La Función de Disponibilidad en Procesos de Renovación y aproximaciones útiles de ella.

(1)

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín

La Función de Disponibilidad en Procesos de

Renovación y aproximaciones útiles de ella.

Álvaro Calvache Archila

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia-Tunja

14 de marzo de 2016

Medellín

(2)

Índice

1 _{Procesos de Renovación}

2 Función de Disponibilidad

(3)

Índice

1 _{Procesos de Renovación}

2 Función de Disponibilidad

(4)

Índice

1 _{Procesos de Renovación}

2 Función de Disponibilidad

(5)

Proceso de renovación

S

=

S

n

=

T

1

+

T

2

+

· · ·

+

T

n

;

n

∈

Z

+

.

Proceso de conteo

(6)

Procesos de Renovación

Definición (

Proceso de Renovación

)

Sea

{

T

n

}

n∈N

una sucesión de variables aleatorias no negativas,

independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución

F

T

(

t

) =

P

(

T

n

≤

t

)

.

Sea

S

n

:=

n

X

i=1

T

i

.

Al proceso

{

Sn

;

n

∈

N

}

se le llama

Proceso de Renovación

y se nota como

S

.

(7)

Procesos de Renovación

Procesos de Conteo

Definición (

Procesos de Conteo)

Sean

S

un proceso de renovación y

N

t

:= max

n

∈

_Z

+

_|

_S

n

≤

t

.

Entonces se dice que

{

Nt

;

t

≥

0 }

es el proceso de conteo

para el proceso

S

.

Proposición

Si

t

≥

0 y

n

∈

Z

+

, entonces,

(8)

Procesos de Renovación

Procesos de Conteo

Definición (

Procesos de Conteo)

Sean

S

un proceso de renovación y

N

t

:= max

n

∈

_Z

+

_|

_S

n

≤

t

.

Entonces se dice que

{

Nt

;

t

≥

0 }

es el proceso de conteo

para el proceso

S

.

Proposición

Si

t

≥

0 y

n

∈

Z

+

, entonces,

(9)

Procesos de Renovación

Función de Renovación

Definición (

Función de Renovación)

Dado un proceso de conteo

{

N

t

;

t

≥

0 }, la función de renovación se define como

M

(t) =

E

N

t

.

Definición (

Función de densidad de Renovación

)

Si

M

es una función diferenciable, la función de densidad de renovación se define

como

m

(

t

) =

dM

(10)

Procesos de Renovación

Función de Renovación

Definición (

Función de Renovación)

Dado un proceso de conteo

{

N

t

;

t

≥

0 }, la función de renovación se define como

M

(t) =

E

N

t

.

Definición (

Función de densidad de Renovación)

Si

M

es una función diferenciable, la función de densidad de renovación se define

como

m(t) =

dM

dt

(t).

(11)

Procesos de Renovación

Convolución

Proposición

Sean

X

e

Y

dos variables aleatorias independientes con funciones de distribución

F

X

e

F

Y

, respectivamente. Entonces la función de distribución de su suma es la

convolución de

F

X

y

F

Y

, es decir,

F

X+Y

(t) =

F

X

∗

F

Y

(t) =

Z

t

0

F

X

(t

−

v)

dF

Y

(v).

En caso que

f

X

y

f

Y

sean las funciones de densidad de

X

e

Y

respectivamente,

entonces la función de densidad de

X

+

Y

es la convolución de

f

X

y

f

Y

, es decir,

f

X+Y

(t) =

f

X

∗

f

Y

(t) =

Z

t

0

(12)

Procesos de Renovación

Convolución

Proposición

Si

T

1

, T

2

, . . . , T

n

son iid con función de distribución

F

T

, entonces, la distribución de

su suma

S

n

=

Pn

_i₌₁

T

i

es

F

(n)

T

, la

n

−

ésima convolución de

F

T

, es decir,

F

Sn

(t) =

F

(n) T

(t) =

F

(n−1) T

∗

F

T

(t) =

Z

t 0

F

_T(n−1)

(t

−

v)

dF

T

(v),

(2)

en donde

F

_T(1)

(t) =

F

T

(t).

Si las

T

i

tienen funciones de densidad

f

T

, entonces, la función de densidad de su

suma es

f

_T(n)

(t) =

f

_T(n−1)

∗

f

T

(t) =

Z

t 0

f

_T(n−1)

(t

−

v)

f

T

(v)

dv,

en donde

f

_T(1)

(t) =

f

T

(t).

(13)

Procesos de Renovación

Ecuación fundamental de Renovación

M

(t) =

E[N

t

] =

∞

X

k=0

k

· P

r

(N

t

=

k)

= lim

n→∞ n

X

k=1

k

· P

r

N

t

≥

k

−

P

r

N

t

≥

k

+ 1

= lim

n→∞ n

X

k=1

k

· P

r

S

k

≤

t

−

P

r

S

k+1

≤

t

, por (1)

= lim

n→∞

"

_n

X

k=1

P

r

(S

k

≤

t)

−

n P

r

(S

n+1

)

≤

t)

#

=

∞

X

k=1

P

r

(S

k

≤

t)

, y por (2) se tiene que,

=

∞

X

k=1

F

_T(k)

(t),

(14)

Procesos de Renovación

Ecuación fundamental de Renovación

M

(

t

)

=

∞

X

k=1

F

_T(k)

(t) =

F

T

(t) +

∞

X

k=2

F

_T(k)

(t)

=

F

T

(t) +

∞

X

k=1

F

_T(k+1)

(t) =

F

T

(t) +

∞

X

k=1

F

T

∗

F

(k) T

(t)

=

F

T

(t) +

F

T

∗

∞

X

k=1

F

_T(k)

(t)

=

FT

(

t

) +

FT

∗

M

(

t

)

.

Teorema (Ecuación fundamental de Renovación

)

Si

S

n

=

T

1

+

· · ·

+

T

n

;

n

≥

1 es un proceso de renovación, en donde la distribución

de los

T

i

es

F

T

, entonces la función de renovación

M, satisface la siguiente ecuación

M(t) =

F

T

(t) +

Z

t

0

(15)

Procesos de Renovación

Transformada de Laplace

Notación (

Transformada de Laplace

)

Si

f

:

R

+

→

R

, su transformada de Laplace (si existe), se denota y se define como:

f

∗

(s) =

Z

∞

0

e

−st

f(t)

dt.

Observación (

Ecuación fundamental de Renovación en términos de TL

)

M

∗

(

s

) =

F

∗ T

(

s

)

1 −

s F

_T∗

(

s

)

=

f

_T∗

(

s

)

s

1 −

f

_T∗

(

s

)

,

m

∗

(

s

) =

f

∗ T

(

s

)

1 −

f

_T∗

(

s

)

.

(4)

(16)

Procesos de Renovación

Transformada de Laplace

Notación (

Transformada de Laplace

)

Si

f

:

R

+

→

R

, su transformada de Laplace (si existe), se denota y se define como:

f

∗

(s) =

Z

∞

0

e

−st

f(t)

dt.

Observación (

Ecuación fundamental de Renovación en términos de TL

)

M

∗

(s) =

F

∗ T

(s)

1 −

s F

_T∗

(s)

=

f

_T∗

(s)

s

1 −

f

_T∗

(s)

,

m

∗

(s) =

f

∗ T

(s)

1 −

f

_T∗

(s)

.

(4)

(17)

Procesos de Renovación

Aproximaciones

Notación (

Momentos de orden

n

.

)

Los momentos de orden

n

de la variable

T

, se notarán como:

µ

=

E

T

,

µ

0_n

=

E

T

n

, n

= 0,

1, . . .

Por (4)

m

∗

(s) =

f

∗ T

(s)

1 −

f

∗ T

(s)

,

y notando que

m

∗

(s)

tiene una singularidad en

s

= 0

, entonces

m

∗

(s)

≈

A

s

+

B

s

−

s

0

,

(5)

m(t)

≈

A

+

B e

ts0

_,

M

(t)

≈

At

−

B

1 −

e

ts0

s

0

.

(6)

(18)

Procesos de Renovación

Aproximaciones

Se sabe que f_T∗(s) = ∞ X n=0 (−1)nsn n! µ 0 n, entonces, s(s−s0)m∗(s)≈(s−s0)A+sB, por (5), s(s−s0) f_T∗(s) 1−f_T∗(s) ≈(s−s0)A+sB, por (4), s(s−s0)fT∗(s)≈[(s−s0)A+sB]1−fT∗(s) , y se obtiene: A= 1 µ, B=−s0 µ0₂−2µ2 2µ2 , s0=− 6µµ0₂−2µ2 2µµ0₃−3µ02 2 . Así,M(t)≈1 µt+ µ0₂−2µ2 2µ2 1−ets0.

(19)

Proceso de renovación retardado

S

=

S

n

=

W

+

T

1

+

T

2

+

· · ·

+

T

n

;

n

∈

Z

+

.

Proceso de conteo

(20)

Procesos de Renovación

Procesos de Renovación retardados

Si

S

n

=

W

+

T

1

+

· · ·

+

T

n

;

n

≥

1 es un proceso de renovación retardado, en

donde la distribución de los

T

i

es

F

T

y la distribución de

W

es

F

W

, entonces,

M(t) =F

W

(t) +

Z

t 0

M(t

−

v)

dF

T

(v),

m(t) =f

W

(t) +

Z

t 0

m(t

−

v)

f

T

(v)

dv,

M

∗

(s) =

F

∗ W

(s)

1 −

s F

_T∗

(s)

=

f

_W∗

(s)

s

1 −

f

_T∗

(s)

,

m

∗

(s) =

f

∗ W

(s)

1 −

f

_T∗

(s)

.

(7)

(21)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

Un

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

Se suponen independientes e idénticamente distribuidas con distribuciónFU.

ii.

{

Dn

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

Se suponen independientes e idénticamente distribuidas con distribuciónFD. Además se supone queUjes independiente deDi, para todoi, j∈Z+.

iii.

NU

(

t

) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(

t

) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

MU

(

t

) =

E

NU

(

t

)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(22)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

Dn

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

Se suponen independientes e idénticamente distribuidas con distribuciónFD. Además se supone queUjes independiente deDi, para todoi, j∈Z+.

iii.

NU

(

t

) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(

t

) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

MU

(

t

) =

E

NU

(

t

)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(23)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

D

n

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

Se suponen independientes e idénticamente distribuidas con distribuciónFD.

Además se supone queUjes independiente deDi, para todoi, j∈Z+.

iii.

NU

(

t

) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(

t

) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

MU

(

t

) =

E

NU

(

t

)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(24)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

D

n

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

iii.

N

U

(t) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(

t

) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

MU

(

t

) =

E

NU

(

t

)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(25)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

D

n

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

iii.

N

U

(t) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(t) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

MU

(

t

) =

E

NU

(

t

)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(26)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

D

n

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

iii.

N

U

(t) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(t) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

M

U

(t) =

E

N

U

(t)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(

t

) =

E

N

D

(

t

)

(27)

Función de Disponibilidad

Conteos de fallas y reparaciones

Notación

i.

{

U

n

}

n≥1

indica los tiempos de actividad sucesivas del componente.

ii.

{

D

n

}

n≥1

son los correspondientes tiempos de inactividad del componente.

iii.

N

U

(t) =

Número de fallas que ocurren hasta el tiempo

t.

iv.

N

D

(t) =

Número de reparaciones finalizadas hasta el tiempo

t.

v.

M

U

(t) =

E

N

U

(t)

,

Renovación de fallas hasta el tiempo

t.

vi.

M

D

(t) =

E

N

D

(t)

(28)

Procesos de conteo

{

N

U

(t);

t

≥

0 }

del número de fallas.

M

U

(t) =

F

U

(t) +

Z

t

0

(29)

Procesos de conteo

{

N

D

(t);

t

≥

0 }

del número de reparaciones finalizadas.

M

D

(t) =

F

U+D

(t) +

Z

t

0

(30)

Función de Disponibilidad

Definición (Función de Disponibilidad)

Se define

X(t) =

(

1,

si en el instante

t

el componente está en funcionamiento,

0,

si en el instante

t

el componente está siendo reparado.

La función de disponibilidad en un tiempo

t

se define como

A(t) :=

P

r

X

(t) = 1

(31)

Función de Disponibilidad

Propiedades

Observación

X(t) = 1

⇔

N

D

(t) =

N

U

(t).

X(t) = 0

⇔

N

D

(t) =

N

U

(t)

−

1. Luego,

M

U

(t)

−

M

D

(t) =

E

N

U

(t)

−

N

D

(t)

=

E

N

U

(t)

−

N

D

(t)

X

(t) = 1

P

r

X(t) = 1

+

E

N

U

(t)

−

N

D

(t)

X(t) = 0

P

r

X(t) = 0

=

P

r

X(t) = 0

= 1

−

A(t).

Así,

A

(

t

) = 1 +

M

D

(

t

)

−

M

U

(

t

)

.

(8)

(32)

Función de Disponibilidad

Ecuación de disponibilidad

Observación

A

(

t

)

= 1 +

M

D

(t)

−

M

U

(t)

= 1 +

F

U+D

(t) +

Z

t 0

M

D

(t

−

v)

dF

U+D

(v)

−

F

U

(t)

−

Z

t 0

M

U

(t

−

v)

dF

U+D

(v)

= 1 +

F

U+D

(t)

−

F

U

(t) +

Z

t 0

[M

D

(t

−

v)

−

M

U

(t

−

v)]

dF

U+D

(v)

= 1 +

F

U+D

(t)

−

F

U

(t) +

Z

t 0

[A(t

−

v)

−

1]

dF

U+D

(v)

= 1

−

FU

(

t

) +

Z

t 0

A

(

t

−

v

)

dFU+D

(

v

)

,

o equivalentemente,

(9)

A

∗

(

s

) =

1 −

f

∗ U

(

s

)

s

1 −

f

∗ U+D

(

s

)

.

(10)

(33)

Notación

Sea

Z

=

U

+

D. Para

i

=

U, D

y

Z

se tiene que:

f

i

es la función de densidad de la variable

i.

F

i

es la función de distribución de la variable

i.

F

i

es la función de supervivencia de la variable

i.

µ

0_ji

es el momento j-ésimo de la variable

i, es decir,

µ

0_ji

=

E

i

j

(34)

Aproximaciones

Aproximación 1

Proposición

Supóngase que los dos primeros momentos

µ

0₁_U

y

µ

0₂_U

del tiempo en funcionamiento

U

y los dos primeros momentos

µ

0₁_D

y

µ

0₂_D

del tiempo en reparación

D

existen y son

conocidos. Entonces, la función de disponibilidad se puede aproximar por

A

1

(t) =

µ

0₁_U

µ

0₁_U

+

µ

0₁_D

+

µ

0₁_D

µ

0₁_U

+

µ

0₁_D

e

s0t

_,

₍₁₁₎

en donde

s

0

=

−

2 µ

0₁_Z

µ

0₁_D

µ

0₁_U

µ

0₂_Z

−

µ

0₁_Z

µ

0₂_U

.

(35)

Aproximaciones

Aproximación 2

Proposición

Supóngase que los dos primeros momentos

µ

0₁_U

y

µ

0₂_U

del tiempo en funcionamiento

U

y los tres primeros momentos

µ

0₁_Z

,

µ

0₂_Z

y

µ

0₃_Z

del tiempo en funcionamiento y

reparación

Z

existen y son conocidos. Entonces, la función de disponibilidad se puede

aproximar por

A

2

(t) =

2 µ

0₁_Z2

e

s1t

_{+ 2}

_µ

0 1U

µ

0 1Z

1 −

e

s2t

−

µ

0₂_Z

e

s1t

₋

_e

s2t

2 µ

0₁_Z2

,

(12)

en donde

s

1

=

−

6 µ

0₂_Z

−

2 µ

0₁_Z2

µ

0₁_Z

2 µ

0₃_Z

µ

0₁_Z

−

3 µ

0₂_Z2

y

s

2

=

−

6 µ

0₂_Z

−

2 µ

0₁_U

µ

0₁_Z

µ

0₁_Z

2 µ

0₃_Z

µ

0₁_Z

−

3 µ

0₂_Z2

+ 6

µ

0₂_Z

µ

0₁_Z

µ

0₁_U

−

6 µ

0₂_U

µ

0₁_Z2

.

(36)

Aproximaciones

Aproximación 3

Proposición

Si se realiza una partición del intervalo

(0, t)

en

n

subintervalos de longitud

∆ =

t/n,

es decir,

t

0

= 0

y

t

i

=

t

i−1

+ ∆

para

i

= 1,

2, . . . , n. Entonces, se obtiene la siguiente

aproximación para

A(t):

A

3

(t

i

) =

F

U

(t

i

) + ∆

i

X

k=1

A

3

(t

k−1

)

f

Z

(i

−

k

+ 1) ∆

(13)

para

i

= 1,

2, . . . , n.

En este caso,

A(t

i

) =

A

3

(t

i

) +

o(∆),

para todo

i

= 1,

2, . . . , n,

(37)

Aproximaciones

Ejemplo 1: Exponencial - Exponencial

Si

U

∼

exp(α)

y

D

∼

exp(β)

entonces

µ

01U

=

1 α

,

µ

0 2U

=

2 α

2

,

µ

0 1D

=

1 β

,

µ

0 2D

=

2 β

2

,

µ

01Z

=

α

+

β

α β

,

µ

0 2Z

=

2 (α

2

₊

_β

2

₊

_{α β)}

α

2

_β

2

µ

0₃_Z

=

6 (α

+

β) (α

2

₊

_β

2

₎

α

3

_β

3

,

s

0

=

s

1

=

s

2

=

−

(α

+

β)

, los cuales son no positivos y así,

A

1

(t) =

A

2

(t) =

β

α

+

β

+

α

+

β

e

−(α+β)t

_.

las cuales coinciden con la solución analítica de un Proceso de Markov de dos

estados.

(38)

Aproximaciones

Ejemplo 2: Exponencial - Constante

(39)

Aproximaciones

Ejemplo 3: Gamma - Gamma

Tiempo (en horas) de funcionamiento (U) y de reparación (D) de un equipo altamente

especializado en la perforación, para la búsqueda de petróleo.

U (horas)

D (horas)

U (horas)

D (horas)

4,08

6,27

5,83

0,71

8,25

1,78

10,81

1,53

2,49

0,67

2,22

8,94

2,60

3,19

10,73

5,99

13,24

5,18

7,13

6,21

1,77

0,48

7,24

2,66

4,63

5,50

4,73

3,66

4,01

2,20

5,13

10,01

1,27

3,10

6,44

2,04

(40)

Notación

Si

U

∼

Γ(k

−

m, λ)

y

D

∼

Γ(m, λ), donde

m < k

and

λ >

0. Entonces la función de

disponibilidad

A(t)

puede ser expresada por Ver Bednara ([1], 2008)

:

A(t) =

1 k

k−1

X

r=1

ε

r

1 −

ε

r

1 −

e

−λt(1−εr)

1 −

ε

rm

+ 1,

(14)

donde

ε

= exp

2πi k

.

En este ejemplo se comprobó que

(41)

t (horas)

M

D

(t)

0

5

0.1

10

0.6

15

1.1

20

1.6

30

2.6

50

4.6

100

9.6

(42)

(43)

For Further Reading I

Bednara, Lukasz.

Methods for Approximating the Availability Functions

.

THESIS, Department of Applied Mathematics, Delft University of Technology.

Netherlands, 2008.

Ross SM.

Stochastic Processes, 2nd ed.

New York:John Wiley & Sons. 1996.

Garg A, Kalagnanam JR.

Approximations for the renewal function.

IEEE Transactions on Reliability.

1998; 47:66-72.

Kambo NS, et al.

Moments-Based Approximation to the Renewal Function.

Communications in Statistics - Theory and Methods. 2012; 41:851-868.

Arunachalam V, et al.

Some Useful Approximations for the Availability Function.

International Journal of Reliability, Quality and Safety Engineering. Vol. 22, No. 2

(2015) 1550008 (15 pages)2014.