3 Resolución de sistemas de ecuaciones

(1)

3 Resolución de sistemas de ecuaciones

Página 108

1. Resuelve por el método de sustitución.

a) x x

y y 4 3 2

9 8 + +

=

* = b) x

x y y 4 2

1 1 –

– + +

=

* = c) x

x y y 2 3

3 9

10 –

–

=

* = d) y

x y

2 5 3 4 0

+ = + =

*

a) x x

y y

y

y x

4

3 2

9

8 9 4

Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

– +

+

=

= 4 =

( )

·

8 8

x x x x x

y

3 2 9 4 8 3 18 8 8 2

9 4 2 9 8 1– –

– –

+ = + = =

= = = 4 Solución: x = 2, y = 1

b) x :

x y y

x

x y

4 2

1

1 4 1

–

Despejamos de la primera ecuación y sustituimos en la segunda –

+ +

=

= 4 =

·

8 8

y y y y

x

4 1 2 1 6 0 0

4 0 1 1

– –

+ = = =

= = ³ Solución: x = –1, y = 0

c) x x

y y

y

y x

2 3

3 9

10 3 10

– –

Despejamos de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

–

=

= 4 =

( )

·

8 8

x x x x x

y

2 3 3 10 9 2 9 30 9 3

3 3 10 9 10 1

– – –

– =– – + = =

= = = 4 Solución: x = 3, y = –1

d) ª

ª , .

: · 8 8

y

x y

y y

x x x

2 5

3 4 0

5 2 3

3 4 3 0 3 12 4

Despejamos de la 1. ecuación –

Sustituimos en la 2. ecuación – –

+ =

= =

+ = = =

4

Solución: x = – 4, y = 3

2. Resuelve aplicando el método de igualación.

a) x x

y y 5 3

4 4

– –

+ =

* = b) y x

x y3 2 1

2 4

= +

*

+ = c) x

x y y 5 2

3 3 – – + =

* = d) x

x y y 4 2

3 6

3 3 + +

=

* =

a) x x

y y 5 3

4 4

– –

+ =

= 4 Despejamos x de ambas ecuaciones e igualamos:

8 8

x = 4 –5y4 4 5– y=–4 3+ y 8 8= y y=14 Solución: x = –1, y = 1

(2)

b) y x x y3 2 1

2 4

= +

+ = Z

[

\ ]]

] Despejamos y de la segunda ecuación y la igualamos con la primera:

y = 4 – 2x

·

8 8 8

x x x x x x

y

3 2 1 4 2 3 1 8 4 7 7 1

4 2 1 4 2 2

– –

+ = + = = =

= = =

4

Solución: x = 1, y = 2

c) x x

y y 5 2

3 3

– –

+ =

= 4 Despejamos y de ambas ecuaciones e igualamos:

·

8 8

y x 8

y x x x x x

y 3 5

2 3 3 5 2 3 7 0 0

3 5 0 3

– – –

–

=

= + = + = =

= =

4 4 Solución: x = 0, y = 3

d) x x

y y 4 2

3 6

3 3 +

+

=

= 4 Despejamos x de cada ecuación e igualamos:

· ( / )

8 8 8

x y

y y y y y y

x 4 3 3

2 3 6

4 3 3

2

3 6 3 3 6 12 9 3 31

3 4

3 14 42

21 3 1 3

– –

– – – –

– –

=

= = = =

4 4

Solución: x = 21 , y = 31 3. Resuelve por reducción.

a) x x

y y

4 2 – + =

* = b) x

x y y 4 5

3 3

5 13 –

+ =

* = c) x

x y y 2 5

3 6

11 14 –

+

=

* = d) x

x y y 7 3

2 5

25 1

– –

+ =

* =

a) x x y

y 4 2 – + =

= 4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos el valor de x : 8

x 8x

y y

2 6 3

3 4 1

= =

+ = = 4 Solución: x = 3, y = 1 b) x

x y

y 4

5 3

3 5

13 –

+ =

= 4 Sumando ambas ecuaciones obtenemos el valor de x :

·

8

8 8 8

x x

y y y y

9 18 2

4 2 3 5 8 3 5 3 –3 –1

= =

+ = + = = = 4 Solución: x = 2, y = –1

(3)

c) x

x y

y 2

5 3

6 11 14 –

+ =

= 4 Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos:

4x – 6y = 22 5x + 6y = 14

·

8

8 8 8

x x

y y y y

y

9 36 4

2 4 3 11 8 3 11 3 3 1

6

– – – –

– = =

= = = = 4 Solución: x = 4, y = –1

d) x

x y

y 7

3 2

5 25 1 – = –

=

+ 4 Multiplicamos la primera ecuación por 5, la segunda por 2 y sumamos:

35x + 10y = 125 6x – 10y = –2

8

8 8

x x

y y y

y 123 341

41 123

7 3 2 25 2 4 2

10

·

– = = =

= = =

+

4

4. Representa gráficamente cada par de ecuaciones:

a) x x

y y 3 5

2 1 4 – +

=

* = b) x

x y y 2 3

3 5

13 21 –

–

=

* =

Resuelve los sistemas por alguno de los métodos algebraicos que conoces y comprueba que la solución coincide con el punto de corte del par de rectas.

a) x 8

x y

y x y

3 5

2 1

4 4 2

– Aplicamos el método de sustitución:

–

+ =

= 4 =

3(4 – 2y) – 5y = 1 → 12 – 6y – 5y = 1 → –11y = –11 → y = 1 Si y = 1 → x = 4 – 2 · 1 = 2

3x – 5y = 1 x + 2y = 4

b) x x

y y 2 3

3 5

13 21 –

–

=

= 4 Aplicamos reducción: xx y y 2 3

3 5

13 21 –

–

=

= 4 ⎯→^{· 3}

· (–2)

⎯→ x x

y y 6

6 9 10

39 42 –

–

– +

=

y = –3

x x

y y 2 3

3 5

13 21 –

–

=

= 4 ⎯→^{· 5}

· (–3)

⎯→ x x

y y 9

10 15

15

65 63 –

–

– +

=

x = 2

Solución: x = 2, y = –3 3x – 5y = 21

2x – 3y = 13

(4)

6 Resolución de problemas mediante sistemas

Página 111

1. La suma de dos números es 323, y su diferencia, 47. ¿Cuáles son esos números?

x → número mayor y → número menor

x x

y y

323 47 –

+ =

= 4 Sumando: xx y y

323 47 –

+ =

=

2x = 370 → x = 2370 = 185

x x

y y

323 47 –

+ =

= 4 ⎯→^{· (–1)} x

x y y

323 47 –

– – – =

=

–2y = –276 → y = 2276

–– = 138 Los números buscados son 185 y 138.

2. Tres kilos de peras y dos de naranjas cuestan 6,70 €; un kilo de peras y cinco de naranjas cuestan 7 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de naranjas?

8 , x 8

y x y

x y

3 2 6 70

5 7

precio de un kilo de peras

precio de un kilo de naranjas + =

+ =

4 4

Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera:

( ) , 8 , 8 , 8 ,

x y

y y y y y y

7 5

3 7 5– 2 6 70 21 15 2 6 70 13 14 30 1 1

– – – –

=

+ = 4 + = = =

x = 7 – 5 · 1,1 = 7 – 5,5 = 1,5

Solución: Un kilo de peras cuesta 1,50 €, y uno de naranjas, 1,10 €.

3. En un test de 50 preguntas se suman dos puntos por cada acierto y se resta medio punto por cada fallo. ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos dan un resultado de 65 puntos?

x = número de aciertos y = número de fallos

,

8 x y

x 50y x y

2 0 5 65 50

– –

+ =

= 4 =

Sustituyendo:

2(50 – y) – 0,5y = 65 → 100 – 2y – 0,5y = 65 → –2,5y = –35 → y = ,2535 –– = 14 Si y = 14 → x = 50 – 14 = 36

Tiene 36 aciertos y 14 fallos.

(5)

4. En un cine, tres entradas y dos bolsas de palomitas nos han costado 23 €. Si hubiera ve- nido también Andrea, habrían sido una entrada y una bolsa de palomitas más, y habría- mos pagado 31,50 €. ¿Cuánto cuesta cada entrada y cada bolsa de palomitas?

x = precio de una entrada (€) y = precio de unas palomitas (€)

x y

3 +2 =23

, 8

8

x y

23 23 4 31 50 3

– –

=

= ,

x y

4 +3 =31 50 Igualamos las variables:

,

y y

3 23 2

4 31 50 3

– = – → 4(23 – 2y) = 3(31,50 – 3y) → 92 – 8y = 94,50 – 9y → → 9y – 8y = 94,50 – 9y → y = 2,50

Si y = 2,50 → x = · , 23 2 2 503

23 53 183

– = – = = 6

La entrada de cine cuesta 6 €. Las palomitas cuestan 2,50 €.

5. Un empresario aceitero ha envasado 10 000 litros de aceite en 12 000 botellas, unas de litro y otras de tres cuartos de litro. ¿Cuántas botellas de cada clase ha utilizado?

x = número de botellas de 1 l que ha usado.

y = número de botellas de 3/4 l que ha usado.

8 x=12 000 – y x y

x y

12 000 43 10 000 + =

+ =

4

Sustituimos:

12 000 – y + 43 y = 10 000 → 12 000 – 10 000 = y4 → y

4 = 2 000 → y = 8 000 Si y = 8 000 → x = 12 000 – 8 000 = 4 000

Usó 4 000 botellas de 1 l y 8 000 botellas de 3/4 l.

6. Dos números se diferencian en 35 unidades. Si al mayor se le resta la quinta parte del menor, se obtiene la misma cantidad que si al menor se le suma la quinta parte del ma- yor. ¿Qué números son?

x = número mayor y = número menor

x y

x y y x

35

5 5

– –

=

= +

4

^→^{x y}₅_{x y}^–_– ⁼₌³⁵₅_{y x}₊ ⁴ ⁸ ^{x y}₄_x^–₌₆⁼_y³⁵⁴ ⁸ ₂^{x y}_x^–₌₃⁼_y³⁵⁴ ⁸ ^x⁼³⁵⁺ ^y

Sustituimos:

2(35 + y) = 3y → 70 + 2y = 3y → 70 = y

(6)

c) x + y = 2 3x + 3y = 6

x y

0 2

2 0

x y

1 1

3 –1

Se trata de la misma recta → El sistema tiene infinitas soluciones. ^–2

(0, 2) (1, 1)

(2, 0) (3, –1)

–2 2

2

d) 3x + y = 2 x – y = –2

x y

0 2

–1 5

x y –2 0

1 3

El sistema tiene solución única x = 0, y = 2, punto de corte de ambas rectas.

–2

(0, 2)(1, 3)x – y = –2

3x + y = 2 (–2, 0)

(–1, 5)

2

6. Dada la ecuación x + 3y = 1, busca otra ecuación que forme con ella un sistema cuya única solución sea x = –2, y = 1. Busca también otra ecuación que forme con ella un sistema incompatible y otra que forme con ella un sistema indeterminado.

x x

y y 2

3 1

3 – + +

=

= 4 Es un sistema que tiene como solución x = –2, y = 1.

x

x y

y

2 3

6 1

1 – +

+ =

= 4 Es un sistema que no tiene solución, es incompatible. –2x – 6y = –2 2x + 6y = –1 0 = –3

x y

3 1 3 3 31

+ =

4

Es un sistema que tiene infinitas soluciones, es indeterminado (la 2.ª ecuación es la tercera parte de la primera).

7. Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:

a) x x

y y 3 4

5 5

1 –

– +

=

* = b) x

x y y 8 7

6 15

5 –

– +

=

* = c) x

x y y 2 3

5 1

7 –

– + =

* = d) x

x y y 3 5

2 4

2 7 – +

=

* = a) x

x y y 3 4

5 5

1 –

– +

=

= 4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: y = –1 – 4x

( )

· ,

8 8 8

x x x x x x

y x y

3 5 1 4 5 3 5 20 5 23 0 0

1 4 0 1 0 1

– – –

– – – Solución:

–

= + + = = =

= = 4 = =

b) x x

y y

8 7

6 15

5 –

– +

=

= 4 Despejamos x de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: x = –5 – 6y

( )

· ( )

8 8

y y y y

x

8 5 6 7 15 55 55 1

5 6 1 5 6 1

– – – – –

– – – = – = =

= = + = 4 Solución: x = 1, y = –1

(7)

c) x

x y

y 2

3 5 1

7

– –

+ =

= 4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y sustituimos en la 1.ª: y = 3x – 7

( )

· ,

8 8 8

x x x x x x

y x y

2 5 3 7 1 2 15 35 1 17 34 2

3 2 7 6 7 1 2 1

– – – –

– – –

Solución:

–

+ = + = = =

= = = 4 = =

d) x

x y

y 3

5 2

4 2

7 –

+ =

= 4 Despejamos y de la 1.ª ecuación y sustituimos en la 2.ª: y = x3 2–2

·

· ,

8 8

x x

y

x x x

x y

5 4 3 2 2

3 1 22 21

7 5 6 4 7 1

1 21 –

–

Solución:

+

= =

= + = =

= =

c m

4

8. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

a) y x y x

2 3 23

– –

=

*

= ^b)^*⁵₂^x_x^{+ =}_–^y_y₌_–⁸₁

c) x x

y y 6 3

2 1 –

– + =

* = d) x

x y y 4 3

5 2

2 10

– –

+

=

* =

a) y x 8 8 8

y x2 3 x x x x x x

2–3 2 3 23 4 6 3 3 3 1

– – – – –

=

4

= = = =

y = 2 · 1 – 3 = –1 Solución: x = 1, y = –1

b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos:

·

8 8

y x 8

y x

x x x x

y 8 5

2 1

8 5 2 1 7 7 1

2 1 1 3

– –

=

= +

= + = =

= + =

4

c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:

/

· ( / )

8 8 8

x y

x y y y y y

x 2 6

1 3 2 6 1 3 3 9 1 3

2 6 1 3 2 2 0

– – – – – –

– – – –

=

= + = + = =

= = + =

4

Solución: x = 0, y = – 31

d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:

( ) ( )

·

8 8

x y 8

x y x

y y y y y y

4

5 2

3

10 2 48 2

4

5 2

3

10 2 3 5 2 4 10 2 23 46 2

5 2 24 –

–

– – – –

–

=

= = = =

4

(8)

9. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

a) x x

y y 3 5

2 2

4 4 – + =

* = b) x

x y y 2 4

5 3

11 4

– –

+ =

* = c) x

x y y 3

6 5

4 11 –

– + =

* = d) x

x y y 5 10

2 3

3 1 –

– +

=

* =

a) · /

8

8 8

x

x y

y

x x

y y y

3

5 2

2 4

4

8 8 1

3 1 2 4 2 1 1 2

–

Sumando ambas ecuaciones obtenemos

+ =

=

= =

+ = = =

4 4

Solución: x = 1, y = 21 b) x

x y

y 2

4 5

3 11

4

– –

+ =

= 4 ⎯→^{· (–2)} x

x y

y 4

4 10

3 22

4

– –

–

=

–13y = –26 → y = 2

2x + 5 · 2 = 11 → 2x = 1 → x = 21 Solución: x = 21 , y = 2

c) x

x y

y 4

3 6

5 11

– –

+ =

= 4 ⎯→^{· (–3)} x

x y

y

3 1

3 8

5 12 11 – –

– =

=

–23y = 23 → y = –1

x + 6 · (–1) = – 4 → x = 2 Solución: x = 2, y = –1

d) y

y x x 5 10

2 3

3 1 –

–

=

+ 4 ⎯→^{· (–2)}

x x

y y 10 10

4 3

6 1

– –

–

=

= + +

7y = –7 → y = –1

5x – 2 · (–1) = 3 → 5x + 2 = 3 → x = 51 Solución: x = 51 , y = –1

10. Resuelve por el método que consideres más adecuado:

a) x y y

7 6 2 5 3 + =

* + = b) x

x y y 5 4

3 2

1 14 –

+

=

* = c) ( )

( )

x y

3 2 7

2 1 0 + = + + + =

*

d) + =3 ( ) x y

x y 3 2 2 + =16 Z

[

\ ]]

] e) x y

y x

4 3 2 21 3 152

– –

= +

*

= ^{f )} ^{= +}^y ⁴

x

x y

2 7

2 5

3 10 –

– +

= Z [

\ ]] ]]

a) x y y

7 6 2

5 3

+ =

+ = 4 Despejamos y de la 2.ª ecuación y la sustituimos en la 1.ª: y = –2 7x + 6 · (–2) = 2 → 7x – 12 = 2 → 7x = 14 → x = 2

Solución: x = 2, y = –2