TEMA 9: Espacio afín tridimensional. DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

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TEMA 9: Espacio afín tridimensional.

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO Y ADMISIÓN A LA UNIVERSIDAD:

 Expresa la ecuación de la recta de sus distintas formas (paramétrica, continua e implícita), pasando de una a otra correctamente, identificando en cada caso sus elementos característicos, y resolviendo los problemas afines entre rectas.

 Obtiene la ecuación del plano en sus distintas formas (paramétrica, general o implícita), pasando de una a otra correctamente.

 Determina un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.).

 Plantea, interpreta y resuelve problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.

 Analiza la posición relativa de planos y rectas en el espacio, aplicando métodos matriciales y algebraicos.

ÍNDICE:

1. Sistema de referencia en el espacio afín.

2. Ecuaciones de la recta.

3. Ecuaciones del plano.

4. Posiciones relativas de rectas y planos.

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Departamento de Matemáticas del IES Salvador Serrano

1.- Sistema de referencia en el espacio afín.

DEFINICIÓN: (Sistema de Referencia canónico en

Dado un punto, llamado ORIGEN, y la BASE DE VECTOTRES ortonormal en

Se llama SISTEMA DE REFERNCIA CANÓNICO al conjunto formado por el punto y la base:

Cada punto está determinado por tres COORDENADAS CARTESIANAS del conjunto

El punto origen que define al sistema de refencia tiene coordenas nulas, Todo punto está asociado a un vector, llamado VECTOR DE POSICIÓN,

⃗ ⃗ , ,

Los ejes de coordenadas se notan: ⃗,

Podemos describir el ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL

sistema de referencia anterior, así como los lugares geométricos de Veamos, a continuación, los primeros resultados básicos en el Espacio Afín:

I. COMPONENTES DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS:

Dados los puntos, , ,

Las componentes vector ⃗ se determinan restando las coordenadas de punto extremo

EJEMPLO:

2 II. COMPROBACIÓN DE QUE TRES PUNTOS E Dados los puntos, , ,

tienen la misma dirección, es decir son linealmente dependientes y, por tanto prop

Departamento de Matemáticas del IES Salvador Serrano – Daniel G.

Sistema de referencia en el espacio afín.

ncia canónico en ℝ )

y la BASE DE VECTOTRES ortonormal en , canónica, ⃗, ⃗ Se llama SISTEMA DE REFERNCIA CANÓNICO al conjunto formado por el punto y la base: ℛ

está determinado por tres COORDENADAS CARTESIANAS del conjunto ℝ , y se se expresa co , ,

El punto origen que define al sistema de refencia tiene coordenas nulas, 0, 0, 0 .

Todo punto está asociado a un vector, llamado VECTOR DE POSICIÓN, ⃗ ⃗, de COMPONENTES:

⃗, ⃗.

ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL asociado a como el conjunto de los puntos determinados en el sistema de referencia anterior, así como los lugares geométricos definidos por tales puntos (Rectas, Planos, ..)

los primeros resultados básicos en el Espacio Afín:

COMPONENTES DE UN VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS:

; ! , ! , !

se determinan restando las coordenadas de punto extremo

⃗ ! " , ! " , ! "

2, "1, 3 ; 0, 2, "4 ⟹ ⃗ "2, 3, "7

COMPROBACIÓN DE QUE TRES PUNTOS ESTÁN ALINEADOS:

; ! , ! , ! ; ( ) , ) , ) ; estarán alineados si los vectores, tienen la misma dirección, es decir son linealmente dependientes y, por tanto proporcionales:

! "

) " ! "

) "

)

*

"

*

+ 0

Daniel G.

⃗, ,⃗-.

, ⃗, ⃗, ,⃗- -

, y se se expresa como sigue:

, de COMPONENTES:

como el conjunto de los puntos determinados en el (Rectas, Planos, ..).

se determinan restando las coordenadas de punto extremo a las del origen .

; estarán alineados si los vectores, ⃗ y (⃗

orcionales:

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EJEMPLO:

2, −1, 3 ; = 0, 2, −4 ; ( = 2, 1, 0

⃗ = −2, 3, −7 ; (⃗ = 2, −1, 4

−2 2 ≠ 3

−1 ⟹ ⃗ ∦ (⃗

, , ( no están alineados.

III. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Dados los puntos, = , , ; = ! , ! , ! ; las coordenas del punto medio del segmento 0000 se determinan como sigue:

1 = 2 + !

2 , + !

2 4 EJEMPLO:

= 2, −1, 3 ; = 0, 2, −4 ⟹ 1 = 21, 1 2 , − 1

24 IV. SIMÉTRICO DE UN PUNTO CON RESPECTO A OTRO:

El punto simétrico de un punto = , , con respecto a otro punto = ! , ! , ! es un punto

5

= , , tal que es el punto medio del segmento ′ 00000.

2 +

2 , +

2 4 = ! , ! , !

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ + 2 = !

+ 2 = !

;

EJEMPLO:

Punto simétrico de = 2, −1, 3 con respecto a = 0, 2, −4 :

⁵

= , , ?

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 2 + 2 = 0

−1 + 2 = 2 3 +

2 = −4

; ⟹ < = −2

= −11 = 5 ⟹

⁵

= −2, 5. −11 ;

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2.- Ecuaciones de la recta.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Dados un punto > ? , ? , ? ∈ ℝ y un vector no nulo A⃗ = A , A , A ∈ , se puede demostrar que determinan de forma única una recta.

La expresión algebraica, denominada ECUACIÓN VECTORIAL de la recta, viene dada vectorialmente a partir de los vectores de posición de sus puntos como sigue:

B ≡ ⃗ = >⃗ + DA⃗, D ∈ ℝ

B ≡ , , = ? , ? , ? + D A , A , A , D ∈ ℝ

Siendo = , , un punto genérico de la recta B que se calcula a partir de un único valor del parámetro D. Por ejemplo el valor D = 0 determina el punto de partida >.

Es evidente que una recta está determinada por su POSICIÓN (Punto) y su DIRECCIÓN (Vector)

Hay infintos puntos y vectores distintos que pueden definir una única recta. A los vectores se les denominan VECTORES DIRECTORES de la recta, todos con la misma dirección (proporcionales) y no nulos. En la ecuación de la recta B se ha considerado como Vector Director a A⃗ = A , A , A

< >EFGH:

J)GHB KLBJ)GHB: M⃗

>EFGH NJFéBL)H: > ;

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Si expresamos la ecuación vectorial en las correspondientes ecuaciones númericas dadas por las componentes de los vectores, obtenemos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta:

B ≡ < = ? + DA

= ? + DA

= ? + DA , D ∈ ℝ;

ECUACIONES CONTINUAS:

Si los vectores directores tienen sus componentes no nulas, es decir la recta no pertenece a ninguno de los tres planos determinados por los ejes cartesianos, podemos eliminar el parámetro despejándolo en cada una de las ecuaciones e igualando los resultados. De este modo obtenemos un sistema de dos ecuaciones no paramétrico equivalente a las ecuaciones de parámetricas de la recta. A esta ecuación que determina la recta se le denomina ECUACIONES CONTINUAS:

B ≡ − ?

A = − ?

A , A , A , A ≠ 0

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ECUACIONES IMPLÍCITAS:

En las condiciones de las ecuaciones continuas podemos obtener dos ecuaciones equivalentes eliminando los denominadores y agrupando todos los términos en los primeros miembros, obteniendo las denominadas ECUACIONES IMPLÍCITAS de la recta:

B ≡ P + ! + ) 0

5

+ !

⁵

+ )

⁵

= 0 ;

Un vector director de la recta se puede obtener como producto vectorial de los vectores: , !, ) y

⁵

, !

⁵

, )′

M⃗ = Q ⃗ ⃗ ,⃗

′ !′ )′ ! ) Q

También podemos obtener estas ecuaciones apoyándonos en la dependencia lineal de los vectores.

Es evidente que el vector director, A⃗ y el determinado por los puntos > y , > ⃗, tienen la misma dirección y, por tanto, linealmente dependientes, así que el rango de la matriz que forman debe tener rango 1.

B R − ? − ? − ?

A A A S = 1

Las ecuaciones implícitas vienen dadas como consecuencia que los menores de orden 2 tienen que ser nulos:

B ≡ T U − ? − ?

A A U = 0

U − ? − ?

A A U = 0

;

La ventaja de estas ecuaciones es que podemos considerar vectores directores no nulos, con algunas componentes nulas.

EJEMPLO:

Consideramos una recta B que pasa por el punto > = 3, 5, 8 y tiene un vector director dado por A⃗ = 2, 6, 4 Ecuación vectorial:

B ≡ , , = 3, 5, 8 + D 2, 6, 4 , D ∈ ℝ Ecuaciones Paramétricas:

B ≡ < = 3 + 2D

= 5 + 6D

= 8 + 4D ; , D ∈ ℝ Ecuaciones continuas:

B ≡ − 3

2 = − 5

6 = − 8

4 Ecuaciones implícitas:

B ≡ X6 − 18 = 2 − 10 4 − 12 = 2 − 16, B ≡ X 6 − 2 − 8 = 0

4 − 2 + 4 = 0 ;; , B ≡ X3 − − 4 = 0 2 − + 2 = 0 ; ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS:

⃗ ≡ , , = 0, 0, 0 + D 1, 0, 0 ; D ∈ ℝ ⃗ ≡ < = D

= 0 = 0 , ; D ∈ ℝ; ⃗ ≡ X = 0 = 0 ;

⃗ ≡ , , = 0, 0, 0 + D 0, 1,0 ; D ∈ ℝ ⃗ ≡ < = 0

= 0 = D , ; D ∈ ℝ; ⃗ ≡ X = 0 = 0 ;

⃗ ≡ , , = 0, 0, 0 + D 0, 0, 1 ; D ∈ ℝ ⃗ ≡ < = 0

= D = 0 , ; D ∈ ℝ; ⃗ ≡ P = 0 = 0 ;

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3.- Ecuaciones del plano.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Dados un punto , , ∈ ℝ y dos vectores, no nulos, con distinta dirección (linealmente

independientes), E⃗ = E , E , E ; M⃗ = M , M , M ∈ , se puede demostrar que determinan de forma única un plano.

La expresión algebraica, denominada ECUACIÓN VECTORIAL del plano, viene dada vectorialmente a partir de los vectores de posición de sus puntos como sigue:

Y ≡ ⃗ = ⃗ + DE⃗ + ZM⃗, D, Z ∈ ℝ

Y ≡ , , = , , + D E , E , E + Z M , M , M , D, Z ∈ ℝ

Siendo = , , un punto genérico del plano Y que se calcula a partir de una pareja de valores de los parámetros D y Z. Por ejemplo el valor D = 0, Z = 0 determina el punto de partida .

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Si expresamos la ecuación vectorial en las correspondientes ecuaciones númericas dadas por las componentes de los vectores, obtenemos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS del plano:

Y ≡ < = + DE + ZM

= + DE + ZM

= + DE + ZM , D, Z ∈ ℝ;

ECUACIÓN IMPLÍCITA (GENERAL):

Para obtener la ECUACIÓN IMPLÍCITA hay que eliminar los parámetros de las ecuaciones anteriores, planteando un sistema con dos incógnitas, D y Z:

[ E M

E M

E M \ 2DZ4 = [ −

− − \

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Como el sistema es compatible los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada debe ser 2. Por tanto el determinante de la matriz ampliada debe ser nulo, está condición determina la ECUACIÓN IMPLÍCITA del plano:

Y ≡ ] E M −

E M −

E M − ] = 0

Y ≡ + + ( + K = 0

También se llegaría a la misma expresión teniendo en cuenta que la matriz formada por los vectores: ⃗, E⃗, M⃗ tiene que tener rango 2, ya que para que estén en el mismo plano no puede ser linealmente independientes.

Se define el VECTOR NORMAL de un plano como cualquier vector ortogonal al plano. Es evidente que hay infinitos, todos con la misma dirección. Uno de ellos se puede sacar de la Ecuación implicita:

F⃗ = , , (

También podemos obtener un Vector normal, como producto vectorial de los vectores E⃗ y M⃗:

E⃗ M⃗ = Q ⃗ ⃗ ,⃗

E E E

M M M Q

ECUACIÓN NORMAL:

A partir de un vector normal F⃗ = , , ( del plano y un punto = , , se puede describir el plano con la ECUACIÓN NORMAL:

Y ≡ F⃗ · ⃗ = 0, , , ( · − , − , − = 0

Y ≡ − + − + ( − = 0

ECUACIÓN SEGMENTARIA (CANÓNICA):

Consideramos un plano que no sea paralelo a los planos determinados por las parejas de los ejes cartesianos.

A partir de sus puntos de corte con los ejes: > = , H, H ; _ = 0, !, 0 ; ` = 0, 0, ) ; , !, ) ≠ 0, se puede describir el plano con la ECUACIÓN SEGMENTARIA, dada por:

Y ≡ + ! + ) = 1

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EJEMPLO:

Consideramos un plano Y que pasa por el punto = 2, −1, 1 con dirección, la de los vectores: E⃗ = 2, 1, 1 y M⃗ = −5, 2, −3 .

Ecuación vectorial:

Y ≡ , , = 2, −1, 1 + D 2, 1, 1 + Z −5, 2, −3 ; D, Z ∈ ℝ Ecuaciones parámetricas:

Y ≡ < = 2 + 2D − 5Z

= −1 + D + 2Z

= 1 + D − 3Z ; , D,Z ∈ ℝ Ecuación implícita (general):

Y ≡ ] 2 −5 − 2

1 2 + 1

1 −3 − 1 ] = 0 Y ≡ −5 + + 9 + 2 = 0 Ecuación normal:

Y ≡ −5 − 2 + + 1 + 9 − 1 = 0 Ecuación segmentaria (canónica):

Cortes con los ejes:

⃗ ≡ X = 0 = 0 ; ⟹ 22 5 , 0, 04

⃗ ≡ X = 0 = 0 ; ⟹ 0,−2,0

⃗ ≡ P = 0 = 0 ; ⟹ 20,0,−2 94 Y ≡ 2

5 + −2 + − 29 = 1

ECUACIONES DE LOS PLANOS DETERMINADOS POR LOS EJES DE COORDENADAS:

≡ 0, 0, 0 + D 1, 0, 0 + Z 0, 1, 0 , D, Z ∈ ℝ; ≡ < = D

= 0 = Z ,; D, Z ∈ ℝ; ≡ = 0

≡ 0, 0, 0 + D 1, 0, 0 + Z 0, 0, 1 , D, Z ∈ ℝ; ≡ < = D

= Z = 0 ,; D, Z ∈ ℝ; ≡ = 0

≡ 0, 0, 0 + D 0, 1, 0 + Z 0, 0, 1 , D, Z ∈ ℝ; ≡ < = 0

= Z = D ,; D, Z ∈ ℝ; ≡ = 0

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4.- Posiciones relativas de rectas y planos.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS:

Dos rectas en el plano pueden presentar las siguientes posiciones relativas:

I. SECANTES (SE CORTAN):

 Tienen distinta dirección: E⃗ ∦ M⃗

 Tienen un punto en común

 ⃗, E⃗, M⃗- son l. dependientes. (coplanarios) II. PARALELAS:

 Tienen la misma dirección E⃗ ∥ M⃗

 No tienen ningún punto en común

 E⃗ ∥ M⃗ ∦ ⃗ III. COINCIDENTES:

 Tienen la misma dirección: E⃗ ∥ M⃗

 Todos los puntos son comunes.

 E⃗ ∥ M⃗ ∥ ⃗ IV. SE CRUZAN:

 Tienen distinta dirección E⃗ ∦ M⃗

 No tienen ningún punto en común.

 ⃗, E⃗, M⃗- son l. independientes.

También se pude estudiar la posición relativa de las dos rectas clasificando el sistema formado por sus ecuaciones generales con el Teorema de Rouché.

Sean las rectas:

B ≡ P + + ( = K

+ + ( = K ; , c ≡ P ′ + ′ + (′ = K′ ′ + ′ + (′ = K′ ; d

( (

′ ′ ′

′ (′

(′

e f g = d K K K′ K′

e

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Sean 1 la matriz de coeficientes y 1

^∗

la matriz ampliada.

 B 1 3 ≠ 4 = B 1

^∗

⟹ B c se cruzan

 B 1 = 3 = B 1

^∗

⟹ B c se cortan Secantes

 B 1 = 2 ≠ 3 = B 1

^∗

⟹ B c son paralelas

 B 1 = 2 = B 1

^∗

⟹ B c son coincidentes

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS:

I. SECANTES:

 Vectores normales con distinta dirección: F⃗ ∦ F⃗

 Tienen los infinitos puntos de una recta en común.

II. PARALELOS:

 Vectores normales con la misma dirección: F⃗ ∥ F⃗

 No tienen puntos en común.

III. COINCIDENTES:

 Vectores normales con la misma dirección: F⃗ ∥ F⃗

 Todos los puntos son comunes.

Estudiamos las posición relativa con el sistema formado por sus ecuaciones:

Sean los planos: Y ≡ + + ( = K; Y ≡

⁵

+

⁵

+ (

⁵

= K

⁵

R (

′ ′ (′S [ \ = R K K′S Sean 1 la matriz de coeficientes y 1

^∗

la matriz ampliada.

 B 1 = 2 = B 1

^∗

⟹ Y Y cJ )HBG F JF EF BJ)G cJ) FGJc

 B 1 = 1 = B 1

^∗

⟹ Y Y cHF )HLF)LAJFGJc

 B 1 = 1 ≠ 2 = B 1

^∗

⟹ Y Y cHF ? B xJxHc

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POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO:

Sea E⃗ un vector director de la recta B

Sean M⃗, y⃗ dos vectores l. independientes con las direcciones del plano Y y F⃗ un vector normal del plano Y.

I. RECTA CONTENIDA EN UN PLANO:

 E⃗ ⊥ F⃗

 {E⃗, M⃗, y⃗| son linealmente dependientes.

 Todos los puntos de la recta son del plano.

II. RECTA PARALELA AL PLANO:

 E⃗ ⊥ F⃗

 {E⃗, M⃗, y⃗| son linealmente dependientes.

 La recta y el plano no tienen ningún punto en común

III. RECTA SECANTE AL PLANO:

 {E⃗, M⃗, y⃗| son linealmente independientes.

 La recta y el plano tienen un único punto en comun

Estudiamos las posición relativa con el sistema formado por sus ecuaciones:

Sean el plano y la recta: Y ≡ + + ( = K; B ≡ P ′ + ′ + (′ = K′

55

+ ′

⁵

+ (′

⁵

= K′′ ;

[ (

′ ′ (′

′′ ′′ (′′ \ f g = [ K K′′ K′ \ Sean 1 la matriz de coeficientes y 1