termo-elastohidrodinámica y mixta mediante la aplicación de modelos

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termo-elastohidrodinámica y mixta mediante la aplicación de modelos

numéricos

Álvaro Blázquez de Mingo

Julio 2016

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Resumen

La fricción es un fenómeno presente en los contactos entre sólidos. En algunos casos puede resultar deseable, como en el contacto rueda - carril, y en otros es un fenómeno a evitar. Los cuerpos se pueden encontrar en movimien- to relativo, existiendo entonces diferentes tipos de comportamiento según este movimiento. El método utilizado para reducir la fricción consiste en la lubri- cación.

Combinando movimiento relativo de sólidos con lubricación se obtienen los diferentes tipos de lubricación según la velocidad de desplazamiento: lu- bricación límite, mixta e hidrodinámica. La curva de Stribeck representa estas situaciones[1].

Figura 1: Curva de Stribeck.

En el caso de lubricación hidrodinámica la capa de lubricante impide el contacto entre las rugosidades de los sólidos. De esta manera el coeficiente de fricción está únicamente determinado por las características del lubricante, más concretamente por su tensión cortante (τ). Esta tensión cortante se puede expresar en función de la viscosidad (η) y de la velocidad de cizalla (˙γ) de la siguiente forma:τ = η · ˙γ.

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Asímismo, cuando la presión existente en un contacto con lubricación es elevada, entre 0,5 - 4 GPa para contactos en rodamientos y engranajes, se producen dos fenómenos: los sólidos en contacto se deforman y el lubricante deja de comportarse como un fluido newtoniano. Esto se conoce como lubricación elasto-hidrodinámica (EHL).

A elevadas presiones y temperaturas existentes en los contactos EHL tam- bién se ve afectada la densidad del lubricante. Para predecir la variación de la viscosidad y densidad de los lubricantes existen diversos modelos (η = η(P, T) yρ = ρ(P, T)).

En un lubricante newtoniano existe una relación lineal entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (˙γ), de forma que la viscosidad no varía con la velocidad de cizalla.

Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse como un fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (˙γ) no es lineal, la viscosidad depende de ˙γ, siendo η = η(T, P, ˙γ).

Para predecir el coeficiente de fricción en los contactos EHL se dispone tan- to de un modelo analítico como numérico.

El trabajo se estructura en los siguientes apartados: comparación del modelo numérico y el modelo analítico, comparación del modelo numérico con resultados experimentales y determinación de los límites de convergencia del modelo numérico.

Comparación del modelo numérico y el modelo analítico

El primer tema de interés es la comparación de ambos modelos para conocer sus fortalezas y debilidades.

La comparación entre ambos modelos establece que el modelo numérico ofrece mayor precisión a costa de un tiempo de cálculo más elevado y posibles problemas de convergencia. El modelo analítico presenta menor tiempo de cálculo, no cuenta con problemas de convergencia pero su precisión es limitada y generalmente sobreestima los resultados. Se presenta un extracto de las simulaciones:

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Figura 2: Simulaciones para lubricante PAO 40

Tal y como se puede observar esta sobreestimación es más acusada para el caso del cálculo del coeficiente de fricción, siendo menor para el caso del espesor de película. Esto es debido a que las simplificaciones llevadas a cabo en el modelo analítico afectan en mayor forma al cálculo del coeficiente de fricción.

Se presentan a continuación las ventajas e inconvenientes de cada modelo:

Modelo numérico

Ventajas Inconvenientes

Mayor precisión Tiempo de cálculo elevado (error máximo 11 %-15 %) Convergencia limitada

Varios modelos reológicos Requiere conocimiento de MatLab Modelo analítico

Ventajas Inconvenientes

Cálculo inmediato Menor precisión

Convergencia garantizada (error máximo 86 %-222 %) Tan solo necesita una hoja de cálculo

Comparación del modelo numérico con resultados experimentales El segundo tema de interés radica en la comparación de los resultados obtenidos por el modelo numérico con resultados experimentales publicados en diversos artículos.

En este caso la comparación se realizó con resultados experimentales obtenidos de [2]. El artículo seleccionado hace uso de un modelo no newtoniano de variación de la viscosidad denominado tensión cortante límite. Por otra parte el modelo numérico hace uso del modelo de Carreau. Las diferencias entre los modelos se aprecian en la siguiente ilustración:

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Figura 3: Comparación de los modelos de viscosidad

Este factor junto con el hecho de que el experimento se encuentra en una zona de lubricación mixta, donde el modelo numérico es menos preciso, expli- can las imprecisiones de los resultados obtenidos.

Posteriormente se realizaron comparaciones con resultados experimentales de [3] y [4]. En estos casos los modelos no newtonianos de variación de la viscosidad utilizados se comportan de forma semejante a como lo hace el lubricante y los resultados son más exactos.

De lo anterior se extrae la importancia de una buena caracterización del lubricante y de modelos viscosidad - presión adecuados con objeto de obtener resultados precisos.

Límites de convergencia del modelo numérico

El último tema de interés trata sobre los límites de convergencia del modelo numérico. Este modelo realiza un cálculo iterativo para la resolución del problema EHL. Esto provoca que en determinadas ocasiones no se obtenga convergencia y por lo tanto un resultado válido.

Las variables que expresan los límites de convergencia son las que definen las condiciones de funcionamiento: presión, velocidad media y SRR (ratio entre la diferencia de velocidades de los sólidos y su velocidad media). La siguiente tabla muestra los límites de convergencia del modelo numérico:

Límites de convergencia del modelo numérico α SRR Presión (GPa) u_m (m/s) 9 - 11 5 - 110 0,63 - 1,02 ≥ 1 11 - 14 5 - 170 0,63 - 1,3 ≥ 0,5

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El parámetro α o presión - viscosidad del lubricante establece como varía la viscosidad en función de la presión. Debido a que los problemas de convergencia surgen en el momento de calcular la viscosidad este parámetro es uno de los más determinantes para definir la convergencia.

Los valores de SRR de convergencia se corresponden con la mayor parte del rango completo (0 - 200). La presión se ve limitada para valores aceptables, que sin ser los más altos (0,5 - 4 GPa), se corresponden con un rango de fun- cionamiento habitual. La velocidad media (u_m) únicamente ofrece problemas para valores bajos (≤ 0, 5m/s). Sin embargo, el régimen de funcionamiento EHL para el que está destinado este modelo habitualmente consiste en velocidades superiores al límite de convergencia.

A continuación se muestran representadas las zonas de convergencia para el lubricante PAO 6 a 40^oC:

Figura 4: Límites de convergencia PAO 6 40^oC

En la figura podemos observar tres zonas representadas: zona verde, buena convergencia; zona morada, comienzan los problemas de convergencia pero los resultados se encuentran dentro del rango de error aceptado y zona roja, no se alcanza la convergencia.

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Resumen ^I

1 Introducción 1

1.1 Antecedentes del trabajo . . . 1

1.2 Objetivos . . . 1

1.3 Justificación y aplicaciones del trabajo . . . 2

1.3.1 Aspectos económicos . . . 2

1.3.2 Aspectos medioambientales . . . 4

2 Fundamentos teóricos 7 2.1 Tribología . . . 7

2.1.1 Contacto entre sólidos . . . 7

2.1.2 Fricción seca . . . 11

2.1.3 Fricción lubricada . . . 12

2.1.4 Regímenes de funcionamiento . . . 13

2.1.5 Desgaste y fatiga superficial . . . 16

2.2 Lubricación elastohidrodinámica . . . 17

2.2.1 Distribución de presiones en lubricación EHL . . . 19

2.2.2 Espesor de película en lubricación EHL . . . 20

2.2.3 Ecuación de la energía . . . 22

2.3 Lubricación Límite . . . 23

2.4 Lubricación Mixta . . . 24

2.5 Lubricantes . . . 26

2.5.1 Reología . . . 26

3 Modelo numérico 39 3.1 Algoritmo y estructura del modelo . . . 39

3.1.1 Algoritmo de cálculo . . . 40

3.1.2 Algoritmo de convergencia . . . 45

3.2 Utilización del modelo . . . 46

3.2.1 Ejecución del modelo . . . 46

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3.3 Modelo numérico y modelo analítico . . . 52

3.3.1 Modelo analítico . . . 52

3.3.2 Comparación de modelos para lubricación EHL . . . 54

4 Comprobación del modelo numérico 61 4.1 Caracterización de lubricante SAE 30 . . . 61

4.1.1 Parámetros de la viscosidad . . . 63

4.1.2 Parámetros de Tait . . . 64

4.1.3 Parámetros de Carreau . . . 65

4.2 Resultados obtenidos . . . 68

4.3 Límites del modelo para lubricación EHL . . . 69

4.3.1 Lubricante PAO 6 80^oC . . . 71

4.3.4 Lubricante newtoniano . . . 92

4.3.5 Límites de convergencia . . . 99

5 Conclusiones y trabajos futuros 101 5.1 Modelo numérico y analítico . . . 101

5.2 Comparación con resultados experimentales . . . 102

5.3 Límites de convergencia . . . 102

5.4 Líneas de trabajo futuras . . . 103

6 Planificación temporal y presupuesto 105 6.1 Planificación temporal . . . 105

6.2 Presupuesto . . . 110

7 Anexo 111 7.1 Máquina de ensayos MPR . . . 111

Índice de figuras 113

Bibliografía 117

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Introducción

Para comenzar la memoria se va a realizar una introducción a los antecedentes, objetivos, marco de ejecucuión, justificación y aplicaciones del trabajo que se ha realizado. Este trabajo se ha llevado a cabo en la División de Ingenie- ría de Máquinas (DIM), perteneciente al Departamento de Ingeniería Mecáni- ca, en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politécnica de Madrid.

1.1. Antecedentes del trabajo

Durante los últimos años, la División de Ingeniería de Máquinas ha venido desarrollando una línea de investigación centrada en la tribología: estudio de la interacción entre las superficies en movimiento relativo.

Los trabajos fin de carrera, máster y tesis doctorales enfocadas en dicha línea han dado como resultado un modelo numérico así como un modelo ana- lítico que resuelve el problema de la lubricación termo-elastohidrodinámica (TEHL). Los modelos desarrollados permiten la resolución del problema de contacto, tanto lineal como puntual. Además se dispone de modelos para regí- menes de lubricación límite y mixta.

La resolución de los problemas de contacto permite obtener los valores de fricción, temperatura y espesor de película.

1.2. Objetivos

El objetivo principal del proyecto es la búsqueda de los límites de utilización y convergencia de los modelos mediante la realización de simulaciones con diferentes lubricantes en un rango amplio de condiciones de funcionamiento.

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Así mismo, realizar una recopilación de artículos y resultados experimentales sobre métodos y modelos que permitan resolver el problema TEHL para contactos lineales.

1.3. Justificación y aplicaciones del trabajo

La justificación y aplicación de este trabajo se basa en la necesidad de con- trolar y predecir la fricción en los sistemas tribológicos lubricados, ya que este concepto está intrínsecamente relacionado con la mejora de la eficiencia ener- gética y el ciclo de vida de muchos componentes en máquinas.

En la actualidad la tribología es fundamental en la maquinaria moderna, ya que utiliza superficies en contacto con deslizamiento o rodadura. La fricción puede ser un fenómeno deseado, como puede ocurrir en las ruedas de ferro- carril, embragues o en los discos de freno; algo análogo a lo que ocurre con el desgaste en actividades como el mecanizado. Sin embargo, suele ser un efecto secundario y perjudicial en cualquier mecanismo que pone piezas en contacto.

Por ello, la lubricación se hace necesaria con el fin de reducir la fricción y el consiguiente desgaste.

1.3.1. Aspectos económicos

Esta fricción no deseada en los contactos tiene como consecuencia unas pérdidas económicas significativas. En 1966 Peter Jost[5] señaló en su informe que una mejora en la eficiencia que redujera las pérdidas por fricción podía suponer un ahorro de unos 500 millones de libras esterlinas de la época al año.

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Figura 1.1: Ahorro mediante mejoras tribológicas[3].

Tal y como se observa en la gráfica la mayor parte del ahorro proviene de una reducción en el mantenimiento y desgaste de los componentes. Es importante tener en cuenta que el informe Jost ha sido considerado muy conservador en cuanto al poder de ahorro posible.

Con posterioridad han surgido numerosos informes que corroboran la importancia de la tribología y el efecto que una mejora de la eficiencia tendría sobre la economía. El informe con mayor trascendencia[6], procedente de Es- tados Unidos, se centra en el ahorro energético. Establece que sería posible un ahorro del 11 % de la energía consumida en el país mediante eventuales avances que mejoren la eficiencia tanto en la generación eléctrica y el transporte como diversos procesos industriales.

En 2001, el propio Jost estimó las pérdidas tribológicas en el 4 % del PIB de un país industrializado y la optimización de estos contactos podría suponer cerca de un 1 % del PIB.

Como conclusión, se puede establecer que pese aunque las pérdidas tér- micas son dificiles de evitar, una disminucicón de la fricción seca y viscosa contribuye a una reducción global de las pérdidas. Esto se puede conseguir mediante la utilización de materiales, lubricantes y acabado superficial óptimo junto con unas condiciones de operación en el rango adecuado.

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1.3.2. Aspectos medioambientales

La fricción no solo afecta de forma negativa a la economía, también lo hace al medioambiente. En 2012, un informe del Laboratorio Central de Finlandia [7] estableció que un tercio del combustible utilizado en automóviles se dedica a superar las pérdidas por fricción. En la siguiente figura se puede apreciar la utilización de la energía en un automóvil.

Figura 1.2: Utilización de le energía en un automóvil[7]

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Aprovechando los nuevos avances desarrollados en el campo de la tribolo- gía es posible obtener una reducción de la fricción estimada de un 18 % en el corto plazo (5 - 10 años) y de un 61 % en el largo plazo (15 - 25 años). Esto equivaldría a unos ahorros de combustible de 117.000 y 385.000 millones de litros respectivamente y una reducción de emisiones de CO₂ de 290 y 960 millones de toneladas[7]. Para una estimación de las emisiones de CO2 del año 2014 de 3, 6· 10¹⁰ toneladas [8], estos ahorros suponen un 0,8 % y un 2,6 % del total.

Al igual que sucede en el caso de los automóviles, las máquinas que po- sean fricción no deseada sufren una reducción de su rendimiento que provoca la utilización de una cantidad de energía para compensar estas pérdidas. Esta energía provoca un impacto mediambiental que sería reducido con un descenso de la fricción.

Este impacto ambiental puede verse reducido de forma similar a la men- cionada en el impacto económico: mediante la utilización de materiales, lubricantes y acabado superficial óptimo junto con unas condiciones de operación en el rango adecuado.

Otro aspecto mediambiental significativo es el provocado por los lubricantes a lo largo de su vida útil. La cantidad de lubricantes generados en Europa ascienden a unas 5 toneladas al año[9].

Existen unos criterios de compatibilidad medioambiental que son necesarios en un lubricante para minimizar su impacto ambiental. Los más importante son[3]: biodegradabilidad, solubilidad en agua, ausencia de toxicidad y efectos sobre la salud, eficiencia energética y reducción de emisiones.

Entre los métodos para comprobar la biodegradabilidad, los más importan- tes establecen una degradación ecológica del 60 % en 28 días (OECD - 31) y del 80 % en 21 días (L - 33 - A - 93)[3].

En España, hasta 1997, el método más extendido de eliminación de los lubricantes era la incineración. Desde 1997 con la creación del Protocolo de intenciones en relación con las gestión de los aceites industriales usados en España por parte de la Asociación Española de Lubricantes se estableció un protocolo para su correcta recogida y eliminación. En 2006 este protocolo fue actualizado mediante el Real Decreto 679/2006 que genera un nuevo marco en la gestión de residuos de lubricantes.

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Fundamentos teóricos

En este capítulo se va a realizar un resumen sobre los fundamentos teóricos y técnicos enmarcados en el ámbito de desarrollo del trabajo.

2.1. Tribología

La tribología es la ciencia que estudia la interacción de superficies que se encuentran en movimiento relativo. Incluye el estudio y aplicación de la lu- bricación, fricción y desgaste y fatiga superficial. Fue establecida en 1966 en Inglaterra debida a la necesidad de estudiar lo sucedido en las capas externas de los materiales[4].

2.1.1. Contacto entre sólidos

Cuando dos cuerpos entrán en contacto producen una huella que es di- ferente según la geometría de ambos cuerpos: lineal (cilindro-cilindro; típico en engranajes, levas y rodamientos de rodillos), puntual (esfera-esfera; habitual en rodamientos de bolas) y elíptica (cilindro-plano; común en el contacto rueda-carril)[3].

En este trabajo es de interés únicamente el contacto lineal. La teoría de contacto más extendida corresponde a Hertz[10].

Contacto lineal

Para el caso de contacto lineal seco se considera que la superficie de contac- to es mucho menor que las dimensiones de los sólidos y la carga (F) es aplicada perpendicularmente a la generatriz de contacto.

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Figura 2.1: Contacto lineal entre dos cilindros Establece un distribución de presiones parabólica de la forma,

P(x) = P0

s 1− (x

b)² (2.1)

con una presión máxima:

P₀= 2F

πbl (2.2)

Figura 2.2: Ditribución de presiones en la teoría de Hertz

La huella de contacto se corresponde con una superficie rectangular con longitud l y anchura 2b, siendo

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b= v u t4F R⁰

lπ^E₂⁰ (2.3)

donde,

E⁰ es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elás- ticos (E₁ y E₂) y los coeficientes de Poisson (υ1 yυ2).

1 E⁰ =1

2

 1 − υ²₁

E₁ +1− υ²₂ E₂

(2.4) R⁰es el radio equivalente del contacto.

1 R⁰ = 1

R₁ + 1

R₂ (2.5)

Deformación elástica de los sólidos en un contacto lineal

Debido a que el tipo de contactos que son de interés en este trabajo están sometidos a presiones elevadas, los sólidos en contacto sufren deformaciones.

En el interior de la zona de contacto se considera la hipótesis de la presión como una sucesión de fuerzas puntuales. Se supone también comportamiento lineal en la deformación, propiedades homogéneas e isotrópicas y que las dimensiones del contacto son de magnitud inferior al tamaño de los sólidos. De esta forma se llega a que la deformación elástica (w_i) que provoca una fuerza F viene dada por[3]:

w(x) = 2(1 − υ²) ΠE

Z −b b

P(x)ln | x − S | dS (2.6) donde,

υ es el coeficiente de Poisson del sólido.

E es el módulo elástico del material.

S es el coeficiente adimensional de desplazamiento slide to roll ratio (SRR).

El coeficiente adimensional S se define como:

S =(ua− ub)

u_m (2.7)

donde,

u_a y u_b son las velocidades de giro de los cuerpos.

u_m es la velocidad media de giro (u_m= ^u^a^+u₂ ^b).

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Contacto puntual

Para contacto puntual, por ejemplo entre dos esferas, la presión sigue una distribución normal como una función de la distancia del centro de la huella de contacto[11]

p(r) = p0

v

t(1 − r²

a²) (2.8)

donde,

aes el radio de la huella de contacto puntual.

La presión máxima se expresa de la siguiente forma:

p₀ = 3F

2πa² (2.9)

Figura 2.3: Contacto puntual entre dos esferas El radio de la huella de contacto se establece como

a= (3F R⁰

4E^∗ )¹³ (2.10)

donde,

E^∗es el módulo elástico equivalente y se calcula a partir de los módulos elásticos (E₁ y E₂) y los coeficientes de Poisson (υ1 yυ2).

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1

E^∗ =1− υ²₁

E₁ +1− υ²₂

E₂ (2.11)

Se puede establecer la siguiente relación entre los módulos elásticos equi- valentes de los diferentes contacto como:

E⁰= 2 · E^∗ (2.12)

R⁰es el radio equivalente del contacto.

1 R⁰ = 1

R₁ + 1

R₂ (2.13)

2.1.2. Fricción seca

La fricción seca es un fenómeno que se opone al movimiento relativo entre dos superficies en contacto. El primer modelo pertenece a Amontons (1669) verificado posteriormente por Coulomb (1781) [12]. El modelo desarrollado establece que entre dos sólidos en contacto existe fricción estática y fricción cinética y que ambas son independientes del tamaño de las superficies y están gobernadas por el siguiente modelo:

F_r ¶ µFn (2.14)

donde,

F_r es la fuerza de rozamiento producida por cada superficie sobre la contraria.

Sigue una dirección paralela a la superficie y un sentido tal que se oponga al movimiento.

µ es el coeficiente de fricción.

F_n es la fuerza normal producida por cada superficie sobre la contraria. Sigue una dirección perpendicular a la superficie.

La fricción estática aparece cuando no existe movimiento relativo entre las superficies. Se produce fundamentalmente por los enlaces interatómicos que se producen en el contacto entre superficies.

La fricción cinética solo se produce cuando existe movimiento relativo, su valor es inferior al de la fricción estática y es independiente de la velocidad de deslizamiento.

Coeficiente de fricción

El coeficiente de fricción es una magnitud adimensional que establece la cantidad de fuerza de rozamiento entre dos superficies en función de la fuerza

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normal entre las mismas. Ha de ser medido experimentalmente y generalmente toma valores entre 0 y 1. En la siguiente gráfica se puede observar como evoluciona el coeficiente de rozamiento en los distintos estados de fricción.

Figura 2.4: Fuerza de rozamiento frente a fuerza aplicada

donde,

F_r es la fuerza de rozamiento.

F_aes la fuerza aplicada para deslizar el sólido.

F_{r ma x est} es la fuerza de rozamiento máxima para fricción estática.

Fr ma x d es es la fuerza de rozamiento máxima para fricción cinética.

2.1.3. Fricción lubricada

En un contacto lubricado en el que existe movimiento relativo entre las superficies también se produce fricción. Sin embargo, esta fricción se produce en el seno del fluido y se refleja en las superficies en forma de fuerzas tangenciales cortantes a las mismas.

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Figura 2.5: Fuerzas tangenciales en un contacto lubricado

Para obtener un valor de coeficiente de rozamiento comparable con la ex- presión 2.14 es necesario integrar el esfuerzo cortante (τx y) a lo largo del area de las superficies de la forma[13]:

F₁= Z Z

τx y(z = h)d xd y (2.15)

F₂= Z Z

τx y(z = 0)d xd y (2.16)

En el capítulo dedicado a lubricantes se establecerá la relación entre la fuerza tangencial producida por el lubricante y sus propiedades reológicas.

2.1.4. Regímenes de funcionamiento

En función de la capacidad del lubricante para mantener separadas las superficies se establecen tres regímenes de funcionamiento: lubricación límite;

lubricación mixta y lubricación hidrodinámica (HL).

Para limitar de forma cuantitativa los diferentes regímenes de lubricación es necesario definir un parámetro de espesor específico de película (λ) [3].

λ = h₀

Æσ²₁+ σ²₂ (2.17)

donde,

h₀ es el espesor mínimo de película del lubricante.

σi es la rugosidad media de cada superficie.

Cuando la película de lubricante es insuficiente comparada con la rugosidad de las superficies se produce lubricación límite. La carga es soportada por las irregularidades de las superficies y se producen microsoldaduras metal-metal.

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Cuando la película de lubricante tiene suficiente espesor las irregularidades de las superficies están cubiertas y no entran en contacto. Se produce entonces lubricación hidrodinámica. En el caso de que exista deformación elástica entre las superficies debida a las altas cargas se denomina elastohidrodinámica (EHL).

El régimen de lubricación mixta se corresponde a un estado intermedio entre las dos anteriores. Exite contaco directo ocasional entre las irregularidades pero también existe un espesor de película suficiente para mantener separadas ambas superficies.

En la siguiente figura[14] se pueden observar los diferentes regímenes así como los límites del espesor específico de película (λ) que los delimitan.

Figura 2.6: Regímenes de lubricación

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Curva de Stribeck

La curva de Stribeck (1902) representa el coeficiente de fricción (µ) en función del parámetro de espesor específico de película (λ) o de la velocidad adimensionalizada[1].

η∆u

F (2.18)

donde,

η es la viscodidad del lubricante.

∆u es la velocidad de deslizamiento.

F es la carga aplicada.

Figura 2.7: Curva de Stribeck.

En la curva de Stribeck se puede observar la variación del coeficiente de fricción en los diferentes regímenes de lubricación. Este puede aumentar un orden de margnitud y ello afecta significativamente el desgaste. Dicho orden de magnitud se puede apreciar en la siguiente gráfica:[3]

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Figura 2.8: Coeficiente de fricción en función del régimen de lubricación.

2.1.5. Desgaste y fatiga superficial

El desgaste de un material está muy relacionado con la magnitud del coeficiente de rozamiento al que es sometido. Cuanto mayor sea el rozamiento mayor será la tasa de desgaste y este se presentará en las zonas con mayores presiones. Aunque desgaste y fricción son fenómenos relacionados esta rela- ción no siempre es proporcional.

Existen ciertas aplicaciones en las que un coeficiente de rozamiento elevado es necesario, como es el caso de un embrague. En este caso un valor alto es requerido para garantizar un correcto acoplamiento.

Por el contrario, en otras aplicaciones el coeficiente de rozamiento ha de ser bajo. Es el caso de un cojinete, donde es necesario el menor rozamiento posible.

En la siguiente figura se puede observar la variación de la tasa de desgaste en función de los diferentes regímenes de lubricación y la carga.[3]

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Figura 2.9: Tasa de desgaste en función del régimen de lubricación.

Para reducir la tasa de desgaste lo idóneo es mantenerse en un regímen de película gruesa o (elasto)hidrodinámico, pero teniendo en cuenta que un exceso de espesor de película conlleva un aumento de la fricción.

2.2. Lubricación elastohidrodinámica

El régimen de funcionamiento elastohidrodinámica (EHL o EHD) es en la mayoría de las aplicaciones el punto deseado de trabajo. Está caracterizado por áreas de contacto pequeñas (0,1 - 0,5 mm²) y presiones máximas áltas (0,5 - 4 GPa). Las presiones tan altas provocan variaciones de viscosidad del lubricante muy acusadas y la deformación de los sólidos en contacto.

El régimen EHL es el más estudiado y está basado en la ecuación de Rey- nolds (1886) que determina el comportamiento de la presión y el espesor de película en función de la viscosidad y la velocidad. La ecuación de Reynolds [15]:

∂

∂ x(ρh³ η

∂ P

∂ x) + ∂

∂ y(ρh³ η

∂ P

∂ y) = 6u∂ (ρh)

∂ x + 6ρh∂ u

∂ x + 12∂ (ρh)

∂ t (2.19) donde,

ues la suma de las velocidades de las superficies (u= u1+ u2).

t es el tiempo.

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P es la presión.

hes es espesor de película.

η es la viscosidad.

ρ es la densidad.

Para llegar a dicha ecuación Reynolds realizó las siguientes hipótesis[16]:

1. Se consideran despreciables el resto de fuerzas que actúan sobre el fluido (peso, inercia o las fuerzas magnéticas).

2. La presión del fluido es constante a lo largo del espesor de la película.

3. Las superficies se consideran planas. La curvatura de las mismas es mucho mayor que el espesor de película.

4. La velocidad de la capa de lubricante en contacto con cada superficie coincide con la velocidad de ésta.

5. El fluido es Newtoniano. La relación entre la tensión cortante y el gra- diente de velocidad es constante.

6. El flujo es laminar.

7. El fluido es incompresible. La densidad del fluido y la viscosidad se consideran constantes.

8. Las superficies no se deforman debido a la presión.

Debido a las altas presiones las hipótesis de la ecuación de Reynolds no se cumplen ya que existe deformación de las superficies y es muy probable que el fluido se comporte como no Newtoniano (la viscosidad no es constante).

Hasta 1950 las teorías hidrodinámicas no tenian en consideración la varia- ción de viscosidad del lubricante y la deformación de los sólidos en contacto.

Estaban, por tanto, alejadas de la realidad para contactos EHL. Mediante la combinación de la ecuación de Reynolds junto con el modelo de viscosidad de Barus (2.44), Grubin (1950) obtuvo la primera teoría hidrodinámica válida para contactos EHL. Grubin también llegó a la conclusión de que el espesor de película en el interior del contacto se mantenía constante e igual al espesor de película central (h_c) representado en la figura 2.10[17].

Los resultados publicados por Dowson y Higginson en 1959 dieron forma a la teoría EHL actual con la introducción de la ecuación de deformación elástica de los sólidos en contacto [17].Para resolver el problema EHL es necesario realizar un proceso iterativo que agrupa las siguientes ecuaciones:

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Ecuación de Reynolds

Ecuación Presión - Viscosidad Se presentarán diversos modelos en el apar- tado 3.5.1 correspondiente al estudio de la reología de los lubricantes.

Ecuación Deformación Elástica

En el caso de realizar el cálculo para problemas no isotermos es necesario añadir la ecuación de la energía para el cálculo de las temperaturas en el contacto. El conjunto de estas ecuaciones comprende la teoría termo- elastohidrodinámica (TEHL).

2.2.1. Distribución de presiones en lubricación EHL

En un contacto seco la ditribución de presiones se corresponde con la teoría de Hertz presentada previamente. Sin embargo, cuando las superficies están en movimiento relativo en presencia de un lubricante la distribución de presiones se ve modificada[17]. Los mayores cambios se aprecian a la entrada y salida del contacto.

Figura 2.10: Distribución de presión y espesor de película en lubricación EHL [17].

En la entrada el movimiento relativo de las superficies empuja el lubricante hacia el interior del contacto. Según el lubricante se introduce su viscosidad

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aumenta exponencialmente debido a las altas presiones y temperaturas existentes[18]. Los efectos del movimiento relativo y el lubricante provocan una superficie de contacto mayor de forma que las presiones a la entrada son me- nores que para un contacto seco Hertziano[17].

En la zona central o Hertziana existe una cantidad de lubricante suficiente para separar ambas superficies, conocida como espesor de película central (h_c).

La presión se puede aproximar por la teoría de Hertz. El aumento en la viscosidad provoca que el lubricante se encuentre en un estado pseudoplástico[18].

En la región de salida el lubricante sufre un descenso acusado de la presión y por lo tanto de su viscosidad. Esta disminución de la viscosidad a valores cer- canos a presión ambiente provoca un estrechamiento del espesor de película de forma que se mantenga el flujo de lubricante constante[17]. Esto es debido a que la viscosidad se opone al flujo del lubricante. El espesor en esta zona se conoce como el espesor de película mínimo (h₀). El descenso del espesor de película provoca un pico de presiones que depende de la relación presión - viscosidad del lubricante.

2.2.2. Espesor de película en lubricación EHL

En los contactos EHL se alcanzan presiones lo suficientemente elevadas co- mo para que el espesor de película del lubricante (h) vea su geometría modifi- cada como consecuencia de las deformaciones elásticas sufridas por los sólidos [3]. Por lo tanto, el espesor de película es función de la geometría de los sólidos y de su deformación.

(31)

Figura 2.11: Geometría del espesor de película considerando la deformación elástica[3].

Como muestra la figura anterior, el espesor de película queda determinado por la siguiente expresión[19]:

h(x) = h0+ w(x) + uz(x) (2.20) donde,

h₀ es el espesor de película en el punto central sin deformación elástica o el espesor mínimo con deformación.

w(x) establece la posición de todos los puntos de los sólidos sin deformar.

u_z(x) introduce la variación del espesor de película debida a la deformación elástica.

La suma de los términos h₀ y w(x) representa el espesor de película sin deformación elástica. El valor de h₀ se obtiene mediante la resolución de la expresión del balance de carga unidimensional[20].

W = Z

P(x)d x (2.21)

La integral de la distribución de presión P(x) obtenida de la resolución de la ecuación de Reynolds a lo largo del dominio del contacto tiene que ser igual al valor de la carga aplicada W para que se produzca un equilibrio de fuerzas

(32)

en el contacto[20].

Para el caso de dos cilindros con el mismo radio, la expresión de w(x) es de la forma[3]:

w(x) = x² 2R₁ + x²

2R₂ = x²

2R (2.22)

El término u_z(x) se obtiene teniendo en cuenta la deformación elástica de los cuerpos en contacto. Su expresión es la siguiente[20]:

u_z(x) = − 2 ΠE⁰

Z −b b

P(x)ln(x − S)²dS (2.23) donde,

E⁰es el módulo de elasticidad equivalente.

bes el semi-ancho del contacto Hertziano.

P(x) es la distribución de presiones.

S es el coeficiente adimensional slide to roll ratio (SRR) definido en la expre- sión 2.7.

La expresión completa del espesor de película para contactos EHL es por tanto[3]:

h(x) = h0+ x² R − 2

ΠE⁰ Z −b

b

P(x)ln(x − S)²dS (2.24)

2.2.3. Ecuación de la energía

El calor producido por la fricción viscosa del lubricante tiene como resultado un aumento de la temperatura en el contacto. Este aumento de temperatura provoca cambios en la densidad y viscosidad del lubricante afectando al coeficiente de fricción y el espesor de película.

Para poder estimar el valor de la temperatura del lubricante en cada punto es necesario realizar un balance térmico. Para ello se utilizará la ecuación diferencial de conservación de energía para un volumen de fluido y de sólidos.

En el caso de un elemento diferencial del sólido el balance es[3]:

∂²T

∂ x² +∂²T

∂ y² +∂²T

∂ z² = ρsc_s k_s (u∂ T

∂ x) (2.25)

(33)

donde,

c_s es el calor específico del lubricante.

k_s la conductividad térmica del lubricante.

ρs la densidad del lubricante.

ues la velocidad en el contacto, habitualmente se utiliza la velocidad media (u₀).

2.3. Lubricación Límite

En el régimen de lubricación límite la película de lubricante no es capaz de cubrir la rugosidad de las superficies y por lo tanto estas asperezas son las encargadas de soportar la mayor parte de la carga. Debido a esto se producen microsoldaduras y hay interacción metal-metal. En este régimen son comunes las presiones altas, las velocidades reducidas así como la baja viscosidad del lubricante.

Figura 2.12: Contaco en régimen de lubricación límite.

En la imagen anterior [14] se pueden apreciar las dos zonas de contacto:

tipo I, donde hay separación por medio de la capa límite de lubricante y tipo II, donde existe contacto directo de las superficies. La formación de zonas con protección de lubricante depende de la untuosidad en mayor manera que de la viscosidad del lubricante.

El coeficiente de fricción es comparable al de un contacto seco e influyen los fenómenos químicos del lubricante así cómo de las superficies en contac- to. Su obtención únicamente es posible mediante resultados experimentales o métodos analíticos.

(34)

2.4. Lubricación Mixta

Tal y como se describió previamente, el régimen de lubricación mixta se corresponde con un estado intermedio entre los dos regímenes anteriores. Exi- te contacto directo ocasional entre las irregularidades pero también existe un espesor de película suficiente para mantener separadas ambas superficies.

La resolución de este tipo de lubricación se basa en una ponderación y com- binación de los resultados de los regímenes límite y EHL en unas condiciones de funcionamiento dependientes de las originales.

Se comienza resolviendo el problema EHL y se realiza una ponderación en función del espesor de película específico (λ). Esto se realiza puesto que se establece la hipótesis de desacople de los problemas EHL y límite de forma que se resolverán por separado. El reparto de las cargas soportadas es de la forma:

P = P^{EH L}+ P^BDR (2.26)

donde,

P es la presión total del contacto.

P^{EH L} es la presión soportada por el lubricante, en régimen EHL.

P^BDR es la presión soportada por las rugosidades, en régimen límite.

Para determinar la distribución de la fuerza normal y el coeficiente de rozamiento entre los regímenes se utilizan correlaciones. En este caso se opta por utilizar la correlación Zhu y Castro[21]. Estas correlaciones se basan en el espesor de película específico (λ) proveniente del problema EHL desacoplado.

Para la carga normal se establece:

F_N^{EH L} = f_λF_N (2.27)

F_N^{EH L} = (1 − f_λ)FN (2.28) F_N = F_N^{EH L}+ F_N^{EH L} (2.29) donde,

F_N es la fuerza normal total del contacto.

F^{EH L} es la fuerza normal soportada por el lubricante, en régimen EHL.

F^BDR es la fuerza normal soportada por las rugosidades, en régimen límite.

f_λ es el parámetro de la correlación.

De manera análoga para el coeficiente de rozamiento se establece[22]:

µ = f_λµ^{EH L}+ (1 − f_λ)µ^BDR (2.30)

(35)

donde,

µ es el coeficiente de rozamiento total del contacto.

µ^{EH L} es el coeficiente de rozamiento debido a la tensiones cortantes del lubricante en lubricación EHL.

µ^BDR es el coeficiente de rozamiento provocado por las rugosidades en lubri- cación límite.

La correlación utilizada es la siguiente:

f_λ^{C ast r o}= 0, 82λ^0,28 (2.31)

f_λ^Zhu= 1, 21λ^0,64

1+ 0, 37λ^1,26 (2.32)

donde,

λ es el espesor específico de película.

A continuación se puede observar una representación de los valores de f_λ yλ [22]:

Figura 2.13: Correlaciones para régimen de lubricación mixta.

Las hipótesis realizadas para la resolución del problema de régimen mixto parte de una combinación de las hipótesis realizadas en la resolución de los regímenes EHL y límite.

(36)

2.5. Lubricantes

Un lubricante es una sustancia, generalmente en estado líquido, que tiene como objetivo evitar el contacto entre dos piezas con movimiento relativo. Asi- mismo, reduce el rozamiento en el contacto puesto que la fricción producida en el seno del lubricante es menor que la generada por contacto de dos superficies. Tal y como se expuso previamente, el rozamiento creado por el lubricante parte de la tensión cortante soportada por el seno del mismo.

En función del estado en el que se encuentren existen: lubricantes sólidos, semisólidos o grasas y líquidos.

Los lubricantes sólidos son utilizados en condiciones de funcionamiento muy extremas (muy altas temperaturas y presiones). Los más comunmente utilizados son el grafito y el disulfuro de molibdeno[3].

Los lubricantes semisólidos son productos entre sólidos y semifluidos. Tie- nen la capacidad de fluir pero poseen una viscosidad más elevada que los lubricantes líquidos. Son idóneos para permanecer en contacto con superficies en movimiento y no desbordarse del alojamiento por gravedad u otras fuerzas.

Los lubricantes líquidos incluyen sustancias naturales, sintéticas y mezcla de ambas. Para mejorar sus propiedades es común añadir aditivos. Los más utilizados dentro de este grupo son los aceites minerales y los sintéticos.

Los lubricantes minerales son derivados del petróleo. Están compuestos principalmente por hidrocarburos y sus principales tipos son: parafínicos, naf- ténicos, olefínicos y aromáticos. Su rango de utilización llega hasta los 130^oC [3].

Los lubricantes sintéticos tienen su origen en la necesidad de contar con lubricantes con propiedades adaptadas a condiciones más exigentes. Su rango de utilización llega hasta aproximadamnete 370^oC. Los tipos más comunes son: polialfaolefinas (PAO), poli-internalolefinas (PIO), polibutenos (PB) e hidrocarburos halogenados.

2.5.1. Reología

La reología es la ciencia que estudia la deformación y el flujo de la mate- ria. Para el ámbito de este trabajo se van a exponer los diferentes modelos que predicen el comportamiento de los lubricantes en función de la temperatura,

(37)

la presión y la velocidad de cizalla.

Para el caso de contactos en régimen EHL el abanico de condiciones es bas- tante amplio pudiendo llegar a presiones de 4 GPa, temperaturas de 200^oC y velocidades de cizalla de 10⁹s⁻¹.

Es importante destacar la dificultad que supone la obtención de los pará- metros que rigen las propiedades de los lubricantes debido a la complejidad de los equipos de medición dadas las exigentes condiciones de funcionamiento.

Por ello la escasez de existencia de valores para caracterizar los lubricantes.

Densidad

La densidad (ρ) es una propiedad física que relaciona la masa de una sustancia contenida en una unidad de volumen. Dadas las altas presiones y temperaturas soportadas en los contactos la hipótesis de densidad constante para un fluido no es válida. Por ello son necesarios modelos que predigan la densidad de los lubricantes para diferentes valores de presión y temperatura.

Figura 2.14: Variación de la densidad del lubricante SAE 30 en función de la presión (MPa).

Modelos dependientes de la presión Modelo de Feng y Ramesh[23]

(38)

ρ(P) = ρ0

1+_2C^C¹₂ + (sr

1+^4C²^(P−C_C² ³⁾

1 )

(2.33)

donde,

ρ0 es la densidad a presión ambiente.

s, C₁, C₂ y C₃son parámetros de ajuste empíricos.

Modelo de Dowson-Higginson[12]

ρ(P) ρ0

= 1 + D₁P

1+ D2P (2.34)

donde,

D₁ y D₂ son parámetros de ajuste empíricos.

Modelos dependientes de la temperatura Modelo de Dowson-Higginson[12]

ρ(T) = 1 − "(T − T0) (2.35)

" = "0e^−cP (2.36) donde,

" es el coeficiente de expansión térmica del lubricante.

"0 es el coeficiente de expansión térmica a presión atmosférica.

T₀ es la temperatura de referencia.

c es una constante de valor aproximado 1, 5G Pa⁻¹.

Modelos dependientes de la presión y la temperatura Modelo de Tait[24]

ρ(P, T) = ρ0

1−_K₀¹0+1l n(1 + _K^P₀(1 + K00)) (2.37) donde,

K₀ es el módulo volumétrico a P=0.

(39)

K₀⁰es la derivada del módulo volumétrico.

En caso de no contar con valores específicos para un lubricante es posible utilizar los valores universales para cálculos EHL: K₀ = 1, 67GPa y K00= 6, 67.

El modelo de Tait es en muchas ocasiones expresado en función del volumen específico adimensional según la expresión:

¯

v(P, T) = ρ0

ρ (2.38)

¯

v(P, T) = v

v₀ (2.39)

donde,

ρ0 es la densidad en las condiciones de referencia.

v₀ es el volumen en las condiciones de referencia.

Viscosidad

La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales.

Es una fuerza interna que tienen los fluidos debido al tipo de interacción que poseen. Debido a las condiciones de los contactos EHL no es posible considerar como válida la hipótesis de viscosidad constante sino dependiente de la tem- peratura (T ), presión (P) y velocidad de cizalla (˙γ).

η = η(T, P, ˙γ) (2.40)

La viscosidad solo se manifiesta en líquidos en movimiento y se ha definido como la relación existente entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de ci- zalla (˙γ). Esta viscosidad recibe el nombre de viscosidad absoluta o viscosidad dinámica y su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Pa·s.

η =τ

γ˙ (2.41)

donde,

γ tiene la siguiente expresión:˙

(40)

γ =˙ u_a− ub

h_c (2.42)

donde,

u_ay u_b son las velocidades de giro de los sólidos en contacto.

h_c es el espesor central de película del contacto.

Es importante realizar la distinción entre viscosidad a baja velocidad de cizalla (µ) y la viscosidad a alta velocidad de cizalla (η).

Se denomina viscosidad a baja velocidad de cizalla (µ) la viscosidad del lu- bricante en estado newtoniano. En este estado existe una relación lineal entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (˙γ).

Por el contrario, en el momento que el lubricante deja de comportarse como un fluido newtoniano y la relación entre la tensión cortante (τ) y la velocidad de cizalla (˙γ) no es lineal, se entra en la zona de viscosidad a alta velocidad de cizalla (η).

El límite entre ambas zonas está relacionado con el módulo a cortante del lubricante (G) y, tal y como se verá más adelante, es un parámetro de los mo- delos que definen los comportamientos a alta velocidad de cizalla.

Se define también otra viscosidad, denominada viscosidad cinemática, y se representa por ν. Para calcular la viscosidad cinemática basta con dividir la viscosidad dinámica por la densidad del fluído. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el m²/s.

ν = η

ρ (2.43)

La viscosidad de un fluido concreto depende fundamentalmente de tres variables: la temperatura, la presión y la velocidad de cizalla (˙γ). Cuando la viscosidad de un fluido depende únicamente de las dos primeras, se dice que el fluido tiene comportamiento newtoniano. Sin embargo, cuando también depende de la velocidad de cizalla, se dice que el fluido tiene un comportamiento no-newtoniano.

Cuando la velocidad de cizalla es baja, su influencia sobre la viscosidad es despreciable y la viscosidad depende fundamentalmente de la presión y de la temperatura. Sin embargo, cuando la velocidad de cizalla aumenta, en algunos fluidos se produce una disminución de la viscosidad. Esta tendencia se

(41)

conoce como comportamiento pseudoplástico, y es una clase de los posibles comportamientos no newtonianos que se dan en la naturaleza.

Figura 2.15: Variación de la viscosidad según el tipo de fluido.

Modelos a baja velocidad de cizalla Modelo de Barus[17]

µ(P, T) = µ0e^α(T)P (2.44)

α(T) = 1 µ(dµ

dP)T (2.45)

donde,

µ es la viscosidad del lubricante a baja velocidad de cizalla.

µ0 es la viscosidad a presión atmosférica.

α es el coeficiente viscosidad-presión (Pa⁻¹).

El coeficiente viscosidad-presión es obtenido experimentalmente. Sin embargo, para mejorar la precisión del modelo existen diferentes expresiones de α en función de la presión y la temperatura. Una de ellas es la ecuación del módulo que se presenta a continuación:

α(P, T) = 1

a₁+ a2T+ (b1+ b2T)P (2.46)

(42)

donde,

a₁, a₂, b₁ y b₂ son parámetros propios de cada lubricante.

El cálculo de estos parámetros puede realizarse de manera experimental o mediante aproximación cuando son conocidos diferentes puntos de la viscosidad del lubricante.

A continuación se puede observar la variación de la viscosidad en función de la presión (MPa) para el lubricante PAO 40 siguiendo el modelo de Barus.

Figura 2.16: Variación de la viscosidad del lubricante PAO 40 en función de la presión (MPa) a 40^oC siguiendo el modelo de Barus.

(43)

Modelo de Vogel[17]

µ(P, T) = µ0(P) − br⁽^T^c^−d) (2.47) donde,

b, c y d son constantes empíricas dependientes del lubricante.

Modelo de Doolittle[25]

µ µR

= ex p[BR0( 1+ ε(T − Tr)

(v/vR) − R0(1 + ε(T − TR))− 1 1− R0

)] (2.48)

donde,

el subíndice R denota el estado de referencia o inicial.

K₀⁰, K_∞, ˙K₀, a_v, B y R₀ son obtenidos experimentalmente.

v/vR es la relación entre el volumen del lubricante y el volumen en las condiciones de referencia o iniciales procedente de la ecuación de Tait (3.28).

Modelo de Roelands [3]

El modelo de Roelands establece la siguiente relación entre la viscosidad y la temperatura:

µ(T) = µ0e^{−β(T −T}⁰⁾ (2.49) donde,

β es una constante empírica del lubricante denominada coeficiente temperatura- viscosidad.

Modelos a elevada velocidad de cizalla

La hipótesis de fluido Newtoniano establece que la viscosidad de un fluido no varía en función de la velocidad de cizalla, tan solo en función de la presión y temperatura. En este tipo de fluidos simplemente son necesarios los modelos expuestos anteriormente, a baja velocidad de cizalla, para definir su viscosidad.

Sin embargo, los fluidos de estudio en este trabajo, los lubricantes, cam- bian su comportamiento en función de la velocidad de cizalla. De modo que a bajas velocidades de cizalla (˙γ) se comportan como fluidos newtonianos pero a partir de un determinado valor de ˙γ la viscosidad disminuye al aumentar la cizalla, se comportan como fluidos pseudoplásticos. Este fenómeno es reversi- ble al cesar el cizallamiento y recibe el nombre de shear thinning[4].

(44)

Figura 2.17: Comportamientos de un fluido en función de la velocidad de cizalla.

Los fluidos no newtonianos son aquellos cuya viscosidad depende del gra- diente de velocidad, y los más representativos son los pseudoplásticos, los di- latantes y los plásticos de Bingham[3].

τ = η(˙γ)˙γ (2.50)

Los modelos más utilizados para caracterizar la viscosidad a elevadas velocidades de cizalla son: el modelo de tensión cortante límite y el modelo de Carreau. En la siguiente figura se puede obervar una comparación de ambos.

Figura 2.18: Modelos para elevada velocidad de cizalla.

(45)

Modelo de Carreau

El modelo de Carreau establece la viscosidad a elevada velocidad de cizalla partiendo de un valor previo a baja velocidad de cizalla. Tiene caracter exponencial y se adapta correctamente a la zona de comportamiento pseudoplástico de gran parte de los lubricantes.

η = τ

γ˙ = µ2+ (µ1− µ2)(1 + (µ1γ˙

G_{c r})²)ⁿ⁻¹² (2.51) donde,

η es la viscosidad a alta velocidad de cizalla.

τ es la tensión cortante.

γ es la velocidad de cizalla.˙

µ1 es la viscosidad a baja velocidad de cizalla.

µ2 es la viscosidad para tensión de cizalla tendiente a infinito.

nes el exponente de Carreau.

G_{c r} es la tensión crítica de cizalla del fluido.

Por norma general se suele tomarµ2= 0 [26].

Los parámetros característicos de este modelo son n y G_{c r}, y serán por tanto los parámetros a determinar cuando se caracterize un lubricante. El parámetro G_{c r} es función de presión y temperatura a través de la expresión:

G_{c r} =ρRθ

M₀ (2.52)

donde,

M₀ es el peso molecular del lubricante.

ρ es la densidad.

θ es la temperatura.

Res la constante de los gases ideales (R= 8314J/kmol∆K).

Este parámetro G_{c r} determina el punto de transición entre la zona de comportamiento newtoniano del pseudoplástico.

Por su parte, el parámetro n, o exponente de Carreau, da una idea del ca- rácter pseudoplástico que presenta un lubricante (determina la pendiente de decrecimiento de la viscosidad con la cizalla). Este parámetro puede variar entre 0 y 1, y como puede observarse en la siguiente figura, cuanto más pequeño sea su valor, tanto más marcado será el carácter pseudoplástico del lubricante en cuestión, y tanto más disminuirá su viscosidad con la velocidad de cizalla.

(46)

Figura 2.19: Parámetro exponencial del modelo de Carreau.

Un lubricante con exponente n= 1 tendría un comportamiento puramente newtoniano, como se puede comprobar sustituyendo este valor en la expresión.

A diferencia de lo que sucede con el valor de G_{c r}, no existe ninguna teoría que relacione con precisión el parámetro n con la estructura molecular del aceite, y por tanto su obtención queda reducida a los ensayos experimentales.

Modelo de la tensión cortante límite

El modelo de la tensión cortante límite es generalmente utilizado para rangos de cizalla más elevados. Con muy elevadas presiones y bajas temperaturas la viscosidad del lubricante podría ser del orden de 10¹² Pa·s [3]. En estas condiciones la tensión cortante no se corresponde con los modelos anteriores (Barus, para estado Newtoniano y Carreau, pseudoplástico), sino que presenta la rigidez de un sólido, implicando que es un sólido plástico que fluye con un valor de tensión cortante[27].

El valor de la tensión cortante límite depende de las características de cada lubricante. En algunos casos se puede establecer dicha tensión límite como un porcentaje de la tensión máxima de Hertz presente en el contacto.

A continuación se puede observar un ejemplo del modelo de tensión cortante límite en el lubricante SAE 30. La zona lineal esta gobernada por el modelo de Barus. En el eje de ordenadas está representada la tensión cortante (τ) y en el eje de abscisas la velocidad de cizalla (˙γ).

(47)

Figura 2.20: Modelo de la tensión cortante límite para SAE 30.

El modelo establece una zona de comportamiento lineal (Newtoniano) se- guido de una zona de comportamiento pseudoplástico.

§τ = η(P, T)˙γ η˙γ ≤ τl im

τ = τl im η˙γ = τl im

(2.53) donde,

τl im es la tensión cortante límite del lubricante.

η(P, T) es la viscosidad en la zona lineal.

γ es la velocidad de cizalla.˙

Es importante destacar que este modelo simplemente establece el inicio de la zona de comportamiento pseudoplástico del lubricante. Para la zona lineal es habitual la utilización del modelo Newtoniano de comportamiento.

(48)

(49)

Modelo numérico

En este capítulo se va a proceder a exponer de manera breve el mecanismo de funcionamiento del software de resolución del problema TEHL. En primer lugar se va a exponer el algoritmo de funcionamiento interno del modelo para posteriormente explicar cómo se utiliza.

El proceso que se va a describir a continuación permite únicamente el cálcu- lo de lubricación EHL. Para el cálculo de lubricación mixta, también disponible en el modelo, se realiza mediante el método explicado en el apartado 2.4. En este método primeramente se resuelve el contacto EHL para posteriormente ponderar el resultado según el espesor específico de película (λ). El coeficien- te de rozamiento para lubricación límite se obtiene de forma experimental.

3.1. Algoritmo y estructura del modelo

El modelo de resolución tiene carácter iterativo de forma que está com- puesto por varios bucles de resolución que finalizan cuando se han cumplido alguna de las dos condiciones: número máximo de iteraciones o convergencia en el cálculo.

El número máximo de iteraciones en cada bucle está establecido teniendo en cuenta la relación entre el tiempo y la convergencia. De esta forma no se establece un número de iteraciones demasiado alto que solamente demore el cálculo sin aportar mejores resultados ni un número demasiado bajo que no permita un resultado lo suficientemente preciso.

La convergencia de las variables es el principal problema de la utilización de un método numérico. En secciones posteriores se abordará con más detalles este problema así como los rangos de funcionamiento donde se ha conseguido la convergencia.

(50)

A continuación se van a exponer los algoritmos y las ecuaciones utilizadas en el modelo. Mayor detalle sobre el proceso que sigue el modelo de cálculo se puede encontrar en[3].

3.1.1. Algoritmo de cálculo

Para el cálculo de las propiedades de densidad y viscosidad del lubricante se optó por utilizar:

Densidad

Modelo de Tait (expresión 2.37).

Viscosidad a baja velocidad de cizalla

Modelo de Barus (expresión 2.44) con opción de la utilización de la ecua- ción del módulo (expresión 2.46) de forma que el parámetro viscosidad- presión este en función de presión y temperatura.

Viscosidad a elevada velocidad de cizalla Modelo de Carreau (expresión 2.51).

La resolución del problema TEHL conlleva la utilización de los modelos reológicos presentados así como del sistema de ecuaciones formado por la ecuación de Reynolds (P(h(x), η, ρ, u), la ecuación del espesor de película (h(P(x), h0, R⁰, E⁰), la ecuación de la energía (T_m(Tsa, T_{s b}, H, P(x)) y la ecua- ción del balance de carga (h₀(P(x), W).

En el caso de la ecuación de Reynolds y la ecuación de la energía no se han definido todos los parámetros de los que dependen, faltando las características físicas y térmicas del lubricante y los materiales.

Donde,

P es la presión del contacto según el modelo de Hertz.

h(x) es el espesor de película.

h₀ es el espesor inicial de película.

R⁰es el radio equivalente de contacto.

E⁰es el módulo elástico equivalente.

T_m es el perfil de temperaturas del contacto.

T_si es el perfil de temperaturas de ambos cilindros.

H es el espesor de película adimensionalizado.

W es la carga adimensionalizada.

Es importante destacar la diferencia en la notación en lo referente a las mayúsculas. Es este trabajo, y en la mayor parte de trabajos y artículos de in- vestigación, las letras mayúsculas se refieren a variables adimensionalizadas.