CONTRASTE DE HIPÓTESIS
HAMLET MATA MATA PROF. DE LA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA
Un Contraste o Test de Hipótesis es una técnica de Inferencia Estadística que permite comprobar si la información que proporciona una muestra observada concuerda (o no) con la hipótesis estadística formulada sobre el modelo de probabilidad en estudio y, por tanto, se puede aceptar (o no) la hipótesis formulada. Llamaremos hipótesis estadística a una afirmación respecto a una característica de una población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones que se deducen de ella con la realidad que observamos: si hay coincidencia, dentro del margen de error admisible, mantendremos la hipótesis; en caso contrario, la rechazaremos. La hipótesis estadística puede ser:
Paramétrica: es una afirmación sobre los valores de los parámetros poblacionales desconocidos. Las hipótesis paramétricas se clasifican en:
Simple: si la hipótesis asigna valores únicos a los parámetros
Compuesta: si la hipótesis asigna un rango de valores a los parámetros poblacionales desconocidos No Paramétrica: es una afirmación sobre alguna característica estadística de la población en estudio.
Por ejemplo, las observaciones son independientes, la distribución de la variable en estudio es normal, la distribución es simétrica.
La hipótesis que se contrasta se denomina hipótesis nula y, normalmente, se denota por H0. Si se rechaza la hipótesis nula es porque se asume como correcta una hipótesis complementaria que se denomina hipótesis alternativa y se denota por H1 o Ha.
Rechazar una hipótesis implica sustituirla por otra capaz de explicar los datos observados.
Las siguientes afirmaciones son hipótesis estadísticas:
1. El tabaco produce cáncer de pulmón.
2. Disminuir la grasa en las comidas evita los infartos.
3. Las mujeres son más disciplinadas que los hombres.
Estas tres hipótesis no se refieren a individuos particulares, sino al conjunto de elementos de una o varias poblaciones. En estos ejemplos vemos que el contraste de hipótesis requiere, como pasos previos:
1. Especificar la población de interés
2. Definir la variable a que nos referimos y como medirla.
3. Relacionar la hipótesis con los parámetros de la o las poblaciones.
HIPÓTESIS
"La imaginación, impaciente por remontarse a las causas, se complace en crear hipótesis y a menudo deforma los hechos para plegarlos a su labor: en tales casos, las hipótesis son peligrosas. Pero cuando sólo se las considera como medios para conectar entre sí los fenómenos a fin de descubrir sus leyes, cuando, procurando no atribuirles realidad, se las rectifica continuamente con ayuda de nuevas observaciones, entonces pueden llevarnos a las causas verdaderas o, por lo menos, ponernos en condiciones de inferir de los fenómenos observados aquellos que, dadas las circunstancias, han debido originarlos". Pierre Simon de Laplac Ensayo filosófico sobre las probabilidades
(de las diversas formas de acercarse a la certeza) 1795 .
Es interesante tener en cuenta que la veracidad de una hipótesis no puede ser probada nunca Lo que se puede hacer es afirmar que tiene tal o cual probabilidad de ser falsa
Si esa probabilidad es muy alta (95% o 99%) por ejemplo, se concluye que la hipótesis es poco creíble y se califica provisoriamente como falsa. Si no se consigue "falsar" (rechazar) la hipótesis, se acepta provisionalmente como verdadera. Esta calidad de provisorias de las conclusiones estadísticas no debería sorprender a nadie: toda la ciencia es un constructo provisorio. La verificación de hipótesis es el proceso que lleva a juzgar la credibilidad de afirmaciones (hipótesis) relativas a las poblaciones (habitualmente a sus parámetros) de las que fueron extraídas las muestras.
Ejemplificando
La Hipótesis nula puede ser: un parámetro que tiene un valor k y la Hipótesis alternativa será su negación. Es decir:
Si se toma una muestra y en ella se calcula un estadístico cuya distribución en el muestreo en el caso de que Ho sea verdadera se conoce, se puede determinar qué Probabilidad (P) hay de que si el verdadero valor del parámetro es k se obtenga un valor observado del estadístico , tan alejado (o más) de k. Ver grafica siguiente:
Si P es muy baja la probabilidad de que la muestra no pertenezca a una población conk es muy alta, por lo tanto se rechaza Ho. Consecuentemente se acepta H1.
Las hipótesis estadísticas más habituales pueden clasificarse en dos grupos, según que:
1. Especifiquen un valor concreto o un intervalo para un parámetro de la distribución de una variable.
2. Establezcan la igualdad de algún parámetro en las distribuciones de una variable en dos o más poblaciones.
Un ejemplo del primer tipo es establecer que el tiempo medio diario invertido en bañarse por los estudiantes de una universidad es de 15 minutos. Del segundo tipo, que el tiempo medio invertido es el mismo para los estudiantes de mañana y de la tarde.
Aunque la metodología para realizar el contraste es análoga en ambos casos, es importante distinguir entre ellos porque:
1. El contraste de una hipótesis respecto a un parámetro está muy relacionado con la construcción de intervalos de confianza, y tiene frecuentemente una respuesta satisfactoria en términos de estimación.
2. La comparación de dos o más poblaciones requiere en general un diseño experimental que asegure la homogeneidad de las comparaciones.
Una hipótesis es una afirmación acerca de algo. En estadística, puede ser una suposición acerca del valor de un parámetro desconocido. Una hipótesis estadística es una afirmación respecto a alguna característica de una población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones con la realidad que observamos. Si dentro del margen de error que nos permitimos admitir, hay coincidencia, aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazaremos.
La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada hipótesis, que hacemos con respecto a un parámetro de población. Después recolectamos datos de muestra, producimos estadísticos de muestra y usamos esta información para decidir qué tan probable es que sea correcto nuestro parámetro de población acerca del cual hicimos la hipótesis. Debemos establecer el valor supuesto o hipotetizado del parámetro de población antes de comenzar a tomar la muestra. La suposición que deseamos probar se conoce como hipótesis nula, y se simboliza H0. Siempre que rechazamos la hipótesis, la conclusión que sí aceptamos se llama hipótesis alternativa y se simboliza H1.
La hipótesis emitida se suele designar por H0 y se llama Hipótesis nula porque parte del supuesto que la diferencia entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia.
La hipótesis contraria se designa por H1 y se llama Hipótesis alternativa.
Los contrastes pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto estamos ante una hipótesis unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor) estamos ante uno bilateral.
Pasos a seguir en una prueba de hipótesis:
Se trata, de extraer conclusiones a partir de una muestra aleatoria y significativa, que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida, sobre el valor de un parámetro desconocido de la población. El método que seguiremos es el siguiente:
1. Definir la hipótesis nula: suponer una hipótesis acerca de una población. Se determina si es una prueba de una o dos cola.
2. Formular una hipótesis alternativa: es una contra-hipótesis.
3. Elegir un nivel de significación
y construir la zona de aceptación, intervalo fuera del cual sólo se encuentran el
100% de los casos más raros. A la zona de rechazo la llamaremos Región Crítica, y su área es el nivel de significación o aceptación.4. Verificar la hipótesis extrayendo una muestra cuyo tamaño se ha decidido en el paso anterior y obteniendo de ella el correspondiente estadístico (media o proporción en nuestro caso). Decida que distribución (t o z) es la más apropiada y encuentre los valores críticos adecuados para el nivel de significancia escogido de la tabla adecuada.
5. Recabar datos de la muestra.
6. Calcule el error estándar del estadístico de la muestra y utilice el error estándar para convertir el valor observado del estadístico de la muestra a un valor estandarizado.
Determine si el valor calculado en la muestra cae dentro de la zona de aceptación de ser así se acepta la hipótesis y si no se rechaza.
7. Utilice el estadístico de la muestra para evaluar la hipótesis.
Aquí nos vamos a limitar a estudiar hipótesis sobre la media y sobre la proporción en una población.
En cada caso se trabaja con un contraste bilateral o unilateral. Los contrastes unilaterales son de distinta dirección en cada ejemplo, pero el método a seguir es análogo para ambos.
Hipótesis nula y alternativa
Llamaremos hipótesis nula, y la representaremos por H0, a la hipótesis que se desea contrastar. La hipótesis nula es en general un supuesto simple que permite hacer predicciones sin ambigüedad. La hipótesis alternativa (H1 o H0) da una suposición opuesta a aquella presentada en la hipótesis nula. El experimento se lleva a cabo para conocer si la hipótesis alternativa puede ser sustentada.
El nombre de nula (H0) representa la hipótesis que mantendremos a no ser que los datos indiquen su falsedad. “Nula” debe entenderse en el sentido de “neutra“. La hipótesis H0 nunca se considera probada, aunque puede ser rechazada por los datos. Por ejemplo, la hipótesis de que todos los elementos de una población tienen el mismo valor de una variable puede ser rechazada encontrando un elemento que no lo contenga, pero no puede ser “demostrada” más que estudiando todos los elementos de la población, tarea que puede ser imposible. De igual manera, la hipótesis de que la media de una población es diez puede ser rechazada fácilmente si la media verdadera está muy lejos de diez analizando una muestra suficientemente grande. Sin embargo, no puede ser “demostrada” mediante muestreo, ya que es posible que la media difiera de diez en un valor pequeño imperceptible en el muestreo). Por esta razón no afirmamos que aceptamos H0, sino que no podemos rechazarla.
La hipótesis H0 se elige normalmente de acuerdo con el principio de simplicidad científica. Este principio establece que solamente debemos abandonar un modelo simple a favor de otro más complejo cuando la evidencia a favor de este último sea fuerte. Si rechazamos H0, estamos implícitamente aceptando la hipótesis alternativa, H1, que puede ser simplemente la negación de H1. En algunos casos queremos decidir entre dos hipótesis simples y H1 está perfectamente determinada. Desconocemos antes de realizar el contraste en que dirección puede ser falsa H0. Entonces H1 es simplemente la negación de H0 : 0. Decimos entonces que el contraste es bilateral. Conocemos la dirección en que H0 puede ser falsa. Es decir, si H0 es falsa, en ese caso forzosamente (o bien0 ). Por 0 ejemplo, se introduce una medida en una población que, si tiene efectos, puede mejorar una variable pero es imposible que pueda empeorarla. Tenemos entonces un contraste unilateral.
Al realizar una prueba de hipótesis, se parte de de un valor supuesto (hipotético) de un parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara el estadístico muestral, así como la media (X , con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional ) ( . ) Después, se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético solo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Se acepta la hipótesis alternativa H1 solo si se rechaza la hipótesis nula.
Los tests ( o pruebas) asociados con las hipótesis pueden ser uni o bi laterales, según las hipótesis planteadas
Estadístico de la prueba
Los datos se deben sintetiza en un estadístico de la prueba. Dicho estadístico se calcula para ver si es razonablemente compatible con la hipótesis nula. Cuando se prueba una proporción el estadístico de la prueba es muy simple: se cuenta el número de éxitos en la muestra para encontrar el estadístico.
En las pruebas de hipótesis es necesario trazar una línea entre los valores del estadístico de la prueba que son relativamente probables dada la hipótesis nula y los valores que no lo son. ¿En qué valor del estadístico de la prueba comenzamos a decir que los datos apoyan a la hipótesis alternativa? Para contestar a esta pregunta se requiere conocer la distribución muestral del estadístico de la prueba. Los valores del estadístico de la prueba que son sumamente improbables bajo la hipótesis nula (tal como los determina la distribución muestral) forman una región de rechazo para la prueba estadística.
Nivel de significación
Para realizar un contraste de hipótesis se define normalmente una medida de discrepancia, entre los datos muestrales y la hipótesis nula H0. Intuitivamente la discrepancia debe depender de la diferencia entre el valor del parámetro especificado por H0 y el valor del estimador calculado en la muestra. Para obtener una medida de discrepancia que no dependa de las unidades de medida de la variable podemos dividir esta diferencia por su valor promedio, que es el error típico de estimación del parámetro. Por tanto, la medida de discrepancia más habitual es:
esitmación de
co error típi
parámetro estimador
ia
discrepanc
Hay que decidir que discrepancias consideramos inadmisibles bajo H0, es decir, cual es la máxima diferencia entre el estimador y el parámetro que estamos dispuestos a considerar compatible con H0. Esta decisión depende de:
La distribución de la medida de discrepancia cuando es cierta H0. Como veremos, la medida de discrepancia tiene generalmente una distribución normal, de media cero y desviación típica uno, cuando H0 es cierta.
Que el contraste sea unilateral o bilateral. Para contrastes unilaterales interesan las discrepancias en una dirección, mientras que para los bilaterales interesan en ambas.
Interpretación del nivel de significancia.
El propósito de la prueba de hipótesis no es cuestionar el valor calculado del estadístico de la muestra, sino hacer un juicio respecto a la diferencia entre ese estadístico de muestra y un parámetro de población hipotetizado. El siguiente paso después de establecer la hipótesis nula y alternativa consiste en decidir qué criterio utilizar para decidir si aceptar o rechazar la hipótesis nula. Si suponemos que la hipótesis es correcta, entonces el nivel de significancia indicará el porcentaje de medias de muestra que está fuera de ciertos límites. Siempre que afirmemos que aceptamos la hipótesis nula, en realidad lo que queremos decir es que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla. El empleo del término aceptar, en lugar de rechazar, se ha vuelto de uso común. Significa simplemente que cuando los datos de la muestra
n
hacen que rechacemos una hipótesis nula, nos comportamos como si fuera cierta.Selección del nivel de significancia.
Nuestra elección del estándar mínimo para una probabilidad aceptable, o el nivel de significancia, es también el riesgo que asumimos al rechazar una hipótesis nula cuando es cierta. Mientras más alto sea el nivel de significancia que utilizamos para probar una hipótesis, mayor será la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando es cierta.
Error Tipos I y II en un Contraste de Hipótesis
Si rechazamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, cometemos un error de tipo I, mientras que si la aceptamos debiendo ser rechazada diremos que hemos cometido un error de tipo II. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra.
La probabilidad de cometer un error de tipo I es el nivel de significación
,
la probabilidad de cometer un error de tipo II depende del verdadero valor deµ
y del tamaño de la muestra. Comprueba que la probabilidad de cometer un error de tipo II disminuye al aumentar el tamaño de la muestra (n). Comprueba también lo que ocurre al variar la diferencia entre la media hipotética de la población (µo) y la verdadera (µ).
El rechazo de una hipótesis nula cuando es cierta se denomina error de tipo I, y su probabilidad (que es también el nivel de significancia) se simboliza como
.El hecho de que P sea muy bajo no califica el acontecimiento como imposible. Simplemente que tiene poca probabilidad de ocurrir al azar. A la probabilidad de cometer error tipo I se la denomina nivel de significación Habitualmente el investigador fija a priori el nivel de significación crítico para rechazar Ho (). Si P es menor que, se rechaza. En caso contrario, se acepta Ho.
El hecho de aceptar una hipótesis nula cuando es falsa se denomina error de tipo II, y su probabilidad se simboliza como
. La probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro tipo de error. Con el propósito de obtener una
baja, tendremos que tolerar una
alta. Los responsables de la toma de decisiones deciden el nivel de significancia adecuado, al examinar los costos o desventajas vinculadas con ambos tipos de errores.En realidad, puede asumir infinitos valores distintos de k. Si el verdadero valor de no dista excesivamente del postulado en Ho, es posible aceptar ésta siendo falsa:
Como el valor observado cae en el área de aceptación de Ho, no se rechaza la hipótesis. Sin embargo el valor verdadero del parámetroes distinto dek. La probabilidad de cometer un error de tipo II es. Al valor (1-) se le llama potencia de un test. El valordepende dey del valor alternativo que se ponga para Cuanto menor sea , mayor será .La única forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra (n).
Las hipótesis nula y alternativa son aseveraciones sobre la población que compiten entre sí. O la hipótesis nula H0 es verdadera, o lo es la hipótesis alternativa H1, pero no ambas. En el caso ideal, el procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de H0 cuando sea verdadera y al rechazo de H0 cuando H1 sea verdadera. Desafortunadamente no siempre son posibles las conclusiones correctas. Como las pruebas de hipótesis se basan en información de muestra, debemos considerar la posibilidad de errores.
Situaciones posibles en un contraste de hipótesis
Condición de la población
H0 verdadera H1 verdadera Aceptar H0 Conclusión correcta Error de tipo II Rechazar H0 Error de tipo I Conclusión correcta
Esta tabla muestra los dos tipos de errores que se pueden cometer en la prueba de hipótesis. El primer renglón muestra lo que puede suceder cuando la conclusión es aceptar H0. Si H0 es verdadera, esta conclusión es correcta. Sin embargo, si H1 es verdadera, hemos cometido un error de tipo II, es decir, hemos aceptado H0 siendo falsa. El segundo renglón muestra lo que puede suceder cuando la conclusión es rechazar H0. Si H0 es verdadera, hemos cometido un error de tipo I, es decir, rechazar H0
cuando es verdadera. Sin embargo, si H1 es verdadera, es correcto rechazar H0.
Si bien no se puede eliminar la posibilidad de errores en la prueba de hipótesis, sí podemos considerar la probabilidad de su ocurrencia. Se usa la siguiente notación estadística normal para indicar las probabilidades de cometer esos errores:
= probabilidad de cometer un error de tipo I.
= probabilidad de cometer un error de tipo II.
Al realizar un contraste se puede cometer uno de los dos errores siguientes:
Error tipo I, se rechaza la hipótesis nula H0 cuando es cierta.
Error tipo II, se acepta la hipótesis nula H0 cuando es falsa.
Debe tenerse en cuenta que sólo se puede cometer uno de los dos tipos de error y, en la mayoría de las situaciones, se desea controlar la probabilidad de cometer un error de tipo I. Se denomina nivel de significación de un contraste a la probabilidad de cometer un error tipo I, se denota por y, por tanto,
) ..
. ..
(Rechazar H0 H0es cierto
P
. Fijar el nivel de significación equivale a decidir de antemano la probabilidad máxima que se está dispuesto a asumir para rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. El nivel de significación lo elige el experimentador y tiene por ello la ventaja de tomarlo tan pequeño como desee (normalmente se toma = 0.10, 0.05 o 0.01)
Contraste de Hipótesis de Dos Colas (Bilateral) y de una Cola (Unilateral)
Un contraste de hipótesis dos colas tal como
0 1
0 0
: :
H H
recibe el nombre de bilateral, debido a que rechazará la hipótesis nula si la media de la muestra es significativamente mayor o menor que la media de la población hipotetizada. En un contraste de este tipo, la región critica o de rechaza se separa en dos colas, con la misma probabilidad en cada cola de la distribución del estadístico de contraste. Existen pues, dos regiones de rechazo.
Hay situaciones en las que no es apropiada una prueba de dos extremos, por lo que debemos usar una prueba de un extremo, que pueden ser de extremo izquierdo (o inferior) o extremo derecho (o superior).
En contrastes de hipótesis, tales como:
0 1
0 0
: :
H H
o 1 0 0 0
: :
H H
Si la hipótesis alternativa es H1: 0 la región critica o de rechazo debe encontrarse en la cola superior (derecha) de la distribución del estadístico de contraste, mientras que si la hipótesis alternativa es H1: 0 la región crítica debe encontrarse en la cola inferior (izquierda) de la distribución. En general, la desigualdad en la hipótesis alternativa apunta en la dirección de la región crítica.
Al construir hipótesis, siempre se plantea la hipótesis nula como una igualdad, en H0 los signos siempre deben ser: = (igual) o ≤ (menor o igual que) o ≥ (mayor o igual que), de modo que la probabilidad
alfa del error tipo I pueda controlarse en valor especifico. La hipótesis alternativa puede ser unilateral o bilateral, dependiendo de las conclusiones que ha de obtenerse si se rechaza H . Si el objetivo es 0
hacer una afirmación donde aparezcan proposiciones tales como mayor que, menor que, superior a, excede a, al menos y otras similares, entonces la alternativa unilateral es la que resulta mas apropiada.
Si la afirmación no implica ninguna dirección, o si es del tipo no es igual a, entonces debe utilizarse la alternativa bilateral.
La Hipótesis nula siempre se refiere a un valor especificado del parámetro de la población (μx, σx, p), no a una muestra estadística (X,S,ps) .La declaración de la hipótesis nula siempre contiene una igualdad (es decir, H :0 x ). La declaración de la hipótesis alternativa nunca contiene una igualdad (es decir, H :1 x ).
Para decidir con relación a la hipótesis nula, se tiene que determinar primero el valor critico para la distribución estadística de interés: El valor critico separa la región de no rechazo de la de rechazo. Si la prueba estadística cae en la región de no rechazo no se puede rechazar la hipótesis nula y se concluirá que la cantidad promedio no proporciona evidencias estadística para rechazarla. Si cae en la región de rechazo, se rechazara la hipótesis nula y la conclusión será que la media de la población no es igual a la media de la muestra.
Formule la hipótesis en base a los objetivos del estudio, pero siempre antes de extraer la muestra y calcular el estimador puntual del parámetro desconocido, para no verse influenciado por este resultado.
Tenga en cuenta que si bien la hipótesis nula es la que se pone bajo prueba, eso no significa que deba ser siempre la suposición que el experimentador desea que se compruebe.
Como en todo proceso de inferencia, existe algún grado de subjetividad en la realización de una prueba, particularmente en la elección del nivel de significancia y del tamaño de la muestra. Trate de que la elección de estos valores responda a un análisis cuidadoso del problema en cuestión.
Una vez fijadas las condiciones de la prueba, el resultado de la misma es totalmente objetivo.
Para fijar el nivel de significancia de la prueba, hay que tener en cuenta que cuando la probabilidad del error tipo I aumenta, la del error tipo II disminuye. La forma de minimizar el error tipo II independientemente del nivel de significancia, es aumentando el tamaño de la muestra.
Como las probabilidades de los errores tipo I y II están relacionadas entre si, pero el experimentador puede fijar la primera, antes de elegir el nivel de significancia hay que ver cuál de los dos tipos de errores resulta más crítico.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
En ocasiones pueden surgir dudas en el planteamiento de cuál debe ser la hipótesis H0 y cuál la hipótesis H1, en estos casos debemos tener presente las siguientes reglas:
Cuando el problema de manera expresa pide que se contraste una hipótesis con determinado nivel de significación, la hipótesis que contrastamos es la hipótesis H0.
Cuando el problema pide explícitamente que seamos nosotros quienes planteemos las hipótesis, para decidir qué poner en H0 y qué en H1, se pueden tener en cuenta las siguientes indicaciones:
En H1 siempre debemos colocar lo que realmente queremos investigar con seguridad, pues el error
, el que fijamos de antemano, se comete cuando optamos por H1 y nos equivocamos.En caso de duda, siempre elegir un contraste de hipótesis con dos colas, el cual se utiliza cuando lo que interesa es una posible desviación en cualquiera dirección, a partir del valor hipotético de la media. La formula que se utiliza para establecer los valores críticos de la media muestral (XVC) es similar a los que se utilizan para determinar los limites de confianza para estimar la media de una población, excepto que el valor hipotético de la media poblacional (μ0, el verdadero valor de la media de la población) que estudiamos es el punto de referencia, y no la media muestral. Los valores críticos de la media muestral para una prueba de dos colas, dependiendo de si se conoce , son:
n Z S
X ZS
X
Z n X
Z X
X VC VC
X VC VC
2 0
0
2 0
0
Cuando el planteamiento es muy claro se elige el contraste de hipótesis de una cola, este se aplica cuando únicamente interesan las desviaciones de un solo sentido con respecto al valor hipotético de la media; en las pruebas o contrastes de una sola cola existe una sola región de rechazo. Los valores críticos para las pruebas de una sola cola son diferentes a los que se utilizan para las pruebas de dos colas, porque la proporción dada de área total se encuentra en esa cola de la distribución. La formula general para establecer el valor crítico de la media muestral para prueba de una cola. Dependiendo de si se conoce o no es:
n Z S X
ZS X
Z n X
Z X
X VC VC
X VC VC
0 0
0 0
La única forma de probar una hipótesis nula es conociendo el parámetro de población, y eso no es posible al tomar una muestra. Por consiguiente, aceptamos la hipótesis nula y nos comportamos como si fuera cierta, simplemente porque no podemos encontrar evidencia para rechazarla.
Valores Críticos de y Zonas de Rechazo
Los valores que se obtienen de la tabla Z son valores críticos que determinan las zonas de rechazo en un contraste de hipótesis. Cuando se realiza un contraste o prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 95 % que es el área o Región de Aceptación (ver grafica A y A0), para encontrar la zona de aceptación se divide por 2 el 95 %, en la tabla Z, el área de aceptación será 0.95/2 = 0.4750 que indica un valor de Z 1.96. El 5 % restante es la zona de rechazo o Región Critica (ver grafica A y A0), esta distribuida entre las dos colas de la distribución, la derecha y la izquierda, con 2.5
% para cada zona de rechazo. Este 5 % es el nivel de significación, o el valor alfa ( de la prueba. ) Por lo tanto, si un valor de Z es mayor que 1.96 o menor que menos -1.96, no es probable que
0 , entonces, la hipótesis nula será rechazada.
Esos valores críticos de Z de 1.96 permiten establecer una Regla de Decisión que diga si se rechaza la hipótesis nula o no. La regla de decisión seria:
Regla de Decisión: “No se rechaza la hipótesis Nula si los valores de Z están entre 1.96. Se rechazan si el valor Z es menor que menos -1.96 o mayor que +1.96”.
GRAFICA A
Una vez decidido que tipo de discrepancias llevan a rechazar H0, (que dependerá sólo de si el contraste es unilateral o bilateral) hay que determinar cual es la discrepancia máxima admisible, lo que dependerá de la distribución de la medida de discrepancia cuando es cierta H0. Llamaremos p-valor del contraste, a la probabilidad de obtener una discrepancia mayor que la observada. Rechazaremos H0
cuando el p-valor sea pequeño (menor de 0,10, 0,05 o 0,01)
Los valores más comunes para niveles de significación
Nivel de Significación 0,10 (90%) 0,05 (95%) 0,01(99%) Valores críticos de z para una cola + 1,28 + 1,645 + 2,33 Valores críticos de z para dos colas + 1,65 + 1,96 + 2,58
Región de rechazo y aceptación de una hipótesis
La selección de un nivel de significación
conduce a dividir en dos regiones el conjunto de posibles valores del estadístico de contraste:La región de Rechazo, con probabilidad
La región de Aceptación, con probabilidad bajo H0.
Si el estadístico de contraste toma un valor perteneciente a la región de aceptación, entonces no existen evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula con un nivel de significación y el contraste se dice que estadísticamente no es significativo. Si, por el contrario, el estadístico cae en la región de rechazo entonces se asume que los datos no son compatibles con la hipótesis nula y se rechaza a un nivel de significación. En este supuesto se dice que el contraste es estadísticamente significativo.
Según la forma de la región de rechazo, un contraste de hipótesis, paramétrico o no, se denomina:
Contraste unilateral o contraste de una cola es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está formada por una cola de la distribución del estadístico de contraste, bajo H0, y puede ser por la derecha o por la izquierda.
Contraste bilateral o contraste de dos colas es el contraste de hipótesis cuya región de rechazo está formada por las dos colas de la distribución del estadístico de contraste, bajo H0.
GRAFICA B: Contraste unilateral o de una cola, por la izquierda (H0:
μ≥μ
0, H1:μ<μ
0 )GRAFICA C: Contraste unilateral o de una cola por la derecha (H1: μ μ0 o H1: μ < μ0 )
En la resolución de un problema de contraste o test de hipótesis ¿qué parámetro no se controla? El error de tipo II. Se desconoce la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.
Obviamente existe una relación entre los tres parámetros, conocidos dos de ellos se puede obtener el tercero:
n
, tamaño muestral,
, probabilidad de error de tipo I, , Probabilidad de error de tipo II.
El contraste de hipótesis no establece la verdad de la hipótesis, sino un criterio que nos permite decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza, o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados. En este proceso podemos incurrir en dos tipos de errores según sea la situación real y la decisión que tomemos.
REGIÓN CRÍTICA DE UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Pruebas de hipótesis para diferentes Parámetros y Distribuciones
1.-Contraste de la media de una población normal con varianza σ
2conocida
Las suposiciones para esta prueba son mínimas. La población o distribución de interés tiene una media μ y una varianza σ2, conocida. El estadístico de prueba se basa en la media muestral X , por lo que también se supondrá que la población esta distribuida de manera normal o que se aplican las condiciones del teorema del limite central. Esto significa que la distribución de X es aproximadamente normal con una media μ y una varianza σ2/n.
Desarrollo del procedimiento de prueba Contraste bilateral
Hipótesis nula:H0 : 0
Hipótesis alternativa: H1: 0
Donde
μ
0 es una constante especifica. El Estadístico de contraste es: n Zc X
0
en donde ,
..
.. calculadoZ A
Zc
n
i
Xi
X n
1
1
, siendo
X ,...,1 Xn
una muestra de la población considerada normalN(,), varianza conocida y n = tamaño de la muestra. Puesto que X tiene una distribución aproximadamente normal con media
μ
0 y una desviación n si la hipótesis nula es verdadera, entonces puede conseguirse una región critica con en el valor calculado de la media muestral X . El procedimiento de prueba para0 0: H
utiliza el estadístico de prueba n Zc X
0
, si la hipótesis nula H1: 0 es verdadera, entonces E(X)0, de donde se desprende que la distribución Z es la distribución normal estándar. Por lo tanto, si H0: 0 es cierta, la probabilidad de que el estadístico de prueba Zc caiga entre Z 2..y..Z 2..es..1. Por lo tanto H0 debe rechazarse si:
Estas dos desigualdades se conocen como Región Critica o Zonas de Rechazo (ver grafica B).. Siendo Z 2 el valor de la abscisa de la normal N(0,1), además es un valor que se encuentra en la tabla Z que deja a su derecha un área de probabilidad igual a/2.
Regla de Decisión: “No se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de Zc se encuentran en el intervalo Z 2 Zc Z 2.” El área comprendida en esa desigualdad se le denomina Zona de Aceptación o Región de Aceptación.
Luego los valores críticos de la media muestral serán:
, ..
.. 2
2
o Z Z
Z
Zc c
n Z
XVC 0 2
La formula estadística n Zc X
0
es un estadístico en la cual
0
es, por hipótesis, la media de la población de la cual proviene la muestra. La razón de trabajar con unidades estándar, o valores de Z, es que permite formular criterios que se pueden aplicar a una amplia variedad de problemas y no solo a uno. Si se aproxima la distribución de muestreo de la media, con una distribución normal, se pueden aplicar los criterios de prueba que se muestran en el siguiente cuadro simbolito, según la elección de la hipótesis unilateral o bilateral. Una vez mas, Z..y..Z 2 son valores de Z tal que el área situada a su derecha debajo de la distribución normal estándar es y.. .. 2.
CUADRO SIMBÓLICO
Hipótesis alternativa
Rechazar la hipótesis nula si
Aceptar la hipótesis nula o reservarse el juicio Si
0
Z Z Z Z
0
Z Z Z Z
0
2 2
Z Z o
Z Z
2
2
Z Z
Z
La prueba que se ha descrito es esencialmente con una muestra grande; esta solo se cumple cuando la población que se muestrea tiene una distribución normal y N es mayor o igual a 30. De la misma forma, como se desconoce
σ
en muchas aplicaciones prácticas, a menudo no se tiene otra opción que hacer la aproximación adicional de sustituir este valor por la desviación típica S de la muestra.EJEMPLO1: Se desea determinar, con base a la media X de una muestra aleatoria de tamaño 100, si el gasto diario promedio en alimentos de familias de tres miembros de cierta escala de ingreso es de 850.0 Bs. A partir de información recolectada en otros estudios pertinentes, suponemos que la variabilidad de esos gastos están dados por una desviación estándar de 122 Bs.0 .y se sabe que la media de la muestra es de 878.0 Bs. El experimento se debe realizar con un nivel de significancia de
= 0.05.y 0.01 ¿A qué conclusiones se debe llegar?
SOLUCIÓN: Lo Primero que se debe realizar es plantearse las hipótesis:
0 . 850 :
0 . 850 :
1 0
H H
El nivel de significancia de 0.05 por tabla se sabe que Z 2 1.96 ;
n
= 100 ; X 878.0 ; 0.
0 850
; 122.0, ahora se aplica la formula:
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de Zc Z 2..o..Zc Z 2 es decir, Zc 1.96..o..Zc 1.96.”
3 . 2 2
. 12
28 10 122
28 100
122 850
0 878
Z Z
n
Zc X c
Conclusión: Como Z es mayor que c Z 2, es decir, Zc 2.31.96, se rechaza H0: 850.0 y se concluye que el gasto en alimentos diario en promedio de las familias en estudio no es igual a 850.0 Bs. Por ser la diferencia entre la media X observada y el valor hipotético de
μ
es demasiado grande para atribuirse a la casualidad. Tomando e n cuenta los datos, pareciera que el gasto promedio diario en alimentación de esas familias es superior a 850.0 Bs. Esto se puede observar en la grafica B1 en donde Zc = 2.30 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 850¿Qué ocurriría si se hubiese utilizado un nivel de significancia de = 0.01 en vez de 0.05? Esta interrogante se le deja a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
EJEMPLO 2: Los sistemas de escape de emergencia para aviones son impulsados por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de 50 cm/s. Se sabe que la desviación estándar de esa rapidez es de 2.cm/s. El experimentador decide especificar un nivel de significancia, de = 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de
n
= 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de X 51.3..cm/s. ¿A qué conclusión debe legar?SOLUCIÓN: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión.
s cm H
s cm H
/ ..
50 :
/ ..
50 :
1 0
Por tabla se sabe qué Z 2 1,96;
n
= 25;σ
= 2 cm/s; X 51.3..cm/s...y..0 50..cm/s.Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de Zc Z 2..o..Zc Z 2 es decir, Zc 1.96..o..Zc 1.96.”
Ahora se aplica la fórmula para estandarizar los valores así:
25 . 5 3 2
3 . 1 25 2
50 3 .
0 51
n Zc X
Conclusión: Como Z es mayor que c Z 2, es decir, Zc 3.251.96, se rechaza H0 : 50 con un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa una evidencia fuerte de que la rapidez promedio de combustión es mayor que 50 cm/s. Esto se puede observar en la grafica B1 en donde Zc = 3.25 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 50.
¿Qué ocurriría si se hubiese utilizado un nivel de significancia de = 0.01 en vez de 0.05? Esta interrogante se le deja a los estudiantes para que la realicen y saquen sus conclusiones.
Si el mismo problema se resuelve ahora desarrollándose un procedimiento para la prueba de hipótesis μ, donde la hipótesis alternativa sea unilateral por la derecha se tendría lo siguiente:
EJEMPLO 3: Los sistemas de escape de emergencia para aviones son impulsados por un combustible sólido. Una de las características importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea de 50 cm/s. Se sabe que la desviación estándar de esa rapidez es de 2.cm/s. El experimentador decide especificar un nivel de significancia, de = 0.05. Selecciona una muestra aleatoria de
n
= 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de X 51.3..cm/s. ¿A qué conclusión debe llegarse?SOLUCIÓN: El parámetro de interés es μ, la rapidez promedio de combustión.
s cm H
s cm H
/ ..
50 :
/ ..
50 :
1 0
Por tabla se sabe que para pruebas de una sola cola Z 1,645;
n
= 25;σ
= 2 cm/s;s cm y
s cm
X 51.3.. / ... ..0 50.. / .
Regla de Decisión: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si el valor de Zc Z, es decir, Zc 1,645.”
Ahora se aplica la formula para estandarizar los valores así:
25 . 5 3 2
3 . 1 25 2
50 3 .
0 51
n
Z X
Conclusión: Como Z es mayor que c Z , es decir, Zc 3.251,645, se rechaza H0 : 50 con un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa una evidencia fuerte de que la rapidez promedio de combustión es mayor que 50 cm/s. Esto se puede observar en la grafica B1 en donde Zc = 3.25 cae fuera del área de aceptación por lo tanto no se acepta que 50.
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero con una prueba unilateral por la izquierda, es decir, utilizando las siguientes hipótesis: H0: 0...,.y..H1: 0.
EJEMPLO 4: La duración media de una muestra de 100 bombillos fluorescentes producidos por la compañía General Electric resulta ser 1570 horas, con una desviación estándar de 120 horas. Si
μ
es la duración media de todos los tubos producidos por la compañía, compruebe la hipótesis H0: 1600 horas contra la hipótesis H1: 1600 horas con un nivel de significancia de a) 0.01, b) 0.05.SOLUCIÓN: Como ya están planteadas las hipótesis para un contraste bilateral se determina por tabla los valores de Z al 0.01, donde Z 2 2.58.
Datos: 0 1600,..X 1570,..S 120;..n100. Hipótesis:
horas H
horas H
..
1600 :
..
1600 :
1 0 0
Regla de Decisión o Region Critica: “ Se rechaza la hipótesis Nula H0, si los valores de
2 2.. ..
o Z Z
Z
Zc c es decir, Zc 2.58..o..Zc 2.58.”
Ahora se aplica la formula n Zc X
0
para estandarizar los valores:
50 . 12 2
30 10
120 30 100
120
1600
0 1570
c
c Z
n Z X
Conclusión: Como Zc calculado es mayor que Z 2, es decir, Zc 2.502.58, se Acepta horas
H0: 1600.. con un nivel de significancia de 0.01. De hecho, se observa que Zc 2.50 se encuentra en el area de aceptación 2.58Zc 2.58(ver grafico D).
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de 0.05.
Es importante destacar que cuando se desconoce
σ
en muchas aplicaciones practicas, a menudo no se tiene otra opción que hacer la aproximación adicional de sustituir este valor por las desviaciones estándar S de la muestra siempre y cuando la muestra sea mayor o igual a 30, y luego se procede a resolver el problema como si se conociera, es decir,σ =
S.
1. Contraste de la media de una población normal con varianza σ
2desconocida y muestra pequeña
Cuando no se conoce el valor de la desviación estándar
σ
de la población y la muestra es pequeña, es decir, N<30, se debe suponer que la población a partir de la cual se realiza el muestreo tiene más o menos una forma de una distribución normal y en este caso se utilizará la distribución t de Student.La distribución
t
apropiada tienen
– 1 grado de libertad. En la toma de decisiones el estadístico de contraste es, S ntc X 0
.
Suponga que tiene disponible una muestra aleatoria de tamaño n, x1, x2, ….xn, y sea X.. Sy.. 2 la media y la varianza muestral, respectivamente. Se desea probar la hipótesis alternativa bilateral o de dos colas (ver grafica A)
Hipótesis:
0 1
0 0
: :
H H
El estadístico utilizado para el contraste es
n S tc X 0
. Donde
t
cesel valor det
calculado.Regla de decisión o Región Critica: Se rechaza la Hipótesis nula si: tc t 2,n1...o...tc t 2,n1.
GRAFICA 1A - Contraste bilateral o de dos colas
.
Cuando el contraste de Hipótesis es de una sola cola por la derecha se tiene (ver grafica I):
Hipótesis:
H o
H
:
:
1
0 0
El estadístico utilizado para el contraste es
n S tc X 0
.
Regla de decisión o Región Crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: tc t,n1. Grafica I: Contraste de una cola, por la derecha
(
H
1: μ μ
0o H
1: μ > μ
0)Cuando el planteamiento es de un contraste de una sola cola por la Izquierda se tiene:
Hipótesis:
H o
H
:
:
1
0 0
El estadístico utilizado para el contraste es
n S tc X 0
.
Regla de decisión o Región Crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si tc t,n1.
EJEMPLO 1: Supongamos que se desea demostrar, sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 6, si el peso promedio de los caballos de un grupo grande del Hipódromo de la Rinconada es mayor de 500 kg. Sabiendo que el peso promedio de los caballos de la muestra mencionada es de 533 kg con una desviación tipica de 41.6 kg. ¿Qué se puede concluir utilizando un nivel de significancia de : a) 0.05, b) 0.01.
Datos: 0 500,..X 533;..S 41.6;..n6 Hipótesis:
? 500 :
500 :
1 0
H H
EJEMPLO 2: Un industrial de la pólvora elabora un nuevo tipo del producto con la finalidad de conseguir con ese nuevo producto una velocidad de salida de los proyectiles de 3000 m/s. Se tomó una muestra de ocho proyectiles elaborados con la nueva pólvora y se logró una velocidad promedio de salida igual a 2958,75 m/s, con una desviación típica S = 39.26 m/s. El industrial desea saber si en realidad su producto tiene una velocidad de salida promedio igual 3000 m/s, utilizando para ello un nivel de significancia de a) 0.01, b) 0.05.
SOLUCIÓN: Lo primero que se hace es ordenar los datos y luego plantearse las hipótesis.
Datos:0 3000,...X 2958.75;....S 39.26. Se utilizará un contraste bilateral, para ello se busca en la tabla el valor de t con 7 grados de libertad y con un nivel de significancia de 0.01, entonces se tiene que t 2,gl7 3,499.
Hipótesis:
3000 :
3000 :
1 0
H H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si:tc t 2,gl7,...o...tc t 2,gl7, es decir, tc 3,499...o..tc 3,499.
Aplicando la formula siguiente se tiene:
. 97 . 87 2
. 13
25 . 41 83
. 2 26 . 39
25 . 41 8
26 . 39
3000 75
.
0 2958
c
c t
n S
t X
Conclusión: Como t calculado es mayor que c t 2,gl7, es decir, tc 2.973,499, se Acepta 3000
0:
H con un nivel de significancia de 0.01. De hecho, se observa que Zc 2.50 se encuentra en el área de aceptación 3,499Zc 3,499(ver grafico D).
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de 0.05. Saque sus conclusiones.
EJEMPLO 3: La vida útil promedio de los focos marca general electric especial para vehículos es cuando menos de 4200 horas. La vida útil promedio para una muestra aleatoria de n = 10 focos es de
4000
X horas, con una desviación típica muestral de S = 200 horas. Se supone que la vida útil de los focos siguen una distribución normal. El fabricante desea hacer un contraste de hipótesis con un nivel de significancia de: a) 5 % b) 1 %.¿Cuál seria la conclusión?
SOLUCIÓN: Se ordenan los datos: X 4000,..0 4200,..S 200,..n10.Para un contraste de hipótesis de una sola cola por la izquierda con 7 grados de libertad y un nivel de de significancia de 0.05, la tabla de t,gl9 1,833.
Hipótesis:
4200 :
4200 :
1 0
H H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si: tc t,gl9, es decir, 833
,
1
c
t .
Aplicando la formula siguiente se tiene:
. 16 . 29 3
. 63
200 16
. 3 200
200 10
200 4200
0 4000
c
c t
n S
t X
Conclusión: Como t calculado es menor que c t,gl9, es decir,tc 3.161,833, se rechaza 4200
0:
H con un nivel de significancia de 0.05. De hecho, se observa que tc 3.161,833 se encuentra en el área de rechaza (ver grafico C). Se concluye que la vida util de los focos tiene un promedio inferior a 4200 horas.
Se le deja al estudiante que realice el mismo problema pero utilizando un nivel de significación de 0.01. Saque sus conclusiones.
PRUEBAS DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS UTILIZANDO LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Existen variedades de problemas estadísticos en los que se deben decidir si una diferencia observada entre dos medias muestrales se pueden atribuir a la casualidad. Por ejemplo, se desea saber si hay en realidad una diferencia en el consumo de gasolina promedio de dos tipos de automóviles, si datos de muestras indican que un tipo de auto promedia un consumo de un litro por cada 13 Km., mientas que, con las mismas condiciones otro tipo de automóvil dio un promedio de un litro cada 15 Km. De la misma forma, a lo mejor nos interesa saber con base a muestras si hay en realidad una diferencia en la magnitud de cuentas atrasadas en dos sucursales de una tienda por departamentos, si los hombres pueden realizar una tarea más rápida que las mujeres, si una marca de televisor es mas duradera que otra, etc.
El método que se utiliza para demostrar si una diferencia observada entre dos medias muestrales se puede atribuir a la casualidad se basa en la siguiente teoría: si X1.. Xy.. 2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1.. ny.. 2, la distribución de muestreo de los estadísticos X1.. Xy.. 2 se pueden calcular con bastante aproximación con una curva normal que tenga
media
2 1
y desviación estándar igual a 2
22 1 12
n n
donde
2 1 2
1, , .. ..
y
son las medias y las desviaciones típicas de las dos poblaciones de donde provinieron las dos muestras, entonces el
estadístico para la prueba de hipótesis será 2
22 1 12
2
1 )
(
n n
X Zc X
. En la mayoría de los casos prácticos
2 1.. ..
y son incógnitas, pero si se utilizan muestras grandes que sean mayores o iguales a 30 se pueden utilizar las desviaciones estándar S1.. Sy.. 2 de las muestras como estimaciones de y1.. ..2, y
basar la prueba de hipótesis nula
2 0
1
en el estadístico 2
22 1 12
2
1 )
(
n S n S
X Zc X
que se aproxima bastante a la distribución normal estándar.
EJEMPLO 1: El salario promedio semanal para una muestra de n1 30 empleados de la empresa petrolera Lasmo es de X1280000 Bs., con una desviación típica muestral de S114000 Bs.. En otra empresa petrolera grande, una muestra aleatoria de n2 40 empleados tiene un salario promedio semanal de X2 270000 Bs., con una desviación estándar muestral de S2 10000Bs. Se prueba la hipótesis de que no existe diferencia entre los salarios promedio semanal de las dos empresas, utilizando un nivel de significancia de: a) 5 %, b) 1 %.
SOLUCIÓN: Lo primero que se hará será ordenar los datos y luego determinar el valor Z 2 al 5%, de la tabla.
Datos:
96 . 1 ..
..
..
..
..
10000 ..
...
...
...
...
14000
270000 ...
...
...
...
280000
40 ...
...
...
...
...
30
2 ..
...
...
...
...
...
1 ..
2
2 1
2 1
2 1
Z
de tabla segun valor
El
S S
X X
n n
Muestra Muestra
Hipótesis:
2 1 1
2 1 0
: :
H
H
Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si Zc Z 2...o...Zc Z 2, es decir,Zc 1.96....o....Zc 1.96.
Aplicando la formula siguiente se tiene:
2 22 1 12
2
1 )
(
n n
X Zc X
3.33
56 . 3005
10000
40 ) 10000 ( 30
) 14000 (
270000 280000
) (
2 2
2 22 1 12
2
1
Zc
n S n S
X X
