8.-
8.- R
R e
egg rre
ess ión y C
ión y Corr
orre
ella
aci
ción
ón L
Liine
nea
al
l S
S imp
implle
e
–
–
E
E je
jercic
rcicios
ios R
R e
ess ue
uelltto
oss
–
–
Estimación de Estimación de los parámetros los parámetros de Modelo de Modelo de de RegresiónRegresión
Prueba de Prueba de Hipótesis Hipótesis e Ie Intervalos de ntervalos de ConfianzaConfianza
Coeficiente Coeficiente de de Determinación Determinación (R(R22))
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Deformación (en mm) 6 9 10 11 13 15 18 22 26 28 33 35
Dureza Brinell (en kg/mm2) 68 67 66 53 52 50 48 44 40 37 34 32
Suponiendo validos los supuestos necesarios:
1.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, la cual relaciona la dureza Brinell con la deformación del acero, en el contexto del problema y estime la dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 mm. Justifique su respuesta
1.2) Estime con 90% de confianza, la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm.
1.1) Solución: Sean:
=
“Deformación, en mm”;=
“Dureza Brinell, en kg/mm2 ”̂=
+
=72,407;
=1,229 → ̂=72,4071,229
Respuesta: Pendiente (
=1,229
): Cuando la deformación del acero aumenta en un milímetro la dureza Brinell disminuye en 1,229 kg/mm2 .̂=15,5=72,4071,229∙15,5=53,3575
Respuesta: La dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 m, corresponde a 53,3575 kg/mm2 .
1.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+1+ ̅
∑
̅
Con:=26; 1=0,90; =12;
=9,8057;
=12,6644; ̅=18,8333
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 121
12212,6644
1,229
9,8057
=4,0830
̅
=2618,8333
=51,3616 ;
̅
=1
=11∙ 9,8057
=1057,6693
,
=72,4071,229∙26 ±
;,
∙4,0830 1+ 112+ 51,3616
1057,6693
;,
=1,8125; →
,
=[32,6012;48,2742]
Respuesta: El intervalo
[32,6012;48,2742]
contiene la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza.08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
2.- Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas de plástico, utilizadas en cierta maquinaria. Se registra la resistencia (Y) a la fractura, en Newton (N) y la concentración (X) de un componente H, expresada en porcentaje, utilizada en la fabricación de las piezas de plásticos, obteniendo la siguiente información:
Pieza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X (% H) 2,0 2,7 3,6 4,5 5,0 5,7 6,2 6,5 7,0 7,5
Y (Resistencia) 3,04 3,05 3,12 3,57 7,82 8,68 9,71 10,20 11,32 12,3
Suponiendo que existe asociación lineal entre X e Y:
2.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, ajustado mediante el criterio de los mínimos cuadrados, que relaciona la resistencia con la concentración del componente H, en el contexto del problema y estime la resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%. Justifique su respuesta 2.2) Estime, con 95% de confianza, la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen
5,7% de concentración del componente H
2.1) Solución: Sea:
=
“Concentración de un componente H, en porcentaje”=
“Resistencia a la fractura, en Newton”̂=
+
=2,4110;
=1,9116 → ̂=2,4110+1,9116
Respuesta: Pendiente (
=1,9116
): Cuando la concentración del componente H aumenta en un 1%, la resistencia a la fractura de la pieza de plástico aumenta en 1,9116 Newton̂=7,2=2,4110+1,9116∙7,2=11,3525
Respuesta: La resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%, corresponde a 11,3525 Newton.
2.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
.
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+ ̅
∑
̅
Con:=5,7; 1=0,95; =10;
=1,8524;
=3,7289; ̅=5,07
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 101
1023,7289
1,9116
∙1,8524
=1,2395
̅
=5,75,07
=0,3969 ;
̅
=1
=9∙1,8524
=30,8825
(
.
)
,
=2,4110+1,9116∙5,7±
−; −
∙1,2395 110+ 0,3969
30,8825
;,
=2,3060; → (
.
)
,
=[7,5249;9,4453]
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
Respuesta: El intervalo
[7,5249;9,4453]
contiene la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen un 5,7% de concentración del componente H con una confianza del 95%.3. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro medido en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 6.
CONCENTRACIÓN (X) 4 5 6 7 8 9
LECTURA (Y) 80 170 260 330 390 430
Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables
3.1) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento. 3.2) Con = 0.10 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es
mayor que 67?
3.1) Solución: Sea:
=
“Concentración, en porcentaje”;=
“Lectura en el colorímetro, en lux”̂=
+
=183,9048;
=70,8571 → ̂=183,9048+70,8571
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+1+ ̅
∑
̅
Con:=5,5; 1=0,95; =6;
=1,8708;
=133,8158; ̅=6,5
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 61
62133,8158
70,8571
1,8708
=20,4529
̅
=5,56,5
=1 ;
̅
=1
=5∙ 1,8708
=17,4995
,
=183,9048+70,8571∙5,5 ±
;,
∙20,4529 1+16+ 117,4995
;,
=2,7764; →
,
=[142,9898;268,6287]
Respuesta: El intervalo
[142,9898;268,6287]
contiene la lectura en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%.3.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:
=67
:
>67
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
Entonces, el estadístico de prueba es:
=
67
=
∑
67
.
−̅
= 70,857167
√ ,
,
=0,7889
La Región Crítica (Con
=0,10
):={ | >
−; −
} → ={ | >
; ,
} → = | >1,3722
Respuesta: Como
∈
, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67 con un 10% de significación.4. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero
En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios:
4.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono.
4.2) ¿Es posible concluir con 5% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción?
4.3) Encontrar el porcentaje de variación la resistencia a la tracción de las barras de acero que no es explicada por el contenido de carbono.
4.1) Solución: Sean:
=
“Contenido de carbono, en porcentaje”;=
“Resistencia a la tracción, en kg/cm2 ”̂=
+
=29,85;
=6,35 → ̂=29,85+6,35
4.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
: =0
: ≠0
Con:=12; =0,9071
Entonces, el estadístico de prueba es:=√ 2
√1
→ =0,9071√ 122
10,9071
=6,8149
La Región Crítica (Con
=0,05
):= | <
−; −
ó >
−; −
→ ={ | <
; ,
ó >
; ,
}
= | <2,2281 ó >2,2281
Respuesta: Como
∈
, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Carbono (%) 2,0 2,4 2,2 2,3 2,5 2,8 2,2 2,7 2,4 2,3 2,0 2,2
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
4.3) Solución:
1
=10,9071
=0,1772
Respuesta: El 17,72% de variabilidad de la resistencia a la tracción está explicada por otros factores.
5. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Deformación (en mm) 6 9 10 12 14 15 18 22 26 28 33 35
Dureza Brinell (en kg/mm2) 70 68 66 55 52 50 48 44 40 37 35 30
Suponiendo validos los supuestos necesarios
5.1) Interprete el coeficiente de determinación en el contexto del problema. Justifique
5.2) Estime con 95% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm.
5.3) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 2,5% de nivel de significación?
5.1) Solución: Sean:
=
“Deformación, en mm”;=
“Dureza Brinell, en kg/mm2 ”̂=
+
=74,6589;
=1,3198 → ̂=74,65891,3198
=0,9624
=0,9624
=0,9262
Respuesta: El 92,62% de la variación de la dureza Brinell del acero está determinada por la deformación.
5.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
.
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+ ̅
∑
̅
Con:=33; 1=0,95; =12;
=9,6859;
=13,2833; ̅=19
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 121
12213,2833
1,3198
9,6859
=3,7858
̅
=3319
=196 ;
̅
=1
=11∙ 9,6859
=1031,9832
(
.
)
,
=74,65891,3198∙33 ±
;,
∙3,7858 112+ 196
1031,9832
;,
=2,2281; → (
.
)
,
=[26,6961;35,5149]
Respuesta: El intervalo
[26,6961;35,5149]
contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza.08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
5.3) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
: ≥0
: <0
:=0,9624; =12
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
=√ 2
√1
→ =0,9624√ 122
10,9624
=11,2039
La Región Crítica
=0,025
:={ |<
−; −
} → ={ | <
; ,
} → = | <2,2281
Respuesta: Como
∈
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con=0,025
.6. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 8.
CONCENTRACI N (X) 4 5 5 6 7 7 8 9
LECTURA (Y) 80 170 200 260 330 334 390 430
Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables
6.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete el pendiente.
6.2) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6.5 por ciento. 6.3) Esboce un gráfico adecuado que muestre la ecuación de regresión estimada
6.1) Solución: Sean:
=
“Concentración, en porcentaje”;=
“Lectura en el colorímetro, en lux ”̂=
+
=168,7925;
=69,4969 → ̂=168,7925+69,4969
Respuesta: Pendiente (
=69,4969
): Cuando la concentración de la sustancia aumenta en un 1%, la lectura en el colorímetro aumenta en 69,4969 lux6.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+1+ ̅
∑
̅
Con:=6,5; 1=0,95; =8;
=1,6850;
=118,7142; ̅=6,375
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 81
82118,7142
69,4969
1,6850
=21,0588
̅
=6,56,375
=0,0156 ;
̅
=1
=7∙ 1,6850
=19,8746
,
=168,7925+69,4969∙6,5 ±
;,
∙21,0588 1+18+ 0,0156
19,8746
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
;,
=2,4469; →
,
=[228,2638;337,6109]
Respuesta: El intervalo
[228,2638;337,6109]
contiene la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 6,5%, con una confianza del 95%.6.3) Solución:
7. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de hormigón es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 12 mezclas, obteniéndose la siguiente información.
Mezcla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Días de fragüe 1 2 3 7 2 3 7 7 3 2 1 10
Resistencia (kg/cm2) 13 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5 13 42,6
Suponiendo validos los supuestos necesarios
7.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación?
7.2) Si usted quiere probar que el coeficiente de correlación lineal entre las variables en estudio difiere de 0.975, con = 0.01. Determine, evalúe y grafique la región de rechazo de la hipótesis nula
7.1) Solución: Sean:
=
“Número de días de fragüe”;=
“Resistencia de una mezcla de hormigón, en kg/cm2 ”Debemos contrastar las siguientes hipótesis, para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
: ≤0
: >0
:=0,9027; =12
-300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 0 2 4 6 8 10 L e c t u r a d e l c o l o r i m e t r o ( l u x ) Concentración (%)Lectura v/s Concentración
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
=√ 2
√1
→ =0,9027√ 122
10,9027
=6,6344
La Región Crítica
=0,05
:={ | >
−; −
} → ={ | >
; ,
} → = | >1,8125
Respuesta: Como
∈
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con=0,05
.7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
: =0,95
: ≠0,95
La Región Crítica (Con
=0,01
):= | <
−; −
ó >
−; −
→ ={ | <
; ,
ó >
; ,
}
= | <3,1693 ó >3,1693
8. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información.
Mezcla 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Días de fragüe 1 2 3 7 2 3 7 7 3 2
Resistencia (kg/cm2) 20 21,9 29,8 32,4 24,5 24,2 30,4 34,5 26,2 24,5
Suponiendo validos los supuestos necesarios
8.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete el intercepto
8.2) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación?
8.3) Con = 0.05 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es igual a 1,78?
8.1) Solución: Sean:
=
“Número de días de fragüe”;=
“Resistencia, en kg/cm2 ”̂=
+
=20,1623;
=1,8048 → ̂=20,1623+1,8048
Respuesta: Intercepto (
=20,1623
): Cuando la los días de fragüe es igual a cero, la resistencia de la mezcla de cemento es iguala 20,1623 kg/cm28.2) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
: ≥0
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
=√ 2
√1
→ =0,9021√ 102
10,9021
=5,9128
La Región Crítica
=0,05
:={ |<
−; −
} → ={ | <
; ,
} → = | <1,8595
Respuesta: Como
∈
, en conclusión no hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, no existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con=0,05
.8.3) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:
=1,78
:
≠1,78
Con:
=10;
.
=2,1609;∑
̅
=50,1009
Entonces, el estadístico de prueba es:=
1,78
=
∑
1,78
.
−̅
= 1,8048 1,78
√ ,
,
=0,0812
La Región Crítica (Con
=0,05
):= | <
−; −
ó >
−; −
→ ={ | <
; ,
ó >
; ,
}
→ = | <2,3060 ó >2,3060
Respuesta: Como
∈
, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es igual a 1,78, con un 5% de significación.9.- Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero
Barra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carbono (%) 2,4 2,2 2,3 2,5 2,8 2,2 2,7 2,4 2,3 2,0
Resistencia (kg/cm2) 46 45 44 45 48 43 47 44 45 42
En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios:
9.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono.
9.2) ¿Es posible concluir con 10% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción?
9.3) Interprete el coeficiente de determinación en el contexto del problema. Justifique
9.1) Solución: Sean:
=
“Contenido de carbono, en porcentaje”;=
“Resistencia a la tracción, en kg/cm2 ”08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
9.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
: =0
: ≠0
Con:=10; =0,9012
Entonces, el estadístico de prueba es:
=√ 2
√1
→ =0,9012√ 102
10,9012
=5,88
La Región Crítica (Con
=0,10
):= | <
−; −
ó >
−; −
→ ={ | <
; ,
ó >
; ,
}
= | <1,8595 ó >1,8595
Respuesta: Como
∈
, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción. 9.3) Solución:=0,9012
=0,9012
=0,8122
Respuesta: El 81,22% de la variación de la resistencia a la tracción está determinada por el contenido de carbono de la muestra
10.- El concreto experimenta un marcado incremento característico en la “plasto
deformación”, cuando se calienta por primera vez bajo carga. Se efectuó un experimento en 12
especímenes de concreto, con el fin de investigar el comportamiento ante esfuerzos térmicos transitorios, en el cual se midió la rapidez del calentamiento, en grados Celsius por minuto y el nivel de carga, en porcentaje. La información obtenida es:
Rapidez 0.10 0.12 0.14 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.48 0.50
Nivel de carga 0.05 0.01 0.08 0.08 0.10 0.19 0.18 0.23 0.25 0.33 0.35 0.41
Suponiendo válidos los supuestos necesarios:
10.1) Estime, con un 95% de confianza, el nivel de carga promedio que soportan los especímenes de concreto cuando la rapidez del calentamiento es de 0.18 grados Celsius por minuto
10.2) Con = 0.05 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 0.8?
10.3) ¿Qué porcentaje de la variación del nivel de carga está determinado por la rapidez del calentamiento? Justifique
10.4) Interprete la pendiente, en el contexto del problema y esboce un gráfico adecuado que muestre la ecuación de regresión estimada
10.1) Solución: Sea:
=
“Rapidez de calentamiento, en grados Celsius por minuto”=
“Nivel de carga, en porcentaje”08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
.
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+ ̅
∑
̅
Con:=0,18; 1=0,95; =12;
=0,1472;
=0,1290; ̅=0,2867
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 121
1220,1290
0,8605
∙0,1472
=0,0256
̅
=0,180,2867
=0,0114 ;
̅
=1
=11∙ 0,1472
=0,2383
(
.
)
,
=0,0583+0,8605∙0,18±
−; −
∙0,0256 112+0,0114
0,2383
;,
=2,2281; → (
.
)
,
=[0,0759;0,1172]
Respuesta: El intervalo
[0,0759;0,1172]
contiene el nivel de carga promedio que soportan los especímenes de concreto cuando la rapidez del calentamiento es de 0.18 grados Celsius por minutos, con una confianza del 95%.10.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:
=0,8
:
>0,8
Con:
=12;
.
=0,0256;∑
̅
=0,2383
Entonces, el estadístico de prueba es:=
0,8
=
∑
0,8
.
−̅
= 0,86050,8
√ ,
,
=1,1537
La Región Crítica (Con
=0,05
):={ | >
−; −
} → ={ | >
; ,
} → = | >1,8125
Respuesta: Como
∈
, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 0,8 con un 5% de significación.10.3) Solución:
=0,9815
=0,9633
Respuesta: El porcentaje de la variación del nivel de carga que está determinado por la rapidez del calentamiento es 96,33%
10.4)Respuesta: La pendiente corresponde a 0,8605, esto significa que por cada grado Celsius que aumenta la rapidez de calentamiento, el nivel de carga aumente en un 0,8605%
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
11.- Los datos de la producción de trigo en toneladas (X) y el precio del kilo de harina en pesetas (Y) en la década de los 80 en España fueron registrados por medio de sumatorias, las cuales se muestran a continuación:
∑
=
∑= ∑
∑= ∑=
=
=
11.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 10% de nivel de significación?
11.2) Estime con un 90% de confianza el precio medio de la harina, cuando la producción de trigo es de 18 toneladas
11.3) Encontrar el porcentaje de variación del precio del kilo de harina que no es explicada por las toneladas producidas por esta
11.1) Solución: Sean:
=
“ Producción de trigo, en toneladas ”;=
“ Precio del kilo de harina, en pesetas ”Lo primero es determinar el coeficiente de correlación, el cual se encuentra dado por la siguiente fórmula:
=
[∑
∑
∑∑∑
][∑
∑
]=
[10∙8468286
10∙9734286∙354
][10∙13268354
]=0,847
Luego, las hipótesis que nos interesan contrastar son:
: ≤0
: >0
Con:=10; =0,847
-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 -0,05 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 N i v e l d e c a r g a ( % )Rapidez de calentamiento (°C/min)
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
Entonces, el estadístico de prueba es:
=√ 2
√1
→ = 0,847√ 102
10,847
=4,507
La Región Crítica (Con
=0,10
):={ |>
−; −
} → ={ | >
; ,
} → = | >1,8595
Respuesta: Como
∈
, por lo que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, no existe asociación lineal directa entre las variables en estudio.11.2) Solución: Es necesario determinar los coeficientes de la regresión a partir de las siguientes fórmulas:
0
=354∙8468286∙9734
10∙8468
286
2
=74,1151 ;
1
=10∙9734286∙354
10∙8468
286
2
=1,3537
Por lo tanto, la regresión queda dada por:
̂=
+
=74,1151;
1
=1,3537 → ̂=74,11511,3537
En seguida se calculan las desviaciones estándar y promedios de las muestras:
• ̅= ∑=28610=28,6 ; •=∑=35410=35,4
•
=∑
1 =846810∙28,6
∙̅
9
=32,04
•
=∑
1 =1326810∙35,4
∙
9
=81,8222
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
.
−
=
+
±
−; −
∙
.
1+ ̅
∑
̅
Con:=18; 1=0,90; =10;
=32,04;
=81,8222; ̅=28,6
Reemplazando, obtenemos:
.
= 1
2(
)= 101
10281,82221,3537
∙32,04=5,0987
̅
=1828,6
=112,36 ;
̅
=1
=9∙32,04=288,36
.
,
=74,11511,3537∙18±
; ,
∙5,0987 110+112,36
288,36
;,
=1,8595; → (
.
)
,
=[43,1141;56,3829]
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos
AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
Respuesta: El intervalo
[43,1141;56,3829]
contiene el precio medio de la harina cuando la producción de trigo es de 18 toneladas, con una confianza del 90%11.3) Solución:
