Instituto Politécnico Nacional
Escuela superior de ingeniería mecánica
Y Eléctrica Culhuacan
Propiedades Electrónicas y Ópticas de Nanoestructuras de Silicio.
T E S I S
Que para obtener el grado de
Maestro en ciencias de ingeniería en microelectrónica Presenta:
David Guzmán Ramirez.
Asesor: Dr. Miguel Cruz Irisson.
Resumen
Los descubrimientos en torno a las propiedades de fotoluminiscencia de materiales nanoestructurados, así como el interés en la creación y optimización de los dispositivos electrónicos, ha motivado grandes esfuerzos en la actual investigación teórica y experimental sobre nanoestructuras de silicio hacia aplicaciones únicas en dispositivos electrónicos y opto- electrónicos. El efecto del confinamiento cuántico de portadores fotoexcitados en nanocristales ha sido propuesto como el principal responsable de la luminiscencia de estos materiales.
En esta tesis se reportan los estados electrónicos resultantes del efecto del confinamiento cuántico de diferentes nanoestructuras de silicio usando una aproximación semiempírica de amarre fuerte considerando cinco orbitales atómicos sp3s* y un modelo de superceldas. Los modelos de nanocristales de silicio estudiados son columnas cuadradas cuyo ancho mide de a a 7a, donde a es la constante de red. Las columnas de silicio cristalino están orientadas en la dirección [001]. Con el fin de simular nanoalambres, los enlaces sueltos de las superficies de las columnas se saturan con átomos de hidrógeno. Los resultados muestran una fuerte dependencia de la brecha de energía con el confinamiento cuántico de las columnas de silicio, concordando con las observaciones experimentales. Además, se muestra el cálculo de las propiedades de transición ópticas de uno de los nanoalambres investigados. Para estudiar la dependencia de la parte imaginaria de la función dieléctrica con el confinamiento cuántico a través de dos esquemas diferentes, los cuales son comparados. Dicho cálculo se hace para luz polarizada en la dirección [100], i.e., perpendicular a la alineación del alambre.
Abstract.
The discoveries about the photoluminescence properties of nanostructured materials, as well as the interest in the creation and optimization of electronic devices, have been reasons of big efforts in the current theoretical and experimental investigation of silicon nanostructures to singular applications on electronic and opto-electronic devices. The quantum confinement effect of photoexcited carriers within nanocrystallites was proposed to be the main responsible for visible luminescence from these materials.
In this thesis, the electronic states resulted from quantum size effect for various Si nanocrystals are studied by a five atomic orbital sp3s* semiempirical tight binding approximation and using a supper cell model. The silicon nanocrystal models studied are columns of square cross-section whose width goes from a to 7a, where a is the lattice constant. The columns are oriented in the [001] direction. In order to simulate nanowires, hydrogen atoms are used saturating all the dangling bonds on the surfaces of the columns. The results show a strong dependence between the semiconducting gap and the quantum size in agreement with experimental results. Moreover, a calculation of the optical transition for a nanowire is presented to show the dependence of the imaginary part of the dielectric function on the quantum confinement within two deferent schemes, which are applied and compared. This calculation have been carried out for polarized light in the [100] direction, i.e., perpendicular to the wire alignment.
Introducción_____________________________________________________________ 3 Nanoestructuras Y CONFINAMIENTO Cuántico______________________________ 4 1.2. Confinamiento cuántico ____________________________________________________ 6
1.2.1. Partícula en una caja. ___________________________________________________________ 7 1.3. Nanoestructuras _________________________________________________________ 17 1.3.1. Nanoestructuras y la electrónica actual.____________________________________________ 17 1.3.1.1. Dispositivos nanométricos. _________________________________________________ 21
Elementos de física del estado sólido y aplicaciones al estudio del Silicio Cristalino. __ 24 2. 1. Presentación. ___________________________________________________________ 25 2.2. estado sólido. ____________________________________________________________ 26
2.3. Cristales. _______________________________________________________________ 27 2.3.1. Notaciones. _________________________________________________________________ 35 2.4. El silicio cristalino y la mecánica cuántica.____________________________________ 38 2.4.1. Hamiltoniano aproximado de un cristal. ___________________________________________ 51 2.5. Teoría de bandas. ________________________________________________________ 54 2.5.1. Funciones de Bloch.___________________________________________________________ 55 2.5.2. Red recíproca. _______________________________________________________________ 56 Funciones de Bloch (…Continuación) _________________________________________________ 60 2.5.3. Estructura electrónica de bandas._________________________________________________ 63 2.5.4. Modelo de amarre fuerte semiempírico a primeros vecinos para el análisis electrónico del silicio cristalino. ________________________________________________________________________ 66 2.7. Transiciones interbandas y propiedades ópticas _______________________________ 83 2.7.1. Constantes ópticas ____________________________________________________________ 88
Propiedades Electrónicas y Ópticas De Nanoestructuras de silicio ______________________ 91 3.2. Modelo de superceldas ____________________________________________________ 93 3.3. Silicio cristalino tridimensional y Silicio cristalino unidimensional. _______________ 99
3.4. Propiedades electrónicas y ópticas de Nanoalambres de silicio.__________________ 114 3.4.1. Propiedades ópticas __________________________________________________________ 123
4. Conclusiones. ________________________________________________________ 132
5. REFERENCIAS _____________________________________________________ 133 Apéndice A. El átomo de hidrógeno ________________________________________ 137 Apéndice B. Redes de Bravais _____________________________________________ 142 Apéndice C. Notación de Dirac ____________________________________________ 144
Introducción
“Propiedades electrónicas y ópticas de nanoestructuras de silicio” es un trabajo de tesis guiado al análisis teórico de novedosos materiales altamente prometedores para la industria electrónica y de semiconductores. La tendencia natural de la electrónica, hacia la miniaturización de sus dispositivos, no podrá continuar por mucho tiempo sin que ello provoque modificaciones esenciales en el funcionamiento de los mismos. Asirse al estudio del mundo atómico, comprendido únicamente por la mecánica cuántica, podrá ser la única salida a tal escollo que enfrenta la electrónica moderna. Este rubro, plantea la posibilidad de desarrollar materiales que serán la base de circuitos electrónicos cientos de veces más pequeños y con mejores prestaciones de las que ofrece la microelectrónica actual. La ciencia y tecnología actuales, se preparan al surgimiento de lo que es sin duda, la próxima etapa de miniaturización en la electrónica, a la que se ha llamado nanoelectrónica o incluso también electrónica molecular, basada en una manera bien distinta de comprender la física, ya que se desarrolla en una física que escapa al sentido común.
Entre las estructuras de tamaño exiguo más representativas en la concepción de esta nueva electrónica, las nanoestructuras semiconductoras como los nanoalmbres de silicio, que además de presentar características electrónicas deseables, incorporan importantes propiedades ópticas, han sido empleados ya en la formación de un gran número de nanodispositivos. Sin embargo, el gran reto, es la integración e interconexión estructural de nanoestructuras y nanodispositivos, salvaguardando sus cualidades ópticas y electrónicas en un sólo chip.
En este trabajo demostraremos con un modelo teórico, cómo los nanoalambres de silicio además de presentar características electrónicas importantes, presentan propiedades ópticas genuinas, que sin duda alguna serán de gran utilidad en esta era de nuevos dispositivos. En el primer capítulo estudiaremos el así llamado efecto de confinamiento cuántico, presente como uno de los límites inevitables en el proceso de escalamiento en la microelectrónica. Contemplaremos también un panorama general en torno al estudio de las nanoestructuras y sus implicaciones tecnológicas principalmente en torno a la electrónica actual. En el segundo capítulo, revisaremos las características esenciales del silicio cristalino por medio de la física del estado sólido. Y en el capítulo final, se resumen el modelo y los resultados obtenidos en torno a las propiedades electrónicas, y ópticas de ciertos nanoalambres de silicio. Haremos también una evaluación de las características del ancho de la brecha de energía prohibida en función del ancho de los alambres tomando como referencia la del silicio cristalino. El análisis electrónico se hace con un modelo semiempírico de amarre fuerte a primeros vecinos, con una base de cinco orbitales atómicos (sp3s*). Mientras que para la parte óptica se emplean dos aproximaciones para el cálculo de la parte imaginaria de la función dieléctrica.
Nanoestructuras
Y CONFINAMIENTO
CUANTICO.
“…pueden formar cuerpos de toda especie… Móviles por naturaleza, estos átomos están en movimiento durante toda la eternidad…”
EPICURO.
1.1. Presentación
Los circuitos integrados basados en silicio han experimentado un enorme crecimiento desde la implementación del primer transistor de efecto de campo metal-oxido-semiconductor (MOSFET) de propósito general en 1964, hasta nuestros días con la generación de transistores de tecnología de 0.13 micras, incluyendo más de 40 millones de transistores en un solo chip. Sin embargo, cuando la miniaturización de la microelectrónica alcance su inevitable final, debemos prepararnos para el salto hacia la electrónica de las nanoestructuras.
Las nanoestructuras o sistemas de dimensiones reducidas (SDR), han sido amplia e intensamente estudiadas en las últimas décadas, dado que el uso de estos materiales vislumbra muchas e increíbles formas de ver el futuro no sólo de la electrónica sino también de otras áreas de la ciencia como la química y la biología.
En el presente capítulo analizaremos el modelo cuántico de una partícula en una caja, que permitirá mostrar el fenómeno de confinamiento cuántico como uno de los principales limitantes en la miniaturización. Veremos que tal confinamiento puede estar presente en una, dos o incluso en las tres direcciones espaciales, hecho que determina los distintos tipos de nano- estructuras llamadas por tal motivo, sistemas bi-, uni- o cero dimensionales conocidos también como pozos, alambres y puntos cuánticos respectivamente.
Veremos de manera breve, algunas características relacionadas a los procesos actuales de fabricación de nanoestructuras y sus implicaciones tecnológicas.
Daremos también un vistazo a algunas de las aplicaciones actuales de nanoalambres semiconductores en la industria electrónica.
1.2. Confinamiento cuántico
La palabra confinar tiene varias acepciones: Restringir, limitar, encerrar, privar de la libertad, detener el movimiento; cuando ciertas reglas nos son impuestas, podemos suponer que hemos quedado confinados a ellas; cuando privamos de su libertad a los pajaritos para someterlos en jaulas, éstos han quedado confinados a las rejas; cuando amarramos a nuestro perrito para domar sus quimeras y destrozos, éste ha quedado confinado por su benévola correa. Cuando hablamos de confinamiento cuántico, se entendería que estas mismas acepciones de confinamiento se aplican, sólo que ahora no sobre personas, ni pajaritos, ni tampoco perritos, sino más bien, sobre entelequias del así llamado mundo cuántico;
partículas elementales, electrones, etc. Sin embargo, no es posible establecer una analogía completa, puesto que estos últimos personajes se revelan a las leyes establecidas clásicamente, escapando al sentido común. Es algo así, como hablar de atrapar el canto de los pajaritos o los aullidos del perrito de nuestros ejemplos anteriores. Es por esto que al hablar de confinamiento cuántico, debemos “confinarnos” a nuevas leyes de la física y prepararnos para sus nuevos alcances.
Según la naturaleza ondulatoria de la materia, el movimiento de todo tipo de corpúsculo tiene asociada una propagación ondulatoria. Si el ancho de confinamiento, es decir, el espacio con el que cuenta el corpúsculo para moverse, es comparable con la longitud de onda de su onda asociada, llamada onda de De Broglie, entonces, aparece completamente una nueva clase de fenómeno de la física, conocido como efecto de confinamiento cuántico.
Los entes confinados en estas dimensiones que resultan de mayor interés en el análisis electrónico, son los así llamados portadores de carga, que pueden ser portadores con carga negativa (electrones) o positiva (huecos). Y es en estos ambientes, cuando las leyes de la mecánica cuántica se hacen notables; este fenómeno altera drásticamente la mayoría de las propiedades en un sistema, pues altera su espectro energético, quedando anuladas las leyes clásicas para explicar su comportamiento. El exhibir estados discretos de energía llamados estados ligados y la probabilidad de atravesar barreras (principio del así llamado efecto túnel), son algunas de las características del comportamiento habitual de estas partículas.
El confinamiento cuántico lo podemos estudiar analizando el caso más sencillo de una partícula en una caja.
1.2.1. Partícula en una caja.
Vamos a estudiar por medio de la mecánica ondulatoria o mecánica cuántica, el sistema de una partícula en una caja de potencial.
Figura 1. Representación de un potencial infinito.
Supondremos que se trata de una caja de paredes impenetrables. La Figura 1 representa un pozo de potencial infinito.
Las paredes representan una energía potencial. Dentro de la caja la energía potencial es cero y la partícula puede moverse libremente, y en los bordes esta se eleva abruptamente al infinito.
El potencial de la caja esta está dado por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉
∉
∉
∞
∈
∈
= ∈
z y
x
z y
x
L z L y L x
L z L y L z x
y x
V , 0, , 0, , 0,
, 0 , , 0 , , 0 ,
0 ,
, 1
Para describir la evolución de un sistema cuántico usamos la ecuación de Schrödinger, que escrita de forma completa y en tres dimensiones tenemos:
( ) ( ) (
x y z t)
t t i
z y x z y x V t z y
m x, , , ( , , ) , , , , , ,
2
2
2 Ψ
∂
− ∂
= Ψ
+ Ψ
∇
− h h 2
donde hes la constante de Planck dividida entre 2π y el hamiltoniano del sistema queda determinado por el operador:
m V H =− 2 ∇2 +
2
h 3
Si el hamiltoniano H es independiente del tiempo, podemos separar la ecuación de Schrödinger en parte espacial y temporal usando la técnica de separación de variables.
Escribiendo
(
x,y,z,t)
=ψ(
x,y,z) ( )
ψ tΨ , 4
se encuentra que las soluciones tienen la forma estacionaria:
iEt
e−h
=
Ψ ψ , 5
donde E es una constante de separación y ψ es una función de onda independiente del tiempo que es la solución a la ecuación:
ψ
ψ E
H = 6
llamada ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Siendo también una ecuación de valores propios, donde E y ψ son los eigenvalores y las eigenfunciones del operador H respectivamente.
Haciendo mE
k 2
2 2
= h podemos escribir la ecuación 6 correspondiente al interior de la caja en la forma:
(
, ,)
2(
, ,)
02 + =
∇ ψ x y z k ψ x y z . 7
Si la funciónψ(x,y,z)es una función producto de la forma:
) ( ) ( ) ( ) , ,
(x y z ψx xψy yψz z
ψ = , las soluciones de 7 son:
z ik z
y ik y
x ik x
z y x
e z
e y
e x
±
±
±
=
=
=
) (
) (
) (
ψ ψ ψ
8
o bien, ya que k es real,
) cos(
) ( sen )
(
) cos(
) ( sen )
(
) cos(
) ( sen )
(
z k B z k A z
y k B y k A y
x k B x k A x
z z
z
y y
y
x x
x
+
=
+
=
+
= ψ ψ ψ
9
donde kx, ky y kz son constantes, y cumplen la relación:
2 2 2
2 k k k
kx + y + z = 10
Dado que en la caja de potencial infinito a la partícula le es imposible escapar, la solución fuera de la caja es
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
≤
≥
≤
≥
≤
=
z y x
L z z
L y
L x x
, 0 si
, 0 y si
, 0 si r 0
ψ , 11
Aplicando 11 en 9 se llega a que:
) ( sen ) ( sen ) ( sen )
( ) ( ) ( ) , ,
(x y z =ψx xψy yψz z = A kxx kyy kzz
ψ 12
donde
z z z y y y x x
x L
k n L k n L
k n π π π
=
=
= ; ; , 13
Por lo tanto
( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + +
= + +
= 2 22 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 z
z y y x x z
y
x L
n L n L n k m
k m k
E h h π π π
14
y considerando que las distancias en las tres direcciones son iguales a L tenemos:
(
2 2 2)
2 2 2
2 nx ny nz E = hmLπ + +
15
Es así que las partículas ligadas a una caja (los electrones ligados a un átomo por ejemplo) sólo pueden realizar transiciones discretas, esto es, sólo pueden tomar valores de energía entre estados característicos definidos por nx, ny y nz.
Con esto acabamos de confirmar que el espectro de energía para estados confinados es discreto. Los valores de energía representan los niveles de energía del sistema permitidos.
Un resultado importante a tener en cuenta de esta solución tridimensional es que existe un número cuántico para cada dimensión del problema. En el caso unidimensional, es necesario un número cuántico, mientras que en tres dimensiones, la función de onda depende de tres números cuánticos nx, ny, nz.
La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud, así que se define la cantidad ρ = Ψ
( )
r 2que es igual a ψ( )
r 2y por tanto estacionaria, como la densidad de probabilidad o la probabilidad por unidad de volumen (en este caso), de encontrar la partícula en el punto (x, y, z). Esto es todo lo que se puede decir acerca de la posición de la partícula.La probabilidad de encontrar la partícula dentro de la caja de potencial es cierta o 1 (la partícula debe encontrarse en algún lugar de la caja), y por lo tanto podemos escribir:
( ) ( )
1* =
∫
cajaψ rψ r dτ 16a lo que le llamamos condición de normalización para ψ
( )
r . 2 1 )( sen ) ( sen ) ( sen
3 2 2
2 2 2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
∫∫∫
A k x k y k z dxdydz A Lcaja
z y
x 17
De este modo la constante de normalización es 2
3
2 ⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
A L , y por consiguiente
( ) ( )
k x( )
k y( )
k z L sen x sen y sen z 2 23
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
ψ r 18
siendo nula fuera de la caja.
El estado base del sistema corresponde al estado de mínima energía; en este caso es el estado con nx =ny =nz =1, 2
2 2
111 2
3 E = πmLh
estando los electrones distribuidos de la siguiente forma:
( ) ( )
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
=
= z
y L x L
L L
π π
ψ π ψ ψ
ρ 2 2 2
3
2 2 sen sen sen
* r r 19
que tiene su máximo en el centro de la caja. Los estados excitados ψn,n>1 poseen nodos, puntos en donde la densidad de electrones es nula, por lo que los electrones tienden a concentrarse en las zonas entre ellos. A cada nuevo estado excitado, es decir de mayor energía, corresponde un nodo adicional de la función de la onda; el estado base es el único estado sin nodos dentro de la región de definición de las funciones de onda.
Dependiendo de las combinaciones de los números cuánticos en 15, podríamos tener el mismo valor de energía. Esto quiere decir que existen estados con diferentes números cuánticos que tienen la misma energía, por ejemplo ψ211,ψ121,ψ112 son estados con la misma energía asociada o eigenfunciones con el mismo eigenvalor. Cuando dos o más eigenfunciones representan a estados con igual energía, se dice que tenemos un eigenvalor degenerado. El grado de degeneración de un eigenvalor o valor propio de energía está dado por el número de estados o eigenfunciones que tiene asociados.
A continuación veremos los estados y las densidades de probabilidad para algunos niveles de energía para una caja bidimensional, esto es, para
( )
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ y
L x n
L
A nxπ yπ
ψ r sen sen , 20
Donde, en este caso, A = 2/L ya que se evalúa la integral de normalización doble:
2 1 )
( sen ) ( sen
2 2
nal bidimensio
caja
2 2 1 2 2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
∫∫
A k x k y dxdy A L 21Y los electrones se encuentran distribuidos en la caja con la densidad:
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
=
= y
L x n
L n L
xπ yπ
ψ ψ ψ
ρ 2 2
2
2 2 sen sen
* r r
r 22
Como primer ejemplo tomemos el estado del nivel de energía no degenerado E11, esto es
con nx = ny = 1. Obsérvese que debido a la repulsión infinita de los electrones por las paredes de la caja, no se encuentran electrones (densidad de probabilidad cero) en ellas.
nx = 1 y ny = 1
a) b)
FFFiiiggguuurrraaa 222...aaa)))EEEiiigggeeennnfffuuunnnccciiióóónnnpppaaarrraaaeeellleeessstttaaadddooobbbaaassseeepppaaarrraaauuunnnaaapppaaarrrtttííícccuuulllaaaeeennnuuunnnaaa cccaaajjjaaabbbiiidddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll yyybbb)))dddeeennnsssiiidddaaaddddddeeeppprrrooobbbaaabbbiiillliiidddaaadddcccooorrrrrreeessspppooonnndddiiieeennnttteee...LLLaaasss
pppaaarrrttteeesssmmmááásssllluuummmiiinnnooosssaaasssrrreeeppprrreeessseeennntttaaannnmmmaaayyyooorrrdddeeennnsssiiidddaaaddddddeeeeeellleeeccctttrrrooonnneeesss...
Y ahora pasemos a un caso degenerado. E12 = E21, esto es con nx = 1 y ny = 2 (con un nodo en y) y nx = 2 y ny = 1 (con un nodo en x). Las dos eigenfunciones correspondientes a este nivel de energía se ilustran en la Figura 3.
nx = 1 y ny = 2
nx = 2 y ny = 1
FFFiiiggguuurrraaa 333...FFFuuunnnccciiiooonnneeesssdddeeeooonnndddaaayyydddeeennnsssiiidddaaadddeeesssdddeeeppprrrooobbbaaabbbiiillliiidddaaaddddddeeeuuunnnaaa pppaaarrrtttííícccuuulllaa aeeennnuuunnnaaacccaaajjjaaabbbiiidddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaallleeennneeellleeeiiigggeeennnvvvaaalllooorrrdddeeegggeeennneeerrraaadddoooEEE111222===EEE221211...
De 20 y 22 vemos que la amplitud de la función de onda y la densidad de probabilidad varían de forma inversamente proporcional a L y L2 respectivamente. Si L crece, es decir, si la caja aumenta de tamaño, la función de onda y la probabilidad de encontrar la partícula, disminuyen en amplitud. Por el contrario, mientras más pequeña sea la caja, o sea L, mayor es la probabilidad de localizar a la partícula.
El efecto del tamaño de la caja altera la distribución de los niveles de energía permitidos del sistema. Para el caso bidimensional el estado de mínima energía es:
2 2 2
E hmLπ
= 23
Los primeros cuatro niveles de energía no degenerados tienen la relación siguiente:
2 2 2 2 4
2 2 2 3
2 2 2 2
2 2 1
; 16
; 9
; 4
E mL E mL
E mL
E hmLπ h π h π h π
=
=
=
= , 24
ó en términos del estado base: E2 =4E1; E3 =9E1; E4 =16E1
Al aumentar el confinamiento, es decir, al reducir el tamaño de la caja, la separación de un nivel de energía con respecto al siguiente se hace más notoria. En la Figura 4 observamos estos cuatro niveles de energía para diferentes valores de L. Conforme L se acerca a cero, la separación entre ellos es más drástica.
FFFiiiggguuurrraaa 444...EEEfffeeeccctttooodddee ec fccooonnnffiiinnnaaammmiiieeennntttooocccuuuááánnntttiiicccoooeeennnlllosoosscccuuuaaatttrrroooppprrriiimmmeeerrrooosssnnniiivvveeellleeesss dddeeeeeennneeerrrgggíííaaannnooodddeeegggeeennneeerrraaadddooossspppaaarrraaauuunnnaaapppaaarrrtttííícccuuulllaaaeeennnuuunnnaaacccaaajjjaaabbbiiidddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll...
La cuantización de la energía es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia cuyos efectos se hacen más notorios mientras más nos acercamos a dimensiones atómicas. Vemos que la ecuación 7 representa también el caso de las vibraciones estacionarias de una cuerda, en ésta analogía, ψ representa la deformación local instantánea de la cuerda fija rígidamente en sus extremos (Ec. 11) y representa el número de onda,
k2
2 2 2
k ωv
= , donde v es la velocidad de propagación de la onda. Así que la
condición 13 es una condición sobre el número de onda. Es decir que solo existen soluciones estacionarias de la cuerda para ciertos valores de k.
Un ejemplo de sistema de confinamiento cuántico es el átomo mismo. El átomo es la parte más pequeña y eléctricamente neutra de la materia. Un átomo tiene una dimensión total del orden de 10-9m. Cualquier elemento químico está compuesto por un determinado tipo de átomo; todos los compuestos están formados por elementos químicos. Cada átomo esta definido por dos números: El número atómico, que es el número de protones, partículas con carga eléctrica positiva que aparecen en el núcleo cuyas dimensiones son del orden de 10-14m. En condiciones normales, el número de protones será igual al de electrones, partículas con carga eléctrica negativa que rodean al núcleo ocupando la mayor parte del volumen atómico; El número másico, o número de nucleones, que es el total de partículas del núcleo, es decir, el total de protones y neutrones, partículas sin carga eléctrica. En la actualidad, se conocen 106 elementos químicos diferentes, pero se han reconocido más de 2,500 núcleos atómicos diferentes. Esto debido a los isótopos. Se llaman isótopos a dos átomos que poseen el mismo número atómico (mismo número de protones) y, por tanto, pertenecen al mismo elemento químico, pero distinto número másico lo que significa que tienen diferente número de neutrones.
El confinamiento al que están sometidos los electrones en un átomo se produce debido a las fuerzas de interacción de las partículas. El núcleo atrae los electrones y no deja que escapen. Los electrones más cercanos están más fuertemente influenciados por esta fuerza, siendo los más alejados más débilmente atraídos y más susceptibles de abandonar el átomo.
La estructura de cada tipo de material, está descrita por la estructura electrónica de los átomos componentes, la cual indica el número de electrones disponible para los enlaces. En un arreglo de átomos como un sólido, los electrones más libres son los responsables de la conductividad eléctrica y térmica. Los metales por ejemplo, son elementos que tienen energías de ionización relativamente pequeñas, es decir que se requiere de poca energía para dejar a un átomo cargado eléctricamente ya que sus átomos sólo tienen unos pocos electrones débilmente ligados en sus capas incompletas más externas. Estos electrones débilmente confinados son fácilmente puestos en libertad de modo que los metales tienen un arreglo compuesto de los iones positivos esféricamente simétricos que se forman cuando
los electrones más externos quedan en libertad. Dentro de esta estructura existe una especie de “gas electrónico” formado por los electrones liberados. Estos electrones se mueven más o menos libremente por el metal y por lo tanto se dice que no están localizados.
El movimiento de los electrones en un material, o más genéricamente, de los portadores, puede ser coartado de diferentes maneras. Rodear las estructuras sólidas por vacío, o por materiales específicos, son formas de crear cajas de confinamiento de dichos portadores. El estudio de los sistemas de confinamiento cuántico en semiconductores (materiales como el silicio, en los que se pueden manipular su estado de conducción eléctrica mediante dopantes) se inició a fines de la década de los 70, cuando fueron producidas capas epitaxiales suficientemente delgadas. Los sistemas de confinamiento cuántico también conocidos como sistemas de dimensiones reducidas (SDR) son sistemas donde los portadores de carga están confinados por barreras de potencial, las cuales se forman en la interfase con diferentes materiales, y no pueden moverse libremente en las tres direcciones del espacio. Este confinamiento ocurre en una escala nanométrica por lo que el semiconductor se comporta como un sistema reducido dimensionalmente, esto es, estructuras tan pequeñas y formadas por capas tan delgadas que se puede considerar que sólo presentan o dos dimensiones (ancho y largo), o una dimensión, o incluso ninguna dimensión. Dependiendo de si el confinamiento ocurre en una, dos o incluso en las tres direcciones, los portadores pueden moverse sólo en las dos, una o cero direcciones restantes, de aquí que el sistema electrónico sea clasificado como sistema bi-, uni- o cero- dimensional respectivamente (Figura 5), dando lugar a los así llamados, pozos, alambres o puntos cuánticos respectivamente que son algunos ejemplos de nanoestructuras.
FFFiiiggguuurrraaa 555...SSSiiisssttteeemmmaaasssdddeeecccooonnnfffiiinnnaaammmiiieeennntttooocccuuuááánnntttiiicccoooaaa)))SSSiiisssttteeemmmaaaeeellleeeccctttrrróóónnniiicccooobbbiii--- ddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll...CCCooonnnfffiiinnnaaammmiiieeennntttoooeeennnuuunnnaaadddiiirrreeecccccciiióóónnn...BBB)))SSSiiisssttteeemmmaaaeeellleeeccctttrrróóónnniiicccooouuunnniii--- d
dddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll...CCCooonnnfffiiinnnaaammmiiieeennntttoooeeennndddooosssdddiiirrreeecccccciiiooonnneeesss...CCC)))SSSiiisssttteeemmmaaaeeellleeeccctttrrróóónnniiicccooo ccceeerrrooo---dddiiimmmeeennnsssiiiooonnnaaalll...CCCooonnnfffiiinnnaaammmiiieeennntttoooeeennnlllaaassstttrrreeesssdddiiirrreeecccccciiiooonnneeessseeessspppaaaccciiiaaallleeesss...
1.3. Nanoestructuras
El término nano deriva del griego “nanos” que significa “enano”. Hoy es usado como prefijo de medidas, representando una escala de 1: 1/ 1, 000, 000, 000 (que también se escribe como 1:1x10-9, o simplemente 1:10-9). Este prefijo antecede a cualquier unidad de medida significando “la milmillonésima parte de”. Tomemos la unidad de medida de longitud, por ejemplo. Un nanometro (nm), es la milmillonésima parte de un metro, por ello la palabra nanoestructura se usa para designar la materia cuyo tamaño varía en el rango de 1 a 100 nm aproximadamente. Ajustando un poco nuestras ideas acerca de los nanómetros, digamos que: los átomos tienen un tamaño de ½ nm; el ADN de doble espiral tiene un diámetro de alrededor de 2nm; una proteína puede medir 5nm de largo; un ribosoma tiene un diámetro de 25nm; un virus puede medir entre 22 y 120nm; una bacteria entre 500 y 1500nm; una célula humana mide aproximadamente 10,000nm (10micrometros) y el cabello humano está en el intervalo de 50,000 a 100,000nm. (0.1milimetro).
En los últimos 20 años, se han venido desarrollando un conjunto de herramientas que permiten ocuparse de la manipulación de materiales sobre escalas atómicas. Actualmente, los diversos campos de estudio comienzan a dividirse en nuevas ciencias debido a la gran diferencia que se presenta entre los sistemas nanométricos y sistemas en escala micrométrica (1000 veces más grande). Nanobiología, nanoelctrónica, nanomedicina, son sólo algunos ejemplos cuyo propósito es constituirse como impulsores de los avances científicos y tecnológicos del futuro
1.3.1. Nanoestructuras y la electrónica actual.
La microelectrónica ha venido envolviendo nuestra vida de modo tal que actualmente es imposible concebir el mundo de nuestras labores cotidianas sin ella; ordenadores, teléfonos celulares, sintonizadores, sistemas de comunicación, son sólo algunos de los medios microelectrónicos que nos rodean y con los que hemos aprendido a vivir. En esta área de la electrónica, se incluyen dispositivos cuyo tamaño mínimo es una micra (una milésima de milímetro) hasta dispositivos no mayores del milimetro aproximadamente. Tanto en la
microelectrónica como en la naciente nanoelectrónica, se deben contemplar tres niveles de organización. El primer nivel se refiere a sus componentes básicos, usualmente transistores o su nanoequivalente (interruptor de corriente, así como amplificador de señales); en microelectrónica un transistor se hace por medio de trozos de materiales semiconductores, en la nanoelectrónica, los transistores pueden ser moléculas orgánicas o estructuras inorgánicas de escala nanométrica. El siguiente nivel es la interconexión que incluye todo lo relacionado con los alambres que se encargan de enlazar los transistores para la ejecución de operaciones aritméticas o lógicas. En microelectrónica, los alambres de interconexión, son líneas metálicas típicamente de cientos de nanométros a decenas de micrometros depositadas sobre el silicio; en nanoelectronica, estos pueden ser nanotubos u otros alambres tan pequeños como de un nanometro de espesor. El último nivel, es lo que se le conoce como arquitectura (la forma estructural en que los transistores están conectados en una pastilla, chip). En la actualidad, no se han concretado estos dos último niveles por parte de la nanoelectrónica. Uno de los puntos cuestionables acerca de la organización estructural y de la interconexión en los futuros nanochips radica entorno a los niveles de síntesis y fabricación de nanoestructuras, ya que se trata de procesos muy elaborados. Se considera que al contrario de los chips en la microelectrónica basados en una construcción llamada de “arriba-abajo” (que nosotros llamaremos aproximación física), en la nanoelectronica se debería hacer por la técnica de “abajo-arriba” (aproximación química) [Lieber, 2001] como lo muestran los recientes avances en la fabricación de semiconductores que han dado lugar a la implementación de técnicas modernas de crecimiento de cristales como el crecimiento epitaxial por haces moleculares (MBE) o la deposición de vapor químico metal orgánico (MOCVD), por medio de las cuales se pueden crear naoestructuras semiconductoras. Además, como este trabajo lo demostrará, incursionar en el mundo de las nanoestructuras involucra nuevas propiedades físicas que hacen posible conceptuar nuevas formas en que tales niveles han de concretarse.
Existen dos estrategias de fundamentales para la creación de nanoestructuras:
aproximación por degradación física o simplemente aproximación física; y aproximación por construcción química, o simplemente aproximación química. Es evidente que resulta algo arbitrario dividir estas técnicas en tales categorías. Todo proceso involucra la parte física y la parte química. Sin embargo, por razones de un mejor análisis esta división resulta
ilustrativa, ya que es cómodo hablar desde el punto vista físico asociándolo a lo externo, y el químico, al nivel interno. En la aproximación física, se comienza por un material base apropiado para “esculpir”, la funcionalidad requerida. Es por ello que también recibe el nombre de procesos de “arriba-abajo”. La industria de la microelectrónica y de semiconductores actual usa esta técnica para construir dispositivos sobre un sustrato electrónico (silicio), utilizando formación por grabado; tal como litografía por haz de electrones y procesos de transferencia de grabado, tales como ataque reactivo iónico.
En la aproximación química primero se crean los nanocomponentes y luego se ensamblan para formar el material final, es decir, un proceso de “abajo-arriba”. Un ejemplo de esta aproximación es la formación de componentes pulverizados mediante técnicas de aerosol [Wu et al. 1993] para después, agruparlos.
En la técnica por construcción química, el control cuidadoso en los modelos moleculares y el ambiente químico resultan fundamentales. Esta técnica ha llegado a adquirir el nombre de “química de supramoleculas” debido a que se concentran los tratamientos químicos por el desarrollo de moléculas de gran tamaño. Esta técnica tiene la tendencia hacia la organización de moléculas, es decir, de sistemas que resultan de la unión de dos o más átomos iguales o diferentes, en la formación de nanoestructuras.
En muchas estrategias para la creación de nuevos materiales, se integran ambos procedimientos: tal es el caso de la síntesis química de materiales nanoestructurados [Murry et al. 1993; Katari et al. 1994].
Los puntos críticos de control marcados por las recientes investigaciones pueden resumirse en las dos categorías siguientes:
Control del tamaño y composición de los elementos del sistema nano- estructurado, cuando se trata de partículas trituradas o diseminadas, puntos quánticos semiconductores u otros nanocomponentes
Control de las interfaces y distribuciones de los nanocomponentes en el material completamente terminado.
Considerando los siguientes aspectos:
La estabilidad térmica, química y temporal de las nanoestructuras formadas.
La habilidad para aumentar las estrategias de síntesis y ensamble para la producción de materiales nanoestructurados a gran escala y bajo costo, mientras que al mismo tiempo se mantenga el control de las características de tamaño crítico y calidad de las interfaces.
Los avances tecnológicos en investigación en materiales extienden nuevas percepciones acerca del papel que juegan los sistemas nanoestructurados en la disposición de sus propiedades incluso macroscópicas. Prueba de ello está en el descubrimiento de propiedades importantes de dureza en aleaciones de aluminio nanoestructurado por ejemplo [Koch 1998].
Los principales esfuerzos en la síntesis de nanopartículas se pueden agrupar en las dos áreas siguientes: síntesis por fase gaseosa y por proceso sol-gel. El desarrollo inicial de nuevos materiales cristalinos estuvo basado en nanopartículas generadas mediante evaporación y condensación en un gas inerte de ambiente subatmosférico [Gleiter 1989;
Siegel 1991, 1994]. Varias técnicas de procesamiento en aerosol (síntesis por fase gaseosa) han sido reportadas para mejorar la producción de nanopartículas [Uyeda 1991; Friedlander 1998], tal es el caso de síntesis por combustión [Zachariah 1994; Calcote and Keil 1997, Axelbaum 1997, Pratsinis 1997], por plasma [Rao et al. 1997], electro-espray [de la Mora et al 1994]; y espray de plasma [Brendt et al 1997].
El proceso de sol-gel es una aproximación química húmeda que puede ser usada para la creación de nanopartículas mediante gelación, precipitación y tratamientos hidrotérmicos [Kung and Ko 1996]. La distribución del tamaño de las nanopartículas metálicas y oxido- metálicas pueden ser manipuladas mediante la introducción de contaminantes [Kyprianidou Leodidou et al. 1994] o tratamiento térmico [Wang et al. 1997].
Uno de los nuevos paradigmas en torno a las aplicaciones de dispositivos opto- electrónicos y computacionales se desarrolla en torno a los alambres moleculares o alambres cuánticos [Chidsey, Murry 1986]. Los efectos del confinamiento cuántico son usados generalmente para explicar las nuevas propiedades principalmente ópticas de éste tipo de materiales. Al obtener mejores prestaciones ópticas, las dificultades en torna a la interconexión pueden verse ampliamente disminuida; los alambres podrán sustituirse por nanofibras ópticas aumentando también la cantidad de información transmitida. Las
propiedades electrónicas, mecánicas, ópticas y de transporte pueden variarse mediante el control de algunos parámetros como son: el diámetro de la estructura, su morfología, el aumento de la longitud y su pureza, entre otros. Una gran cantidad de aplicaciones pueden vislumbrarse en torno a estos materiales. Por ejemplo, si se piensa en la interconexión óptica, la cantidad de información podría ser controlada a través de los tres colores primarios usando codificadores y multiplexores aumentando en gran escala la cantidad de información; Nanoalambres semiconductores conectados en paralele, por ejemplo, pueden ser controlados por una compuerta común y usarse como diodos emisores de luz por sus cualidades ópticas. La luz emitida por un solo nanoalambre podría no ser visible, pero muchos nanoalambres en paralelo podrían proporcionar la intensidad de luz deseada. En relación a la fabricación, los recientes avances en la tecnología de fibras o tubos nanométricos indican que una forma efectiva en la formación de alambres (o tubos) nanométricos se basa en el uso de técnicas con plantilla de membrana [Martín 1994]. Estas estructuras unidimensionales (llamadas así por razones que veremos más adelante) cuyo diámetro va de 3 a 15 nm aproximadamente, es pues, una promesa tecnológica para aplicaciones en dispositivos optoelectrónicos.
Es importante hacer notar que entre los materiales de mayor interés en el campo de las nanoestructuras se encuentran los materiales basados en carbono, donde se incluyen los fullerenos, nanotubos, carbono poroso y nanopartículas de carbono. Desde 1990, con el descubrimiento de técnicas de solubilidad de carbono [Krätschmer et al. 1990], la investigación sobre estos materiales se ha incrementado de manera vertiginosa [Dreeeselhaus et al. 1996].
1.3.1.1. Dispositivos nanométricos.
En los últimos años, se han llevado a cabo significativos avances experimentales en el uso de componentes moleculares para aplicaciones tecnológicas. A nivel mundial se ha estado investigando el crecimiento de diversos nanodispositivos. Algunos nanodispositivos que operan bajo estos nuevos efectos de la física como la cuantización de la energía y el efecto túnel son los dispositivos túnel resonantes (RTD, RTT) [Turton, 1995, Capasso, et al. 1985]. Se ha demostrado que los transistores de efecto de campo (FETs) con nanotubos
de carbono se pueden aplicar a circuitos lógicos [Bachtold, et al 2001 y Martel, et al 2001];
Han sido usados nanoalambres semiconductores formando bloques para ensamblar nanodispositivos como FETs [Cui et al., 2000], diodos p-n [Duan et al., 2001 y Cui et al., 2001], transistores de unión bipolar e inversores complementarios [Cui et al., 2001]. En contraste con los nanotubos, estos dispositivos con nanoalambres pueden ser ensamblados de forma más organizada ya que las propiedades electrónicas y el tamaño de los nanoalambres pueden controlarse de manera más precisa durante la síntesis [Cui, Lauhon, et al., 2001] con los métodos para su ensamble paralelo [Huang et al., 2001]. Otro tipo de dispositivo cuántico que puede ser aplicado a circuitos lógicos [Uchida et al., 2000 y Chen, et al., 1996], o memorias [Koga et al., 2001] es el transistores de un solo electrón (SET por sus siglas en inglés) [Kastner 1992]. En el campo del magnetismo se ha experimentado un incremento desde que la ganancia por magnetorresistencia (GMR) fue descubierta en 1988 en estructuras con multicapas. Las estructuras GMR están bajo intenso estudio para aplicaciones en cabezas de discos duros, memorias de acceso aleatorio (RAM) y censores.
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GMR Multicapas
Puntos cuánticos en lasers
Transistores
Moléculas Átomos
Nanoalambres
Nanoescala Microescala
0.1 1.0 10 100 1000 10,000 Nanometros.
La Figura 6 muestra la tendencia de la electrónica actual en la escala de funcionalidad de dispositivos cada vez más pequeños. Según esta tendencia, en el año 2010 se habrá conseguido una escala de integración tal, que 1000 millones de transistores podrán residir en un mismo chip [Mark T., 2002].
De manera general, los dispositivos ópticos, se han venido beneficiando con la incorporación de los materiales nanoestructurados. Por ejemplo, los láseres semiconductores actuales incorporan regiones que comprenden pozos cuánticos, la presencia de los cuales modifica la localización de electrones y huecos dando como resultado mejor eficiencia en la operación del láser.
Ahora demos una revisión de conceptos básicos de física del estado sólido para posteriormente exponer los resultados obtenidos en torna a las propiedades electrónicas y ópticas de ciertas nanoestructuras de silicio.
Elementos de física del estado sólido y aplicaciones al estudio del Silicio
Cristalino.
“Decimos dulce, decimos amargo, decimos caliente, decimos frío… pero en realidad no hay más que átomos y vacío”.
DEMÓCRITO
2. 1. Presentación.
Silicio, elemento químico que la naturaleza ha designado como portador de características conspicuas donde el hombre ha edificado su tecnología moderna, continúa siendo actualmente punto de atención de la comunidad científica. La microelectrónica simplemente no podría concebirse sin el silicio, que ahora nos sorprende con otra más de sus características. De entre las útiles propiedades que concede este material a la industria, no parecía exhibir alguna relacionada con efectos ópticos relevantes; sin embargo, el semiconductor soberano por naturaleza no quiere quedarse atrás en los avances tecnológicos y decide aclarar, que a pesar de todo lo que se conoce de él, puede brindarnos al menos una sorpresa más: el silicio también puede emitir luz en la región visible del espectro electromagnético. Este breve aunque hondable enunciado, ha sido un foco de atención de la comunidad científica actual. Este hecho relativamente nuevo, móvil de numerosos trabajos de investigación que pretenden resonar fuertemente en la industria, es el que nutre este trabajo de tesis.
Con la intención de brindar los fundamentos necesarios para el análisis y comprensión de los principales resultados teóricos logrados por esta tesis, trataremos algunos temas fundamentales para el estudio del silicio.
Comenzaremos por temas básicos de física del estado sólido tratando algunas aproximaciones como el modelo químico del silicio y porqué este no puede usarse para evaluar sus propiedades electrónicas, hasta terminar con el análisis estructural del método empleado en este trabajo para obtener la estructura electrónica de bandas y el espectro de absorción óptico por medio de la parte imaginaria de la función dieléctrica.
2.2. estado sólido.
Estamos rodeados de materia. El papel sobre el que se encuentra dirigida la mirada del lector en este momento es un ejemplo de materia sólida. Sólido, líquido o gas, son sólo maneras de definir el estado de agregación en el que encontramos la materia en forma natural. El mundo en que vivimos parece constituido por una gran cantidad de sustancias diversas a las cuales se les ha dado el nombre de materia. Para referirnos a los cuerpos que llamamos sólidos tenemos que introducir palabras como piedra, papel, madera, metal, vidrio, etc. Y una vez catalogados éstos, quedarán los llamados líquidos como el agua, el alcohol, etc. Después de éstos seguiríamos con el aire y los demás gases...
La teoría o física del estado sólido, se encarga del estudio de la materia precisamente en tal rubro (sólido), a partir del análisis de sus propiedades electrónicas, térmicas, ópticas, etc., tomando en cuenta diversos factores relacionados con su estructura interna. El análisis de las propiedades electrónicas se basa esencialmente en identificar características singulares de los electrones en los átomos que constituyen la materia. Los sólidos que destacan de manera importante en este estudio son del tipo ‘cristalino’, materiales cuya estructura está formada por bloques o unidades idénticas, tal como si fueran los ladrillos de un edificio; estos materiales cuentan con una valiosa propiedad llamada simetría de traslación. En contraste, aquel tipo de materia cuya estructura presenta un notorio desorden, materia donde no existe sombra de una red cristalina; donde se pierde la periodicidad de su estructura, estudiados también por la física del estado sólido, se les llama amorfos.
Los sólidos cristalinos están constituidos por un arreglo regular de unidades idénticas, periódicamente repetidas en el espacio. En la siguiente sección estudiaremos con más detalle las características esenciales de los cristales. Por el momento, vale la pena mantener en mente que el silicio además de ser de carácter cristalino es, después del oxígeno, el elemento que más abunda en la naturaleza. El examen detallado de una roca de granito, por ejemplo, permitirá observar que éste se compone de silicio: Una roca de granito se compone de gránulos muy duros de color blanquecino, el cuarzo, otros brillantes, a veces oscuros, la mica, y uniendo a ambos una sustancia de color intermedio denominada feldespato. A lo largo de los siglos se han identificado una serie de sustancias, llamadas elementos químicos o también llamados elementos simples, que aparecen formando parte
de los demás cuerpos denominados compuestos. Así pues, el granito es una mezcla de tres compuestos: cuarzo, feldespato y mica en cuya constitución intervienen diversos elementos simples; el elemento sólido que forma el cuarzo es el SILICIO.
Las características electrónicas que presenta este cristal semiconductor ha hecho tan prolífera la evolución de la tecnología de los circuitos integrados, que la voz de la ciencia lo mantiene en sus perfiles con devoto tacto.
2.3. Cristales.
Por medio de la antigua técnica del análisis cristalográfico de rayos X [Mckelvey 1989 p.
31] originada por la teoría de Laue acerca de la difracción de rayos X por una red periódica, es posible determinar con exactitud la estructura interna de un sólido que presenta periodicidad en la disposición de sus átomos. Según las direcciones e intensidades de los haces difractados es la estructura reticular y la composición química del sólido. Gracias a esta técnica, se ha descubierto que el silicio es un elemento con estas características. Sus átomos están arreglados por un patrón definido que se repite periódicamente en tres dimensiones.
DEFINICIÓN: Un cristal ideal es aquel que se logra mediante la repetición infinita en el espacio de unidades estructurales idénticas.
Las unidades idénticas son átomos o grupos de átomos, que reciben el nombre de base.
Esta idea tiene lugar debido a la observación de que, cuando un cristal crece en un medio uniforme, se desarrolla de modo tal que parece como si se fueran adicionando bloques idénticos de átomos de forma continua hasta formar una estructura totalmente periódica. Un cristal de silicio es pues, un arreglo regular de átomos de silicio repetido periódicamente en el espacio.
La estructura de un cristal queda definida entonces con dos elementos principales: una red y una base. Entendemos por red una distribución periódica regular de puntos en el espacio. Una red es una abstracción matemática. Red, porque los puntos idénticos del cristal pueden unirse entre sí por medio de una ‘red’ de líneas rectas, lo que resulta muy útil en el lenguaje matemático. Hay que distinguir el concepto de estructura del cristal con el de
red espacial. La estructura del cristal es una realidad física o natural del estado del elemento o compuesto. Al hablar de red, sólo hablamos de una distribución no de átomos específicos o partículas, sino de puntos abstractos en el espacio. La red se constituye a partir de la repetición periódica en el plano o en el espacio de una celda elemental o celda unidad que puede ser una celda de volumen mínimo llamada celda primitiva o celda base. La celda primitiva está formada por el paralelepípedo definido por vectores de traslación no coplanares que llamaremos vectores primitivos o vectores base de la red, simbolizados con las letras a, b y c en la Figura 8). Cualquier vector, digamos tn, definido dentro de una red, se puede describir a partir de sus vectores primitivos mediante una combinación lineal:
3,
2
1 a a
a
tn =l +m +n m, n, l, son enteros, 25
donde a1, a2, a3, son los vectores base de la red en el espacio.
Dependiendo de la relación de las longitudes de los vectores primitivos y de los ángulos entre ellos, pueden ser construidas redes de diversas geometrías.
Para el silicio se sabe que su estructura cristalina es como se ve en la Figura 7.
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Una red cuya celda unidad sea un simple cubo, recibe el nombre de red cúbica simple (Figura 9). El silicio tiene una estructura cristalina más complicada que una red cúbica simple. En este caso, es preciso adoptar otro tipo de celda unidad para reproducir su estructura cristalina, dicha celda forma la red llamada red cúbica centrada en las caras (fcc
por sus siglas en inglés). Este tipo de red junto con la red cúbica simple forman parte del grupo de las llamadas redes de Bravais.
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El volumen de la celda primitiva corresponde a un punto de red. A cada vértice del paralelepípedo le corresponde 1/8 de punto de red. Como un paralelepípedo tiene 8 vértices, le corresponderá el total de 8 * 1/8 = 1 punto de red. La celda primitiva también recibe el nombre de celda de Wigner-Seitz, ya que fueron ellos quienes dieron a conocer por primera vez un procedimiento general para obtener una celda de volumen mínimo.
A veces es conveniente elegir como celda unidad no una primitiva, sino una de mayor volumen. Esto es debido a que el paralelepípedo primitivo puede ser oblicuo, y por lo general, se acostumbra hacer coincidir una arista de la celda unidad con el origen del sistema de coordenadas. Así que la celda unidad elegida a diferencia de la primitiva, tendrá en muchos casos, además de los puntos de red en los vértices, otros puntos de red adicionales y en consecuencia su volumen corresponderá a más de un solo punto de red.
Por lo general, diremos entonces que la celda unidad será una celda elemental no primitiva.
Se puede demostrar que existen 14 formas de redes, las cuales se ilustran en el apéndice B y se conocen con el nombre de redes de Bravais. Si se toma cualquiera de dichas redes para formar una estructura cristalina al asociar con cada punto una base, que puede ser un átomo o un grupo de átomos, un observador que ve el cristal desde uno de los puntos de la red, verá exactamente la misma disposición o arreglo de los puntos circundantes de la red, sea cual fuere el punto que haya seleccionado para observar. Este tipo de redes son la base de toda estructura cristalina. Con las redes de Bravais es posible construir la celda unidad correspondiente a cualquier cristal. Un punto importante que cabe resaltar es que, independientemente del tipo de celda elemental que se adopte para describir cualquier estructura cristalina, siempre será posible obtener una celda de volumen mínimo o celda primitiva mediante la repetición periódica de la cual en x, y y z, es posible llenar el espacio sin dejar huecos y reproducir la estructura cristalina que se trate. Esta característica hace de gran interés esta celda en la descripción de las propiedades de los sólidos, pues basta conocer las características de interés dentro de ella para conocer las características de todo el cristal ya que este tiene la propiedad de simetría traslacional. Es decir, que dicha celda permanece invariable bajo traslaciones especificadas por los vectores de traslación dados en la Ec. 25. Por lo que a los vectores primitivos también se les conoce como vectores de traslación fundamentales. La estructura cristalina del silicio tiene asociada una celda unidad que no es una celda de volumen mínimo, o celda primitiva.
Los dos elementos para obtener la estructura cristalina del silicio (Figura 10) son:
¾ Una red de formada a partir de una celda unidad Cúbica Centrada en las Caras.
¾ Una base de dos átomos idénticos por punto de red, uno definido en (0, 0, 0) y el otro en a(¼, ¼, ¼) con respecto a cada punto de red. donde a es la longitud del lado del cubo de la celda fcc, llamado también parámetro de red. El valor de a en el caso del silicio es de 0.5431 nm.
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Existen elementos que cristalizan con éste tipo de estructura, pero su base está formada por átomos diferentes. Cuando los dos átomos correspondientes a la base son iguales se le llama estructura de diamante y cuando son diferentes se le llama estructura de zinc-blenda.
En la Figura 11 apreciamos átomos de tres tonos distintos; claramente podemos ver que los de tono más oscuro están en a( ¼ , ¼, ¼ ) de los más claros. Los de tono intermedio, son átomos cuyos vecinos en a( ¼ , ¼, ¼ ) caerían en celdas adyacentes. Los átomos que definen la celda de volumen mínimo, o en otras palabras, el número de átomos mínimo para reproducir la estructura cristalina del silicio, son los primeros 8 átomos mencionados y encerrados en óvalos en la figura.
La celda de volumen mínimo o celda primitiva correspondiente a una red fcc se representa con la celda limitada por los vectores primitivos a1, a2, a3 que se muestran en la Figura 12. Al repetir periódicamente esta celda en x, y y z se obtiene la red fcc.
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Hay una infinidad de formas de elegir una celda primitiva. Sin embargo, una forma muy común y útil es mediante el procedimiento sugerido por Wigner y Seitz. Según éste método, una celda de Wigner-Seitz en el espacio es aquel poliedro cuyas caras están sobre planos que bisectan perpendicularmente las rectas que unen un punto de red con sus primeros vecinos, segundos vecinos y así sucesivamente (con todos los puntos de red próximos). La celda de Wigner-Seitz para la red fcc se muestra en la Figura 13. Los puntos señalados con letras griegas en la figura, son conocidos como puntos de alta simetría.
