1.- CONCEPTOS BÁSICOS.

1.- CONCEPTOS BÁSICOS.

Muchos problemas reales son susceptibles de ser

representados en forma de red, por este motivo comenzaremos

por definir los conceptos básicos de redes y posteriormente

algunos problemas tipo, susceptibles de ser modelizados como

una red.

Una red es un conjunto de nodos N={1,2,…,n}

conectados por una serie de arcos, representado por (i,j) el arco

que conecta el nodo i con el nodo j. Un ejemplo de red es una

red de carreteras donde los nodos son las ciudades o pueblos y

las carreteras que los unen los arcos, aunque los arcos no tienen

porqué representar necesariamente una ruta real, sino que como

veremos más adelante pueden indicar simplemente un orden de

precedencia en determinadas actividades que en este caso serían

los nodos

Nodos círculos

Arcos (flechas) sólo es posible desplazarse en un solo sentido

Aristas (líneas) es posible desplazarse en ambos sentidos (2,3), (5,6)

Cada nodo podrá tener asociado un número b_i que representará su: oferta (b_i<0) o

demanda (b_i>0)

x_ij representará la cantidad enviada desde el nodo i al nodo j.

c_ij distancia del nodo i al nodo j o coste de enviar una unidad del nodo i al j

TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6

Red dirigida

es una red donde sólo existen arcos, es decir, aquella en que el desplazamiento de un nodo a otro sólo es posible en un sentido.

Red no dirigida Cuando el desplazamiento entre dos nodos es posible

en ambos sentidos (aristas)

TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6 1 7 2 3 4 5 6

Cadena

es una sucesión de aristas adyacentes Ejemplo {(1,2),(4,2),(4,5)}

Camino

(de i a j) es una sucesión de arcos {(i,k),(k,l),(l,m),….,(p,j)} en los que el nodo inicial de cada arco es el nodo final del arco que le precede.

Ejemplo un camino entre el nodo 1 y el 7 es {(1,3),(3,6),(6,7)}.

todo camino es una cadena pero no toda cadena es camino TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6

Circuito

es un camino cerrado, es decir, aquel en el que el

nodo inicial y final es el mismo

Ciclo

es una cadena cerrada

todo circuito es ciclo, pero no al revés

TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6

Red conexa

es aquella en que existe al menos una cadena que conecta cada nodo con el resto de nodos

TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6

Red no conexa

1 7 2 3 4 5 6

Árbol

es una red conexa que no tiene ciclos.

Camino más corto

Ejemplo: determinar el camino más corto del nodo 1 a l 9 en la siguiente red TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6 8 9 8 6 6 6 5 8 8 8 9 7 7 9

C_ij coste o distancia de desplazarse de i a j

TEMA 5 Redes 1 7 2 3 4 5 6 8 9 8 6 6 6 5 8 8 8 9 7 7 9 Min Z=6x₁₂+6x₁₃+6x₂₄+8x₂₅+5x₃₄+9x₄₆+8x₄₈+8x₅₇+7x₆₈+7x₇₈+8x₇₉+9x₈₉ s.a: -x₁₂-x₁₃ = -1 x₁₂ - x₂₄ - x₂₅ = 0 x₁₃ - x₃₄ = 0 x₂₄ + x₃₄ - x₄₆ - x₄₈ = 0 x₂₅ - x₅₇ = 0 x₄₆ - x₆₈ = 0 x₅₇ - x₇₈ - x₇₉ = 0 x₄₈ + x₆₈ + x₇₈ - x₈₉ = 0 x₇₉ + x₈₉ = 1 x_ijЄ{0,1}

Planteamiento matemático

TEMA 5 Redes

}

1

,

0

{

)

3

(

1

)

2

(

1

,...,

2

)

1

(

1

:

.

·

1 1 1 1 1 1 1 1































       ij n k kn n i n j Kj ik n j j n i n j ij ij

x

x

n

K

x

x

x

a

s

x

c

d

Min

La restricción (1) obliga a tomar un arco con origen en el nodo 1 inicial La restricción (3) obliga a elegir un arco final en el nodo final

Las ecuaciones (2) obligan a que si se llega a un nodo se salga de él y no permiten salir de él si no se ha llegado.

La condición de integridad (variables binarias), no es necesaria, dada la unimodularidad de la matriz y que los términos independientes son enteros

Gms 1

Gms 2

---- 34 VARIABLE X.L 3 4 8 9 1 1 3 1 4 1 8 1

---- 34 VARIABLE Z.L = 28 DISTANCIA TOTAL

ALGORITMO DE FLOYD

PARA REDES NO DIRIGIDAS TEMA 5 Redes

---- 33 PARAMETER D 1 2 3 4 5 6 1 6 6 11 14 20 2 6 11 6 8 15 3 6 11 5 19 14 4 11 6 5 14 9 5 14 8 19 14 22 6 20 15 14 9 22 7 22 16 20 15 8 14 8 19 14 13 8 15 7 9 28 23 22 17 16 16 + 7 8 9 1 22 19 28 2 16 14 23 3 20 13 22 4 15 8 17 5 8 15 16 6 14 7 16 7 7 8 8 7 9 9 8 9 TEMA 5 Redes

PROBLEMA DEL FLUJO DE COSTE MÍNIMO

Este problema es una generalización del problema del transporte con trasbordo.

Las cantidades de los nodos son la oferta (b_i>0), nodos 1 y 2 o la demanda (b_i<0). Las cantidades de los arcos (c_ij) son los costes de envío

Oferta =demanda x₁₃+x₁₄ =100 x₂₄+x₂₅ =200 -x₁₃+x₃₆=0 -x₁₄ – x₂₄ +x₄₆ =0 -x₂₅ + x₅₆ +x₅₇ =0 -x₃₆ – x₄₆ – x₅₆ +x₆₈+x₆₉ =0 -x₃₆ – x₄₆ – x₅₆ +x₆₈+x₆₉ =0 -x₅₇ + x₇₈ +x₇₉ =0 -x₆₈-x₇₈= -150 -x₆₉-x₇₉= -150 Min Z= x₁₃+ 4x₁₄+ 5x₂₄+2 x₂₅+ 3x₃₆+2 x₄₆+3 x₅₆+2 x₅₇+ 3x₆₈+4 x₆₉+ 5x₇₈+6 x₇₉ TEMA 5 Redes

Planteamiento matemático

TEMA 5 Redes resto el para y finales los para demanda iniciales nodos para oferta i b ij n j n j i ji ij n i n j ij ij

x

n

i

b

x

x

x

c

F

Min

0 , 1 1 1 1

0

,...,

1

·

    



















---- 54 VARIABLE X.L FLUJO A TRAVES DEL ARCO IJ 3 5 6 8 9 1 100 2 200 3 100 5 200 6 150 150

---- 54 VARIABLE CTE.L = 2450 COSTE TOTAL DE ENVIO

PROBLEMA DEL FLUJO DE MÁXIMO

En este tipo de problemas se trata de obtener cual es la máxima cantidad que se puede hacer circular a través de una red desde un origen a un destino. La aplicación de este tipo de problemas es en redes eléctricas, oleoductos, gaseoductos, redes de agua potable, etc.

Se trata de transportar el máximo número de uds (Flujo) desde el nodo 1 al 6, las cantidades sobre los arcos son la capacidad máxima de cada uno de ellos

Max F

x₁₂ + x₁₃ = F -x₁₂ + x₂₃ + x₂₄ + x₂₅ = 0 -x₁₃ – x₂₃ + x₃₅ = 0 -x₂₄ - x₅₄ + x₄₆ = 0 -x₂₅ - x₃₅ + x₅₄ + x₅₆ = 0 -x₄₆ - x₅₆ = -F 0 ≤ x₁₂ ≤ 20 0 ≤ x₁₃ ≤ 18 0 ≤ x₂₃ ≤ 3 0 ≤ x₂₄ ≤ 12 0 ≤ x₂₅ ≤ 8 0 ≤ x₃₅ ≤ 15 0 ≤ x₄₆ ≤ 10 0 ≤ x₅₄ ≤ 5 0 ≤ x₅₆ ≤ 22 F ≥0 TEMA 5 Redes

TEMA 5 Redes

0

,

0

1

,...,

2

0

1

1

0

1

1

0

1

:

.















































F

j

i

ij

k

ij

x

n

i

j

ji

x

n

j

ij

x

F

n

i

in

x

n

j

F

j

x

a

s

F

Z

Max

---- 31 VARIABLE X.L 2 3 4 5 6 1 20 12 2 3 10 7 3 15 4 10 5 22 ---- 31 VARIABLE F.L = 32 TEMA 5 Redes