LA TEORÍA LINEAL (*) (1)

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LA TEORÍA LINEAL (*) (1)

En este estudio trataré del grupo de técnicas: Programación Lineal.

Análisis de Actividad, 'Input-Output' y Teoría de los Juegos (2), que nos han llegado durante los últimos quince años, especialmente desde America. Basta un somero examen de estos temas para comprender que están íntimamente relacionados entre sí. Un análisis más detenido de- muestra que se les puede situar en torno a un núcleo fácilmente re- conocible, que puede ser considerado como una nueva formulación de una parte central de la teoría económica convencional. En este trabajo me propongo aislar ese núcleo, y considerar qué hay en él que deba aprender el economista que no tiene la intención de convertirse en un práctico de las técnicas indicadas (3).

(*) Artículo publicado en "Tlie Economic Journal", diciembre 1960, núme- ro 280, vol. LXX. La traducción del original inglés ha sido realizada ipor Luis Ángel Rojo.

(1) Este es el segundo artículo de una serie especial, que fue arranciada en el número del mes de junio, destinada a presentar un resumen de los recientes •desarrollos en la teoría económica, tajos los auspicios de la fundación Rockefeller.

(2) Tengo mucho menos que decir sdbre la Teoría de los Juegos que sobre las otras.

(3) Mi (propósito es, por lo tanto, completamente distinto del de los numerosos libros de texto <rue tratan de enseñar las técnicas a Jos que van a aplicarla». Sin emibargo, no está lejos <le eso lo que se podría haber esperado de los autores d".

Linear Progrnmmíng and Economic Analysis (DORFMAN, SAMLELSON y SÓLÓW) ; es completamente cierto que, sin su trabajo, este artículo no se hubiera escrito. Mi crítica principal de su obra es que ellos no diferenciaron suficientemente su trabajo dol de los libros de texto. De acuerdo con ellos, me propongo emj>ezar de una forma completamente diferente a la que ellos usaron, aunque en fases poste, riores de mi trabajo me apoyaré en ellos mucho. (Asi que sería una gran molestia no tener un solo título para esos autores; y me atreveré a bautizardes, cuando lo necesite, como Dosso, anagrama de los tres apellidos.)

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Siendo esta mi finalidad, evidentemente será adecuado exponer lo qxie tengo que decir en una forma en que las matemáticas aparezcan lo menos posible; pero es inútil ocultar al lector que estamos tratando de un tema matemático. El fenómeno que hemos de examinar es la aplicación a la economía de un nuevo tipo de matemáticas. La diferencia más obvia entre esta nueva economía matemática y la antigua I que se remonta a Cournot), reside en el tipo de matemáticas que se están utilizando.

Durante todo el período 'neo-clásico' —en la era de Marshall, Pa- reto, Wicksell, e incluso en la de Pigou y Keynes— el principal instru- mento matemático del economista era el cálculo diferencial, expresado en forma de símbolos (cuando era necesario), reducido (cuando era posible) a la forma de curvas. Esto era, desde luego, .perfectamente natural; la mayor parte de los problemas económicos eran problemas de máximos y mínimos, y el cálculo diferencial (desde los días de Newton y Leibniz) ha sido el método corriente para abordar tales problemas.

Sin embargo, hace mucho tiempo que era sabido que hay algunos problemas bastante eleniontáles de máximos (por ejemplo, los relacionado»

con los perímetros de los triángulos) para los que el método de cálculo no resulta adecuado; no obstante, pueden no causar trastornos si se manejan sobre una base ad hoc, generalmente en términos euolidianos.

El desarrollo de métodos sistemáticos para el estudio de tales casos ha .sido un tema al que, en nuestro tiempo, se ha dedicado una enorme ca- pacidad matemática. Y los nuevos métodos, una vez hallados, han resultado, con frecuencia, ser más satisfactorios que los antiguos, incluso en campos donde es posible la aplicación de ambos (4). La teoría li-

Hay <jue citar también el excelente estudio de W. J. BAUMOL ("Activity Analysií in one Lesson", American Econcmic Review, diciembre 1958). Su prepósito ha es- tado más cerca del mío, (pero yo creo que él sería el primero en admitir que hay sitio para los dos.

Los libros <le texto de donde he obtenido mayor beneficio son los de S. VAJDA [Theory oj Games and Linear Programming) y S. I. CASS {Linear Programming).

Ambos son muy matemáticos; pero me han ayudado a percibir la estructura de la teoría (de lo que me ocuparé muoho) más claramente que lo que pude en otro;

sitios.

• (4) De esta manera, HARDY¿ LITTIEWOOD y POIIYA dlnequalities, pág. 108) dicen escribiendo (en 1934) de un tema distinto, pero relacionado con aquél: "El método (del cálculo) es atractivo teóricamente y siempre abre una primera línea de ataque sobre el problema; pero puede conducir a serias complicaciones de detalle (generalmente relacionadas con los valores límites de las variables) y se verá que,

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neal, que vamos a examinar, deriva mucho de su carácter del hecho de ser una aplicación de algunos de estos novísimos métodos a la econo-

mía (5).

Todo esto hay que decirlo, incluso al principio; aunque es inevita- ble que, al decirlo, se despierte la sospecha de que se está usando la economía como una simple oportunidad para el ejercicio matemático, bastante valioso para los matemáticos que se entretienen en este campo de ejercicios, pero con una productividad marginal (en términos de las cosas en que están interesados los economistas) que es, después de todo, infinitesimal. No niego que haya algo de esto. Es fácil encontrar pie- zas del "análisis de actividad" que no hacen sino reformular un punto perfectamente obvio en términos esotéricos. Sin embargo, después de proceder a descontar todo eso quedan cosas importantes. Evidentemen- te estas técnicas asociadas han contribuido a la solución de ciertos tipos de problemas empresariales (y de otros problemas económicos prácti- cos) ; pero estos problemas, aunque su importancia es indudable, no constituirán el objeto principal de nuestro interés en lo que sigue. Las contribuciones que han hecho los métodos nuevos a la teoría económi- ca, parecen, a primera vista, mucho menos importantes. No se puede decir, para la mayor parte de ellas, sino que son mejoras en las formu- laciones que podemos hacer ahora de puntos familiares: cosas que sa- bíamos (más o menos), pero que ahora uno puede darse cuenta de que las estaba exponiendo bastante mal. Consideraremos tales cuestiones con algún detalle. Sin embargo, yo diría que estas nuevas técnicas son dig- nas de consideración porque llevan consigo un mayor entendimiento de algo que es bastante central: nada menos que la relación entre fine9 y medios, que tanto interesa a la economía. Algo de esto resultará patente, al menos así lo espero, antes de que termine este trabajo.

aunque sugestivo, raramente conduce a la solución más sencilla." Como veremoi, lo mismo ocurre aquí.

(5) Puesto que mi educación matemática terminó en 1923, no pretendo encon- trarme cómodo entre estos nuevos métodos. Sin embargo, ipuedo sentir bastante confianza sobre el uso que he hecho -de ellos por los consejos que he recibido de un cierto número de expertos. Mi mayor deuda corresponde al Dr. H. W. Kuhn (de Princeton), que eslaba pasando el año 1958-59 «n Londres y que fue tan amable como para examinar un primer borrador con mucho detalle. Después, en California y en el Japón tuve el beneficio de consultas con Michio Morishima, «on Kenneth Arrow y con George Dantzig. A cada uno de éstos (y tamfoién al subdirector de esta pu- blicación, quien me llamó la atención sobre un punto que no era fácil deducir de la literatura) les doy las gracias.

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ORÍGENES

Conviene empezar la historia por un sencillo problema pedagógico.

Cualquiera que haya tratado de exponer en una oíase la teoría del equilibrio general de Walras (con coeficientes fijos de producción), ha- brá pasado por algo parecido a la siguiente experiencia. Comienza uno por el caso más sencillo posible: dos bienes y dos factores. Midiendo Ia9 cantidades de los do9 bienes a lo largo de los dos ejes, uno obtiene un gráfico como el que aparece en la figura 1. Las cantidades de I03 dos

A'

B

A

Fie. 1

B1

X'

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bienes que se pueden producir con una oferta dada del factor A, vienen representados por la línea recta AA'; las cantidades de los dos bienes que se pueden producir con una oferta dada del factor B se representan por la línea BB'; por lo tanto, solamente el conjunto de cantidades re- presentado por P, punto de intersección, puede ser producido en tanto se suponga (como suponía Walras) que ambos factores se mantienen em- pleados plenamente. Las cantidades de productos y las de factores em- pleadas en la producción de cada uno, parecen, por lo tanto, estar determinadas antes de que se haya dicho algo sobre precios o sobre demandas. El sistema del equilibrio general, que se supone que muestra la forma en que la producción se ajusta a la demanda a través del mecanismo de los precios, tiene un grave defecto cuando es contemplado como un medio de enseñar economía: que en el ejemplo más sencillo, en el ejemplo que es más natural tornar como ilustración, no funciona.

Ahora bien: es cierto, desde luego, que tan pronto como introduz- camos otro producto (o, más generalmente, mientras mantengamos mayor número de productos que de factores) desaparecerá la dificultad o, por lo menos, se hará menos aguda. Las cantidades de loa productos dejarán de estar determinadas tecnológicamente, de manera que podrá empezar a funcionar el mecanismo de los precios. Para muchos seguidores de Walras (6) eso era bastante. El caso de coeficientes fijos, con ofertas fijas de factores, ha sido para ellos nada más que un jalón en el camino hacia algo más general; por lo tanto, no han parecido ser muy interesantes las rigideces que surgen en el caso elemental. Sin embargo, hay que admitir que es un defecto que una teoría no aclare sus propios casos elementales. La simple consideración del caso elemental es suficiente para mostrar que la teoría de Walras no puede 6er completamente correcta.

Parece que no se prestó mucha atención a esa debilidad en los días de Walras y de Pareto (7). Lo que la sacó a la superficie fue la simpli- ficación de Cassel del sistema de Lausana (8); en la versión de Cassel se hizo patente. Como es bien sabido, hubo una etapa (en la década de 1920-30) en que el tratado de Cassel estaba desplazando a los de las es- cuelas "histórica" y "austríaca" en las Universidades de Europa Cen- tral; durante una lucha tal, sus debilidades se observarían cuidadosa-

(6) Incluyendo al autor, cuando escribió Valué and Capiltíl (1930).

(7) Hay que hacer notar que el madeQo básico de coeficiente» fijos °de Walras no suponía ofertas fijas de factores.

(8) Theory of Social Economy, part. II.

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mente. No es sorprendente que esa dificultad particular fuera adverti- da (9) i y también se comprende que la forma en que la dificultad ha- bía de ser afrontada fuera entendida por parte de algunos de los que llegaron a Cassel con unos antecedentes austríacos (10).

Pero hay una memorable sección en el Grundsatze de Menger (11), donde hace la distinción entre bienes "económicos" y "no económicos"

siendo estos últimos, según su terminología, los bienes que no tienen valor, porque la cantidad que se desea de ellos, cuando no se les asig- na ningún valor, es inferior a la cantidad disponible. Hay una tenden- cia general (mantenía Menger) a que se ensanche la gama de los biene?

''económicos" en el transcurso del desarrollo; los minerales, por ejemplo, que no tienen ningún valor en una etapa temprana del desarrollo, s»e hacen valiosos cuando se acumula más capital. De acuerdo con esto, para un seguidor de Menger, la determinación del equilibrio económi- co no implicaría simplemente la determinación de los precios de los bienes que tienen precio (como en Walras) ; también debería abarcar ]a determinación de qué bienes han de tener precio y cuáles van a ser libres. La debilidad de la construcción Walras-Cassel radica en el supuesto implícito de que se utiliza la cantidad total de cada factor disponible; una vez que se abandona este supuesto, los defectos de la cons- trucción (incluso en el caso de dos bienes, dos factores) desaparecen.

Inmediatamente se ve, si abandonamos el supuesto de que ambos factores tienen que ser utilizados plenamente, que las combinaciones posibles de bienes que se pueden producir con los recursos disponibles no están limitadas (en la fig. 1) al punto P; comprenden todas aque- llas combinaciones que están representadas por la totalidad de la su- perficie OAPB. Ni es P la única combinación eficiente; porque, si no se descara el producto X2, OA sería la cantidad máxima de Xx que se po- dría producir; habría un sentido en que la producción podría hacerse máxima a lo largo de la línea quebrada APB. La única peculiaridad de P es que es el único punto en que ambos factores son escasos. Si no suponemos eso, la totalidad de APB se convierte en una frontera. Se- gún varía la demanda, el punto de equilibrio puede desplazarse desde

(9) Véase Ja discusión de W. L. Valk (Principies oj Wages) (1928), en "Wagí Grumibles", de D. H. ROBERTSON (Economic Fragments, pág. 52).

(10) Artículos de NEISSER (Weltwirlschaftsliches Archiv, 1932), STACKELBERC (Zei- l.tchrift fiir Natiorudokonomie, 1933), y ZEUTHEN (también en Zeilschrifl für ¡S'atio- nnlokonomie, 1933), se citan ampliamente.

(11) iCapítalo 2.

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un extremo de esa frontera al otro. Durante todo este proceso está fun- cionando el mecanismo de los precios.

Es fácil para la "intuición" del economista "literario" llegar basta ahí; pero, si no hubiera sido por los matemáticos, habría habido pocos progresos más allá de ese punto. El hecho de que se estuvieran prepa- íando métodos matemáticos capaces de tratar el equilibrio de un siste- tema que1 está restringido por desigualdades, fue lo que hizo posible avanzar más. Los acontecimientos siguientes a registrar son, por lo tanto, la aparición de dos trabajos matemáticos, que no 'trataré de examinar con detalle, pero que hay que .mencionar, puesto que de ello3 arrancó todo lo demás. Más adelante procuraré describir la sustancia de sus contribuciones en términos diferentes.

El primero de esos trabajos, por orden de publicación, fue la "prueba" de Abraham Wald de la existencia de un equilibrio del sistema Walras-Cassel ampliado (como se acaba de explicar) de manera que se admitiera la posibilidad tanto de factores libres como escasos. Esta no íué, en realidad, una prueba satisfactoria, puesto que suponía que las demandas de los productos no caerían hasta cero por amuoho que subie- ran los precios —hipótesis que difícilmente puede aceptarse. Sin embargo, demostró que el sistema "ampliado" es capaz de manipulación matemática; por ello, puede decirse que1 marca la primera etapa en el proceso por el cual los "austríacos" consiguieron su revancha matemática sobre los seguidores de Walras (12).

Mucho más importante, ,por lo que siguió, fue el famoso trabajo de Jahn von Neumann: A Model of General Economic Equüibrium (para darle el título por el que es conocido entre los lectores ingleses) (13V.

(12) El trabajo de Wald se presentó (con una introducción: <lc Karl Sclilesinger) ante un seminario en Viena, que estuvo ¡presidido por Karl Menger (matemático, hijo del economista Menger) en el mes de marzo de 1934. Se ¡publicó en Ergebnisse eines Mathenuitischen Kolloquiums, Heft 6, 1935. Hay otro trabajo en el número siguiente de la miíma publicación y un artículo (que entre otras -cosas, resume d<« resultados de esos trabajos matemáticos) en Zeitschrift für Nationalókonomie, 1936. El artículo del Zeitschrift fue traducido al inglés {Econométrica, 1951).

Las razones que llevaron a Wald para hacer su curioso supuesto sobre las fun- ciones de demanda han sido exploradas por el Dr. KUHN ("On a Theorem of Wald'', aparecido en Linear lnequalities and Rélated Systems, Aujials of Madiemaínics Stu- dies 38, Princeton, 1956). Volveré a esta cuestión más adelante.

(13) Hay una difícil cuestión de prioridad. El trabajo de von NEUMAN también se publica en el Ergebnisse, de MENCER <Heft 8 de 1935-36, publicado en 1937. (La traducción inglesa está en la Review of Economic Studies, núm. 33-, 1945-46.) Sin

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El ¡ogro extraordinario de este trabajo es que ha tenido una profunda influencia sobre el desarrollo del pensamiento económico en varias di»

recciones diferentes. Como modelo dinámico de una economía en expan- sión, ha sido el padre de muohos modelos de desarrollo; pero también tiene algunos aspectos más estáticos (que sólo nos interesan en este lu- zar) (14); tal como han resultado las cosas hasta ahora, la influencia de éstos ha sido, por lo menos, igualmente importante. El modelo diná- mico se construye como una secuencia de eslabones de "un solo pe- ríodo"; cada uno de esos eslabones, puesto que no hay oportunidad de ajustes en el tie'mpo dentro de él, se cpuede considerar como un sistema estático (o atemporal). La forma en que von Neumann estudia este sistema estático es sustancialmente la que hemos estado denominando el

"Walras-Cassel ampliado; pero, en sus manos, éste está ya pasando al análisis de actividad. No se contenta con admitir la 'posibilidad de que los inputs disponibles puedan no ser utilizados y de que no se produz- can los outputs factibles; admite la posibilidad de productos conjuntos y de que no se empleen los procesos disponibles. Además, se incluye en la construcción de von Neumann una primera formulación de lo que ha llegado a conocerse como principio de Dualidad (del que tendré mucho que decir más adelante). Es singularmente apropiado que fuera von Neumann quien introdujera tal principio en la teoría del óptimo econó- mico, pues es el eslabón que, establece una conexión (más adelante examinaremos qué clase de conexión) entre esa teoría y la de los juegos.

A partir de este punió, los desarrollos posteriores empiezan a am- pliarse; pero antes de discutir estos desarrollos, sería conveniente tratar de hacer una exposición de la fase alcanzada hasta aquí. Verdaderamen- te no hay un trabajo único que pueda decirse que corresponde exactamente a la fase que he imaginado yo. Las nuevas ideas se aglomeran unas sobre otras con tal rapidez en las pocas páginas de von Neumann, que se encuentra ya en la mitad del capítulo siguiente antes de haber terminado con el primero. Será útil examinar aquí las cosas con mayor lentitud. La teoría del "prototipo", que describiré en la próxima sección,

embargo, «e tiene entendido que se présenlo originalmente en un seminario cele- brado en Princcton en 1932, lo que le coloca antes que Wald e incluso antes de cosas tales «orno el artículo mencionado más arriba de Neiser. (Yo sé, por recuer- dos personales, que tenía estas cosas en Ja mente en septiem'bre de 1933, cuando le vi en Budapest con Kaldor. Naturalmente, yo no entendí lo que estaba diciendo.) (14) Aunque todas las teorías que examinaremos tienen (o pueden tener) aspec- tos dinámicos, el lado estático nos dará bastante tema de qué hablar.

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se expondrá aun en términos del "Walvas-Cassel ampliado"; es decir, se refiere solamente a la asignación de ofertas dadas de factores en la producción de1 un cierto número de productos, cada uno de los cuales se ha de obtener combinando los factores en proporciones que vienen dadas lécnicamente. Solamente después ipasaré a las reinterpretacioncs de von Neumann y de otros, que han tenido en cuenta no simplemente proporciones variables de factores, oferta conjunta y productos interme- dios (cosas que quedan fuera del prototipo), sino que han heoho posible que el análisis se aplique a problemas de dirección de empresas que, a.

primera vista, son de tipos completamente diferentes. Una de las dificultades principales en los escritos posteriores es que están tan impresio- nados (correctamente) por esas reinterpretaciones, que insisten en empezar su exposición en un elevado plano de generalidad. Yo encuentro más sencillo tratar cada cosa a su tiempo; aunque la teoría que será descrita ahora es interesante» principalmente porque puede ser (generalizada, es más fácil exponerla, en la primera vuelta, en un andamiaje bastante convencional.

II. EL PROTOTIPO

1. Están disponibles ciertas cantidades de M factores de producción-, llamaremos a esas cantidades bL, bo,..., 6M. Hay N productos qus se pueden obtener utilizando esos factores; las cantidades (todavía sin deter- minar) de estos productos serán xlt x2,..., x^. Hay coeficientes técnicos fijos; es decir, la cantidad necesaria de cada factor para obtener una unidad de cada ¡producto está dada. La cantidad del factor ¿ necesaria para obtener una unidad del -producto j se llamará «¡j.

Está implicado claramente, cuando el problema se plantea en esta^

condiciones, <jue las constantes (las a y las b) deben obedecer a ciertas restricciones si han de tener sentido económico. Aunque esas restricciones parecen tremendamente obvias, tropezaríamos con serias dificultades si no las registráramos: 1) Cada o¡ tiene que ser positiva; las ofertas negativas.de factores carecen de sentido, y no se podría obtener posi- blemente un producto que requiriese un factor cuya oferta fuera cero.

2) Los coeficientes técnicos a¡¿ no pueden ser negativos; sin embargo, podemos admitir que algunos de ellos sean cero —no todo factor ha de ser requerido para cada producto. 3) Pero alguna cantidad de un factor, por lo menos, tiene que ser necesaria para cada producto; no puede haber ninguna j para la cual «¡j = 0. para toda i. Matemáticamen-

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te estas restricciones definen lo que hemos llamado problema prototipo. Puesto que fueron expresadas formalmente primero por Wald (creo yo), las llamaremos (junto con una cuarta regla, que se citará más ade- lante) las reglas de Wald.

Si un conjunto de outputs [x1,x2, ...,xN) —o más brevemente (x¡)—

ha de seT factible, tiene que satisfacer dos conjuntos de condiciones o restricciones. Primero, ningún xi puede ser negativo (aunque alguno o todos pueden ser cero) ; esto nuevamente parece obvio, pero es vital que tales cuestiones obvias no se ipasen por alto. Segundo, la cantidad ÍJe cualquier factor que1 se requiera, (para producir el conjunto (x¿) en ningún caso puede exceder a la cantidad disponible de aquel factor. El primer conjunto de restricciones —que x¡ ^ 0 para toda j— se podría llamar restricciones de producto. Pero, pensando en la generación siguiente, yo prefiero una denominación ¡más general. Por lo tanto, las llamaré restricciones de signo. Al segundo conjunto, que implica que

« 2 1 Xl + « 2 2 X2 + ••• + « 2 N * N ^ & 2

aM l Xl + flM2 X2 -\- ••• ~\- « M N -*M — &M

lo llamaré, por la misma razón, restricciones específicas. Hay N restriccio- nes de signo y M específicas; ¡en total, M + N. El número de x que hay que determinar es N. Así. el número de restricciones es siempre mayor que el número de incógnitas cuando se tienen en cuenta todas las restricciones.

Como siempre ocurre en tales casos, es de gran ayuda hacer todo el uso posible de una representación gráfica. El problema que se acaba de plantear, para M factores y N productos, es precisamente el que fue expresado para dos factores y dos productos en la figura 1. La región (15) factible, como se ha dibujado, está limitada por las líneas rectas que correspondían a las cuatro restricciones o limitaciones: dos restricciones de signo (OA y OB) ; dos restricciones específicas (AA' y BB'). Las reglas de Wald han hecho necesario que obtuviésemos una región factible semejante a OAPB. No se excluye que una de las restricciones específi-

(15) Me doy cuenta ¿e que ipara los matemáticos la palabra región liene con- notaciones de contimiida'd, que no se implrcan necesariamente en los usos que yo haré de ella. Una terminología más correcta, sin embargo, llevaría consigo explica- ciones que, para los fines presentes, son poco pertinentes. En éste y «n otros casos, tengo <jue pedir perdón por el uso de términos en una forma menos pre- cisa que en su sentido matemático estricto.

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cas pudiera haber sido ineficaz (si AA', BB' no se hubieran encontrado en el cuadrante positivo), de manera que la región factible podría haber sido reducida a un triángulo. Y claramente se ve que no se excluye que uno (o los dos) de I09 "brazos" específicos pudiera haber sido paralelo a un eje; lo que se excluye es que ambos fueran paralelos al mismo eje, pues esto significaría que habría un producto que no necesi- taría factor alguno y eso está descartado. Por lo tanto, parece que la forma poligonal (tal como OAPB), o alguna semejante, va a ser típica.

2. Ahora sería posible plantear el problema que tenemos ante nosotros, de modo que pidiéramos una determinación de todas las solucio- nes factibles: la respuesta a esa pregunta, en el caso ilustrado, seria \H definición de toda la superficie OAPB. Pero, de todos esos puntos, solamente aquellos que están sobre la frontera APB son los verdaderamente interesantes; son solamente esos los que, en un sentido u otro, "maximi- zan la producción". ¿Cómo distinguimos esos puntos fronterizos del resto de los que son factibles? En principio, hay dos formas de hacer la distinción.

Una es decir que un punto factible es un punto fronterizo si es un terminal de un vector desde el origen; es decir, si establecemos' que los varios outputs se han de obtener en proporciones fijas, la cantidad de cualquier producto (y, por lo tanto, la del producto compuesto) que se obtenga ha de ser hecha máxima. La otra consiste en decir que, si los productos se valoraran a precios fijos (pi,p2, • •••¡PN)> el valor de la pro-

ducción (X pj x¡) tiene que hacerse máximo. (Debe entenderse clara- mente, si adoptamos esta segunda distinción, que las p tienen que ser no- negativas; podemos permitir que algunas de ellas sean cero, pero sería absurdo que todas fuesen cero. Esta es la cuarta de las reglas de Wald).

Hay ciertos fines económicos para los cuales la diferencia entre estos dos enfoques es muy importante; se puede decir que depende de ella toda la teoría de los rendimientos crecientes. Sin embargo, se puede demostrar, que con los supuestos presentes, se llega al mismo resultado; de manera que no importa cual usemos. Ha resultado ser más conveniente trabajar con la prueba del valor de la producción, según la cual, una po- sición en la frontera resulta maximizar S p * para (p) dadas. Un con- junto de outputs que cumpla esto, sujeto a las restricciones se denomina un óptimo.

Inmediatamente se ve que, para el caso que se presenta en nuestro gráfico, hay dos clases de óptimos: 1) el óptimo puede estar en un vér- tice, tal como A, P o B; 2) el óptimo puede estar, digamos, en una

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parte lisa —sobre AP o PB. Habrá varios valores de la relación de pre- cios (P1/P2) {Ple corresponderán a cada vértice óptimo; pero solamente valores particulares de la relación de precios darán un óptimo de parte ]¡e a— pero, para esos valores, cualquier punto en la parte lisa puede ser nn óptimo. Ahora se demostrará que la distinción entre óptimo de vértice y óptimo de parte lisa es válido bastante generalmente; pero, con tal fin, necesitamos algunas definiciones más generales.

3. Empecemos examinando los vértices de nuestro gráfico más de cerca. En P, los dos productos se están obteniendo y los dos factores esca- sean; por lo tanto, tenemos dos productos positivos (como podríamos llamarles) y dos factores escasos. En A (y en B) solamente hay un producto positivo y un factor escaso. En O (que se tiene que considerar como un vértice, aunque —en tanto que se cumplan las reglas de Wald— no puede ser un óptimo) no tenemos ningún producto positivo ni factor escaso alguno. Así, pues, en todos los vértices, el número de productos positivos es igual al número de factores escasos.

Cuando un factor es escaso, la restricción específica correspondiente se convierte en una ecuación podemos decir entonces que la restricción es operativa. Así, el vértice P está determinado por do3 limitaciones espe- cíficas que son operativas. En A, solamente una restricción específica es operativa; pero el lugar de la otra es ocupado por una restricción de sig- no que ahora se hace operativa (x2 = 0 ) . En 0, solamente son operativas las restricciones de signo. Así, cada uno de los vértices está determinado por dos restricciones operativas —dos ecuaciones para determinar las doi incógnitas. De acuerdo con ello, se propone una regla general para la de- terminación de un vértice: un vértice es un conjunto de N outputs (x¡) que está determinado por N restricciones operativas, a ser seleccionadas del número total de restricciones (M -j- N). Pero esto no es todo.

Pues (como se ve claramente en el gráfico) la lista de puntos que so podrían calcular según esta regla, es mayor que la lista de vértices. Si «' procedimiento anterior se aplicara a ese caso elemental, no solamente marcaría los verdaderos vértices (A, P, B y O); marcaría también los seudovértices (A' y B'). Estos hay que excluirlos, ¿qué los excluye? Se excluyen porque no llegan a satisfacerse algunas de las restricciones que en su determinación se han tomado como no operativas. Un verdadero vértice es un conjunto de outputs que se determina seleccionando N de las M + N restricciones para que sean operativas, y que también satisface (como desigualdades) las restantes restricciones no operativas. Así, cuando el óptimo está en un vértice, el número de producciones positivas

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deberá ser igual al número de factores escasos y los factores no escasos deberán estar en exceso en cuanto a su oferta.

4. Hasta aquí en cuanto a los vértices; ahora trataremos de los óp- timos que están en la parte lisa entre los vértices. Está claro que el nú- mero de factores escasos (16) no puede ser mayor, ordinariamente, que el número de productos positivos; porque si lo fuera, tendríamos más ecuaciones que incógnitas y el sistema estaría superdeterminado. Pero CÍ perfectamente iposible que el número de factores escasos sea inferior al número' de productos positivos. (Así para un óptimo situado entre A y P.

en la figura 1, tenemos dos productos positivos y solamente un factor escaso). Más adelante se demostrará que esa es una característica de los óptimos de parte lisa; pero será más conveniente, de momento, definirlos y exponer sus propiedades de otra forma.

Es una regla bien conocida que si a, (i son dos puntos en una línea, con coordenadas {xa, ya) (x3, y3), las coordenadas de cualquier otro pun- to de la línea se .pueden expresar como (Ka xa -{- K3 x& > Ka ya -\- Kp y3),

donde Ka -j- K3 =| 1. En términos de estas ponderaciones, el ipunto a es (1,0); el punto $ es (0,1); cualquier Dunto de la línea entre i y p ten- drá ambas ponderaciones positivas; cualquier punto fuera de a ^ ten- drá una ponderación negativa. Por lo tanto, hay un sentido en el que podemos considerar cualquier punto de la línea entre » y P (incluyendo a y P) como una inedia ponderada de a y (i; quedando entendido que las ponderaciones son no negativas y suman la unidad.

Los puntos en la parte lisa entre A y P (en la fig. 1) se pueden, pues, considerar como promedios ponderados de A y P —dos vértices que, en el caso en que el óptimo esté en la parte lisa, tienen que ser tales que, en ellos, el valor de la producción V ( = Z p x) sea el mismo. De acuer- do con ello, se sugiere que podríamos definir el óptimo de parle" lisa como una condición en la que dos vértices (o más) dan el mismo valor de producción; cualquier promedio ponderado de estos vértices puede ser entonces un óptimo. Es evidente que si V toma el mismo valor en cada uno de los punto (a, ft, ...,).), también tomará el mismo valor en cualquier promedio ponderado de (a,P, ...,X). Pero antes de que poda-

mos aceptar esta definición hay otra cuestión que aclarar.

Si un punto ha de ser un óptimo tiene que ser factible; ¿cómo sa- bemos nosotros que esos puntos, definidos como promedios ponderados

(16) Mi a adelante se verá cpie hay una cualificación a esta afirmación que es de alguna importancia.

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^

J j^{o g} vértices, son factibles? En efecto, se puede demostrar que tienen serlo; este es un caso especial de una .propiedad general y muy portante cualquier promedio ponderado de un conjunto de puntos factibles tiene que ser factible. El nombre matemático de esta propiedad es convexidad (17); lo que tenemos que demostrar es que la región factible es convexa. La prueba es como sigue:

Supongamos que (»,P, ...,)>) sean puntos factibles. Tomemos el pun- to que se puede expresar como el (promedio .ponderado {/ca, fe3, ...,/c>).

Sustituyamos sus coordenadas (escritas plenamente) en cualquiera de las restricciones específicas; por ejemplo, en las iesimas. Entonces,

OU X, + O¡2 + ••• + OiN XS — K («Tu Xla -j- 0,2 X2a -f . . . - ) - <liN XSa) + ix + «¡2 *2>. + ••• + a¡N' *NX) ^ ka fe¡ -f kp b¡ + ... - j -

puesto que {«,?,...) satisfacen las restricciones y las fe son no negativa;.

Entonces, ya que las k suman la unidad, la última suma es 6¡. De esta manera, cualquier promedio ponderado satisface las restricciones especí- ficas, y se puede demostrar que satisface las restricciones de signo de la misma forma. Por lo tanto, es factible.

De acuerdo con ello, se puede decir que, cuando hay un "empate"' entre óptimos de vértice, cualquier promedio ponderado de esos óptimos es en sí mismo un óptimo. Eso es lo que significa óptimo de parte liso- 5. Hasta aquí líennos estado razonando (básicamente) por analogía;

el método descrito en el último párrafo, sin embargo, se puede usar para dar algo que se aproxima un poco más a una prueba de las propiedades en cuestión.

No son solamente los puntos en la parte lisa los que se pueden con- siderar como (promedios ponderados de los vértices; si tenemos en cuenta- todos los vértices, cualquier punto dentro de la región factrble (dentro- de la región o en su frontera o límite) puede expresarse similarmente como un promedio ^ponderado de los vértices. (Esto se puede hacer con-, frecuencia de varias formas; pero eso no importa.) Además, en: vistai de la convexidad de la región, solamente los puntos que están dentro*

de la región pueden ser expresados así. Supongamos que ahora tomamos- (i, $, ..., X) como vértices, y consideremos un punto que se puede expre- sar por (kaikp,..., kx). Sustituyendo sus coordenadas en el valor de la:

(17) Para hallar un estadio adicional de este concepto, véase más adelante, pár- gina 687 (Deí Libro).

(15)

producción, cómo hemos sustituido previamente en las restricciones, ob- tenemos

tenemos

en -que Va, Vp,..., Vx son los valores de la producción en los vértices. En- tonces, puesto que las ponderaciones son no negativas y suman la unidad, es evidente que en el caso en que haya una de las V, que sea mayor que cualquiera de las otras, el óptimo Be alcanza si el peso total se coloca en ese vértice; mientras que en el caso de que haya un "empate", se alcanzará un óptimo dividiendo el peso entre los vértices em-

patados de cualquier manera. Eso es todo lo que hay que decir.

6. Por lo que se refiere a la determinación del óptimo, queda completa la teoría del prototipo; sin embargo, el avance más notable de la teoría todavía ha de llegar. Este se refiere a la determinación de los precios de los factores.

Retrocedamos, por un momento, al modelo de "Walras" de dos factores y dos productos, con que empezamos. No se trata solamenle de que, si lo analizamos al estilo de Walras, las producciones parecen esta- blecerse independientemente de las demandas; sucede también que (si suponemos dados los precios de los productos) (18) los precios de los factores parecen estar determinados independientemente de las oferta»

de factores. Correspondiendo a las ecuaciones

«íi *i + «12 *2 = &i> a21xx-\-a22x2 = b2

(que hacen que las producciones parezcan depender de los coeficientes técnicos y de las ofertas de factores solamente), hay las ecuaciones de precios y costes (que no hay beneficio que no pueda ser imputado a algún factor) ; éstas serán:

w¹a¹¹+w²a²¹=p^í, w¹a¹²+iv²a¿²=p²

Tomadas por sí solas, parecen hacer que los precios de los factores tut, w2

dependan de los precios de los productos y de los coeficientes técnicos solamente.

(18) Walras, naturalmente, no suponía que «stuvieran dados. Sanraelson, sin em- bargo, llamó la atención de los economistas sobre la importación de este «apuesto.

(Véase su "Factor Price Equalization Theorem").

(16)

Como hemo3 visto, la ¡primera serie de1 ecuaciones no es giempre válida.

Necesita completarse de forma que tengan en cuenta la posibilidad de que un factor está en oferta excesiva; cuando se hace esto, las demandas vuelven a entrar en el cuadro. Un razonamiento exactamente análogo, aplicado a la segunda serie, descubre el supuesto de que las producciones de am'bos bienes son (positivas. Si no fuera así, si, ipor ejemplo, x2 = O, ao habría razón por la cual el coste del segundo producto debiera ser igual a sn precio. Una posible combinación de precios de factores sería tal que el precio fuera igual al coste para el primer producto, pero que resultara inferior al coste .para el segundo. Entonces, el segundo no su produciría; no compensaría producirlo.

Este simple ejemplo es suficiente para demostrar que la teoría de la imputación (derivación de los precios de los factores de los iprecios del producto) tiene que completarse con una inclusión de casos de "desigualdad", lo mismo que se ha hecho en la teoría del óptimo de cantidad. También sugiere (y resulta ser verdad) que hay un sentido en et que una teoría es la imagen refleja de la otra. Examinemos esto más en general.

7. Supongamos que, en un óptimo 'particular, n de los N productos posibles son positivos, teniendo producciones nulas los restantes N—n.

Y supongamos que m de los M factores son escasos, teniendo precios de.

factor nulos los restantes M — m (19). Entonces parecería deducirse de nuestra discusión precedente (aunque se va a ^introducir una cualifica- ción a esto dentro de un momento) que, en un óptimo de vértice, m = n.

mientras que, en un óptimo de parte lisa, m < n. Tenemos que volver de nuevo a estos dos casos por separado.

En el óptimo de vértice tenemos m = n ecuaciones de la forma Tlai¡x}='bi para determinar las n producciones positivas; y (puesto que el precio es igual al coste para cada uno de estos n •productos) te- nemos un número igual de ecuaciones, de la forma S w¡ ay = p¡, par#

determinar los m = n precios de los factores escasos. Correspondiendo a los otros factores, donde w, = 0, tenemos las desigualdades S a¡j x¡ < 6¡.

Correspondiendo a los otros productos, donde x¡ — 0, tenemos las des- igualdades £ u/¡ «¡j > p¡. Aparte de la diferencia de signo de las dos se- ries de desigualdades, hay una simetría completa.

El óptimo de parte lisa a primera vista confunde más. Aquí tenemos ni < re; hay solamente m ecuaciones para determinar las n produccio-

(19) Doy por sentado que los precios de los factores no escasos son cero.

(17)

nes positivas; estas producciones, por lo tanto, están subdeterminada?, pero eso (hay que recordarlo) e'3 lo que debía ser. Por otra paite, tene- mos n ecuaciones 2 tui at¡ = p¿ para determinar los m precios de los fac- tores escasos; por lo tanto estos parecen estar superdeterminados. La

•explicación es que no es iposible que se produzca un óptimo de iparte lisa con un conjunto arbitrario de precios (p); solamente puede ocurrir para conjunto particulares de (p), que están relacionados de tal manera que pueden satisfacerse simultánamente las n ecuaciones de precios y cos- tes. (La teoría del valor Trabajo, considerada como una afirmación de que los precios de los productos positivos tienen que 6er proporciona- les a sus costes de trabajo cuando la mano de obra es el único factor escaso, puede considerarse como un caso particular de esta proposición).

Si hemos empezado con unas (p) apropiadas, podemos obtener un ópti- mo de parte lisa, con unas (iv) correspondientes. Las restricciones sobre las (x) serán operativas para todos los factores en que w¡ no es 0; y las restricciones sobre las (w), como podemos empezar a llamarlas, serán operativas para todos los productos en que x¡ no es 0. Cuando u>i es 0, y-cuando x¡ es 0, tenemos las mismas desigualdades que antes.

Pero ahora, habiendo hallado un medio de superar el obstáculo de la superdeterminación en el caso en que m < n, deberíamos mirar hacia atrás para ver si no nos hemos precipitado demasiado en el otro caso.

¿No habría 6ido posible encontrar un camino, de forma similar, que hu- biera salvado la posibilidad de que m > n? Entonces, los precios de los factores habrían estado subdeterminados, de manera que habría habido

"parte lisa" en aquel lado —no hay dificultad en esto; pero la única forma en que m ecuaciones operativas sobre n productos 'positivos pue- den ser satisfechas todas, cuando m > n, es. que existan algunas relacio- nes especiales entre las ofertas de factores (b), lo mismo que habían de existir relaciones apropiadas entre los {p) en el caso opuesto. No hay duda de que esta salida es válida matemáticamente, y es útil al mostrar cómo podemos completar la simetría; pero no la he querido traer a co- lación hasta ahora, porque creo que el economista se siente, justificada- mente, un poco cauteloso ante ella, por lo menos en la aplicación pre- sente. Indudablemente está interesado en los óptimos que se alcanzarán en distintos (p), algunos de los cuales ciertamente estarán relacionados entre sí, de forma que el caso en que m < n es importante para él; pero había empezado pensando que las ofertas de factores estaban dadas, de suerte que las relaciones entre ellas, que permitirían que más de n fac- tores fueran escasos simultáneamente, serían más bien una casualidad.

(18)

Sin embargo, es una posibilidad y una posibilidad que, en esta fase, tiene consecuencias importantes.

Porque llegamos ahora al Principio de Dualidad. Las condiciones que regulan los outputs {x) y los .precios de los factores (w) en una posición óptima 6e corresponden exactamente. Sin embargo, habíamos determinado las {*) de una forma que podía describirse completamente sin in- troducÍT las {w); puesto que las restricciones -sobre las (tu) son tan no- tablemente similares, se sugiere poderosamente que las (w) podrían ha- ber sido determinadas independientemente de un modo similar. Que esto es, en realidad, así se puede demostrar de la forma siguiente.

8. Empezamos con la condición de que las (*) deberían ser facti- bles: en el sentido de que son no negativas y de que sus exigencias de factores no exceden las ofertas de factores disponibles —es decir que EetijXjíáfci para toda i desde 1 hasta M {las restricciones específicas).

Nos encontramos imponiendo un conjunto paralelo de restricciones so- bre las (w); que deberían ser no negativas y que los costes de los pro- ductos, a estos precios de los factores, deberían ser igual o exceder a los precios dados de los productos, es decir que 2 Wi a¡j X pj? para todas las j desde 1 hasta N (que podemos considerar como restricciones específicas sobre las (wj. Evidentemente, podemos decir que las (w) son factibles si satisfacen las restricciones que se acaban de establecer.

A/hora tomemos las restricciones específicas sobre las (x), multipli- quémoslag cada una de ellas .por la w correspondiente y sumemos. Pues- to que, si las (w) son factibles, tienen que ser no negativas, la desigual- dad resultante se cumplirá siempre que (*) y (w) sean factibles. Lo que esto expresa es que el coste del conjunto de outputs (x¿) valorados a los precios de los factores (wi), no puede ser mayor que el valor total de los factores a esos mismos precios de factores. Si este coste es C, y ese valor de los factores B, tenemos C ;= B, siempre que (.*) y [rv) sean ambos factibles.

Tomemos luego las limitaciones específicas sobre las (w), multipli- quemos cada una de ellas por la (x) correspondiente, y sumemos. Si am- bos (x) y (tu) son factibles, la desigualdad que resulta de esta operación también se tiene que cumplir. Lo que quiere decir es que el valor total de los productos, a los precios (p) no pueden exceder al coste total de aquellos productos, a los precios de los factores (w). V ^ C, cuando (*) y [w) sean ambos factibles.

Hasta ahora no hemos hecho ningún uso de las condiciones de ópti-

(19)

mo. Pero es fácil demostrar que cuando (x) es óptimo, C = B; ,pues.

cuando W\ es positivo, la restricción corre&pondietite es entonces una ecua- ción y, cuando no es una ecuación, la correspondiente W\ = 0. Similar- mente, cuando (tu) es un óptimo —o tal que corresponda a un ópti- mo (x)— tenemos V = C = B. (¡Las cuentas sociales salen bien!)

Para cualesquiera (x) y (w) factibles, V Í= B; ninguna V factible puede exceder a cualquier B factible. Las B factibles se hallan por en- cima de las V factibles, excepto en cuanto a la posibilidad de que algu- nas V factibles y algunas B factibles sean iguales. En el óptimo, V = B.

de forma que se realiza esa igualdad. Se deduce que ninguna V factible puede exceder a la V óptima, de manera que, en el óptimo, V es maxi- mizada; eso, naturalmente, no hace más que confirmar la definición con que empezamos. Pero también se deduce que ninguna B factible puede ser menor que la B óptima, de manera que, en el óptimo B, se minimiza.

Podríamos haber determinado los precios de los factores de "equilibrio"

como un problema de óptimo independiente: buscando aquellos precios de factores que minimizan el valor de los factores, sujetos a la condición de que el coste unitario de ningún producto caiga por debajo de BU precio dado (del producto).

9. Esta, creo yo, es la forma más sencilla de demostrar, o al menos de explicar, el Principio de Dualidad; pero tal vez haya un poco más que decir para que quede plenamente patente el significado del principio. Es más bien un defecto del tratamiento precedente que se ha tenido que introducir los precios de los factores, al estilo de Walras, como ele- mentos en un modelo de capitalismo competitivo, en el cual los precio.-;

de los factores gobiernan la distribución; en la otra parte de 'la teoría., en la que se han determinado las cantidades óptimas, no ha hecho falta un supuesto semejante. En efecto, podría haber sido posible haber in- troducido los precios de los factores sin referencia a las participaciones distributivas como instrumentos de optimización de cantidad; aunque no hubiera sido tan fácil llevar a cabo el razonamiento en detalle, po- dríamos haber procedido de un modo semejante al siguiente:

Supongamos que se establecen precios arbitrarios (no negativos) para los factores y que a un empresario (o planíficador) se le proporciona un fondo que es exactamente el suficiente para permitirle emplear la totalidad de las ofertas disponibles de los factores a esos precios dados de los mismos. Supongamos que trata de hacer máximo el valor de la pro- ducción bajo la única restricción (específica) de que el coste de 'la pro- ducción no ha de exceder al valor de su fondo; es decir, que C ^ B.

(20)

Las producciones que escogerá, no serán, muy probablemente, factibles;

infringirán alguna de las limitaciones específicas por separado, que (es- tamos, naturalmente, suponiendo) aún se mantienen. Sin embargo, se deduce de nuestro análisis anterior (sería bonito disponer de alguna prue- ba directa sencilla, pero no veo ninguna) que habrá algún conjunto de precios de factores, nuestro (w) óptimo, en el que el óptimo que es- coja será, de hecho, factible y verdaderamente será un óptimo de la totalidad del sistema. Los precios de factores óptimos son los precios de factores adecuados en este sentido.

Según este enfoque, la distribución solo interviene, si es que lo hace, de una manera secundaria. Si todos los precios de los factores fueran variados en la misma proporción la restricción C ^ B no sería afectada en términos reales; exactamente las mismas combinaciones de produc- ción están abiertas, o parecen estarlo, que antes. Así, por la prueba pre- cedente, el óptimo {w) permanece indeterminado, en la medida de un multiplicador; a fin de determinar su nivel, tendremos que imponer alguna condición adicional, y la condición de que el valor de la pro- ducción, en el óptimo, debería ser igual a su coste, es una condición que evidentemente convendría imponer. Entonces todo sucede como se ha explicado.

Esto está muy cerca de la forma en que los economistas han pensado en la determinación de los precios de los factores en relación con la de las cantidades de productos; el descubrimiento de que la determina- ción del precio de los factores es un problema de óptimo por sí mismo, de forma que podemos empezar por cualquier extremo, es claramente máa difícil de situar. Uno puede ver que tiene sentido en términos eco- nómicos (cuando se admite la posibilidad de producciones cero); pero es una formulación que difícilmente se le habría ocurrido al economista si no hubiera sido sugerida por el matemático. Lo más cercano que se le podría haber ocurrido habría sido decir que.la maximización de la producción es una minimización de la escasez de los recursos aplicado?.

Esa es la forma en que un economista (podría haber querido hablar; pero difícilmente. hubiera creído que tenía razón al hacerlo así. Lo que tiene que aprender ahora es que hay una forma en que está justificado hacerlo así, después de todo.

(21)

III. MAS ALLÁ DEL PROTOTIPO

El resumen que acabo de ofrecer se ha limitado a una formulación de la Teoría Lineal en términos de Walras-Cassel; sin embargo, es pre- ciso subrayar que ninguna de las obras corrientes la exponen en esos términos, y está bastante clara la razón de ello. Las reacciones que parece que hemos estado analizando tan cuidadosamente —las variaciones en las clases de factores que son escasos y de productos que se ipuedei»

producir y que realmente se producen— apenas si son tan importantes en el mundo real como para merecer una atención tan detallada. Cierta- mente, parece raro tratar de ellas con tanto detalle antes de que tratemos otras cuestiones más importantes. La costumbre walrasianá de dar estaá cosas por sentadas antes de que se monte ei sistema de equilibrio, no e3 tan irrazonable (en la aplicación directa). La principal razón por la que la teoría del prototipo vale la pena, es que, una vez que se tiene, puede ser muy fácilmente interpretada de otras formas.

En el camino de estas reinterpretaciones económicas hay, sin embargo, algunas reinterpretaciones y ampliaciones matemáticas que hay que advertir. Para el matemático, son bastante obvias; son las razones por las que ningún matemático se detendría en la teoría prototipo. Pero, puesto que han sido excluidas de la teoría prototipo, hay que exponerlas antes de ir más lejos.

1. Se recordará que, en nuestra formulación del prototipo, empezamos imponiendo ciertas limitaciones o restricciones "económicas" a las constantes —las reglas de Wald—. Las a tenían que ser no negativas (con la condición de que algún factor ha de ser necesario para cada produc- to) ; las 6 tenían que ser positivas; y entonces e'staiba la regla suple- mentaria de que las p tenían que ser no negativas (pero no todas cero).

Aunque estas restricciones eran útiles para empezar, puede que se haya advertido que, al final de nuestra discusión, estaban resultando bastante débiles. El poblema de la minimización, que apareció como el dual, podría haber sido expresado como un problema de tmaximización de la misma forma que el original (o primario —primal— como se le est^á llamando); pero, en tal caso, los signos de todas las constantes hubieran debido ser cambiados. Dábamos por sentado que un problema de esa clase podría tratarse casi de la misma manera. Pero esto plantea una pregunta más amplia: ¿necesitamos imponer alguna restricción a las constantes?

(22)

Matemáticamente, la respuesta es negativa. Casi la totalidad de lo precedente puede reelaborarse sin las reglas de Wald; de forma que las a, b o p podrían ser .positivas, cero o negativas. La principal dificultad que surge, si se hace esto (esta es la razón por la que parecía mejor empezar con las reglas de Wald), es que hemos de tener en cuenta algunas posibilidades secundarias que evidentemente son excluidas en muchas interpretaciones económicas, de manera que era bastante conveniente poder ignorarlas al principio. No trataré, ni incluso aquí, de.

elaborarlas adecuadamente; sin embargo, hay que hacer una breve des- cripción.

Es posible, en primer lugar, si no se establecen restricciones sobre las constantes, que pueda no haber una solución factible, una "región factible". Las restricciones específicas pueden ser mutuamente contradicto- rias o pueden contradecir las restricciones de signo. (Por ejemplo, A ^ — 6 es una restricción específica posible si admitimos cualesquiera constantes; pero contradice la restricción de signo xx^0).

Segundo, incluso si hubiera una región factible, no es necesario que fuera 'optimizable' para una (p) dada. Evidentemente, si no hubiera restriccionea eápecíficas {solamente de signo), mientras las p fueran po- sitivas, no habría óptimo, puesto que V podría aumentar indefinidamen- te. Lo mismo podría ocurrir si hubiera limitaciones específicas que no llegaran a limitar la región factible en alguna dirección.

Ninguna de estas cosas puede ocurrir con las reglas de Wald; no pueden ocurrir con el problema primario (20), ni pueden ocurrir (es importante hacerlo notar) con el problema prototipo dual (21). Este es un caso particular de un teorema general: el Teorema de la Dualidad, que dice que si existe un óptimo para el primario, también existe para el dual. No trataré de demostrar este teorema, que es cierto para cualquier valor de las constantes. Hay también una ampliación del teorema que enlaza las dos excepciones: dice que si el primario, aunque facti-

(20) Según las reglas de Wald el origen (tedas las producciones cero) siempre es factible. Eso es 'bastante para demostrar que ttene que existir una región facti- ble. Aumentando (x) a ]o largo de cualquier vector, siempre encontrará una res-

tricción; por lo tanto, V debe tener un valor máximo.

(21) Según las reglas de Wald, un valor cero para todo w nunca es factible; pero una solución factible siemjpre se puede encontrar dando a las u> valore3 suficiente- mente granjdeg positivos. Tiene que existir un valor mínimo entre el valor- corres- pondiente de B y el valor cero (que no es factible).

(23)

ble, no fuera 'optimiza-ble', el dual no sería factible (¿ZZ). Puesto que cualquier problema (naturalmente) puede considerarse como primario, la correspondencia se cumple (en un sentido) en amibas direcciones. Sin embargo, vale la pena hacer notar que continúa existiendo la iposibili- dad de que ambos, el primario y el dual no sean factibles (23). Este es un «aso raro, pero puede darse.

2. Convexidad.—Si existe una región factible tiene que ser convexa;

pues la prueba de convexidad (que se ha dado más arriba) (24) es independiente de las reglas de Wald; se cumplirá para cualquier valor de las constantes (25). Todavía estamos tratando con las propiedades de la convexidad, y continuaremos haciéndolo así en todas las formas de la teoría lineal. Puesto que esto tiene el efecto de establecer una fuerte limitación al orden de problemas económicos a los que es aplicable la teoría, convendrá considerar el concepto un poco más profundamente antes de ir más adelante.

¿Cuál es la relación (podríamos empezar preguntando) entre ese

(22) Esto se puede ilustrar fácilmente con una ligera variación de muestro caso prototipo.

Si mantenemos las otras reglas, pero admitimos la existencia de un producto qnc no requiere ningún factor para su obtención, el primario no será susceptible de óptimo, si tal producto tuviera un precio positivo. Pero el coste de aquel produc- to tiene q¡ue ser cero, a cualesquiera precios de factores; así tiene que ser menor que ed precio positivo del producto; el dual no puede ser factible.

(23) Un ejemplo se da en VAJDA, pág. 78.

(24) Véase más arriba, pág. 680 (Del Libro).

(25) Otras partes del razonamiento del "prototipo" exigirían más modificación, pero no tocaré esto aqui.

(24)

concepto de convexidad y el que, hasta ahora ha sido más familiar a los economistas en las obras, por ejemplo, de Pareto o de Joan Robinson?

Estamos acostumbrados a decir que una curva, como A B (fig. 2), es

"convexa hacia afuera" si su pendiente aumenta continuamente en tér- minos absolutos, a medida que uno se mueve hacia abajo a lo largo de ella. Esta definición es claramente diferente de la que hemos usado aquí, puesto que la una es una propiedad de una región y la otra de ana curva; pero puesto que la región O A B es convexa según la nueva definición (26), mientras que O'A'B' no lo es, parece como si tuviera sentido decir que una región convexa es la que se halla limitada por algo así como una curva "convexa hacia afuera".

Desde luego es cierto que se puede definir una región convexa de una forma semejante a ésta. La convexidad de la curva A B (figura 2) ee podría haber indicado por el hecho de que la tangente en cualquier punto de la curva se halla fuera de la región 0 A B¿ excepto en el pun- to de tangencia. Podemos eliminar la excepción sobre el ipunto de tangencia (bástanle embarazoso en el caso de límites lineales), si expresa- mos la misma propiedad de una forma algo diferente. Podemos definir una región convexa como aquella que es tal que se puede trazar por cualquier punto exterior a la misma una recta (27), de manera que la totalidad de la región se encuentre a un lado de tal recta (sin que nin- gún punto de la región se encuentre en la recta). Es obvio que si una región es "dentada" (como la O' A' B') esta condición no se satisfará en un punto que se encuentre dentro del "diente". Se puede demostrar que esta definición de "no dentada" equivale a la definición de "promedio ponderado" que utilizamos previamente.

No voy a tratar de demostrar esa equivalencia; es una de las cosas que los economistas pueden razonablemente tomar de los matemáti- cos (28). Sin embargo, es de gran utilidad para el economista saber

(26) Es suficiente observar que, si a y (3 son dos puntos -dentro de la región (o en gu frontera), cualquier punto entre ellos, en la misma línea que los unía, estará dentro de la región en el mismo sentido.

(27) En dos dimensiones; plano, o Jo que corresponda, en más de dos.

(28) No es difícil demostrar que la "•convexidad no dentada" imifvlica la c o n - vexidad "promedio ponderado"; demostrarlo de otra forma (el "teorema del hiper- plano so,porlador"') es claramente más embarazoso. Hay una prueba en Theory of

Games, de VON NEUMANN y MORGENSTERN, págs. 134 y ss.; véase también VAJDA, op. cit.,

página 22. La prueba más clara que conozco es la dada p o i DEBREU en un apéndice a KOOPMANS y BAUSCH, Selected Topics in Economícs lnvolving Mathematical Rea- soning, Cowles Foundation Paper, num. 136, pág. 96.

(25)

que la equivalencia existe. Porque, una vez que .la tenemos, podemos ver inmediatamente que la convexidad, que es tan importante en ia teoría lineal, es fundamentalmente la misma cosa que estamos acostumbrados, en nuestros gráficos, a considerar como un fenómeno de rendimientos decrecientes. La convexidad, en el nuevo sentido, cubre tanto los rendi- mientos constantes como los decrecientes (si A B fuera una línea recta, la región O A B aún sería convexa). Lo que' no cubre son los rendimientos crecientes (ilustrados ¡por 0' A' B'). Podemos comprobar esto obser- vando que, bajo rendimientos crecientes, una .producción cero a nn cos- te* cero puede ser factible, una .producción x a un coste c puede ser factible; pero una producción x a un coste c no será factible.

En rendimientos crecientes habrá también una falta de correspondencia entre los dos sentidos de óptimo. Una posición que* lleve al máximo la producción en el sentido de cantidad (que es el máximo que se puede producir cuando la producción de mercancías se tiene que com»

•binar en (proporciones fijas) no hará necesariamente máximo el valor de la producción .para cualquier conjunto de precios de 'los productos.

Es una propiedad de convexidad (una consecuencia de la equivalencia de las dos definiciones de convexidad) que los dos sentidos de óptimo vienen juntos.

Por consiguiente, estamos a la vista de una Tefornrulación bastanto poderosa de una distinción que desde «hace mudho tiempo los economistas sabían que era crucial. La razón ipor la que los supuestos de ren- dimiento constantes y de rendimientos decrecientes son mucho más ma- nejables que los supuestos de rendimientos crecientes consiste en que, en los primeros casos, podemos usar las propiedades de convexidad, mientras que, en el último, no. No hay, en realidad, grandes dificultades para tratar los fenómenos de los rendimientos decrecientes por método*

lineales (cabe siempre aproximarse a una curva mediante un polígo- no) (29); pero la teoría linea], puesto que se basa en la convexidad, no

(29) No quiero decir que tengamos que introducir una reformwlación lineal a fin de hacer uso del «oncepto ".promedio ponderado" de convexidad. Realmente es olmo por los gráficos de la figura 2 que rio lo tenemos que hacer. E3 posible (y útil) reformular la economía paretiana {con fronteras curva3 y curvas de indi- ferencia) en términos de las propiedades de convexidad1. Esto 9e ha hecho, de un»

manera que se convertirá en clásica, en el primero de los Essays on the Sutte 0}

Economic Science, de Tjalling Xoopmans (1957). Quisiera aprovechar e3ta oportuni- dad para expresar la deuda que he contraído con tan admirable obra, que ha te-

(26)

ge puede extender, sin .perder muchas de sus virtudes, 'hasta el reino de los rendimientos crecientes.

3. La forma ecuacional.—Es el momento adecuado >para mencionar otra complicación: que la forma en que hemos estado planteando el problema de oplimización no es, en modo alguno, la única forma en que (pnede plantearse lo que es, en sustancia, el mismo problema.

Las ofertas excesivas de los factores (que son cero en el caso de factores escasos, y tienen que ser positivas cuando el factor no escasea) son una parte del .problema (primario); son determinadas, junto con las producciones (*j), cuando maximizamos V con sujeción a las restricciones. Si hubieran sido introducidas explícitamente, el ipro'blema primario se .podría haber expresado como una maximización de V, sujeta a lae ecuaciones

(para todos los factores), junto con las restricciones de signo de las producciones y sobre las ofertas excesivas (xj ^ 0, et ^ 0). Alhora bien, tan pronto como hayamos dejado las reglas de Wald tras de nosotros (de manera que no tengamos que preocuparnos por los signos de las constantes), esto es exactamente lo mismo que maximizar

E q¿ x} + S g't e,

en que q y q' son nuevos conjuntos de precios-ponderaciones; pues las o.

siempre se podrían eliminar de la última suma con la ayuda de las ecuaciones dadas. (Entonces se reduciría a la forma conocida S p¡ x¡, dependiendo las p de las q y q' dadas y de las a dadas). El problema de optimización es, por lo tanto, el mismo que la maximización de una

"suma ponderada" de s variables, tocias las cuales han de ser no nega- tivas y que están conectadas por t ecuaciones (t < s) (30).

La formulación "ecuacional", que reduce todas las restricciones a

nido más efecto sobre este trabajo de lo que puede parecer superficialmente. (La otra obra, que se ha citado en la nota a pie de página anterior, no apareció hasta des- pués de haberse escrito prácticamente este estudio.)

(30) Si ( > s y las ecuaciones son independientes, el problema seria superde- te reniñado y no podía tener una solución. Si t = s y las ecuaciones fueran indepen- dientes, determinarían ellas «mismas una sola solución, que seria la solución efectiva si satisficiera las restricciones de signo.

(27)

restricciones de signo a expensas de aumentar el número de variables es desde luego, la que se usa más corrientemente, én las obras sobre Pro.

gramación Lineal (31). He preferido plantear la cuestión de otra for. ma que (puesto que opera con menos variables) ofrece más campo para la ilustración geométrica. Además, el método ecuacional está en menor contacto evidente con la economía tradicional. Sin embargo, es apropiado ¡para algunas aplicaciones económicas (como veremos dentro de unos momentos). Conviene estar listos para trabajar en cualquier for.

ma (32).

IV. PROGRAMACIÓN LINEAL

Nuestro esbozo de la teoría fundamental está ya completo; volvamos ahora a la historia.

Para que naciera la Programación Line'al dos cosas más eran ne- cesarias:

1. Había que darse cuenta de que hay otros problemas, aparte de la maximización "económica" directa del valor de la producción a partir de recursos dados, que son formalmente equivalentes a la optimización económica. Se tenían que encontrar oportunidades para la aplicación de la teoría generalizada (que ha sido descrita en la sección precedente de este estudio). Es corriente asociar esta fase con dos ejemplos que se han convertido en clásicos: el "problema del transporte", planteado en 1941 por F. L. Hitohcock (33), y el "problema de la dieta", que fue planteado en un trabajo (aún no publicado) de Jerome Cornfield, que

(31) La razón de esto es principalmente de cálculo. Si ora problema se .presenta en forma die desigualdad, se convierte fácilmente en forma ecuacional, con la in~

treducción de variables "flojas" (tales como nuestras e). El proceso inverso implica resolver las ecuaciones, lo cual bien pudiera resultar extraordinariamente laborioso.

(32) Si las variables primarias (i) se completan -con la introducción de las ofer- tas excesivas de los factores, las variables duales (i«) tieiien que completarse 6imi- larmente con la introducción de las diferencias en las desigualdades .duales. Estas en nuestra formulación prototipo son las diferencias entre coste y precio —podríamos llamarles las desventajas (unprofitabilities) de los iprodluctos. Guando se incluyen é=- las, el problema dual <se reduce, a su vez, a la minimdzación de una suma ponde- rada de N variables, sujetas a restricciones de signo y conectadas (ahora) por N-M ecuaciones.

(33) En el Journal of Mcuhematks and Physics, Massachussetts Institule oí Tech- nology, vol. 20, págs. 224-30.