Teorema de Hahn–Banach
1 Lema. Sean V un espacio vectorial real normado, W un subespacio vectorial de V , f ∈ B(W, R). Sea u ∈ V \ W . Entonces existe g ∈ B(W + Ru, R) tal que g|W = f y kgk = kf k.
Consideraciones previas. Notemos que cada elemento de W + Ru se representa de manera unica en la forma y = x + αu, con α ∈ R. Denotemos kf k por C. Entonces para cada x´ en W tenemos que
f (x) ≤ Ckxk.
El funcional g debe ser de la forma
g(x + αu) = f (x) + αγ.
El n´umero γ debe satisfacer
f (x) + γ ≤ Ckx + uk, f (y) − γ ≤ Cky − uk, en otras palabras,
f (y) − Cky − uk ≤ γ ≤ Ckx + uk − f (x).
Demostraci´on. Notemos que para cualesquiera x, y en W
f (x + y) = f (x + u + y − u) ≤ C(kx + uk + ky − uk), por lo cual
f (y) − Cky − uk ≤ Ckx + uk − f (x).
Pongamos
γ = ´ınf
x∈W kx + uk − f (x).
Definimos g : W + Ru → R mediante la siguiente regla:
g(x + αu) := f (x) + αγ.
Entonces para α > 0 tenemos g(x + αu) = α
fx α
+ γ
≤ Cα x α + u
= Ckx + αuk, y
g(x − αu) = α fx
α
− γ
≤ Cα x α − u
= Ckx − αuk.
Hemos demostrado que g(y) ≤ Ckyk para cada y en W + Ru. Luego
−g(y) = g(−y) ≤ Ck − yk = Ckyk, as´ı que |g(y)| ≤ Ckyk.
Teorema de Hahn–Banach, p´agina 1 de 3
2 Lema. Sean V un espacio normado real y C ≥ 0. Denotemos por A al conjunto de los pares ordenados de la forma (S, g), donde S es un subespacio de V , g es un funcional lineal acotado en S y kgk ≤ C. La siguiente relaci´on binaria es un orden parcial en A:
(S1, g1) (S2, g2) ⇐⇒ S1 ⊆ S2 ∧ g2|S1 = g1. Sea C una cadena en (A, ). Pongamos
U := [
(W,g)∈C
W, h(x) := g(x) (x ∈ W, (W, g) ∈ C).
Entonces la definici´on de h es consistente, (U, h) ∈ A y (U, h) es una cota superior de C.
3 Teorema. Sean V un espacio vectorial real normado, W un subespacio vectorial de V , f ∈ B(W, R). Entonces existe F ∈ B(V, R) tal que kF k ≤ kf k y F |W = f .
Demostraci´on para el caso de espacio real separable. Demostraci´on para el caso cuando V es separable. Sea D = {xj}j∈N un conjunto numerable y denso en V . Pongamos
Sj = `R(W ∪ {x1, . . . , xj}) = W +
j
M
k=1
Rxj
! .
Notamos que Sj+1= Sj+ Rxj+1. En particular, si xj+1 ∈ Sj, entonces Sj+1 = Sj. Usando la inducci´on matem´atica y aplicando en cada paso el Lema 1, para cada j construimos gj ∈ B(Sj, R) tal que g0 = f , gj+1|Sj = gj, y kgjk ≤ kf k. Pongamos C = kf k y definamos (A, ) como en el Lema 2. Notemos que {(Sj, gj)}j∈N es una cadena en A. Pongamos
U =
∞
[
j=1
Sj
y definimos g ∈ B(U, R) como en el Lema 2. Finalmente notamos que U es denso en V , y extendemos g por continuidad a un funcional F ∈ B(V, R).
Demostraci´on para el caso general. Pongamos C = kf k y definimos (A, ) como en el Lema 2. Denotemos por A0 al conjunto de los pares (S, g) tales que (S, g) ∈ A y W ⊆ S.
Cualquier cadena en A0 es una cadena en A y por el Lema 2 tiene una cota superior.
Por el Lema de Kuratowski–Zorn, en A0 existe un elemento m´aximal, digamos (M, F ).
Si M 6= V , entonces elegimos x ∈ V \ M , aplicamos el Lema 1 al subespacio M , vector x y funcional F , y construimos un par estrictamente m´as grande que (M, F ), lo cual constradice a la suposici´on que (M, F ) es maximal. Luego M = V , y el funcional F es tiene propiedades requeridas.
Teorema de Hahn–Banach, p´agina 2 de 3
4 Teorema (teorema de Hahn–Banach para espacios normados complejos). Sean V un espacio vectorial complejo normado, W un subespacio vectorial de V , f ∈ B(W, C). En- tonces existe F ∈ B(V, C) tal que kF k ≤ kf k y FW = f .
Demostraci´on. Definimos u : W → R mediante la regla u(x) := Re(f (x)).
Entonces u ∈ B(W, R) y kuk ≤ kf k. Adem´as, para cada z en C tenemos z = Re(z) − i Re(i z),
luego
f (x) = Re(f (x)) − i Re(i f (x)) = u(x) − i u(i x).
Usando el teorema de Hahn–Banach para el caso real, extendemos u a un funcional U ∈ B(V, R) tal que kUk ≤ kfk. Pongamos
F (x) := U (x) − i U (i x).
Entonces F (αx) = αx para cada α en R, y adem´as
F (i x) = U (i x) + i U (x) = i F (x),
as´ı que F es C-lineal. Finalmente, para cada x en V encontramos α en C tal que |α| = 1 y αF (x) ≥ 0, luego
|F (x)| = αF (x) = F (αx) = Re(F (αx)) = U (αx) ≤ kf k kαxk = kf k kxk, as´ı que kF k ≤ kf k.
5 Corolario. Sea V un espacio normado real o complejo no nulo, y sea x ∈ V . Entonces existe f ∈ V∗ tal que kf k ≤ 1 y f (x) = kxk.
6 Corolario (los funcionales distinguen los puntos). Sea V un espacio normado real o complejo, y sean x, y ∈ V tales que x 6= y. Entonces existe f ∈ V∗ tal que f (x) 6= f (y).
7 Ejercicio. Sea S un subespacio cerrado de V y sea x ∈ V \ S. Entonces existe f ∈ V∗ tal que f (y) = 0 para cada y en S, y f (x) 6= 0.
8 Ejercicio. Sea V un espacio normado y sean v1, . . . , vn ∈ V vectores linealmente independientes. Entonces existen funcionales f1, . . . , fn ∈ V∗ tales que fj(vk) = δj,k.
Teorema de Hahn–Banach, p´agina 3 de 3
