Curso Propedéutico
Álgebra y Cálculo
Diplomado en Administración de Riesgos
Expositor: Juan Francisco Islas
Monterrey, N.L. Julio 2013
Cálculo Diferencial
Sumatoria
Fuente de los datos: Murray R. Spiegel y Larry J. Stephen (2009)Estadística, 4ª. ed. p.70, Problema 3.4
clear input x y 2 -3 -5 -8 4 10 -8 6 end list, sum gen xy=x*y gen x2=x*x gen y2=y*y gen xy2=x*y2 gen bsbd=(x+y)*(x-y) list, sum
Sean dos variables y que toman los valores
X
Y
2 1 = X X2 = −5 X3 = 4 X4 = −8 3 1 = − Y 8 2 = − Y Y3 =10 Y4 = 6
∑
= 4 1 i i X∑
= 4 1 i i Y∑
= 4 1 i i iY X∑
= 4 1 2 i i X∑
= 4 1 2 i i Y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∑
∑
= = 4 1 4 1 i i i i Y X∑
= 4 1 2 i i iY X∑
(
)(
)
= − + 4 1 i i i i i Y X Y X Calcular 7 4 1 − =∑
= i i X 5 4 1 =∑
= i i Y 26 4 1 =∑
= i i iY X 109 4 1 2 =∑
= i i X 209 4 1 2 =∑
= i i Y( )( )
7 5 35 4 1 4 1 − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∑
∑
= = i i i i Y X 190 4 1 2 = −∑
= i i iY X(
)(
)
109 209 100 4 1 2 4 1 2 4 1 − = − = − = − +∑
∑
∑
= = = i i i i i i i i i Y X Y X Y X0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 5,040 8 40,320 9 362,880 10 3,628,800 11 39,916,800 12 479,001,600 Factorial display exp(lnfactorial(7))
for num 0/12: display %9.0f = exp(lnfactorial(X))
Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadísticaMcGraw Hill, México. Pág. 20
(
n
) (
n
)
n
n
!
=
1
×
2
×
3
×
L
×
−
2
×
−
1
×
(
1
) (
2
)
3
2
1
!
=
n
×
n
−
×
n
−
×
L
×
×
×
n
El
factorial
de
n
es
n
n
!
El
factorial
de
7
es
...Binomio de Newton
for num 0/12: display comb(12,X)
Fuente: Sánchez, Octavio (2004) Probabilidad y estadísticaMcGraw Hill, México. Pág. 256
Triángulo
de
Pascal
(
)
∑
= −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
+
n i i i n nb
a
i
n
b
a
0(
)
!
!
!
i
i
n
n
i
n
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
(
)
2 2 22
ab
b
a
b
a
+
=
+
+
(
)
3 3 2 2 33
3
a
b
ab
b
a
b
a
+
=
+
+
+
(
)
4 4 3 2 2 3 44
6
4
a
b
a
b
ab
b
a
b
a
+
=
+
+
+
+
Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales
1 1x
b
m
y
=
+
2 2x
b
m
y
=
+
r
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 y -1 0 1 2 x -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y -3 -2 -1 0 1 2 3 x Solución única Sin solución 2 1m
m
=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x Número infinito de soluciones 2 1m
m
=
2 1b
b
=
2 1m
m
≠
2 1b
b
≠
Solución de ecuaciones de segundo grado
0
2
+
+
=
c
bx
ax
Las soluciones de
son
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
Solución de ecuaciones de segundo grado
0
2
+
+
=
c
bx
ax
0
2
+
+
=
a
c
x
a
b
x
a
c
x
a
b
x
2
+
=
−
2
2
2
2
1
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
a
b
a
c
a
b
x
a
b
x
2
2
2
4
4
2
a
ac
b
a
b
x
⎟
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
Demostración
Solución de ecuaciones de segundo grado
2
2
4
4
2
a
ac
b
a
b
x
+
=
±
−
2
2
4
4
2
a
ac
b
a
b
x
+
=
±
−
a
ac
b
a
b
x
2
4
2
2
−
±
−
=
a
ac
b
b
x
2
4
2
−
±
−
=
Exceso
de
Oferta
Exceso
de
Demanda
Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades
Función de Oferta
Función de Demanda
d oQ
Q
=
bP
a
Q
d=
−
dP
c
Q
o=
−
+
Condición de Equilibrio
dP
c
+
−
=
a
−
bP
c
a
dP
bP
+
=
+
(
b
+
d
)
P
=
a
+
c
d
b
c
a
P
+
+
=
*
Precio de Equilibrio
Cantidad de Equilibrio
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
=
+
−
=
d
b
c
a
d
c
dP
c
Q
od
b
bc
ad
Q
Q
Q
o d+
−
=
=
=
*
* Q * P d oQ
Q
Q
d
>
Q
o
d oQ
Q
>
Exceso
de
Oferta
Exceso
de
Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 1 : Modelo Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
d oQ
Q
=
P
Q
d=
23
−
2
P
Q
o=
−
5
+
7
Condición de Equilibrio
P
7
5
+
−
=
23
−
2
P
5
23
2
7
P
+
P
=
+
28
9
P
=
9
28
*
=
P
Precio de Equilibrio
Cantidad de Equilibrio
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
=
9
28
7
5
7
5
P
Q
o9
151
*
=
Q
o=
Q
d=
Q
* Q * P d oQ
Q
Q
d
>
Q
o
d oQ
Q
>
Función de Oferta
Función de Demanda
d oQ
Q
=
24
P
Q
d=
−
1
4
−
=
P
Q
oCondición de Equilibrio
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal
Hay una solución económicamente admisible:
la correspondiente a precios y cantidades positivos.
En economía, las variables dependiente e
independiente sólo pueden tomar valores dentro del
primer cuadrante cartesiano.
lineal
en
cuadrática
en
P
P
d o Q QExceso
de
Oferta
Exceso
de
Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 2 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
d oQ
Q
=
24
P
Q
d=
−
1
4
−
=
P
Q
oCondición de Equilibrio
24
−
P
=
1
4
P
−
5
4
P
+
P
2=
0
5
4
2+
−
=
P
P
1
*
=
∴
P
3
1
)
1
(
4
1
4
0=
P
−
=
−
=
Q
∴
Q
*
=
3
Solución económica factible para el precio
*
P
*
Q
Cantidad de equilibrio
3
2
1
3
2
2
6
4
2
36
4
2
)
5
(
4
16
4
±
−
=
±
−
=
±
−
=
±
−
=
−
−
±
−
=
P
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
( )
p
D
( )
p
S
=
( )
p
p
D
=
410
−
( )
p
=
p
2+
3
p
−
70
S
Condición de Equilibrio
( ) ( )p D p Scuadrática
lineal
Hay una solución económicamente admisible,
la que se encuentra en el primer cuadrante y
correspondiente a precio y cantidad positivos.
34 0 36 0 38 0 40 0 42 0 44 0 19 19.25 19.5 19.75 20 20.25 20.5 20.75 21 p
Exceso
de
Oferta
Exceso
de
Demanda
Equilibrio de Mercado. Ejemplo 3 : Modelo No Lineal
Función de Oferta
Función de Demanda
( )
p
D
( )
p
S
=
( )
p
p
D
=
410
−
( )
p
=
p
2+
3
p
−
70
S
Condición de Equilibrio
p
p
p
2+
3
−
70
=
410
−
0
480
4
2+
−
=
p
p
(
p
+
24
)(
p
−
20
)
=
0
20
*
=
∴
P
( )
p
=
410
−
20
=
390
D
∴
D
( )
p
*
=
390
Solución económica factible para el precio
*
P
*
Q
Cantidad de equilibrio
cuadrática
lineal
0
20
0
24
=
−
=
+
P
P
Funciones Compuestas. Aplicaciones
Función de Costos
)
(
)
(
x
C
C
x
C
=
F
+
V
El costo total de producción es una función del costo fijo y del costo variableFunción de Beneficio
)
(
)
(
)
(
x
=
R
x
−
C
x
π
El beneficio o utilidad neta es una función del ingreso total y del costo totalFunción de Ingreso
x
p
x
R
(
)
=
⋅
El ingreso total es función de las unidades de producto vendidas al precio unitario dado( ) ( )
20
=
20
3
−
30
( )
20
2
+
400
( )
20
+
500
=
4
,
500
C
( ) ( )
19
=
19
3
−
30
( )
19
2
+
400
( )
19
+
500
=
4
,
129
C
( ) ( )
20
−
C
19
=
4
,
500
−
4
,
129
=
371
C
)
a
)
b
)
a
)
b
( )
x
px
CF
cx
U
=
−
−
función de utilidades = ingresos - costos( )
x
x
x
U
=
275
−
1
,
500
−
125
En equilibrio, no hay ganancias ni pérdidas, es decir, las utilidades son cero, por lo tanto los ingresos son iguales a los costos
( )
x
=
275
x
−
1
,
500
−
125
x
=
0
U
x
x
1
,
500
125
275
=
+
10
150
500
,
1
=
=
x
( )
x
=
275
x
−
1
,
500
−
125
x
=
1
,
000
U
500
,
2
150
x
=
17
7
.
16
150
500
,
2
=
≈
=
x
utilidad
( )
x
x
R
=
275
17
=
x
( )
x
x
C
=
1
,
500
+
125
pérdida Función de Ingreso Función de Costos punto de equilibrio( ) ( )
500
,
2
150
000
,
1
125
500
,
1
275
000
,
1
=
=
−
−
=
−
x
x
x
x
C
x
R
17
67
.
16
150
500
,
2
=
≈
=
x
( )
0
.
3
500
'
=
=
q
2−
q
+
dq
dC
q
C
( )
3
=
0
.
1
( )
3
3−
0
.
5
( )
3
2+
500
( )
3
+
200
=
1
,
698
.
2
C
( )
4
=
0
.
1
( )
4
3−
0
.
5
( )
4
2+
500
( )
4
+
200
=
2
,
198
.
4
C
2
.
500
1
2
.
698
,
1
4
.
198
,
2
3
4
)
3
(
)
4
(
3
4
)
3
(
)
4
(
=
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
C
C
C
C
q
C
( )
3
0
.
3
(
3
)
(
3
)
500
499
.
7
'
=
2−
+
=
C
)
a
)
b
0 .5 1 1. 5 2 CM g 0 20 40 60 80 100 x 5 10 15 20 25 C 0 20 40 60 80 100 x
( )
(
)
2 12
5
2
5
'
−+
=
=
=
x
CMg
dq
dC
q
C
derivando por regla de la cadena
( )
5
2
3
(
5
2
)
23
1+
+
=
+
+
=
x
x
q
C
Función de Costo Total Función de Costo Marginal El costo marginal disminuye con el aumento de la producción( ) ( )
( ) (
)
(
)
100 120 27 18 60 9 60 100 3 10 6 3 10 ' ' 2 2 2 2 + − = + − + − = − − − = + = x x x x x x x x x x xp x p x R( ) ( ) (
x p x x x)
x x x x x x x R = = 10−3 2 =100 −60 2 +9 3 = 9 3 −60 2 +100( ) (
)
2 3 10 x x p = −( )
27 120 100 0 ' x = x2 − x+ = R ( ) ( )( ) ( ) 9 10 20 54 60 120 27 2 100 27 4 120 120 2 ± = ± = − ± = x 33 . 3 3 10 9 30 = = = c x 1.11 9 10 = = c x 0 60 120 3 10 54 3 10 '' ⎟− = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =xc R ∴ xc =3.33 es un mínimo 0 60 120 9 10 54 9 10 '' ⎟− =− < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =xc R ∴ xc =1.11 es un máximo( )
54 120 '' x = x− R( )
54 120 0 '' x = x− = R 2.22 9 20 54 120 = = = ⇒ xI es un punto de inflexión función de precio función de ingreso ingreso marginalcriterio de la primera derivada igual a cero para determinar puntos críticos criterio de la segunda derivada para caracterizar los puntos críticos
Función de Ingreso Función de Ingreso Marginal Ingreso Máximo 38 . 49 81 4000 9 10 100 9 10 60 9 10 9 9 10 3 2 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =xc R ( ) (1.11,49.38) 81 000 , 4 , 9 10 , ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = c c y x
Exceso
de
Oferta
Exceso
de
Demanda
Equilibrio de Mercado. Modelo Lineal. Generalidades
Función de Oferta
Función de Demanda
d oQ
Q
=
( )
P
f
Q
d=
( )
P
f
Q
o=
Condición de Equilibrio
(
P
*,
Q
*
)
Precio de Equilibrio
Cantidad de Equilibrio
* Q * P d oQ
Q
o
d
Q
Q
>
d oQ
Q
>
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función
( )
x
=
x
3+
2
x
2−
15
x
−
20
f
Obtener la derivada mediante la regla de los cuatro pasos.
)
(
x
f
y
=
(
+
∆
)
3+
2
(
+
∆
)
2−
15
(
+
∆
)
−
20
=
∆
+
y
x
x
x
x
x
x
y
1) Incrementando enx
∆
x
2) Restando la función original
(
+ ∆)
3 + 2(
+∆)
2 −15(
+ ∆)
−20−(
3 + 2 2 −15 −20)
= − ∆ + y y x x x x x x x x x y 20 15 2 20 15 15 2 4 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 + ∆ + ∆ +∆ + + ∆ + ∆ − − ∆ − − − + + = ∆y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y = ∆ + ∆ +∆ + ∆ + ∆ − ∆ ∆ 3 2 3 2 3 4 2 2 15 Sea la funciónRegla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función -5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 3) Dividiendo entre
∆
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
∆
∆
−
∆
+
∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
∆
3
23
2 34
2
215
15
2
4
3
3
2+
∆
+
∆
2+
+
∆
−
=
∆
∆
x
x
x
x
x
x
x
y
4) Tomando el límite cuando
∆
x
→
0
15
2
4
3
3
lim
lim
2 2 0 0∆
=
+
∆
+
∆
+
+
∆
−
∆
→ ∆ → ∆x
x
x
x
x
x
x
y
x x15
4
3
2+
−
=
∴
x
x
dx
dy
Regla de los 4 pasos para calcular la derivada de una función -5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial
( )
x
=
x
3+
2
x
2−
15
x
−
20
f
Considerando la función 15 4 3 2 + − = x x dx dy A partir de( )
0
'
x
=
f
Al resolver se obtienen los puntos críticos de
0 15 4 3x2 + x− = se resuelve a ac b b x 2 4 2 − ± − =
( )( )
( )
3 7 2 6 14 4 3 2 15 3 4 4 4 2 − ± = ± − = − − ± − = x 3 5 1 = c x 3 2 = − c x medianteCriterio de la primera derivada (para obtener puntos críticos)
( )
x
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial
( )
0
''
x
c<
f
( )
x
f
Si entonces es un dex
c( )
0
''
x
c>
f
máximo mínimoCriterio de la segunda derivada (para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo)
Al resolver se obtienen los puntos de inflexión de
f
''
( )
x
=
0
f
( )
x
(
3
24
15
)
6
4
2 2+
=
−
+
=
x
x
x
dx
d
dx
y
d
A partir de0
4
6
x
+
=
se resuelve3
2
−
=
∴
Ix
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Gráfica de una función mediante el cálculo diferencial
Evaluando en la función original las correspondientes abscisas de los puntos críticos y del punto de inflexión se obtienen los puntos respectivos que
facilitarán el trazado de la gráfica de la función f
( )
x = x3 + 2x2 −15x −203 5 1 = c x 3 2 = − c x 3 2 − = I x Para
(
)
34.8 27 940 20 3 5 15 3 5 2 3 5 3 5 3 2 1 ⎟− = − =− ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = x f x x f c Para f(
x = x2)
= f(
x = −3) ( )
= −3 3 +2( )
−3 2 −15( )
−3 −20 =16 c Para(
)
32 32 2 23 15 23 20 25427 9.4 2 3 − = − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = = x f x x f I(
1.67, 34.8)
27 940 , 3 5 1 1 ⎟= − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∴ c c P P(
3,16)
2 − ∴ c P(
0.67, 9.4)
27 254 , 3 2 = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − ∴ I I P P-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 y -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -.5 0 .5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x
Análisis gráfico de una función mediante el cálculo diferencial
( )
x
=
x
3+
2
x
2−
15
x
−
20
f
cóncava convexa( )
( )
0 '' 0 ' < > x f x f( )
( )
0 '' 0 ' < < x f x f( )
( )
0 '' 0 ' < = c c x f x f( )
( )
0 '' 0 ' > = c c x f x f( )
( )
0 '' 0 ' > < x f x f( )
( )
0 '' 0 ' > > x f x f( )
( )
0 '' 0 ' = < I I x f x f( )
3
4
15
'
x
=
x
2+
x
−
f
( )
6
4
''
x
=
x
+
f
Los puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolver
x
f
( )
x
=
0
Los puntos de intersección de con el eje se obtienen al resolvery
f
(
x
=
0
)
( )
x
f
( )
x
f
-30 -25 -20 -15 -1 0 -5 0 5 10 15 20 25 30 -1 0 1 2 3 4 5
Análisis gráfico de función cúbica mediante cálculo diferencial
Fuente: Dowling, Edward T. (1992) Teoría y Problemas de Cálculo para la Administración, Economía y Ciencias Sociales, McGraw Hill. Sección 6.5, Ejemplo 4, pág. 162-163
( )
x
=
2
x
3−
12
x
2+
30
f
( )
x
x
x
f
'
=
6
2−
24
( )
0
'
x
=
f
6
x
2−
24
x
=
0
(
4
)
0
6
x
x
−
=
0
6
x
=
x
−
4
=
0
0
1=
cx
x
c2=
4
( )
12
24
''
x
=
x
−
f
( )
0
''
x
=
f
12
x
−
24
=
0
(
2
)
0
12
x
−
=
0
=
Ix
( )
12
(
0
)
24
0
''
x
c1=
−
<
f
( )
12
(
4
)
24
0
''
x
c2=
−
>
f
2 cx
1 cx
es máximo es mínimo punto de inflexión Criterio de la segunda derivadaCriterio de la primera derivada
( )
0 ' x > f f '( )
x < 0( )
0 ' x > f( )
0 ' x < f( )
0 ' x = f( )
0 ' x = f( )
0 ' x < f( )
0 '' x = f1 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2 S 0 5 10 15 20 25 30 .5 .6 .7 .8 .9 1 S 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 150 200 S 0 5 10 15 20 25 30 -1 0 -5 0 5 10 S 0 5 10 15 20 25 30
Serie geométrica (convergente y divergente)
Fuente: Sydsaeter, Knut, Arne Strom y Peter Berck (2005) Economists’ Mathematical Manual, 4ª. ed. Springer, pág. 49,
1 2
1
+
+
+
+
−=
n na
a
a
S
L
n n na
a
a
a
a
aS
=
+
2+
3+
L
+
−1+
(
)
n na
S
a
=
−
−
1
1
a
a
S
n n−
−
=
1
1
1
0
<
a
<
a
a
a
S
n n n n−
=
−
−
=
∞ → ∞ →1
1
1
1
lim
lim
Sea multiplicando pora
restando la segunda expresión a la primera despejando
