Modelado y control de un sistema subactuado de 4 grados de libertad

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(1)BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA. FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRÓNICA MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA ELECTRÓNICA OPCIÓN EN AUTOMATIZACIÓN. “Modelado y control de un sistema subactuado de 4 grados de libertad”*. T E S I S Presentada para obtener el título de: Maestro en Ciencias de la Electrónica Opción en Automatización. Presenta:. Ing. José Manuel Reyes Rodríguez** Directores: Dr. Fernando Reyes Cortés Dr. Moisés Gutiérrez Arias. Puebla, México. Enero 2018. *TRABAJO FINANCIADO PARCIALMENTE POR PROYECTO VIEP, DITCo Y CONACyT **BECARIO CONACYT.

(2) Agradecimientos Este trabajo de tesis no hubiera sido posible sin el apoyo económico otorgado por CONACYT, ya que me sirvió para solventar los gastos generados al estar fuera de mi ciudad de origen. También quiero agradecer a la Facultad de Ciencias de la lectrónica de la BUAP por el apoyo brindado en el área administrativa y por su puesto, al permitirme utilizar sus instalaciones para el desarrollo del tema de tesis. Gracias a mis asesores el Dr. Fernando Reyes Cortés y el Dr. José Eligio Moisés Gutiérrez Arias por apoyarme en la resolución de todas las dudas que surgían durante el desarrollo del trabajo y el tiempo que dedicaron para que en conjunto fuera posible el cumplimiento de cada uno de los objetivos planteados al inicio del tema de tesis. Por último quiero agradecer al Dr. Carlos L. Pando Lambruschini, al Dr. Jaime Julián Cid Monjaraz y a la Dra. Olga Guadalupe Félix Beltrán por formar parte del jurado revisor y darme sus sugerencias y correcciones para el óptimo desarrollo del tema de tesis..

(3) Dedicatorias Este logro en mi carrera profesional se lo quiero dedicar principalmente a mi familia: A mi esposa Sarahí por brindarme el apoyo emocional y esperar mi llegada con bien. Por darme ánimos cuando más lo necesitaba. También dedico este trabajo a mi hija Jimena que por el momento no comprende la importancia de este logro por ser una bebé pero en un futuro quiero que se sienta orgullosa de mi y pueda ser su ejemplo a seguir. A mi madre Irma por estar al pendiente de mi bien estar, agradezco sus palabras de apoyo y muestras de amor que me sirvieron para hacer más fácil el estar fuera de casa. A mis hermanos Damarys y Jesús que por darme esos momentos de risas que alegraban mis días. A mis abuelos paternos María Elena y Horacio que siempre estuvieron al pendiente de mi brindandome su apoyo emocional y económico cuando se necesitaba. A mi abuela materna Bertha que siempre me apoyó a pesar de no estar cerca debido a la distancia. En especial quiero agradecer a mi abuelo paterno Faustino que siempre me expresaba lo orgulloso que estaba de mi y por enseñarme que con trabajando todo se puede lograr, no alcanzó a verme cumplir esta meta en persona, pero desde donde quiera que esté, se que me esta viendo y dandome sus bendiciones para seguir adelante y cumplir todo lo que me proponga. A mis compañeros y amigos de la maestría: Fernando, Raúl, Daniel, Gabino, Hugo, Rigoberto, Francisco, Moya, Giovanni y Hermes por hacer de cada día un momento de risas y estando ahí cuando más se necesitaba. Finalmete quiero agradecer a las señoras Alejandra y Minerva por otorgarme la confianza y recibirme en su casa, ya que sin su apoyo la estancia en esta ciudad hubiera sido difícil. Gracias por todo su apoyo..

(4) Resumen En el presente trabajo de tesis se lleva a cabo el control de posición del giroscopio ECP750, el cual es un sistema subactuado de cuatro grados de libertad, donde dos son actuados y dos subactuados, estos son producto de la dinámica generada por los grados de libertad actuados. El control de posición de sistemas subactuados no es trivial, por lo cual en esta tesis se aborda el tema partiendo desde el modelado cinemático directo y dinámico del giroscopio ECP-750. Para obtener el modelo cineático directo del giroscopio ECP-750 se utilizó una metodología bastante conocida y aceptada por la comunidad científica, esta es la convención de Denavit-Hartenberg, la cual por medio de matrices de transformación obtenidas de los paámetros físicos del sistema se obtiene una representación de la posición del extremo final del giroscopio (centro de giro) respecto a un sistema de referencia fijo designado por Σ0 (x0 , y0 , z0 ). Por otra parte la obtención de la dinámica del giroscopio se llevo a cabo por medio de la mecánica analítica utilizando las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange. Al implementar dicha metodología se obtiene la representación matemática que relaciona el torque requerido para cada actuador o grado de libertad en el sistema y las propiedades físicas de este. En la representación final del modelo dinámico se tiene la presencia de parámetros como: posiciones, velocidades y aceleraciones articularesmasas, inercias, longitudes y pares gravitacionales. Con la obtención del modelo cinemático directo y dinámico se aporta un modelo nuevo y no reportado en la literatura, siendo los primeros en obtener dichos modelos con las metodologías antes mencionadas. Las pruebas del control de posición del giroscopio ECP-750 se llevan a cabo utilizando principalmente el controlador P D + g(q) y un controlador PD modificado con funciones saturadas, del cual se pretende que tenga un mejor desempeño que el controlador PD simple en las pruebas realizadas. El control se aplica por medio de una tarjeta Arduino DUE, siendo también los primeros en aplicar el control de un sistema similar al giroscopio con una tarjeta.

(5) V. de desarrollo tan simple como la Arduino DUE. Todas la pruebas de control de posición que se le pueden hacer al giroscopio vienen descritas a detalle en un manual de usuario redactado para que se pueda entender y utilizar de forma sencilla y así el usuario pueda llevar a cabo las pruebas sin problema alguno. Las pruebas descritas en el manual de usuario se llevan a cabo por medio de una interfaz diseñada en una GUIDE de MATLAB especialmente para el giroscopio ECP-750. En la interfaz diseñada el usuario tiene la posibildad de observar la gráficas de posici”on, velocidad y aceleración de todos los grados de libertad del giroscopio. Además, tiene como opción el guardar los datos recabados de las pruebas en un archivo de texto con la extensión .txt para usarlos posteriormente a la prueba en tiempo real. Finalmente como apéndice en el presente documento se muestran las publicaciones realizadas sobre el trabajo de tesis en congresos y ponencias..

(6) Índice general Introducción 1. Cinemática. XII 1. 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.1. Cinemática directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.2. Cinemática inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.1.3. Cinemática diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.1.4. Matrices de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.5. Matrices de transformación homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.1.6. Convención Denavit-Hartenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.2. Cinemática del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.2.1. Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.2.2. Matriz de transformación GDL1 (Marco) . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.3. Matriz de transformación GDL2 (Balancín 1) . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.2.4. Matriz de transformación GDL3 (Balancín 2) . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.2.5. Matriz de transformación GDL4 (Plato) . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.2.6. Matriz de transformación homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2. Dinámica. 20. 2.1. Metodología de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.2. Modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.1. Energías cinética y potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 2.3. Propiedades del modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3. Control. 34. 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.1.1. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34 VI.

(7) Índice general. VII. 3.2. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.3. Sintonía de ganancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 4. Plataforma experimental. 44. 4.1. Interfaz electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Etapa de potencia. 46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.1.2. Etapa de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.1.3. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 4.2. Interfaz de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.3. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 4.3.1. Control de posición GDL actuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.3.2. Control de posición GDL subactuados . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. Conclusiones. 61. A. Manual de usuario. 63. A.1. Estructura mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. A.1.1. Base del giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. A.1.2. Marco (GDL 1 subactuado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. A.1.3. Balancín 2 (GDL 2 subactuado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. A.1.4. Balancín 1 (GDL 3 actuado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. A.1.5. Plato (GDL 4 actuado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. A.2. Etapa de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. A.2.1. Toma de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. A.2.2. Interruptores de frenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. A.2.3. Sistema de encendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. A.2.4. DACs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. A.3. Encoders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. A.4. Etapa de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. A.5. Interfaz de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. A.5.1. Puerto serial y lecturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. A.5.2. Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. A.5.3. Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. A.5.4. Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. A.5.5. Barra de menús . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. A.6. Posición de casa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. A.7. Conexión de cables del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76.

(8) Índice general. A.8. Conexión con la interfaz de usuario . . . . . . . . . . . . A.9. Pruebas de control de posición . . . . . . . . . . . . . . . A.9.1. Plato (GDL4 actuado) . . . . . . . . . . . . . . . A.9.2. Balancín 1 (GDL3 actuado) . . . . . . . . . . . . A.9.3. Plato y Balancín 1 (GDL4 y GDL3 actuados) . . A.9.4. Balancín 2 (GDL2 subactuado) . . . . . . . . . . A.9.5. Marco (GDL1 subactuado) . . . . . . . . . . . . . A.9.6. Balancín 2 y Marco (GDL2 y GDL1 subactuados) A.9.7. Guardar datos en archivo .txt . . . . . . . . . . . A.10.Desconexión del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11.Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Reconocimientos Bibliografía. VIII. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 76 77 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 117.

(9) Índice de figuras 1.. Giroscopio ECP-750. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XII. 2.. Interfaz del giroscopio ECP-750 original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIV. 1.1. Sistemas de referencia fijo Σ0 y rotado Σ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Rotación de un ángulo θ alrededor del eje z. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Rotación de un ángulo θ alrededor del eje x. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.4. Rotación de un ángulo θ alrededor del eje y. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.5. Convención Denavit-Hartenberg para un robot manipulador. . . . . . . . . .. 9. 1.6. Parámetro li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.7. Parámetro αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.8. Parámetro di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.9. Parámetro θi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.10. Diagrama esquemático del giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 1.11. Sistema de referencia para medir a q1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.12. Sistema de referencia para medir a q2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.13. Sistema de referencia para medir a q3 y q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 3.1. Estabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.2. Estabilidad asintótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.3. Función S1C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4.1. Distribución de los elementos principales en el giroscopio ECP750 . . . . . .. 45. 4.2. Etapa de potencia del giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.3. Interruptores inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 4.4. Tarjeta Arduino DUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.5. Diagrama esquemático de la tarjeta electrónica. . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.6. Diagrama de conexión del DAC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.7. Diagrama de conexión del OP-AMP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.8. Diseño de la tarjeta electrónica (PCB). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50 IX.

(10) Índice de figuras. 4.9. Diseño de la tarjeta electrónica. . . . . . . . 4.10. Diagrama de relación voltaje digital - voltaje 4.11. Diagrama de general del proceso de control. 4.12. Interfaz de usuario. . . . . . . . . . . . . . . 4.13. GDL4 (Palto). . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. GDL3 (Balancín 1). . . . . . . . . . . . . . . 4.15. GDL4 (Plato) y GDL3 (Balancín 1). . . . . 4.16. GDL2 (Balancín 2). . . . . . . . . . . . . . . 4.17. GDL1 (Marco). . . . . . . . . . . . . . . . .. X. . . . . . . analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 51 51 52 53 55 56 57 59 60. A.1. Distribución de los elementos principales en el giroscopio ECP750 A.2. Base del giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Marco del giroscopio (GDL 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Balancín 2 del giroscopio (GDL 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Balancín 1 del giroscopio (GDL 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Plato del giroscopio (GDL 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. Interruptores para los frenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8. Sistema de encendido de la etapa de potencia. . . . . . . . . . . . A.9. Entradas para los DACs del giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . A.10.Tarjeta de acoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.11.Interfaz de usuario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.12.Panel del puerto serial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.13.Panel de lecturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.14.Panel de parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.15.Panel del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.16.Panel de gráficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.17.Menú Archivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.18.Menú de Ayuda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.19.Posición de casa del giroscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.20.Posición de casa del giroscopio (Marco). . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63 64 64 65 65 66 67 68 68 70 71 72 72 73 73 74 74 75 75 81.

(11) Índice de tablas 1.1. Tabla de parámetros de Denavit-Hartenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.. . . . . . . . .. 45 47 48 54 55 56 58 59. A.1. Señales de los encoders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Entradas y salidas de la tarjeta de acoplamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Variables en el archivo .txt guardado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 70 84. Elementos principales del giroscopio. . . . . Etapa de potencia. . . . . . . . . . . . . . . Características Arduino DUE. . . . . . . . . Ganancias del controlador (GDL4). . . . . . Ganancias del controlador (GDL3). . . . . . Ganancias del controlador (GDL4 y GDL3). Ganancias del controlador (GDL2). . . . . . Ganancias del controlador (GDL1). . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. XI.

(12) Introducción El giroscopio ECP-750 Figura es un sistema desarrollado por la empresa Educational Control Products (ECP) para la evaluación de estructuras de control diseñadas bajo diversas metodologías para el control de posición del sistema. Este giroscopio es un sistema subactuado de cuatro grados de libertas, donde dos son actuados y dos subactuados, siendo el movimiento de estos producto de la dinámica generada por los grados de libertad actuados. El giroscopio ECP-750 es un sistema diseñado y desarrollado con fines de investigación científica, haciendo referencia a los giroscopios que se pueden encontrar en naves como: barcos, aviones, satelites, cohetes espaciales y estaciones espaciales.. Figura 1: Giroscopio ECP-750. En el capítulo 1 se aborda el tema del modelo cinemático directo del giroscopio ECP-750, comenzando por una breve introdución con los fundamentos teóricos que fueron requeridos para la obtención de este modelo. Se implementa la metodología de la convención de DenavitHartenberg para la obtención de las matrices de transformación que describen las rotaciones y traslaciones del giroscopio respecto a un sistema de referencia designado por Σ0 (x0 , y0 , z0 ). XII.

(13) Introducción. XIII. Finalmente se obtiene la representación vectorial de las coordenadas cartesianas [x, y, z] de la posici”on del extremo final del giroscopio, siendo este el centro de giro del giroscopio. La configuración de los sistemas de referencia según Denavit-Hartenberg es única y nueva, ya que no existe una configuración similar reportada en la literatura y por consecuencia el modelo cinemático directo obtenido es de igual forma ineédito. En el capítulo 2 se lleva a cabo la obtención del modelo dinámico del giroscopio ECP750 por medio de la mecánica analítica utilizando las ecuaciones de movimiento de EulerLagrange. De igual forma se da una introdución con los fundamentos teóricos requeridos para la obtenci”on del modelo dinámico. Se hace la descripción detallada de cada uno de los pasos que se siguieron según la metodología implementada. Para finalmente obtener la representación matemática que describe a los torques requeridos para el movimiento de cada grado de libertad y su relación con los parámetros físicos del sitema. La representación obtenida tiene la forma: τ = M (q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + g(q). (1). Donde se expresan parámetros como: posiciones, velocidades y aceleraciones articularesmasas, inercias, longitudes y pares gravitacionales. El modelo dinámico obtenido es inédito ya que en la literatura tampoco se encuentra reportado un modelo igual o similar al obtenido en este trabajo de tesis. En el capítulo 3 se aborda el tema de control, mencionando la teoría consultada para la implementación de este, haciendo enfásis en la teoria de estabilidad de Lyapunov. Se lleva a cabo el análisis de estabilidad en el sentido de Lyapunov para el controlador PD modificado con funciones saturadas, el cual tiene la forma: τ = Kp. sinh(q̇) sinh(q̃) − Kv + g(q) 1 + cosh(q̃) 1 + cosh(q̇). (2). Se obtiene la condición de estabilidad que presenta el sistema mediante el modelo dinámico obtenido y el controlador utilizado, arrojando que el sistema cumple con estabilidad local. También se aborda la técnica de sintónia de ganancias para los dos controladores utilizados. En el capítulo 4 se hace la descripción del giroscopio ECP-750 como plataforma experimental para el control de posición del mismo. Se mencionan las características técnicas del sistema y la distribución de los elementos mecánicos y electrónicos que conforman al giroscopio. También se menciona la interfaz electrónica utilizada para porder operar el sistema,.

(14) Introducción. XIV. resaltando la etapa de potencia con la cual ya se contaba y la tarjeta encargada del control, esta la tarjeta Arduino DUE. Siendo la primera vez que se implementaba una tarjeta de desarrollo como la Arduino DUE para el control de un sistema similar al giroscopio, se aportan las bases para la implementación de las diversas tarjetas de desarrollo disponibles en el mercado y de bajo costo, comprobando que no se requiere de una tarjeta de adquisición de datos especial y que tenga un alto costo para el control de un sistema subactuado como el giroscopio ECP-750. Para realizar el acoplamiento del torque digital obtenido de la tarjeta Arduino DUE se diseñó y desarrolló un circuito electrónico para el acoplamiento del torque digital y el analógico que se aplica a la etapa de potencia. El circuito diseñado es de bajo costo ya que tiene componentes como: Covertidores digital-analógicos, amplificaddores operacionales, reguladores de voltaje y resistencias de varios valores comerciales. También en el capítulo 4 se incluye la interfaz de usuario diseñada en una GUIDE de MATLAB, esto en base a los objetivos planteados y a que la interfaz con la que cuenta el giroscopio es obsoleta se requería de una actualización, ya que está diseñada para ejecutarse en el sistema operativo Windows 95 y se encuentra en un disquete de 3 12 .. Figura 2: Interfaz del giroscopio ECP-750 original. Como bien se sabe esta es una tecnología obsoleta ya que en los últimos años el desarrolo tecnológico ha ido creciendo de forma exponencial, esto traé consigo software y hardware de mayor calidad y rendimiento, por ello se desarrolló una interfaz de usuario nueva, en la cual se apliquen las estructuras de control que se lleguen a desarrollar, esto con el fin de proporcionar e integrar el estudio de los sistemas dinámicos no lineales de esta naturaleza al.

(15) Introducción. XV. programa educativo del posgrado, teniendo así como justificación para este trabajo de tesis los siguientes puntos: Los sistemas subactuados resultan con un tipo de dinámica mucho más complicada que los sistemas actuados. Los sistemas subactuados son plantas de estudio de interés en control automático. El giroscopio como sistema subactuado es una planta de estudio con varios problemas abiertos para la comunidad científica, así como la mejora potencial de problemas de naturaleza práctica. Se requiere incorporar al Laboratorio de Robótica y Control una planta subactuada que permita estudiar su dinámica complicada, así como validar esquemas de control. Generar infraestructura académica para cursos de ingeniería y posgrado. Contar con sistema que permite generar artículos científicos en congresos arbitrados y revistas indexadas, así como soporte de tesis de licenciatura y posgrado. Continuando en el capítulo 4 se reportan los resultados obtenidos de las pruebas experimentales. Estas pruebas se llevaron a cabo mediante una secuencia estricta, ya que primero se debían tener bien estudiados los grados de libertad actuados para después continuar con el control de posición de los subactuados. Se comienzan con pruebas de un grado de libertad actuado por separado (ya que se cuenta con dos) y posteriormente los dos grados actuados al mismo tiempo. Como siguiente prueba se hace el control para los grados de libertad subactuados por separado (ya que se cuenta con dos) mediante la dinámica generada por los actuados y finalmente cumpliendo con el objetivo principal de la tesis se lleva a cabo la prueba del control de posición de los dos grados de libertad subactuados. Las pruebas arrojan resultados satisfactorios e inéditos en el estudio de los sistemas subactuados como el giroscopio. Terminando con el capítulado del documento de tesis se mencionan las conclusiones que se obtuvieron del trabajo de tesis y se proponen temas para trabajos futuros con el giroscopio ECP-750. También se incluyen los apendices del trabajo de tesis, siendo el primero el manual de usuario donde se describe a detalle cada elemento que conforma la estructura mecánica del giroscopio, la etapa de potencia, las tomas de corriente requeridas para energizar al sistema, las señales de los encoders, la descripción de la conexión con la tarjeta Arduino DUE.

(16) Introducción. XVI. de los encoders y el circuito de acoplamiento, la descripción completa de los elementos que conforman la interfaz de usuario, los pasos para la conexión del todo el sistema y finalmente los pasos a seguir rigurosamente en cada prueba de control de posición para los grados de libertad actuados y subactuados del giroscopio. Como segundo apéndice y como punto final se incluyen los reconocimientos de las publicaciones realizadas en congresos y revistas con fines de dar a conocer el trabajo desarrollado en el tema de tesis planteado..

(17) Introducción. XVII. Objetivos Los objetivos planteados para el presente trabajo de tesis se describen a continuación. Objetivo general: Obtener el modelo dinámico de un sistema subactuado de 4 grados de libertad y deducir sus propiedades matemáticas que faciliten el diseño de un esquema de control. Objetivos particulares 1. Obtener el modelo dinámico de un sistema subactuado de 4 grados de libertad (giroscopio). 2. Desarrollar las propiedades matemáticas del modelo dinámico. 3. Diseño de un ambiente de programación para el giroscopio con las herramientas necesarias que le permitan al usuario registrar, graficar y exhibir el valor numérico de variables de estado, pares o torques, parámetros etc. 4. Diseñar un esquema de control para el giroscopio. 5. Diseño de la interface electrónica entre el giroscopio y la computadora asociada al ambiente de programación. 6. Reportar resultados experimentales en congreso arbitrado y revista (arbitrado/indexada). 7. Realizar el manual de usuario. 8. Escritura de la tesis..

(18) Capítulo 1 Cinemática 1.1. 1.1.1.. Introducción Cinemática directa. La cinemática es la parte de la física que aborda el problema de la descripción del movimiento de sistemas mecánicos sin tomar en cuenta las fuerzas que lo producen. Por consiguiente, la cinemática directa de robots manipuladores se refiere al estudio análitico del movimiento del robot (sin tomar en cuenta las fuerzas que originan dicho movimiento) con respecto a un sistema de referencia cartesiano fijo Σ(x, y, z) relacionando la dependencia que existe entre las coordenadas articulares o generalizadas q ∈ Rn , sus parámetros geométricos y las coordenadas cartesianas [x, y, z]T ∈ R3 y de orientación [θ, φ, ψ]T ∈ R3 del extremo final del robot a través de una función vectorial f R continua y diferenciable en la variable de estado q , generalmente no lineal. Matemáticamente se tiene la siguiente definición. Cinemática directa es una función vectorial f R (li ,q ) que relaciona las coordenadaws articulares q ∈ Rn y propiedades geométricas del sistema mecánico li con las coordenadas cartesianas [x, y, z]T ∈ R3 del robot y la orientación [θ, φ, ψ]T ∈ R3 del extremo final. Es decir f R : Rn → Rm tal que:           . x y z θ φ ψ. .       = fR (li , q)    . (1.1). 1.

(19) Capítulo 1. Cinemática. 2. donde n indica el número de grados de libertad y la dimensión del vector de coordenadas articulares q , m es la demensión conjunta de las coordenadas cartesianas y la orientación del extremo final del robot. De manera general, el posicionamiento del extremo final del robot en el espacio tridimensional (pose) requiere de 6 coordenadas (m = 6): 3 coordenadas para la posición cartesiana y 3 coordenadas para la orientación del extremo final. Dependiendo de la aplicación el robot puede requerir menos coordenadas de posición y orientación [1].. 1.1.2.. Cinemática inversa. Dada la posición del extremo final del robot en coordenadas cartesianas [x, y, z]T y la orientación [θ, φ, ψ]T , con respecto a un sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ), así como los parámetros geométricos li , entonces surge la pregunta natural: ¿Pueden obtenerse las coordenadas articulares del robot q para que el extremo final del robot se posicione en las coordenadas cartesianas solicitadas, con la orientación requerida?. EL problema planteado se conoce como cinemática inversa y representa un área de ka robótica de mayor complejidad que la cinemática directa. Matemáticamente se puede definir como: La cinemática inversa es un problema no lineal que relaciona las coordenadas articulares en función de las coordenadas cartesianas y la orientación del extremo final del robot q = f−1 R (x, y, z, li , θ, φ, ψ). (1.2). donde f−1 R (x, y, z, li , θ, φ, ψ) es una función inversa de la ecuación (1.1).. 1.1.3.. Cinemática diferencial. La cinemática diferencia es la derivada con respecto al tiempo de la cinemática directa d [x, y, z, θ, φ, ψ]T = dt. ". v w. #. =. d ∂f (q) fR (q) = R = J(q)q̇. dt ∂(q). (1.3). Como se ve, está relacionada la velocidad articular q̇ ∈ Rn con la velocidad lineal v = d [x, y, z]T = [ẋ, ẏ, ż]T ∈ R3 y la velocidad angular w = dtd [θ, φ, ψ]T = [θ̇, φ̇, ψ̇]T ∈ R3 , además dt R (q) el mapeo es descrito en terminos de una matriz J(q) = ∂f∂(q) ∈ R6xn denominada jacobiano.

(20) Capítulo 1. Cinemática. 3. del robot o jacobiano analítico: J(q) =. ". Jv (q) Jw (q). #. .. (1.4). Jv (q) ∈ R3xn relaciona la velocidad articular q̇ ∈ Rn con la velocidad lineal v ∈ R3 , mientras que Jw (q) ∈ R3xn relaciona la velocidad angular w ∈ R3 con la velocidad articular q̇ ∈ R3 , es decir: ". v w. #. = J(q)q̇ =. ". Jv (q)q̇ Jw (q)q̇. #. .. (1.5). El jacobiano del robot representa una importante herramienta en robótica que sirve para caracterizar a un robot, encontrar configuraciones singulares, analizar redundancia, determinar la cinemática diferencial inversa, así como describir la relación entre la fuerza aplicada y los pares o torques resultantes del extremo final. Es indispensable para el análisis y diseño de algoritmos de control cartesiano.. 1.1.4.. Matrices de rotación. La Figura 1.1 muestra dos sistemas de referencia cartesianos, asociados a un cuerpo rígido, representados por Σ0 (x0 , y0 , z0 ), ambos sistemas comparten el mismo origen. El sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) mantiene una orientación relativa al sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ) [1].. Figura 1.1: Sistemas de referencia fijo Σ0 y rotado Σ1 ..

(21) Capítulo 1. Cinemática. 4. Considérese un punto p sobre el cuerpo rígido, con respecto al sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ) tiene coordenadas p 0 = [x0 , y0 , z0 ]T , el mismo punto p se representa como p 1 = [x1 , y1 , z1 ]T con respecto al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ). Para encontrar la relación que hay entre las coordenadas de un punto p 1 en el sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) con el vector p 0 definido en el sistema de referencia Σ0 (x0 , y0 , z0 ) considerese vectores bases para cada sistema de referencia. Sean {i 0 , j 0 , k 0 } vectores unitarios a lo largo de los ejes x0 , y0 , z0 respectivamente. Es decir, i 0 = [1, 0, 0]T , j 0 = [0, 1, 0]T , k 0 = [0, 0, 1]T . Similarmente se definen vectores unitarios {i 1 , j 1 , k 1 } para el sistema Σ1 (x1 , y1 , z1 ). Un vector que va desde el origen común para ambos sistemas hasta el punto p 1 , puede ser expresado en función de cualquiera de las dos bases de vectores unitarios de la siguiente forma:. p 0 = p0x i 0 + p0y j 0 + p0z k 0. con respecto al sistema Σ0. (1.6). p 1 = p1x i 1 + p1y j 1 + p1z k 1. con respecto al sistema Σ1. (1.7). Los vectores p 0 , p 1 representan el mismo punto p. Tomando en cuenta las ecuaciones (1.6) y (1.7) la relación que hay entre sus componentes adquiere la siguiente forma:. p0x = p 0 · i 0 = p 1 · i 0 = p1x i 1 · i 0 + p1y j 1 · i 0 + p1z k 1 · i 0. (1.8). p0y = p 0 · j 0 = p 1 · j 0 = p1x i 1 · j 0 + p1y j 1 · j 0 + p1z k 1 · j 0. (1.9). p0z = p 0 · k 0 = p 1 · k 0 = p1x i 1 · k 0 + p1y j 1 · k 0 + p1z k 1 · k 0. (1.10). Estas ecuaciones pueden ser escritas de manera compactoa como:. p 0 = R01 p 1. (1.11).

(22) Capítulo 1. Cinemática. 5. donde R01 representa la siguiente matriz .  i1 · i0 j 1 · i0 k1 · i0   R01 =  i 1 · j 0 j 1 · j 0 k 1 · j 0  i1 · k0 j 1 · k0 k1 · k0. (1.12). La matriz R01 ∈ R3x3 es la matriz de transformación de las coordenadas del punto p del sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) hacia las coordenadas del sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ). En otras palabras, dado un punto p 1 en el sistema Σ1 (x1 , y1 , z1 ), entonces R01 p 1 representa el mismo vector expresado con respecto al sistema de referencia Σ0 (x0 , y0 , z0 ). Matriz de rotación alrededor del eje z0 En la Figura 1.2 se observa al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) el cual se encuentra rotado un ángulo θ alrededor del eje z0 del sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ). También se observa que los ejes z0 y z1 son paralelos. El signo del ángulo θ está dado por la regla de la mano derecha. Por convención, un ángulo positivo es aquel cuyo sentido de rotación es contrario al movimiento de las manecillas del reloj.. Figura 1.2: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje z. De la Figura 1.2 se obtienen las siguientes ecuaciones: i 1 · i 0 = cos(θ) i 1 · j 0 = sin(θ). k1 · k0 = 1. j 1 · i 0 = cos(θ + π2 ) = − sin(θ) j 1 · j 0 = cos(θ).

(23) Capítulo 1. Cinemática. 6. Por lo tanto, la matriz cuyo ángulo de rotación θ se realiza alrededor del eje z se denota por Rz (θ). .  cos(θ) − sin(θ) 0   Rz (θ) =  sin(θ) cos(θ) 0  0 0 1. (1.13). Matriz de rotación alrededor del eje x0 En la Figura 1.3 se observa al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) el cual se encuentra rotado un ángulo θ alrededor del eje x0 del sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ), los ejes x0 y x1 son paralelos; el ángulo de rotación θ gira alrededor del eje x0 en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj).. Figura 1.3: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje x. De la Figura 1.3 se obtienen las siguientes ecuaciones: j 1 · j 0 = cos(θ) j 1 · k 0 = sin(θ). i1 · i0 = 1. k 1 · j 0 = cos(θ + π2 ) = − sin(θ) k 1 · k 0 = cos(θ). Por lo tanto, la matriz cuyo ángulo de rotación θ se realiza alrededor del eje x se denota.

(24) Capítulo 1. Cinemática. 7. por Rx (θ). .  1 0 0   Rx (θ) =  0 cos(θ) − sin(θ)  0 sin(θ) cos(θ). (1.14). Matriz de rotación alrededor del eje y0 En la Figura 1.4 se observa al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) el cual se encuentra rotado un ángulo θ alrededor del eje y0 del sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ), los ejes y0 y y1 son paralelos; el ángulo de rotación θ gira alrededor del eje y0 en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj).. Figura 1.4: Rotación de un ángulo θ alrededor del eje y.. De la Figura 1.4 se obtienen las siguientes ecuaciones: i 1 · i 0 = cos(θ) i 1 · k 0 = cos(θ + π2 ) = − sin(θ). j1 · j0 = 1. k 1 · i 0 = sin(θ) k 1 · k 0 = cos(θ). Por lo tanto, la matriz cuyo ángulo de rotación θ se realiza alrededor del eje y se denota.

(25) Capítulo 1. Cinemática. 8. por Ry (θ). .  cos(θ) 0 sin(θ)   Ry (θ) =  0 1 0  − sin(θ) 0 cos(θ). 1.1.5.. (1.15). Matrices de transformación homogénea. La notación más común para representar la transformación de traslación y rotación en forma compacta se conoce como transformación homogénea. Para representar el caso de traslación y rotación del sistema Σ1 (x1 , y1 , z1 ) con respecto al sistema Σ0 (x0 , y0 , z0 ) p0 = d10 + R01 p1. la transformación homogénea se realiza con la siguiente notación:. H01 =. ". R01 d10 0T 1. #. . . M atriz de rotación .. V ector de traslación  .. = ... . ...  0 1.    . (1.16). donde R01 ∈ SO(3) y d10 ∈ R3 . Para propósitos de acoplamiento en dimensiones, el vector 0T y el número 1 aparecen en el último renglón. La representación inversa que relaciona el punto p1 en función del punto p0 adquiere a siguiente forma: T. T. p1 = −R01 d10 + R01 p0 entonces, la transformación homegéneas inversa está determinada por: H01. −1. =. ". T. R01 0T. T. −R01 d10 1. #. (1.17). Las matrices de rotación permiten modelar la orientación del extremo final del robot, y junto con las transformaciones homogéneas dentro de una sola matriz incluye la orientación y posición del extremo final, formando la estructura del modelo cinemático directo..

(26) Capítulo 1. Cinemática. 1.1.6.. 9. Convención Denavit-Hartenberg. Por geometría se pueden deducir fácilmente las ecuaciones cinemáticas para un robot de hasta 2 GDL. Sin embargo, cuando el número de GDL crece se vuelve difícil. Otra alternativa es la metodología Denavit-Hartenberg, la cual es ampliamente conocida en el ambiente de ingeniería y ofrece un procedimiento sencillo para obtener el modelo cinemático directo cuya estructura queda en representación de transformaciones homogéneas. Jaques Denavit y Richard S. Hartenberg en 1955 presentaron un procedimiento para obtener una mínima representación de la orientación y traslación de robots manipuladores [2]. La convención Denavit-Hartenberg consiste en determinar una tabla de parámetros relacionados con los eslabones del robot y esta toma como referencia al diagrama de un robot manipulador en cadena cinemática abierta como se muestra en la figura 1.5. Las variables articulares en la representación Denavit-Hartenberg son denotadas por θi para el tipo rotacional, prismática o lineal por di , la longitud del eslabón está representada por li y el ángulo de separación entre los ejes zi y zi−1 es denotado por αi .. Figura 1.5: Convención Denavit-Hartenberg para un robot manipulador. El ángulo θi es el ángulo entre los ejes xi−1 y xi medido alrededor del eje zi−1 ; di es.

(27) Capítulo 1. Cinemática. 10. la distancia del origen del sistema de referencia i − 1 a la intersección del eje xi con el eje zi−1 . Su medición se realiza a lo largo del eje zi−1 , como se indica en la figura 1.5. Adicionalmente a las variables articulares θi y di , hay 2 parámetros constantes que describen características específicas del eslabón i-ésimo. Esos parámetros son: el parámetro li se define como la distancia que existe entre los ejes zi−1 y zi y su medici”on se realiza a lo largo del eje xi . El otro parámetro es el ángulo entre los ejes zi y zi−1 se denota por αi , su medición es respecto al eje xi . Una medición de ángulo positivo para αi se toma en dirección del eje zi−1 hacia zi . Por ejemplo, para un robot como el giroscopio ECP-750 se requieren 16 elementos para describir completamente su modelo cinemático (li , αi , βi , θi ). Matrices de transformación Una vez obtenidos todos los parámetros de la tabla de Denavit-Hartenberg se procede a obtener las matrices de transformación, de las cuales se obtendrá la cinemática directa del robot. La representación de Denavit-Hartenberg es a través del producto de cuatro transformaciones básicas [1]: i Hi−1 = HRzi−1 (θi )HTzi−1 (di ; βi )HTxi−1 (li )HRxi−1 (αi ). .   cos(θi ) − sin(θi ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0     sin(θi ) cos(θi ) 0 0   0 1 0  0  i   0 1 0 Hi−1 =    0 0 1 1     0 0 1 di (βi )   0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0   1 0 0 0    0 cos(αi ) − sin(αi ) 0     0 sin(α ) cos(α ) 0  i i   0 0 0 1  cos(θi ) − sin(θi ) cos(αi ) sin(θi ) sin(αi ) ai cos(θi )   sin(θi ) cos(θi ) cos(αi ) − cos(θi ) sin(αi ) ai sin(θi ) i Hi−1 =  0 sin(αi ) cos(αi ) di (βi )  0 0 0 1. ai 0 0 1.      .      . (1.18). Para obtener las matrices de transformación de cada sistema de referencia en relación a su similar anterior, se ingresan los parámetros obtenidos en la tabla de Denavit-Hartenberg.

(28) Capítulo 1. Cinemática. 11. i dentro de la matriz de transformación Hi−1 .. Selección de sistemas de referencia La convención Denavit-Hartenberg no es única, depende de la selección de los sistemas de referencia cartesianos en las articulaciones y eslabones, así como en sus eslabones adyacentes. La cinemática directa del robot proporciona las coordenadas cartesianas del extremo final del robot relativo a un sistema de referencia cartesiano fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ); en la figura 1.5 se muestra la asignación de sistemas de referencia para las articulaciones i − 1-ésima, i-ésima e i + 1 de un robot manipulador. en general se tiene el siguiente procedimiento: El eje zi se asign rígidamente a la articulación i+1. Es decir, z0 es el eje de la articulación 1, z1 de la articulación 2 y así sucesivamente. Localizar el origen Oi del sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) en la intersección del eje zi con la normal común a los ejes zi−1 y zi . Seleccionar el eje xi−1 sobre la normal que une los ejes zi−1 y zi en dirección de la articulación i − 1 hacia la articulación i. Definir el ángulo de torsión αi , este es el ángulo entre los ejes zi yzi−1 y se mide con valor positivo en el sentido de las manecillas del reloj sobre el eje xi . Seleccionar el eje yi por la regla de la mano derecha.. 1.2. 1.2.1.. Cinemática del giroscopio Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg. Para obtener la cinemática directa del giroscopio es necesario llenar la tabla de parámetros Denavit-Hartenberg. de acuerdo con esta convención previamente descrita, a continuación se resumen los parámetros del i-ésimo eslabón: 1. li es la longitud del i-ésimo eslabón, es la distanciá del eje zi−1 hacia el eje zi medida sobre el eje xi. Figura 1.6: Parámetro li ..

(29) Capítulo 1. Cinemática. 12. 2. αi es el ángulo de torsión, el cual representa el ángulo entre los ejes zi−1 y zi medido en el sentido contrario de las manecillas del reloj sobre el eje xi .. Figura 1.7: Parámetro αi . 3. di es el offset, es la distancia medida del origen del sistema de referencia i − 1 hasta la intersección del eje xi con el eje zi−1 medido a lo largo del eje zi−1 .. Figura 1.8: Parámetro di .. 4. θi es el desplazamiento rotacional de xi−1 a xi medido alrededor del eje zi−1 . El signo positivo de θi es el sentido contrario a las manecillas del reloj.. Figura 1.9: Parámetro θi .. En la figura 1.10 se muestra el diagrama general del giroscopio, ya con los ejes colocados según Denavit-Hartenberg [1][3][4]. Se observa que la representación de los eslabones es con la forma geométrica de un cuadrado y no de un circulo como lo son en realidad, esto con el fin de.

(30) Capítulo 1. Cinemática. 13. poder comprender y visualizar de una mejor forma la ubicación de los sistemas de referencia utilizados para obtener los parámetros requeridos en la metodología de Denavit-Hartenberg.. Figura 1.10: Diagrama esquemático del giroscopio. No es necesario utilizar los ejes y de cada sistema de referencia ya que estos no fijan ningún criterio para la obtención de los parámetros dentro de la tabla, por tal razón no se muestran en las figuras siguientes. El sistema de referencia Σ0 (x0 , y0 , z0 ) que medirá a q1 se coloca en la base fija del giroscopio en vista frontal, colocando así los ejes de referencia conforme a la regla de la mano derecha, quedando el eje x0 perpendicular al plano y el eje z0 con dirección hacia arriba del plano con signo positivo. El sistema de referencia auxiliar Σ1 a(x1a , y1a , z1a ) se coloca en el primer dobles del eslabón correspondiente al marco, esto con el fin de poder obtener los parámetros de la tabla de Denavit-Hartenberg de una forma directa y sin la necesidad de hacer rotaciones auxiliares con parámetros fuera de la tabla. Entiendase que el sistema de referencia auxiliar, es en sí una.

(31) Capítulo 1. Cinemática. 14. rotación auxiliar en z0 con parámetros definidos dentro de la tabla, esto para poder colocar el sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) que medirá a q2 .. Figura 1.11: Sistema de referencia para medir a q1 . i. ai. αi. di. θi. 1a. l1. 0. β1. 1. 0. −90◦. l2. q1 + 90◦ → q1 −90◦. De la misma forma en que se colocó el sistema de referencia auxiliar Σ1 a(x1a , y1a , z1a ), se coloca un sistema de referencia auxiliar en el primer dobles del eslabón correspondiente al balancín 2, este nuevo sistema es el sistema de referencia Σ2 a(x2a , y2a , z2a ), este nuevo sistema tendrá parámetros bien definidos dentro de la tabla de Denavit-Hartenberg y servirán para colocar el sistema de referencia Σ2 (x2 , y2 , z2 ). Entiendase también que el nuevo sistema de referencia auxiliar en realidad es una rotación auxiliar en z1 . En el diagrama de la Figura 1.12 aparecen dos parámetros más, estos son l4 y β2 los cuales al sumarse dan como resultado.

(32) Capítulo 1. Cinemática. 15. el parámetro l1 , esto de la siguiente forma: l4 + β2 = l1. (1.19). Es importante tener en cuenta esta relación ya que más adelante en la cinemática y dinámica del giroscopio aparecen y ayudan a reducir términos.. Figura 1.12: Sistema de referencia para medir a q2 . i. ai. αi. di. θi. 2a. l3. 0. 2. 0. −90◦. −β2. q2 + 180◦ → q2. −l4. 90◦. Para los sistemas de referencia siguientes ya no se necesitan sistemas auxiliares ya que la colocación de estos es de forma directa. El sistema de referencia Σ3 (x3 , y3 , z3 ) se coloca de tal forma que los parámetros en la tabla ya no necesiten de rotaciones auxiliares, esto se da porque ya no hay dobleces en el eslabón siguiente al sistema de referencia Σ2 (x2 , y2 , z2 )..

(33) Capítulo 1. Cinemática. 16. Figura 1.13: Sistema de referencia para medir a q3 y q4 . ai. i. αi ◦. di. θi. 3. 0. 90. l3. q3. 4. 0. 0. 0. q4. Finalmente la tabla de parámetros de Denavit-Hartenberg queda de la forma: Tabla 1.1: Tabla de parámetros de Denavit-Hartenberg. i. ai. αi. di. θi. 1a. l1. 0. β1. 1. 0. l2. 2a. l3. −90◦. q1 + 90◦ → q1. 2. 0. 3. 0. 4. 0. 0. −90◦ 90◦ 0. −90◦. −β2. q2 + 180◦ → q2. l3. q3. 0. q4. −l4. 90◦.

(34) Capítulo 1. Cinemática. 1.2.2.. 17. Matriz de transformación GDL1 (Marco). Matriz de transformación H01 que relaciona al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) con el sistema de referencia Σ0 (x0 , y0 , z0 ). .  cos(q1 ) − sin(q1 ) 0 l1 cos(q1 )    sin(q1 ) cos(q1 ) 0 l1 sin(q1 )  1a   H0 =   0 0 1 β 1   0 0 0 1   0 0 1 0    −1 0 0 0  1   H1a =    0 −1 0 l2  0 0 0 1  sin(q1 ) 0 cos(q1 ) l1 cos(q1 )   − cos(q1 ) 0 sin(q1 ) l1 sin(q1 ) H01 = H01a H11a =   0 −1 0 β1 + l2  0 0 0 1. 1.2.3..      . (1.20). Matriz de transformación GDL2 (Balancín 1). Matriz de transformación H12 que relaciona al sistema de referencia Σ2 (x2 , y2 , z2 ) con el sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ). .  cos(q2 ) − sin(q2 ) 0 l3 cos(q2 )    sin(q2 ) cos(q2 ) 0 l3 sin(q2 )  2a  H1 =   0 0 1 −β2    0 0 0 1   0 0 −1 0    1 0  0 0 2  H2a =   0 −1 0 −l  4   0 0 0 1  − sin(q2 ) 0 − cos(q2 ) l3 cos(q2 )   cos(q2 ) 0 − sin(q2 ) l3 sin(q2 ) H12 = H12a H22a =   0 −1 0 −β2 − l4  0 0 0 1.      . (1.21).

(35) Capítulo 1. Cinemática. 1.2.4.. 18. Matriz de transformación GDL3 (Balancín 2). Matriz de transformación H23 que relaciona al sistema de referencia Σ3 (x3 , y3 , z3 ) con el sistema de referencia Σ2 (x2 , y2 , z2 ).. H23. 1.2.5.. .   =  . cos(q3 ) sin(q3 ) 0 0. 0 sin(q3 ) 0 − cos(q3 ) 1 0 0 0. 0 0 l3 1.      . (1.22). Matriz de transformación GDL4 (Plato). Matriz de transformación H34 que relaciona al sistema de referencia Σ4 (x4 , y4 , z4 ) con el sistema de referencia Σ3 (x3 , y3 , z3 ).. H34. 1.2.6.. .   =  . cos(q4 ) − sin(q4 ) sin(q4 ) cos(q4 ) 0 0 0 0. 0 0 1 0. 0 0 0 1.      . (1.23). Matriz de transformación homogenea. La matriz de transformación homogénea H04 resulta de la multiplicación de las matrices de transformación antes obtenidas, quedando de la forma:. H04. =. H01 H12 H23 H34. .   =  . H1 1 H2 1 H3 1 H4 1. H1 2 H2 2 H3 2 H4 2. H1 3 H2 3 H3 3 H4 3. H1 4 H2 4 H3 4 H4 4.      . (1.24). Donde los elementos de la matriz de transformación homogénea H04 están dados por: H11 = − cos(q4 )(cos(q1 ) sin(q3 ) + sin(q1 ) sin(q2 ) cos(q3 )) − cos(q2 ) sin(q1 ) sin(q4 ) H21 = cos(q1 ) cos(q2 ) sin(q4 ) − cos(q4 )(sin(q1 ) sin(q3 ) − cos(q1 ) sin(q2 ) sin(q3 )) H31 = sin(q2 ) sin(q4 ) − cos(q2 ) cos(q3 ) cos(q4 ) H41 = 0 H12 = sin(q4 )(cos(q1 ) sin(q3 ) + sin(q1 ) sin(q2 ) cos(q3 )) − cos(q2 ) sin(q1 ) sin(q4 ).

(36) Capítulo 1. Cinemática. 19. H22 = sin(q4 )(sin(q1 ) sin(q3 ) − cos(q1 ) sin(q2 ) cos(q3 )) + cos(q1 ) cos(q2 ) cos(q4 ) H32 = sin(q2 ) cos(q4 ) + cos(q2 ) cos(q3 ) sin(q4 ) H42 = 0 H13 = cos(q1 ) cos(q3 ) − sin(q1 ) sin(q2 ) sin(q3 ) H23 = sin(q1 ) cos(q3 ) + cos(q1 ) sin(q2 ) sin(q3 ) H33 = − cos(q2 ) sin(q3 ) H43 = 0 H14 = − cos(q1 )(β2 − l1 + l4 ) H24 = − sin(q1 )(β2 − l1 + l4 ) H34 = β1 + l2 H44 = 1 De la matriz de transformación homogénea se obtiene la cinemática directa y esta se encuentra dada por el vector de traslación en la matriz H04 [5]: H04 =. ". R3x3 d3x1 f 1x3 s1x1. #". Rotación T raslación P erspectiva Escalamiento. #. .    x − cos(q1 )(β2 − l1 + l4 )      y  =  − sin(q1 )(β2 − l1 + l4 )  z β1 + l2. Recuperando la ecuación 1.19, la cinemática directa se reduce a .    x 0     0  y =  z β1 + l2. (1.25). El extremo final del giroscopio no tendrá componentes en x0 ni en y0 , dado que el eje de giro del plato está alineado al origen del sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ). La componente a lo largo del eje z0 , es constante y está dada por β1 + l2 , la cual es la distancia desde el origen del sistema de referencia fijo hasta el eje de giro del plato..

(37) Capítulo 2 Dinámica La mecánica analítica representa una herramienta sólida de las ciencias exactas para formular modelos matemáticos de sistemas mecánicos, en este contexto la dinámica es la parte de la física que estudia la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. Por este motivo, el análisis y estudio de los fenomenos del robot se lleva a cabo por medio de ecuaciones diferenciales no lineales para formar el modelo dinámico. A diferencia de otros métodos de modelado de la física como el de Newton o el de Hamilton, las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange representan la mejor alternativa de modelado para robots debido a las propiedades matemáticas que se deducen de manera natural usando esa metodología y a su vez se facilita el análisis y diseño de algoritmos de control.. 2.1.. Metodología de Euler-Lagrange. Las ecuaciones de Euler-Lagrange es una metodología estándar para un robot de n grados de libertad (GDL) con eslabones rígidos unidos a articulaciones rotacionales. En este caso la energía total E (Hamiltoniano) del robot está dada por la suma de la energía cinética K(q, q̇) más la energía potencial U(q): E(q, q̇) = K(q, q̇) + U(q). (2.1). donde q y q̇ ∈ Rn son los vectores de posiciones y velocidades articulares del robot. Se observa que la energía cinética K(q, q̇) depende de la posición y velocidad articular, mientras que la energía potencial U(q) sólo depende del vector de posición. El Lagrangiano L(q, q̇) e un robot de n GDL es la diferencia entre su energía cinética 20.

(38) Capítulo 2. Dinámica. 21. K(q, q̇) y potencial U(q): L(q, q̇) = K(q, q̇) − U(q). (2.2). Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para un robot de n GDL están dadas por: d ∂L(q, q̇) ∂L(q, q̇) τ= − + F(q̇) dt ∂ q̇ ∂q. (2.3). donde F (q̇) ∈ Rn es el vector de pares de fricción presentes en las articulaciones y τ ∈ Rn es el vector de pares aplicador en los actuadores. La energía cinética K(q, q̇) de un robot es una función cuadrática de la velocidad q̇ y se expresa: 1 K(q, q̇) = q̇T M (q)q̇ 2. (2.4). donde M (q) ∈ Rnxn es la matriz de inercia, es simétrica y definida positiva. Por otro lado, la energía potencial U(q) no tiene una forma específica. Sin embargo, tiene una dependencia exclusivamente del vector de posición q, ya que se considera su presencia a campos conservativos como la fuerza de gravedad. Con esta forma del lagrangiano, las acuaciones de movimiento de Euler-Lagrange pueden escribirse en forma compacta como: ∂L ∂ 1 T ∂U(q) = q̇ M (q)q̇ − = M (q)q̇ ∂ q̇ ∂ q̇ 2 ∂ q̇. (2.5). d ∂L(q, q̇) = M (q)q̈ + Ṁ (q)q̇ dt ∂ q̇. (2.6). ∂L ∂ 1 T ∂U(q) = q̇ M (q)q̇ − ∂q ∂q 2 ∂ q̇. (2.7). El modelo dinámico de un robot proporciona una descripción completa entre los pares aplicados a los servomotores y el movimiento de la estructura mecánica. Con la formulación Euler-Lagrage las ecuaciones de movimietno pueden ser obtenidas de manera sistemática independientemente del sistema de referencia coordenado. Las ecuaciones de movimiento de.

(39) Capítulo 2. Dinámica. 22. Euler-Lagrange (2.3) para un robot de n GDL adquiere la siguiente forma: ∂ 1 T ∂U(q) τ = M (q)q̈ + Ṁ (q)q̇ − q̇ M (q)q̇ + + F(q̇) ∂ q̇ 2 ∂ q̇. 2.2.. (2.8). Modelo dinámico. La dinámica del giroscopio se obtiene directamente de cinemática del mismo, esto tomando los vectores de traslación resultantes de las multiplicaciones entre matrices de transformación consecuentes. Planteado lo anterior el modelo dinámico del giroscopio está dado por el siguiente desarrollo matemático.. 2.2.1.. Energías cinética y potencial. Grado de libertad 1 (Marco) La matriz de transformación H01 que relaciona al sistema de referencia Σ1 (x1 , y1 , z1 ) con el sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ) contiene la cinemática directa del primer eslabón (marco), teniendo así en su estructura el vector de traslación en el cual se encuentra la cinemática del primer eslabón con respecto al eje de referencia fijo. Teniendo en cuenta que en la dinámica de un robot se deben considerar centros de masa, la cinemática directa del primer eslabón está dada por: .    x lc1 cos(q1 )     CD01 =  y  =  lc1 sin(q1 )  z β1 + l2. La cinemática diferencial está dada por la derivada de la cinemática directa. La cinemática diferencial se considera como la velocidad del eslabón en turno ya que la derivada de la posición es la velocidad, y esta se encuentra dada por: .    x −lc1 sin(q1 )q˙1 d     v1 =  y  =  lc1 cos(q1 )q˙1  dt z 0. La cinemática diferencial queda de la forma d v1 = dt. ". x y. #. =. ". −lc1 sin(q1 )q˙1 lc1 cos(q1 )q˙1. La energía cinética del eslabón 1 está dada por. #.

(40) Capítulo 2. Dinámica. 23. 1 1 K1 (q, q̇) = m1 v12 + I1 q̇12 2 2 Debido a que la energía cinética requiere del cuadrado de la velocidad, esta se obtiene de la multiplicación directa del vector transpuesto de la cinemática diferencial por el mismo vector, esto es:. v1 2 =. ". −lc1 sin(q1 )q˙1 lc1 cos(q1 )q˙1. #T ". −lc1 sin(q1 )q˙1 lc1 cos(q1 )q˙1. #. = lc1 2 sin2 (q1 )q˙1 2 + lc1 2 cos2 (q1 )q˙1 2 = lc1 2 [sin2 (q1 ) + cos2 (q1 )]q˙1 2 = lc1 2 q˙1 2 Sustituyendo v1 2 en K1 (q, q̇) se tiene 1 1 K1 (q, q̇) = m1 lc1 2 q˙1 2 + I1 q̇12 2 2 1 = [m1 lc1 2 + I1 ]q̇12 2. (2.9). La energía potencial del eslabón 1 es de la forma U1 (q) = m1 gh1 Donde h1 = β1 + l2 , g es la constante de gravedad y m1 es la masa del eslabón 1. Por lo tanto la energía potencial está dada por: U1 (q) = m1 g(β1 + l2 ). (2.10). Grado de libertad 2 (Balancín 1) La matriz de transformación H02 = H01 H12 que relaciona al sistema de referencia Σ2 (x2 , y2 , z2 ) con el sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ), contiene la cinemática directa del segundo eslabón (balancín 2) con respecto al sistema de referencia fijo. Se hace el mismo procedimiento que con el eslabón 1 para obtener a cinemática diferencial, el cuadrado de la velocidad y las energías cinética y potencial, tal desarrollo es el siguiente:.

(41) Capítulo 2. Dinámica. 24. La cinemática directa del segundo eslabón con respecto al sistema de referencia fijo está dada por: .    x l1 cos(q1 ) − cos(q1 )(β2 + l4 ) + lc3 cos(q2 ) sin(q1 )     CD02 =  y  =  l1 sin(q1 ) − sin(q1 )(β2 + l4 ) − lc3 cos(q2 ) cos(q1 )  z β1 + l2 − lc3 sin(q2 ) Considerando la ecuación 1.19 se reducen los términos de la cinemática directa a la siguiente expresión: .    x lc3 cos(q2 ) sin(q1 )     CD02 =  y  =  lc3 cos(q2 ) cos(q1 )  z β1 + l2 − lc3 sin(q2 ) La cinemática diferencial está dada por:    lc3 cos(q2 ) cos(q1 )q̇1 − lc3 sin(q2 ) sin(q1 )q̇2 x d     v2 =  y  =  lc3 cos(q2 ) sin(q1 )q̇1 + lc3 sin(q2 ) cos(q1 )q̇2  dt −lc3 cos(q2 )q̇2 z . . T lc3 cos(q2 ) cos(q1 )q̇1 − lc3 sin(q2 ) sin(q1 )q̇2   v22 =  lc3 cos(q2 ) sin(q1 )q̇1 + lc3 sin(q2 ) cos(q1 )q̇2  −lc3 cos(q2 )q̇2   lc3 cos(q2 ) cos(q1 )q̇1 − lc3 sin(q2 ) sin(q1 )q̇2    lc3 cos(q2 ) sin(q1 )q̇1 + lc3 sin(q2 ) cos(q1 )q̇2  −lc3 cos(q2 )q̇2 2 2 2 v22 = lc3 cos2 (q2 ) cos2 (q1 )q̇12 + lc3 sin2 (q2 ) sin2 (q1 )q̇22 + lc3 cos2 (q2 ) sin2 (q1 )q̇12 + 2 2 lc3 sin2 (q2 ) cos2 (q1 )q̇22 + lc3 cos2 (q2 )q̇22. Factorizando términos y utilizando las identidades trigonométricas. sin2 (x) = 1 − cos2 (x) cos2 (x) = 1 − sin2 (x).

(42) Capítulo 2. Dinámica. 25. 2 {sin2 (q2 )[1 − cos2 (q1 )] + sin2 (q2 ) cos2 (q1 )}q̇22 + v22 = lc3. 2 2 lc3 {cos2 (q2 )[1 − sin2 (q1 )] + cos2 (q2 ) sin2 (q1 )}q̇12 + lc3 cos2 (q2 )q̇22. 2 2 2 = lc3 sin2 (q2 )q̇22 + lc3 cos2 (q2 )q̇12 + lc3 cos2 (q2 )q̇22 2 2 = lc3 [sin2 (q2 ) + cos2 (q2 )]q̇22 + lc3 cos2 (q2 )q̇12 2 = lc3 [q̇22 + cos2 (q2 )q̇12 ]. Las energías cinética y potencial del eslabón 2 están dadas por: 1 1 K2 (q, q̇) = m2 v22 + I2 (q̇1 + q̇2 )2 2 2 1 1 2 = m2 lc3 [q̇22 + cos2 (q2 )q̇12 ] + I2 (q̇1 + q̇2 )2 2 2 1 2 2 = [(m2 lc3 + I2 )q̇22 + (m2 lc3 cos2 (q2 ) + I2 )q̇12 + 2I2 q̇1 q̇2 ] 2. (2.11). U2 (q) = m2 gh2 Donde h2 = β1 + l2 − lc3 sin(q2 ), g es la constante de gravedad y m2 es la masa del eslabón 2. Por lo tanto la energía potencial está dada por: U2 (q) = m2 g(β1 + l2 − lc3 sin(q2 )). (2.12). Grado de libertad 3 (Balancín 2) La matriz de transformación H03 = H01 H12 H23 que relaciona al sistema de referencia Σ3 (x3 , y3 , z3 ) con el sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ) contiene la cinemática directa del tercer eslabón (balancín 1) con respecto al sistema de referencia fijo, se hace el mismo procedimiento que con el eslabón 1 y 2 para obtener a cinemática diferencial, el cuadrado de la velocidad y las energías cinética y potencial, tal desarrollo es el siguiente:    x − cos(q1 )(β2 − l1 + l4 )     CD03 =  y  =  − sin(q1 )(β2 − l1 + l4 )  β1 + l2 z . Considerando la ecuación 1.19 se reducen los términos de la cinemática directa a la siguiente expresión:.

(43) Capítulo 2. Dinámica. 26. .    x 0     CD03 =  y  =  0  z β1 + l2. La cinemática diferencial está dada por:. .    x 0 d     v3 =  y = 0  dt z 0 v32 = 0. Las energías cinética y potencial del eslabón 3 están dadas por: 1 1 K3 (q, q̇) = m3 v32 + I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 )2 2 2 1 = I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 )2 2. (2.13). U3 (q) = m3 gh3 Donde h3 = β1 + l2 , g es la constante de gravedad y m3 es la masa del eslabón 3. Por lo tanto la energía potencial está dada por: U3 (q) = m3 g(β1 + l2 ). (2.14). Grado de libertad 4 (Plato) La matriz de transformación H04 = H01 H12 H23 H34 que relaciona al sistema de referencia Σ4 (x4 , y4 , z4 ) con el sistema de referencia fijo Σ0 (x0 , y0 , z0 ) contiene la cinemática directa del eslabón 4 (plato) con respecto al sistema de referencia fijo, se hace el mismo procedimiento que con el eslabón 1, 2 y 3 para obtener a cinemática diferencial, el cuadrado de la velocidad y las energías cinética y potencial, tal desarrollo es el siguiente: .    x − cos(q1 )(β2 − l1 + l4 )     CD04 =  y  =  − sin(q1 )(β2 − l1 + l4 )  z β1 + l2. Considerando la ecuación 1.19 se reducen los términos de la cinemática directa a la siguiente expresión:.

(44) Capítulo 2. Dinámica. 27. .    x 0     CD04 =  y  =  0  z β1 + l2. La cinemática diferencial está dada por:. .    x 0 d     v4 =  y = 0  dt 0 z v42 = 0. Las energías cinética y potencial del eslabón 4 están dadas por: 1 1 K4 (q, q̇) = m4 v42 + I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 )2 2 2 1 = I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 )2 2. (2.15). U4 (q) = m4 gh4 Donde h4 = β1 + l2 , g es la constante de gravedad y m4 es la masa del eslabón 4. Por lo tanto la energía potencial está dada por: U4 (q) = m4 g(β1 + l2 ). 2.2.2.. (2.16). Ecuaciones de Euler-Lagrange. Una vez que se tienen las energías cinéticas y potenciales de cada eslabón, se procede a formar el Lagrangiano, el cual es de la forma [6]: K(q, q̇) = K1 (q, q̇) + K2 (q, q̇) + K3 (q, q̇) + K4 (q, q̇) U(q) = U1 (q) + U2 (q) + U3 (q) + U4 (q) Por lo tanto el Lagrangiano está dado por:. 1 1 2 2 + I2 )q̇22 + (m2 lc3 cos2 (q2 ) + I2 ]q̇12 + 2I2 q̇1 q̇2 ] + L(q, q̇) = [m1 lc1 2 + I1 ]q̇12 + [(m2 lc3 2 2.

(45) Capítulo 2. Dinámica. 28. 1 1 I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 )2 + I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 )2 − m1 g(β1 + l2 ) − m2 g(β1 + l2 − lc3 sin(q2 )) − 2 2 m3 g(β1 + l2 ) − m4 g(β1 + l2 ). (2.17). Una vez obtenido el Lagrangiano se procede a realizar las derivadas parciales y temporales correspondientes para obtener los torques para cada articulación [7]. Dada la ecuación (2.3), los torques están dados por: ∂L(q, q̇) d ∂L(q, q̇) − τ1 = dt ∂ q̇1 ∂q1 ∂L(q, q̇) 2 = (m1 lc1 2 +I1 )q̇1 +(m2 lc3 cos2 (q2 )+I2 )q̇1 +I2 q̇2 +I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 )+I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 ) ∂ q̇1 d ∂L(q, q̇) 2 2 = (m1 lc1 2 + I1 )q̈1 + m2 lc3 cos2 (q2 )q̈1 − 2m2 lc3 cos(q2 ) sin(q2 )q̇1 q̇2 + I2 q̈1 + I2 q̈2 + dt ∂ q̇1 I3 (q̈1 + q̈2 + q̈3 ) + I4 (q̈1 + q̈2 + q̈3 + q̈4 ) ∂L(q, q̇) =0 ∂q1 2 τ1 = [m1 lc1 2 + m2 lc3 cos2 (q2 ) + I1 + I2 + I3 + I4 ]q̈1 + [I2 + I3 + I4 ]q̈2 + [I3 + I4 ]q̈3 + I4 q̈4 −. 2 2m2 lc3 cos(q2 ) sin(q2 )q̇1 q̇2. (2.18). ∂L(q, q̇) d ∂L(q, q̇) − τ2 = dt ∂ q̇2 ∂q2 ∂L(q, q̇) = (m2 lc3 2 + I2 )q̇2 + I2 q̇1 + I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 ) + I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 ) ∂ q̇2 d ∂L(q, q̇) = (m2 lc3 2 + I2 )q̈2 + I2 q̈1 + I3 (q̈1 + q̈2 + q̈3 ) + I4 (q̈1 + q̈2 + q̈3 + q̈4 ) dt ∂ q̇2 ∂L(q, q̇) 2 = −m2 lc3 cos(q2 ) sin(q2 )q̇12 + m2 glc3 cos(q2 ) ∂q2 τ2 = [I2 + I3 + I4 ]q̈1 + [m2 lc3 2 + I2 + I3 + I4 ]q̈2 + [I3 + I4 ]q̈3 + I4 q̈4 +. 2 m2 lc3 cos(q2 ) sin(q2 )q̇12 − m2 glc3 cos(q2 ). (2.19).

(46) Capítulo 2. Dinámica. 29. ∂L(q, q̇) d ∂L(q, q̇) − τ3 = dt ∂ q̇3 ∂q3 ∂L(q, q̇) = I3 (q̇1 + q̇2 + q̇3 ) + I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 ) ∂ q̇3 d ∂L(q, q̇) = I3 (q̈1 + q̈2 + q̈3 ) + I4 (q̈1 + q̈2 + q̈3 + q̈4 ) dt ∂ q̇3 ∂L(q, q̇) =0 ∂q3 τ3 = [I3 + I4 ]q̈1 + [I3 + I4 ]q̈2 + [I3 + I4 ]q̈3 + I4 q̈4. (2.20). d ∂L(q, q̇) ∂L(q, q̇) τ4 = − dt ∂ q̇4 ∂q4 ∂L(q, q̇) = I4 (q̇1 + q̇2 + q̇3 + q̇4 ) ∂ q̇4 d ∂L(q, q̇) = I4 (q̈1 + q̈2 + q̈3 + q̈4 ) dt ∂ q̇4 ∂L(q, q̇) =0 ∂q4 τ4 = I4 (q̈1 + q̈2 + q̈3 + q̈4 ). (2.21). El modelo dinámico de un robot de n grados de libertad está dado por la ecuación (2.22), que en su forma compacta y con la notación más ampliamente utilizada en el área de robótica se encuentra descrito de la siguiente forma [7]: τ = M (q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + B q̇ + g(q) donde: q, q̇ y q̈ ∈ Rn son los vectores de posiciones, velocidades y aceleraciones articulares. τ ∈ Rn es el torque aplicado a los motores del giroscopio. M (q) ∈ Rnxn es la matriz de inercias, la cual es simétrica y definida positiva. C(q, q̇) ∈ Rnxn es la matriz de fuerzas centrípetas y de Coriolis. F ∈ Rn es el vector de de pares de fricción. g(q) ∈ Rn es el vector de fuerzas o pares gravitacionales.. (2.22).

(47) Capítulo 2. Dinámica. 30. El giroscopio ECP-750 posee anillos de baja fricción y esta no se considera, debido a esto el modelo dinámico en su forma matricial queda representado como: . .     . 0 0 τ3 τ4. .   =  .   2 m1 lc1 2 + m2 lc3 cos2 (q2 ) + I1 + I2 + I3 + I4 I2 + I3 + I4 I3 + I4 I4 q̈1    2    q̈2  I + I + I m l + I + I + I I + I I 2 3 4 2 c3 2 3 4 3 4 4       q̈  I + I I + I I + I I 3 4 3 4 3 4 4 3    I4 I4 I4 I4 q̈4      2 2 q̇1 0 cos(q2 ) sin(q2 )q̇1 0 0 cos(q2 ) sin(q2 )q̇2 −m2 lc3 −m2 lc3      2   q̇2   −m2 glc3 cos(q2 )   m2 lc3 cos(q ) sin(q ) q̇ 0 0 0 2 2 1     +   q̇  +    0 0 0 0 0  3     q̇4 0 0 0 0 0 Debido a que sólo se puede aplicar torque a los dos unicos motores con los que cuenta el giroscopio, que corresponden a τ3 y τ4 , los otros dos torques (τ1 y τ2 ) se igualan a 0 ya que no se puede actuar sobre ellos, de ahí la propiedad de ser un sistema subactuado. El modelo dinámico del giroscopio de cuatro grados de libertad similar al ECP-750 no se encuenta documentado dentro de la literatura, por ello el trabajo realizado es de gran importancia, ya que se aporta a la comunidad un modelo de un sistema no lineal no abarcado a la fecha. La metodología utilizada esta ampliamente documentada pero hasta ahora no se había enfocado hacia un sistema no lineal como el del giroscopio..

(48) Capítulo 2. Dinámica. 2.3.. 31. Propiedades del modelo dinámico Propiedad 1 −→ M (q) = M T (q). Para demostrar la propiedad 1 de la matriz M (q), es necesario que se cumpla la condición: M (q)ij = M T (q)ij Donde se tiene:  2 m1 lc1 2 + m2 lc3 cos2 (q2 ) + I1 + I2 + I3 + I4 I2 + I3 + I4 I3 + I4  2  I2 + I3 + I4 m2 lc3 + I2 + I3 + I4 I3 + I4 M (q) =   I3 + I4 I3 + I4 I3 + I4  I4 I4 I4 .   M (q) =    T. 2 m1 lc1 2 + m2 lc3 cos2 (q2 ) + I1 + I2 + I3 + I4 I2 + I3 + I4 I3 + I4 2 I2 + I3 + I4 m2 lc3 + I2 + I3 + I4 I3 + I4 I3 + I4 I3 + I4 I3 + I4 I4 I4 I4. (2.23). I4 I4 I4 I4. I4 I4 I4 I4.            . ∴ la propiedad 1 se cumple. Propiedad 2 −→ M (q) > 0 Para demostrar la propiedad 2 de la matriz M (q), es necesario que se cumplan las siguientes condiciones: 1. M (q) ∈ Rnxn La matriz M (q) es cuadrada de orden 4 y sus elementos pertenecen al conjunto de los números reales. ∴ la condición 2 se cumple. 2. M (q) = M T (q).