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Extensiones al teorema de Egorov

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(1)

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

TESIS DOCTORAL

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR

José Leandro de María González

Madrid, 2015

© José Leandro de María González, 1982

Extensiones al teorema de Egorov

Departamento de Teoría de Funciones

(2)

J o s é T ^ a n d r o d e M a r t a G o n z a l e z

TP

/ 5 6

5 3 0 9 8 5 9 1 5 4

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE

3

E X T E N S I O N E S A L T E O R E M A D E E G O R O V

D e p a r b a m e n t o d e T e o r f a d e F u n c i o n e s F a c u l t a d d e C l e n c i a s M a t c m é t i c a s ü n i v e r s i d a d C o m p l u t e n s e d e M a d r i d

1 9 8 2

n O L l O T E C A

(3)

Colecciôn Tesis Doctorales. Nfi 156/82

© J o s é L e a n d r o d e M a r i a G o n z a l e z

Edita e imprime la Editorial de la Universidad Complutense dp Madrid. Servicio de Reprografla Noviciado, 3 Madrid-8

Madrid, 1982 Xerox 9200 XB 480

Depésito Legal:

M -

24650-1982

(4)

E X T E N S I O N E S A L T E O R E M A D E EHOP.GV

J o A c L . de. f i afLÂa G o n z a l e i

M e m o r i a p r e s e n t a d a p a r a o b t e n e r e l g r a d o d e d e D o c t o r e n M a t e m â t l c a s .

(5)
(6)

A g r a d e z c o a l p r o f e s o r B. R o d r i g u e z - S a l i n a s P a l e r o ,

d i r e c t o r d e e s t e t r a b a j o , s u s v a l i o s a s o r i e n t a c i o -

n e s , a s i c o m o e l t i e m p o q u e m e h a d e d i c a d o .

T a m b i e n q u i e r o a g r a d e c e r a l o s c o m p a f i e r o s d e l d e -

p a r t a m e n t o d e T e o r î a d e F u n c i o n e s s u s a y u d a s y

â n i m o s d u r a n t e t o d o el p r o c e s o d e e l a b o r a c i ô n d e

e s t a m e m o r i a .

(7)
(8)

I N D I C E T a g s

I N T R O D U C C I O N ... i

C A P I T U L O I: P r e l i m i n a r c s ... 1

C A P I T U L O I I : P r o p i e d a d e s d e l o s f u n c i o n e s m e d l b l e s y p - m e d i b l e s ... 12

C A P I T U L O I I I: R e i ' a c i o n e n t r e l a s m e d i b i l i d a d e s ... 33

C A P I T U L O IV: T e o r e m a d e E g o r o v p a r a la m e d i b i l i d a d B o r e l ... 51

C A P I T U L O V: En e s p a c i o d e B a n a c h ... 76

APENDICr: . ... 87

B I B L I O G R A F I A

101

(9)
(10)

I N T R O D U C C I O N

El t r a b a j o q u e n r e s e n t a m o s t i e n e c o m o i d e a p r i m o r d i a l e l e s t u d i o

d e t e o r e m a d e E g o r o v . E s t e t e m a t i e n e d o s m o t i v a c i o n e s . La p r i m e r a ,

el e s c a s o e s t u d i o q u e t i e n e en la l i t e r a t u r a , la s e g u n d a , la a p a -

r i c i ô n d e p r o p i e d a d e s s e m e ^ a n t e s e n t r a b a i o s a c t u a le s s o b r e i n t e -

g r a c i ô n , p e r e j e m p l o en e l a r t i c u l o d e C h i ( 1 9 7 5 ) " O n t h e R a d o n -

- N i k o d y m t h e o r e m in l o c a l l y c o n v e x s p a c e s " | 3 | y e n el d e R o ­

d r i g u e z- P a l i n a s ( 1 9 7 9 ) " I n t e p r a c i o n d e f u n c i o n e s d e f i n i d a s en

e s p a c i o s l o c a l m e n t e c o n v e x o s " |31 j . De h e c h o es i m p o r t a n t e a s e -

g u r a r la c o n v e r g e n c i a c a s i u n i f o r m e e n u n a s u c e s i ô n d e f u n c i o n e s

q u e o r i g i n a l e m t n e t i e n e la c a s i p u n t u a l .

Si se p i e n s a s o h r e e l t e o r e m a d e E g o r o v s e o b t i e n e n g r a n c a n -

i t d a d d e p o s i b l e s v i a s d e i n v e s t i g a c i 6 n ya q u e e n ê l i n t e r v i e n e n

m u c h o s f a c t o r e s . P o r e j e m p l o i n f l u y e e l e s p a c i o d e m e d i d a , e l e s ­

p a c i o t o p o l ô g i c o , la m e d i b i l i d a d d e l a s f u n c i o n e s q u e c o n s i d e r e m o s .

E l p a n o r a m a s e a m p l î a a û n m S s c u a n d o s e r e l a c i o n a n d i v e r s a s t o p o -

l o g î a s .

P o r t o d o e s t o , h e m o s t e n i d o q u e f i j a r n o s e n u n a l i n e a , y a t e n d e r

a l a s o t r a s c u a n d o s e c r u z a r a n d e f o r m a n a t u r a l c o n la i n i c i a l .

L o s r e s u l t a d o s o b t e n i d o s s o n s o b r e e l t i p o d e m e d i b i l i d a d . La

p r e g u n t a q u e r e s p o n d e m o s es e n l i n e a s g é n é r a l e s : i S o b r e e l e s p a c i o

t o p o l ô g i c o ( X , T ) c u m p l e c i e r t a m e d i b i l i d a d d e f u n c i o n e s e l t e o r e m a

d e E g o r o v ? . M â s e x p l î c i t a m e n t e :

(11)

II

" S e a ( n , E, u) u n e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a y ( X , T )

u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o . T o d a s u c e s i ô n d e f u n c i o n e s " m e d i b l e s " d e

îï a X c a s i p u n t u a l m e n t e c o n v e r g e n t e a u n a f u n c i ô n f c o n v e r g e c a s i

u n i f o r m e m e n t e ' y f es m e d i b l e e n e l s e n t i d o p r e f i i a d o . " .

E n l o s c a s o s q u e s i i p o n î a m o s m a s s e n c i l l o s , c o m o l o s e s p a c i o s m e -

t r i c o s y la m e d i b i l i d a d B o r e l , o b n e r v a m o s q u e la p r e g u n t a e r a d e

u a n d i f i c u l t a d s o r p r e n d e n t e a l e n c o n t r a r n o s c o n p r o b l e m a s a u n

a b i e r t o s d e la t e o r i a d e c o n i u n t o s c o m o l a e x i s t e n c ia d e c a r d i ­

n a l e s m e d i b l e s y r e a I m e d i b l e s . U n a i n t r o d u c c i ô n a d i c h o p r o b l e m a

l a h e m o s r e a l i z a d o e n e l c a p . î t u l o I p o r c r e e r l o i m p r e s c i n d i b l e p a r a

f a c i l i t a r la l e c t u r a d e la m e m o r i a y h a c e r c o p a r t i c i p e a l l e c t o r

d e la r e s t r i c c i ô n q u e i m p o n e a a l g u n o s r e s u l t a d o s l a x i o m S t l c a d e

c o n j u n t o s q u e s e e s t é d i s p u e s t o a u t i l i z e r .

D e e s t a f o r m a d e d i c a r t o s el c a p î t u l o I a la e x p o s i c î ô n c a s i o r i ­

e n t â t i v a d e t ô p i c o s u t i l e s e n e l d e s a r r o l l o d e l a s i d e a s d e l o s si^

g u i e n t e s . A s î t r a t a m o s d e r e s u m i r l a t e o r î a d e l a s f u n c i o n e s a n a -

l î t i c a m e n t e r e p r e s e n t a b l e s y l o s c o n j u n t o s a b s o l u t a m e n t e a n a l î t i -

c o s , l a s f u n c i o n e s o - d i s c r e t a s y l o s c o n c e p t o s d e p e s o y * - p e s o

d e u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o .El r e s u m e n s ô l o t i e n e c a r a c t e r e x p o s i t i v e

p o r l o q u e b u s c a m o s la f o r m a m â s d i r e c t a s i n m e t e r n o s en e l d e s a r r o ^

l l o a c t u a l d e l o s t e m a s . P o r e j e m p l o s e p o d r î a e c h a r en f a l t a l o s

e s q u e m a s d e S o u s l i n p e r o e s t o s u p o n d r î a u n a d i s p e r s i ô n e n la f i n a -

l i d a d q u e p e r s e g u i m o s .

E n n u e s t r o e s t u d i o s o b ^ e l a s m e d i b i l i d a d e s o b s e r v â m e s la e x i s -

t e n c i a d e d o s t i p o s c l a r a m e < n t e d i s t i n t o s : l a s m e d i b i l i d a d e s q u e

l l a m a m o s d e " a p r o x i m a c i ô n " c o n s i s t e n t e s e n d é f i n i r f u n c i o n e s a

(12)

IT T

p a r t i r d e c l a s e s m a s s e n c i l l a s c o m o s e h a c e e n la t e o r î a d e la

i n t e p r a c i o n , v l a s m e d i b i l i d a d e s " d e i m a p e n i n v e r s a " c o m o la B o r e l ,

La p r o p i e d a d e s m a s i m n o r t a n t e d e l a s p r i m e r a s e s q u e s o n f a c i l e s

d e m a n e j a r , m i e n t r a s q u e l a s s e p, u n d a s s i r v e n d e f o r m a e f i c a c i s i m a

p a r a la o b t e n c i ô n d e m e d i d a s i m a p e n e s , t é c n i c a q u e p o r o t r a p a r t e

e s f u n d a m e n t a l e n t o d o e l e s t u d i o .

N o s h e m o s v i s t o o b l i p a d o s a r e l a c i o n a r l o s t i p o s d e m e d i b i l i ­

d a d e s d e a p r o x im a c iô n r e c i e n t e m e n t e e s t u d i a d o s p o r e l p r o f e s o r

P o d r ip,ue z - Sa 1 i n a s e n | 31 | y l a s m e d i b i l i d a d e s d e B o r e l , Ba i r e y

u n i f o r m a n t e B a i r e .

E n el c a p î t u l o TT l a s f u n c i o n e s p - m e d i b l e s y p - m e d i b l e s s o n

c a r a c t e r i z a d a s d e f o r m a a n a l o p a a l t e o r e m a d e P e t t i s ,c a r a c t e r i z a -

c i ô n q u e ha r e s u l t a d o s e r f u n d a m e n t a l en t o d a la m e m o r i a . C o n s t a ­

t â m e s la g e n e r a l i d a d d e l c o n c e p t o d e îT-med i b i l i d a d . Y u s a n d o l a s

m e d i d a s r î p i d a s d e V a r a d a r a 1 a n c o m p l é t â m e s el e s t u d i o d e l a r e l a -

c i ô n a la v e z q u e s e o b t i e n e n r e s u l t a d o s e n ] a l i n e a d e E d g a r , c a ­

p î t u l o V, c u a n d o es u n e s p a c i o t o p o l ô p i c o d e B a n a c h c o n l a t o p o l o ^

g î a d é b i l . E l t e o r e m a d e E g o r o v s e d e m u e s t r a p a r a l a P - m e d i b i 1 i d a d

e n e s p a c i o s L E y p a r a la p - m e d i b i 1 id ad e n s u m a s v e c t ô r i a l e s d e

u n a f a m i 1 ia n o n u m e r a b l e d e e s p a c i o s d e E r e c h e t , e l r e s u l t a d o a l

q u e n o s v e n i m o s r e f i r i e n d o e s el s i g u i e n t e ;

T E O R E M A ( I I . 3) : S e a f u n a f u n c i ô n d e ( f! , E , p ) e s p a c i o d e m e ­

d i d a f i n i t a y c o m p l é t a a E e s p a c i o l o c a l m e n t e c o n v e x o , E n t o n c e s

f es ÿ - m e d i b l e si y s ô l o si

3 . 1 f e s (iresenc i a l m e n t e p r e c o m p a c t a D e f i n i c i ô n I I . 2

3 . 2 P a r a t o d a s e m i n o r m a c o n t i n u a p e n E y p a r a t o d o x

(13)

IV

d e E se t i e n e q u e p ( f - x ) es m e d i b l e .

La c o n d i c i ô n 3 . 2 . e s d e p o r s î , u n n r e l a c i o n c o n la m e d i b i l i d a d

d e t i p o c l â s i c o p o r a u e p u e d e s e r t r a d u c i d a c o m o q u e l a f u n c i ô n

f : n >E c u m p l a q u e l a i m a p e n i n v e r s a m e d i a n t e f d e l a s b o l a s d e

s e a n m e d i b l e s . E s t e t i p o d e m e d i b i l i d a d e s a m p 1 i a m e n t e u s a d o p o r M a

s a n i en |2 6 | .

L a g e n e r a l i d a d d e l a c l a s e d e l a s f u n c i o n e s p - m e d i b l e s e c o n c r e ^

t a e n l a s i g u i e n t e :

P R O P O S I C I O N ( I I . 5) : S e a ( Q , E ,p ) u n e s p a c i o dje m e d i d a f i n i t a y

c o m p l é t a y E u n e s p a c i o l o c a l m e n t e c o n v e x o . S i f e s u n a f u n c i ô n d e il

a E q u e es l i m i t e c a s i p u n t u a l d e u n a s u c e s i ô n (f ) d e f u n c i o n e s

" n = l W - m e d i b l e s , e n t o n c e s f e s p - m e d i b l e .

A p a r t i r d e e s t o s d o s r e s u l t a d o s s e o b t i e n e n l o s T e o r e m a s d e

E g o r o v a n t e r i o r m e n t e c i t a d o s .

F i n a l i s a e l c a p î t u l o c o n la o b t e n c i ô n d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a s

f u n c i o n e s p - m e d i b l e s e n e s p a c i o s L F . D e f o r m a d i r e c t a s e o b t i e n e

q u e l a s f u n c i o n e s p - m e d i b l e s ^ P - m e d i b l e s c o i n c i d e n e n u n e s p a c i o

LF. A p l i c a n d o l a s t é c n i c a s d e m e d i d a s r î g i d a s ( d e f i n i c i ô n 1 1 . 1 3 ) er^

t o n c e s s e d e m u e s t r a q u e

P R O P O S I C I O N ( C o r o l a r i o d e la p r o p o s i c i ô n 1 1 . 1 5 ) : S e a E u n e s p a c i o

L F y ( f), ^ , P ) u n e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a . Si P ^ e s

u n a m e d i d a e n lu O - â l g e b r a d e B a i r e d e E t a l q u e e s i m a g e n d e u n a

f u n c i ô n f : H --- > E, e n t o n c e s P^ e s r î g i d a s i y s ô l o si f e s M - m e d ^

b l e .

E l c a p î t u l o II I se h a e m p l e a d o e n r e l a c i o n a r l a p - m e d i b i l i d a d y

la m e d i b i l i d a d B o r e l . La p r i m e r a p a r t e s e d e d i c a e n c o n c r e t o a l o s

e s p a c i o s l o c a l m e n t e c o n v e x o s m e t r i z a h l e s . A q u î h e m o s d a d o u n a e q u i v a

(14)

l e n c i a a i T e o r e m a Ma r c z e w s k i - S i V o s k i ( 1 9 M 8 ) o J î t e n i e n d o e l s i g u i e n t e ,

T e o r e m a

T E O R E M A ( I I I . 5) ; S e a E u n e s p a c i o l o c a l m e n t e c o n v e x o m e t r i z a b l e ,

s o n e n u i v a l e n t e s :

a ) El p e s o d e E e s d e m e d i d a c e r o .

b) P a r a t o d o e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a ( 0 ,F, , | J ) se

c u m p l e .

’■ B o r e ] ( n . r, . M , r . C)

( d e n o t a n d o p o r M ( F , p , E) el c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s P-me^

d i b l e s d e e n E)

c ) P a r a t o d a m e d i d a d e R n r e l f i n i t a e n E s e t i e n e u n a d e s c o m p o s _ ^

c i ô n d e t i p o M a r c z e w s k i . ( V e r n o t a s i g u i e n t e a la p r o p o s ic i ô n

III . 3) .

C o n e s t e T e o r e m a c a r a c t e r i z a m o s l a s f u n c i o n e s m e d i b l e s B o r e l me^

d i a n t e la es t r u c t u r a m a s o p é r â t iva de l a s f u n c i o n e s )i - m e d i b l e s ,

a b r i e n d o e l c a m i n o p a r a a p i i c a r l a s ^ ' l a s t é c n i c a s d e in t e g r a c i ô n . La

a p a r e n t e r e s t r i c c i ô n s o b r e el p e s o de E e s m d s d e t i p o l ô g i c o q u e de

t i p o a n a l î t i c o , s e g u n Iiemos p r e t e n d ido s u p e r i r en el c a p î t u l o I. El

p r o b l e m a de la e x i s t e n c ia d e l o s c a r d i n a l e s d e m e d i d a c e r o (y p o r

c o n s i p u i e n t e l o s c a r d i n a l e s n o m e d i b l e s ) d e p e n d e d e la a x i o m d t i c a d e

c o n j u n t o s c m p l e a d a . A d m i t i e n d o la h i p ô t e s i s d e l c o n t i n u e , l o s T e o r e ­

m a s de U l a m p e r m i t en a s e p u r a r q u e el t a m a M o d e t a i e s c a r d i n a l e s es

t a n g r a n d e q u e e n c a s o s c o n c r e t o s no s c v e r a a l c a n z a d o .

La s e g u n d a p a r t e d e l c a p î t u l o , a p a r t i r d e la p r o p o s ic i ô n I I I . 6,

se d e d ic a a c o m p l e t a r en u n c u a d r o y a g e n e r a 1 i z a r e l T e o r e m a d e

M a r c zo w s k i - n ’■ ! f> • ; I i p a r a el c a s o L E , o b t e n i e n d o e n e l T e o r e m a I I I . 11

el a n a l o g o a l c a s o m ê t r i c o a u n q u e c o n la d i f e r e n c i a d e q u e l a s f u n -

(15)

V I

C l o n e s m e d i b l e s B o r e l c o i n c i d e n e n e s t e c a s o c o n u n a s u b c l a s e d e l a s

f u n c i o n e s |t-med i b l e s q u e l l a m a m o s y : V m e d i b l e s ,

E n l a s d e m o s t r a c i o n e s se h a u s a d o u n l e m a s o b r e e l p e s o d e u n e s

p a c i o L F q u e e s el s i g u i e n t e

L E M A ( I I I . 1 0 ) ; S e ^ E u n e s p a c i o L F . E t i e n e p e s o d e m e d i d a c e r o d i y

s ô l o s i e l p e s o d e c a d a u n o d e l o s e s p a c i o s d e l a s u c e s i ô n ( E ^ ) ^ _ ^

q u e d e f i n e n la t o p o l o g î a E e s d e m e d i d a cero*.

A c a b a e l c a p î t u l o c o n un c o m e n t a r i o s o b r e u n t r a b a j o d e F r e m l i n

( 1 9 7 5 ) a p r o p o s it o d e la s u m a b i l i d a d d e d o s f u n c i o n e s m e d i b l e s B o r e l

en u n e s p a c i o m é t r i c o .

S e h a l e m o s q u e el p r o b l e m a d e l m a n t e n i m i e n t o d e l c a r â c t e r d e

B o r e l m e d i a n t e la s u m a d e f u n c i o n e s e s p l a n t e a d o p o r A. H. S t o n e

( 13 B ! 1 9 7 3 ) y q u e n o s o t r o s o b t e n e m o s el T e o r e m a 1 d e d i c h o t r a b a ­

j o c o m o c o r o l a r i o d e l T e o r e m a I I I . 5, e n e l c a s o v e c t o r i a l , y q u e s e

o b t i e n e f â c i l m e n t e d e l T e o r e m a 1 1 1 . 1 3 . , t a m b i ê n c o m o c o r o l a r i o , u n

r e s u l t a d o m â s g e n e r a l e n e l c a s o L F .

A l r e d e d o r d e l a s i d e a s d e A. H. S t o n e h a y t r a b a j o s r e l a t i v a m e n -

t e r e c i e n t e s ( 1 9 7 5 - 7 9 ) d e H a u s e l l , P r e i s s , y o t r o s . ( D e e s t o s t raba_

j o s c o m e n t a r e m o s e n e s t a i n t r o d u c e i ô n y a l o l a r g o d e ia m e m o r i a ) .

E n e l c a p î t u l o IV n o s p l a n t e a m o s l o s d o s p r o b l e m a s q u e s u r g e n e n

l a . o b t e n c i ô n d e l T e o r e m a d e E g o r o v p a r a l a s f u n c i o n e s m e d i b l e s B o r e l

d e un e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a ( 9 , F, y ) a u n g r u p o t o p o

l ô g i c o c o n m u t a t i v o :

1. E n q u e c o n d ic i o n e s el l i m i t e c a s i p u n t u a l d e u n a s u c e s i ô n d e

f u n c i o n e s m e d i b l e B o r e l e s m e d i l< le B o r e l .

2. E n q u e c o n d ic i o n e s la s u m a d e d o s f u n c i o n e s m e d i b l e B o r e l es

m e d i b l e B o r e l .

(16)

V I T

I n i c i a m o s el c a p î t u l o c o n u n r e s u m e n d e r e s u l t a d o s e n r e l a c i ô n

c o n e s t a s d o s c u c s t i o n e s .

Se h a n c l a s i f i c a d o n u e s t r o s r e s u l t a d o s e n t r è s a p a r t a d o s , El pri_

m e r o c o n s t a d e u n e s t u d i o ,s o b r e e s p a c i o s t o p o l o g i c o s , d e la p r i m e r a

c u e s t i ô n . E n la d e f i n i c i ô n I V . 3 s e d e f i n e n l o s e s p a c i o s d e c l a s e F ^ ,

q< n û m e r o t r a n s f i n i t o , d e f o r m a q u e e n g l o b a n a l o s e s p a c i o s LF y

a l o s e s p a c i o s d e B a n a c h d e d u a l s e p a r a b l e c o n la t o p o l o g î a d é b i l .

D e e s t a f o r m a e l r e s u l t a d o m S s g e n e r a l es e l s i g u i e n t e

P R O P O S I C I O N (IV.Il) ; S e a f u n a f u n c i ô n d e u n e s p a c i o d e m e d i d a c o m r

p l e t a ( n , p , ,, ) a u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o E t a l q u e e s e l l i m i t e pun^

t u a i d e u n a s u c e s i ô n d e f u n c i o n e s m e d i b l e s B o r e l (f ) *” Si E e s d e n n = 1

c l a s e E ^ e n t o n c e s f e s m e d i b l e B o r e l .

P a r a el e s t u d i o d e l p r o b l e m a d e la s u m a , d e f i n i m o s en I V . 9. u n a

c l a s e d e g r u p o s t o p o l ô p i c o s a b e l i a n o s y r e s o l v e m o s e l p r o b l e m a p a r a

l a c l a s e d e f u n c i o n e s e s e n c i a l m e n t e s e p a r a b l e s , s e g û n la p r o p o s i c i ô n

I V . l l .

P R O P O S I C I O N ( I V . l l ) : S e a E u n g r u p o t o p o l ô g i c o d e c l a s e C ^ y s e a n

f y g d o s f u n c i o n e s e s e n c i a l m e n t e s e p a r a b l e s d e B o r e l d e u n e s p a c i o

d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a a E. E n t o n c e s f + g e s m e d i b l e B o r e l .

La e x i g e n c i a d e la s é p a r a b i l i d a d e s e n c i a l n o e s s u p e r f l u a p u e s t o

q u e a l f i n a l d e l c a p î t u l o I I I se lia c e r e f e r e n d a a u n c o n t r a e j cr.iplo

d e E r e m l i n , en el c u a l s e d a n d o s f u n c i o n e s f, g e n u n e s p a c i o d e B ^

n a c h q u e s o n m e d i b l e s B o r e l y su s u m a n o e s m e d i b l e B o r e l .

C o n e s t o s r e s u l t a d o s o b t e n c m o s ri T e o r e m a d e E g o r o v p a r a la m e ­

d i b i l i d a d B o r e l d e f u n c i o n e s e s e n c i a l m e n t e s e p a r a b l e s e n g r u p o s a b e ­

l i a n o s d e c l a s e C

E n el s e g u n d o a n a rt a d o n u i t a m o s la h i p ô t e s i s d e s e p a r a b i l i d a d

(17)

V I I I

e s e n c i a l i n t r o d u c i e n d o u n a n n e v a h i p ô t e s i s s o b r e e l c a r d i n a l d e l c o n

j u n t o q u e s o p o r t a a la o - a 1 g e b r a o el - - p e s o d e l e s p a c i o t o p o l ô g i ­

c o :

T E O R E M A ( I V . 1 6 ) : P e a E u n g r u p o c o n m u t a t i v o d e c l a s e j ( ü >11 »p )

u n e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a . E. i e L * - p e s o d e E o e l c a r d i

n a l de 2 ^ e s d e m e d i d a c e r o e n t o n c e s la s u m a d e d o s f u n c i o n e s m e d i ­

b l e s B o r e l e s m e d i b l r B o r e l .

El a p a r t a d o t e r c e r o se d e d i c a a e l i m i n a r la h i p ô t e s i s d e c a r d i n a

l i d a d en d o s s e n t i d n s , e l p r i n e r o s u p o n e r el e s p a c i o d e m e d i d a a b s o l u ^

t a m e n t e a n a l î t i c o d e f o r m a q u e m e d i a n t e l a u t i l i z a c i ô n d e s e n d o s T e o

r e m a s d e P r e i s s , E r e m l i n , | 2 9 ) n o s s a l e d e f o r m a c a s i i n m e d i a t à e l

s i g u i e n t e T e o r e m a :

T E O R E M A ( I V . 1 9 ) : E e a ( X , R , n ) u n e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a , d o n d e

X e s a b s o l u t a m e n t e a n a l î t i c o y R l a p - ô l g e b r a de B o r e l e n X. S e a E

u n g r u p o c o n m u t a t i v o m e t r i z a b l e , y ( f ^ ) ^ ^ u n a s u c e s i ô n d e f u n c i o n e s

m e d i b l e B o r e l d e X e n E , n u n t u a l m e n t e c o n v e r g e n t e a u n a f u n c i ô n f.

E n t o n c e s f e s m e d i b l e B o r e l y la c o n v e r g e n c i a es c a s i u n i f o r m e .

El s e g u n d o s e n t i d o p r e s c i n d e d e l a a n a l i t i c i d a d d e X, r e s t r i n -

g i e n d o u n p o c o l a s c l a s e s d e f u n c i o n e s , u s a n d o l a s f u n c i o n e s d e

B a n a c h a n a l î t i c a m e n t e r e p r e s e n t a b l e s q u e i n t r o d u c i m o s e n e l c a p î t u ­

l o I y q u e e s t u d ia H a n s e l 1 e n 119 | y 11 5 J .

E n e l c a p î t u l o V s e a p l i c a n l o s r e s u l t a d o s d e l a p a r t a d o a n t e ­

r i o r a l e s t u d i o d e l T e o r e m a d e E g o r o v y s u s d o s c u e s t i o n e s s u b y a c e n ^

t e s p a r a f u n c i o n e s d e f i n i d a s d e ( 9 , F, |i ) ,i ( E , o ( E , F ' ) ) y a

( E , b w ( U ) ) s i e n d o E u n e s p a c i o d e B a n a c h . P o r la d i f i c u l t a d d e t r a b ^

j a r c o n v a r i a s t o p o l o g î a s h e m o s u s a d o u n a n o t a c i ô n u n p o c o m ô s espe^

c î f i c a q u e c o n s i s t e m a f l a d i r a l n o m b r e d e la m e d i b i l i d a d l a t o p o l o

(18)

Ix

g î a , p o e e j e m p l o s i l a t u i i c i o n e n p - m e d i b l e d e 9 e n ( L’, o ( E ' , E ) )

l a l l a m a r e m o n p - a ( E , C ' ) - m e d i b l e .

E l p r i m e r r e s u l t a d o o h t e n i d o e s

I’K n l'OE I p T 0 N ( V . l ) : S e a E u n e s p a c i o d e I tanacli c o n E: ' s e p a r a b l e .

( 0 , I , p ) u n e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a . E n t o n c e s e l c o r ^

j u n t o d e l a s F u n c i o n e s m e d i b l e s B o r e l d e 9 e n ( E , o ( E , E ’ ) ) e s c e -

r ' r a d o p a r a la e o n v e r p, e n c.'i a c a s i p u n t u a l y a d e m a s c u m p l e e l T e o r e m a

d e E g o r o v .

M e j o r - a m o s e l r e s u l t a d o c o n e l T e o r e m a d e S t e g a l l 3 7 ;

P P 0 P 0 S T C T 0 N ( V . 2 ) S e a E u n e s p a c i o d e B a n a c b t a l q u e E ' t i e n e

P . F . N . E n t o n e f’s <> 1 <’o n j u r i 1 o d e l a s Furie i o n e s m e d i b l e s B o r e l d e

( U , E , p ) .i ( E , o ) q u e s o n e s e n c i a l c m t e s e p a r a b l e s e s c e r r a d o

p a r a l a a ( E , E ' ) - c o n v e r g e n c i a c a s i p u n t u a i y a d e m â s c u m p l e e l T e o ­

r e m a d e E g o r o v .

E l t e o r e m a d e m a y o r i n t c r é s , a n u e s t r o j u i c i o , s e o b t i e n e

c o n l a t o p o l o g i a b w ( E ) .

T E O R E M A ( V . 5 ) : S e a E u n e s p a c i o d e B a n a c b t a l q u e E ' t i e n e P . R .

N . E n t o n c e s e l c o n j u n t o d e l a s f u n c i o n e s O ( E , E ' ) - m e d i b l e s B o r e l

e s e n c i a l m e n t e s e p a r a b l e s c u m p l e n e l t e o r e m a d e E g o r o v c u a n d o

c o n s i d e r a in o s l a b w ( E ) - c o n v e r g e n c i a c a s i u n i f o r m e .

A c o n t i n u a c i ô n v o l v e m o s a r e l a c i o n a r l o s d i v e r s e s t i p o s d e

m e 1d b i 1 i d a d e s , y o s a q u i d o n d o l a s m e d i d a s r î g i d a s j u e g a n e l p a ­

p e 1 p r h i c i p . i l a l c. I l'a c l e r i-/.a r a 1 a r; I u n e i o n e s c s a c a 1 a r'm e n t c m e -

d i b l C - s q u e s o n d e b i l m e n t e é q u i v a l e n t e s a l a s F u n c i o n e s p - 11 .|(-

- m e d i b l e s , c o n l o s c u a l î i p a r a l a c l a s e d e l o s e s p a c i o s d e B a n a c h

m e d i b l e s c o m p a c t o s t e n e m n s q u e l a s F u n c i o n e s p - a ( E , E ' ) - m e i d b l e s

(19)

s o n p r e c i s a m e n t e l a s f u n c i o n e s d c b i l m e n t e é q u i v a l e n t e s a u n a f u n ­

c i ô n b - I I - I I - m e d i b l e s . Y d a m o s u n a c a r a c t e r i z a c i ô n d e l o s m e d i ­

b l e s c o m p a c t o s u s a n d o s o l o e s p a c i o s d o m e d i d a f i n i t a y c o m p l é t a .

O b t e n e m o s p a r a f i n a l i z a r a l g u n o s r e s u l t a d o s a n S l o g o s p a r a d u a -

1 e s d e e s p a c i o s d e B a n a c h s e p a r a b l e s c o n l a t o p o l o g î a o ( r * , E )

r.l a p e n d i c e t i e n e u n c o n t e n i d o d i s t i n t o a l o s u l t i m e s c a p i t u l e s

p u e s t o q u e en é 1 e s t u d i a m o s u n t i p o d e m e d i b i l i d a d m u y g e n e r a l , l a

K - m e d i b i l i d a d , d e f o r m a o u e e n g l o b a a l a s m e d i b i l i d a d e s e l â s i c a s .

L a s p r e p u n t a s q u e r e s p o n d e m o s s o n c o n c e r n i e n t e s a la c o n v e r g e n c i a

c a s i p u n t u a l d e s u c e s i o n e s y c a s i u n i f o r m e d e r e d e s . N o o b s t a n t e a l

f i n a l h e m o s o b t e n i d o u n T e o r e m a d e F p o r o v e n c o n d ic i o n e s b a s t a n t e s

r e s t r i n p i d a s d a d a la a m p l i t u d d e l c o n c e p t o d e - m e d i b i l i d a d .

(20)

- 1 -

C A r i T U L O I

i’R E L l M l N A R E S

A m a n e r a d e i n t r o d u c c i ô n a l o s " c a r d i n a l e s g r a n d e s " v a m o s a d a r

l a s d é f i n i e i o n e s i m p r e s c i n d i b l e s y l o s r e s u l t a d o s f u n d a m e n t a l e s p a ­

r a v i s l u m b r a r l a g e n e r a l i d a d d e l o s t e o r e m a s d e l c a p î t u l o I I I .

U n a t e o r î a e l e m e n t a l p e r o b a s t a n t e d e s a r r o l l a d a s e e n c u e n t r a e n l o s

l i b r o s d e K u r a t o w s k i | 2 1 | y d e L e v y | 2 3 1 .C n la n o t a c i o n s e g u i m o s

a ! 23|

El c o n c e p t o d e n û m e r o c a r d i n a l se e n c u e n t r a e n la o b r a d e B o l z a ­

n o ( 1 9 5 1 ) , p e r o e s C a n t o r q u i e n e n 1 8 7 B d e f i n e e l c a r d i n a l d e u n

c o n j u n t o M c o m o e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s a M

E s t a d e f i n i c i ô n r é s u l t a p o c o p r a c t i c e p o r l o q u e e l m i s m o C a n t o r e n

1 8 8 3 la b a s a e n o t r o c o n c e p t o , e l d e n û m e r o o r d i n a l : " l o s n û m e r o s

o r d i n a l e s s o n l o s t i p o s d e o r d e n d e l o s c o n j u n t o s b i e n o r d e n a d o s " ,

e n t o n c e s , " E l c a r d i n a l d e M , si M e s u n c o n j u n t o b i e m o r d e n a d o , e s

e l m e n o r o r d i n a l e q u i p o t e n t e a M " .

D e f i n i c i ô n 1: El c a r d i n a l tK. e s d e b i l m e n t e i n a c c e s i b l e si y s ô l o si

i) Si '♦tt e n t o n c e s e x i s t e p t a l q u e tt < y < trt .

i i ) S i la s u m a c o n î n d i c e m e n o r q u e W d e c o n j u n t o s d e c a r d i ­

n a l m e n o r q u e tt\ e s m e n o r q u e tH , e s t o e s .

D a d o ^A ^ V iç I t a l q u e C d ( I ) < M y Cd ( A ^ )< W p a r a t o d o i, e n -

(21)

- 2 -

t o n c e s H C d ( A . ) < hi

I 1

D e f i n i c i ô n 2; E l c a r d i n a l l t i e s f u e r t e m e n t e i n a c c e s i b l e o i n a c c e s i b l e

s i

i ) e s d e b i l m e n t e i n a c c e s i b l e .

i i ) S i -H < -Hi e n t o n c e s 2 < 1t1 .

La n o c i o n d e c a r d i n a l f u e r t e m e n t e i n a c c e s i b l e f u e i n t r o d u c i d a •

s i m u l t a m e a m e n t e p o r T r a s k i y Z e r m e l o .

D e f i n i c i ô n 3: U n c a r d i n a l s e d i c e r e a l m e d i b l e si ^ ^ y h a y u n a

m e d i d a c o n t a b l e m e n t e ad it i v a e n P ( A ) p a r a a l g û n A d e c a r d i n a l

t a l q u e se a n u l a s o b r e l o s u n i t a r i o s y e s d i s t i n t a d e l a t r i v i a l .

Si u n c a r d i n a l t L n o es r e a l m e d i b l e s e d i c e q u e e s d e m e d i d a c e ­

r o .

U n c a r d i n a l ^ s e d i c e m e d i b l e si b a y u n a m e d i d a c o n t a b l e -

m e n t e a d i t i v a d o s - v a l u a d a ( e s d e c i r , q u e s ô l o t o m a v a l o r e s 0 y 1 )

e n P ( A ) p a r a a l g û n A d e c a r d i n a l Cu t a l q u e se a n u l a s o b r e l o s u n i -

t a r i o s y es d i s t i n t a d e l a t r i v i a l .

D e f i n i c i ô n M; U n a m e d id a ^ e n P ( X ) se d i c e Ht - a d i t i v a s i p a r a c a d a

f a m i l i a i ^ p ) i g i c o n C d ( I ) < ht , d e c o n j u n t o s d i s j u n t o s se t i e n e

q u e Z. ;«i p-CAi>,

P o r t a n t o c o n t a b l e m e n t e a d i t i v a e s s i n ô n i m o d e ^ ^ - a d i t i v a ,

P r o p o s i c i ô n 5: S i u n a m e d i ë a ^ e n P ( X ) se a n u l a s o b r e l o s u n i t a r i o s

y e s t h - a d i t i v a , e n t o n c e s p a r a t o d o s u b c o n j u n t o Y d e X c o n C d ( Y ) <

< -ht se t i e n e q u e |^(Y) = 0.

D E H O S T R A C I O N : E s i n m e d i a t a . d.

(22)

- 3

T e o r e m a 6: i) S i t x e s e l m e n o r a l e p h d e m e d i d a c e r o e n t o n c e s c a d a

m e d i d a c o n t a b l e m e n t e a d i t i v a e n P( il ) a n u l a n d o s e s o b r e l o s u n i t a -

r i o s e s u - a d i t i v a .

i i ) S i tL e s e l m e n o r a l e p h n o m e d i b l e e n t o n c e s c a d a

m e d i d a c o n t a b l e m e n t e a d i t i v a d o s - v a l u a d a d e f i n i d a e n P(*»- ) a n u l a n ­

d o s e s o b r e l o s u n i t a r i o s e s f t - a d i t i v a .

D E H O S T R A C I O N : V e r |23; I X R , 2 |

N u e s t r o i n t e r es e s v e r q u e t a n g r a n d e s s o n l o s c a r d i n a l e s m e d i ­

b l e s y r e a l m e d i b l e s . E s t e t a m a n o e s r e l a t i v e a la a x i o m S t i c a d e

c o n j u n t o s e l e g i d a . E s u n h e c h o c o n o c i d o a u n q u e s u d e m o s t r a c i ô n n o e s

t r i v i a l la s i g u i e n t e d e m o s t r a c i ô n d e B a n a c h (1 9 3 0 ) ;

P r o p o s i' i ô n 7; T o d o c a r d i n a l r e a l m e d i b l e e s r e g u l a r y e s u n c a r d i-

n a 1 l i m i t e .

D E M O S T R A C I O N : V e r 12 3 IX 9 . 1 3 y 9 . 1 9 . | E n la d e m o s t r a c i ô n s e u s a

e l a x i o m a d e e l e c c i ô n .

E s t a p r o p o s i c i ô n n o s p e r m i t e a s e g u r a r q u e e n Z F C n o se p u e d e

p r o b a r la e x i s t e n c i a d e c a r d i n a l e s r e a l m e d i b l e s ,ya q u e n o s e p u e d e

p r o b a r q u e e x i s t e n c a r d i n a l e s d é b i l m e n t e i n a c c e s i b l e s y s e g û n l o

a n t e r i o r t o d o c a r d i n a l r e a l m e d i b l e e s d é b i l m e n t e i n a c c e s i b l e .

T e o r e m a 8: ( U l a m 1 9 3 0 ) T o d o c a r d i n a l r e a l m e d i b l e o e s m e n o r o

i g u a l q u e 4 o e s m e d i b l e .

D E M O S T R A C I O N : V e r ) 2 3 IX 'i . 1 8 )

P o r t a n t o s u p o n i e n d o la li i pô t o s i.r: d c T c o n t i n u o , t o d o c a r d i n a l

r e a l m e d i b l e e s m e d i b l e y a q u e 2 ' q u e n o es u n c a r d i n a l l î m i -

(23)

- A -

t e . P o r t a n t o e n la a x i o m S t i c a d e G o d e l - V o n N e u m a n n o e x i s t e n c a r ­

d i n a l e s ï J ea l m e d i b l e s n i m e d i b l e s .

L o s s i g u i e n t e s r e s u l t a d o s q u e e x p o n e m o s v a n e n c a m î n a d o s a d e m o s -

t r a r q u e e l tamafio d e l o s c a r d i n a l e s m e d i b l e s e s m u y g r a n d e .

T e o r e m a 9 ( U l a m 1 9 3 0 ) : T o d o c a r d i n a l m e d i b l e e s i n a c c e s i b l e .

D E M O S T R A C I O N : V e r | 2 3 IX 9 . 1 8 |

T e o r e m a 1 0 ( T a r s k i ) E l p r i m e r c a r d i n a l i n a c c e s i b l e e s n o m e d i b l e

D E M O S T R A C I O N | V e r 21 IX 9 . 1 |

E n 1 9 7 1 S o l o v a y h a p r o b a d o u n h e c h o s o r p r e n d e n t e e n e s t a t e o r î a :

T e o r e m a 1 1 ( S o l o v a y ) : " Z F C + c a r d i n a l m e d i b l e " e s e q u i c o n s i s t e n t e

c o n " Z F C + c a r d i n a l r e a l m e d i b l e "

D E M O S T R A C I O N : V e r | 2 1 . IX|

(24)

- 5

E n e s t e a p a r t a d o e s t u d i a m o s d o s c o n c e p t o s t o p o l ô g i c o s q u e h a n r e s u l ­

t a d o s e r u t i l e s a l o l a r g o d e l a m e m o r i a . L o s r e l a c i o n a r e m o s c o n l o s

r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s .

D e f i n i c i ô n 1 2 : D a d o u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o ( X , T ) se l l a m a p e s o d e

( X , T ) a l m e n o r c a r d i n a l t a 1 q u e e x i s t e un c o n j u n t o Y d e n s o e n X c o n

d i c h o c a r d i n a l .

E l A - p e s o d e ( X , T ) e s el m d s p e q u e f i o c a r d i n a l t a l q u e

e x i s t e u n a b a s e d e T c o n d i c h o c a r d i n a l .

P r o p o s i c i ô n 1 3 ; El p e s o d e ( X , T ) e s m e n o r o i g u a l q u e e l * - p e s o *

d e • ( X , T ) .

D E M O S T R A C I O N : E s i n m e d i a t a y a q u e d a d a u n a b a s e d e l a t o p o ­

l o g î a T e x i s t e u n c o n j u n t o d e n s o c o n d i c h o c a r d i n a l . B a s t a c o n c o g e r

u n e l e m e n t o x ^ d e c a d a B . . ^

P r o p o s i c i ô n 19: Si X e s d e n s o en ( X , T ) , t e n e m o s q u e

U n

p a r a c a d a a b i e r t o U d e X .

D E M O S T R A C I O N : P a r a c a d a x d e U y p a r a c a d a , e l c o n j u n t o U

e s n o v a c i o y a b i e r t o e n X . E n t o n c e s u A X / 0 y x p e r t e n e c e

a U n X ^ .

A s î h e m o s p r o b a d o q u e

U C U O X o y la o t r a i m p l i c a c i ô n e s o b v i a .

P r o p o s i c i ô n 15: D a d o u n e s p a c i o r e g u l a r ( X , T ) s i e l p e s o d e ( X , T )

(25)

I

- 6

e s ht , e n t o n c e s e l * - p e s o d e ( X , T ) e s m e n o r o i g u a l q u e 2 ^ .

D E M O S T R A C I O N : S e a X ^ u n c o n j u n t o d e n s o en ( X , T ) c o n c a r d i n a l -Ht.

S e a (A ^ J u n a b a s e d e l e s p a c i o X y s e a

B . = I n t ( A .OX 1 .

1 a o

P o r l a p r o p o s i c i ô n 1 9 , s e t i e n e

A . C i n t ( A . O X ) c  ,

1 l o i

y p u e s t o q u e e l e s p a c i o es r e g u l a r ( es t a m b i e n u n a b a s e . P e r o

e l n û m e r o d e ( n o e x c e d e

P

( X ^ ) , y e l c a r d i n a l d e l a n u e v a b a s e e s m e n o r o i g u a l q u e 2*^^ . ^

E s t a p r o p o s i c i ô n e s s u f i c i e n t e p a r a n u e s t r o s p r o p ô s i t o s p o r a u e

l o s e s p a c i o s e n q u e t r a b a j a m o s s o n r e g u l a r e s .

El p e s o d e u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o t i e n e u n a p r o p i e d a d " m a l a " y

es q u e n o t i e n e p o r q u e s e r m e n o r o i g u a l p a r a l o s s u b e s p a c i o s d e u n

e s p a c i o d a d o .

E J E M P L O : S i e n 1 t o m a m o s l a s i g u i e n t e t o p o l o g î a

Z

= (A

c E

oeA^^y^pi

V

,

el p e s o d e (^1 ,X) e s 1. P e r o el p e s o d e \ o) es t: .

V a r i o s l e m a s d e l c a p î t u l o IV v a n o r i e n t a d o s a s e g u r a r q u e s e c o n s e r ­

v e e l p e s o .

P r o p o s i c i ô n 16: Si ( X , T ) es m e t r i z a b l e e n t o n c e s e l p e s o d e ( X , T ) es

i g u a l al A - p e s o d e ( X , T ) .

D E M O S T R A C I O N : V e r |25 j

(26)

- 7

II .

S é r i a p r e t e n c i o s o p o r n u e s t r a p a r t e p r e t e n d e r h a c e r u n r e s u m e n

a l a v e z c o r t o y p r o f u n d o d e la t e o r î a d e l e s c o n j u n t o s a n a l i t i c o s

y d e l a s f u n c i o n e s tT-d i sc r e t a s • T a r a e l l o r e m i t i m o s a l l e c t o r a l o s

e x t e n s o s t r a b a j o s d e H a n s e l l 11 *» | y |15| . N o o b s t a n t e e x p o n e m o s

u n o s p r e 1 i m i n a r e s , o m i t i e n d o a p r o p o s i t o l o s r e s u l t a d o s d e C h r i s -

t e n s e m q u e a p e s a r d e d a r l a v i s i o n m a s m o d e r n a d e l o s p r i m e r o s ,

h a r î a t e d i o s a la l e c t u r a .

D e f i n i c i ô n 1 : S e a X u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o y s u p o n g a m o s q u e c a d a

s u c e s i ô n (n^ / " p ) d e n û m e r o s n a t u r a l e s c o r r e s p o n d e u n s u b c o n -

i u n t o F c e r r a d o e n X.

C n t o n c e s e l c o n j u n t o

A = u n F

" 1 ’ • • • ’" p

d o n d e l a u n i ô n s e t o m a s o b r e t o d a s l a s s u c e s i o n e s (n ) d e n û m e r o s P

n a t u r a l e s , e s l l a m a d o u n c o n j u n t o a n a l î t i c o .

E l s i g u i e n t e l e m a n o s m u e s t r a q u e l o s c o n j u n t o s a n a l ï t i c o s s o n

r e g u l a r i z a b l e s .

L e m a 2: A c a d a c o n j u n t o a n a l î t i c o A e n X p o d e m o s a s o c i a r u n a f a m i l i a

(A ) d e c o m n j u n t o s a n a l î t i c o s e n X i n d i c a d o s p o r l a s

s u c es i o n e s f i n i t a s d e n û m e r o s n a t u r a l e s t a l w e s q u e :

1 ) A = A 2 J

n ^ * « « * » n ^ n ^ » # , n ^ , l n^ , , $ n ^ , 2

A.

P E M O S T R A C I O N : V e r , l e m a l l

(27)

* 8 —

D e f i n i c i ô n 2 : U n s u b c o n j u n t b A d e u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o ( X , T ) s e

d i c e a b s o l u t a m e n t e a n a l î t i c o s i e s h o m e o m o r f o a u n c o n j u n t o a n a l ï -

t i c o e n u n e s p a c i o t n é t r i c o c o m p l è t e ,

E l e s p a c i o m e d i b l e f o r m a d o p o r u n c o n j u n t o a b s o l u t a m e n t e a n a l î ­

t i c o X y l a < r - â l g e b r a d e B o r e l d e X t i e n e u n a i m p o r t a n t e p r o p i e d a d :

T e o r e m a 3: S u p o n g a m o s q u e f , g s o n d o s f u n c i o n e s d e B o r e l d e c l a s e

a c o t a d a d e ( X ,B ) e n u n g r u p o m é t r i c o c o n m u t a t i v o Y , e n f o n c e s f + g

e s m e d i b l e B o r e l .

D E M O S T R A C I O N : S e d e s p r e n d e d e f o r m a i n m e d i a t a d e | 3 8 t e o r e m a S j y

d e q u e la s u m a e s u n a a p l i c a c i ô n c o n t i n u a , g

E n la d é c a d a d e l o s s o t e n t a s e b a n e s t u d i a d o e s t a s p r o p i e d a d e s

d e f o r m a e x h a u s t i v a . I r e m o s d a n d o c u o n t a d e l o s r e s u l t a d o s c o n f o r m e

v e n g a n s i e n d o n e c e s a r i o s .

U t i l i z a n d o e l c o n c e p t o d e f u n c i ô n (T-d i s c r e t a i n t r o d u c i d o p o r

H a n s e l l en 1 9 7 1 |1 5 | p o d r e m o s e l i m i n a r h i p ô t e s i s d e a n a l i t i c i d a d

e n l o s t e r e m a s d e E g o r o v d e l c a p i t u l e IV.

D a d o u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o X, y u n e s p a c i o m ê t r i c o Y , l a c l a s e

d e l a s f u n c i o n e s a n a l r f t i c a m e n t e r e p r e s e n t a h l e s e s la m S s p e qu e f la

f a m i l i a d e f u n c i o n e s d e X en Y c o n t e n i e n d o a l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s

y c e r r a d a r e s p e c t e a l o s l i m i t e s p u n t u a l e s d e s u c e s i o n e s d e f u n c i o ­

n e s e n e l l a .

C l a s if i c a m o s d i c h a f a m i l i a e n g r u p o s cvj.) d o n d e es e l

p r i m e r o r d i n a l n o n u m e r a b l e , d e f i n i e n d o :

(28)

- 9 -

$ e s la f a m i l i a d e a p l i c a c i o n e s c o n t i n u a s d e X e n Y o

^ ^ e s la f a m i l i a d e t o d o s l o s l i m i t e s d e s u c e s i o n e s

p u n t u a l m e n t e c o n v e r g e n t e s d e a p l i c a c i o n e s d e 4,% , .

A e f e c t o s d e q u e la c l a s e d e l o s c o n j u n t o s d e B o r e l s e a n t a m b i e n

f a c i l m e n t e c l a s i f i c a I b e s , y c u a n d o e s t e m o s u s a n d o l a s f u n c i o n e s

a n a l l t i c a m e n t e r e p r e s e n t a b l e s , e x ig i r e m o s a l o s e s p a c i o s t o p o l ô -

g i c o s q u e l o s a b i e r t o s s e a n F ^ . L o s e s p a c i o s m e t r L z a b l e s y p e r f e e ta^

m e n t e n o r m a l e s c u m p l e n e s t a p r o p i e d a d .

D e f i n i c i ô n U: S e a ( X , T ) u n e s p a c i o t o p ô l o g i c o . U n a f a m i l i a d e c o n ­

j u n t o s e s d i s c r e t s ( r e l a t i v a m e n t e a X) si X p u e d e s e r c u b i e r t a p o r

a b i e r t o s c a d a u n o t e n i e n d o u n a i n t e r s e c c i o n n o v a c i a c o n a l o m â s

u n m i e m b r o d e d i c h a f a m i l i a .

U n a f a m i l i a ^ d e s u b c o n j u n t o s d e X es c o m p l e t a m e n t e d i s c r e t s

si e x i s t e u n a c o l e c c i ô n d e a b i e r t o s e n X t a l q u e B d U g p a r a t o d o B

d e S .

U n a f a m i l i a B d e s u b c o n j u n t o s d e un e s p a c i o X es b a s e d e u n a

— 1

a p l i c a c i ô n f : X --- 1 Y si p a r a c a d a a b i e r t o G C Y , f (G ) e s u n i ô n

d e e l e m e n t o s d e JB.

D e f i n i c i ô n 5: U n a a p l i c a c i ô n f : X /Y se d i c e (T-j i s c r e t a si t i e n e

u n a b a s e d o n d e c a d a e s c o m p l e t a m e n t e d i s c r e t a .

La c l a s e d e l a s f u n c i o n e s (T-d i sc re ta s e s m u y a m p l i a y a q u e t o d a

a p l i c a c i ô n c u y o r a n g o s e a I I . A . N . es ^ - d i s c r e t a , y t a m b i e n lo e s

u n a a p l i c a c i ô n c o n t i n u a c u y o d o m i n i o o r a n g o es m e t r i z a b l e .

El t r a b a j o f u n d a m e n t a l d e H a n s e l l es p r o b a r q u e t o d a a p l i c a c i ô n

(29)

10 -

d e B o r e l d e u n e s p a c i o a b s o l u t a m e n t e a n a l î t i c o e n u n e s p a c i o m é t r ^

c o e s ? -d i s c r e t a . ( v e r \1U\ ).

P e r o l o s t r a b a j o s a n t e r i o r m e n t e c i t a d o s u t i l i z a n u n a c l a s e d e ^

f u n c i o n e s i n t r o d u c i d a p o r B a n a c h e n 1 9 3 1

*

e s l a f a m i l i a d e l a s f u n c i o n e s d e B o r e l d e c l a s e i.

e s la f a m i l i a d e l a s f u n c i o n e s q u e s o n l i m i t e p u n -

t u a l d e s u c e s i o n e s d e f u n c i o n e s d e ^

L o s t e o r e m a s s o b r e e s t a f a m i l i a se c i t a n i n m e d i a t a m e n t e a n t e s

d e s u u s o e n e l c a p î t u l o IV.

P a r a f i n a l i z a r c o n e s t o s p r e l i m i n a r e s f i j a r e m o s la n o t a c i ô n .

D a d o s u n e s p a c i o m e d i b l e ( , % ) y u n e s p a c i o t o p o l ô g i c o ( X ,T )

d i r e m o s q u e u n a f u n c i ô n e s m e d i b l e B o r e l si p a r a t o d o a b i e r t o A d e

X , f ^ ( A ) p e r t e n e c e a ^ .

U n a f u n c i ô n f: ,Q--- > X es m e d i b l e R a i r e si s u c o m p o s i c i ô n c o n

t o d a f u n c i ô n c o n t i n u a d e X e n R e s m e d i b l e B o r e l .

Si ( X , T ) e s t â d o t a d o d e u n a u n i f o r m î d a d , se d i c e q u e u n a f u n ­

c i ô n d e n a X es m e d i b l e u n i f o r m e m e n t e Ba i r e si la c o m p o s i c i ô n

c o n t o d a f u n c i ô n u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u . a d e X e n R e s m e d i b l e

B o r e l .

L l a m a r e m o s

^ B o r ri ( ^ ^ ) = \ f ^ 3 > X , f e s m e d i b l e B o r e l )

^ B a i r e ^ ^ ^ --- * X ; f e s m e d i b l e P a i r e )•

Py p a i r e ^ H , F ) = ( f : 0 --- » X : f e s m e d i b l e u n i f . Ba ir e

(30)

11 -

s i

f u e r a n e c e s a r i o p o n d r e m o s d e t r â s d e l a X l a t o p o l o g î a , p o r e j e m p l o f i , ( X , T ) ) . Y s i s e s o h r e e n t i e n d e n t a n t o e l e s p a c i

d e m e d i d a c o m o e l t o p o l ô g i c o s e p o n d r a , P a i r e

(31)

12

C A P I T U L O I I i

P R O P I E D A D E S D E L A S F U N C I O N E S M E D I B L E S

Y L A S U - H E D I B L E S

E n e s t e c a p î t u l o v a m o s a r e l a c i c n a r l a s m e d i b i I i d a d e s e n e l s e n -

t i d o d e i m â g e n e s i n v e r s a s y l a s m e d ib il i d a d e s d e a p r o x i m a c i ô n e n espa^

c i o s l o c a l r o e n t e c o n v e x o s . C o m e n z a r e m o s p o r d é f i n i r e s t e s u l t i m e s s e -

g u n l o s t r a b a j o s d e l P r o f e s o r R o d r î g u e z - S a l i n a s e n l o s o u a l e s g e n e r a -

l i z a y a m p 1 îa l a s c l a s p s d e diclias f u n c i o n e s p a r a p o s t e r i o r m e n t e a p l ^

c a r l o s a u n a t e o r î a d e i n t e g r a c i ô n , e l T e o r e m a d e R a d o n N i k o d y m y l a s

m a r t i n g a l e s .

D E F I N I C I O N 0 . - S e a Z u n a 0 - a l g e b r a d e s u b c o n j u n t o s d e u n c o n j u n t o f2

y E u n e s p a c i o v e c t o r i a l t o p o l ô g i c o l o c a l m e n t e c o n v e x o s o b r e e l cuejr

p o K (K = E ô C) . S u p o n d r e m o s q u e l o s e s p a c i o s t o p o l ô g i c o s s o n ^

s i e m p r e s e p a r a d o s .

t

U n a f u n c i ô n f : îî E s e d i c e s i m p l e d e c l a s e 0 , y l o d e n o t ^ |

m o s p o r f 6 S ^ ( E , E ) = S ^ , s i e s u n a f u n c i ô n E - m e d i b l e c o n u n n u m e - i

ro f i n i t o d e v a l o r e s , e s d e c i r , e s !

r = r,

c o n y. d e E y A j d e E p a r a i = l , . . . , n d o n d e e s l a f u n ­

c i ô n c a r a c t e r 1 s t i c n d o A . . 1

U n a f u n c i ô n f : îî ->■ E s e dice, s i m p l e , y lo d e n o t a m o s p o r

f 6 S = S ( E , E ) si e s e l l i m i t e u n i f o r m e d e u n a r e d ( f ^ ^ d e f u n ­

c i o n e s d e S .

(32)

- 13 -

S u p o n g a m o s q u e el e s p a c i o m e d i b l e (52, E) t e n e m o s d e f i n i d a u n a

m e d i d a p o s i t i v a p , y q u e y(5J) <

U n a f u n c i ô n f : Q -»• E se d i c e p - m e d ib 1 e y se e s c r i b e f G M =

= M ( E , y , E ) si p a r a t o d o e > 0, e x i s t e d e E t a l q u e

y (0 \ K ^ ) < € y f e s s i m p l e .

U n a f u n c i ô n f : 57 ->■ E s e d i c e y - m e d ib 1 e si e s el l i m i t e u n i ­

f o r m e d e u n a r e d d e f u n c i o n e s y - m e d i b 1 e s , e s to es , s i p e r t e n e c e a la

c l a u s u r a M = y ( E , y , E ) d e M ( E , y , E ) p a r a la t o p o l o g î a d e l a c o n v e y

g e n c i a u n i f o r m e .

G i l l i a m | 1 1 | d e m u e s t r a q u e si e l e s p a c i o e s m e t r i z a b l e M = M,

y d a u n e j e m p l o d e u n e s p a c i o n o m e t r i z a b l e e n e l c u a l M n o c o i nc i ^

d e c o n M.

E n I 3 1 I se c a r a c t e r i z a n l a s f u n c i o n e s s i m p l e s p o r s u i m a g e n y

p o r u n a c o n d i c i ô n d e m e d i b i l i d a d e n la f o r m a s i g u i e n t e , u n a f u n c i ô n

d e 52 e n E es s i m p l e y s o l a m e n t e si f (52) e s p r e c o m p a c t o y p a r a

t o d a s e m i n o r m a c o n t i n u a p e n E y t o d o x d e E l a f u n c i ô n esca^

la r p ® ( f - x ) e s m e d i b l e , e s t a c o n d i c i ô n u l t i m a e s m â s d é b i l q u e l a

m e d ib i 1 i d a d B o r e l , y n o s i n d i c a q u e f e s m e d i b l e d e la o - â l g e b r a E

a la o - â l g e b r a d e f i n i d a e n E, y q u e e s t a g e n e r ad a p o r l o s e n t o r n o s

c o n v e x o s e n E, | 26 | . E s t e t i p o d e m e d i b i l i d a d s e e s t u d i a e n e s t e ar^

t î c u l o .

V a m o s a c a r a c t e r i z a r d e f o r m a a n â l o g a l a s f u n c i o n e s y - m e d i b l e s

u y - m e d i b l e s , p a r a lo c u a l i n t r o d u c i m o s d o s n u e v a s d«e f i n i c i o n e s re^

f e r e n t e s a l a s f u n c i o n e s .

D e f i n ic i o n 1 : 5>ea f u n a a p l i c a c i ô n d e (52,E , y ) e s p a c i o d e m e d i d a

f i n i t a e n E e . l . c . 8 e d i c e q u e f e s e s c n c i a I m e n t e w - p r e c o m p a c t a

(33)

— 14 —

s i p a r a t o d o e n t o r n o V d e c e r o e n E, e x i s t e u n s u b c o n j u n t o d e ü ,

d e m e d i d a n u 1 a , y u n c o n j u n t o r o n t n b l e M C t a l q u e

f (n N Z ^ ) d M + V

D e f i n i c i ô n 2 : E n l a s c o n d i c i o n e s d e l a d e f i n i c i ô n 1, s e d i c e q u e f

e s e s e n c i a l m e n t e O - p r e c o m p a c t o s i e x i s t e u n s u b c o n j u n t o Z de fi d e

m e d i d a n u la t a l q u e

f (O'- Z) =

U

P

n = 1 "

c o n c P 2 C ••• p r e c o m p a c t o s .

El s i g u i e n t e t e o r e m a e s e s e n c i a l a lo l a r g o d e t o d a l a m e m o r i a

y d â un c r i t e r i o s e n c i l l o y s o b r e t o d o u t i l p a r a s a b e r si u n a f u n c i ô n

e s J j - m e d i b l e .

T e o r e m a 3 : S e a f u n a f u n c i ô n d e (fi,E,u) e s p a c i o d e m e d i d a f i n i t a

y c o m p l é t a a E e . l . c . E n f o n c e s f e s y - m e d i b 1 e si y s o l o s i

3 . 1 . f es e s e n c i a l m e n t e w - p r e c o m p a c t a

3 . 2 . P a r a t o d a s e m i n o r m a c o n t i n u a e n E y p a r a t o d o x d e E

s e t i e n e q u e p ( f - x ) e s m e d i b l e .

D E M O S T R A C I O N :

3 . 1 . S e a f u n a f u n c i ô n y - m e d i b l e , e n f o n c e s e x i s t e u n a r e d d e

f u n c i o n e s y - m e d i b l e s ^ a c A q u e c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a f.

S i t o m a m o s u n e n t o r n o V a b s o l u t a m e n t e c o n v e x o d e 0 e n E,

e x i s t e G A tal q u e si et > Ot^ y p a r a t o d o t G 52,

f ( t ) - f ^ ( t ) G ^ V. (1)

F i j e m o s a 2 “ o ’ P ° t s e r f ( t ) P - m e d i b l e e x i s t e u n a s u c e s i ô n

(34)

- 15

d e c o n j u n t o s d i s j u n t o s ( ^ , | 31 | , y m e d i b l e s t a i e s q u e

y (f2 \ y K ) = 0, q u e c u m p l e

‘'1 "a "''K ' ‘a "7,

d o n d e Z = Î 2

U

K , y f y e s u n a f u n c i ô n s i m p l e , y p o r t a n t o

n n

f ^ ( K ^ ) es p r e c o m p a c t o , e n t o n c e s e x i s t e un c o n j u n t o f i n i t o t a l

q u e

* " n ' 2

Si t p e r t e n e c e a 52n Z

f + i V.

V

' . ' " n " : :

u + | v>

- ( U r j + | v .

el c o n j u n t o M = U F e s c o n t a h l e y p o r (1)

n n

f(f2'^ z)<C

f Z)

+ | v c :

M

+ 1

V

+ | v

= M + V.

3 . 2 . D a d a u n a s e m i n o r m a c o n t i n u a p en E, y u n e l e m e n t o x

d e E, l a r e d f ^ - x c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a f - x , c o m o t o d a semi^

n o r m a c o n t i n u a e n E e s u n i f o r m e m e n t e c o n t i n u a t e n e m o s q u e p ( f ^ - x )

c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e a p ( f - x ) , e n t o n c e s p ( f - x ) e s m e d i b l e .

<= I

S e a

f

u n a f u n c i ô n d e 52

en

E c u m p l i e n d o 3 . 1

y

3 . 2 . S e a V u n e n t o r n o d e 0 a b s o l u t a m e n t e c o n v e x o y c e r r a d o ,

p su f u n c i o n n l d e M i n k o w s k i , e n t o n c e s e x i s t e un c o n j u n t o Z d e m e ­

d i d a n u l a y u n c o n j u n t o c o n t a b le M = ( x ^ )* ^ _ ^ tal q u e

F (52 Z ) C: M + V .

E x i s t e u n a p a r t i c i ô n ( û ^ ) ^ _ j d e S2'> Z e n Z t a l q u e

f ( t ) - X ^ 6 V p a r a t o d o t d e

y la f u n c i ô n

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