PPS2014C03(PDF)-Operadores matemáticos
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(2) 4.. b. 6.. b b a 2 +b2. a. Si: a ⊗ b =. Se define: a ∗ b = a 2 + 2a + b 0 , halla: E = 5 ∗ (7 ∗ (9 ∗ ....( 2005 ∗ 2007))). Calcula: 81 ⊗ 64 A) 25 D) 36. B) 5. A) 5. C) 6 E) 7. B). C) 6. 35. D) 7. E) 8. a ∗ b = a 2 + 2a + 1. Se observa que. Dando forma a las componentes, tenemos. Elevando al cuadrado la expresión. 81 ⊗ 64 = 3 4 ⊗ 4 3. E 2 = 5 ∗ ( 7 ∗(9∗ ....( ∗ 2007 ))) 2005 . Entonces 81 ⊗ 64 = 3 2 + 4 2 = 5. k. 2. E = 5∗k. 5.. E 2 = 5 2 + 2(5) + 1. Se define: m−n ; m≠n m ∆ n = m2 − n2 0; m=n . 7.. es el valor de “x”?. además: A * =. B) 1. C) – 3 P E) 2 rof :. 1 ; m≠n m∆n = m + n 0; m=n . Reduciendo. 156 A°. Determina CO uno de los valores de A. E PACH A) 1 D) 4. B) 2. C) 3 E) 5. Evaluando A* =. Efectuando la expresión. 156 A°. →. A * ⋅ A ° = 156. A(A + 1)[A(A + 1) + 1] = 156. 5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ (−2 ∆ 3)] . A(A + 1)[A(A + 1) + 1] = 12(13). − 2≠ 3. 5 ∆ x = 2 ∆ [1 ∆ 1] 1 =1. Comparando. 5∆x=2∆0 5≠x. -2-. A(A + 1) = 12 A(A + 1) = 3(4). 2≠ 0. 1 1 = 5+x 2. →. x = −3. E=6. Si: A * = A 2 + A ; A ° = A 2 + A + 1. Si 5 ∆ x = 2 ∆ [ 1 ∆ (−2 ∆ 3) ] , donde x ≠ 5. ¿Cuál. A) 0 D) 3. →. De ahí. A=3.
(3) 8.. Si: (a + 3) ∗ (b − 2) = 3a 2 + b. 8 10 Calcula: ÷ 3 5 . Halla: 5 * 12 A) 26 D) 56. B) 87. C) 202 E) 41. 2 9. A). B). 9 2. 9 2. C). D) 8. 1 8. E) 9. Dando forma a las componentes Analizando por partes. 5 ∗ 12 = (2 + 3) ∗ (14 − 2). Entonces 5 ∗ 12 = 3(2 2 ) + 14 = 26. 9.. •. 8 8 ×7 × 6 = 3 3 × 2×1. →. 8 = 8 × 7 3. •. 10 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 5 5 × 4 × 3 × 2×1. →. 10 = 9 × 7 × 4 5 . •. 9 9 × 8 = 2 2 × 1. Sabiendo que: a 2 − 1 ; si : a > b ao b= b 2 − a ; si : b > a. Simplifica: 5 o 4 o 17 A) 12 D) 16. 8 3 10 5 . C) 24 E) 20. Pr. Analizando por partes. CO E of: PACH. 2 17 − 4 . 11.. 5 > 13. →. . 9 8 ×7 = 9× 4 = 8 2 9 × 7 × 4 . Si:. E = 5 o 13 . E = 52 − 1. E = 24. a =. a+2 ; si “a” es par 3. a =. a+3 ; si “a” es impar 2. Halla: E = (3 ) + 10.. 9 = 9 × 4 2. Reemplazando y simplificando. B) 14. E = 5 o 4 o 17 = 5 o 4 < 17. →. Si: " b" factores. a a (a − 1)(a − 2)...... = b b(b − 1)(b − 2)....(2)(1). A) 4 1 D) 3. 3 (2 ) 5. B) 2. C) 5 E). 4 5. -3-.
(4) 13. Si: a o b = 2b 2 − 3a Calcula:. Efectuando 3+3 E= 2 . 2+ 2 3 3 + 5+3 2. E= A) 3 D) 4. 4 E=3 + 4. →. E = 3 +1. 3o 3 o. E=4. 3 o ........ ; E > 0. B) 21. C) 1 E) 6. Elevando al cuadrado E 2 = 3 o 3 o 3 o 3 o ........ E. 12.. 2. E = 3oE. Si: a = a2 −1. Calcula: . + 3 −. 3. A) 64 D) 81. 2. . B) 18. Entonces. 2. 3. 9 = E2. 14.. A) 8 D) 19. B) 9. C) 11 E) 20. Por definición 25 ∆ 9 = 2 25 + 3 9 = 10 + 9 = 19. = a+6. + 3 −. 2 . 2. 15.. Si:. →. E=9. a o b = 4a – 5b a ∆ b = 7a – 3b. Halla: (3 o 2) ∆ (4 o 3) A) 10 D) 11. -4-. E=3. Si: x ∆ y = 2 x + 3 y. E = ( 3 + 3 − 3 )2 E = 32. →. CO 25 ∆ 9 Halla: Pr E of: PACH. −1 = a + 5 a. E= . E 2 = 2E 2 − 3(3). =a+5. a. a. Por definición. 2. C) 36 E) 9. a = a2 −1. Por definición. Piden. =a+5. a. B) 9. C) 15 E) 6.
(5) Analizando por partes. Efectuando. • 3 o 2 = 4(3) − 5(2). →. 3 o2 = 2. • 4 o 3 = 4(4 ) − 5(3). →. 4 o3 = 1. E = (3 o 2) ∆ (4 o 3). Reemplazando. •. 3. =. 3−5 2. →. 3. = −1. •. 4. =. 4−6 2. →. 4. = −1. Entonces. E = 2 ∆1. E=. E = 7(2) − 3(1). 3. –. 4. = –1 – –1 = 0. E = 11. 18. Si: x ∇ y =. 16.. A). 1 xy. D). y x. Por definición. C). x y. E). xy x+y. Pr. Si: a. Halla: A) 5 D) 0. 3. a−5 ; si a es impar = 2 a − 6 ; si a es par 2. –. B) – 20. C) – 25 E) 32. 6 2. Dando forma. 8 o 3 = 2(4) o. Entonces. 8 o 3 = 4 − 4(6) = −20. 19. Si: a ♥ b = a 2 − ab Halla: “x” en: (x + 2) ♥ (x – 1) = 4x A) – 6 D) 2. Evaluando. B) – 3. C) 6 E) – 2. (x + 2) ♥ (x – 1) = 4x. (x + 2)2 − (x + 2)(x − 1) = 4 x x 2 + 4 x + 4 − (x 2 + x − 2) = 4 x. 4 B) 10. A) – 12 D) 30. CO E of: PACH. 1 1 1 1 ∇ = = = xy 1 x y 1 1 x y xy. 17.. q = p − pq 2. Halla: 8 o 3. 1 1 1 ∇ , halla x y xy. B) xy. Si: 2p o. C) – 2 E) 2. Reduciendo términos. x=6. -5-.
(6) 20.. Si:. a ∗ b = 3a + 2b + b 2. 22.. a # b = a 2 − ab + b 2. Si: a ∗ m = m + a. Halla: P = 1 ∗ 1 + 2 ∗ 4 + 3 ∗ 9 + 4 ∗ 16 + 5 ∗ 25 + ..... . Halla “x” en:. 16 términos. 2#x=0∗x. A) 1 D) – 2. B) 0. A) 136 D) 240. C) 2 E) – 1. B) 272. C) 144 E) 360. Se observa que los términos son de la forma 2#x=0∗x. Evaluando. x ∗ x 2 , entonces. 2 2 − 2x + x 2 = 3(0) + 2x + x 2. a∗ m = m +a ↓. Reduciendo términos →. 4 = 4x. x =1. ↓. x ∗x2 = x2 + x. x ∗ x 2 = 2x. →. Luego P = 1 ∗ 12 + 2 ∗ 2 2 + 3 ∗ 3 2 + 4 ∗ 4 2 + ..... 16 términos. 21.. P = 2 + 4 + 6 + 8 + ..... . Si:. 16 términos. 1 ∆ A = A 2 − 2B B. →. P = 16 (17). P = 272. Calcula: 2 ∆ 3 A) 81 D) 64. B) 80. Interpretando la definición ( )4. 1 ∆ A = A 2 − 2B B ( ) −1 ( )4. 1 Entonces 2 ∆ 3 = 3 4 − 2 = 80 2 ( ) −1. -6-. CO E f: PACH 23. Si:. C) 72 P E) 55ro. x∗y=. Halla “Z”, si: A) 10 D) 20. Evaluando. x−y x + 2y Z ∗ 3=5 ∗1. B) 15. C) 18 E) 25. Z ∗ 3=5 ∗1 Z−3 5 −1 = Z − 2(3) 5 − 2(1). Z−3 4 = Z−6 3 3Z − 9 = 4 Z − 24. →. Z = 15.
(7) 24.. Si: a 2 + b 2 = (a. Halla “x”, si: (x + 2) A) 2 y 1. 26.. b) + 2a 2 = (2x – 1). B) 2 y. 4 3. 3. 2 E) 4 y − 3. Se deduce que Evaluando. =x+2. x. C) 3 y 1. D) 5. Si:. Halla:. 2. A) 0 D) – 1. B) 1 C) 2 E) más de una es correcta. b = a(a − 2) + b 2. a. (x + 2). 2 = (2x – 1). 3. (x + 2)x + 2 2 = (2x − 1)(2x − 3) + 3 2 x 2 + 2x + 4 = 4 x 2 − 8 x + 12. Entonces. Si:. x + 3 = x2 − 3. Calcula:. 1. +. A) 6 D) 15. Pr. 2. = x −1. Evaluando para →. 2. 2. . =1. 2. =1. 2. = −1. CO E of: PACH. 2. 27.. B) 11. +3=x+2 x. x=2. 25.. 2. x. −4 x = 4/3 −2 x =2. =x+2. x. 3x 2 − 10 x + 8 = 0 x. x = x2 + 3. Por definición. Reduciendo términos 3x. x = x2 + 3. y. Según el problema anterior, calcula:. C) 13 E) 1. 17 A) 8 D) 2. +. 26. B) 7. C) – 1 E) – 5. Evaluando valores para x x = −2. →. 1. = (−2)2 − 3 = 1. x = −1. →. 2. = (−1)2 − 3 = −2. ∴. 1. +. 2 x = −4. = –1. Evaluando para x = 17. →. 17. x = 26. →. 26. 2. = 16. . 17. =4. 17. = −4. = 25. . 26. =5. 26. = −5. 2. = (−4) − 3 = 13 2. -7-.
(8) Por lo tanto, una de las soluciones será 17. 28.. +. 26. = 4 + (– 5) = – 1. 29.. Se define: p ∗ q =. de x =. 30 ∗ 42 es: (2 ∗ 6) ∗ (12 ∗ 20). A) 10 D) 13. Si: a. b. c. =. a3 + b2 + c a+b+c. a. b. c =. c 2 + b2 + a a+ b+c. 1 − 1. x. A) 2 D) – 2. x. B) 12. C) 7 E) 11. Analizando por partes • 30 ∗ 42 =. Halla “x”, si:. 2. 2pq , entonces el valor p+q. 1 3 = 15. B) 2 ó – 2. C) 1 ó – 1 E) 1. • 2∗6 =. 2(30)(42) 30 + 42. 2(2)(6) 2+6. • 12 ∗ 20 =. 2(12)(20) 12 + 20 x=. Reemplazando. →. 30 ∗ 42 = 35. →. 2∗6 = 3. →. 12 ∗ 20 = 15. 35 3 ∗ 15. Efectuando. 2. 1 − 1. x. x. 1 15. 3 =. Pero. CO P E 2 2 3 2 1 +x +2 1 +x +3 1ro − = f: PACH 2+ x +1 1+ x + 3 15. 3 ∗ 15 =. x=. Entonces. x2 + 3 x2 + 4 1 − = x+3 x+4 15. x2 − x 2. x + 7x + 12. =. 1 15. 2. 2. 30.. Si:. 2(3)(15) =5 3 + 15 35 5. x = 2x 2 − 3x − 13. 15x − 15x = x + 7x + 12. Reduciendo términos. además. Donde. -8-. 3. x. −2. x−2=0. →. Halla: P. x=2. 1 + 2 − 0 3 + −1. 7 x 2 − 11x − 6 = 0 7x. P=. A) 14 B) – 14 C) 13 D) – 13 E) – 8. →. x =7.
(9) 32.. Si:. Analizando por partes 2. •. 1 = 2(1 ) − 3(1) − 13. →. 1 = −14. •. 2 = 2(2 2 ) − 3(2) − 13. →. 2 = −11. •. 0 = 2(0 2 ) − 3(0) − 13. →. 0 = −13. •. 3 = 2(3 2 ) − 3(3) − 13. →. 3 = −4. ∴. P = 1. P=. 1 2 1 1 3. 2 4 2 3 2. 3 3 3 2 4. 4 1 4 4 1. Halla “x”, en: (x * 1) * 2 = (3 * 4) * 1. • − 1 = 2(−1) 2 − 3(−1) − 13 →. Reemplazando. ∗ 1 2 3 4. −1 = −8. −14 − 11 + 13 −12 = =1 −4−8 − 12. = −14. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) no hay solución posible. De la tabla (x * 1) * 2 = (3 * 4) * 1 4 3. Operaciones en tablas (x * 1) * 2 = 3 31.. Dada la tabla:. 3. →. x*1=3 • a b c. a c b a. b b c c. c Pa r of: a b. 33.. a b c d. B) b C) c E) no hay solución posible. De la tabla (x • a) • b = (a • b) • c b. (x • a) • b = no hay solución posible. a. Si: . Además se sabe que: (x • a) • b = (a • b) • c Halla “x”. A) a D) a ó b. x=4. CO E PACH a c d e a b. b d e a b ec. c e a b c d. d a b c d e. e b c d e a. ¿Cuál es elemento neutro? A) a B) b C) c D) d E) e -9-.
(10) 35.. Si:. Empleando el criterio de la intersección . a. b. c. d. e. a. c. d. e. a. b. b. d. e. a. b. c. c. e. a. b. c. d. d. a. b. c. d. e. e. b. c. d. e. a. 4 14 18 22. 4 5 6 Halla: 7. 5 18 23 28. 6 22 28 34. 8. A) 48 D) 51. B) 50. C) 54 E) 38. Se observa que el elemento neutro es “d”. De la tabla se deduce que ∴7 34.. a. b = ab − 2. 8 = 7(8) − 2 = 54. Dada la siguiente tabla: ∗ m n p q. Calcular: E =. A). q n. D). p q. m q p m n. n p m n q. p m n q p. q n q p m. Pr. (m ∗ n) ∗ (p ∗ q) (q ∗ p) ∗ m. B). q m. 36.. Si: 1 3 5 7. θ 1 2 3. CO E of: PACH. 2 5 8 11. 3 7 11 15. Halla: (3 θ 5) θ (2 θ 3). C). p m. E). p n. A) 261 D) 287. B) 253. C) 249 E) 276. Analizando los elementos de la primera columna. De la tabla. E=. (m ∗ n) ∗ (p ∗ q) (q ∗ p) ∗ m. E=. p∗p p∗m. q E= m. - 10 -. θ. 1. 2 2. 1. 2. 2. 3. 5 3. 3. 4. 4. a+1. a+1. 5 2. 3. 7. . . a. 2a+1. 3. …. b. 7. …. …. 2. aθb.
(11) Luego los elementos de la última fila 1°. 2°. …. las preguntas 38 y 39. b. 2a + 1 ; 3a + 2 ; ......... ; (a θ b) a+1. a+1. t b = (a + 1)b + [2a + 1 − (a + 1)] . Donde. 38. De la tabla anterior, ¿cuál es el elemento inverso de “c”? A) a D) d. B) b. C) c E) falta datos. aθb. a θ b = ab + a + b. Del cual se deduce. ∴ (3 θ 5) θ (2 θ 3) = 23(11) + 23 + 11 = 287 23 θ 11. Primero ubicamos “c” en la columna de entrada, luego en el cuerpo de la tabla el elemento neutro de este; para luego emplear el criterio del rebote, es decir ∗. 37.. Dada la operación (*) ∗ a b c d. a a b c d. b b a d c. c c d a b. A) a D) d. d d c b a. Buscamos una columna y fila igual a la columna y fila de entrada a. b. c. d. a. a. b. c. d. b. b. a. d. c. c. c. d. a. b. d. d. c. b. a. a. a. b. b. b. a. c. d. d. d d c. c. Calcula E =. a. b. b. a. c −1 = c. ∴. (a −1 ∗ a) ∗ (b −1 ∗ c ). (c − 1 ∗ d ) ∗ d − 1 O C Prc E tabla del problema 37. C) of: PACH E) no tiene. B) b. . b. c. 39.. ¿Cuál es el elemento neutro?. a. iguales. ∴. e=a. iguales. A). b a. D). c b. B). C). c a. E) no se puede. Ubicamos todos los elementos neutros en la tabla para luego utilizar el rebote, tal como se indica en el esquema . a. a. a. b c NOTA: Se corrigieron los elementos de la tabla de la pregunta 37 para desarrollar respectivamente. d c. , según la. d. b. c. d. a a a. . a −1 = a. b −1 = b c −1 = c d −1 = d. - 11 -.
(12) Reemplazando. E=. (a ∗ a) ∗ (b ∗ c ) (c ∗ d ) ∗ d. E=. a∗d b∗d. →. De la tabla E=. d c. ( 4 666 ) 4 = 2 2. →. 4 666 = 2. 40. De acuerdo a la tabla adjunta, qué número falta en el recuadro, si se cumple que: ( 4 6 ) www = 2. A) 2 D) 4 ó 6. 2 4. 2. 4. 6. 4 2. 2 4. 6 4. 6. 6. 6. 2. B) 4. 4 8. →. =2. w=8. 42. De acuerdo a las tablas adjuntas, determina qué número falta en el recuadro: ∆ 1 2 3. C) 6 E) cualquiera. 1 3 2 3. 2 3 1 2. ∇ 3 2 1. 3 2 1 1. 3 1 1 2. 2 1 2 3. 1 2 3 3. [ ( 3 ∆ 2 ) ∇ 111 ] ∆ [ 1 ∇ ( 2 ∇ 2 ) ] = 2. De la tabla ( 4 6 ) ww = 2 4 ww = 2 4. 2 =2. Pr →. A) 1 D) 4O. B) 2. C) 3 E) 5. EC of: PACH w=2. De la tabla [ ( 3 ∆ 2 ) ∇ 111 ] ∆ [ 1 ∇ ( 2 ∇ 2 ) ] = 2 2. 41. De acuerdo a la tabla adjunta, qué número falta en el recuadro, si se cumple que: ( 4 666 ) 4 = 2 1 2. 1. 2. 4. 8. 4 8. 8 1. 2 8. 2 4. 4 8. 2 2. 8 4. 4 1. 1 2. 2 3. Se reduce. ( 2 ∇ 111 ) ∆ 3 = 2 1. →. 2 ∇ 111 = 1 2 ∇ 3 =1 ∴. A) 8 D) 1. - 12 -. B) 4. C) 2 E) ninguno. w=3.
(13) 43. Se define la operación * en el conjunto M={a; b; c; d} mediante la siguiente tabla de doble entrada: ∗. a. b. c. d. a b. c d. b a. a b. b c. c d. a b. b c. c d. d a. Halla el valor de “x” en la siguiente igualdad a∗b=x∗c A) a D) d. B) b. • −1 ∗ − 1 = (−1)(−1) + (−1) + (−1) = −1. x. • −2 ∗ 1 = (−2)(1) + (−2) + 1 y. 45.. = −3. Si:. C) c E) otro valor. De la tabla. a ∗ b = ab + a + b. Por definición. ∗ 2 1. 2 4 –3. 1 6 –1. Calcula: (4 * 40) + (3 * 13) a∗b=x∗c =x∗c. b. →. x=b. b. A) –14 B) –17 C) –13 D) –12 E) –15. CO E of: PACH Por analogía. 44. Con los elementos del conjunto A = {−2 ; − 1 ; 0 ;1 ; 2} se define Plar operación: a ∗ b = ab + a + b , entonces el valor de “x” e “y”. en el cuadro de la figura adjunta es: ∗. –2. –2 –1. –1. 0. 1. 2 ∗ 2 =1 2 3 − 2(2) 2 ∗ 1 =6 2 3 − 2(1) 1 ∗ 2 = −3 13 − 2(2). 2. y x. 0 1 2 A) x = 1 ; y = −2. Se deduce. a ∗ b = a 3 − 2b. B) x = −2 ; y = −1 C) x = −1 ; y = −3 D) x = 1 ; y = 3. ∴ ( 4 ∗ 40 3 ∗ 13 ) + ( ) = −16 + 1 = −15 −16 θ 1. E) otros valores - 13 -.
(14) 46.. Sea las operaciones: Calculando el elemento neutro #. a. b. c. d. @ a. b. c. d. a. a. b. c. d. a. a. a. a. a. b c. b d. d a. a d. c b. b c. a a. b c. c d. d. d. c. b. a. d. a. d. b. ∗. 8. 10. 1. 5. d b. 8. 5. 8. 10. 1. 10. 8. 10. 1. 5. c. 1. 10. 1. 5. 8. 5. 1. 5. 8. 10. Si x = b # c , determina el valor de:. iguales. iguales. ( c # x ) @ (b # a). Calculando los inversos respectivos A) a D) d. B) b. C) c E) – 1. →. Por dato x = b # c. x=a. E = ( c # x ) @ (b # a). Reemplazando. E = ( c # a ) @ (b # a) d. →. 10. 1. 5. 5. 8. 10. 1. 10. 8. 10. 1. 5. 1. 10. 1. 5. 8. 5. 1. 5. 8. 10. 8 −1 = 1 10 −1 = 10 1−1 = 8 5 −1 = 5 . 10. E=d. Pr. 8. Entonces (( x −1 @ 5 )@ 8 −1 )@1 = 10 −1. b. E=d@b. ∗ 8. CO E of: PACH. 47. Se define en A = {1, 5, 8, 10}, la operación matemática “@” mediante:. (( x −1 @ 5 )@1)@1 = 10 8. ( x −1 @ 5 )@1 = 8 5. x −1 @ 5 = 5 10. x −1 = 10 → x = 10. @ 8. 8 5. 10 8. 1 10. 5 1. 10 1. 8 10. 10 1. 1 5. 5 8. 5. 1. 5. 8. 10. Calcula x, si: (( x −1 @ 5 )@ 8 −1 )@1 = 10 −1 donde a −1 elemento inverso de a.. A) 9 D) 6. - 14 -. B) 10. C) 7 E) 5. Huánuco, 24 de enero de 2014.
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