GUÌA DE TRABAJO PARA DESEMPEÑOS Y CONTENIDOS PERÌODO ACADÈMICO PRIMERO 2021
SEMANA DE TRABAJO: 0 GUÍA REFUERZO SEMANA: febrero 15 al 26 del 2021
ÁREA: Geometría GRADO: 801
Nombre del docente: Jose Eugenio Polania Quiza Correo electrónico: [email protected]
Nombre del estudiante: _____________________________ I. APERTURA - INDAGACIÓN
NOMBRE DE LA UNIDAD: Razones y proporciones. CRITERIO DE DESEMPEÑO FINAL:
• Reconocer los conceptos básicos y las propiedades de razones y proporciones • Resolver operaciones usando regla de 3 simple.
EJES TEMÀTICOS: Razón, Proporción, Regla de 3 simple y ejercicios. BIBLIOGRAFÌA: WEBGRAFIA:https://www.universia.net/co/actualidad/orientacion- academica/razon-proporcion-matematica-como-cuando-emplear-cada-concepto-1110861.html https://www.ejemplode.com/5-matematicas/1289-ejemplo_de_razones_y_proporciones.html https://www.problemasyecuaciones.com/proporcionalidad/simple/proporcion alidad-simple-directa-inversa-regla-tres-ejemplos-problemas-resueltos.html#:~:text=Directa%3A%20a%20mayor%20distancia%2C%20m% C3%A1s,cuantos%20m%C3%A1s%20trabajadores%2C%20menos%20tiempo .
II. DESARROLLO - CONCEPTUALIZACIÓN
Razón y proporción: ¿sabes cuándo utilizar cada una? Hoy abordarás los conceptos de razón y proporción.
En primer lugar, es necesario saber la definición de ambos conceptos. La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir de la división dos valores, entonces: a/b. Es importante saber que esos valores precisan estar en la misma unidad de medida y que el denominador debe ser diferente de 9. Por ejemplo, si la ganancia de una empresa es de 15.000 y el gasto de la misma es 5.000, ¿cuál es la razón de la empresa?
15.000
Otro ejemplo: Si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:
24 18
Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos: 4
3
En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños.
La proporción es la igualdad entre dos o más razones. O sea, si a/b corresponde a la razón, entonces a/b = c/d equivale a una proporción. Es frecuente que este contenido caiga en forma de problema. ¿Vamos a usar un ejemplo comprender mejor? Usted pagó 20.000 por dos cuadernos; si tuviese 40.000 hubiera comprado cuatro. ¿Los resultados representan una proporción?
𝟐𝟎/𝟐 = 𝟏𝟎 𝟒𝟎/𝟒 = 𝟏𝟎 En ese caso, las dos razones son una proporción
Otro ejemplo: En nuestro ejemplo del salón de clases, podemos comparar la razón que tenemos, de 4 niñas por cada 3 niños, y podremos calcular cuántos niños hay en un salón en relación al número de niñas o viceversa. Para esto, en primer lugar, escribiremos la proporción que ya conocemos:
4 3
Y después la cantidad total, por ejemplo, la del mismo salón, recordando que debemos respetar el orden del antecedente y del consecuente. En nuestro ejemplo, el antecedente será el número de niñas, y el consecuente el número de niños.
4 3=
24 18
Para comprobar la igualdad de la proporción, se efectúan dos multiplicaciones. En una proporción, tomaremos como referencia el signo de igualdad. Los números que están más cercanos, se llaman centros, y los números más lejanos son los extremos. En nuestro ejemplo, los números 3 y 24 son los más cercanos al signo
igual, por lo que son los centros. El 4 y el 18, son los extremos. Para comprobar que la proporción es correcta, el producto de la multiplicación de los centros debe ser igual al producto de la multiplicación de los extremos:
3 × 24 = 72 4 × 18 = 72
Una proporción no es más que una igualdad entre dos o más fracciones: 𝑎
𝑏= 𝑐 𝑑
donde a y d se denominan extremos y b y c, medios.
Diremos que la proporción es directa si relacionan magnitudes en las que al aumentar una también lo hace la otra y viceversa.
En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Ejemplo: Si un tren tarda 3 horas en recorrer 400 kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer el doble?
Tenemos la siguiente relación:
3 ℎ → 400 𝑘𝑚 𝑥 ℎ → 800 𝑘𝑚
Es decir, si en 3 h se recorren 400km, en 𝑥 h se recorrerán 800.
Observamos que la relación también puede expresarse siguiendo el modelo de igualdad entre fracciones usado para describir el concepto de proporción:
3 𝑥 =
400 800
Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan en fracciones distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro.
𝑥 =800 ⋅ 3 400 =
2400 400 = 6 Por tanto, el tren tardará 6 horas en recorrer 800km.
Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Ejemplo: Si 2 agricultores tardan 10 días en arar un campo, ¿cuánto tardarán 5 agricultores en realizar el mismo trabajo?
Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo.
Para resolverlo se aplica la regla de tres como se ha enseñado: 2 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 → 10 𝑑í𝑎𝑠 5 𝑎𝑔𝑟𝑖𝑐𝑢𝑙𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 → 𝑥 𝑑í𝑎𝑠 Y se resuelve: 𝑥 =2 ⋅ 10 5 = 20 5 = 4𝑑í𝑎𝑠
Es decir, mientras que dos agricultores tardan 10 días, con la ayuda de otros 3 compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo 4 días.
1. En una caja tenemos 45 canicas azules y 105 canicas rojas. ¿Cuál es la razón?
2. En una clase de un colegio cada pelota es utilizada por cada equipo de cinco niños, o sea que tenemos cinco alumnos por cada pelota de fútbol. ¿Cuál es la razón?
3. En una fábrica de balones, cada trabajador fabrica 55 balones al día. Si la empresa contrata más trabajadores, el número de balones que se fabrica será mayor. Escribimos una tabla con el número de trabajadores y el de balones fabricados al día:
4. En una fábrica de balones, cada trabajador fabrica 55 balones al día. Si la empresa contrata más trabajadores, el número de balones que se fabrica será mayor. Escribimos una tabla con el número de trabajadores y el de balones fabricados al día:
5. Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?
