UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

TRABAJO DOMICILIARIO DE

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

(2° PARTE)

TEMA:

CAMPO MAGNÉTICO, LEY DE BIOT – SAVART, LEY DE AMPERE,

FUERZA ENTRE CONDUCTORES, INDUCCIÓN MAGNÉTICA, MAXWELL Y

CORRIENTE ALTERNA, INTRODUCCIÓN A TRANSISTORES.

PROFESOR

:

Mg. Ing. Santiago Rubiños Jiménez

ALUMNOS

:

Porras Llashag Miguel A.

1213120359

Cuestas Gomez Albin

1213120635

Navarro Ventura Fernando

1213120083

CICLO

:

III

FECHA

:

18 – 11 - 13

CALLAO, BELLAVISTA

2013

(2)

Campo Magnético

Problema n° 1

La espira de la ﬁgura es cuadrada de lado L, se encuentra en el plano xy y lleva una corriente I en el sentido indicado. En la región existe un campo magnético uniforme BBu$y Halle el torque

magnético sobre la espira.

SOLUCIÓN:

(3)

$ $ $ $ $ $



 



 





 

2 2 2 2 : ( ) cos( ) 0 0 0 Luego : S L ; L L L (N .m) m ext ext n _ext ext n _ext n _ext Sabemos r F r dm B r il B iS a B B B j i j k a B sen B a B B i i I i B i I B i I B







                        



r r ur r r r r r $ $ r $ r $ r

Problema n° 2

La ﬁgura muestra una espira de corriente I formada por un tramo recto y un tramo semicircular de radio R. El plano de la espira es perpendicular al planoxy y forma un ángulo



con el plano

xz

.En la región existe un campo magnético uniforme y

estacionario dado por BBu$y.

a. Halle el torque magnético sobre la espira.

b. Halle la fuerza magnética sobre el tramo semicircular.

SOLUCIÓN:

Parte a:

$ B j ur

(4)

$ $ $ $ $ $

 

$ $

 





$

 

2 2 : ( ) cos( ) 0 0 0 ( ) Luego : S 2 : ( ) ( ) ( )(N .m)... : 2 m ext ext n _ext ext n _ext n _ext Sabemos r F r dm B r il B iS a B B B j i j k a B sen B a B Bsen k R Entonces iS Bsen k iSBsen k iSBsen i I R I























                           



r r ur r r r r r $ r r r r $

 

( ) (N .m) Bsen



k    

(5)

Parte b:

m

F Sobre el tramo semicircular:

$ $ : . . m ext m ext m ext m ext F dm B F id B F i d B Pero d Rd F i Rd B

 

        



l l l

Del Gráfico para el tramo semicircular:

$ ext B B j dl Rd



i m ur

m

ur

$_sen_{( )m}µ



$cos( )z



$

m

ur

m

ur

( ) cos( )

sen





i

$

( )

sen



sen



j

(6)

$ $ $ $ $ : ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) 0 0 cos( ) ( ) cos( ) : ext ext Luego i j k

B sen sen sen

B B B i Bsen k Siendo













      $ $ $ $





$













$





$ 0 0 . cos( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) 2 cos( ) m ext m m m m F i Rd B F iR d B i Bsen k F iRB d i sen d k F iRB sen i k F iRB k  

 





 



 









             



$ $ $

Problema n° 4

La ﬁgura muestra una espira circular de radio R, que se encuentra en el plano xy y lleva una corriente I en el

sentido indicado. El eje z se dirige hacia el lector. En la región existe un campo magnético externo y uniforme

BBj.

a. Halle el vector torque que el campo magnético externo le aplica a la espira completa.

b. Calcule el vector fuerza magnética que el campo externo le aplica al trozo semicircular superior de la espira (aquél cuyos puntos tienen coordenada y0).

SOLUCIÓN:

Parte a:

$ m ext ext ext n _ext r F r dm B r id B r i B iS a B



            



r r ur r r r r l r r l r i

$

B j

ur

(7)

$ $ $ $ 0 cos( ) ( ) 0 0 n _ext n _ext i j k a B sen B a B Bi



     $ $

 

2 2 : ; Luego iS Bi i I S R I R B i









      r $ r $

Parte b:

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( ) cos( ) . . : ( ) cos( ) 0 0 0 ( ) ext m _ext m _ext m _ext ext ext sen i j B B j F dm B F id B d rd F ird B Luego i j k B sen B B Bsen k



 



                



$ ur ur l l ur $ $





$









$ $ $ 0 ( ) ( B) ( ) B cos( ) 2 B ; 2 B m m m m m F ir Bsen k d F ir sen k d F ir k F ir k i I r R F IR k 



            



ur ur ur ur ur

Problema n° 5

$

B j

ur

$ . dl rd

 

(8)

Se tiene un alambre conductor inﬁnito doblado en 3 secciones como se muestra en la ﬁgura. Una sección del alambre está sobre el eje y, seguida por una sección semicircular de radio R contenida en el plano yz y cuyo centro coincide con el origen de

coordenadas O. A continuación, una tercera sección del alambre es paralela al eje

x

. Si por el

alambre circula una corriente igual a I, encuentre el vector campo magnético en el punto O.

SOLUCIÓN:

$ 0 2 4 R B M dm a dH R





   uur

Tramo 1:

$ $ $ $ $ $ $ $ 2 1 1 4 ( ) (R y)( ) 0 0 0 (R y) 0 0 0 0 R R R R Id a dH R d dy j a j i j k d a dy d a H B



                 l l $ l l uur ur

Tramo 2:

$ $ 2 2 2 2 4 4 R R dm a dH R Id a dH R



    l

(9)

$ $ $ $ $ $ cos( ) sen( ) ( ) cos( ) R a j k sen j k



     

$ $ $ $ $ $ $ $

 

2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 : . 4 0 ( ) cos( ) 0 cos( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 R R R Luego IRd a dH R i j k a sen sen a i IRd i dH R Id i dH R I H d i R I H R I H i R I B i R 

 





















               



$ $ $ $ uur $ uur uur $ $

Tramo 3:

$ _{cos( )k}$







$ _sen_{( )}

 

$_j







 $ _{cos( )}

 

$ R a 



j $ _{( )}

 

$ R a sen



k

(10)

$ $ $ $ $ $ $ $ $ 2 4 4 ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) 1 R r r R R R R dm a dH R Id a dH r d dx i a a i a sen j a i sen j a





           l $ l $ $

$ $ $ $ $ $ $ $ 3 2 2 2 3 ₂ ₂ 2 2 3 ₂ _{2 3/ 2} 0 0 cos( ) ( ) 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) 4 : ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) r r i j k d a dx sen d a sen dx k I sen dx k dH r Pero R sen x R IR dx k dH x R x R IR dx k H x R









           



$ l l uur

$ $ $ 2 2 3 ₃ ₃ 3 3 0 : ( ) sec ( ) d R sec ( )( ) 4 sec ( ) cos( ) d ( ) 4 ( ) ( ) 4 x Sea tg R dx R IR k H R I H k R Isen H k R



 







 







        _ _



uur uur uur

(11)

$ $ $ 3 3 ₀ 1 2 3 0 0 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 total total I H k R I B k R B B B B I I B i k R R











         uur ur ur ur ur ur ur $

Problema n° 6

a. Halle la expresión para el campo magnético producido en el centro de una espira circular de radio a que lleva una corriente i .

b. Halle la expresión para el campo magnético producido a una distancia b perpendicular a un alambre recto y muy largo que lleva una corriente i.

c. Un alambre muy largo que lleva una corriente i

está doblado de forma tal que tiene una parte circular de radio a y dos secciones rectas alineadas, como se muestra en la ﬁgura. Si el campo magnético es nulo en el centro O del círculo, ¿cuánto vale el cociente a/b?

SOLUCIÓN:

Parte a:

$ $ $ 2 2 4 4 . R R dm a dH R id a dH R d rd



 

     l l $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) 0 cos( ) ( ) 0 n n n sen i j a i sen j i j k a sen sen a k



              $ $ $

(12)

$ 2 4 R id a dH R



  l $ $ $

 

$

 

2 2 2 4 . 4 4 R id a dH R d rd IRd dH k R IRd H k R



 









     

_

 l l uur

 

 

$ $

 

$

 

2 0 0 4 2 2 I H k R I H k R I B k a 









       uur uur ur

Parte b:

$ $

 

2 2 4 4 R R dm a dH R id a dH R d dx i



     l $ l $ $ $ $ $ $ $ $ $

 

$ cos( ) ( ) 0 0 cos( ) ( ) 0 ( ) R R R R n a a i a sen j i j k d a dx sen a sen dx k



      $ $ l

(13)

$

 

2 2 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 2 2 2 2 3/ 2 ( ) dx 4 ( b ) : ( ) ( b ) dx ( b ) 4 ( b ) dx 4 ( b ) Isen dH x Pero b sen x Ib dH x x Ib H k x









        



uur $

 

$

 

$

 

2 2 3 3 ( ) sec ( ) d sec ( ) d 4 sec cos( ) d 4 ( ) 4 x tg b dx b Ib b H k b I H k b Isen H k b



 



 







    



uur uur uur $

 

$

 

$

 

$

 

2 2 0 4 _b 2 4 2 2 I x H k b _x I H k b I H k b I B k b







     _ _       uur uur uur ur

Parte c:

$ $

 

2 4 4 R R dm a dH R id a dH R d dx i



     l $ l

(14)

$ $ $ $ $ $ $ $ $

 

$ cos( ) ( ) 0 0 cos( ) ( ) 0 ( ) R R R R n a a i a sen j i j k d a dx sen a sen dx k



      $ $ l $

 

$

 

2 2 1 ₂ _{2 1/ 2} 2 2 1 ( ) dx 4 ( b ) 1: x 4 ( b ) 1 4 Isen dH x Tramo Ib H k x I R b H k b R





       _ _     _   _  _   uur uur $ $

 

2 2 2 : 4 4 R R Tramo dm a dH R id a dH R d dx i



     l $ l

(15)

$ $

 

$ $ $ $ $ $ $

 

$









 

$





 

$ 2 2 2 3/ 2 2 2 2 2 2 _{3/ 2} 2 2 2 2 2 2 2 cos( ) ( ) 0 0 cos( ) ( ) 0 ( ) ( ) dx 4 b dx 4 b dx 4 b b ( ) sec ( ) d R R R R n a a i a sen j i j k d a dx sen a sen dx k Isen dH R x b Ib dH k R x b Ib H k R x b R x Tg b dx b











 

          _ _ _        _ _ _        _ _ _         



$ $ l uur $

 

$

 

$

 

2 2 3 3 2 2 sec ( ) d 4 sec ( ) d cos( ) d 4 ( ) 4 Ib b H k b I H k b I H sen k b

 



 







  



uur uur uur









 

$ $

 

$

 

$ 2 2 2 _{1/ 2} 2 2 2 2 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 1 4 1 1 4 4 o o R b x I H k b R b x b I R b H k b R H H H I R b I R b H k k b R b R



          _ _             _   _  _       _   _   _  _  _  _     uur uur

uur uur uur

(16)

$

 

µ

 

$ 0 2 2 o o I H k b I B k b







   uur H uur en la espira circular

 

$ 2 c I H k a



  uur H uur en el alambre recto

 

$ 2 L I H k b



 uur $

 

0... 1 1 0 2 1 1 0 1 o C L H H H Dato I k a b a b a b



     _  _      _{ }  

uur uur uur

Problema n° 7

La espira conductora de la ﬁgura lleva una corriente I y está formada por un tramo recto y 3/4 de una circunferencia de radio R y origen O. Elija (y dibuje) un sistema de coordenadas y halle el campo magnético que produce esta espira en el punto O.

SOLUCIÓN:

Tramo del alambre recto:

$ $ $

 

1 2 1 2 4 4 R r dm a dH R id a dH r d dy j



     l l $ $ $ $ $ $ $

 

$ ( ) cos( ) 0 0 ( ) cos( ) 0 ( ) r r n a sen i j i j k d a dy sen a sen dy k



       $ $ l

(17)

$

 

$

 

1 2 1 _{1/ 2} 2 2 2 2 2 ( sen( ) dy) 4 dy 2 4 2 2 : ( ) 2 sec ( ) d 2 i dH k r R I H k R R _y y y Sea Tg R dy R







 

     _ _    _ _  _  _ _  _ _  _  _ _ _  __ _ _                 uur $

 

$

 

1 1 _{1/ 2} 2 2 Re : cos( ) d 4 2 4 2 : 2 2 emplazando I H k I y H k R _R y R R Evaluando y

 



    _ _{ }  _ _  _ _      



uur uur $

 

1 ₂ 2 I H k R



  uur $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 2 2 : cos( ) ( ) . 4 ( ) cos( ) 0 cos( ) ( ) 0 r r r r r r Luego a a i a sen j IRd a dH r i j k a sen sen a k



 





          $ $

(18)

$

 

$

 

 

 

$ $

 

$

 

2 2 2 6 / 4 2 / 4 2 2 4 4 4 5 4 4 5 16 IRd k dH r I H d k R I H k R I H k R I H k R  













         



uur uur uur uur

Luego nos piden:

$

 

$ $

 

_ _ 1 2 2 0 2 5 2 16 5 2 16

o alambre recto espira circular

o o o H H H H H H I I H k k R R I I B k R R







            _  _   

uur uur uur

uur ur

Circuitos Eléctricos

Régimen Transitorio y Sinusoidal

Problema n° 1

En el circuito de la figura, la tensión v t_i( ) es periódica (de periodo T) y su forma

de onda es la que se muestra







T



.

a) Calcule la tensión v t₀( ) en el borne del

condensador durante el primer período



0  

t

T



suponiendo que para

t



0

tenemos v₀(0)0.

b) Halle y grafique la tensión en bornes del condensador v t₀( )cuando el circuito

se encuentra funcionando en régimen permanente.

Sugerencia: suponga v₀(0)V₀arbitrario, determínelo para quev t₀( ) sea también

periódica.

(19)

SOLUCIÓN:

0 0 : ....( ) ....( ) c c c c c c c idt iR C idt iR C Sabemos idt V C dV C i dt dV C R V dt dV V dt RC RC







_

           



1 1 2 1 ....(1) 1 0 1 : 1 . . 1 0 _ _ : g g p p c c c t RC c c t RC c c c c V DV RC RC V D RC D RC V C e Luego D V D D RC D D RC V K K e

V V linealmente independientes entonces

V K



     _ _          _ _    _ _      _ _         _ _     1 1 0 ( ) : 0 p c V en K RC RC K





     I I

(20)

2 2 0 : 0; 0 : 0 _( ) : ( ) 1 g g t RC c c t RC c c c t RC t RC V K e Además t V K Para t V e dV En i I C dt I e R V t e





 





        _ _                              _  _   t T



 

Para este intervalo de tiempo del circuito su corriente inicial será el valor de la corriente en



del circuito anterior pero de signo negativo.

1 1 2 1 0 : ( ) 1 g RC c RC t RC RC c t RC RC V e C e V e e Sabemos t t V t e e     

 





                         _   _                 _   _       

EN MATLAB:

I

(21)

clear clc

T=1; %periodo en s

tau=0.2*T; %tiempo de encendido de vo(t),menor que T E=15; %Voltaje pico de vo(t)

R=1500; %en omnios C=10e-6; % en faradios %Parte a: t=linspace(0,T,1000); vo=E*(1-exp(-t/(R*C))).*(t<=tau)+E*(1-exp(-tau/(R*C)))*exp(-(t-tau)/(R*C)).*(t>tau); subplot(2,1,1) plot(t,vo,'.b') title(' Vo(t)') xlabel('t') ylabel('Vo') %Parte b: Vo=E*(1-exp(tau/(R*C)))/(1-exp(T/(R*C))); vo_1=(E+(Vo-E)*exp(-t/(R*C))).*(t<=tau); vo_2=(E+(Vo-E)*exp(-tau/(R*C)))*exp(-(t-tau)/(R*C)).*(t>tau); v0=vo_1+vo_2; subplot(2,1,2) plot(t,vo,'.g')

title('Vo(t) en estado permanente') xlabel('t')

ylabel('Vo')

(22)

Problema n° 2

En el circuito de la figura la resistencia total en la malla formada por la fuente E, la bobina

L y la llave S es completamente despreciable.

a) En

un determinado instante (t=0), cuando por la bobina circulaba una corriente I0 en el

sentido indicado en la figura, la llave S se cierra, y se abre un tiempo T=L/R después.

Hallar la corriente entregada por la batería para t>0.

b) Hallar la corriente por la batería si

ahora el proceso de abrir y cerrar la llave se repite con un periodo de 2T y el circuito ha alcanzado el régimen estacionario.

(23)

c) Hallar la potencia media entregada por la batería en el caso de la parte b).

SOLUCION: 0;L T R    _ _ V=L " V di i L   dt V dt di L 



V K t i L   : 0 : 0, V i I t L L para t R



        0 ; ; 0, L L V L t i I t R R R



R        _{ } _{ } _ _       V LiRi . R t L V i k e R    : 1 0 V V i I ke R R      1 0 0 I ke k I e 0 ; R t L V L i eI e t R R      _  _   b)

(24)

V i k t L   (0) V i k R   (2 ) 2 3 L R V V L V i x R R R R    . R t L V i k e R    2 2 ( ) 3 . L R V V i k e R R     2 2 . V k e R  _ 2 2 V e k R  2 2 Rt L V V i e e R R    2 4 2 (4 ) 2 2 2 L R V V e e V V Ve i R R R R R        (4L) 1.2 R V i R   V i k t L   (4 ) 4 1.27 L R V V i k R R    2.73V V k t R L    (6L) 3.27 R V i R  . R t L V i k e R    6 6 (6L) 3.27 ; 2.27 R V V Ve i ke k R R R      915.78 915.78. R t L V k e R    6 (t 8L) 915.78 1.30 R V V V i e R R R     

(25)

3 3 1.3 2 2 4 / 2 2 promedio V V V V L L L R R R R I x R R R  _   _      _ _ _ _         2.075 promedio V I R  c) P OTENCIA PROMEDIO 0 P_promedio V I_promedio 2 1 2 1 5 P 2 1 2 P 2.04 promedio promedio V R e V R     _  _      

Problema n° 3

En la figura se muestra un circuito RLC paralelo alimentado por una fuente de corriente.

Esta fuente se comporta de forma tal que impone una corriente dada (en nuestro caso es sinusoidal de la forma I t( )I₀cos( t)



en la rama del circuito en que se

encuentre presente, independientemente de lo que tenga conectado.

a) Halle V t I( ), R(t)(corriente por la resistencia) en régimen.

b) Realice un croquis del módulo y fase de ( )V t en función de



. c) Halle la potencia media entregada al circuito.

d) Halle el valor de



para el cual la corriente y el voltaje están en fase.

e) Realice un croquis de la potencia entregada en función de



.

f) Halle el factor de calidad Q. SOLUCIÓN:

EN MATLAB

clear clc

%Parte a:

%damos unos valores para graficar las señales de v(t) e iR(t) en estado estable

R=220; % ohms L=2; % henrios

C=10e-6; % en faradios Io=15;

w=2*pi*60; % en radianes por segundo fi=atan(R*(1-w*w*L*C)/(w*L));

(26)

v=Io*w*R*L/sqrt(R*R*(1-w*w*L*C)+w*w*L*L)*cos(w*t+fi); i=v/R; subplot(2,1,1) plot(t,v,'.r') title('v(t)') grid subplot(2,1,2) plot(t,i,'.g') title('iR(t)') grid %Parte b: figure s=tf('s'); v=1/(R+1/(s*C)+s*L); bode(v) %Parte c: P=0.5*R*w*w*L*L*Io*Io/(R*R*(1-w*w*L*C)^2+w*w*L*L); fprintf('\tP_media=%g.3W\n',P) %Parte d: w1=1/sqrt(L*C);

fprintf('\tPara corriente y voltaje en fase:') fprintf('\tw=%.3g rad/s\n',w1) %Parte e: w=linspace(0,2000,1000); P=(0.5*R*L*L*Io*Io)*(w.*w)./(R*R*(1-w.*w*L*C).^2+w.*w*L*L); figure plot(w,P,'.b')

title('potencia P en funcion de w') xlabel('w')

ylabel('p(w)') %Parte f: Q=R*sqrt(C/L);

fprintf('\tFactor de Calidad: Q_P=%.3g \n',Q)

(27)

(28)

Problema N° 4

Se considera el circuito de la figura, con la llave LL cerrada. La tensión en bornes del generador es:

V t

 



V cos wt

₀

 

a) Determine las corrientes de régimen por todas las ramas. Se sugiere

expresar el resultado en términos de las reactancias relevantes.

b) A ciertas frecuencias de la fuente el circuito tiene un comportamiento

especial. i) Determine la frecuencia w1 a la cual la corriente por la rama central es nula.

Evalúa las demás corrientes para esta frecuencia y dé una interpretación física de lo que sucede en este caso

ii) determine la frecuencia w2 a la cual la corriente es nula. Evalué las demás corrientes para esta frecuencia y de una interpretación física de lo que sucede en este caso.

c) Con el circuito operando en régimen a la frecuencia w1, se abre la llave en

t=0. Halle la carga en cada condensador en función del tiempo a partir de ese instante.

(29)

SOLUCION:

 

_o

(

)

V t



V cos wt

1 ( ) Z WC j  ; Z wL ( )j

 

1

 

1

 

1 . . . ( ) . ( ) . . c l z z W L j W L j j W L j W C j W C W C        r r a)

 









2 2 2 2 1 1 1 1 . ( ) 1 . ( ) 2 2 2 ( ) W LC j WL j W LC W C WC WC WC j j W LC WC W LC WL j WC WC       _  _ _ _    _   _    b)





2 2 1 ) . ( 2) W LC j R Z eq WC W LC     Considerando 2 1 W LC ?





2 2 ( 2) W LC j R Zeq WC W LC    También: 2 2 W LC ?

(30)

2 2 . W LC R Zeq WC W LC    1 ( ) j R Zeq Zo WC



   Es un circuito capacitivo. (1) 1 tg WCR



 2 2 ( ) 2 1 ( ) Vd V I R WC



   1 1 ₂ Vo( ) 1 . ( 90) ( 180) WC 2WCR 2 _2. ₎₍ ₂₎ (WL )(90) WC Vo I I WCR W LC



 _        2 2 W LC ? 1 ₃ ₂ o( 180 2. V I W C LR



    2 1 )(90) ( ) .( 2 2. ₎₍₉₀₎ WL Vo _WC I WCR WL WC



    2 2 ?? 2 I  W LC? 2 ( ) 2. Vo I WCR



  

(31)

EN MATLAB:

%% preg 4 clear clc

%Parte a:

disp('problema 4 - circuito electricos') R=500; %ohms

C=100e-6; %faradios L=3; %henrios

Vo=50; %voltaje pico en V

w=2*pi*60; %frecuencia en radianes por s T=2*pi/w; t=linspace(0,3*T,1000); fi=atan((w*L-1/w/C)/(2-w*w*L*C)); den=sqrt(R*R*(2-w*w*L*C)^2+(w*L-1/w/C)^2); i=Vo*(2-w*w*L*C)/den*cos(w*t-fi); i_1=Vo*(1-w*w*L*C)/den*cos(w*t-fi); i_2=Vo/den*cos(w*t-fi); subplot(3,1,1) plot(t,i,'.g')

title(' Corriente en la fuente,i(t)') ylabel('i(t)')

xlabel('t') grid

subplot(3,1,2) plot(t,i_1,'.b')

title(' Corriente en la rama central,i1(t)') ylabel('i1(t)')

xlabel('t') grid on

subplot(3,1,3) plot(t,i_2,'.r')

title('Corriente en la rama derecha,i2(t)') ylabel('i2(t)') xlabel('t') grid %Parte b: w1=1/sqrt(L*C); w2=sqrt(2/(L*C)); T1=2*pi/w1; T2=2*pi/w2; t1=linspace(0,3*T1,1000); t2=linspace(0,3*T2,1000);

fprintf('\tb.i) Para i1=0:\t w=%.3g rad/s\n',w1) fprintf('\tb.ii) Para i=0:\t w=%.3g rad/s\n',w2) i_2_n=Vo/R*cos(w1*t1);

i_1_n=-Vo*sqrt(2*C/L)*sin(w2*t2); figure

subplot(2,1,1)

plot(t1,i_2_n,,'.k') title(' Cuando i1=0') ylabel('i2(t)')

(32)

grid

subplot(2,1,2) plot(t2,i_1_n,'.g') title(' Cuando i=0') ylabel('i1(t)=-i2(t)') xlabel('t')

grid

(33)

Problema n° 5

El circuito de la figura está alimentado por las fuentes: v t₁( )V sen₀ ( t)



y

2( ) 0cos( t)

v t V



. Suponga para las partes a) y b) que los interruptores S yS1 2 han

estado cerrados por un largo tiempo, de modo que el circuito ha alcanzado el estado de régimen.

a) Determine los voltajes complejos V t yV t₁( ) ₂( ) tales que:

v

1



Re



V t

1

( )



y





2

Re

2

( )

v



V t

.

b) Halle las expresiones para las corrientes i t i t₁( ), ( )₂ (ver convenciones de signo

en la figura). Especifique amplitud y fase en cada caso.

c) Estando el circuito operando en régimen a frecuencia



, se abren los interruptores S yS₁ ₂ en

t



0

. Calcule la energía total que disipará la resistencia a partir de ese instante.

d) Si se desea que la energía disipada sea mínima ¿Cuándo deben abrirse

simultáneamente los interruptores S yS₁ ₂?

SOLUCIÓN:

CON MATLAB:

%% preg 5 clear clc Vo=15; % en voltios R=12; % en ohmnios L=0.2; % en H C= 5e-6; % en faradios w=2*pi*60; % en rad/s T=2*pi/w;

disp('problema 5 - circuito electricos') %Parte a:

V1=-j*Vo; V2=Vo;

fprintf('a)\n\tV1=-j%.3g\n',imag(-V1)) fprintf('\tV2=%.3g\n',Vo)

(34)

fprintf('b) Ver Figure 1\n') fi1=atan(1/(1+R/(w*L)))+pi; fi2=atan(1+w*R*C); t=linspace(0,3*T,10000); i1=Vo*sqrt(1/(R*R)+(1/R+1/(w*L))^2)*cos(w*t+fi1); i2=Vo*sqrt(1/(R*R)+(1/R+w*C)^2)*cos(w*t+fi2); subplot(2,1,1) plot(t,i1,'.g') title(' i1(t)') grid subplot(2,1,2) plot(t,i2,'.b') title(' i2(t)') grid %Parte c: E=Vo^2/(2*w*w*L)+C*Vo^2/2;

fprintf('c) Al abrir los interruptores en t=0 la energía que se disipará será\n')

fprintf('\tE=%.3gJ\n',E) %Parte d:

t1=pi/(2*w*w*L); t2=pi/w;

fprintf('d) Para disipar energía mínima: \n')

fprintf('\tabrir los interruptores en t=%.3g+n%.3g\t n=0,1,2,...\n',t1,t2)

Gráfica:

(35)

El sistema mostrado en la figura consiste de un toroide de permeabilidad

0

5000







, de perímetro medio

l

, y dos bobinados (N yN₁ ₂ vueltas) por los cuales circulan corrientes I₁ e I2 respectivamente.

a) Calcule las autoinductancias y el coeficiente de inducción mutua de los

bobinados.

b) Con el

toroide anterior se

realiza el siguiente circuito:

Determine:

i) El voltaje en bornes del condensador.

ii) La potencia media entregada por la fuente de fem .

iii) La relación N₂/N₁ en función de R y C para que el voltaje eficaz entre las placas del condensador sea el doble que el voltaje eficaz de la fuente de fem.