lab_11_int_impropias.pdf

Universidad Diego Portales

Facultad de Ingeniería. Asignatura: Cálculo II Instituto de Ciencias Básicas

LABORATORIO Nº 11 Integrales Impropias

Contenido:

• Integrales Impropias de Primera Especie.

• Integrales Impropias de Segunda Especie.

• Teorema de Comparación.

Cuando definimos la integral definida ( )

b

a

f x dx

∫

consideramos la continuidad de la

función f en el intervalo

[ ]

a b, y que los límites de integración fueran números finitos. Si

bien, estamos totalmente familiarizados con la idea de que la integral ( )

b

a

f x dx

∫

representa el

área de la región limitada por la curva y= f x( ), el eje x y las rectas verticales x=a y x=b, cuando ( )f x ≥0, ciertas aplicaciones del cálculo conducen de manera natural a la formulación de integrales en las que:

1. El intervalo de integración no es acotado; tiene alguna delas formas

[

a,+∞

) (

, −∞,b

]

o

(

−∞ +∞,

)

, o bien

2. El integrando tiene una discontinuidad infinita en algún punto c del intervalo de integración, es decir, lim ( )

x→c f x = ±∞

Tales integrales son llamadas integrales impropias. La interpretación natural de una integral impropia es la del área de una región no acotada. Tal vez nos sorprenda que tal área realmente puede ser finita. En este laboratorio mostraremos cómo determinar tales áreas; es decir, cómo evaluar integrales impropias.

Actividad 1:

Analice las siguientes integrales impropias:

Desarrollo de la actividad:

a) Nuestra integral es una integral impropia de primera especie. Si integramos directamente con la calculadora obtenemos:

Verifiquemos: Por definición sabemos que 2 1

1

dx

x

∞

∫

= ₂

1

1

lim

t

t→∞

∫

_x

d x

, si este limite existe, como número finito. Usamos calculadora para encontrar este límite.

a) ₂

1

1

dx x

∞

∫

b)

0

1 1 xd x

−∞

∫

−

c)

∫

∞

∞ −

−

dx xe x2

Luego la integral impropia converge y su valor es 1

Una interpretación geométrica de nuestra integral es el área de la región no acotada (sombreada) que está entre la curva y 1₂

x

b) Si integramos directo obtenemos

Para verificar el resultado obtenido debemos calcular el

0

1

lim

1

t t

d x

x

→−∞

∫

−

. Usando

calculadora se puede proceder de las siguientes maneras:

O bien

En ambos casos el límite es infinito; por lo tanto la integral impropia diverge a +∞,es decir,

0

1 1 xd x

−∞

∫

−

= +∞.

Luego la integral diverge a +∞

Región no acotada representada por la integral impropia:

0

1 1 xd x

c) Si integramos directamente con la calculadora obtenemos xe x2dx

∞ −

−∞

∫

= 0, esto es:

Verifiquemos teóricamente:

Sabemos que, como la función f x( )=xe−x2es continua en toda la recta real, entonces por definición

xe x2dx

∞ −

−∞

∫

= 2

0 x

xe− dx

−∞

∫

+ 2

0 x

xe dx

∞ −

∫

,

si las dos integrales impropias del lado derecho convergen. Por lo tanto debemos analizar estas dos integrales; la calculadora nos puede ayudar en este propósito:

donde

Análogamente:

donde

Luego: xe x2dx

∞ −

−∞

∫

= 2

0 x

xe− dx

−∞

∫

+ 2

0 x

xe dx

∞ −

∫

= 2

0

lim x

t t

xe− dx

→−∞

∫

+

2

0

lim

s x s xe dx

−

→+∞

∫

=

1 1

0

2 2

Para finalizar nos atrevemos a hacer las siguientes afirmaciones:

i)Note que la función f x( )=xe−x2 es simétrica con respecto al origen. Por lo tanto, en general, si f es una función impar y continua en toda la recta real entonces f x d x( ) 0

∞

−∞

=

∫

.

Análogamente, f x d x( )

∞

−∞

∫

0

2 f x d x( )

∞

=

∫

, si f es una función par y continua en toda la

recta real. Por ejemplo, considere Ud. la función ( ) 1 ₂ 1

f x

x

=

+ .

ii) f x d x( )

∞

−∞

∫

no necesariamente es igual a lim ( )

t

t t

f x d x

→∞ −

∫

. Por ejemplo, 1 ₂ 1 x d x x ∞ −∞ + +

∫

diverge, en cambio lim 1 ₂ 1 t t t x d x x π →∞ − + ₌ +

∫

(verifíquelo).

Actividad 2:

Analice las siguientes integrales impropias:

a)

∫

− 2 1 2 dx ) 1 x ( 1 b) 4 2 0 16 x dx x −

∫

c)

2 2 3 0 1 (3 1) dx x−

∫

Desarrollo de la actividad: a)

∫

−

2

1

2 dx

) 1 x (

1

es una integral impropia de segunda especie; note que la función tiene una discontinuidad infinita en x=1. Si integramos directamente con la calculadora obtenemos:

Verifiquemos: En este caso, el integrando tiende a infinito cuando x tiende al extremo izquierdo del intervalo de integración, de modo que

∫

−

2

1

2 dx

) 1 x (

1 2

1

1 lim

( 1)

x t

d x x

+ →

=

−

∫

1 2

1 lim

1

x

t

x

+ →

⎡ ⎤

= _⎢− _⎥ =

−

⎣ ⎦ 1

1 lim 1

1

x→+ t

⎡_{− +} ⎤₌

⎢ ₋ ⎥

⎣ ⎦ +∞,

por lo tanto, esta integral impropia diverge a infinito.

b) Aquí también estamos frente a una integral impropia de segunda especie. El integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite superior del intervalo de integración, en este caso en x=4. Si integramos directo obtenemos:

Luego la integral diverge a +∞

Región no acotada representada por la integral impropia:

2

2 1

1 (x−1) d x

∫

Podemos verificar este resultado calculando

2 4

0

lim 16

t

t

x

d x x

−

→

∫

₋ :

O bien directamente

Geométricamente podemos interpretar el valor encontrado como el área de la región no acotada de la figura que mostramos a continuación:

c) Finalmente analicemos la integral impropia de segunda especie

1 2

2 3 0

1 (2 1)

dx x−

∫

.

Esta integral impropia corresponde a la región sombreada en la figura adjunta:

Región no acotada limitada por la curva

2

16

x y

x

=

− y

El integrando tiene una discontinuidad infinita en el punto 1 3

c= al interior del intervalo de integración, por lo tanto

2 2 3 0 1 (3 1) dx x−

∫

1 3 2 3 0 1 (3 1) d x x = −

∫

2 2

3 1 3 1 (3 1) d x x + −

∫

Con la ayuda de la calculadora podemos calcular las dos integrales impropias del lado derecho de la igualdad anterior:

Directamente O bien

Análogamente

Directamente O bien

Luego 2 2 3 0 1 (3 1) dx x−

∫

1 3 2 3 0 1 (3 1) d x x = −

∫

2 2

3 1 3 1 (3 1) d x x + −

∫

= +_{1 5}13 _{, y por lo tanto la integral}

impropia converge.

Actividad 3:

Analice la siguiente integral impropia:

Desarrollo de la actividad:

i) Si definimos en la ClassPad la función f y calculamos directamente

1

( )

f x dx

∞

∫

, notamos que

la calculadora no nos entrega un valor para la integral impropia.

ii) Con la ayuda de la calculadora podemos construir una tabla de valore de

1

( )

f x dx

∞

∫

y a partir

de ella intentar predecir si la integral converge o diverge.

En la ventana del editor de gráficos definamos la función

1

1( ) ( )

x

y x =

∫

f t d t, y generemos tablas de valores para los siguientes valores de x:

x=10, 20,...,100, 200,...,1.000, 2.000,...,10.000 Las tablas que se obtienen son las siguientes:

Que nos sugieren que f x dx( )

∞

∫

es convergente.

¿Qué

hacemos?...

iii) A continuación intentaremos probar lo que es casi evidente a partir de lo observado en las tablas anteriores. Por ejemplo, podemos usar el teorema de Comparación entregado en clases. De hecho:

Sabemos que − 1 ≤ sen(x) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sen2(x) ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ₂

2

x x

sen _≤

₂

x 1

, para todo x ≥ 1 . Y como

vimos en Actividad 1(a), la integral impropia ₂

1

1

dx x

∞

∫

es convergente ; luego por el teorema de

Comparación

1

( )

f x dx

∞

∫

también converge.

Finalmente podemos ilustrar lo anterior graficando las funciones

2

2 2

1

sen x

y e y

x x

= = en