Teoremas de Hahn-Banach en versión geométrica

Escuela Polit

Escuela Polit´

´

ecnica Nacional

ecnica Nacional

An´alisis Matemalisis Matem´´ ´atico IIatico II

F

Formas

ormas geom´

geom´

etricas

etricas del

del T

Teorema

eorema de

de Hahn-Banach

Hahn-Banach

Milton Torres Espa˜ Milton Torres Espa˜nana 26 de noviembre de 2014 26 de noviembre de 2014

En el presente trabajo se abordar´

En el presente trabajo se abordar´a la interpretaci´a la interpretaci´on gon geom´eom´etrica etrica del Teorema del Teorema de Hde Hahn-Banahn-Banach, quach, quee consiste en encontrar las condiciones suficientes para

consiste en encontrar las condiciones suficientes para  separar  separar  dos conjuntos de un espacio vectorial. dos conjuntos de un espacio vectorial. Espec

Espec´´ıficamente ıficamente se se presentaran presentaran dos dos versiones versiones geom´geom´etricas. etricas. En En primer primer lugar, lugar, se se mostrar´mostrar´an ciertas defi-an ciertas defi-niciones y lemas previos que permitir´

niciones y lemas previos que permitir´an an una demostraciuna demostraci´´on m´on m´as corta de los teoremas. En lo que sigue,as corta de los teoremas. En lo que sigue, E 

E  representar´ representar´a un espacio vectorial normado. Adem´a un espacio vectorial normado. Adem´as,as, B

Brr((xx00) ) == { {xx ∈ ∈ E  E  : :  xx−−xx00 < rr < }}..

1.

1. De

Defin

finic

icio

ione

nes

s Pr

Prev

evia

iass

Definition 1.1

Definition 1.1 (Funcional sublineal) (Funcional sublineal).. Se dice que Se dice que p p : : E E  → → RR _{es un es un funcional sublineal  funcional sublineal  si satisface las si satisface las}

siguientes condiciones: siguientes condiciones:  p  p((λxλx) ) == λp λp((xx)) ∀∀xx ∈ ∈ E  E  yy ∀∀λ λ >> 0 0,, (1)(1)  p  p((xx++yy)) ≤ ≤ p p((xx) +) + p p((yy)) ∀∀x,x, yy ∈ ∈ E E.. (2)(2) Definition 1.2

Definition 1.2 (Subconjunto convexo) (Subconjunto convexo)..  Un subconjunto  Un subconjunto AA ⊂ ⊂ E  E eses convexo convexo si si tx

tx+ (1+ (1−−tt))yy ∈ ∈ A A ∀∀x, yx,y ∈ ∈ A, A, ∀∀tt ∈ ∈ [0 [0,,1]1]..

Definition 1.3

Definition 1.3 (Hi (Hipeperplrplano ano af´af´ın)ın).. UnUn hipe hiperprplalano no af´af´ın ın  es un subconjunto es un subconjunto H H dede E E  de la forma de la forma H 

H == { {xx ∈ ∈ E  E  : : f  f ((xx) ) == α α}},, donde

donde f f  es un funcional lineal no nulo y es un funcional lineal no nulo y αα ∈ ∈ RR _{es una constante. Lo notaremos como es una constante. Lo notaremos como H H = = [[f f == α α] ] yy}

diremo

diremos s queque f  f == α α es la ecuaci´ es la ecuaci´on deon de H H ..

Definition 1.4.

Definition 1.4.  Sean  Sean AA y y BB subconjuntos de subconjuntos de E  E .. 1.

1. Un hiperUn hiperplanplanoo H  H = = [[f f == α α]] separa  separa  a a A A y y B B sisi f 

f ((xx)) ≤ ≤ α α ∀∀xx ∈ ∈ A A yy f f ((xx)) ≥ ≥ α α ∀∀xx ∈ ∈ B B..

2.

2. DecimDecimos queos que H  H  separa estrictamente  a separa estrictamente  a AA y y BB si existe si existe ε ε >> 0 tal que 0 tal que f 

2. Teoremas, lemas y proposiciones previas

Teorema 2.1  (Hahn-Banach).  Sean  E   un espacio vectorial real, F  ⊆ E   un subespacio vectorial,  p : E → R _{un funcional sublineal, y f : F  →}R _{un funcional lineal, tal que} 

f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ F.

Existe entonces un funcional lineal  ˜f : E  → R _{que extiende a f  y que verifica} 

˜

f (x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.

Demostraci´ on.  La demostraci´on detallada de este teorema cl´asico se encuentra en [2]. 

Proposici´on 2.2.  El hiperplano H = [f = α] es cerrado si y solo si f   es continuo.

Demostraci´ on.  Supongamos que f  es continua. Sea (xn)_n∈N ⊂ H  tal que xn → x. Por la continuidad

de f , f (xn) → f (x). Adem´as, f (xn) = α para cada n ∈ N. Entonces f (x) = α, se sigue que x ∈ H .

Luego, H  es cerrado.

Rec´ıprocamente, supongamos que H  es cerrado. Sea x₀ ∈ H c, sin p´erdida de generalidad, suponemos que f (x0) < α. Es claro que H c es abierto y no vac´ıo, entonces existe r > 0 tal que Br(x0) ⊆ H c.

Adem´as,

f (x) < α ∀x ∈ Br(x0). (3)

Caso contrario, existe x₁ ∈ Br(x0) tal que f (x1) > α. Por la convexidad de Br(x0), el conjunto de

segmentos

{xt = (1−t)x0 +tx1 : t ∈ [0,1]}

est´a contenido en Br(x0), entonces f (x0) = α, ∀t ∈ [0,1]. Sin embargo, tomando t = _f (f _x(1x)−1)−f (αx0) se

obtiene que f (xt) = α. Por tanto se verifica (3).

Se sigue de (3), f (x0 +rz) < α ∀z ∈ B1(0). Por la linealidad de f , f (z) < α−f (x0) r ∀z ∈ B1(0), |f (z)| < α−f (x0) r ∀z ∈ B1(0). Sea ε > 1, si x ∈ E  entonces _εx_x ∈ B1(0). Adem´as,











Entonces f  ≤ 1_r(α−f (x0)). Luego, f  es continuo. 

Lema 2.3. Sea C ⊂ E  un conjunto abierto y convexo tal que  0 ∈ C . Para todo x ∈ E  se define:  p(x) = ´ınf {α > 0 : α−1x ∈ C }.

Nota.  Al funcional p definido en el lema anterior se lo conoce como el  funcional de Minkowski de C o como el gauge de C .

Demostraci´ on.  La condici´on (1) se obtiene directamente de

 p(βx) = ´ınf {α > 0 : α−1βx ∈ C } = β ´ınf {α > 0 : α−1x ∈ C } = βp(x), con β > 0.

Para probar la condici´on (4), como C  es abierto y 0 ∈ C  entonces existe r > 0 tal que Br(0) ⊂ C . Es

claro, por la definici´on de ´ınfimo, que

 p(x) ≤ 1

rx.

Ahora, supongamos que u ∈ C . Como C  es abierto, (1 +ε)u ∈ C  para ε suficientemente peque˜no. Por lo tanto p(u) ≤ ₁₊1_ε < 1. Rec´ıprocamente, si p(x) < 1, existe 0 < α < 1 tal que α−1u ∈ C  y por tanto, como C  es convexo, u = α(α−1u) + (1−α)0 ∈ C . Esto prueba la condici´on (5).

Probemos la condici´on (2), sean u, v ∈ C y ε > 0. Entonces  _p(uu_)+ε ∈ C y  _p(vv_)+ε tal que tu

 p(u) + ε +

(1−t)v

 p(v) +ε ∈ C  ∀t ∈ [0,1].

Particularmente para t =  _p(u)+p(u _p)+_(v)+2ε _ε, obtenemos entonces que  _p(u)+u _p+₍v_v)+2ε ∈ C . Esto nos lleva a  p(u+v) < p(u) + p(v) + 2ε, para todo ε > 0. Cuando ε → 0 se tiene que p(u+v) ≤ p(u) + p(v).



Lema 2.4.  Sean C ⊂ E  un conjunto abierto convexo y u₀ ∈ E  con u₀ ∈ C . Entonces existe f ∈ E ∗ tal que f (x) < f (u₀), ∀u ∈ C . En particular, el hiperplano H = [f = f (u₀)] separa a {u₀} y C .

Demostraci´ on.  Realizando una traslaci´on, podemos asumir que 0 ∈ C . Consideremos el funcional p como en el Lema 2.4. Definimos V  = {αu0 : α ∈ R}. Tambi´en definimos g sobre V  por

g(tu0) = t, t ∈ R.

Tenemos que g(u) ≤ p(u), ∀u ∈ V  . Por el Teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal f  sobre E  que extiende g tal que

f (u) ≤ p(u) ≤ M uE .

Esto nos dice que f  es continua. Aplicamos el Lema 2.3. En particular, tomemos f (u₀) = 1 y f (u) < 1, para todo u ∈ C , por el mismo lema. En resumen, tenemos que

f (u₀) ≤ f (u₀) y

f (u) ≤ f (u₀) ∀u ∈ C.

Es decir, H  separa a {u₀} y C . 

3.

Formas geom´

etricas del Teorema de Hahn-Banach

Teorema 3.1  (Primera forma geom´etrica del Teorema de Hahn-Banach).  Sean  A ⊂ E  y B ⊂ E  subconjuntos convexos no vac´ıos tal que  A∩B = ∅. Supongamos que uno de ellos es abierto. Entonces  existe un hiperplano cerrado que separa A y B.

Demostraci´ on. Sea C = A−B, definido como

A−B = {a−b : a ∈ A, b ∈ B} =



b∈B

(A−b). (6)

C  es convexo, pues dados x, y ∈ C y λ ∈ [0,1] tenemos que si x = a−b, y = c− d con a, c ∈ A y b, d ∈ B entonces λx+ (1−λ)y = λ(a−b) + (1−λ)(c−d) = λa−λb+ (1−λ)c−(1−λ)d = λa+ (1−λ)c

  



 

 



 

Esto se da por la convexidad de A y B. Tambi´en, C   es abierto y no vac´ıo, ya que es la uni´on de abiertos no vac´ıos (observar su definici´on). Adem´as, 0 ∈ C  ya que A y B son disjuntos.

Aplicando el Lema 2.4, existe f ∈ E ∗ tal que

f (z) < 0 ∀z ∈ C.

Como z = x−y, con x ∈ A y y ∈ B. Por la linealidad de f  y como z es arbitrario tenemos que f (x) < f (y) ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.

Si fijamos una constante α tal que

sup

x∈A

f (x) ≤ α ≤ ´ınf 

x∈Bf (y).

Definimos el hiperplano H = [f = α], entonces

f (x) ≤ α ∀x ∈ A y

f (y) ≥ α ∀y ∈ B.

Por tanto, H  separa A y B. Adem´as, H  es cerrado por la Proposici´on 2.2. 

Teorema 3.2  (Segunda forma geom´etrica del Teorema de Hahn-Banach).  Sean  A ⊂ E  y  B ⊂ E  subconjuntos convexos no vac´ıos tal que A ∩ B = ∅. Supongamos que A  es cerrado y  B  compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa estrictamente A y B.

Demostraci´ on. Sea C  definido como en (6). Por la demostraci´on anterior, 0 ∈ C  y C  es convexo. Ahora probemos que C  es cerrado, sea (un)n∈N ⊂ C  tal que u_n → u. Entonces para cada n ∈ N, u_n = v_n−w_n

tal que vn ∈ A y wn ∈ B. Como B es compacto entonces existen ϕ : N→ N creciente estrictamente y

w ∈ B tales que w_ϕ(n) → w. Observemos que vn = un + wn, de esto vϕ(n) → v = u + w. Como A es

cerrado, v ∈ A. Luego, u = v −w y u ∈ C . Por tanto C   es cerrado.

Vemos que 0 ∈ C c. Como C  es cerrado, entonces C c es abierto. Existe r > 0 tal que Br(0) ⊂ C c. Por

tanto, Br(0) y C  son disjuntos. Aplicando el Teorema 3.1, existe un hiperplano cerrado H = [f = α]

que separa a Br(0) y C . De esto, f ∈ E ∗ y f ≡ 0 tal que

f (x−y) ≤ f (rz), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ∀z ∈ B₁(0).

Eligiendo −z (pues −z ∈ B₁(0)), obtenemos por la linealidad de f  que f (x−y) ≤ −rf (z). Adem´as, porque f  es acotada tenemos que

Escogemos una constante α∗ tal que sup

x∈A

f (x) + ε ≤ α∗ ≤ ´ınf 

y∈Bf (y)−ε.

Por definici´on, el hiperplano H ∗ = [f = α∗] separa estrictamente A y B. Tambi´en, H ∗ es cerrado por la Proposici´on 2.2.



Referencias

[1]  Brezis, H., Functional Anlaysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations , Universitex, Springer,(2010).

[2]  Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications , Wiley.

[3]  Bothelo, F., Functional Anlaysis and Applied Optimization in Banach Spaces , Springer Inter-nacional,(2014), Suiza.