Cap-11_ELEMENTOS-FINITOS_Parte-1

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(1)Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Capítulo 11. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 1 INTRODUCCIÓN La solución analítica exacta de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cuerpos deformables es de sumo interés en innumerables circunstancias para el ingeniero, pero la posibilidad de acceder a la misma está seriamente limitada por la complejidad de los problemas de interés práctico. En efecto, la geometría del cuerpo, las condiciones de borde o apoyo, los estados de carga y los aspectos relacionados al comportamiento mecánico de los materiales hacen que con frecuencia las soluciones exactas sean inaccesibles. Esta seria limitación, reconocida por físicos y matemáticos de todos los tiempos, llevó al desarrollo de técnicas o teorías aproximadas destinadas a la resolución de problemas específicos de la mecánica de sólidos elásticos. Así, surgió la teoría de vigas, con la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje deformado, las teorías de placas planas en flexión, como una generalización de la teoría de vigas a dos dimensiones y luego las teorías de láminas o cáscaras curvas, entre otras. Estas teorías fueron posteriormente modificadas o ampliadas para cubrir un mayor número de casos de interés práctico, pero a pesar de ello subsisten muchísimos problemas que no pueden ser resueltos satisfactoriamente con ellas. Tanto estas teorías especiales como la teoría general de la elasticidad dan origen a sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas, donde interesa obtener su solución para condiciones de carga, geometría y contorno más o menos arbitrarios con el mayor grado de generalidad posible. Como respuesta a este problema surgieron los métodos de aproximación basados en consideraciones energéticas, pudiendo citarse los métodos de Rayleigh-Ritz y Galerkin entre otros. Estos métodos son procedimientos analíticos que proponen reemplazar la respuesta del sistema (campo de desplazamientos desconocido) por funciones de aproximación que sean relativamente simples (polinomiales o armónicas), que deben cumplir ciertas condiciones de continuidad y además satisfacer las condiciones de borde establecidas para el problema. Así es que se transforma el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales que gobiernan el fenómeno en un sistema de ecuaciones algebraicas, cuyas incógnitas representan los parámetros característicos de las funciones de aproximación adoptadas. Aunque por ese camino se pueden resolver muchos problemas interesantes, se comprueba que en los casos de estructuras complejas, ya sea por su geometría, condiciones de apoyo y/o condiciones de carga, no es posible la determinación de una función de aproximación que conduzca a la solución a través de un procedimiento sistemático que ofrezca cierta generalidad. El último párrafo merece un comentario aparte. Debe notarse que la misión del ingeniero es resolver problemas y para ello es necesario disponer de herramientas de aplicabilidad general, que no requieran de un tratamiento específico y particular para cada caso que se presente. Esta es una de las principales causas por las que fue abandonado el Método de las Diferencias Finitas, donde en las ecuaciones diferenciales que representan un problema se reemplazan las derivadas por expresiones incrementales, lo que conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas. Las Diferencias Finitas permiten resolver problemas estacionarios y transitorios con muy buena aproximación, para lo cual debe tenerse la precaución de utilizar incrementos de las variables independientes de un tamaño apropiado. Sin embargo, como contrapartida, se requiere un tratamiento específico para cada caso particular, con muy pocas posibilidades de generalización, por lo que resulta muy costoso introducir cambios en los modelos o reciclar soluciones de problemas similares. Es en este contexto que hace su aparición el Método de los Elementos Finitos (MEF ), favorecido por el vertiginoso desarrollo de la computación y destinado a provocar un trascendental impacto en el cálculo estructural y posteriormente en todos los campos de estudio de los medios continuos. Puede afirmarse, sin temor a exagerar, que muchas de las estructuras concebidas en los últimos cuarenta años hubiesen sido impracticables de no contarse con una herramienta de cálculo como lo es el Método de los Elementos Finitos. Para brindar un ejemplo, las estructuras de los aviones de fuselaje ancho solo fueron posibles al poder determinarse los campos de tensiones con gran detalle, lo que condujo a estructuras más confiables y livianas. Como introducción general, puede decirse que el método de los elementos finitos permite obtener la solución de un problema mediante la descomposición del objeto estudiado en un gran. 201.

(2) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. número de constituyentes básicos o elementos, los que se interconectan a través de puntos denominados nodos. Esto se basa en el hecho de que es posible de determinar numéricamente el comportamiento físico de cada uno de estos elementos, a partir de las ecuaciones propias del problema tratado y de las condiciones de contorno adyacentes. Luego, una vez determinadas las propiedades de cada elemento, éstas son combinadas para posibilitar la representación de la estructura completa y evaluar su comportamiento. La solución del problema provee los desplazamientos de estos nodos, y a partir de ellos, las deformaciones y las tensiones del sistema estudiado. Nótese que esto ya fue realizado en un curso anterior al ensamblarse estructuras de elementos prismáticos a través de una formulación matricial con el Método de la Rigidez, por lo que puede decirse que el método de los elementos finitos es una evolución o generalización del Cálculo Matricial de Estructuras, e históricamente de hecho lo fue. Inversamente, y desde una óptica general, podría reconocerse a las barras prismáticas como elementos finitos de una sola dimensión. Así ambos, el Método de los Elementos Finitos y el Cálculo Matricial de Estructuras exhiben la cualidad de la que carecía el método de las Diferencias Finitas: su aplicabilidad sistemática. A título de ejemplos se muestran dos modelos de elementos finitos. En la Figura 1 se representan dos piezas deslizantes y en la Figura 2 el modelo de una biela de un motor de combustión interna. Superficie de contacto. Figura 1: Dos piezas deslizantes con superficie de contacto cilíndrica. Figura 2: Modelo de una biela de un motor de combustión interna. Para estudiar las piezas deslizantes de la Figura 1 puede asumirse que la profundidad es muy grande y basta con representar un corte en un plano transversal de las mismas, por tratarse de lo que es denominado estado plano de tensión. Para ello se utilizan elementos finitos de dos dimensiones, tales como los triángulos y cuadriláteros, en lugar de tener que representar la totalidad del sólido, lo que implica una enorme reducción en la complejidad del modelo. Por el contrario, la biela de la Figura 2 esta sometida a condiciones de trabajo que obligan a desarrollar un modelo espacial con elementos 3D que represente fielmente los alojamientos del perno de pistón y cojinete de bancada, reproduzca las irregularidades geométricas que seguramente dan lugar a concentración de tensiones y permita aplicar las condiciones de carga distribuidas sobre superficies de contacto.. 2 BREVE RESEÑA HISTÓRICA En realidad, esta forma de abordar un problema físico fue propuesta hace ya varios siglos, pero su efectiva puesta en práctica debió esperar hasta la disponibilidad de las primeras computadoras. Las elevadas exigencias de cálculo inherentes a este enfoque, en especial cuando se trabaja con modelos tridimensionales, restringían su aplicación manual a casos muy simples. No es por lo tanto una coincidencia que el Método de los Elementos Finitos haya comenzado a utilizarse tan pronto se dispuso de computadoras y de lenguajes superiores de programación ( Backus et al., 1956). A partir de allí, la incesante evolución de la tecnología ofreciendo procesadores más rápidos, mayores capacidades de memoria y compiladores más eficientes favoreció la amplia difusión del método de los elementos finitos y la posibilidad de tratar modelos de dimensiones asombrosas. A esto debe sumarse la contribución de la evolución experimentada en otros campos, como son el análisis numérico y la computación gráfica. Mucho más recientemente, el procesamiento paralelo suma un nuevo recurso que tendrá un fuerte impacto, hoy insospechado, en el cálculo estructural y procesos de simulación de los próximos años.. 202.

(3) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Volviendo a la historia del MEF, se reconoce como precursores a Duncan y Collar, quienes en 1930 presentaron una formulación matricial destinada a resolver problemas aeroelásticos. Ellos mismos fueron luego autores de los primeros dos artículos sobre el tema (Duncan y Collar, 1934 y 1935) y presentaron juntamente con Frazer un libro que introdujo la terminología que es aún hoy utilizada (Frazer, Duncan y Collar, 1938). Llegaron luego los aportes de McHenry (1943) y la publicación de una serie de artículos en la que Argyris presentó un enfoque matricial de los métodos de las fuerzas y rigidez que se apoyó en los teoremas energéticos. Argyris también insinuó que su enfoque matricial podría ser extendido mas allá de las barras prismáticas, para considerar elementos estructurales de dos y tres dimensiones (Argyris y Kelsey, 1955). A los pocos años Turner (1959) trabajó en un modelo aeroelástico de un ala delta en el que empleó barras y elementos triangulares para repre-sentar su recubrimiento, lo que constituyó una de las primeras aplicaciones prácticas del método para la resolución de problemas reales. Además, propuso al método de los desplazamientos como el camino más apropiado para una implementación sistemática y eficiente del nuevo procedimiento de cálculo. Hasta ese momento, la implementación del análisis matricial de estructuras primero y del método de los elementos finitos después daba lugar a dos enfoques posibles según el orden en que se formulaba el problema matemático y en consecuencia cuales eran las incógnitas principales resultantes: desplazamientos o fuerzas. Finalmente, el Método de la Rigidez con los desplazamientos como incógnitas principales demostró ser el más apropiado para su implementación en computadora, tal como lo comprobó Turner, y quedo de hecho establecido. Sin embargo, hubo prestigiosos autores que insistieron por mucho tiempo con las bondades del Método de las Fuerzas (Robinson, 1973) y también quienes propusieron una combinación de desplazamientos y fuerzas como incógnitas principales, reunidas en lo que fue llamado “vector de estado”. Este último método de incógnitas combinadas, denominado de Matrices de Transferencia, estaba inspirado en la técnica propuesta por Holzer (1921) para el análisis dinámico de cigüeñales, fue extendido por Myklestad (1944) al estudio de vigas en flexo torsión y posteriormente planteado matricialmente por Pestel y Leckie (1963). Si bien se trata de un método conceptualmente muy interesante, es muy difícil de sistematizar para tratar estructuras de geometría compleja, por lo que fue prácticamente abandonado. El Método de los Elementos Finitos se desarrolló entonces en base a los desplazamientos como incógnitas principales y su nombre “elementos finitos” fue empleado por primera vez por Clough en 1960. Posteriormente, los libros presentados por Przemieniecki (1968) y Zienkiewicz (1967 y 1994) contribuyeron enormemente a la difusión del método en los ámbitos universitarios e industriales. El mismo Zienkiewicz junto a otros autores (Cheung y Taylor) presentó una interpretación amplia del método de los elementos finitos en la que extiende su aplicación a diversos problemas de campos. Naturalmente, se ha hecho de una reseña histórica muy breve que omite a numerosísimos investigadores que hicieron sustanciales aportes para que el Método de los Elementos Finitos cubra en la actualidad todo el espectro de problemas de la mecánica del continuo, y lo haga eficazmente, convirtiéndose en una herramienta esencial para la ingeniería moderna. Sin embargo, no sería justo terminar esta reseña sin mencionar a los prestigiosos profesores Edgard Wilson y Klaus Bathe, de la Universidad de California, Berkeley. Wilson desarrolló uno de los primeros sistemas integrales para la aplicación práctica del Método de los Elementos Finitos, denominado SAP -Structural Analysis Program, (Wilson, 1970). Posteriormente se incorporó Bathe al grupo de trabajo y con su aporte se completó el proyecto en 1972, denominado SAP IV. Ambos, Bathe y Wilson, desarrollaron luego un nuevo sistema de cálculo denominado NONSAP (Bathe, Wilson,Iding, 1974) que contemplaba materiales no lineales, grandes deformaciones y grandes desplazamientos. También cabe destacar que ambos fueron autores de un libro titulado “Numerical Methods in Finite Element Analysis” (1976) en el que sintetizan sus experiencias y que se convirtió rápidamente en un clásico. El mérito de Bathe y Wilson estuvo tanto en la calidad de sus trabajos como en su distribución gratuita en todo el mundo, incluyendo los programas fuentes, posibilitando que el Método de los Elementos Finitos salga de los ámbitos académicos y se incorpore como herramienta práctica de uso habitual en las oficinas de proyecto de ingeniería.. 203.

(4) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 3 MODELOS DISCRETOS El proceso de resolver un problema de ingeniería a través de una computadora se presenta en el esquema de la Figura 3. Para comenzar, el problema físico debe ser idealizado a través de un modelo conceptual que debe preservar las características esenciales de la realidad y descartar toda otra característica que no tenga incidencia significativa en el caso estudiado. Estas características incluyen el comportamiento de la estructura (desplazamientos grandes o pequeños), tipos de cargas (estáticas o dinámicas), propiedades del material (linealidad, elasticidad, isotropía, etc.), complejidad geométrica (2D, 3D, etc.), condiciones de apoyo (concentradas, distribuidas, etc.) y otras condiciones de trabajo que formen parte del problema (movimientos de apoyos, variación térmica, rozamiento, etc.).. Idealización. Sistema Físico. Modelo Conceptual. Discretización. Modelo Matemático. Solución. Modelo Discreto. Solución Discreta. Errores de la Solución. Errores de la Discretización y Solución. Errores de la Formulación Matemática, Discretización y Solución. Errores de la Idealización, Formulación Matemática, Discretización y Solución. Verificación. Validación Figura 3: Proceso de resolución de un problema de ingeniería. La definición correcta de esta etapa es fundamental para entender y delimitar el fenómeno estudiado y puede conducir a dos situaciones extremas: i) modelos incapaces de representar adecuadamente el problema estudiado y ii) modelos innecesariamente complejos. En el primer caso se han ignorado características esenciales en el desarrollo del modelo y éste no será capaz de brindar resultados correctos referidos al problema planteado, con el consiguiente riesgo que esto implica. En el segundo caso ocurre lo contrario, es decir se han preservado características no relevantes y/o un nivel de detalle innecesario, lo que dificulta la determinación de la solución, la hace muy costosa o contribuye a confundir comportamientos importantes con otros que no lo son. Una vez disponible el modelo conceptual se llega a la segunda etapa, en la que se propone una formulación matemática para resolver el problema físico, que ya ha sido convenientemente delimitado. Para ello, y en el caso de la mecánica del sólido continuo, se recurre a las denominadas ecuaciones fundamentales de la elasticidad: ecuaciones de equilibrio, relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas, las que normalmente conducen a una formulación matemática del problema a través de un sistema de ecuaciones diferenciales. Con el fin de poder alcanzar este modelo matemático es muchas veces necesario simplificar aún más el modelo conceptual y/o definir con claridad su alcance dentro del rango de las variables independientes del problema estudiado.. 204.

(5) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Tal como ya fue comentado con anterioridad, el modelo matemático no puede ser planteado en forma integral para dominios de interés práctico, quedando esta posibilidad reservada solo a casos muy simples. Para superar esta dificultad se transforma al modelo matemático en un modelo discreto, ya sea a través de diferencias finitas o a través de método de los elementos finitos. En el primer caso, como ya fue anticipado, la formulación diferencial es convertida en un sistema de ecuaciones algebraicas al introducir fórmulas de derivación numérica. En el segundo el sólido elástico es descompuesto en elementos simples y es aquí muy importante seleccionar los tipos de elementos apropiados para representar el comportamiento del objeto estudiado. Luego es necesario disponer los elementos formando mallas de elementos, establecer sus condiciones de apoyo y definir las cargas actuantes, todas las cuales deben ser discretizadas en concordancia con los tipos de elementos utilizados. Finalmente, la última etapa corresponde a la obtención de la solución, que normalmente incluye la resolución de grandes sistemas de ecuaciones algebraicas que conducen a la determinación de desplazamientos, que son las incógnitas primarias del problema. Posteriormente se obtienen las incógnitas secundarias, representadas por las solicitaciones, reacciones de apoyos, deformaciones y tensiones. En el caso del estudio de la respuesta de estructuras en el dominio del tiempo la solución incluye el cálculo de frecuencias y modos de vibración (autovalores y autovectores) y la integración numérica de sus ecuaciones dinámicas. Nótese que cada una de las etapas tiene características muy particulares y son por si mismas fuentes de errores, todos los cuales contribuyen a desviaciones de los resultados respecto de los que corresponden al problema real. Como se puede comprobar, los errores tienen orígenes diversos y para identificarlos es necesario tener en claro los conceptos de “validación” y “verificación”. La verificación se refiere a la comprobación de que el problema ha sido correctamente resuelto, teniendo esencialmente que ver con su formulación matemática, discretización y resolución numérica. La validación, por el contrario, tiene que ver con que el problema resuelto sea el correcto. Es decir, asegurar que no se haya resuelto correctamente un problema que en realidad no es el problema planteado. El proceso de validación se refiere a la comprobación de que el modelo conceptual estudiado responde al problema físico, es decir que el modelo rescata de la realidad todas sus características esenciales. En resumen, la comprobación de que se estudió el problema correcto es el objetivo de la validación y de que se alcanzaron las soluciones correctas es el objetivo de la verificación. Esto último podría ser consecuencia de una formulación matemática errónea, una mala discretización, el uso de un algoritmo inapropiado, un error de programación, un problema numérico que condujo a una excesiva propagación de errores, etc. Una vez planteado el proceso tendiente a la obtención de la solución de un problema, la comprobación de su correctitud y la identificación de las causas de errores, es oportuno reconocer otro concepto muy vinculado a los problemas y es el de su complejidad. El concepto de complejidad admite diferentes interpretaciones según el punto de vista considerado. Estas son: i ) Complejidad del problema, que es inherente al objeto estudiado, ii ) Complejidad cognitiva, que se refiere al esfuerzo requerido para entender el problema, iii ) Complejidad matemática, que es la naturaleza de la formulación involucrada, iv ) Complejidad algorítmica, que refleja la dificultad que ofrece el proceso adoptado para alcanzar la solución, v) Complejidad estructural, que es la composición del software usado para implementar los algoritmos y vi ) Complejidad operativa, que es una medida del esfuerzo que demanda alcanzar la solución del problema. Desde un punto de vista informático, intuitivamente se asocia la complejidad operativa con los recursos de cómputo requeridos para resolver un problema, es decir espacio de memoria y tiempo de proceso. Como se comprueba, cualquiera sea la interpretación de complejidad, se trata de un indicador difícilmente cuantificable salvo en el caso de la complejidad operativa, motivo por el cual esta ha sido intensamente estudiada y ha dado lugar a una disciplina denominada Teoría de la Complejidad Computacional. A partir de sus indicadores, y bajo ciertas precauciones que aseguren que sus valores puedan ser comparables, se los utiliza para evaluar otras interpretaciones de la complejidad, como la matemática y la algorítmica. Los indicadores de complejidad operativa, el espacio de memoria y tiempo de proceso, son los factores que impidieron la utilización de los elementos finitos hasta que se dispuso de medios automáticos de cálculo con capacidades acordes a los requerimientos de los problemas de interés práctico.. 205.

(6) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 4 PUNTOS DE VISTA EN EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Como ya fue mencionado, la idea general del método de los elementos finitos es la división de un dominio continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos, donde las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del dominio completo gobernarán también el de cada uno de los elementos. Este proceso de discretización permite pasar de un sistema continuo de infinitos grados de libertad, que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema discreto con un número de grados de libertad finito y cuyo comportamiento se representa por un sistema de ecuaciones algebraicas, que pueden ser lineales o no. A partir de esta descripción general se advierte que el estudio del método de los Elementos Finitos puede ser abordado con diferentes objetivos desde tres diferentes puntos de vista que se describen a continuación.. 4.1 Utilización de sistemas en la resolución de problemas de ingeniería Existen sistemas de cálculo generales que son aptos para abordar los más diversos tipos de problemas y hay también otros más específicos, destinados a resolver problemas particulares. Los sistemas generales prevén el análisis estático y dinámico de estructuras, la determinación de desplazamientos, solicitaciones y tensiones. Es decir se trata de sistemas destinados al análisis de estructuras. Por el contrario, los sistemas específicos incluyen también opciones de diseño estructural según las previsiones de normas e incluyen verificación del cumplimiento de las mismas. Además, disponen de elementos específicos, facilidades para las definiciones de las condiciones de carga y la emisión de los correspondientes diagnósticos. Pueden citarse como ejemplos los sistemas de análisis y diseño de torres metálicas y los de cañerías. Los sistemas de Elementos Finitos, ya sean generales o específicos, se han convertido en una herramienta insustituible para el ingeniero y su utilización exige un profundo conocimiento de las facilidades de cálculo disponibles, sus alcances y limitaciones. En efecto, es necesario poder seleccionar los elementos más apropiados para cada caso, establecer los apoyos, definir las condiciones de carga y finalmente interpretar los resultados. Para esto último se dispone normalmente de facilidades para su representación gráfica.. 4.2 Desarrollo de sistemas de cálculo A pesar de la gran oferta de sistemas de análisis estructural de variado alcance, no debe descartarse la posibilidad de tener que desarrollar un sistema específico para estudiar problemas particulares. En estos casos se restringe la generalidad del sistema con el fin de abordar en análisis y diseño de estructuras especiales que deben responder a normas particulares. Aquí debe tenerse en cuenta que el desarrollo de sistemas requiere un profundo conocimiento de tres disciplinas básicas; que son: i ) el cálculo estructural, ii ) el análisis numérico y iii ) la programación de computadoras. Aún a pesar de la ya mencionada disponibilidad de variados sistemas de análisis y diseño estructural, el desarrollo de nuevos sistemas, en muchos casos de dimensiones reducidas, también se justifica ampliamente en ámbitos universitarios y de investigación por brindar la oportunidad de conocer el problema en profundidad y desarrollar aptitudes para la obtención de mejores rendimientos a través del mejor aprovechamiento de los recursos tecnológicos disponibles. El aprovechamiento efectivo del procesamiento paralelo sirve de ejemplo en este sentido.. 4.3 Desarrollo de nuevos elementos Un dominio es discretizado a través de elementos que deben ser seleccionados según las características y propiedades que se desea preservar en el modelo. Para ello debe disponerse de una amplia variedad de elementos y su desarrollo constituyó un activo campo de investigación durante muchos años. En la actualidad se busca desarrollar nuevos elementos que mejoren el comportamiento de elementos existentes, ya sea porque conducen a la obtención de resultados similares con modelos más simples o porque permiten mejorar la calidad de los mismos. También se trabaja en el desarrollo de elementos para tratar problemas muy especiales, como son el caso de la propagación de grietas, representación de materiales compuestos, análisis plástico, no lineal, etc.. 206.

(7) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 5 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) En las secciones anteriores se ha descripto la idea general de dividir un dominio continúo en un conjunto discreto de subdominios interconectados. Eso es ejemplificado en la Figura 4 para el caso de una planchuela plana cargada en su mismo plano y que se aprovecha para definir la terminología de uso habitual en el tratamiento de este tema: Elementos: subdominios elementales continuos que son tratados mediante las ecuaciones de la elasticidad y utilizados para representar el objeto de estudio. Nodos: Puntos característicos en función de los cuales se definen las propiedades elásticas de los elementos y permiten vincular diferentes elementos entre sí. Mallas: Ensamble de elementos destinados a reproducir un cierto medio continuo a través de un modelo discreto. Grados de Libertad de un nodo: Número mínimo de parámetros necesarios para definir completamente la posición de un nodo. Grados de Libertad de un elemento: Cantidad de parámetros a través de los cuales se expresan las propiedades elásticas de un elemento, lo que significa que es el orden de su matriz de rigidez. Grados de Libertad de un modelo discreto: Total de grados de libertad de los nodos de una malla de elementos menos los grados de libertad que están restringidos por condiciones de apoyo, ya sean fijos o de movimientos predefinidos. Representa el orden de la matriz de rigidez de la estructura. Condición de carga: Conjunto de acciones aplicadas sobre el objeto estudiado. A título de ejemplo, la planchuela de la Figura 4 da lugar a un estado plano de tensión, por lo que cada nodo tiene dos grados de libertad (desplazamientos en dos direcciones ortogonales) y los elementos triángulo empleados en el modelo tienen seis grados de libertad cada uno. El modelo tiene un total de 31 nodos y 56 grados de libertad (31 x 2 – 3 x 2 = 56), con una malla formada por 43 elementos del mismo tipo. Nótese que los elementos han sido dispuestos de manera de reproducir el contorno del dominio de la mejor manera posible, lo que obviamente depende de la cantidad de elementos utilizados. El mejor modelo será el más simple que permita obtener resultados correctos, con errores máximos acordes a los objetivos planteados para el análisis.. Discretización. Objeto estudiado Modelo discreto Figura 4: Dominio plano y su modelo discreto. 5.1 Funciones de aproximación Un término adicional que debe ser introducido es el de función de desplazamiento o de aproximación, que se refiere a la función adoptada para representar el comportamiento de los desplazamientos dentro de cada tipo de elemento. Su importancia reside en que el MEF es implementado a través del método de la rigidez, con los desplazamientos de los nodos como incógnitas principales, y las distribuciones de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el interior de los elementos dependerá de los valores resultantes en los desplazamientos de los nodos y de la función de aproximación adoptada en la formulación del método. Por tal motivo, es necesario disponer de una expresión que permita conocer los desplazamientos de cualquier punto del elemento a partir de su posición y de los desplazamientos de sus nodos que lo definen.. 207.

(8) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Para estas funciones de aproximación se utilizan normalmente polinomios, que ofrecen dos ventajas importantes: i ) son fáciles de manipular matemáticamente; evaluar, derivar, integrar, etc. y ii ) a medida que aumenta el grado del polinomio la solución debería converger asintóticamente a la del medio continuo representado, lo que implica que un polinomio de grado infinito permitirá obtener una solución exacta. Las funciones de aproximación polinomial de grado “n” para el problema de dos dimensiones del ejemplo de la Figura 4 responden a las siguientes expresiones:. u1 ( x1 , x2 ) = α10 + α11 x1 + α12 x2 + α13 x1 x2 + α14 x12 + α15 x22 + ... + α1m−1 x1n + α1m x2n u 2 ( x1 , x2 )= α 20 +α 21 x1 +α 22 x2 +α 23 x1 x2 +α 24 x1 +α 25 x2 +...+α 2 m−1 x1 +α 2 m x2 2. 2. n. n. (1). Las consideraciones realizadas conducen a pensar en la conveniencia de adoptar polinomios de grado elevado. Sin embargo, al aumentar el grado “n” de los polinomios aumenta también la cantidad de constantes αik (i = 1,2..; k = 0,1..,m) que son necesarias para su definición, y estas constantes deben obtenerse a partir de las incógnitas principales del problema, es decir los desplazamientos de los nodos incluidos en el elemento. Esto significa que los elementos deben contener una cantidad de nodos acorde al grado de la función de aproximación, de manera de hacer posible la determinación de esos coeficientes. En conclusión, aumentar el grado de la función de aproximación mejora la calidad de la solución y a la vez aumenta los nodos y grados de libertad de los elementos, lo que conduce a modelos más complejos, por lo que es necesario encontrar una solución de compromiso. Para ilustrar el tema se presenta a continuación un ejemplo con un caso muy simple. Ejemplo 1 Se adopta una función de aproximación lineal para un elemento triángulo plano similar a los utilizados en el modelo de la Figura 5 y se desea expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio en función de los desplazamientos de los nodos. k. x2. p(x1, x2). α10 + α11 x1p + α12 x2p u1p ( x1 , x2 ) =. (2). j. u ( x1 , x2 ) =α 20 + α 21 x + α 22 x p 2. p 1. p 2. i x1 Figura 5: Elemento triángulo plano y sus funciones de aproximación lineal. Nótese que en la definición de los símbolos que representan las posiciones y desplazamientos de los nodos el subíndice define la dirección y el supraíndice define el punto considerado. Las expresiones (2) son aplicables en todos los puntos del dominio y por lo tanto pueden aplicarse a los vértices del triángulo, cuyos desplazamientos son conocidos. Se obtiene así el siguiente sistema de ecuaciones lineales:. u1i ( x1 , x2 ) =α10 + α11 x1i + α12 x2i j. j. j. u2i ( x1 , x2 ) =α 20 + α 21 x1i + α 22 x2i j. j. j. u1 ( x1 , x2 ) = α 10 +α 11 x1 +α 12 x2. u 2 ( x1 , x 2 ) = α 20 +α 21 x1 +α 22 x2. u1k ( x1 , x2 ) =α10 + α11 x1k + α12 x2k. u2k ( x1 , x2 ) =α 20 + α 21 x1k + α 22 x2k. (3). Estas ecuaciones son expresadas en forma matricial y reordenada en (4), de manera de expresar a las incógnitas en función de los desplazamientos de los nodos y sus posiciones. Las incógnitas del problema son los coeficientes α ik que definen las funciones de aproximación (2).. 208.

(9) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. α10  1 x1i    α11  0 0 α12  1 x1j  =  α 20  0 0 α 21  1 x1k    α 22  0 0. x2i 0 0 x2j 0. 1 0 1 0 1. x2k 0. 0  x2i  0  x2j  0  x2k . 0 x1i 0 x1j 0 x1k. −1.  u1i   i  u2  u1j   j  u2  u k   1k  u2 . (4). que en forma resumida puede presentarse como. {α } = [ X ] { u } −1. (5). donde la matriz “X ” esta compuesta por las posiciones de los vértices del triángulo. Tal como fue planteado, la determinación de los coeficientes “α ” involucra la inversión de “X ”, cuyo orden es igual a la cantidad de grados de libertad del elemento, y estos coeficientes permiten conocer los desplazamientos de cualquier punto del dominio según lo expresa (2).. 5.2 Funciones de aproximación en coordenadas triangulares La necesidad de invertir la matriz “X ”, una operación matricial que normalmente se desea evitar, llevó a explorar alternativas para definir las funciones de aproximación de manera más directa. Algunas de ellas son muy ingeniosas, y para el caso de elementos triangulares se propuso hacerlo a través de coordenadas triangulares, que se definen a continuación.. a1i x2. k ( j). Aj. i. Ai. (i ). a 2i. p Ak (k). j. x1 Figura 6: Elemento triángulo plano. Simbología utilizada en coordenadas triangulares. Los nodos del triángulo son identificados como “i”, “j”, “k”, ordenados en un cierto sentido, en este caso antihorario. A su vez, se asigna la misma denominación a los lados opuestos de los nodos, mostrados en la Figura 6 entre paréntesis. Por ultimo, las componentes horizontal y vertical de cada uno de los lados del triángulo son identificados con la letra “a”, donde el subíndice corresponde a la dirección y el supraíndice al cateto correspondiente. Así, todos los lados del triángulo quedan definidos por las siguientes componentes: a1i = x1k − x1j ;. a2i = x2k − x2j. a1j = x1i − x1k ;. a2j = x2i − x2k. a = x −x ;. a = x −x. k 1. j 1. i 1. k 2. j 2. (6). i 2. Nótese que todo punto arbitrario “p” perteneciente al dominio define sobre el triángulo tres zonas, cuyas áreas son identificadas como Ai, Aj y Ak , siendo Ai +Aj +Ak = A el área total del triángulo. A partir de los valores de estas áreas se definen las llamadas coordenadas triangulares, que son las siguientes: = ζ i ( x1 , x2 ). Ai , ζ j ( x1 , x2 ) = A. Aj , ζ k ( x1 , x2 ) = A. Ak A. (7). y de acuerdo a como están definidas, no se trata de tres coordenadas independientes ya que 209.

(10) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. ζ i ( x1 , x2 ) + ζ j ( x1 , x2 ) + ζ k ( x1 , x2 ) = 1. (8). Disponiendo de estas coordenadas triangulares, se las puede emplear para definir funciones de aproximación destinadas a expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio a partir de los desplazamientos de sus vértices (nodos). u1 ( x1 , x2 ) = u1i ζ i ( x1 , x2 ) + u1j ζ j ( x1 , x2 ) + u1k ζ k ( x1 , x2 ) u2 ( x1 , x2 ) = u2i ζ i ( x1 , x2 ) + u2j ζ j ( x1 , x2 ) + u2k ζ k ( x1 , x2 ). (9). Es decir que, en lugar de quedar los desplazamientos definidos en función de los coeficientes “α” de la expresión (2) y (4), se lo hace con las expresiones (9) y para ello se deben determinar las coordenadas ζ. Estas se obtienen a través del algebra vectorial, tal como se muestra a continuación:    t1 t2 t3   Ai ( x1 , x2 ) = 1 ( jk × jp )= 1 a1i a2i 0 = 1 ( x1j − x1 ) a2i − ( x2j − x2 ) a1i  2 2 2 x1 − x1j x2 − x2j 0   Aj ( x1 , x2 ) = 1 (ki × kp ) = 2.  t1 1 aj 1 2 x1 − x1k.  t2 a2j x2 − x2k.  t3 0 = 0.   1 ( ij × ip )= 2.  t1 1 ak 1 2 x1 − x1i.  t2 a2k x2 − x2i.  t3 0 = 0. Ak ( x1 , x2 )=. 1 ( x k − x ) a j − ( x k − x ) a j  1 2 2 2 1  2 1. (10). 1 ( xi − x ) a k − ( xi − x ) a k  2 2 1  2  1 1 2. Reemplazando (10) en (7) se obtienen las expresiones específicas para las coordenadas triangulares que permiten definir las funciones de aproximación (9). Ai ( x1j − x1 ) a2i − ( x2j − x2 ) a1i = 2A A k Aj ( x1 − x1 ) a2j − ( x2j − x2 ) a1j ζ j ( x1 , = x2 ) = 2A A Ak ( x1i − x1 ) a2k − ( x2i − x2 ) a1k ζ k ( x1 ,= x2 ) = 2A A. ζ i ( x1 ,= x2 ). (11). Ejemplo 2 Se propone expresar en coordenadas triangulares las posiciones de los puntos “A”, “B”, “C” y “D” mostrados en el triángulo representado en la Figura 7. k. x2. P(ζ i , ζ j , ζ k ) B. C. A(⅓,⅓,⅓) B(0,½,½). A j. C(½ , 0 , ½). D. D(½,½,0). i x1. Figura 7: Identificación de posiciones de puntos usando coordenadas triangulares. Tal como fue expresado en la ecuación (8), no se trata de coordenadas independientes ya que definen las posiciones de puntos en el plano a través de tres parámetros.. 210.

(11) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 5.3 Funciones de aproximación y condiciones de convergencia Se ha demostrado que las propiedades de rigidez de una estructura obtenidas a través del MEF son mayores que las que corresponden a la solución exacta, lo que equivale a decir que los verdaderos desplazamientos representan un límite superior para los que puedan obtenerse a través de diferentes modelos discretos. En estas condiciones, es de esperarse que los desplazamientos brindados por los diferentes modelos se aproximen asintóticamente, y en forma creciente, a los valores reales a medida que la cantidad de elementos (y grados de libertad) crecen. Sin embargo, para asegurar esta tendencia asintótica se deben cumplir tres condiciones básicas: i) Las funciones de aproximación de los desplazamientos deben ser continuas dentro del dominio y los desplazamientos de elementos adyacentes deben ser compatibles en los bordes. ii) Las funciones de aproximación deben incluir el movimiento del sólido como un cuerpo rígido, condición en que todas las deformaciones deben ser nulas. iii) Las funciones de aproximación deben permitir la representación de condiciones de deformación constante. Las formulaciones de las funciones de aproximación que cumplen la condición i ) se dice que son “compatibles” y las que satisfacen las condiciones ii ) y iii ) se dice que son “completas”. Sin embargo, a pesar de que las tres condiciones son suficientes para asegurar convergencia, se ha comprobado que con solo cumplir la tercera condición se pueden obtener resultados prácticos aceptables. Mas específicamente, muchos elementos que no cumplen con el primer criterio, es decir que sus funciones de aproximación son completas pero no compatibles, han sido ampliamente utilizados con éxito. Los problemas que presentan los elementos no compatibles son esencialmente dos: a) no se puede asegurar que su rigidez se encontrará siempre por encima de los valores atribuidos a la solución exacta y b) el proceso de convergencia hacia la solución exacta puede no existir o ser muy lento.. 5.4 Consideraciones energéticas Como es sabido, la energía potencial total Π de un sólido elástico es la suma de su energía interna de deformación W y la energía potencial de las fuerzas exteriores U: Π= W + U. (12). donde la energía interna de deformación W se obtiene integrando la densidad de energía de deformación en todo el volumen y el potencial U incluye la acción de fuerzas másicas y fuerzas de superficie. Se obtiene así:   (13) = Π ∫ ω dV − ∫ F u dV − ∫ f u ds V. V. S. El teorema de la Mínima Potencial Total establece que, de todos los campos de desplazamientos que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace estacionario a Π corresponde a un estado de equilibrio. Más aun, puede ser demostrado que en una condición de equilibrio estable la energía potencial total de un sólido elástico no solo es estacionaria sino que es mínima. Luego, se asegura el equilibrio de un sólido elástico a partir de imponer las condiciones de que las derivadas de Π con respecto a los desplazamientos de los nodos debe ser nula: ∂Π =0 ∂uk. (14). Aquí cabe reconocer que, si la condición de equilibrio requiere un mínimo absoluto de la energía potencial total, un modelo discreto con funciones de desplazamientos aproximadas siempre tendrá un valor de Π que será superior al del sólido continuo. Podría esperarse que este valor tienda al mínimo absoluto a medida que la cantidad de grados de libertad del modelo crece, pero para ello es necesario que las funciones de aproximación de los desplazamientos cumplan con las condiciones de convergencia ya establecidas en el punto anterior. De lo contrario, la condición de energía potencial total mínima nunca podrá ser alcanzada.. 211.

(12) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 6 DESARROLLO DE UN ELEMENTO BÁSICO DE DOS DIMENSIONES Para mostrar la forma en que se define un elemento finito para obtener la expresión de su matriz de rigidez se estudiará un triángulo destinado a representar un estado plano de tensión. Para ello se comienza adoptando la función de aproximación de los desplazamientos, y en este caso se opta por la forma más simple: una función lineal, tal como la que fue estudiada a través de las coordenadas triangulares y fue expresada en (9). El elemento seleccionado tiene un espesor “h”, su área es “A”, esta sometido a la acción de fuerzas másicas constantes en el interior del dominio y no tiene cargas de superficie. Se recuerdan ahora las ecuaciones fundamentales para el estudio del comportamiento de sólidos elásticos: i ) equilibrio, ii ) constitutivas y iii ) cinemáticas. Estas ecuaciones son presentadas a continuación para el caso en que las tensiones normales al plano del elemento son nulas, lo que corresponde a un estado plano de tensión:. i) Ecuaciones de Equilibrio:. ii) Ecuaciones Constitutivas:. ∂σ 11 ∂σ 21 + + F1 = 0 ∂x1 ∂x2. (15). ∂σ 12 ∂σ 22 + + F2 = 0 ∂x1 ∂x2. σ 11  E   σ 22  = 2 σ  (1 − ν )  12 . iii) Ecuaciones Cinemáticas: = ε11. 1 ν   0 . ∂u1 = ; ε 22 ∂x1. ν 1 0. 0 0 1 −ν 2.      . ∂u2 = ; ε12 ∂x2. ε11    ε 22  γ   12 . 1 2. ∂u2   ∂u1  ∂x + ∂x  1   2. (16). (17). 6.1 Deformaciones en función de la distribución de desplazamientos Como ya fue mencionado, para la definición del elemento triángulo se han propuesto funciones de aproximación lineal expresadas en coordenadas triangulares definidas en (9). Para comenzar es necesario expresar las deformaciones (17) en función de las expresiones de desplazamientos propuesta. ∂u1 ∂u1 ∂ζ i ∂u1 ∂ζ j ∂u1 ∂ζ k ε11 == + + ∂x1 ∂ζ i ∂x1 ∂ζ j ∂x1 ∂ζ k ∂x1 ∂u2 ∂u2 ∂ζ i ∂u2 ∂ζ j ∂u2 ∂ζ k ε 22 == + + ∂x2 ∂ζ i ∂x2 ∂ζ j ∂x2 ∂ζ k ∂x2. (18). 1  ∂u1 ∂u2  1  ∂u1 ∂ζ i ∂u1 ∂ζ j ∂u1 ∂ζ k ∂u2 ∂ζ i ∂u2 ∂ζ j ∂u2 ∂ζ k  + + + + + +   = 2  ∂x2 ∂x1  2  ∂ζ i ∂x2 ∂ζ j ∂x2 ∂ζ k ∂x2 ∂ζ i ∂x1 ∂ζ j ∂x1 ∂ζ k ∂x1 . ε12 = . Derivando los desplazamientos u dados en (9) con respecto a las variables ζ y derivando las coordenadas ζ dadas en (11) con respecto a las coordenadas cartesianas x se obtiene (en notación indicial): −1 2A. u m a2m 2A. −1. u mam. ε11 = u1i a2i + u1j a2j + u1k a2k  = − 1. − 2 1 ε 22 = u2i a1i + u2j a1j + u2k a1k  = 2A 2A. ε12 =. u1m a1m − u2m a2m 4A. 212. (19).

(13) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Es importante observar que los valores de las deformaciones obtenidas (19) son independientes de las coordenadas del punto considerado, es decir que las deformaciones tienen un valor constante en todo el interior del elemento. Esto es consecuencia del tipo de función de aproximación usada, en este caso lineal. Además, de acuerdo a las ecuaciones constitutivas (16) también serán constantes las tensiones en el interior del dominio. Si se fijan valores arbitrarios a las deformaciones ε11, ε22 y ε12 debería ser posible despejar de las ecuaciones (19) los valores de los desplazamientos que producen tales deformaciones. Pero, por ser tres las deformaciones y seis los desplazamientos existen infinitos juegos de desplazamientos capaces de cumplir tales condiciones. La indeterminación de los desplazamientos es de grado tres y para ser superada deben fijarse las componentes del desplazamiento del cuerpo rígido en el plano. También es importante observar que las funciones de aproximación propuesta para los desplazamientos son continuas en los límites entre elementos vecinos para cualquier conjunto de valores de desplazamientos nodales. Por el contrario, las deformaciones son constantes en cada elemento y presentarán una discontinuidad en los límites entre ellos.. 6.2 Energía de deformación La energía interna de deformación para el caso de un solidó linealmente elástico resulta: W = 1 ∫ σ ij ε ij dV 2. (20). V. que expresa en notación indicial una suma de nueve términos, que se reduce a tres para el caso en que una de las tensiones es nula. Se integra sobre el área por tratarse de un elemento de espesor “h” constante:. 1 (σ ε + σ ε + 2σ ε ) h dA W = n 22 22 12 12 2 ∫ 11 11. (21). A. Reemplazando las tensiones por las deformaciones con las ecuaciones constitutivas (16): = Wn. E 2(1 − ν 2 ). ∫ ε. 2 11. + ε 22 2 + 2 ν ε12ε12 + 2(1 − ν 2 ) ε12 2  h dA. (22). A. e integrando sobre toda el área del triángulo se obtiene una expresión aproximada para la energía potencial. Como ya fue mencionado, y a raíz del tipo de función de aproximación utilizada para expresar los desplazamientos, las deformaciones (19) son constantes para todo el dominio. = Wn. hE A ε 2 + ε 22 2 + 2 ν ε12ε12 + 2(1 − ν 2 ) ε12 2 ) 2 ( 11 2(1 − ν ). (23). 6.3 Potencial de las cargas exteriores El potencial de las cargas exteriores se compone de un término que proviene de las fuerzas másicas por unidad de volumen (en este caso por unidad de área) y de otro que corresponde a las fuerzas de contorno por unidad de superficie (en este caso por unidad del perímetro). Se tiene entonces: Un = − ∫ ( F1 u1 + F2 u2 ) dA + ∫ ( f1 u1 + f 2 u2 ) dS A. (24). S. Considerando que son constantes a las fuerzas másicas en el interior del triángulo y que son nulas las fuerzas de superficie sobre su contorno, resulta: Un = − F1 ∫ ( u1i ζ i + u1j ζ j + u1k ζ k ) dA − F2 ∫ ( u2i ζ i + u2j ζ j + u2k ζ k ) dA A. (25). A. Puede además demostrarse que:. ζ dA ∫= ζ dA ∫= ζ dA ∫= 1. A. 2. A. 3. A. 213. A 3. (26).

(14) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Con lo que, una vez integrada la expresión (25) se obtiene: Un = −. F1 A i FA u1 + u1j + u1k ) − 2 ( u2i + u2j + u2k ) ( 3 3. (27). 6.4 Mínima energía potencial total Cuando un dominio continuo es representado por un modelo discreto compuesto por cierto número de elementos, su potencial total resulta de sumar las contribuciones de las energías internas de deformación y los potenciales de cargas exteriores de cada uno de ellos. Π= W + U=. n. n. ∑Wk + ∑U k. (28). k 1= k 1 =. Considerando en particular la contribución de un dado elemento a la energía potencial total y aplicando el teorema que establece que esta energía será mínima cuando el sistema este en equilibrio, se pueden establecer ecuaciones de equilibrio para cada uno de los grados de libertad: ∂Π ∂Π ∂Π = 0= ; 0= ; 0 ∂u1i ∂u1j ∂u1k. (29). ∂Π ∂Π ∂Π 0= ; 0= ; 0 = ∂u2i ∂u2j ∂u2k. Algunas de estas ecuaciones, por ejemplo las que corresponden al nudo “i ” en las direcciones “x1” y “x2” se desarrollan de la siguiente manera:. ∂Π = ∂u1i. ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε  ∂U h E A  ∂ε11 ε + ε 22 22i + ν ε11 22i + ν ε 22 11i + 2(1 − ν 2 ) ε12 12i  + i i 2  11 2(1 − ν )  ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u1  ∂u1. (30a). ∂Π = ∂u2i. ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε  ∂U h E A  ∂ε11 ε + ε 22 22i + ν ε11 22i + ν ε 22 11i + 2(1 − ν 2 ) ε12 12i  + i i 2  11 2(1 − ν )  ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂u2 ∂u2  ∂u2. (30b). A partir de las ecuaciones (19) se deduce que: ∂ε11 a2i ∂ε11 ∂ε12 a1i = − = = − , 0 , ∂u1i ∂u1i ∂u1i 2A 4A. (31). y reemplazando en las ecuaciones (30) y luego en las (29) se tiene: ∂Π = ∂u1i. Eh 4 A(1 − ν 2 ). AFi 1 −ν m m  m m i m m i m m i  −a1 u1 (−a2 ) + ν a1 u2 (− a2 ) + 2 (a1 u1 − a2 u2 )a1= − 3  . 0. ∂Π = ∂u2i. Eh 4 A(1 − ν 2 ). 1 −ν m i 1 − ν m i  AFi  m i m m m i a1 a2 )  − u2 (a1 a1 ) + 2 a2 a2 ) − u1 (ν a2 a1 + 2= 3  . 0. (32). y de la misma forma se obtienen las expresiones que corresponden a los restantes nodos “j ” y “k”, totalizando las seis ecuaciones de equilibrio. Los factores que multiplican a los desplazamientos nodales en estas ecuaciones de equilibrio pueden ser interpretados como coeficientes de rigidez del elemento triangular “i-j-k ”, con un sentido similar al de los coeficientes de rigidez de los elementos prismáticos (barras), que establecen una relación entre los desplazamientos de los nodos y las fuerzas sobre los mismos.. 6.5 Matriz de rigidez del elemento triángulo Agrupando los factores de los desplazamientos de los nodos y expresando las ecuaciones de equilibrio en forma matricial se tiene: 214.

(15) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC.  kii11  21  kii  k 11ji  21  k ji  k 11  ki  kki21. kii12. kij11. kij12. kik11. kii22. kij21. kij22. kik21. k 12ji. k 11jj. k 12jj. k 11jk. k 22 ji. k 21 jj. k 22 jj. k 21 jk. kki12. kkj11. kkj12. kkk11. kki22. kkj21. kkj22. kkk21. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. kik12   kik22  k 12jk   k 22 jk  kkk12   kkk22 .  u1i   F1i   i  i  u2   F2  j u1j   A  F1   j =  j 3  F2  u 2  k u  F k   1k   1k   F2  u2 . (33). donde queda definida la matriz de rigidez de un elemento triangular de espesor constante y cuyos desplazamientos en el interior del dominio son proporcionales a los desplazamientos de los nodos. Al igual que en el caso de barras prismáticas, la matriz de rigidez es simétrica. Además, para un conjunto de elementos triangulares la matriz de rigidez global del dominio se ensambla en forma similar a la de un sistema de barras prismáticas, solo que considerando que ahora cada elemento vincula entre sí tres nodos en lugar de dos. Los elementos de la matriz de rigidez responden a las ecuaciones: 11 kim =. Eh  m i 1 −ν m i  a a + a1 a1  2  2 2 4 A(1 − ν )  2 . 12 kim =. Eh 1 −ν m i   m i kim21 a1 a2  = − a2 a1ν + 2  4 A(1 − ν )  2 . Eh 1 −ν m i   m i a2 a1  − a1 a2ν + 2  4 A(1 − ν )  2 . (34). Eh  m i 1 −ν m i  kim22 a a + a2 a2  = 2  1 1 4 A(1 − ν )  2 . donde E y ν representan propiedades del material, h y A propiedades geométricas del elemento y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (6). Ejemplo 3 Se determinan los coeficientes de la partición “4-4” de la matriz de rigidez del triángulo de tensión constante que es representado en la Figura 8. x2 90. 10. 11  k33  21  k33  k 11 K A =  43 21  k43  k 11  53 21  k53. 5. 4. 3 20. 80. x1. 12 k33 k3322 12 k43 k4322 12 k53 k5322. 11 k34 k3421 11 k44 k4421 11 k54 k5421. 12 k34 k3422 12 k44 k4422 12 k54 k5422. 11 k35 k3521 11 k45 k4521 11 k55 k5521. 12  k35 22  k35  12  k45  k4522  12  k55  k5522 . Figura 8: Elemento triángulo.  4 4 1 −ν 4 4  3 5 2 3 5 2 2 2  α (−80) + (−60) β   a2 a2 + 2 a1 a1 =  α ( x2 − x2 ) + β ( x1 − x1 ) =   Eh  4 4 1 −ν 4 4  1 2 = − a1 a2ν + −α [ (−60) (−80)ν + (−80) (−60) β ] k44 a2 a1  = 2 4 A(1 − ν )  2  k41 =14. Eh 4 A(1 − ν 2 ).  4 4 1 −ν 4 4  −α [ (−80) (−60ν + (−60) (−80) β ]  − a2 a1ν + 2 a1 a2  =   Eh  4 4 1 −ν 4 4  3 5 2 3 5 2  α (−60) 2 + (−80) 2 β  a1 a1 + a2 a2 =  α ( x1 − x1 ) + β ( x2 − x2 ) = 4 A(1 − ν 2 )  2 . Eh k442 1= 4 A(1 − ν 2 ) k42 =24. donde. α=. Eh , 4 A(1 − ν 2 ). β=. 1 −ν 2. 215.

(16) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. 7 OTROS ELEMENTOS DE USO CORRIENTE 7.1 Estados planos de tensión y deformación El Triángulo de Tensión Constante desarrollado en detalle en el punto anterior es de gran utilidad práctica y su implementación en programas de cálculo es relativamente sencilla. Sin embargo, en muchos casos y para obtener un grado aceptable de aproximación deben emplearse mallas muy densas, compuestas por un elevado número de elementos. Como alternativa pueden emplearse menor número de elementos triángulo, desarrollados a partir de funciones de aproximación de grado más elevado, como cuadráticas o cúbicas, y también elementos cuadriláteros con estas mismas funciones. 7.1.1 Triángulos de Tensión Lineal y Cuadrática Como mejora del Triángulo de Tensión Constante (TTC) aparece el Triángulo de Tensión Lineal, en el que se introducen polinomios de segundo grado para expresar los desplazamientos en las dos direcciones ortogonales, u1 y u2, tales como:. u1 =a10 + a11 x1 + a12 x2 + a13 x12 + a14 x22 + a15 x1 x2 (35). u2 =a20 + a21 x1 + a22 x2 + a x + a x + a24 x1 x2 2 23 1. 2 24 2. Con el fin de satisfacer continuidad de los desplazamientos en los límites entre elementos se debe introducir un nudo intermedio en cada lado del triángulo, que por simplicidad es ubicado en los puntos medios como muestra la Figura 9-a. Tal como ocurrió en el caso del Triángulo de Tensión Constante, se puede facilitar su desarrollo empleando coordenadas triangulares para expresar las funciones de aproximación de desplazamientos. En este caso se tiene: u1 (= x1 , x2 ) u1i ζ i (2ζ i − 1) + u1j ζ j (2ζ j − 1) + u1k ζ k (2ζ k − 1) + 4u1l ζ iζ j + 4u1mζ jζ k + 4u1nζ k ζ i u2 (= x1 , x2 ) u2i ζ i (2ζ i − 1) + u2j ζ j (2ζ j − 1) + u2k ζ k (2ζ k − 1) + 4u2l ζ iζ j + 4u2mζ jζ k + 4u2nζ k ζ i. (36). Por un procedimiento enteramente similar al seguido en el punto anterior se plantean las ecuaciones de equilibrio y se obtiene la matriz de rigidez asociada a un Triángulo de Tensión Lineal, identificado como TTL. k. k. a). b). m. o n. p. n j. j. q. l i. i. l. m. Figura 9: Triángulos de tensión lineal y cuadrática. Una nueva mejora en el elemento triángulo puede introducirse adoptando funciones de aproximación cúbicas, lo que conduce a que las funciones de deformación y tensión sean cuadráticas. Para satisfacer la continuidad de los desplazamientos en los bordes de los elementos aquí es necesario definir dos puntos intermedios sobre cada lado del triángulo, tal como muestra la Figura 9-b. Se observa que al aumentar el grado de la función de aproximación se hace necesario aumentar el número de nudos necesarios para definir un elemento, y consecuentemente aumentan sus grados de libertad, lo que queda reflejado en la Tabla 1 que se presenta a continuación. En ella se muestra para las funciones de aproximación lineal, cuadrática y cúbica: i) el grado de la función de deformación que corresponde a cada una, ii ) la cantidad de nodos necesarios para definir el elemento y iii ) la cantidad de grados de libertad.. 216.

(17) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. Tabla 1: Grado de las funciones, cantidad de nudos y de grados de libertad en elementos triángulo. Función de aproximación. Grado de la función de deformación. Cantidad de Nodos. Grados de libertad. Lineal. Constante. 3. 6. Cuadrática. Lineal. 6. 12. Cúbica. Cuadrática. 9. 18. El uso de elementos más sofisticados, en este caso con una mejor función de aproximación, reduce la cantidad de elementos necesarios para definir un cierto modelo, pero como se desprende de la tabla anterior no necesariamente reduce la cantidad total de grados de libertad involucrados o por lo menos no lo hace en la misma proporción. En efecto, el uso de elementos más sofisticados, y por lo tanto la reducción de la cantidad de elementos, no tiene normalmente por finalidad disminuir los grados de libertad del modelo sino más bien facilitar la definición de los datos, mejorar la calidad de la solución y facilitar la interpretación de los resultados. Puede también darse el caso de que estos mejores elementos sean indispensables para una adecuada representación del fenómeno físico estudiado. 7.1.2 Cuadriláteros Los elementos cuadrilátero son de gran utilidad práctica. Su forma arbitraria les permite adaptarse a dominios de forma irregular y presentan la ventaja sobre los triángulos de que el número de elementos del modelo se reduce significativamente, lo que simplifica la tarea de preparación de los datos. Al igual que lo ya visto para el caso de los triángulos, pueden generarse para el cuadrilátero innumerables funciones de aproximación, desde algunas muy sencillas hasta otras muy sofisticadas. La forma más simple de formar un cuadrilátero es adjuntando dos triángulos de tensión constante ( Figura 10-a y 10-b) y para ello basta con superponer las correspondientes matrices de rigidez. Otra forma de generar el cuadrilátero es componer cuatro triángulos (Figura 10-c) y eliminar el nodo central común a todos ellos a través de condensación matricial. Esta eliminación debe hacerse para expresar la rigidez de cada cuadrilátero sólo en función de los cuatro vértices, antes de combinar la matriz global del sistema. i l. a. k. k. l. l. b. c j. j j. k. i. i. Figura 10: Cuadriláteros formados por dos y cuatro triángulos. 7.2 Estados tridimensionales de tensión La generalización para estados elásticos tridimensionales del método desarrollado en los puntos anteriores para estados planos sigue los lineamientos ya presentados. El procedimiento para la formulación de las matrices de rigidez es enteramente similar, por lo que se hará una breve descripción de algunos de los tipos de elementos de uso corriente. 7.2.1 Tetraedro de tensión constante Este elemento, mostrado en la Figura 11, constituye una inmediata generalización del triángulo de tensión constante, adoptándose un tetraedro de forma arbitraria y desarrollándose sus propiedades a partir de coordenadas adimensionales que relacionan volúmenes, de la misma forma que en el estado plano de tensión se relacionaron áreas.. 217.

(18) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. m. x3. ξk =. VK V. x2 k. i x1. j Figura 11: Elemento tetraedro de tensión constante. 7.2.2 Prisma rectangular El elemento prisma rectangular, mostrado en la Figura 12, puede ser obtenido dando una tercera dimensión a un cuadrilátero regular, proponiendo las correspondientes funciones de aproximación y siguiendo un procedimiento similar al ya visto para el caso del triángulo con el fin de plantear las ecuaciones de equilibrio y desarrollar la matriz de rigidez del elemento. o p k l. n m j i. Figura 12: Elemento prisma rectangular. 7.3 Elementos isoperimétricos Se han visto hasta ahora diversos elementos de variada complejidad en las funciones de aproximación, pero todos ellos de formas geométricas simples y lados rectos. También pudo comprobarse que al mejorar la función de aproximación del elemento era necesario introducir nodos adicionales y por lo tanto nuevos grados de libertad. Un método alternativo para mejorar elementos existentes, que no implica introducir mayor cantidad de grados de libertad, consiste en la generalización de su forma geométrica. Esto es, desarrollar elementos con lados curvos. Se llega así a un elemento que, además de disponer de la capacidad de representar el comportamiento elástico de un sólido, se adapta con facilidad a un contorno irregular sin hacer necesario un refinamiento excesivo de la malla. La innovación introducida por los elementos “isoparamétricos” consiste en adoptar para la forma de los bordes una función del mismo tipo que la empleada para la función de aproximación de los desplazamientos, y de aquí proviene su denominación. En la Figura 13 se muestran elementos isoparamétricos de diferente configuración, planos y espaciales.. Figura 13: Elementos isoperimétricos en dos y tres dimensiones. Cuando se usa para la geometría una función de grado inferior a la utilizada para los desplazamientos el elemento es definido como “subparamétrico” y si ocurre lo contrario, es decir que la función adoptada para representar la geometría es de mayor grado a la de los desplazamientos, el elemento es definido “superparamétrico”.. 218.

(19) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC. J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015. La principal limitación que presentan los elementos de este tipo reside en la necesidad de una transformación única entre las coordenadas cartesianas globales y las coordenadas adimensionales propias del elemento, la que no siempre existe.. 7.4 Elementos axilsimétricos El problema de la distribución de tensiones en cuerpos de revolución (axilsimétricos) bajo condiciones de cargas también axilsimétricas es de considerable interés práctico. Desde un punto de vista matemático, el problema planteado es muy similar al de los estados planos de tensión o de deformación, ya que el análisis requerido se reduce en una dimensión y es bidimensional. Por simetría, dos componentes de desplazamiento en cualquier sección plana orientada radialmente definen completamente el estado de deformación y por lo tanto el estado de tensión. Una sección que cumple esta condición se muestra en la Figura 14, siendo r y z las coordenadas radial y axial que definen la posición de cualquier punto. Para estos casos pueden emplearse las mismas funciones de desplazamientos adoptadas en los desarrollos de los elementos triángulos. La diferencia esencial reside en que el desplazamiento radial induce deformación en la dirección circunferencial, por lo que una cuarta componente de deformación y tensión debe ser considerada. Definiendo vectores de tensión y deformación tales como:. εz  ε   r = ε =  ; σ  εθ  γ rz . σ z  σ   r   σ θ  τ rz . (37). es posible relacionarlos a través de las ecuaciones constitutivas ya estudiadas al tratar tubos de pared gruesa utilizando coordenadas cilíndricas. Se tiene así:. z. {σ } = [C ] {ε } ν ν 1 −ν  ν 1 −ν ν  [C ] = D  ν 1 −ν ν   0 0 0  D=. 0 0 0 1 − 2ν 2.       . E (1 + ν ) (1 − 2ν ). r Figura 14: Sólido y elemento axilsimétrico. El resto de la formulación para el desarrollo del elemento sigue el mismo lineamiento general visto con anterioridad, sólo que naturalmente es más compleja. Tal como fue presentada, la solución a este problema requiere que las cargas tengan también una distribución axilsimétrica. De no ser así, y en el caso en que las cargas presentan una distribución armónica que es función del ángulo θ , el problema puede ser planteado en términos similares a los ya expuestos. En caso contrario, es decir que no haya una representación armónica de las cargas, deben previamente ser descompuestas a través del análisis de Fourier con el fin de ser expresadas como una sumatoria de funciones cosenoidales. Por ser las funciones cosenoidales ortogonales entre sí, las funciones de aproximación quedan desacopladas para cada armónica y por lo tanto las matrices de rigidez que corresponden a cada una de ellas pueden obtenerse por separado. De esta manera queda planteado un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para cada armónica, cuyos resultados deben ser combinados para la obtención de los desplazamientos y tensiones finales que correspondan al estado de cargas aplicado.. 219.