Matrices
y
Determinantes
2º Bachillerato
Dimensión de la matriz mn 2ª columna
3ª fila
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.
a
11
a
12
a
13
... a
1n
a
21
a
22
a
23
... a
2n
a
31
a
32
a
33
... a
3n
..
..
..
..
..
a
m1
a
m2
a
m3
... a
mn
= (a
ij
)
Definición de matríz
Se llama
matriz
de orden
m×n
a todo conjunto rectangular de elementos
a
ijdispuestos en
m
líneas horizontales (filas) y
n
verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma
A =(
a
ij),
con
i
=1, 2, ..., m,
j
=1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz,
el primero denota la fila (
i
) y el segundo la columna (
j
). Por ejemplo el
elemento
a
25será el elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
nn n n n n n na
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11Matriz: Ejemplo
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden
agrupar en una matriz
2 1 1
Expresión matricial: ejemplo
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A
*=
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y
z
=
1
– 2
2
z
4y
x
1
3
5
2
x
y
z
1 2 4
2 3 5
4 5 -1
0 2 -4
-2 0 3
4 -3 0
Matriz fila:
A = (1 3 5 7 9 )
Matriz columna:
A =
2
4
6
ji ija
a
Diagonal secundaria Diagonal principal
Matriz cuadrada:
A=
1 3 5
2 4 6
1 1 1
•
Matriz simétrica:
es una matriz cuadrada
que verifica que:
•
Matriz antisimétrica:
es una matriz
cuadrada que verifica que:
Clasificación de matrices: Forma
ji
ij
-a
a
A = A
TClasificación de matrices: Elementos
• Matriz escalar: es una matriz diagonal donde todos los elementos de ella son iguales.
• Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la diagonal son ceros.
• Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la diagonal son ceros.
• Matriz nula: es una matriz en la que todos los elementos son nulos.
• Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
• Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, cuya diagonal principal es 1.
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un
número
Producto de matrices
Matrices inversibles
Operaciones con matrices I
1.- Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A. Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
Matriz traspuesta: ejemplo y propiedades
I. Para la matriz A, (At)t = A
II. Para las matrices A y B, (A+ B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At
IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica, At = A
Propiedades:
La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (a
ij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
Ejemplo:
Si A =
1 2 3
4 5 6
entonces At=
Operaciones con matrices II
La suma de dos matrices
A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B.Ejemplo
2.- Suma y diferencia de matrices
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices
A y B se representa por A–B, y se define como la sumade A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
Suma de matrices: ej de orden 3
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (a
ij) + (b
ij) =
a
11a
12a
13a
14a
21a
22a
23a
24a
31a
32a
33a
34+
b
11b
12b
13b
14b
21b
22b
23b
24b
31b
32b
33b
34=
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
a
13
+ b
13
a
14
+ b
14
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
a
23
+ b
23
a
24
+ b
24
a
31
+ b
31
a
32
+ b
32
a
33
+ b
33
a
34
+ b
34
Propiedades de la adición de matrices
•
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
•
Conmutativa:
A + B = B + A
•
Elemento neutro:
A + 0 = 0 + A = A
donde 0 es la matriz nula.
•
Elemento opuesto:
A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz
–A (
opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
Operaciones con matrices III
k . A = k . (a
ij
) = k·
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
ka
11
ka
12
ka
13
ka
21
ka
22
ka
23
ka
31
ka
32
ka
33
= (ka
ij
)
Propiedades con la suma y el producto por un número
•
Distributiva I:
k(A + B) = kA + kB
•
Distributiva II:
(k + h)A = kA + hA
•
Elemento neutro:
1 · A = A
•
Asociativa mixta:
k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
El conjunto de las matrices m
xn con las operaciones suma y producto
Operaciones con matrices IV
4.- Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la
forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz
P será de orden m x p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(a
ij
)
m,n
.
(b
ij
)
n,p
=
Posible
filas
columnas
(c
ij
)
m,p
Producto de matrices: Desarrollo
es la matriz C = A · B,
tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
c
ij= a
i1.b
1j
+ a
i2.b
2j+ ... + a
in.b
njEl producto de la matriz
A = (a
ij) =
a
11a
12a
13... a
1na
21a
22a
23... a
2na
31a
32a
33... a
3n..
..
..
..
..
a
m1a
m2a
m3... a
mnpor la matriz
B = (b
ij) =
Ejemplo: producto de matrices
2.
¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3. (b
ij)3,3 =
producto posible
(cij)
2,3
A · B =
2 1 –1
3 –2 0
.
1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=
Propiedades del producto de matrices (I)
I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxp y C de dimensión pxr.
A . (B . C) = (A . B) . C
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión nxr y C de dimensión nxr.
A . (B + C) = A . B + A . C
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión mxn, B de dimensión mxn y C de dimensión nxp.
(A + B) . C = A . C + B . C
las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
I
m· A = A · I
n= A
II.
Elemento unidad. Si A es una matriz mxn, yI
m=
1 ... 0 0 0 .. .. .. .. .. 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 1
e I
n=
1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 .. .. .. .. .. 0 0 0 ... 1
Propiedades del producto de matrices (II)
I. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una de las dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto en un orden distinto al dado.
II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 ó B = 0.
III. Si A . C = B . C y C 0, entonces no necesariamente A = B.
IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
V. (A – B)2 A2 – 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.
VI. A2 – B2 (A – B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.
Ejemplo:
Aunque
0 2
0 0
.
0 –3
0 0 =
0 0
0 0
ninguno de los factores queProducto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.
An = A . A . ... n veces . A
Ejemplo:
1
0
1
1
A
1
0
2
1
1
0
1
1
1
0
1
1
A
A
A
2
1
0
3
1
1
0
2
1
1
0
1
1
A
A
A
3 2A
4
A
A
A
A
A
A
3
1
0
1
1
0
1
3
1
1
0
4
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
A
A
A
A
A
-1Propiedades de la matriz inversa
I.
Si las matrices A y B son inversibles
(A
.B)
–1= B
–1 .A
–1II.
Si A es una matriz inversible y k
0,
(k
.A)
–1= (1/k)
.A
–1III.
Si A es una matriz inversible,
(A
–1)
–1= A
IV.
La matriz unidad es inversible y además
I
–1= I
V.
Si A es una matriz inversible,
(A
–1)
t= (A
t)
–1Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra
matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que
es la matriz inversa de A y se representa por A
-1Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en
caso contrario recibe el nombre de singular.
Métodos de cálculo de la matriz inversa
Directamente
Por el método de Gauss-Jordan
Usando determinantes
Observación:
Podemos encontrar matrices que cumplen
A·B = I
, pero que
B·A
I
, en tal
caso, podemos decir que
A
es la inversa de
B
"por la izquierda" o que
B
es la
inversa de
A
"por la derecha".
Inversa de una matriz (directamente)
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo
la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1.
Y de aquí se deduce que:
Ejemplo:
Dada A =
2 –1
1 1 para obtener A
-1=
x y
z t se ha de cumplir
2 –1
1 1
.
x y
z t =
1 0
0 1
2x – z 2y – t
x + z y + t =
1 0
0 1
2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1
x = 1/3
y = 1/3
z = –1/3
t = 2/3
Por tanto A
-1=
1
3
1
3
– 1
Combinación lineal entre filas y columnas
En una matriz A, las filas pueden representarse por
F
1, F
2, ... , F
my las columnas
por
C
1, C
2, ... , C
n.
Se llama
combinación lineal
de las filas F
1, F
2, F
3... , F
ma una expresión de la
forma:
k
1 .F
1
+ k
2 .F
2+ k
3 .F
3+ ... + k
m .F
msiendo
k
1, k
2, ... , k
mnúmeros reales.
Se llama
combinación lineal
de las columnas C
1, C
2, C
3... , C
na una expresión
de la forma:
k
1 .C
1
+ k
2 .C
2+ k
3 .C
3+ ... + k
n .C
nsiendo
k
1, k
2, ... , k
nnúmeros reales.
A =
a
11a
12a
13... a
1na
21a
22a
23... a
2na
31a
32a
33... a
3n..
..
.. .. ..
a
m1a
m2a
m3... a
mn= (C
1, C
2, C
3, ... , C
n) =
F
1F
2F
3Dependencia lineal entre filas y columnas
• Una fila (o columna) de una matriz depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas.
• Si entre las filas (o columnas) de una matriz, alguna depende linealmente de otras, se dice que son linealmente dependientes; en caso contrario, son linealmente
independientes.
F3 = F1 + 2F2
Ejemplo: En la matriz A =
2 0 –1 1 1 3 1 0
4 6 1 1 la tercera fila es combinación lineal de la primera y la segunda ya que:
En cambio:En la matriz B =
1 2 4
Para aplicar el método
se necesita una matriz cuadrada de rango máximo
.
Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos
que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar
la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación
inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
El método de
Gauss-Jordan
para calcular la matriz inversa de una
dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la
cual se le quiere calcular la inversa.
Dada una matriz
A
de orden
n
, para calcular su inversa hay que
transformar la matriz
(
A
I
I
n)
mediante transformaciones elementales por filas
en la matriz
(
I
nI
B
).
La matriz B será la inversa de
A
.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
En consecuencia al transformar (
A
I
In
) en (
I
nI
B
) realmente lo que
estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones:
A
-1·A= I
n y
A
-1·
In
= A
-1=B
Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente
a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:
1 1 2
1 1 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 0 1 1
F2 – 2F1 F2 F1 + F3 F3
2 2 0 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz
•En primer lugar triangulamos inferiormente:
•Una vez que hemos triangulado superiormente lo hacemos inferiormente:
Por último, habrá que convertir la matriz diagonal en la matriz identidad:
De donde, la matriz inversa de A es
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
Aplicando el método de Gauss-Jordan a la matriz se tiene:
Como hay una fila completa de ceros, la matriz A no tiene rango máximo, en
este caso 2, por tanto no tiene inversa pues es una matriz singular
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan IV: Ejemplo
2º.- Triangulamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz de la derecha.
Queremos calcular la inversa de
1º.-Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,
Cálculo de la Matriz Inversa por el método
de Gauss – Jordan V: continuación
3º.- Triangulamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de la derecha.
Rango de una matriz
•
El rango por filas
de una matriz es el número de filas linealmente
independientes.
•
El rango por columnas
de una matriz es el número de columnas linealmente
independientes.
• Se puede demostrar que el rango por filas
coincide
con el rango por
columnas en cualquier matriz. A este valor común se le llama
rango de la
matriz
y se representa
rg A
.
Operaciones que no modifican el rango de una matriz
•
Intercambiar
dos filas (o columnas) entre sí.
•
Multiplicar
una fila (o columna)
por un número
distinto de cero.
Dependencia e independencia lineal : filas
Vectores fila de una matriz:
Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible
que sean
linealmente Independientes
(L.I.) y es posible que unos dependan
linealmente de otros. Por ejemplo:
Sus dos filas son linealmente independientes
2
4
3
1
5
2
3
2
A
Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen
linealmente de las primeras
4
3
5
0
1
2
3
1
B
2
1
2
3
F
F
F
F
4
F
1
F
2
Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras
1 5 8 2 0 9 3 5 1 C
3
1
2
F
F
F
Teorema
En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de
columnas L.I.
Dependencia e independencia lineal: columnas
Vectores columna de una matriz:
También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores.
Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente
independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir
en algún caso la anterior.
¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes
sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente
teorema nos asegura que no.
Por esto podemos dar una nueva definición de Rango
:Ejemplos rango de una matriz escalonada
2 0 –1 1
0 1 1 0
0 0 1 1
La matriz A = tiene rango 3.
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2
La matriz A = tiene rango 2.
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
2
La matriz A = tiene rango 3.
0
0
0
0
0
2
0
0
1
1
2
0
La matriz A = tiene rango 2.
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos
diferentes:
Métodos de cálculo del rango de una matriz
Por el método de Gauss
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Transformaciones elementales:
Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su
rango varíe.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
Proceso para el cálculo del rango de una matriz:
Método de Gauss
a)
Si es necesario, reordenar filas para que a
11
0 (si esto no fuera posible,
aplicar todo el razonamiento a a
12).
b)
Anular todos los elementos por debajo de a
11: para ello multiplicar la primera
fila por –a
21/a
11y sumar a la segunda, multiplicar la primera fila por –a
31/a
11y
sumar a la tercera, .... multiplicar la primera fila por –a
m1/a
11y sumar a la
m-ésima.
c)
Repetir los pasos anteriores basados en a
22y, después, en cada a
ii.
d)
El proceso termina cuando no quedan más filas o están formadas por ceros.
A =
a
11a
12a
13... a
1na
21a
22a
23... a
2na
31a
32a
33... a
3n..
..
..
..
..
a
m1a
m2a
m3... a
mnCálculo del rango de una matriz
Aplicando los procesos anteriores se puede llegar a una matriz escalonada que
indica el número de filas o columnas independientes y por tanto el rango de la
matriz.
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
Rango 4
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
0 0 0 * *
Rango 3
* * * * *
0 * * * *
0 0 * * *
Rango 2
* * * * *
0 * * * *
A no es inversible
Restando a la segunda fila la primera por 4:
1 –
1
2
1
2 0
0 0 –2 1
Condición para que una matriz sea inversible
Ampliamos la matriz A con la matriz identidad:
2 –1 1 0
4 –2 0 1
Dividiendo la primera fila por 2:
1 –
1
2
1
2 0
4 –2 0 1
• Al operar con las filas de A se ha llegado a una matriz de rango distinto a la dimensión de la matriz A.
• Por tanto: una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y sólo si rg A = n.
• De otra forma: A es inversible si y sólo si sus filas (o sus columnas) son linealmente independientes.
Vamos a estudiar si A =
2 –1
Dada una matriz
cuadrada
se llama
determinante
de
A
, y se representa por |A| ó det(A), al
número:
con
(S
nes el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,..
n
}, e
i
(s) es la signatura de la permutación)
Determinantes
Determinantes de orden 2 y 3
= a
11a
22a
33+ a
12a
23a
31+ a
13a
21a
32– a
13a
22a
31– a
11a
23a
32– a
12a
21a
33.a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33Dada una matriz cuadrada de orden 3
A =
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33det (A) o |A|, al número real siguiente:
Se llama determinante de A,
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
A =
a
a
a
11 12
a
21 22se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
a
a
1121a
a
1222= a
11·
a
22– a
12·
a
21Regla de Sarrus
Aplicaciones a la regla de Sarrus
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
det(A) = 3
.(–2)
.(–4) + 4
.(–3)
.1 + 5
.(–1)
.2 – [1
.(–2)
.2 + (–1)
.(–3)
.3 + 5
.4
.(–4)] =
El determinante de la matriz A
=
3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
Cálculo de determinantes usando desarrollo por los
elementos
de una fila o columna
• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.
• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jM ij.
El
determinante de una matriz
A =
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33es igual a la suma de los elementos
de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:
det (A) = a
i1. A
i1+ a
i2. A
i2+ a
i3. A
i3sería el desarrollo por la i-ésima fila
Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33 = a11
.(-1)1+1 a22 a23
a32 a33 + a21.(-1)2+1
a12 a13
a32 a33 + a31.(-1)3+1
a12 a13 a22 a23
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33 = a31
.(-1)3+1 a12 a13
a22 a23 + a32.(-1)3+2
a11 a13
a21 a23 + a33.(-1)3+3
Determinante de cualquier orden
–3
5
–1
–1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) =
34
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
Por ejemplo
:
2
–1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1
0 1
=
1 · (–1)
2+1–1 1 2
–1 –1 3
–1
0 1
+ 6 · (–1)
2+2
3 –1 3
2
1 2
2 0 1
+
+ 1 · (–1)
2+32
–1 2
3 –1 3
2 –1 1
+
0 · (–1)
2+4
3 –1 –1
2
–1 1
I
. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.II
. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.
Cálculo inmediato de determinantes (I)
Ejemplos:
El determinante de una matriz A =
–1 4 –1
3 2 3
2 5 2
es igual a cero porque la tercera yprimera columnas son iguales.
El determinante de una matriz A =
2 4 –1
1 –2 3
3 –6 9
es igual a cero porque la tercera filaes igual a la segunda multiplicada por 3.
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
–1 0 –1
3 0 3
III.
El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero.IV.
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.Cálculo inmediato de determinantes (II)
Ejemplo:
El determinante de una matriz A =
2 4 0 1 3 –1
3 1 5 es igual a cero porque la tercera columna es igual al doble de la primera menos la segunda.
Ejemplo:
El determinante de la matriz A =
–1 0 –1
0 2 3
V.
El determinante de la matriz unidad es 1Cálculo inmediato de determinantes (III)
Ejemplos:
El determinante de la matriz I
3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
es igual a 1.
El determinante de la matriz I
5=
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
I.
Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número.II.
Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)
Ejemplo:
2 3
4 20 =
4
2 3
.1 4
.5
= 4
2 3
1 5
Ejemplo:
1 – 4
III
. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía.Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)
Ejemplo: Si en A = 2 3 – 1 1 5 2
4 13 4 sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:
B = 2 3
– 1
1 5 2
4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)
I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas.
II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.
Determinantes de operaciones con matrices (I)
Ejemplo:
Sean A =
2 0
1 –1 y B =
4 1
3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.
Como A . B =
8 2
1 –1 y | A
.
B | = – 10 se observa que | A . B | = |A| . |B|
Ejemplo:
Sea A =
3 0
1 1 ; entonces A
–1 =
1/3 0 –1/3 1
III
. Al trasponer una matriz su determinante no varía.VI.
Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo
determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.
Operaciones con matrices (II)
Ejemplo:
Sea A =
2 0 –2 1 1 33 0 2 . Entonces A t =
2 1 3 0 1 0 –2 3 2 Se cumple que | A | = | At |Ejemplo:
Se cumple que: 2 2 0 – 2 1 1 3
3 0 2 = 4 0 – 4 2 2 6
6 0 4 = 2
Operaciones con matrices (III)
Ejemplo:
Sea A =
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
. Entonces se cumple que | A | = 7
Y se tiene que:
2 3 –1
1 5 2
4 13 4
=
1 + 1 3 –1
3 – 2 5 2
1 + 3 13 4
=
1 3 –1
3 5 2
1 13 4
+
1 3 –1
– 2 5 2
3 13 4
= (-70) + 77
Si A =
a
11a
12+ b
12a
13a
21a
22+ b
22a
23a
31a
32+ b
32a
33se cumple que:
a
11a
12+ b
12a
13a
21a
22+ b
22a
23a
31a
32+ b
32a
33=
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33+
a
11b
12a
13a
21b
22a
23a
31b
32a
33El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Rango de una matriz por determinantes I
Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden
p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A
(submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera A m×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.
Definición
:
El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los
menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).
Consecuencias
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3.
• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de
orden dos es distinto de cero rang(A) 2. En caso contrario rang(A) = 1
En caso contrario rang(A) = 1
En caso contrario rang(A) = 2 En caso contrario rang(A) = 2
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.
• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.
En caso contrario rang(A) = 3 En caso contrario rang(A) = 3
Y así hasta que no sea posible continuar
Y así hasta que no sea posible continuar
• El rango de la matriz nula es 0.
• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.
• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.
• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento aij por su adjunto Aij.
Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)
Ejemplo: Dada la matriz (A) =
2 -2 2
2 1 0
3 -2 2
,
su adjunta sería:adj (A)=
–2 2 –
1 0
2 0
3 2
2 1
3 –2
–
–2 2
–2 2
2 2
3 2 –
2 –2
3 –2
–2 2
1 0 –
2 2
2 0
2 –2
2 1
=
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2
0
Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)
Ejemplo:
Dada la matriz A =
2 –2 2
2 1 0
3 –2 2
, pretendemos encontrar su inversa:
Ya hemos visto que: adj (A) =
2 –4 –7
0 –2 –2
–2 4 6
Entonces: [adj (A)]
t=
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
Por lo tanto: A
–1=
| A | [adj (A)]
1
t=
1
–2
2 0 –2
–4 –2 4
–7 –2 6
=
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila • 2ª fila por (–2) + 3ª fila • 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª columna
–18
Cálculo de determinantes por el método de Gaus
Ejemplo
:
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1
.– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
= –1
.
