GRADO NOVENO SANTA MARTA D.T.C.H

E-BOOK DE MATEMATICA

GRADO – NOVENO

SANTA MARTA D.T.C.H

INDICE PRIMER PERIODO

1. Conjuntos numéricos.

1.1 Números naturales.

1.2 Números enteros.

1.3 Números racionales.

1.4 Números irracionales.

1.5 Números reales.

1.6 expresiones algebraicas.

1.7 Adición de polinomios.

1.8 Sustracción de polinomios.

1.9 Multiplicación de polinomios.

1. 10 División de polinomios.

1.11 Productos y cocientes notables.

2. Factorización.

3. Fracciones algebraicas.

3.1 Simplificación de fracciones algebraicas.

3.2 Operaciones con fracciones algebraicas.

4. potenciación de números reales.

4.1 Propiedades de la potenciación.

4.2 Notación científica.

5. Radicación de números reales.

5.1 Propiedades de la radicación.

.

1. Conjuntos numéricos.

Los conjuntos numéricos se crearon a partir de necesidades específicas. Así, los números naturales surgieron de la necesidad de contar, los enteros se utilizan desde la antigüedad para indicar deuda y ganancias, los racionales que permite representar partes de un todo y los irracionales sirven para expresar la medida de ciertos elementos como la diagonal de un cuadro.

1.1 Números naturales: el conjunto de números naturales se simboliza con N y se determina por extensión.

N: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …….}

1.2 Números enteros: el conjunto de números enteros se simboliza con Z y se determina por extensión así:

Z:{ ….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …..}

1.3 Números racionales: el conjunto de los números racionales se simboliza con Q y se define como:

Q:{ a/b con a, b € Z, b ≠ 0}

1.4 Números irracionales: se simboliza con la letra I y está formado por todos los números decimales infinitos no periódicos.

Ejemplo: 3,14159253589793…., √2, √3 y √5.

1.5 Números reales: el conjunto de los números reales se simboliza con R y es la unión del conjunto de los números racionales (Q) y el conjunto de los números irracionales (I). Es decir, R=Q u I.

1.6 Expresiones algebraicas: Una expresión algebraica es una combinación de números y variables mediante operaciones aritmética. Es una expresión algebraica las variables son letras que representan cualquier número de un determinado conjunto numérico.

Un Monomio es una expresión de la forma ax^k donde a es un número real y k es un entero no negativo.

Un Polinomio en general, es la suma o la resta de dos o más monomios.

1.7 Adición de polinomios: para sumar dos o más polinomios se reducen términos semejantes. Por ejemplo:

Dados los polinomios

Dados los polinomios

por lo tanto queda

http://www.youtube.com/watch?v=EWKHMqKlvYI

1.8 Sustracción de polinomios: para restar de polinomios, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. Por ejemplo.

9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

-

5x⁴ + 7x³ + 0x² + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

______________________________

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x - 8

+ -5x⁴ - 7x³ + 0x² - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

______________________________

4x⁴ - 11x³ - 3x² - 5/2 x + 2

http://www.youtube.com/watch?v=V3j9rkFYNfY

1.9 Multiplicación de polinomios: para multiplicar dos monomios se multiplica los coeficientes y las partes literales, teniendo en cuenta que, al multiplicar potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo:

1. 3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²

2. P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x

http://www.youtube.com/watch?v=TCc-C_Uey2Y

1. 10 División de polinomios: para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación. Por ejemplos:

1.11 Productos y cocientes notables: los productos y cocientes notables son generalmente de multiplicaciones y expresiones algebraicas.

Los productos notables resultan de generalizar ciertos casos de multiplicar entre los polinomios.

Los cocientes notables son divisiones exactas entre polinomios que no necesitan efectuar para hallar sus cocientes.

Por ejemplos:

a. (a+b)² = a²+2ab+b² b. (x+y)(x-y)= x²-y²

c. (2p+3)³= (2p)³+3(2p)²(3)+3(2p)(3)²+(3)3 = 8p³+9(4p²)+6p(9)+27

= 8p³+36p²+54p+27.

Teniendo en cuenta el ejemplo dado.

1. Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2 R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4 T(x) = 3/2x² +5 U(x) = x² + 2.

Ejemplo:

P(x) + Q (x) = (4x² − 1) + (x³ − 3x² + 6x − 2) = = x³ − 3x² + 4x²+ 6x − 2 − 1 =

= x³ + x²+ 6x − 3

a. P(x) − U (x) = b. P(x) + R (x) = c. 2P(x) − R (x) =

d. P(x) + 2 Q(x) − R(x) = e. Q(x)+ R(x) − P(x)=

2. (x⁴ −2x² +2 ) · (x² −2x +3) = 3. (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x +2) =

4. (x⁴ − 2x³ −11x²+ 30x −20) ÷ (x² + 3x −2)=

5. (x ⁶+ 5x⁴ + 3x² − 2x) ÷ (x² − x + 3)=

Productos Notables:

6. (a-3)² =

7. (2a-1)(2a+1)=

8. (2a-3)³= 9. (3x+2)² = 10 (2m2n-n2)³ =

2. Factorización.

Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de factores primos que son polinomios diferentes.

Fórmulas de Factorización de polinomios.

➢ FACTOR COMÚN :

EJEMPLO: (Hay factor común entre los números) 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números.

➢ FACTOR COMÚN EN GRUPOS:

EJEMPLO:(Todos los términos son positivos) 4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) = (a + b).(4 + x)

➢ FACTOR COMÚN EN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

EJEMPLO (Términos positivos) x² + 6x + 9 = (x + 3)²

x 3 2.3.x 6x

➢ DIFERENCIA DE CUADRADOS:

EJEMPLO:

x² - 9 = (x + 3).(x - 3) x 3

➢ TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO:

3. Fracciones algebraicas.

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios, donde el divisor es diferente a cero. Ejemplo:

3.1 Simplificación de fracciones algebraica: Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente.

Por ejemplo: Simplificar

Actividad en clases: resuelve los siguientes ejercicios:

Actividad extra clases o tarea: realiza los siguientes ejercicios:

3.2 Operaciones con fracciones algebraicas:

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.

Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.

Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.

Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).

Para calcular el m.c.m. factorizamos

5a b

a

2 15b² a

5b A 15b² a

5b 1 15b² b

5 1 15b b

5 1 15 5

1 1 3 3

1 1 1

Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a² • b² • 15 que es lo mismo que 15a²b² y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas.

Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:

Previamente, dividimos el denominador común (15a²b²) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente:

Encontrado el m.c.d. (15a²b²) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.

Un ejemplo más:

Sumar

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)

Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra

, entonces:

Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas

Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables.

Cociente o división de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

Veamos, ahora qué significa esto:

Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c)

Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d)

Fracciones algebraicas compuestas

En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.

La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.

Ejemplos:

1)

2)

3)

http://www.youtube.com/watch?v=ZpRFIqN84F8

4. potenciación de números reales.

Todo producto de factores iguales, por ejemplo: a·a·a puede escribirse abreviadamente así: a³. En la expresión anterior, a³ se llama potencia, el factor que se repite (a) se llama base y el número de veces que se repite el factor (3) se llama exponente. Ejemplos:

4.1 Propiedades de la potenciación:

1 a⁰ = 1 · 2 a¹ = a

3 Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n Ejemplo:

(−2)⁵ ÷ (−2)² = (−2)⁵⁺² = (−2)⁷ = −128

4 División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n} Ejemplo:

(−2)⁵ ÷ (−2)² = (−2)^{5 - 2} = (−2)³ = -8

5 Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ=a^{m · n} Ejemplo:

6 Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ Ejemplo:

(−2)³ ÷ (3)³ = (−6)³ = −216

7 Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ Ejemplo:

(−6)³÷3³ = (−2)³ = −8

http://www.youtube.com/watch?v=Z3gRFu7xo8o

4.2 Notación científica: La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

siendo:

un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

INDICE SEGUNDO PERIODO

1. Funciones.

1.1 Funciones de variables real 1.2 Función lineal y afín.

2. Línea recta.

2.1 Ecuación explícita de la recta, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

3. Sistemas de ecuaciones lineales.

3.1 métodos de soluciones de sistema de ecuaciones 2x2 3.2 métodos de soluciones de sistema de ecuaciones 3x3.

4. Función cuadrática.

5. Ecuaciones cuadráticas.

5.1 solución de ecuaciones cuadráticas incompleta.

5.2 Solución de ecuaciones cuadráticas completas.

5.3 Naturaleza de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.

5.4 Análisis de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.

6. Ecuaciones reducibles e inecuaciones cuadráticas.

6.1 Ecuaciones con radicales de índices dos.

6.2 Ecuaciones bicuadráticas.

7. Ecuaciones cuadráticas literales.

1. Funciones.

Las funciones permiten representar, modelar, y describir situaciones del mundo real, ya sean fenómenos físicos, económicos, biológicos o demográficos. Por ejemplo, conocer la variación de precio de la moneda en un periodo de tiempo ayuda a predecir el valor de una acción de una empresa en bolsa de valores.

Concepto de función: una función es una regla o correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y solo un elemento de un conjunto B.

Elementos de una función:

Dominio

Codominio

Rango o imagen

Entonces, en el diagrama de la derecha el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango.

1.1 Funciones de variables real:

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.

· El conjunto final o imagen de la función.

· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

Asigna a cada número real su cuadrado.

Ejemplo:

La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la expresión que nos relacionas ambas

variables es .

Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener

distintos valores en el área del mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con algunos valores:

Actividad en clases:

1. f(x)= 2x³-5 =2(2)³-5 = 2(8) -5 = 16- 5 = 11

2. f(x) = x³ + 2

Actividad extraclases o tarea:

1. f(x)= x² 2. f(n)= n² + 3 3. f(g)= g² – 3

1.2 Función lineal y afín.

Función lineal ⇒ y = m x

La fórmula de la función lineal es: y = m x donde m es la pendiente de la

recta (grado de inclinación). Estas rectas pasan siempre por el origen de coordenadas punto (0, 0).

La ordenada en el origen n es 0.

Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x

La pendiente de la recta es 2 (valor de m, coeficiente que hay delante de x), cuando m es positiva la recta es creciente.

Pasa por el punto (0, 0)

Tabla de valores de la función

x 1 0 -1

y 2 0 -2

Gráfica de la función

Función afín ⇒ y = m x +

n

La fórmula de la afin es: y = m x + función

n donde m es la pendiente de la recta (grado de inclinación). Si m es

positiva le recta es creciente.

Si m es negativa la recta es

decreciente.

La ordenada en el origen es n, punto don

de la recta corta al eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son: (0, n)

Estudiar y representar la siguiente recta y = 2x + 3

La pendiente de la recta es 2 , por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el origen n = 3, el punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, 3)

Tabla de valores de la función

x 1 0 -1

y 5 3 1

Gráfica

Actividad en clases:

Realiza las siguientes funciones y determinar si son afines o lineales.

1. y= 3x 2. y= -5x 3. y= 2x-3 4. y= 2x 5. y=2x + 10

Actividad en clases:

Realiza las siguientes funciones y determinar si son afines o lineales.

1. y= -3x 2. y= 2x+3 3. y= -2x 4. y=2x-10 2. Línea recta.

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables.

Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.

Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la ecuación: .

● Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.

● Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente negativa.

● Cuando la recta es horizontal, la pendiente de la recta es 0.

● Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no está definida.

Ejemplo:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A= (3,2) y B= (5,4) m= y2 – y1 / x2- x1 = 4 – 2 / 5- 2 = 2/3

Actividad en clases:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1. P(1, 2) y Q(3, 4) 2. P1(4, 3) y P2(–3, –2) 3. A= (-3,2) y B= (7,4)

Actividad extraclases o tarea:

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1. P(4, 6) y Q(-8,- 4) 2. P1(6, -3) y P2(3, 2)

3. A= (-13,22) y B= (47,44)

2.1 Ecuación explícita de la recta, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.

➢ Ecuación explícita de la recta

La ecuación general de la recta es una expresión de la forma Ax + By + C

= 0, donde A; B Y C son números reales, y donde A y B no son cero al mismo tiempo.

De la ecuación general se puede despejar y para determinar la ecuación explícita y así obtener el valor de la pendiente m y el intercepto en el eje y.

Ax + By + C = 0 Ecuación general de la recta.

By = Ax – C se resta Ax y C Y= -A/Bx – C/B se despeja y.

Por lo tanto, para la recta que tiene como ecuación Ax + By + C = 0, la pendiente m= -A/B y el corte con el eje y es b = - C/B, para B ≠ 0.

Ejemplo:

Encontrar la pendiente y el corte con el eje y de la recta cuya ecuación general es x – 2y + 3 = 0

– 2y = -x- 3 se resta x y y.

Y= 1/2x + 3/2. Se despeja y.

Por lo tanto, la pendiente de la línea recta es m= 1/2 y el corte con el eje y es (0, 3/2).

Actividad en clases:

1. Encontrar la pendiente y el corte con el eje y de la recta cuya ecuación general es:

a. 3x -2y -12 = 0 b. 2x – y +3 = 0 c. X- 4y + 8 = 0

Actividad extraclases o tarea:

1. Encontrar la pendiente y el corte con el eje y de la recta cuya ecuación general es:

a. 2x + 3y – 6 = 0 b. 6x – y + 6 = 0 c. 3x + 2y + 5= 0 d. 4x + 2y – 6 = 0

Rectas paralelas: dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

Sean l, y l2 dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2, respectivamente; se cumple que las rectas son paralelas si y solo si m1 = m2

Rectas perpendiculares: dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Dadas dos rectas l, y l2, con pendientes m1 y m2 respectivamente, son perpendiculares si y solo si m1. m2 = -1

Rectas secantes: dos rectas son secantes cuando se cortan en un único punto sin formar un ángulo recto.

3. Sistemas de ecuaciones lineales.

un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

3.2 métodos de soluciones de sistema de ecuaciones 2x2

Se le llama "Solución 2x2" a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

Métodos de Solución para un Sistema de Ecuaciones de 2x2

❖ MÉTODO POR REDUCCION (SUMA Y RESTA)

1. Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que ambas ecuaciones tengan el coeficiente de las variables iguales, excepto tal vez por el signo.

2. Se suman o se restan las ecuaciones para eliminar esa variable.

3. Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

4. Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

5. Comprobamos la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Ejemplo:

3x - 6y = 5 (2) 4x + 3y = -1 3x - 6y =5

8x - 6y = -2 11x = 3 x = 3/11 3x = -6y = 5 3/1 (3/11) -6y = 5 9/11 - 6y/1 = 5/1 9 - 66y = 55

-66y = 55 - 9 -66y = 46 y = 46/-66 y = 23/33

❖ MÉTODO POR SUSTITUCION 3x – 4y = -6

2x + 4y = 16

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y x = 8 – 2y 2. Solución:

X= 2 Y= 3

❖ MÉTODO POR IGUALACIÓN 3x – 4y = -6

2x + 4y = 16

1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita “x” de la primera y segunda ecuación:

3x = -6 + 4y x= -6 + 4y / 3 2x = 16 – 4y x= 16 - 4y / 2 2. Igualamos ambas expresiones:

-6 + 4y /3 = 16 - 4y / 2

3. Resolvemos la ecuación:

2 (-6 + 4y) = 3 (16 – 4y) -12 + 8 y = 48 – 12y 8y + 12y = 48 + 12 20y = 60 y = 3

4. Sustituimos el valor de “y”, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada “x”:

X= -6 + 4, 3 / 3 = -6 + 12 / 3 x = 2

5. Solución:

X = 2 y = 3

❖ MÉTODO POR DETERMINANTES 3x + y = 5

4x + 2y = 8

Determinante = 3 1 3 (2) - (4) (1)

4 2 6 - 4 = 2 Determinante 2 x y

Determinante x = 5 1 5 (2) - (8) (1)

8 2 10 - 8 = 2 Determinante x = 2 T.I y

Determinante y = 3 5 3 (8) - (4) (5)

4 8 24 - 20 = 4 Determinante y = 4 x T.I

Para obtener el resultado de "x" y "y" se divide el determinante x entre el determinante del sistema. Para obtener y divido el determinante y entre el determinante del sistema.

x = 2/2 x = 1 y = 4/2 y = 2

http://www.youtube.com/watch?v=ieiRIATCOUI

Actividad en clases:

Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:

1) 2)

3)

4)

Actividad extraclases o tarea:

Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:

5)

6)

7)

Problemas de aplicación

1) Calcula dos números cuya suma sea 8 y su producto 12.

2) La suma de dos números es 65 y su diferencia 23. Halla los números

3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.

3.3 métodos de soluciones de sistema de ecuaciones 3x3.

Un sistema de ecuaciones 3 x 3 es un conjunto formado por tres ecuaciones con tres incógnitas. Se puede expresar como

ax + by +cz = d ex +fy + cz = h ix + jy + kz = l

http://www.youtube.com/watch?v=2S9IJbQIqaE

http://www.youtube.com/watch?v=6XYa3Fmgk5c Actividad en clases:

1.

2.

3.

Actividad extraclases:

1.

2.

3.

4.

5. Investiga sobre el método de determinante aplicando las ecuaciones de 3x3.

4. Función cuadrática.

Sea a, b y c números reales con a‡0. La función de x dada por:

– f(x)= ax²+ bx + c

Será llamada una función cuadrática, la gráfica de una función cuadrática la gráfica de una función cuadrática tiene forma de U y se le llama parábola.

CARACTERÍSTICAS

Las funciones cuadráticas tienen las siguientes características:

1. El dominio es el conjunto de los números reales.

2. Son continuas en todo su dominio.

3. Siempre cortan al eje Y en el punto (0, c).

4 Cortarán al eje X (en uno o dos puntos) o no, dependiendo de las soluciones dela ecuación ax²+ bx + c = 0.

5. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba y si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo.

6. Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.

7. Tienen un vértice, punto donde la función alcanza un mínimo (a > 0) o un máximo(a < 0).

8. Tiene un eje de simetría que es la recta vertical que pasa por el vértice.

9. Si a > 0, la función es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice.

10. Si a < 0, la función es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice.

11. Si a > 0 es convexa y si a < 0 es cóncava

Ejemplo:

Actividad en clases:

Representa

las siguientes

funciones cuadráticas indicando todas las características de la gráfica:

Actividad extra clases o tarea:

Representa las siguientes funciones cuadráticas indicando todas las características de la gráfica:

5. Ecuaciones cuadráticas.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontalcoincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se

denomina fórmula cuadrática³ a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores Y

Constituyen las dos soluciones.

http://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI Ejemplo:

1) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si x = 0 o si x− 4 = 0 x = 4

Actividad en clases:

1.

2.

3.

Actividad extraclases o tarea:

1.

2.

3.

5.1 solución de ecuaciones cuadráticas incompleta.

Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven según su forma.

● Ecuaciones de la forma ax² = 0 ax² = 0

La solución es x = 0.

Ejemplos

● Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 ax² + bx = 0

Extraemos factor común x:

Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

Ejemplos 1.

2.

● Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 ax² + c = 0

1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.

2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.

3. Se efectúa la raíz cuadrada en los dos miembros.

Ejemplos 1.

2.

Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales.

5.2 Solución de ecuaciones cuadráticas completas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x² + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x² - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x ² + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x² + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x²]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2

x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x² + 12x – 8 = 0 4 4 4 4

x² + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x² + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x² + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x² + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x² + 2x + 1 = 8 + 1

x² + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)² = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la

Ejemplo:

X² + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 2

X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2 x = 4 x = -8

2 2 x = 2 x = - 4

http://www.youtube.com/watch?v=kTgtA5cUzSs

5.3 Naturaleza de las raíces de las ecuaciones cuadráticas.

A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b² - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, Δ.

Δ = b² - 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

A.•Δ > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:

B. Δ = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble:

Por lo tanto, x1 = x2.

C. Δ < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe.

Δ > 0 Dos soluciones distintas Δ = 0 Solución única doble Δ < 0 No hay solución

http://www.youtube.com/watch?v=L1nU6jOoOz4

6. Ecuaciones reducibles a ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática. Una ecuación que pueda escribirse en la forma ax²+bx+c=0 donde a, b, c son números reales con a ¹ 0, es una ecuación cuadrática. Al término ax² se le llama cuadrático, a bx lineal y c es el término independiente.

Si observamos los coeficientes b y c las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Solución de una ecuación cuadrática: Resolver una ecuación cuadrática consiste en averiguar qué valor o valores, al ser sustituidos por la variable, convierten la ecuación en una identidad. Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas.

Métodos para resolver una ecuación cuadrática.

a) Método de factorización: es el método más simple de resolver una ecuación cuadrática, pero que no siempre se aplica con facilidad. Depende de la propiedad del factor cero:

Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0 , o ambos

Ejemplo1: Resolver la ecuación x² +3x – 4 = 0

El polinomio x² +3x – 4 puede factorizarse como (x- 1)(x+4), luego la ecuación puede

escribirse como (x-1)(x+4) = 0. De acuerdo con la propiedad del factor cero se tiene que:

x – 1 = 0 Þ x = 1 o x + 4 = 0 Þ x = - 4

Se comprueba con la sustitución de x = 1 y después de x = - 4 en la ecuación original.

El conjunto solución es {1, - 4}

b) Aplicación de la propiedad de la raíz cuadrada.

Si k ³ 0, entonces las soluciones de x² = k son x = ±

k x² = k

Si es mayor que cero Tiene dos soluciones reales Si es igual a

cero

Sólo existe una solución

Si es negativo No hay soluciones reales, sino imaginarias

Ejemplo 2: Resolver la ecuación x² = 24

Aplicando la propiedad de la raíz cuadrada se tiene que x

= ± = ± = ± 4 .

El conjunto solución es {4 , - 4 }

Ejemplo 3. Resolver x² = - 10

Como – 10 < 0, no hay raíces

reales, y el conjunto solución es el Æ.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación (x-2)² = 0

Aplicando la propiedad de la raíz cuadrada se tiene que x-2 = ± Þ x-2

= 0 Þ x = 2.

El conjunto solución es {2}

c) Fórmula cuadrática.

Se denomina fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

donde el símbolo ± indica que los valores y constituyen las dos soluciones.

La expresión b² – 4ac, el radicando de la fórmula cuadrática, se denomina discriminante de la ecuaciónax²+bx+c=0, con a ¹ 0. Si se evalúa, es posible determinar, sin tener que resolver la ecuación, el número y naturaleza de las soluciones de la ecuación. Suponiendo que a, b y c son enteros, entonces, la siguiente tabla muestra cómo puede usarse el discriminante para analizar las soluciones.

Discriminante Soluciones Positivo Dos soluciones reales y

diferentes

Cero Una sola solución real

(solución doble)

Negativo No existen soluciones reales Ejemplo 5. Resolver la ecuación 2x²–3x–2 =0

Se identifican los valores de a , b y c de acuerdo con la ecuación dada.

a = 2 , b = - 3 , c = 2 Se sustituyen en la fórmula cuadrática.

Las raíces son: ; ¡Compruébalo!

El conjunto solución es {1, }

Ejemplo 6. Resolver la ecuación (x+1)² – x = x² + x – 4 Desarrollando el producto notable del primer miembro queda x² + 2x +1 – x = x² + x – 4 x² + 2x – x - x² – x = - 4 -1

0 = - 5

Como el resultado 0 = -5 es falso, la ecuación no tiene solución. El conjunto solución es vacío.

Ejemplo 7. Resolver la ecuación .

Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el m.c.m (2,6) = 6, obteniéndose la ecuación x² – 3x = 18 (x-5) que es equivalente a la ecuación dada. Efectuando las operaciones indicadas e igualando a cero el segundo miembro de la ecuación, se tiene x² – 21 x+ 90 = 0. Para hallar las soluciones de la ecuación, se factoriza el polinomio y se aplica la propiedad del factor cero: x² – 21 x + 90 = 0 Þ (x-15)(x-6) = 0

x -15 = 0 Þ x= 15 o x - 6 = 0 Þ x=

6 ¡Compruébalo!

El conjunto solución es {6,15}

Ejemplo 8. Decida si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas.

Justifique su respuesta.

a) El discriminante de la ecuación es igual a 6.

Respuesta. Para resolver la ecuación se factorizan los denominadores de la expresión, se multiplica ambos miembros por el mínimo común múltiplo que es (x-1)(x-2) y se simplifica. Se obtiene x(x-2) = 7(x-1) – x.

Al efectuar los productos indicados e igualar a cero, resulta la ecuación x² – 8x - 7 = 0.

El discriminante de la ecuación x² – 8x - 7 = 0 es b²-4ac = (-8)² - 4(1)(-7)

= 64-28 = 36.

Por lo tanto la proposición es falsa.

b) El cuadrado de la diferencia de las raíces de la ecuación es múltiplo de 9.

Respuesta. Para resolver la ecuación se multiplica ambos miembros por el mínimo común

Múltiplo que es 6 y se simplifica. Se obtiene x² – 3x = 18(x-5). Al efectuar el producto indicado e igualar a cero, resulta la ecuación x² – 21x + 90 = 0.

Factorizando el primer miembro y aplicando la propiedad del factor cero, resulta:

Las raíces de la ecuación son x = 15 y x = 6 y el cuadrado de la diferencia es

(15-6)² = 81. Como 81 es múltiplo de 9, entonces la proposición es verdadera.

c) La ecuación x² -2x = -1 tiene dos soluciones reales y diferentes.

Respuesta. Para determinar el número y la naturaleza de las soluciones de la ecuación dada, basta con calcular su discriminante.

De la ecuación x² -2x +1= 0 se obtiene que

b² – 4ac = (-2)² – 4(1)(1) = 4 - 4=0, por lo tanto la ecuación tiene una solución real y la proposición es falsa.

6.1 Ecuaciones con radicales de índices dos.

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

1º Aislamos el radical:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.

La ecuación tiene por solución x = 4.

http://www.youtube.com/watch?v=WksaPj07ULk

Ejemplo:

Actividad en clases:

1.

2.

6.2 Ecuaciones bicuadráticas.

La forma de las ecuaciones bicuadráticas es ax⁴ + bx² + c = 0 entonces la diferencia en la fórmula será que en lugar de poner “x” usaremos “x²”, queda entonces:

Ejemplos:

1) 4x⁴ - 13x² + 3 = 0

aquí a=4, b=-13 y c=3;

apliquemos la fórmula

2) x⁴ - 17x² + 16 = 0

aquí a=1, b=-17 y c=16; apliquemos la fórmula

Actividad en clases

Siguiendo los pasos mostrados en los ejemplos anteriores, resuelve los siguientes ejercicios:

1) x⁴ - 5x² + 4 = 0 2) x⁴ - 13x² + 36 = 0 3) 9x⁴ - 46x² + 5 = 0 4) 4x⁴ +15x² – 4 = 0 5) x⁴ - 8x² + 7 = 0

Actividad extraclases o tarea Resuelve los siguientes ejercicios:

6) 16x⁴ + 7x² – 9 = 0 7) 9x⁴ - 10x² + 1 = 0 8) 4x⁴ - 37x² + 9 = 0

9) (x² + x)² – 8(x² + x) + 12 = 0 10) (x² – 2x)² – 11(x² – 2x) + 24 = 0

7. Ecuaciones cuadráticas literales

Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c... y las incógnitas con las letras finales x, y, z.

Ejemplo:

a + bx = dy

En este ejemplo las letras a, b, d, son cantidades conocidas, mientras que x e y, representan las incógnitas de la ecuación.

Otro ejemplo de este tipo de ecuaciones, lo podemos encontrar en fórmulas de perímetros, áreas, volúmenes, etc. donde se haga uso de literales.

Para resolver estas ecuaciones se aplican las mismas reglas que se utilizan en la resolución de ecuaciones ordinarias:

Primero, se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

Luego, se trasladan los términos, para agrupar en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro, los términos que no contienen la incógnita y por lo tanto son conocidos (aunque estén expresados con letras).

En un tercer paso, lo prudente es reducir los términos semejantes en los dos miembros, para que sea más fácil el manejo de la incógnita.

Se despeja la incógnita. Para poder despejar la incógnita, es útil recordar que en una igualdad podemos hacer operaciones iguales a los dos miembros, sin alterar la igualdad.

x + 3 = 10

Para despejar la incógnita "x", debemos restar 3 a cada miembro de la igualdad:

x + 3 – 3 = 10 – 3

Para que de esta forma, quede:

x = 7

Esta regla se aplica a cualquiera de las operaciones que afecten a la incógnita:

Ejemplos:

a) 5x = 8x –15

Lo primero que debemos hacer es colocar en un miembro todos los términos que contengan la incógnita, es decir, restemos 8x a los dos miembros, para obtener:

Al reducir términos semejantes, tendremos:

–3x = –15

Si multiplicamos los dos miembros por (–1), obtendremos:

(–3x)(–1) = (–15)(–1) 3x = 15

Si dividimos los dos miembros entre 3, nos resulta que:

x = 5 que es el único valor en que se cumple la igualdad

b) ax – ad + b –3c = bd

Comencemos por el lado derecho del primer miembro; sumemos 3c a cada uno de los miembros:

ax – ad + b – 3c + 3c = bd + 3c que es lo mismo que:

ax – ad + b = bd + 3c

Ahora, restemos "b" en cada uno de los miembros para obtener:

ax – ad + b – b = bd + 3c –b que es lo mismo que:

ax – ad = bd + 3c –b

Ahora, sumemos ad a cada miembro, para obtener:

ax – ad + ad = bd + 3c – b + ad que es lo mismo que:

ax = bd + 3c – b + ad

Ahora hay que dividir a cada miembro entre "a", para que la incógnita "x" quede despejada. Todos los términos conocidos deben quedar en el segundo miembro, mientras que en el primer miembro sólo debe quedar

la incógnita y, por lo tanto, se puede resolver fácilmente, si contamos con los valores de a, b, c y d.

En conclusión, para despejar una incógnita de una ecuación, debemos

"pasar" de un miembro a otro los términos que no contengan a la incógnita, haciendo la operación contraria.

http://www.youtube.com/watch?v=sAMd11z-dwg Actividad en clases:

1 2 3 4

Actividad extraclases o tarea:

5 6 7

8x² + (7 − x)² = 25

INDICE TERCER Y CUARTO PERIODO

8. Función logarítmica y función exponencial.

8.1 Función exponencial.

8.2 Representación gráfica de una función exponencial.

9. Función logarítmica.

9.1 Representación gráfica de una función logarítmica.

9.2 Propiedades de los logarítmicos.

10. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

10.1 Ecuaciones logarítmicas.

10.2 Ecuaciones exponenciales.

11. Sucesiones

11.1 sucesiones recursivas.

11.2 Sucesiones aritméticas.

11.3 Sucesiones geométricas.

12. Series.

12.1 Sumatoria.

6. Ángulos.

6.1 Angulo en posición normal o canónica de ángulos.

6.2 Medición de ángulos en el sistema sexagesimal.

6.3 Ángulos coterminales.

6.4 Ángulos especiales.

6.5 Medición de ángulos en el sistema cíclico o en radianes.

6.6 Longitud de arco.

6.7 Área de sector circular.

6.8 Movimiento circular.

7. Triángulos.

7.1 Clasificación de triangulo.

7.2 Propiedades de los triángulos.

7.3 Teorema de Pitágoras.

1. Función logarítmica y función exponencial.

1.1 Función exponencial: La función exponencial es de la forma y=a^x siendo a un número real positivo.

En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x.

El dominio son todos los reales y el recorrido son los reales positivos.

• Es continua.

• Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.

• Corta al eje OY en (0,1).

• El eje OX es asíntota.

• La función es inyectiva, esto es si a^m=aⁿ entonces m=n.

.

1.2 Representación gráfica de una función exponencial.

X y = 2^x

-3 1/8

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2

< 4

3 8

Ejemplo:

X y = (½)^x -3 8

-2 4 -1 2

0 1

1 1/2 2 1/4 3 1/8