la relación de las funciones Gamma y Beta y la integral de Wallis.

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1.4.

Marco Conceptual

1.4.1.

Función

Una función es la expresión de la relación de dependencia entre dos variables que, por medio de una regla, asigna a cada valor de la variable independiente 𝑥 un único valor de la variable dependiente 𝑦. Se expresa mediante la fórmula abstracta:

𝑦 = 𝑓(𝑥) que se lee "𝑦 es función de 𝑥"

Donde {

𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛

La gráfica de una función es el dibujo, sobre unos ejes coordenados, de todos los pares (𝑥, 𝑓(𝑥)) donde 𝑥 recorre todos los valores del dominio de la función. Como ya quedó claro 𝑦 = 𝑓(𝑥), así que la segunda coordenada 𝑦 de cada uno de estos puntos no es más que la correspondiente imagen de la primera coordenada 𝑥.

La gráfica de una función 𝑓(𝑥) es el dibujo de {(𝑥, 𝑓(𝑥))/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑓}. Sobre el eje 𝑂𝑋 representamos los valores de la variable independiente 𝑥 y sobre el eje 𝑂𝑌 los valores de 𝑓(𝑥) = 𝑦 que es la variable dependiente.

40 Tipos de funciones

a) Función sobreyectiva (suprayectiva)

En aquella en la que todo elemento del Codominio o conjunto de imagen le corresponde cuando menos un elemento del Dominio.

Ejemplo No. 1: Ejemplo No. 2:

Fuente: Internet Fuente: Internet

Ejemplo No. 3:

41 b) Función Inyectiva (uno a uno):

Es aquella en la que a elementos distintos del Dominio le corresponden elementos distintos del Codominio o conjunto de imagen.

Prueba de la recta horizontal: puesto que a cada elemento distinto del Dominio de una función debe de corresponder un elemento distinto del Codominio, ninguna recta horizontal puede cortar la gráfica cartesiana de una función Inyectiva en más de un punto.

Ejemplo No. 1: Ejemplo No. 2:

Fuente: Internet Fuente: Internet

Ejemplo No. 3:

42 c) Función Biyectiva:

Es aquella función que es Inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, si cada elemento del Dominio está relacionado con un elemento distinto del conjunto de imagen, y los elementos del conjunto de imagen están relacionados con un elemento del Dominio.

Ejemplo No. 1: Ejemplo No. 2:

Fuente: Internet Fuente: Internet

Las funciones se pueden clasificar de diferentes maneras, según el tipo de operaciones que se tienen que realizar para obtener sus valores, entre las más comunes están las Algebraicas y las Trascendentes.

Las funciones algebraicas se refieren a aquellas cuya regla de correspondencia puede ser expresada por medio de un polinomio una expresión racional (cociente de dos polinomios) o una expresión irracional (forma radical).

43 Ejemplos:

Fuente: Internet

Las funciones trascendentales se refieren a las funciones cuya regla de correspondencia no es algebraica como las funciones trigonométricas, las funciones exponenciales y logarítmicas.

Ejemplo:

Gráfica de 𝑓(𝑥) = (3₅)𝑥 Dominio = (−∞, ∞)

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La gráfica pasa por el punto (0,1) como se observa si miramos el plano coordenado, luego: si 𝑥 = 0, 𝑓(0) = 1, ya que 𝑓(0) = (3

5) 0

= 1

También se ve que pasa por (1,3₅) ya que 𝑓(1) = (3₅ )1 = 3₅.

Una de las funciones más importantes en el mundo de las matemáticas es la función exponencial de base el número 𝑒, donde 𝑒 ≈ 2.718281 … … 𝑦 = 𝑒𝑥_{, positiva y creciente según el resumen de propiedades descrito} anteriormente y cuyo gráfico es

Fuente: Internet

1.4.2.

Límite de una función

Sea 𝑓 una función y a un número real, el número 𝐿 es el límite de la función 𝑓 en el punto 𝑎, y se escribe 𝑙𝑖𝑚_𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐿 (se lee límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es 𝐿), si cuando 𝑥 tiende a 𝑎, siendo distinto de 𝑎, sus imágenes 𝑓(𝑥), tienden a 𝐿 (Ferrante, J.J.L., 2009).

𝑙𝑖𝑚_𝑎→𝑏𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ Si ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/∀𝑥 ∈ ℝ en el dominio de la función 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

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Fuente: Internet

1.4.3.

La derivada de una función

“La derivada de una función 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑎 es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero” (Vitutor).

𝑓′_{(𝑎) = lim} ℎ→0 ∆𝑦 ℎ = limℎ→0 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ

46

Fuente: Internet

1.4.4.

Integral definida

Integrar no es más que el proceso recíproco de derivar, es decir, si dada una función 𝑓(𝑥), buscamos aquellas funciones 𝐹(𝑥) que al ser derivadas conducen a 𝑓(𝑥). (Bojaca, E., 2014).

Se dice, entonces, que 𝐹(𝑥) es una primitiva o antiderivada de 𝑓(𝑥); dicho de otro modo las primitivas de 𝑓(𝑥) son las funciones derivables 𝐹(𝑥) tales que:

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Si una función 𝑓(𝑥) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[𝐹(𝑥) + 𝐶]′ = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.