Notas de Aritmética para la Olimpiada de Matemáticas.

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Notas de Aritm ´etica para la Olimpiada de Matem ´aticas.

24 de septiembre de 2001

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Aritm´ etica

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´Indice General

1 Divisibilidad 4

1.1 Conceptos b ´asicos. . . 4

1.2 M ´aximo com ´un divisor. . . 7

1.3 M´ınimo com ´un m ´ultiplo. . . 10

1.4 Ecuaciones lineales diofantinas. . . 11

1.5 Ejercicios . . . 14

2 Congruencias. 17 2.1 Congruencias. . . 17

2.2 Ecuaci ´on lineal de congruencia. . . 20

A Sugerencias y respuestas a ejercicios selectos. 21

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Introducci ´on.

Este libro fue creado para el entrenamiento de la selecci ón estatal de la Olimpiada de Matem áticas en Yucat án. El objetivo que se busca no es crear un curso con el material expuesto, sino que se use como referencia y gu´ıa. Esto significa que no es necesario cubrir en clase todo el material que se incluye, pues eso representar´ıa una p érdida enorme de tiempo de entrenamiento, adem ás que se corre el riesgo de enfatizar m ás la acumulaci ón de conocimiento en vez de la habilidad de problemas.

El entrenamiento consta de aproximadamente seis meses. Durante los dos primeros, es aconsejable revisar los conceptos de divisibilidad y m áximo com ún divisor, realizando la mayor cantidad de ejercicios posibles. Se recomienda que al final de los mismos se empiece a usar la terminolog´ıa de congruencias espor ádicamente para que al abordar el tema a partir del tercer mes ya se tenga una cierta familiaridad con el concepto. El objetivo final de todo el curso es que los alumnos dominen los conceptos y teoremas de congruencia, de manera que los primeros dos meses son s ólo una introducci ón a las ideas principales de la Teor´ıa de los N úmeros.

Es por esto que se recomienda iniciar la resoluci ón de problemas usando los m étodos de congruencia a partir del tercer mes, ya que se ha visto que posponer el estudio de las mismas causa que los alumnos no adquieran la familiaridad con los m étodos de las mismas, atacando los problemas exclusivamente por los m étodos m ás d ébiles de la divisibilidad y el Algoritmo de la Divisi ón.

Finalmente quiero enfatizar que la parte central del presente libro la constituyen las secciones de problemas. Los problemas tienen un nivel de dificultad variado, y en vez de soluciones se incluyen únicamente sugerencias para la resoluci ón en la mayor´ıa de los casos. La raz ón para este enfoque es que una gran cantidad de problemas pueden resolverse usando distintas t écnicas adem ás de que el proceso de an álisis y exploraci ón de los problemas es mucho m ás provechoso que leer la soluci ón misma.

As´ı, se evita “dirigir” al alumno por un camino exclusivo pero al mismo tiempo se proporcionan puntos gu´ıa en caso de encontrar dificultades.

Pedro S´ anchez.

M´erida, Yucat´an. 2001.

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— No s ólo lee. ¡Comb átelo! Haz tus propias preguntas, busca tus propios ejemplos, descubre tus propias pruebas. ¿Es esta hip ótesis necesaria? ¿Se cumple el rec´ıproco? ¿Qu é pasa en el caso especial cl ásico? ¿Y qu é hay de los casos degenerados? ¿En qu é parte usa la prueba la hip ótesis?

Paul. R. Halmos, I want to be a mathematician.

— Las Matem ´aticas consisten en probar la cosa m ´as obvia de la manera menos obvia.

G. Poly ´a, Mathematical Maxims and Minims.

Divisibilidad 1

1.1 Conceptos b ´asicos.

El concepto fundamental en el que estaremos interesados ahora, ser ´a el de

divisibilidad, por ello, introducimos la siguiente definici ´on. No confundir a | b con a/b. Por ejemplo, 2 | 10 no es lo mismo que 2/10.

En el primer caso estamos diciendo que 10 es multiplo de 2, y en el segundo la fraccion₁₀² = 0.2.

C Definicion 1.1 Seana ybdos n úmeros enteros. Decimos quea divide ab (lo que simbolizamos cona | b) si existe un enteroctal queb = ac. Esto equivale a decir a que bes m últiplo dea, o que la divisi ónb ÷ ano deja residuo.

Siano divide ab, escribimosa^/^/|b. Esto es lo mismo que decir que la divisi ´onb ÷ a deja residuo.

Ejemplos:

i 3 | 12pues12 = 4·3

ii 4^/^/|10ya que no existe un enteroctal que10 = 4c.

iii 4 | 20ya que sic = 5,20 = 4c.

iv 3 | 0dado que0 = 3ccuandoc = 0.

v 1 | 5puesto que5 = 1·5

vi 5^/^/|1dado que1 6= 5cpara cualquier enteroc.

vii Para cualquier enteroa,a + 1 | a²− 1, ya quea²− 1 = (a + 1)·kconk = a − 1.

De la definici ´on, podemos derivar ciertas propiedades b ´asicas:

1. Todo n ´umero se divide a s´ı mismo:a | a ∀a ∈Z.

2. Sia | b, entoncesa | −b. Como4 | 8(8 = 4·2),4 | −8(pues−8 = 4(−2)).

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1.1. CONCEPTOS B ´ASICOS.

Aritm´ etica

3. Sia | b, entoncesa | bcpara todo enteroc. (4 | 12, entonces4 | 12·5). El recproco no siempre se cumple:

4 | 6·2pero 4^/^/|6y 4^/^/|2.

4. Sia, bson positivos ya | b, entoncesa ≤ b.

5. Sia | byb | centoncesa | c. Ejemplo:2 | 10y10 | 30, entonces2 | 30.

6. Sia | bya | centoncesa | (b + c). As´ı,2 | 4y2 | 6implica2 | (4 + 6). El recproco no siempre se cumple:

4 | 5 + 3pero 4^/^/|5 y 4^/^/|3

La prueba de la ´ultima propiedad es t´ıpica de las pruebas de problemas de divisibilidad, as´ı que se incluye para tener un modelo.

Prueba. Sia | bya | c, entonces existen enterosmyntales queb = amyc = an.

Entoncesb + c = am + an = a(m + n). Comob + c = akcuandok = (m + n), la definici ´on de divisibilidad nos dice quea | (b + c). La prueba queda terminada.

La prueba anterior puede extenderse a varios sumandos:

B Teorema 1.1 Sia | x1, a | x2, a | x3, . . . a | xn, entonces a

^c¹^x¹^{+ c}²^x²^{+ c}³^x³+ · · · + cnxn

para cualquier combinaci ´on de enterosc1, c2, c3, . . . , cn.

. Dados a y b, un número de la forma ax + by se denomina una combinación lineal de a y b. En general, dados x1, x2, . . . , xn, un número de la forma u1x1+ u2x2+ · · · + unxnse conoce como una combinación lineal de los números x1, x2, . . . , xn. Entonces el teorema anterior lo enunciamos: “Si un número divide a un conjunto de enteros, divide a cualquier combinación lineal de los

mismos”. What?

Por ejemplo, dado que 3 | 6, 3 | 12y3 | 15, aplicando el teorema anterior con c1= 5, c2= −7, c3= 2, deducimos que3

(6·5 + 12·(−7) + 15·2)

El concepto de divisibilidad puede generalizarse de la siguiente manera:

B Teorema 1.2 (Algoritmo de la divisi ´on.) Seanaybdos enteros conb > 0. Entonces

existen enteros ´unicoscyrtales quea = bc + ry0 ≤ r < b. Si r = 0 obtenemos b | a.

Lo importante a notar es que el residuo es positivo y cumple0 ≤ r < b, y sib^/^/|a entonces0 < r < b. B ´asicamente, el enteroces el cociente de la divisi ´ona ÷ byres el residuo.

Ejemplos:

• a = 12, b = 5.a = b·2 + 2.

• a = 38, b = 8.a = b·4 + 6.

• a = 20, b = 4.a = b·5 + 0.

• a = 7, b = 10.a = b·0 + 7.

• a = −15, b = 4.a = b·(−4) + 1.

• a = 18, b = −5.a = b·(−3) + 3.

• a = −14, b = −3.a = b·5 + 1.

Este algoritmo adquirir ´a mayor importancia en la siguiente secci ´on.

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1.1. CONCEPTOS B ´ASICOS.

Aritm´ etica

C Definicion 1.2 Un n úmero positivo se llama n úmero primo si tiene s ólo dos divisores

positivos distintos. Un n ´umero mayor a1que no es primo se denomina compuesto. Nota que el 1 no es primo ni compuesto.

B Teorema 1.3 Todo n ´umero mayor a1es divisible por alg ´un primo.

Prueba. Sean > 1. Supongamos que no es divisible por ning ún primo. En particular, nmismo no puede ser primo pues ser´ıa divisible entre s´ı mismo. Comonno es primo, tiene alg ún divisor positivod1 distinto de 1yn, es decir,1 < d1 < n. Perod1 no puede ser primo porque dividir´ıa an. Entonces existe und2 que divide ad1 tal que 1 < d2 < d1 < n. Como d2 no puede ser primo porque divide a n, repetimos el argumento cond2para obtener und3tal que1 < d3< d2< d1< n. Comod3no puede ser primo existed4que divide ad3y as´ı sucesivamente. Esto lleva a una contradicci ón pues no es posible continuar indefinidamente este proceso ya que entre1yns ólo hay un n úmero finito de t érminos. Por tanto,ndebe ser divisible entre alg ún primo.

. Este tipo de pruebas se conocen como por descenso infinito y se basa en que si la condici´on pedida no se cumple se crea una sucesi´on infinita decreciente de enteros positivos, lo cual es imposible porque los enteros positivos tienen elemento m´ınimo. Las pruebas por descenso infinito fueron ampliamente

usadas por Fermat. Siempre se puede

caer mas bajo.

- Anonimo.

El teorema anterior ser ´a usado en muchas pruebas en la siguiente forma: “Sines un n ´umero compueston, hay un primopque lo divide.”

Seanun entero mayor a 1. Sines primo, es igual a s´ı mismo. Si no es primo existe un primop1 que lo divide y entoncesp = p1n1. Sin1 es primo,nes igual a un producto de primos, de lo contrario existe un primop2que divide an1y as´ıp = p1p2n2. Sin2 es primo,nes igual a un producto de primos, en caso contrario existe un primo p3que lo divide. Continuamos aplicando este argumento y construimos una sucesi ón n1, n2, n3. . .decreciente de enteros positivos que debe terminar, es decir, en alg ún momentonkes un n úmero primo. De esta manera ya probamos el siguiente teorema:

B Teorema 1.4 Todo n ´umero mayor a1puede escribirse como producto de primos.

Es decir, un n ´umeron > 1puede escribirse de la forma:

n = pâ₁¹pâ₂²· · · pâ_k^k donde cadapjes un n úmero primo.

Por ejemplo, 12 = 2²·3,60 = 2⁴·3·5,101 = 101,99 = 3·11. Ahora bien, al igual que12 = 2·6 = 3·4tiene varias factorizaciones, nada nos garantiza que un n úmero dado no se pueda factorizar de maneras diferentes en producto de primos (sin importar el orden). Pero despu és probaremos que para cada n úmero dado la factorizaci ón en primos s´ı es única. As´ı podemos establecer el siguiente teorema (aunque la prueba de la unicidad la posponemos hasta tener las herramientas necesarias).

B Teorema 1.5 (Teorema Fundamental de la Aritm ética) Todo n úmero se puede fac- torizar de manera única como producto de primos.

Para finalizar la secci ón probaremos uno de los resultados cl ásicos de la Teor´ıa de los n úmeros y que fue establecido hace cerca de 2000 a ños.

B Teorema 1.6 (Euclides) Hay una cantidad infinita de n ´umeros primos.

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1.2. M ´AXIMO COM ´UN DIVISOR.

Aritm´ etica

Prueba. Supongamos que hay una cantidad finita de n úmeros primos y sea p1, p2, . . . , pnla lista de todos ellos. Consideremos el n úmero p1p2· · · pn+ 1. Como ese n úmero es mayor a1hay un primo que lo divide. Seapktal quepk| p1p2· · · pn+ 1.

Comopk| p1p2· · · pnse sigue quepk | 1, lo cual es imposible. Concluimos que debe existir una cantidad infinita de primos.

1.2 M ´aximo com ´ un divisor.

C Definicion 1.3 Dados dos n úmerosa y b no negativos y no ambos cero, el mayor n úmero que divide a los dos se denomina m áximo com ún divisor deayb. Denotamos a este n úmero como(a, b). En general, dado un conjunto de enteros no negativos y no todos cero{a1, a2, . . . , an}, definimos su m áximo com ún divisor(a1, a2, . . . , an)como el mayor entero positivo que los divide a todos.

La definici ón anterior implica que(a, b)siempre es positivo. Esto es claro pues si (a, b)fuera negativo,−(a, b)tambi én ser´ıa un divisor com ún deayb, por lo que(a, b) no ser´ıa el menor.

Algunas propiedades b ´asicas son:

1. (a, 1) = 1para todaa.

2. (a, a) = apara todaa.

3. (a, 0) = apara todaa.

4. (a, b) = (b, a).

5. (a, b) = (b, a − b).

Para probar la última propiedad notemos que si un n úmero divide aay ab, divide aa − bpor lo que es un divisor com ún debya − b. A la inversa, si divide aby a aa − b divide a(a − b) + b = a. Esto implica que los divisores comunes deaybson los mismos que los debya − by por tanto el mayor de ambos conjuntos es el mismo n úmero.

Esta propiedad tambi ´en nos permite calcular el MCD de dos n ´umeros dados. Por ejemplo, seana = 24, b = 8. Entonces

(26, 10) = (10, 16) = (16, 10) = (10, 6) = (6, 4) = (4, 2) = (2, 0) = 0.

Estas cuentas se pueden acelerar mediante el uso del algoritmo de la divisi ´on. Si Despacio que llevo prisa.

a = bq + rcon0 ≤ r < bentonces(a, b) = (b, a − bq) = (b, r). Se deja la prueba de estas igualdades al lector. As´ı, como26 = 10·2 + 6el c ´alculo anterior se convierte en:

(26, 10) = (10, 6) = (6, 4) = (4, 2) = (2, 0) = 0.

El proceso arriba mencionado se conoce como Algoritmo de Euclides.

B Teorema 1.7 Siges el m ´aximo com ´un divisor deayb, entonces existen enterosu, v tales queg = au + bv.

Prueba. Consideremos el conjunto de todos los n ´umeros de la formaax + byconx, y enteros (el conjunto de combinaciones lineales deayb). De este conjunto, escojamos

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Aritm´ etica

el menor entero positivo y llam ´emosledSeanu, vtales qued = au + bv.

Sid^/^/|aaplicamos el algoritmo de la divisi ´ona = dq + rcon0 < r < d. Pero r = a − dq = a − (au + bv)q = a 1 − qu

+ b − qv

significa queres positivo, est á en el conjunto y es menor ad. Esto es una contradicci ón ya que hab´ıamos supuesto quedera el menor n úmero positivo del conjunto. Por tanto, d | a. Por un argumento similar obtenemos qued | b.

Ahora, seagel m áximo com ún divisor deayb. Comog | ayg | b,g | au + bv. Sig 6= d tendr´ıamos queg < d, es decir,gno era el mayor de todos los divisores comunes dea yb, lo cual es una contradicci ón. Concluimos pues, queg = d.

Corolario 1.8 El m áximo com ún divisor deaybes la combinaci ón lineal positiva m ás peque ña de ambos.

Corolario 1.9 Si(a, b) = 1, la ecuaci ´onax + by = 1tiene soluci ´on entera.

Prueba. H ´allese los enterosx, ypara los que(a, b) = ax + by. >Y como se hallan esos numeros?

Corolario 1.10 (a, a + 1) = 1.

Prueba. (−1)·a + (1)·(a − 1) = 1, Entonces1es la combinaci ón lineal positiva m ás peque ña y por tanto igual a(a, a + 1).

B Teorema 1.11 (am, bm) = m(a, b).

Prueba. (am, bm)es el menor valor positivo deamx + bmy = m(ax + by). Esto es lo mismo quemveces el menor valor positivo deax + byel cual es(a, b).

Corolario 1.12 Sid = (a, b)entonces

a d,^b_d

= 1.

Otra manera de caracterizar el m ´aximo com ´un divisor de a y b es como sigue.

Supongamos que d es cualquier divisor com ún de a y de b. Entonces d divide a cualquier combinaci ón lineal deayb, en particular divide a la menor positiva, es decir, divide a(a, b). Y comoa | bimplicaa ≤ b,(a, b)es el único n úmero con esta propiedad.

Esto prueba el siguiente teorema.

B Teorema 1.13 El m áximo com ún divisor deaybes el único entero positivo que es divisible entre cualquier n úmero que divida tanto aacomo ab.

C Definicion 1.4 Dados dos n ´umerosa,b, decimos que son primos relativos, si(a, b) = 1. En general, decimos que un conjunto {x1, x2, . . . , xn} de enteros son primos relativos entre s´ı cuando(x1, x2, . . . , xn) = 1.

C Definicion 1.5 Dado un conjunto{x1, x2, . . . , xn}de enteros, decimos que son primos relativos dos a dos si(xi, xj) = 1para cualquier parejaxi, xj.

Ser primos relativos entre s´ı y ser primos relativos dos a dos no es lo mismo. Por ejemplo, los n ´umeros4, 6, 9son primos relativos entre s´ı puesto que(4, 6, 9) = 1, pero no son primos relativos dos a dos ya que(4, 6) = 2.

A continuaci ón se enuncia uno de los resultados m ás usados en relaci ón al m áximo com ún divisor y a la vez uno de los m ás fuertes, ya que ser á pieza clave en la demostraci ón del Teorema Fundamental de la Aritm ética.

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Aritm´ etica

B Teorema 1.14 Sic | aby(c, a) = 1entoncesc | b.

Prueba. Comoc | abyc | bc,c | (ab, bc). Pero(ab, bc) = b(a, c) = b. Por tanto,c | ab.

Un caso muy especial se obtiene cuandoces primo.

B Teorema 1.15 Sipes primo y divide aab, ypno divide aaentoncespdivide ab.

Prueba. Sead = (a, p). Entoncesd | ppor lo queds ´olo puede ser1op. Comop^/^/|a tenemos qued 6= py por tantod = 1. Aplicando el teorema anterior llegamos a que p | b.

B Teorema 1.16 (Teorema Fundamental de la Aritm ética) Todo n úmero se puede fac- torizar de manera única como producto de primos.

Prueba. Ya hemos probado que todo n ´umero se puede factorizar en primos, y nos resta probar la unicidad de esta factorizaci ´on. Sean

n = pâ₁¹pâ₂²· · · pâuû = q^b₁¹q^b₂²· · · q^bv^v

dos factorizaciones distintas donde por conveniencia suponemos que los primos aparecen listados en orden creciente. Cadapi divide a n y por tanto a alguna qj

(aplicando varias veces el resultado anterior. Pero un primo divide a otro si y s ´olo si son el mismo. Entonces cadapies algunaqk, y por un argumento similar cadaqkes algunapi, esto implica quepi= qipara cadai.

Falta ver que las potencias son las mismas, pero si por ejemploaj < bj dividimos a ambos lados entrep^a_j^j y del lado derecho nos sobran factorespjque dividen al lado izquierdo y son iguales a algunapk, lo cual es imposible. Una contradicci ´on similar elimina el casoaj> bj.

As´ı, podemos concluir que las factorizaciones son las mismas.

Ahora, retomemos el problema de expresar el m áximo com ún divisor de dos n úmeros como combinaci ón lineal de los mismos. Probamos que siempre es posible escribir(a, b)en la formaau + bvdondeuyvson enteros y hemos usado este hecho en diversas pruebas, aunque no mencionamos de manera expl´ıcita c ómo hallar esos n úmeros. El procedimiento para hallar los coeficientesaybse basa en el algoritmo de la divisi ón y m ás que escribir expl´ıcitamente el proceso, lo ilustraremos con un ejemplo.

As´ı, deseamos expresar(124, 44)como combinaci ´on lineal de124y44.

124 = 44·2 + 36 44 = 36·1 + 8 36 = 8·4 + 4

8 = 4·2 + 0

Entonces(124, 44) = 4(es el ´ultimo residuo distinto de cero). Despejamos el4y empezamos a sustituir de la siguiente manera:

4 = 36 − 4 · 8

= 36 − 4

44 − 36

= 5 · 36 − 4·44

= 5

124 − 44·2

− 4·44

= 5·124 − 14·44

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1.3. MÍNIMO COM ÚN M ÚLTIPLO.

Aritm´ etica

As´ı,4 = 124·5 − 44·14. Comparemos esto con el proceso para calcular únicamente (124, 44)(versi ón r ápida):

(124, 44) = (44, 36) = (36, 8) = (8, 4) = (4, 0) = 4

y notemos que los n úmeros que aparecen son los mismos que aparecen al desarrollar todo el algoritmo de la divisi ón, con lo que comprobamos que el algoritmo de Euclides es en realidad la aplicaci ón sucesiva del algoritmo de la divisi ón.

. Vale la pena recalcar que los coeficientes que se encuentran no son ´unicos, de hecho hay una infinidad de soluciones. Para este caso en particular notamos que

5 +44t

4

124 −

14 +124t 4

= (5 + 11t)124 − (14 + 31t)44 = 4

cada entero t nos genera una combinaci´on distinta.

1.3 M´ınimo com ´ un m ´ ultiplo.

C Definicion 1.6 Sia, bson enteros (no ambos cero), entonces el m´ınimo com ún m últiplo deaybes el menor entero positivo que es m últiplo tanto deacom odeb. Este n úmero lo denotamos con[a, b].

Podemos extender la definici ón a un conjuntoa1, a2, a3, . . . , ande enteros que no sean todos cero, definiendo su m´ınimo com úm m últiplo como el menor entero positivo que es m últiplo de todos ellos.

Estamos interesados en buscar alguna relaci ón entre el m áximo com ún divisor y el m´ınimo com ún m últiplo. Escojamos dos n úmeros, digamos

a = 252 = 2²· 3²· 7 y b = 735 = 3 · 5 · 7

Para facilitar el an ´alisis, podemos “completar” los factores para que los primos que aparecen en ambas expresiones sean los mismos:

252 = 2²· 3²· 5⁰· 7¹ 735 = 2⁰· 3¹· 5¹· 7¹

Si calculamos manualmente(a, b)y[a, b]obtenemos

(252, 735) = 21 = 2⁰· 3¹· 5¹· 7¹ [252, 735] = 8820 = 2²· 3²· 5¹· 7¹

Podemos ver que los primos que aparecen en ambas expresiones son los mismos que los que aparecen en las factorizaciones (acompletadas) de los n ´umeros variando

´unicamente los exponentes. Esto lo enunciamos como sigue:

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1.4. ECUACIONES LINEALES DIOFANTINAS.

Aritm´ etica

B Teorema 1.17 Seapun n ´umero primo.

El exponente con el quepaparece en (a, b)es el m´ınimo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones deayb.

El exponente con el quepaparece en [a, b]es el m ´aximo de los exponentes con los que aparece en las factorizaciones deayb.

El teorema anterior puede deducirse del Teorema Fundamental de la Aritm ética y de las definiciones de m áximo com ún divisor y m´ınimo com ún m últiplo. Ya tenemos la herramienta necesaria para demostrar la siguiente relaci ón, cuya prueba se deja como ejercicio.

B Teorema 1.18 Sia, bson enteros, entonces ab = (a, b)[a, b].

1.4 Ecuaciones lineales diofantinas.

Esta secci ón es opcional en el sentido de que en el cap´ıtulo siguiente se estudiar á la Ecuaci ón Lineal de Congruencia que es equivalente a lo que se expondr á a continuaci ón. Sin embargo, se incluye este tema por ser parte del desarrollo cl ásico del estudio de divisibilidad, adem ás de que puede usarse para reforzar los conocimientos relacionados con el m áximo com ún divisor.

Una ecuaci ´on lineal diofantina es una ecuaci ´on de la forma ax + by = c

donde a, b, c son n ´umeros enteros y x, y son variables que toman valores enteros.

Veamos algunos ejemplos:

La ecuaci ón4x − 6y = 5no tiene soluciones enteras, ya que sin importar el valor dexyyel lado izquierdo siempre es un n úmero par, mientras que el derecho es un n úmero impar.

La ecuaci ón4x − 6y = 2tiene soluci ón, ya que(4, 6) = 2y entonces existe una combinaci ón lineal de4y6que es igual a dos.

La ecuaci ón4x − 6y = 10tiene soluci ón. Six0yy0 son soluci ón de4x − 6y = 2 entonces5x0y5y0son soluci ón de4x − 6y = 10.

Podemos generalizar los ´ultimos dos ejemplos. Sid = (a, b)sabemos que existen enterosx0, y0tales queax0+ by0= d, es decir, la ecuaci ´on

ax + by = (a, b) siempre tiene soluci ´on.

M ás a ún, sices un m últiplo ded(por ejemploc = kd) entonces a(kx0) + b(ky0) = k(ax0+ by0) = kd = c es decir, una ecuaci ón de la forma

ax + by = k(a, b)

siempre tiene soluci ´on. Esto constituye el primer teorema de la secci ´on.

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Aritm´ etica

B Teorema 1.19 Si(a, b)|centonces la ecuaci ´on lineal diofantina ax + by = c

siempre tiene soluci ´on entera.

Un corolario muy importante es:

Corolario 1.20 Sia ybson primos relativos, la ecuaci ´onax + by = csiempre tiene soluci ´on entera.

Ahora nos preguntamos: ¿Habr á alguna ecuaci ón lineal ax + by = cque tenga soluci ón y en donde(a, b)no divida ac?

Vamos a restringirnos únicamente al caso en queces positivo, puesto que siuyv son soluci ón deax + by = centonces−uy−vson soluci ón deax + by = −c.

Por un lado, como (a, b) es la m´ınima combinaci ón lineal positiva, si c = 1, 2, . . . , (a, b) − 1la ecuaci ónax + by = cno puede tener soluci ón. De esta manera, si existe una soluci ón, necesariamentec ≥ (a, b).

Supongamos que la ecuaci ón ax + by = c tiene como soluci ón a x1 y y1, que d = (a, b)no divide ac, y seanx0yy0una soluci ón paraax + by = d. De esta manera tenemos

ax1+ by1 = c ax0+ by0 = d

Por el algoritmo de la divisi ´on tenemosc = md + rcon0 < r < cpuesto quedno divide ac. Entonces

ax1+ by1 = md + r

= m(ax0+ by0) + r

= a(mx0) + b(my0) + r y por tanto

a(x1− mx0) + b(y1− my0) = r.

¡Lo anterior es una contradicci ón! Puesto que tenemos una combinaci ón lineal positiva deaybigual ary0 < r < d, eso contradice quedera la combinaci ón lineal m´ınima positiva (es decir,dno era el m áximo com ún divisor). La contradicci ón surgi ó de suponer queax + by = cpod´ıa tener soluci ón aunque(a, b)no dividiera ac, por lo que hemos demostrado el siguiente teorema.

B Teorema 1.21 La ecuaci ón lineal diofantina ax + by = c tiene soluci ón si y s ólo si(a, b) | c.

Ya estamos en condici ón de determinar si una ecuaci ón dada tiene soluci ón o no, ahora nos interesa determinar cu áles son las soluciones. Supongamos que la ecuaci ón ax + by = ctiene soluci ón, es decir,c = kddonded = (a, b).

(14)

Aritm´ etica

Siuyvson una soluci ón deax + by = d, entoncesx0 = kuyy0 = kvson una soluci ón deax + by = c. De este modo podemos encontrar al menos una soluci ón a la ecuaci ón. Seax1, y1otra soluci ón. Comox16= x0existe un enterortal quex1= x0+r.

Sustituyamos en la ecuaci ´on

a(x0+ r) + by1= c = ax0+ by0

y al simplificar obtenemos

y1=by0− ar

b = y0−ar b . Un argumento sim ´etrico muestra que siy1= y0− sentonces

x1= x0+bs a. Una vez m ´as sustituimos en la ecuaci ´on

a x0+bs a

+ b y0−ar b

= ax0+ by0

y al simplificar llegamos abs − ar = 0. Sean a⁰= a

(a, b) b⁰= b

(a, b) r⁰= r

(r, s) s⁰= s

(r, s)

Entonces(a⁰, b⁰) = 1y(r⁰, s⁰)=1. Adem ´as b⁰s⁰− a⁰r⁰= 0.

Esto implica queb⁰s⁰ = a⁰r⁰. Adem ´as, la coprimalidad implicar ´a quer⁰ = b⁰ ys⁰ = a⁰. Por tanto tenemos que,

r = b(r, s)

(a, b) s = a(r, s) (a, b). As´ı, toda soluci ´on es de la forma

x = x0+ bt

(a, b) y = y0− at (a, b) dondetes un entero que satisface la relaci ´on

t =

bt (a, b), at

(a, b)

.

Para terminar, notemos que

bt (a, b), at

(a, b)

= t

a (a, b), b

(a, b)

= t · 1 = t

¡Esto quiere decir que todo entero satisface la relaci ón anterior! En otras palabras, los n úmeros de la formax = x0+ bt/dyy = y0− at/dsiempre son soluciones y adem ás toda pareja de n úmeros que es de esa forma es soluci ón.

Para recapitular todo el trabajo desarrollado en esta secci ´on establecemos el teorema principal.

(15)

1.5. EJERCICIOS

Aritm´ etica

B Teorema 1.22 (Resoluci ´on de la ecuaci ´on lineal de congruencia.)

La ecuaci ónax + by = ctiene soluci ón si y s ólo sid = (a, b)divide ac. Adem ás, las soluciones son los n úmeros de la forma

x = x0+bt

d y = y0−at d

dondex0yy0son una soluci ´on particular ytes cualquier n ´umero entero.

1.5 Ejercicios

1.1 Determine cu ´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu ´ales son falsas.

i. Si un n ´umero es divisible entre6, es divisible entre3.

ii. Si un n ´umero es divisible entre3, es divisible entre6.

iii. Si un n ´umero es divisible entre2y entre3, es divisible entre6.

iv. Si un entero no es divisible entre6, no es divisible entre9.

v. Si un n ´umero es divisible entre6, no es divisible entre9.

1.2 Indique cu ´ales afirmaciones son ciertas y provea de una demostraci ´on, y para las

que no lo sean muestre un contraejemplo. Recuerda que x ⇒

y se lee \Si x entonces y."

i. a | b + c ⇒ a | boa | c.

ii. a | b ⇒ a | b². iii. a | b²⇒ a | b.

iv. a | bc ⇒ a | boa | c.

v. a | byc | b ⇒ ac | b.

vi. a | bya | c ⇒ a | b − c vii. a | b + cya | b ⇒ a | c.

viii. a | b ⇒ a + b | b.

ix. a | b ⇒ a | a + b El smbolo ∀ se lee

\Para todo\.

x. a | b ⇒ a + x | b + x ∀x ∈Z

1.3 Demostrar quea − b | aⁿ− bⁿpara todan.

1.4 ¿Para qu ´e enterosnse cumple120 | n⁵− n?

1.5 Probar quen | a + b + csi y s ´olo sin | a²+ b²cuandon = 3, 7, 21.

1.6 Siaybson impares, entoncesa²+ b²no puede ser un cuadrado.

1.7 Si3 | n, pruebe que7 | 2ⁿ− 1.

1.8 Encuentra el menor n ´umero por el que hay que multiplicar2000para obtener un cuadrado perfecto.

(16)

1.5. EJERCICIOS

Aritm´ etica

1.9 Probar que todo primo de la forma3k + 1es de la forma6m + 1.

1.10 Demostrar que un2ⁿ− 1s ´olo puede ser primo sines primo.

1.11 (YUC1994)Seana, b, ctres n ´umeros positivos tales que2^a+ 2^b= 2^c. Demostrar quea = b.

1.12 (HUN1906) Los n úmeros a1, a2, . . . , an representan una permutaci ón de los n úmeros1, 2, 3 . . . , n. Sines impar, muestre que el producto(a1−1)(a2−2) · · · (an−n) es par.

1.13 (MEX1987)¿Cu ´antos n ´umeros dividen a20!?

1.14 Encontrar100n ´umeros consecutivos tal que ninguno de ellos es primo.

1.15 Un n ´umero con3ⁿd´ıgitos iguales siempre es divisible entre3ⁿ. 1.16 Probar que hay una cantidad infinita de primos de la forma4k + 3.

1.17 Demuestra que sipnes eln- ´esimo primo, entoncespn≤ 2²ⁿ⁻¹. 1.18 Demuestra quen⁴+ 4ⁿnunca es un primo paran > 1.

1.19 Sia | b, calcule(a, b)y[a, b].

1.20 Sia | c,b | cy(a, b) = 1, prueba queab | c.

1.21 Si[a, b, c](a, b, c) = abc, entonces(a, b) = (b, c) = (c, a) = 1.

1.22 Si(a, b) = pconpprimo, ¿cu ´ales son los posibles valores de(a², b), (a³, b), (a², b³)?

1.23 Determine para qu ´e enteros positivosnse cumple

n

X

j=1

j

n

Y

j=1

j

1.24 Seana, bnaturales tales quea | b², b²| a³, a³| b⁴, b⁴| a⁵, . . .. Pruebe quea = b.

1.25 Probar que sin > 2, existe un primoptal quen < p < n!.

1.26 Usando el Teorema Fundamental de la Aritm ética, indique un procedimiento para calcular(a, b)y[a, b]en base a su factorizaci ón en primos. Calcule(1202456, 1202460) con este procedimiento y tambi én con el algoritmo de Euclides.

1.27 (YUC1996) Considere un recipiente vac´ıo de 1000 litros de capacidad y una cantidad ilimitada de agua.

a. Con recipientes de capacidad de 13 y 19 litros, medir 24 litros de agua.

b. ¿Ser ´a posible medir 3 litros con recipientes con capacidad de2y6litros?

1.28 (IMO1959)Prueba que 21n + 4

14n + 3es irreducible para todan.

(17)

1.5. EJERCICIOS

Aritm´ etica

1.29 (MEX1987)Demuestra que para todan, la fracci ´onn²+ n − 1

n²+ 2n es irreducible.

1.30 (MEX1988)Siaybson primos relativos ynes entero, prueba que(a² + b²− nab, a + b)divide an + 2.

1.31 Sipes un n ´umero primo, demuestra que el exponente depen la factorizaci ´on de n!en primos es

n p

+

n p²

+

n p³

+ · · · +

n p^k

+ · · ·

1.32 ¿Cu ´antos ceros hay al final de100!?

1.33 Demuestra que el n úmero de divisores de n = pâ₁¹pâ₂²· · · pâ_k^k es(a1+ 1)(a2+ 1) · · · (ak+ 1).

1.34 Sead(n)la suma de los d´ıgitos den. Sid(n) = d(2n), muestre que9 | 9.

1.35 (OIM1987)Se define la sucesi ´on{pn}de la siguiente manera:

p1= 2y paran > 1,pnes el mayor primo que divide a p1p2p3. . . pn−1+ 1.

Pruebe quepnsiempre es distinto a5.

1.36 (IMO1970)Encuentre el conjunto de n ´umerosn tales que el conjunto {n, n + 1, n + 2n, n + 3, n + 4, n + 5}puede dividirse en dos grupos de modo que el producto de los n ´umeros del primer grupo sea igual al del segundo.

1.37 Pruebe que la ecuaci ´onx²+ y²+ z²= 2xyzno tiene soluciones enteras excepto x = y = z = 0.

(18)

“Numerorum congruentiam hoc signo,≡, in posterum denotabimus, modulum ubi opus erit in clausulis adiungentes,−16 ≡ 9 (mod 5),−7 ≡ 15 (mod 11).”

K. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae

Congruencias. 2

En muchos problemas, la idea central para encontrar la soluci ón es considerar los residuos de los n úmeros que se relacionan al dividirse entre otro n úmero fijo. Esto nos llevar á a desarrollar la noci ón de congruencia de n úmeros, la cual unifica y extiende muchos resultados desarrollados hasta ahora.

2.1 Congruencias.

C Definicion 2.1 Seanaybdos n ´umeros enteros, y seamun entero distinto de cero.

Decimos queaes congruente abm ´odulom simdivide ab − a. Esto lo escribimos como

a ≡ b (mod m) ⇔ m | (b − a).

A grandes rasgos lo que decimos es que dos n úmeros a y b son congruentes (equivalentes, iguales) m ódulomsi ambos son de la formamk + rcon una mismar, esto es, si dejan el mismo residuo al dividirse porm. Para decir queano es congruente abm ódulomescribimosa 6≡ b (mod m).

Ejemplos:

• 8 ≡ 23 (mod 5)puesto que5 | (23 − 8) = 15. Notemos que tanto23y5son de la forma5k + 3.

• 36 ≡ 0 (mod 12)pues12 | (36 − 0) = 36.

• −22 ≡ 6 (mod 7)dado que7 | (6 − (−22)) = 28.

• 14 6≡ 21 (mod 4)porque4^/^/|(21 − 14) = 7.

Las ventajas de usar congruencias es que estas comparten muchas propiedades con la igualdad (de ah´ı que sea apropiado decir que los n ´umeros son “congruentes”):

(19)

2.1. CONGRUENCIAS.

Aritm´ etica

B Teorema 2.1 Sia, b, c, d, nson enteros yn 6= 0entonces:

i. a ≡ a (mod n)

ii. Sia ≡ b (mod n)entoncesb ≡ a (mod n).

iii. Sia ≡ b (mod n)yb ≡ c (mod n)entoncesa ≡ c (mod n).

iv. Sia ≡ b (mod n)entoncesa + x ≡ b + x (mod x)para todo enterox.

v. Sia ≡ b (mod n)yc ≡ d (mod n)entoncesa + c ≡ b + d (mod n).

vi. Sia ≡ b (mod n)entoncesax ≡ bx (mod n)para todo enterox.

vii. Sia ≡ b (mod n)yc ≡ b (mod n)entoncesac ≡ bd (mod n).

viii. Sia ≡ b (mod n)entoncesa^x≡ b^x (mod n)parax ∈Z⁺

ix. Si f (x) es un polinomio de coeficientes enteros, entonces a ≡ b (mod n) implica quef (a) ≡ f (b) (mod n)

x. Sia ≡ b (mod n)yd | nentoncesa ≡ b (mod d).

xi. Sia ≡ b (mod m),a ≡ b (mod m)y(m, n) = 1entoncesa ≡ b (mod mn).

xii. a ≡ 0 (mod n)si y s ´olo sin | a.

El teorema anterior se prueba a partir de los teoremas de divisibilidad. Como ejemplo:a ≡ b (mod n)entoncesa + x ≡ b + x (mod n).

Prueba. a ≡ b (mod n)quiere decir quen | (b − a). Perob − a = b + x + a − x = (b + x) − (a + x)por lo quen | (b + x) − (a + x), lo que significa quea + x ≡ b + x (mod n).

Hay, sin embargo, una propiedad que la igualdad no comparte con la congruencia.

Siax = bx (x 6= 0) podemos decir quea = b, pero con las congruencias no. Por ejemplo10∗6 ≡ 4∗6 (mod 4)pero10 6≡ 4 (mod 4). Es decir, no se permite cancelar factores en las congruencias. El siguiente teorema nos proporciona condiciones para poder efectuar tal operaci ´on.

B Teorema 2.2 Seana, benteros. Entonces

i. ax ≡ bx (mod n)si y s ´olo sia ≡ b (mod _(n,x)ⁿ ).

ii. Siax = bx (mod n)y(n, x) = 1entoncesa ≡ b (mod n).

iii. a ≡ b (mod nk)parak = 1, 2, . . . , rsi y s ´olo sia ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nr]).

Prueba. Siax ≡ bx (mod n)entoncesbx − ax = nzpara alg ´un enteroz. Entonces x

(n, x)(b − a) = n (n, x)z y por tanto

n (n, x)

x

(n, x)(b − a).

Pero

n

(n,x),_(n,x)^x

= 1por lo que_(n,x)ⁿ divide ab − a, es decir, a ≡ b (mod n

(n, x)).

De este modo hemos probado queax ≡ bx (mod n)implicaa ≡ b (mod _(n,x)ⁿ ).

(20)

2.1. CONGRUENCIAS.

Aritm´ etica

Ahora, supongamos quea ≡ b (mod _(n,x)ⁿ ). Esto quiere decir que b − a = n

(n, x)z

de donde(b − a)(n, x) = nz, es decir,n | (b − a)(n, x). Peroxes un m ´ultiplo de(n, x) Recuerda que a | b implica a | bx.

lo cual nos dice quen | (b − a)x. Se sigue queax ≡ bx (mod n).

Ya hemos probado el primer inciso. El segundo es una aplicaci ón directa del primero. Para probar el tercero, notemos queni | (b − a)nos dice que(b − a) es un m últiplo com ún de todas lasni, por lo que[n1, n2, . . . , nr] | b − a. Ya queda probado quea ≡ b (mod nk)(k = 1 . . . r) implicaa ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nr]).

Para el regreso, notemos quenkes un divisor de[n1, n2, . . . , nr], por lo quea ≡ b (mod [n1, n2, . . . , nr])implicaa ≡ b (mod nk)para cadank.

Un caso muy especial y ´util del teorema anterior es el siguiente resultado:

B Teorema 2.3 Seapun n ´umero primo y tun n ´umero que no es divisible entrep. Si at ≡ bt (mod p)entoncesa ≡ b (mod p)

Para ilustrar el uso de congruencias al resolver problemas, demostremos el siguiente teorema:

B Teorema 2.4 Siaes impar, entoncesa²− 1es divisible entre8.

Prueba. Siaes impar, entonces alguna de las siguientes proposiciones es cierta:

a ≡ 1 (mod 8) a ≡ 3 (mod 8) a ≡ 5 (mod 8) a ≡ 7 (mod 8)

Por otro lado 1² ≡ 1 (mod 8), 3² ≡ 1 (mod 8), 5² ≡ 1 (mod 8), 7² ≡ 1 (mod 8), por lo que en cualquier caso, a² ≡ 1 (mod 8), lo que es lo mismo que decir quea²− 1es divisible entre8.

Una prueba ligeramente distinta:

Prueba. Supongamos queaes impar, es decir,a ≡ 1 (mod 2). Entonces a²≡ 1²≡ 1 (mod 2).

Por otro lado, sia²− 1no fuese divisible entre8tendr´ıamosa² 6≡ 1 (mod 8)y como2 | 8esto implicar´ıa que

a²6≡ 1 (mod 2).

Esto es una contradicci ´on, por lo que concluimos quea²− 1debe ser entre8.

Los teoremas principales sobre divisibilidad pueden formularse con congruencias.

El teorema 1.15 se enuncia:

B Teorema 2.5 Si p es primo, ab ≡ 0 (mod p) y a 6≡ 0 (mod p) entoncesb ≡ 0 (mod p).

(21)

2.2. ECUACI ´ON LINEAL DE CONGRUENCIA.

Aritm´ etica

El teorema anterior es el an álogo (para la igualdad) de la afirmaci ón ab = 0 entoncesa = 0ob = 0. Es importante recalcar que el m ódulo debe ser primo. Como ejercicio, encontrar un contraejemplo cuando el m ódulo no es primo.

El teorema que dice que sia = bq + rentonces(a, b) = (b, r)puede reescribirse como

B Teorema 2.6 Six ≡ y (mod n)entonces(x, n) = (y, n).

Para terminar la secci ón, es importante recalcar que aunque los resultados de congruencia se pueden reescribir como resultados de divisibilidad y viceversa, las congruencias generalmente permiten realizar pruebas m ás claras y concisas, adem ás de que familiarizarse con ellas permite entender resultados m ás profundos y poderosos. Por esto es que se recomienda especialmente que en lo posible se intente usar congruencias en vez de divisibilidad para resolver los problemas del libro, e inclusive se sugiere que conforme se adquiera m ás pr áctica, tratar de resolver ejercicios del primer cap´ıtulo con estas t écnicas.

Ejercicios

2.2 Ecuaci ´ on lineal de congruencia.

2.1 Demostrar el teorema 2.1

2.2 Probar que sipes primo ya²≡ b² (mod p)entoncesp | (a + b)op | (a − b).

2.3 Probar que todo cuadrado debe terminar en 0, 1, 4, 5, 6 o 9 y que toda cuarta potencia debe terminar en0, 1, 5o6. ¿Qu ´e puedes decir de las octavas potencias?

2.4 Sipes primo, demostrar que(a + b)^p≡ a^p+ b^p (mod p).

2.5 Probar que sipes un primo que no divide aa, entonces no hay dos elementos del conjunto{a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a}que sean congruentes m ´odulop.

2.6 Probar que ninguna de las siguientes ecuaciones tiene soluciones enteras.

3x²+ 2 = y² 7x³+ 2 = y³ x³− 2 = 7y x³+ 5 = 7y

2.7 Seanp1, p2, p3 primos tales quep = p²₁+ p²₂+ p²₃tambi ´en es primo. Probar que alg ´unpies igual a3.

2.8 Seap(x)un polinomio de coeficientes enteros tal que los n ´umerosp(−1), p(0)y p(1)no son divisibles entre3. Probar quep(a) 6= 0para cualquieraentera.

2.9 Calcular el residuo que se obtiene al dividir7077³⁷⁷entre11.

2.10 Hallar las ´ultimas dos cifras del n ´umero7⁷⁷⁷.

(22)

Sugerencias y respuestas a A

ejercicios selectos.

1.1 (i) Verdadero. (ii) Falso. (iii) Verdadero. (iv) Falso. (v) Falso.

6 | 2·3pero6^/^/|2y6^/^/|3. (v) Falso:3 | 6y6 | 6, pero18^/^/|6. (vi) Verdadero. (vii) Verdadero.

(viii) Falso:a = b = 1. (ix) Verdadero. (x) Falso.a = 2, b = 4, x = 1.

1.3 Factor´ıceseaⁿ− bⁿ.

1.5 Piensa en los residuos al dividir entre3y7.

1.6 Considera los residuos al dividir entre4.

1.7 Como3 | n,n = 3k. Ahora

2ⁿ− 1 = 2^3k− 1 = (2³)^k− 1^k= (2³− 1) (2³)^k−1+ (2³)^k−2+ · · · + (2³) + 1

como2³− 1 = 7se sigue7 | 2ⁿ− 1.

1.8 Factoriza2000.

1.9 Si el primo es de la forma3k + 1entonces es de la forma6m + 1o6m + 4, pero en el segundo caso tendr´ıamos que el primo es par, esto es,6m + 4 = 2, lo cual es imposible.

(23)

Aritm´ etica

1.10 Factorizar2ⁿ− 1ⁿ.

1.11 Sia 6= bpodemos suponer primero quea < b. Factoricemos2^ade ambos lados y cancelemos. Seguimos un proceso similar cuandoa > b.

1.12 Proceda por contradicci ´on. Si el producto fuera impar, cada factor tambi ´en lo ser´ıa.

1.13 Factorice20!en primos y aplique un argumento combinatorio.

1.14 Considera100!.

1.15 Inducci ´on matem ´atica.

1.16 Procede por contradicci ´on.

1.17 Usando inducci ´on matem ´atica.

1.18 Sines par, el n úmero tambi én lo es. Si el n úmero es impar, usa la factorizaci ón de Sophie-Germain.

1.20 Considera los factores primos dec.

1.25 (n!, n! − 1) = 1. Entonces, seapun primo que divide an! − 1, y verifique que tal n ´umero cumple la condici ´on pedida.

1.26 Para(a, b)se toman los factores primos comunes con el exponente menor bajo el que aparezcan en cada factorizaci ´on. Para[a, b], tome los primos que aparecen en cualquiera de las dos factorizaciones con el mayor exponente de ambas.

1.27 (a) Exprese(13, 19)como combinaci ´on lineal de13y19. (b) Podr´ıa hacerse si3 fuese combinaci ´on lineal de2y6.

1.28 (a, b) = (a − b, b).

1.32 Usando el problema anterior, determine el exponente de 5 en la factorizaci ´on

´unica.

1.34 Pruebe que la diferencia2n − nes divisible entre9.

1.35 Supongamospn= 5yn > 2. La expresi ónp1p2. . . pn−1+1no puede ser divisible por 2 y tampoco por 3. Entonces es una potencia de5. Muestre que el producto p1p2. . . pn−1ser á divisible por4y obtenga una contradicci ón.

1.36 Sipes un primo que divide al producto de los del primer grupo, debe haber un n ´umero en el segundo grupo divisible porp.

(24)

Aritm´ etica

1.37 Use descenso infinito.

2.6 Para probar que 3x² + 2 = y² no tiene soluciones enteras, notemos que si tal soluci ´on hubiera se tendr´ıay²≡ 2 (mod 3). Derive una contradicci ´on.

2.7 Considere los residuos dep²1, p²2yp²3m ´odulo3.

2.8 Todo enterones congruente a0,1, o−1m ´odulo3. Entoncesp(n)es congruente ap(−1),p(0)op(1).

(25)

Bibliograf´ıa

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