RAZONES Y PROPORCIONES
RAZONES Y PROPORCIONES
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Entre los años 550 a 450 a.C. se establece la era Entre los años 550 a 450 a.C. se establece la era pitagórica.
pitagórica. Pitágoras Pitágoras de de Samos, Samos, personajepersonaje semilegendario creador de un gran movimiento semilegendario creador de un gran movimiento metafísico,
metafísico, moral, moral, religioso religioso y y científico. científico. ElEl saber geo
saber geométrico de los métrico de los pitagóricos estabapitagóricos estaba en laen la geometría elemental, donde destaca el famoso geometría elemental, donde destaca el famoso Teorema de Pitágoras, el cual fue establecido Teorema de Pitágoras, el cual fue establecido por su escuela y donde la tradición de los por su escuela y donde la tradición de los pitagóricos llevó a atribuírselo a su maestro. pitagóricos llevó a atribuírselo a su maestro. Con respecto a la aritmética actual el saber de Con respecto a la aritmética actual el saber de los
los pitagóricos pitagóricos eraera enorme. enorme. Fueron Fueron los los primerosprimeros en analizar la noción de número y establecer las en analizar la noción de número y establecer las relaciones de correspondencia entre la relaciones de correspondencia entre la aritmética
aritmética y y la la geometría. geometría. Definieron Definieron loslos números primos, algunas progresiones y números primos, algunas progresiones y precisaron
precisaron la teoría la teoría de las de las proporciones. proporciones. LosLos pitagóricos propagaban de que todo podía pitagóricos propagaban de que todo podía expresarse por medio de números, pero luego expresarse por medio de números, pero luego tuvieron que aceptar que la diagonal de un tuvieron que aceptar que la diagonal de un cuadrado era inconmensurable con el lado del cuadrado era inconmensurable con el lado del cuadrado.
cuadrado.
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Las razones y proporciones, tienen una gran Las razones y proporciones, tienen una gran aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo en aplicación en diversas disciplinas; por ejemplo en ingeniería se emplean las escalas para realizar ingeniería se emplean las escalas para realizar pequeñas maquetas; en el área contable, para pequeñas maquetas; en el área contable, para realizar movimientos financieros y en la vida realizar movimientos financieros y en la vida diaria, para efectuar ciertos operaciones diaria, para efectuar ciertos operaciones aritméticas. aritméticas.
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Si observamos dos magnitudes y una es mayor Si observamos dos magnitudes y una es mayor que
que la otla otra nora nos pres pregunguntamtamosos ¿en c¿en cuánuántastas unidades es
unidades es mayor? ómayor? ó ¿cuántas veces ¿cuántas veces contiene lacontiene la mayor o la menor?, para responder a estas mayor o la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por
diferencia o por división respectivamente.división respectivamente. RECORDAR:
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mediante la diferencia. diferencia. Dicha difereDicha diferenciancia determina en cuántas unidades excede determina en cuántas unidades excede una magnitud a la otra.
una magnitud a la otra.
Ejemplo:
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En 4to.
En 4to. año del colegio año del colegio Trilce asisten Trilce asisten 2525 varones
varones y y 18 18 mujeres. mujeres. ¿Cuál ¿Cuál eses la la razónrazón aritmética?
aritmética?
Comparando:
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25 vvararononeses –– 18 18 mumujejereress == 7 v7 vararononeses
aanntteecceeddeennttee ccoonnsseeccuueennttee vvaalloor r ddee la razón la razón
En general:
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Razón Razón Consecuente Consecuente Antecedente Antecedente
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Es la comparación de dos cantidades por Es la comparación de dos cantidades por medio de
medio del cociente ol cociente o divisdivisión.ión.
Ejemplo:
Ejemplo:
La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 años respectivamente. años respectivamente.
Comparando:
Comparando:
:: Hijo Hijo :: Padre Padre años años 5 5 años años 40 40 = 8 = 8Interpretación:
Interpretación:
La edad del padre es 8 veces la edadLa edad del padre es 8 veces la edad del hijo.
del hijo.
La edad del hijo es la La edad del hijo es la octava parte deoctava parte de la
la edad edad del pdel padre.adre.
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“Razón es la comparación de dos cantidades “Razón es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la de una misma magnitud mediante la operación de diferencia o división”.
operación de diferencia o división”.
En general:
Donde:
a : antecedente b : consecuente
k : valor de la razón geométrica
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Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases:
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(EQUI - DIFERENCIA)
Igualdad de dos o más razones aritméticos.
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“Suma de medios igual a suma de extremos”
Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos:
PPrrooppoorrcciióónn A
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mééttiiccaa D
Diissccrreettaa
Cuando se cumple que sus cuatro términos son diferentes entre sí.
Observación:
Al último término (d) se le denota “Cuarta diferencial” de a, b y c.
PPrrooppoorrcciióónn A
Arriittm
mééttiiccaa CCoonnttiinnuuaa
“Cuando los términos medios son iguales”
Observación:
A cada término igual (b) se le denomina “Media diferencial” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Diferencial”.
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(EQUI - COCIENTE)
Igualdad de dos o más razones geométricas
o también:
donde:
“a” y “d” son términos extremos. “b” y “c” son términos medios.
PROPIEDAD
“Producto de medios igual a producto de extremos”.
Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos:
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mééttrriiccaa D
Diissccrreettaa
Cuando se cumple que sus cuatro términos son diferentes entre sí.
Observación:
“Al último término (d) se le denomina “Cuarta proporcional” de a, b y c.
PPrrooppoorrcciióónn GGeeoom
mééttrriiccaa CCoonnttiinnuuaa
“Cuando los términos medios son iguales”
Observación:
A cada término igual (b) se le denomina “Media Geométrica o Media Proporcional” de a y c; y a cada término distinto se le llama “Tercera Proporcional”. b a = k a – b = c - d medios extremos a + d = b + c a - b = c - d a - b = b - c b a = d c a : b :: c : d a . d = b . c b a = d c b a = c b
PROPIEDADES
Si: d c b a 1. a . d = b . c 2. d d c b b a 3. d d c b b a 4. d c d c b a b a 5. d c b a d b c a 6. n n n n d c b a 7. nn nn d c b a RREES
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Comparación por Cociente b
a = k
RAZÓN
R. ARITMÉTICA
R. GEOMÉTRICA
Comparación por diferencia a - b = r
Comparación de 2 cantidades
PROPORCIÓN
P. ARITMÉTICA
P. GEOMÉTRICA
Igualdad de razones aritméticas Igualdad de razones geométricas Igualdad de dos cantidades
P.A. DISCRETA
P.A. CONTINUA
Todos los términos diferentes a – b = c – d d : cuarta diferencial Términos medios iguales: a – b = b – c b : media diferencial o media aritmética a y c : tercera diferencial
P.G. DISCRETA
P.G. CONTINUA
Todos los términos diferentes d c b a d : cuarta proporcional Términos medios iguales: c b b a b : media geométrica o media proporcional a y c : tercera proporcional
1. Dos números están en la relación de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor:
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
2. Dos números están en la relación de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. hallar el menor:
a) 60 b) 120 c) 180
d) 250 e) 280
3. Dos números son entre sí como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor:
a) 60 b) 75 c) 36
d) 48 e) 45
4. La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Hallar el menor:
a) 300 b) 320 c) 340
d) 350 e) 360
5. La suma de dos números es 320 y su razón geométrica es 3/7. Hallar el número mayor:
a) 336 b) 224 c) 188
d) 163 e) 218
6. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si su razón aritmética es 72. Hallar el número mayor:
a) 60 b) 82 c) 120
d) 96 e) 86
7. Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 7 a 6?
a) 10 b) 18 c) 15
d) 12 e) 20
8. Mario tiene 38 años y Jessica 24 años, ¿hace cuántos años sus edades fueron como 2 a 1?
a)12 b)8 c)10
d)15 e)6
9. En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto iguales, ¿cuántos bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancos por cada 6 bolas azules?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
10. En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántos personas habían inicialmente en la reunión?
a) 48 b) 42 c) 32
d) 38 e) 24
11. Hallar la media proporcional de 4 y 9
a)6 b) 7 c)8
d) 9 e)10
12. Hallar la media proporcional de 12 y 27
a) 18 b) 16 c) 12
d) 15 e) 21
13. Hallar la cuarta proporcional de 15; 20 y 18
a) 36 b) 21 c) 24
d) 28 e) 32
14. La media proporcional de “a” y 27 es “b” y además “a” es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b)
a) 81 b) 162 c) 243
d) 54 e) 30
15. La cuarta diferencial de “a”, “b” y “c” es 29, la tercia proporcional de “a” y “b” es 36 y la media aritmética de “b” y “c” es 39. Hallar la tercera diferencial de “a” y “c”. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
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1. En una razón geométrica el antecedente es 108 y el consecuente 4. ¿Cuál es el valor de la
razón?
a) 25 b) 27 c) 29
d) 31 e) 33
2. Determinar el consecuente de una razón cuyo valor es 5/8 y el antecedente es 4/9.
a) 32/45 b) 45/32 c) 18/15 d) 6/5 e) 8/25
3. En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determinar el antecedente.
a)1 b)2 c)3
d)4 e)5
4. La razón entre las velocidades de un tren y de un avión es 2 : 3 si la velocidad del tren es de 600 km/h. ¿Cuál es la velocidad del avión? a) 150 km/h b) 300 c) 450 d) 600 e) 900
5. La razón de las longitudes de los lados de un rectángulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo?
a) 50 cm b) 60 c) 70
d) 80 e) 90
6. Las edades de Ana y Julia están en la relación de 2 : 3. ¿Qué edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 años?
a) 17 b) 34 c) 51
d) 60 e) 75
7. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kg. y están en la relación de 7 : 4. ¿Calcule el peso del vehículo menos pesado?
a) 40 kg b) 80 c) 120
d) 160 e) 200
razón entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el área.
a) 3840 cm b) 3640 c) 3440 d) 800 e) 400
9. Dos amigos deben repartirse $ 27 000 en la razón de 7 : 2. ¿Cuánto dinero recibe el mayor? a) $ 21000 b) 18000 c) 9000
d) 3000 e) 2000
10. El dinero de 2 personas están en la razón de 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor?
a) 1090 b) 1190 c) 1120
d) 1000 e) 1990
11. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 5, 8 y 2. ¿Cuál es la medida de ángulo mayor? a) 90º b) 96º c) 100º d) 106º e) 160º 12. Calcular “M” si M = T + P + D Donde: T : media diferencial de 12 y P P : media proporcional de 12 y 3 D : tercia proporcional de T y P a)10 b) 15 c)18 d) 19 e) 20 13. En la serie: k 9 c 6 b 4 a se cumple: a + b + c - k = 54 Calcule: a – b + c a) 14 b) 27 c) 21 d) 36 e) 12
14. En una proporción geométrica continua el producto de los extremos es 144. Hallar la media proporcional.
a)10 b) 12 c)18
d) 21 e) 24
15. En una proporción geométrica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. Si el producto de los términos medios es 5400. Hallar el mayor de los términos. a) 100 b) 75 c) 120 d) 180 e) 240
