Guía 103: La derivada de una función

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CH-FyA-0520

Guía 103: La derivada de una función

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Guía

104 Meta 35 GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 104

Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Francy Paola González Castelblanco

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Guía

104

GRADO 11

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

GRADO 11 - META 35 - PENSAMIENTOS NUMÉRICO - VARIACIONAL

Guía 103 (Duración 13 h)

• Límites de secuencias numéricas

• Secuencias convergentes y divergentes

• Límites de funciones

• Continuidad de funciones

Guía 104 (Duración 13 h) ACTIVIDAD 1

• Derivada de una función

• Rectas secantes y tangentes a una curva

ACTIVIDAD 2

• Cálculo de derivadas usando límites

• Reglas básicas de derivación:

constante, función lineal, potencias, regla de suma, regla del producto, potencias

Guía 105 (Duración 13 h)

• La función derivada

• Segunda derivada

• Derivadas trigonométricas y exponenciales

• Regla básica de cadena (f(kx))

• Máximos y mínimos

• Optimización

META DE APRENDIZAJE 35

Infiero el significado de una razón de cambio instantánea (derivada) como límite, en situaciones de ahorro continuo, velocidad y aceleración de vehículos y cambios de temperatura en donde vivo, entre otras; uso tablas para aproximar derivadas con sucesiones de razones de cambio promedio; dada la gráfica de una función, identifico su derivada en un punto como la pendiente de la recta tangente; uso la función derivada para predecir comportamientos de la función inicial (cuándo crece o decrece, valores extremos) en problemas de cambios de cantidades físicas; calculo

algebraicamente la derivada de polinomios y funciones trigonométricas. Así, aprendo a usar y relacionar tablas, gráficas y ecuaciones para analizar cambios repentinos en el mundo.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 104

●

¿Cuál es la diferencia esencial entre la tasa de cambio instantáneo y la tasa de cambio promedio de una función? Da ejemplos.

● ¿Cuál es la derivada de una función lineal? ¿Por qué? ¿Y de una función constante? ¿Por qué?

● ¿Por qué la pendiente de la tangente de una función en un punto es igual a su velocidad instantánea de cambio?

● ¿Cómo puedes calcular derivadas sin usar límites? ¿Qué ventajas y desventajas tiene esto?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 104

● Comprendo el significado de la derivada de una función y lo explico en términos cotidianos.

● Estimo la derivada según valores de la función.

● Dada la gráfica de una función, hallo su derivada en cierto valor, la interpreto y dibujo la recta tangente correspondiente.

● Razono para hallar derivadas usando límites.

● Calculo derivadas aplicando distintas reglas y propiedades.

● Verifico que las derivadas que hallo con álgebra tienen sentido, usando gráficas de las funciones.

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Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar.

GUÍA 104 GRADO

11

ACTIVIDAD

1 ACTIVIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA

Aprendamos qué significa la derivada de una función en un punto y aprendamos a visualizar la derivada como una pendiente y a usarla para resolver problemas de cambios en la vida real.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Supongamos que f es una función numérica.

Dados a y x en el dominio de f, podemos medir:

● El CAMBIO ABSOLUTO de f entre a y x se define como ΔY = f(x) − f(a).

○ Este cambio puede ser positivo, negativo o cero.

● La TASA DE CAMBIO PROMEDIO de f entre a y x como ^𝛥^𝑌

𝛥𝑋

=

^{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}

𝑥−𝑎

.

○ De nuevo, este cambio puede ser positivo, negativo o cero.

○ Recordando que −(p − q) = q − p, tenemos que, si multiplicamos por −1 numerador y denominador: ^𝛥^𝑌

𝛥𝑋

=

^{𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)}

𝑎−𝑥 .

Por ejemplo, supongamos que estamos leyendo un libro y f(t) = “número de páginas leídas en tiempo t” (con t medido en minutos), t ≥ 0. Entonces:

● ΔY = f(10) − f(6) indica el número de páginas leídas entre el minuto 6 y el minuto 10, incluyendo el minuto 10.

● ^𝛥^𝑌

𝛥𝑋

=

𝑓(30)−𝑓(12)

30−12 indica a qué ritmo promedio (en páginas por minuto) leí el libro entre el minuto 12 y el minuto 30. Por ejemplo, si este número es igual a 4, entonces en promedio leí 4 páginas cada minuto en el intervalo (12, 30], pero esto NO significa que en cada uno de esos minutos leí 4 páginas (a menos que lea con una velocidad constante)… puede que el primer minuto haya leído 5, luego 2, luego 5, etc, para lograr un promedio de 4.

PRACTICA i) Sea f(x) =

𝑥

²

+ 𝑥 +

1.

a) Calcula el cambio absoluto de f entre a=1 y a=4.

b) Calcula la tasa de cambio promedio de f entre a=1 y a=4.

ii) Sea g(x) = 4𝑥 + 1.

¿Cuál crees que es más grande:

• la tasa de cambio promedio de f entre a=2 y a=4, o

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11

ACTIVIDAD

1

c) Calcula la tasa de cambio promedio de f entre a y x. Tu respuesta es una expresión en términos de a y x.

d) ¿Cuál crees que es más grande:

• la tasa de cambio promedio de f entre a=2 y a=4, o

• la tasa de cambio promedio de f entre a=4 y a=9?

Da tu respuesta sin calcular (intenta pensar en la gráfica de f, y luego calcula para verificarla).

• la tasa de cambio promedio de f entre a=4 y a=9?

Da tu respuesta sin calcular (intenta pensar en la gráfica de g, y luego calcula para verificarla).

B) Conceptos

Exploración: ¿Multa o no multa?

Antes de comenzar discute en clase: Cuando vas corriendo o en un automóvil, ¿cómo sabes a qué velocidad vas exactamente en cada momento? ¿Qué mediciones deberías tomar?

Una conductora iba

manejando en automóvil en una carretera. La carretera tiene un límite de velocidad de 70 kilómetros por hora, es decir, cerca de 1,16 km por minuto.

Unos minutos después de pasar por un medidor de velocidad, un agente de tránsito detuvo a la conductora por exceso de velocidad.

El reporte afirma que JUSTO cuando pasaba por el medidor, su velocidad instantánea era mayor a 1,16 km por minuto.

La conductora argumenta que no pasó el tope de velocidad. Ella buscó datos en la computadora de su auto sobre su posición en la carretera 2 minutos antes y después de pasar por el medidor.

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11

ACTIVIDAD

1

Los datos se dan en una tabla y también en una gráfica.

El eje horizontal muestra el el tiempo en minutos a partir del comienzo del viaje, y el eje vertical la distancia recorrida en kilómetros en la carretera.

Se sabe que justo en el minuto 46, la conductora pasó por el medidor

Tiempo (min)

Distancia (km)

44 50,1

46 52,3

(medidor)

48 53,5

Antes de continuar, ¿crees que estos datos son prueba de que la conductora es “inocente”?

Vemos que en los 4 minutos del minuto 44 al 48, el auto avanzó 3,4 km.

Es decir, la velocidad promedio del auto fue ^3,4₄

= 0,85

km/min, que es menor que 1,166 km/min. El valor 0,85 es la pendiente de la recta que une los puntos (44, 50,1) y (48, 53,5).

El problema es que el auto NO iba a una velocidad constante, sino que pudo acelerar y en algún momento tener una velocidad mayor a 0,85 km/min. Eso lo sabemos viendo la gráfica: Durante el tramo de 44 a 46 minutos el carro tuvo una velocidad promedio mayor al segundo tramo. Al parecer iba más rápido primero y luego desaceleró. Esto lo sabemos porque la pendiente es mayor.

¿Cuál fue la velocidad promedio en estos dos tramos? Veamos:

Entre 44 y 46: Vel promedio = 𝐶𝐴𝑀𝐵𝐼𝑂 𝐸𝑁 𝑌

𝐶𝐴𝑀𝐵𝐼𝑂 𝐸𝑁 𝑋 =^52,3−50,1₂ =^2,2₂ =1,1.

Entre 46 y 48: Vel promedio = 𝐶𝐴𝑀𝐵𝐼𝑂 𝐸𝑁 𝑌

𝐶𝐴𝑀𝐵𝐼𝑂 𝐸𝑁 𝑋 =^53,5−52,3₂ =^1,2₂ =0,6.

La gráfica que une los puntos es una aproximación del movimiento del carro, pero no es la gráfica verdadera.

El agente de tránsito tiene una idea: pedirle a la mujer la posición del auto para tiempos mucho más cercanos a 46, porque al analizar velocidades promedios de intervalos cada vez más pequeños, estos

(9)

11

ACTIVIDAD

1

deben aproximar mejor la velocidad instantánea real del auto en el minuto 46, de la misma forma que hacemos con un límite.

La mujer está de acuerdo y consigue 6 nuevos datos para los siguientes tiempos: 45, 45,5, 45,9, 46,1, 46,5 y 47. Nota: recuerda que 45,5 significa 45 minutos y 30 segundos.

Esta es la tabla y gráfica:

Tiempo (min) Distancia (km)

45 51,6

45,5 51,8

45,9 52,15

46 52,3

(medidor)

46,1 52,44

46,5 52,8

47 53,2

Llamando f a la función de posición del auto de la mujer, definiendo a = 46, y haciendo que x represente un tiempo cercano a a, podemos pensar en la velocidad promedio del auto en el intervalo [x, a] (o [a, x]), como la fracción siguiente:

Velocidad promedio = m = ^{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}

𝑥−𝑎 km/min (o : ^{𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)}

𝑎−𝑥 , que es igual, pues multiplicamos numerador y denominador por menos 1)

.

m es la pendiente de la recta (llamada secante) que une (x, f(x)) con (a, f(a)).

Entre mayor empinada la secante, mayor será la velocidad promedio.

El agente estudia las velocidades promedio en estos intervalos, buscando un patrón/ Para eso, hace esta tabla:

x Intervalo de tiempo Velocidad promedio (m), con m = ( f(a) − f(x) ) / (a − x)

45 [45, 46] 0.7

45,5 [45,5, 46] 1

45,9 [45,9, 46] 1,5

46,1 [46, 46,1] 1,4

(10)

11

ACTIVIDAD

1

46,5 [46, 46,5] 1

47 [46, 47] 0,9

Veamos el caso en detalle de x = 45,9. Tenemos:

𝑚 =

^{𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)}

𝑎−𝑥

=

^52,3−52,15

46−45,9

=

^0,15

0,1

= 1,5

km/min.

La conductora ve los cálculos y comprende que su velocidad en el minuto 46 parece ser mayor a 1,16 km/min. Finalmente consigue la posición del auto en el tiempo x = 45,99, que es f(x) = 52,286 km. Así,

𝑚 =

^{𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)}

𝑎−𝑥

=

52,3−52,296

46−45,99

=

^0,014_0,01

= 1,4

km/min.

La mujer acepta su infracción. Tendrá que pagar la multa, pero queda satisfecha pues ha aprendido una buena lección:

la velocidad promedio de su viaje pudo estar por debajo de 1,16 km/min, pero aún así tuvo un momento con velocidad instantánea mayor a 1,16 km/min. También aprendió que para aproximarse a la velocidad en un momento a dado, debemos tomar velocidades promedio en intervalos de tiempo muy pequeños que incluyan a a como extremo del intervalo.

Finalmente la conductora hace, con todos los datos del auto, la gráfica f de su posición (como se ve), y llega a la siguiente conclusión: la velocidad instantánea en a = 46 será la

pendiente de la recta que es tangente a la curva f en el punto (a, f(a)), dado que esta pendiente es el LÍMITE de las pendientes de las rectas secantes. Así:

VELOCIDAD INSTANTÁNEA = LÍMITE DE VELOCIDADES PROMEDIO.

PENDIENTE DE LA TANGENTE = LÍMITE DE LAS PENDIENTES DE LAS SECANTES Responde:

a) Explica por qué no era suficiente conocer la posición del auto en el tiempo a = 46, para saber su velocidad instantánea en ese momento.

b) Basándote en los datos, ¿cuál crees que fue la velocidad instantánea del auto en el tiempo a = 46?

Explica por qué, y qué más te gustaría saber para corroborar tu respuesta.

(11)

11

ACTIVIDAD

1

c) Usando la última gráfica de la página pasada, ¿qué otras velocidades instantáneas puedes conocer?

¿Cuándo parece que la pendiente de la tangente a la curva es la mayor? ¿Y la menor? ¿Qué nos dice esto sobre la velocidad del auto?

La velocidad instantánea es un CASO PARTICULAR del concepto matemático de la DERIVADA de una función, que ahora explicamos en general:

Mini-explicación: La derivada de una función f en un número a

La derivada de una función

f’(a)

Sea f una función y sea a un número en el dominio de f (en el eje horizontal). El punto (a, f(a)) está en la gráfica de f.

Queremos encontrar la tasa de cambio de f en el punto a.

Esta es una tasa instantánea que nos dice la tendencia de cambio de y con respecto al cambio de x.

El signo de esta tasa indica si la función f es creciente (+), decreciente (−) o si está

creciendo “cero” en a.

La idea es que vamos a definir la tasa instantánea de cambio como un límite, usando la información de los valores de f en número muy cercanos a a.

Dado un número x cercano a a (pero NO igual que a), podemos hallar la tasa de cambio promedio de la función f entre x y a, así:

Cambio promedio m(x):

𝑚(𝑥) =

^𝛥𝐹

𝛥𝑋

=

^𝛥𝑌

𝛥𝑋

=

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎

=

^{𝑓(𝑎)−𝑓(𝑥)}

𝑎−𝑥 .

Así, m(x) es la pendiente de la recta secante que une los puntos (x, f(x)) y (a, f(a)) (ambos en la gráfica de f).

Si hacemos que x tienda a a (x → a), podemos definir la DERIVADA de la función f en a, llamada f’(a) (f prima de a), como el límite de las pendientes de las secantes:

DERIVADA: f’(a):= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎

𝑚(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 .

(12)

11

ACTIVIDAD

1

. . .

Como ves, a medida que x se acerca a a, la secante se amolda más a f. En el límite, la secante se “convierte” en la tangente (amoldamiento perfecto), y la pendiente de la tangente es igual al límite m.

Si llamamos m := f’(a), entonces m es la pendiente de la recta TANGENTE a f que pasa por (a, f(a)). Esta recta tangente aproxima a la curva f a una función de crecimiento lineal. Por eso, derivar significa LINEALIZAR.

f’(a) es el CAMBIO INSTANTÁNEO de y con respecto a x en el número a. Indica la tendencia de cambio exactamente en a (esa tendencia puede que cambie en otro valor).

Como vemos, hay entonces dos maneras de calcular m = f’(a):

● ÁLGEBRA: Calculando el límite de arriba, si tenemos una fórmula de f(a), o una tabla con muchos valores de f(x) cerca de a, y de f(a).

● GEOMETRÍA: Calculando la pendiente de la tangente (la recta que pasa por (a, f(a)) que más se “amolda” a la forma de f cerca de a).

○ Primero dibujamos la tangente y formamos el triángulo de pendiente

○ Luego, dividimos Δy entre Δx, y ese es f’(a).

Paso 1: Ejemplo: Velocidades de llenado

(13)

11

ACTIVIDAD

1

Una persona llena un vaso de agua de 10 cm de altura con una jarra. Para un tiempo t, sea h(t) la altura de agua del vaso. Así, 0 ≤ h(t) ≤

10. Esta es la gráfica de h:

Podemos concluir muchas cosas a partir de la gráfica:

● El vaso se comenzó a llenar no antes de t=3.

● El vaso se terminó de llenar en un tiempo t entre 9 y 10.

● La velocidad de llenado NO fue constante: esto lo sabemos porque la función no es una línea recta.

● El ritmo promedio de llenado fue de _6,5¹⁰ ≈1,54 cm/seg aproximadamente (desde que comenzó a llenar hasta justo el momento en que se llenó).

Indaguemos más sobre las distintas velocidades (instantáneas) de llenado:

▶ En t = 2, ¿cuál es la derivada?

Respuesta: al dibujar la tangente de la curva en el punto t = 2, vemos que m es 0. Todavía en este tiempo no se comienza a llenar el vaso, así que la derivada (velocidad de llenado) es 0.

NO hay cambio instantáneo.

▶ En t = 4, ¿cuál es la derivada aproximadamente?

Respuesta: al dibujar la tangente de h en el punto t = 4, vemos

que m es cerca de 0,6. Así, la velocidad es de cerca de 0,6 cm/seg, que es una velocidad baja. La derivada es 0,6. Es decir: h’(4) = 0,6.

▶ ¿En qué momento se estaba llenando el vaso lo más rápido posible?

Respuesta: la pregunta es, en lenguaje de derivadas: en qué valor de t parece ser la derivada la mayor?

Como la derivada es la pendiente, debemos decidir, de todas las tangentes posibles, cuál (o cuáles) parece ser la máxima e identificar el valor de t.

La derivada va creciendo entre 3 y 7 aproximadamente, donde parece alcanzar su máximo valor (la derivada, no la función) y luego comienza de nuevo a bajar (a inclinarse menos).

(14)

11

ACTIVIDAD

1

En t = 7 se da el mayor ritmo de llenado, con un ritmo aproximado de 4 cm por minuto.

Así, la derivada de la función h en en punto t = 7 es igual a 4 aproximadamente. Es decir, h’(7) = 4.

Además: la función h’(t) tiene su valor máximo en t=7, lo que dice que en t=7 es cuando h crece más rápido.

Entonces vemos la siguiente correspondencia:

punto t donde h crece más rápido ←→ punto t donde h’ (pendiente) es máxima

▶ Hemos visto que la tasa de cambio de h es 0,6 en t = 4 y sube a 4 en t = 7. Pregunta: ¿en qué tiempo t (aproximadamente) la tasa de

cambio es igual a 2?

Respuesta: buscamos un t entre 4 y 7 tal que h’(t) = 2. Esto significa buscar un punto donde la pendiente sea exactamente 2.

Al parecer tenemos que h’(6) = 2. Es decir, en t = 6 la tasa instantánea de crecimiento de h es de 2 cm por segundo.

▶ ¿Si en t = 6 se mantuviera el ritmo de llenado en ese tiempo, ¿en cuánto tiempo se llenaría el vaso?

Respuesta: En t=6, h(t) es casi 3, así que le faltan casi 7 cm para llenarse. Si se mantuviera el ritmo de 2 cm/seg, entonces faltarían poco más de 3,5 segundos para llenar el vaso.

Paso 2A: Completa este ejemplo: Una tabla de valores de una función y de su derivada

(15)

11

ACTIVIDAD

1

Se muestra una función g cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales.

a) ¿Qué tipo de simetría de reflejo tiene la gráfica? Explica.

b) En la gráfica se ve que g’(0) = 0, porque en el punto (0,1) (es decir, con x=0), la pendiente de la recta tangente es 0, ya que la tangente es horizontal.

¿Hay otro valor de x que cumpla g’(x) = 0? ¿Si sí, cuál o cuáles? ¿Si no, por qué?

c) Basándote en lo que se ve (y no se ve) de la gráfica, completa esta tabla. Usa regla y triángulos de pendiente.

x f(x) f’(x)

(pendiente)

0 1 0

1 1,5 1

-1 0,5

?

^-1

?

2

? ?

3 5,5

?

-3

? ?

d) En x=0, la derivada de la función es cero, pero el punto (0,1) no es un pico ni un valle de la función. ¿Por qué crees que ocurre esto?

e) ¿Puedes predecir a qué valor tiende la derivada de f en x, cuando x tiende a infinito? Explica tu respuesta usando la gráfica.

Paso 2B: Completa este ejemplo: ¿Qué significa la derivada en cada situación?

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11

ACTIVIDAD

1

Para cada función dada, explica en tus palabras lo que significa cada expresión o ecuación.

Nota: i y ii están resueltos.

i) Sea f(x) = Área de un cuadrado de lado x.

Significado de la ecuación f’(a) = 10: cuando el cuadrado tiene lado a, el cambio instantáneo del área con respecto al lado es igual a 10. Así, si el lado cambia de a a a+h, entonces el área cambia aproximadamente de h(a) a h(a) + 10h (acá h es un número muy pequeño).

ii) Sea g(t) = cantidad de oxígeno (en lt) de un tanque de buceo en tiempo t en segundos (donde t=0 indica el momento en que se comienza a usar).

Significado de la expresión g’(t): en un tiempo t, g’(t) nos dice la velocidad instantánea de aumento o disminución de oxígeno con respecto al tiempo.

Por ejemplo, si estamos en tiempo t y pasan h segundos, entonces el cambio de oxígeno en el tanque es g’(t), pasando así de g(t) a g(t) + g’(t)•h. Nota: g’(t) es negativo si el tanque se está usando, pues el cambio es negativo.

iii) Sea y(t) = distancia de una flecha a una diana (en cm) en tiempo t (en milisegundos).

Significado de y’(40) = −2:

iv) Sea h(x) = temperatura (en grados centígrados) de una bebida, en tiempo t (en minutos).

Significado de la expresión h’(4):

iv) Sea V(r) = volumen de una esfera de radio r (en cm³ y cm respectivamente).

Significado de V’(r) = 4𝜋𝑟²:

Paso 3: Tu turno: Descubriendo leyes de la derivada

De las siguientes 5 afirmaciones, 2 son falsas y 3 son verdaderas. Detecta cuáles son las afirmaciones falsas, y encuentra unas secuencias que sean evidencia de la falsedad de la afirmación. Después, verifica con tus compañeros y con tu profesor.

Afirmación #1: Si f’(a) = k y g es la función dada por g(x) = 3x, entonces g’(a) = 3k.

Afirmación #2: Si f’(a) = k y g es la función dada por g(x) = f(x) + 2, entonces g’(a) = k + 2.

Afirmación #3: Si f es una función diferenciable (es decir, que su derivada existe en todo número de su dominio) y f es decreciente, entonces f’(a) ≤ 0 para todo a.

Afirmación #4: Si f es diferenciable y f(x) > 0 siempre, entonces f’(x) > 0 siempre.

Afirmación #5: Si f y g son diferenciables y H(x) = f(x) + g(x), entonces H’(x) = f’(x) + g’(x).

(17)

11

ACTIVIDAD

1 C) Resuelve y practica

1) Sea h(x) = 5. H es una función constante.

Calcula la derivada de h en el punto x=1 usando el límite y también graficando y hallando la

pendiente de la recta tangente.

2) Sea h(x) = -2x + 1. H es una función lineal de la forma y = mx + b.

Calcula la derivada de h en un punto a, usando el límite y también graficando y hallando la

pendiente de la recta tangente.

3) Demuestra que si una función y está dada por y = mx + b, entonces la derivada con respecto a x en cualquier punto es igual a m. Para esto, usa la definición del límite.

4) Considera la siguiente función f:

a) Halla f’(a), la derivada, para cada punto a:

i) a = 1,4 ; ii) a = 3,8 ; iii) a = 6; iv) a = 8; v) a = 9,3.

b) Explica por qué f’(3) NO existe, usando los conceptos de límite por izquierda y por derecha.

5) Sea g(x) = | x − 4 |. Grafica esta función y completa la siguiente tabla:

x -5 -4 -1 4 6

g(x) g’(x)

6) Dibuja una función F con dominio (0,5) que sea diferenciable en todo su dominio y tal que:

● La derivada de F sea negativa en (0,3);

● La derivada de F sea positiva en (3,5).

¿Cuál es el valor de F’(3)? Explica.

7) Dibuja una función F con dominio (0,8) tal que:

● F sea creciente en (0,4) y (6,8),

● F sea decreciente en (4,6).

● F no tenga un máximo valor.

● El máximo valor de F’ (la derivada) sea en el número x = 3.

● El mínimo valor de F’ (la derivada) sea en el número x = 5.

(18)

11

ACTIVIDAD

1

Nota: f’ tampoco existe en 4, 7, ni 9, ya que la función tiene una “punta” allí y no es

suficientemente suave.

D) Resumen

(19)

11

ACTIVIDAD

1 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪

No entiendo los conceptos

(TODAVÍA)

Voy bien pero ⚫⚫⚪

quiero más práctica

Comprendí ⚫⚫⚫

muy bien el tema Comprendo el

significado de la derivada de una

función y lo explico en

términos cotidianos

Estimo la derivada según

valores de la función Dada la gráfica de una función, hallo su derivada en cierto valor, la

interpreto y dibujo la recta

tangente correspondiente

ii) Preguntas de comprensión

1) La derivada de la función f(x) = 3 + 2x en a=4 es...

[ ] 2 [ ] 11.

2) Si f(x) = k es una función constante, entonces...

[ ] la derivada de f es 0 solo si k=0.

[ ] la derivada de f es 0 sin importar el valor de k.

3) Si f(x) = (x −3)² − 1, entonces la derivada de f es 0 cuando a vale...

[ ] 3 [ ] 2 y 4.

4) Sea f(x) = (2x+1)³. ¿Cuál de los siguientes límites es igual a f’(5)?

[ ] 𝑙𝑖𝑚 𝑥→5

(2𝑥+1)³−11³

𝑥−5

.

[ ] 𝑙𝑖𝑚

𝑥→5

(2𝑥 + 1)

³. (Verifica las respuestas con tu profesor

(20)

11

ACTIVIDAD

1 iii) Resuelvo un problema

Esta es la gráfica de la función f. El problema es que no vemos el eje x, así que no sabemos los valores de f. Pero al menos sí tenemos la

cuadrícula.

a) Explica por qué, a pesar de no tener los valores de f, podemos calcular valores de f’ (de la derivada).

b) Completa la siguiente tabla (escribe NE si la derivada no existe en el valor dado de x).

x 0,2 1 2 3 4,2 6,89 7 7,8 8 8,01 f’(x)

(21)

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11

ACTIVIDAD

2 ACTIVIDAD 2: CALCULANDO DERIVADAS

En la actividad anterior aprendimos lo que significa la derivada y cómo hallarla visualmente.

Ahora aprendamos a hallar una derivada usando límites y reglas básicas de derivación.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

● El límite de la función f cuando x tiende a a es una PREDICCIÓN del valor más razonable para f(a), con la información de los valores f(x), con x muy cerca (pero sin ser igual a) a.

● Leyes de los límites:

○ Ley de la constante:

𝑥 →𝑎𝑙𝑖𝑚

𝑐 = 𝑐

(donde c es un número)

.

○ Ley de multiplicación por una constante:

Si c es un número, entonces 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑐 • 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥)

.

○ Ley de la suma:

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥) + 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑔(𝑥)

.

○ Ley de la multiplicación:

𝑓(𝑥) • 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥) • 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑔(𝑥)

.

○ Ley de la división:

𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥) / 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑔(𝑥)

. (Esto vale con la condición de que 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑔(𝑥)

sea distinto de cero.

PRACTICA

i) Calcula estos límites:

a) 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →2

9

b) 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →2

𝑥 + 1 + 𝑥

²

c) 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →3

(12 + 𝑥)𝑥

²

ii) Supongamos que cuando x → a, f(x) → 3 y g(x) → 4

Calcula estas expresiones, indicando los casos en que falten datos (en esos casos escribe simplemente FD):

a) 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

²

b) 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑎)

(22)

11

ACTIVIDAD

2

c) 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →0

𝑓(𝑎 + 𝑥) • 𝑔(𝑎 + 𝑥) B) Conceptos

Exploremos: Operemos los cambios instantáneos

Antes de comenzar discute en clase: Si estás trabajando en equipo con amigos haciendo un trabajo, (ej: pintar una gran pared), en donde cada uno aporta individualmente, ¿cómo puedes

calcular la velocidad a la que se está completando todo el trabajo? Explica con ejemplos.

Una situación de suma

Dos personas están llenando un tanque de agua, cada una con una manguera distinta.

La presión de agua no es constante, así que las

velocidades con las que sale el agua en cada manguera cambian con el tiempo.

Sea f(t) la cantidad de agua en litros que ha salido de la primera manguera a partir de un tiempo 0, medido en segundos. Similarmente sea g(t) la cantidad de agua que ha salido de la segunda manguera a partir de 0.

Sea H(t) la cantidad de agua en el tanque, a partir del tiempo 0, medido en segundos. Sea b la cantidad inicial de agua en el tanque, es decir, H(0) = b.

Si no hubiera mangueras llenando el tanque, tendríamos que H(t) = b (una constante).

Sin embargo, como las mangueras llenan el tanque, podemos decir que H = f + g + b. Es decir:

H(t) = f(t) + g(t) + b, para todo tiempo t ≥ 0.

En el tiempo t=20, la manguera f está llenando a una velocidad instantánea de 0,1 lt/seg, y la manguera g a una velocidad instantánea de 0,15 lt/seg.

(23)

11

ACTIVIDAD

2

Esto quiere decir: f’(20) = 0,1 ; g’(20) = 0,15. La gráfica ilustra cómo se vería la función f, que es creciente, pero no es una línea recta, ya que la presión de agua no es constante.

La función g es similar.

Quisiéramos saber, en el tiempo t = 20, a qué velocidad instantánea se está llenando el tanque:

¿0,25 + b lt/seg? ¿0,25 lt/seg? ¿0,015 + b lt/seg? ¿0,015 + lt/seg? ¿Acaso otro valor?

Antes de continuar: ¿cuál opción crees que es la correcta? ¿Qué te dice tu intuición?

La respuesta es que el tanque se llena a 0,25 lt/seg. ¿Por qué?

Recordemos que H(t) = f(t) + g(t) + b. Como b es constante, entonces b NO aporta al llenado. Mientras que en tiempo t=20, f aporta con una velocidad de 0,1 y g con una velocidad de 0,15, así que debemos SUMAR los aportes, luego el tanque se llena a un ritmo de 0,15 + 0,1 = 0,25 lt/seg. Este ritmo es la

“fotografía” de la velocidad exacta en t=20.

Entonces hemos descubierto una propiedad fundamental de la derivada: si una función es la suma de otras funciones, entonces su derivada se puede calcular sumando cada derivada (de cada función) por aparte, y luego sumarlas.

Así: H(t) = f(t) + g(t) + b.

Entonces H’(t) = f’(t) + g’(t) + 0 (este 0 es porque b es constante, luego su derivada es 0).

Entonces H’(t) = f’(t) + g’(t).

¿No hay un error? ¿No debería aparecer b en la fórmula? ¡La respuesta es que NO! El valor b es la

cantidad del tanque al inicio, que NO tiene nada que ver con la velocidad de llenado. Sólo hay que mirar las mangueras, calcular su velocidad, y sumarlas.

Entonces tenemos la regla de la suma: Si P(x) = f(x) + j(x), entonces P’(x) = f’(x) + j’(x). La derivada de la suma es la suma de las derivadas.

Una situación de multiplicación

Supongamos que tenemos una sombra rectangular cuya área crece con el paso del tiempo. La velocidad a las que crecen su largo (L) y su alto (Y) son distintas, y no son necesariamente constantes.

(24)

11

ACTIVIDAD

2

Sea L(t) = largo del rectángulo, en cm, en tiempo t; Y(t) = alto del rectángulo en cm, en tiempo t. Supongamos que t está medido en minutos.

Entonces A(t) = L(t)•Y(t), para todo tiempo t. Es decir, A = L•Y.

Queremos conocer la velocidad a la que crece A, el área, en términos de las velocidades lineales a las que crece cada dimensión.

Se podría pensar que simplemente hay que multiplicar las velocidades a las que crece cada dimensión, para hallar la velocidad a la que crece el área. Pero esto NO es cierto. La razón la

veremos a continuación:

Supongamos, por ejemplo, que en tiempo t = 7 min, el rectángulo tiene

dimensiones de L x Y = 10 x 15, y en ese justo instante, L crece a un ritmo de 2 cm/min y Y crece a un ritmo de 4 cm/min.

Así: L(7) = 10 cm, Y(7) = 15 cm, L’(7) = 2 cm/min y Y’(7) = 4 cm/min.

Como vemos en la gráfica, esto significa que hay 2 contribuciones al crecimiento del área: el crecimiento lineal de L causa un crecimiento instantáneo de 2•15 = 30 cm²/min, mientras que el crecimiento lineal de Y causa un crecimiento instantáneo de 4•10 = 40 cm²/min. Si sumamos:

Velocidad de crecimiento de A: A’(7) = 2•15 + 4•10 = 70 cm²/min.

En términos de derivadas: A’(t) = L’(t)•Y(t) + Y’(t)•L(t). Esta fórmula se conoce como la REGLA DEL PRODUCTO para las derivadas. La expresión para A’(t) es una suma de dos productos, en donde en cada producto aparece solo una derivada, acompañada por la función que no se deriva.

Regla del producto: Si H = f•g, entonces:

H’(a) = f’(a)•g(a) + g’(a)•f(a).

Nota: g’(a)•f’(a) NO se cuenta porque no corresponde al cambio instantáneo en el punto a. Intuitivamente, este rectángulo de cambio se incluye ya después del tiempo a.

Una diferencia fundamental de la regla de la suma con la regla del producto es que la regla de la suma no usa el valor de las funciones, sino solo el valor de las derivadas, mientras que la regla del producto sí usa los valores de las funciones en el punto a.

Responde:

a) Para la situación de suma: ¿Cómo crees que es la gráfica de H(t)? Dibuja una gráfica posible.

(25)

11

ACTIVIDAD

2

b) Para la situación de multiplicación: Si L(t) fuera constante con L(t) = k, y solo Y(t) aumentara, cuál sería el valor de A’(t)? Explica con un dibujo.

c) Si tienes una función y = f(t) y defines g(t):= 5 f(t), ¿cuánto vale g’(t) en términos de f(t)? ¿Cómo puedes explicar esto usando límites? [Ayuda: comienza por escribir la definición de g’(t) como cierto límite cuando x→t...]

d) Si f, g, h son funciones y P(x) = 3f(x) + 5g(x)h(x), ¿cuál es una expresión para P(x)? Utiliza las reglas de suma y multiplicación.

Mini-explicación: Reglas básicas de derivadas de funciones

Reglas básicas de

derivadas

Sean f, g funciones diferenciables (es decir, sus derivadas existen en todo punto de sus dominios).

Regla de la constante

Si f(x) = k (una función constante), entonces f’(x) = 0, para todo x.

Esto se puede ver fácilmente porque la tangente tiene pendiente 0 en cada punto de f.

Ejemplo: Si f(x) = 134 + 2³, entonces como x no aparece, inmediatamente concluimos que f’(a)=0, no importa qué a elijamos.

Regla de la multiplicación por una constante

Si g(x) = k f(x) (donde k es un número fijo), entonces la derivada de g es k veces la derivada de f. Es decir, g’(x) = [kf(x)]’ = k f’(x). Es decir, “las constantes se pueden sacar de la derivada” ([kf ]’ = k [f]’.

Demostración de esta propiedad: Vamos a usar límites:

Sabemos que g’(x) = 𝑙𝑖𝑚 𝑡 →𝑥

𝑔(𝑥)−𝑔(𝑡)

𝑥−𝑡

.

Usando que g(x) = k f(x), entonces:

g’(x) = 𝑙𝑖𝑚 𝑡 →𝑥

𝑥−𝑡

= 𝑙𝑖𝑚

𝑡 →𝑥

𝑘𝑓(𝑥)−𝑘𝑓(𝑡)

𝑥−𝑡

= 𝑙𝑖𝑚

𝑡 →𝑥

𝑘(𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡))

𝑥−𝑡

= 𝑘𝑙𝑖𝑚

𝑡 →𝑥

𝑔(𝑥)−𝑔(𝑡) 𝑥−𝑡

.

(Hemos sacado la constante k del límite, lo cual es una regla de límites que podemos usar). Ahora, usando que f’(x) = 𝑙𝑖𝑚

𝑡 →𝑥

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)

𝑥−𝑡 , concluimos que:

g’(x) =

𝑘𝑙𝑖𝑚

𝑡 →𝑥

𝑥−𝑡 = k f’(x). ¡Lo logramos!

(26)

11

ACTIVIDAD

2

Ejemplo: Si f(x) = 6g(x), y g’(1) = 3, entonces f’(1) = 18.

Regla de las funciones lineales

Si f(x) = mx + b, entonces f’(a) = m (para todo a). Esto es verdad ya que la derivada es la pendiente de la tangente, y en una función lineal, la tangente es igual a la función.

Demostración: Dado a y x, calculamos: ^{𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)}

𝑥−𝑎

=

(𝑚𝑥+𝑎)−(𝑚𝑎+𝑏)

𝑥−𝑎

=

^{𝑚 (𝑥−𝑎)}

𝑥−𝑎

= 𝑚.

Entonces: f’(a) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥 →𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥 →𝑎

𝑚 = 𝑚.

¡Lo logramos!

Ejemplo: Si f(x) = 3x + 5, entonces f’(1) = 3, f’(7) = 3, etc.

Regla de la suma de funciones

Si H(x) = f(x) + g(x) para todo x, entonces se tiene: H’(a) = f’(a) + g’(a), para todo a.

Así, la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas. En conclusión, sacar la derivada de una suma es muy fácil, con la condición de que cada derivada de cada sumando sea fácil. La derivada se distribuye en una suma: [ f + g]’ = [f]’ + [g]’.

Ejemplo: Si H(x) = f(x) + g(x), f’(5) = 2 y g’(5) = −10, entonces H’(5) = −8.

Regla del producto

Si H(x) = f(x) • g(x) para todo x, entonces se tiene: H’(a) = f’(a)•g(a) + g’(a)f(a), para todo a.

Así, la derivada de un producto no es tan sencilla como la de la suma, y necesitamos saber también los valores de f(a) y g(a). [fg]’ = f’g + g’f.

Ejemplo: Si H(x) = f(x)•g(x), f’(5) = 2, g’(5) = −10 f(5)=7 y g(5)=4, entonces H’(5) = 2•4 + −10•7 = −62.

Otro ejemplo: La derivada de la función f(x) = x² es igual a 2x. Para ver esto, vemos que f(x) = x • x y así usamos la regla del producto: [x²]’ = [x•x]’ = [x]’x+[x]’x = 1x + 1x = 2x.

Similarmente: [x³]’ = [x²•x]’ = [x²]’x+[x]’x² = 2x•x + 1x² = 3x² Si seguimos con ese patrón, podemos descubrir que: [xⁿ]’ = n xⁿ⁻¹. Por ejemplo, si f(x) = x⁵, entonces f’(x) = 5x⁴.

Aplicando varias reglas a la vez

(27)

11

ACTIVIDAD

2

En la práctica aplicamos varias reglas al mismo tiempo. Por ejemplo: queremos derivar la función f(x) = 3𝑥¹⁰+5 + 𝑥²𝑔(𝑥), donde g es una función.

Usando las reglas de suma, producto y constante, así como el hecho de que conocemos la derivada de 𝑥^𝑛 en general, nos queda que:

f’(x) = [3𝑥¹⁰+5 + 𝑥²𝑔(𝑥)]’

= [3𝑥¹⁰]’ + [5]’ + [𝑥²𝑔(𝑥)]

= 3[𝑥¹⁰]’ + 0 + [𝑥²]’ g(x) + g’(x) 𝑥²

= 3(10𝑥⁹) + 2x • g(x) + g’(x) 𝑥².

Esta tabla de fácil consulta resume la información que tenemos hasta ahora:

Función f(x) = ... Derivada f’(x) = ... Ejemplo Constante

c

0 f(x) = 8 → f’(t) = 0, para todo t.

Lineal mx + b

m f(x) = x + 100

f’(x) = 1.

Potencia (para cualquier n ≠ 0, incluso si n no es un entero)

xⁿ

nx^n-1 f(x) = x⁴⁵f’(x) = 45 x⁴⁴

g(x) = √𝑥

g’(x) = [√𝑥]’ = [x^1/2] ’ =₂¹

𝑥

⁻²¹ ¹

2 1

√𝑥 Suma

g(x) + h(x)

g’(x) + h’(x) f(x) = 3x + x⁴

→ f’(x) = 3 + 4x³ Producto

g(x) h(x)

g’(x)h(x) + h’(x)g(x) f(x) = (4x+1)h(x)

f’(x) = 4h(x) + (4x+1)h’(x) Polinomio de grado 2

𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 2ax + b f(x) = 7𝑥²−4𝑥 + 9 → f’(x) = 14x − 4

¡Existen más reglas, pero con estas tenemos mucho terreno ganado!

(28)

11

ACTIVIDAD

2 Paso 1: Ejemplo: Las derivadas de x

²

y x

³

Ya sabemos que en general, la derivada de

x

^p es p

x

^p−1 (para p ≠ 0).

Exploremos más a fondo esto, usando límites y gráficas.

Derivada de x² Gráficamente:

Tomemos los puntos x = −2, x = 0 y x = 1, por ejemplo.

Dado que la derivada de x² es 2x, entonces las derivadas en esos puntos deben ser −4, 0 y 2. ¿Tiene sentido en la gráfica? Si dibujamos las tangentes en esos puntos y pensamos en sus pendientes, vemos que todo cuadra.

Las pendientes van creciendo de 2 en 2 en esta gráfica. Así, de 0 a infinito la gráfica crece y a un ritmo cada vez más rápido. Por ejemplo, en x = 10 la gráfica está creciendo a un ritmo de 20 unidades en y por cada unidad en x, una tasa muy grande.

Calculando el límite:

Demostremos que [x²]’ = 2x.

[x²]’ = 𝑙𝑖𝑚 𝑧 →𝑥

𝑧²−𝑥²

𝑧−𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

𝑧 →𝑥

(𝑧+𝑥)(𝑧−𝑥)

𝑧−𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

𝑧 →𝑥

𝑧 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥.

Derivada de x³ Gráficamente:

Tomemos los puntos x = −1, x = 0 y x = 2, por ejemplo.

Dado que la derivada de x³ es 3x², entonces las derivadas en esos puntos deben ser 3, 0 y 12. Si dibujamos las tangentes en esos puntos y pensamos en sus pendientes, todo cuadra.

Las pendientes van creciendo en esta gráfica entre 0 e infinito, pero ya no de manera lineal (como en la anterior gráfica) sino más rápido, con el cuadrado de x. Por ejemplo, en x = 10 la gráfica crece a un ritmo de 300 unidades en y por cada unidad en x.

(29)

11

ACTIVIDAD

2

Además, dado que la derivada es 3x² y3x² ≥ 0, las tangentes son todas positivas o cero, así que la gráfica es creciente, como se ve.

Calculando el límite:

Demostremos que [x³]’ = 3x². [x³]’ = 𝑙𝑖𝑚

𝑧 →𝑥 𝑧³−𝑥³

𝑧−𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

𝑧 →𝑥

(𝑧−𝑥)(𝑧²+𝑥𝑧+𝑥²)

𝑧−𝑥

= 𝑙𝑖𝑚

𝑧 →𝑥

𝑧

²

+ 𝑥𝑧 + 𝑥

²

= 𝑥

²

+ 𝑥

²

+ 𝑥

²

= 3𝑥

³

. Paso 2: Completa este ejemplo: Encontremos derivadas

a) Para cada función, encuentra su derivada en el punto x (es decir, en cualquier punto x).

Los dos primeros problemas ya están resueltos.

i) f(x) = (−𝑥³+4𝑥² +5𝑥)/𝑥

Solución: antes de calcular f’, simplificamos: f(x) = −𝑥²+4𝑥 + 5

Ahora sí: usando la regla de la suma: f’(x) = −2x + 4 + 0 = −2x + 4.

ii) f(x) =

5√𝑥 +

⁵_𝑥^.

Solución: Primero usamos notación exponencial, para que podamos usar la regla de la potencia:

f(x) =

5(𝑥

²¹

+ 𝑥

⁻¹

).

Ahora sí derivamos, usando la regla de multiplicación por un número, la regla de la suma y la regla de la potencia: f’(x) =

5(

₂¹

𝑥

¹⁻²¹

+ (− 1)𝑥

⁻¹⁻¹

) = 5(

₂¹

𝑥

⁻²¹

− 𝑥

⁻²

)

. Podemos dejar la respuesta así (que tiene la ventaja de ser mejor si volvemos a derivar, o “volver a usar raíz”: f’(x) =

5(

₂¹ ¹

√𝑥

−

¹

𝑥²

).

iii) f(x) = 2x(3𝑥 + 6 + 𝑥²).

iv) f(x) = ^{√𝑥 + 4 + 𝑥}_3√𝑥 ².

b) Para cada problema se pide cierta derivada. Para cada una, dí los datos mínimos que necesitarías para calcular su valor exacto y escribe una expresión que la calcularía.

Los dos primeros problemas ya están resueltos.

i) f(x) = ax + b. Se pide f’’(x) (la derivada de la derivada de f).

Respuesta: dado que f’(x) = a, entonces f’’(x) = 0. Así que NO necesitamos saber los valores de a ni de b.

Siempre tendremos: f’’(x) = 0.

ii) Sea f(x) = g(x) + kh(x). Se pide f’(4).

(30)

11

ACTIVIDAD

2

Respuesta: necesitamos saber cuánto valen g’(4), k y h’(4).

Tenemos: f’(4) = g’(4) + kh’(4).

iii) Sea g(x) = x + xf(x). Se pide g’(0).

iv) Sea H(x) = f(x) g(x) + 4. Se pide H’(−1).

Paso 3: 1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y en grupos de 4)

Trabaja primero individualmente. En este ejemplo queremos producir una fórmula para la derivada del producto de 3 funciones.

Revisa el ejemplo de la página 16 (una situación de multiplicación) en donde descubrimos la fórmula f’(a) g(a) + f(a) g’(a).

Supongamos que tienes un ortoedro (“ladrillo”) de lados que cambian de dimensiones con el tiempo. Por simplicidad, puedes suponer que están aumentando.

Los lados son f(t), g(t) y h(t), en donde t es el tiempo medido en segundos, y los lados están en la misma unidad de longitud (por ejemplo, metros).

Escribe una expresión para la función V(t) (volumen del ortoedro en tiempo t).

Júntate con otro estudiante. Entre ambos, hagan un dibujo en 3D para determinar cuál es el valor de V’(t). [Esta expresión debe estar en términos de las funciones de los lados y sus derivadas]. Den un ejemplo concreto, inventando valores del tiempo, las dimensiones, y las derivadas lineales.

Júntense con otra pareja y compartan sus dibujos y soluciones. Encuentren errores o aspectos que puedan mejorar en las gráficas, y comparen sus apreciaciones. Además intenten llegar a la respuesta usando la regla del producto (que aplica para 2 funciones, pero tenemos 3… ¿qué podríamos hacer?)

Finalmente, busquen a su profesor para dialogar y compartir sus gráficas y razonamientos, aclarando los conceptos.

(31)

11

ACTIVIDAD

2 C) Resuelve y practica

1) Calcula las derivadas de las siguientes funciones, diciendo qué reglas usaste:

a) f(x) = 4x + 5 − 4x.

b) f(x) = 4x². c) f(x) = −x⁴.

d) f(x) = (2x²+1)(3x + 5) e) f(x) = 2 + 7²

2) Para la función f(x) = 6x − x², calcula:

a) f’(0) b) f’(1) c) f’(5)

d) f’’(0) (segunda derivada)

3) Sea h(x) = f(x) + g(x), en donde f, g son funciones diferenciables en todos los reales.

Completa la siguiente tabla:

X f’(x) g’(x) h’(x)

2 5 7

6 20 8

1 4 4

4) Sea h(x) = f(x)•g(x), en donde f, g son funciones diferenciables en todos los reales.

Completa la siguiente tabla:

x f(x) g(x) f’(x) g’(x) h’(x)

0 2 3 −1 −4

1 2 4 1 12

2 3 3 2 40

3 7 4 0 2

5) Tenemos un tanque de agua. En tiempo t = 0 seg, el tanque tiene P litros. A partir de este tiempo, el tanque se llena a una velocidad constante de 7 lt/seg, mientras que sale agua por un agujero, también a una velocidad constante de 5,6 lt/seg.

Encuentra una expresión para la función C(t), cantidad de agua en el tanque en el tiempo t, y para C’(t).

6) Utiliza límites para hallar las derivadas de las

siguientes funciones. Es decir, debes calcular el límite, en vez de usar las reglas de cálculo.

a) f(x) = 1 − 4x. [Sabemos que la respuesta es −4.

La idea es que llegues a este valor a partir de la definición de una derivada como un límite. Lo mismo con los problemas siguientes: debes usar el límite.]

b) g(x) = (1+x)²

c) h(x) = (dx)² (d es un parámetro) d) g(x) = (4x+3)²

e) g(x) = (1+x)³

f) g(x) = (6+4x)³

7) PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY Tema: Derivadas

Mira los videos y responde las preguntas

https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab- differentiation-1-new

(32)

11

ACTIVIDAD

2 D) Resumen

(33)

11

ACTIVIDAD

2 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪

No entiendo los conceptos

(TODAVÍA)

Voy bien pero ⚫⚫⚪

quiero más práctica

Comprendí ⚫⚫⚫

muy bien el tema Razono para

hallara derivadas usando límites Calculo derivadas

aplicando distintas reglas y

propiedades Verifico que las

derivadas que hallo con álgebra

tienen sentido, usando gráficas de las funciones

ii) Preguntas de comprensión

1) Si f(x) = ax + b + cx, entonces f’(x) es...

[ ] ax + cx.

[ ] a+c.

2) Si f(x) = (1/x)², entonces f’(1) es...

[ ] −2.

[ ] 1.

3) Si f(x) = g(x)h(x) para todo x, y g(1) = h(1) = g’(x) = h’(x) = 5, entonces f’(1) es...

[ ] 25 [ ] 50

4) Si H(t) = 3x f(t), entonces H’(t) es...

[ ] 3( f(t) + xf’(t) ) [ ] 3f’(t)

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

Supongamos que tenemos una función f(x) diferenciable y no constante, y definimos la función g así:

g(x) = f(2x). Por ejemplo, g(10) = f(20), g(−1) = f(−2), etc.

a) ¿Cuánto vale f(4) en términos de g?

b) Dibuja una función posible f que no sea una recta, junto con la función g correspondiente. Asegúrate de que f’(4) = 3 (usa una tangente para esto) y marca claramente varios puntos (x,y) en cada gráfica.

c) Si sabemos que f’(4) = 3, ¿qué podemos decir del valor g’(2)? Explica usando tu dibujo.

d) Completa esta tabla lo más que puedas. Escribe FD si crees que faltan datos en alguna o algunas casillas, e indica qué te faltaría saber:

x 0 2 4 6 8 12 16

(34)

11

ACTIVIDAD

2

f’(x) 2,1 1,5

? ?

^1,7

?

^2,8

g’(x)

?

^1,3

?

^1,2

?

^3,4