Parámetros de agujeros negros de observaciones

(1)

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de Kerr

Parámetros de agujeros negros de

observaciones

Alfredo Herrera Aguilar

en colaboración con Ulises Nucamendi

Instituto de Física

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

III Taller de Física de Altas Energías, Gravitación y Cosmología

ICF, Universidad Nacional Autónoma de México

(2)

Contenido

1 Breve motivación general

2 Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios

Métrica, campos de Killing y geodésicas

3 _{El agujero negro de Kerr}

Familia de agujeros negros de Kerr Geodésicas en el agujero negro de Kerr

Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos por partículas masivas.

(3)

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de Kerr

Breve motivación general

Se tiene evidencia dinámica de que en el centro de muchas

galaxias espirales (incluyendo la nuestra)’existen’agujeros

negros supermasivos (SgrA* en la Vía Láctea). Véanse, por

ejemplo: M. B. Begelman,Science300, 1898 (2003); Z. Q. Shen

et al., Nature (London)438, 62 (2005); A. M. Ghez et al.,

Astrophys. J.689, 1044 (2008).

En Relatividad General en 4 dimensiones, los agujeros negros neutros se describen por la solución de Kerr y están

completamente caracterizados por solamente dos cantidades

físicas:la masaM y el parámetro angular de rotación

a=J/M, dondeJ es el momento angular del agujero negro.

Para SgrA*,M ∼3.6×106_M_J _y ₀_.₇₀_±₀_.₁₁_M _≤_a_≤_M_.

Objetivo de esta plática: Primeros pasos hacia un método que

determine los parámetrosM yadel agujero negro de Kerr en

(4)

Contenido

(5)

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de KerrMétrica, campos de Killing y geodésicas

Métrica y campos de Killing

Escogemos lamétrica más general axisimétrica estacionariacon

dos planos ortogonales en 3+1 dimensiones: (escogemos

coordenadas esféricasxµ₍_{t, r, θ, ϕ}₎ _{y la norma}_g

rθ= 0)

ds2=gttdt2+ 2gtϕdtdϕ+gϕϕdϕ2+grrdr2+gθθdθ2 (1)

con la siguiente dependencia funcional,

gµν(r, θ) para µ, ν=t, r, θ, ϕ (2)

La métrica (1) tiene dos campos vectoriales de Killing que conmutan

[ξ, ψ] = 0:

ξµ = (1,0,0,0) Campo vectorial de Killing temporal (3)

(6)

Geodésicas y cantidades conservadas.

Carter, Phys. Rev. 174, 1559 (1968)

El emisor de fotones es una partícula masiva de prueba que sigue una geodésica sobre el espacio-tiempo con métrica (1) y con velocidad:

Ueµ= (Ut, Ur, Uθ, Uϕ)e (5)

Debido a la existencia de los campos vectoriales de Killing (3)-(4), existen cantidades conservadas para la partícula masiva a lo largo de

su geodésica: Energía totalEy la componente del momento angular

totalLalrededor del eje de simetría (ambos por unidad de masa):

E = E¯

m =−gµνξ

µ_Uν₌

−gttUt−gtϕUϕ (6)

L =

¯

L

m = gµνψ

µ_Uν ₌_g

(7)

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de KerrMétrica, campos de Killing y geodésicas

Geodésicas y cantidades conservadas

De (7) y (8), despejamosUt_y_Uϕ_{en términos de}_E_y_L_,

Ut = (Egϕϕ+Lgtϕ) (g2

tϕ−gttgϕϕ)

(8)

Uϕ = −(Egtϕ+Lgtt)

(g2

tϕ−gttgϕϕ)

(9)

La normalización de la velocidad de la partícula implica la ecuación:

−1 =UµUµ=gtt(Ut)2+ 2gtϕUtUϕ+gϕϕ(Uϕ)2+grr(Ur)2+gθθ(Uθ)2

Introduciendo las velocidadesUt_y_Uϕ_{en la espresión anterior:}

grr(Ur)2+gθθ(Uθ)2 =

E2_g

ϕϕ+ 2E·Lgtϕ+L2gtt

(g2

tϕ−gttgϕϕ)

(8)

Contenido

Familia de agujeros negros de Kerr

Geodésicas en el agujero negro de Kerr

(9)

Breve motivación general Espacio-tiempos axisimétricos estacionarios El agujero negro de KerrFamilia de agujeros negros de Kerr Geodésicas en el agujero negro de Kerr Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos por partículas masivas. Conclusiones.

Familia de agujeros negros de Kerr en coordenadas

Boyer-Lindquist:

M

2

≥

a

2

ds2=gttdt2+ 2gtϕdtdϕ+gϕϕdϕ2+grrdr2+gθθdθ2

con las componentes métricas,

gtt=−

1−2M r

Σ

, gtϕ=−

₂_{M ar}_sin2_θ

Σ

, grr =

Σ ∆,

gϕϕ=

r2+a2+2M a

2_r_sin2_θ

Σ

sin2θ , gθθ= Σ,

donde tenemos:

∆ =r2+a2−2M r , Σ =r2+a2cos2θ ,

(10)

Contenido

Familia de agujeros negros de Kerr

Geodésicas en el agujero negro de Kerr

(11)

Tensor de Killing de Kerr y Constante de Carter.

La métrica de Kerr posee el campo tensorial de KillingKµν:

Kµν = 2Σl(µnν)+r2gµν satisface ∇(αKµν)= 0,

donde tenemos los campos vectoriales nulos (lµ_,_nµ_{) que satisfacen}

lµ_l

µ=nµnµ= 0y la relaciónlµnµ=−1,

lµ = r

2₊_a2

∆ _∂ ∂t µ + a ∆ _∂ ∂ϕ µ + _∂ ∂r µ ,

nµ = r

2₊_a2

2Σ _∂ ∂t µ + a 2Σ _∂ ∂ϕ µ − ∆ 2Σ _∂ ∂r µ ,

Lo anterior implica la existencia de una constante de movimientoC:

(12)

Ecuaciones de movimiento geodésico.

La constanteCse escribe en términos de la constante de CarterQ:

C≡(L−aE)2+Q=

(r2+a2)E−aL2

−Σ2(Ur)2−∆r2

₁

∆

,

de lo cual despejamos la velocidad radialUr_:

Σ2(Ur)2=(r2+a2)E−aL2−∆r2+ (L−aE)2+Q≡V2(r)

Usando la ecuación previa en la ecuación (10) tenemos paraUθ_:

Σ2(Uθ)2=Q−

a2(1−E2) + L

2

sin2θ

cos2θ≡Θ2(θ)

Para dar una interpretación física para la constante de Carter,

(13)

Ecuaciones de movimiento geodésico

La constante de CarterQsatisface:

Q= Σ2(Uθ)2+

a2(1−E2) + L

2

sin2θ

cos2θ

Para órbitas acotadas (órbitas que no alcanzanr→ ∞) tenemos:

E <1 .

Q≥0

Q= 0 para θ=π/2 ⇔ órbitas ecuatoriales

Para órbitas no acotadas (órbitas que alcanzanr→ ∞) tenemos:

(14)

Ecuaciones geodésicas para

U

µ

con parámetros

dados (

E

,

L

,

Q

,

x

µ_o

)

Ut = 1

∆Σ

(r2+a2)2−∆a2sin2θ

E−(2M ar)L

Uϕ = 1

∆Σ sin2θ

(2M arsin2θ)E+ (∆−a2sin2θ)L

Σ2(Ur)2 = (r2+a2)E−aL2−∆r2+ (L−aE)2+Q≡V2(r)

Σ2(Uθ)2 = Q−

a2(1−E2) + L

2

sin2θ

(15)

Detección y emisión de fotones con momento

k

µ

.

Un fotón con cuadrimomentokµ_{parametrizado por:}

kµ= (kt, kr, kθ, kϕ) ,

se mueve sobre una geodésica nula fuera del horizonte de eventos del agujero negro de Kerr,

0 =kµkµ=gtt(kt)2+ 2gtϕ(ktkϕ) +gϕϕ(kϕ)2+grr(kr)2+gθθ(kθ)2 ,

y tiene las constantes de movimiento (Qγ es la constante de Carter):

Eγ = −gµνξµkν=−gttkt−gtϕkϕ ,

Lγ = gµνψµkν=gϕtkt+gϕϕkϕ ,

(16)

Ecuaciones geodésicas para

k

µ

con parámetros

dados (

E

γ

,

L

γ

,

Q

γ

,

y

oµ

)

kt = 1 ∆Σ

(r2+a2)2−∆a2sin2θ

Eγ−(2M ar)Lγ

kϕ = 1

∆Σ sin2θ

(2M arsin2θ)Eγ+ (∆−a2sin2θ)Lγ

Σ2(kr)2 =

(r2+a2)Eγ−aLγ

2 −∆

(Lγ−aEγ)2+Qγ

Σ2(kθ)2 = Qγ−

"

−a2E_γ2+ L

2

γ

sin2θ

#

(17)

Contenido

(18)

Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos.

La frecuencia de un fotón medido por la partícula con velocidadUµ

en el punto de emisión(e)es: [Herrera-Aguilar, Nucamendi et al.,

MNRAS 432, 301 (2013)].

ωe=−(kµUµ)|e

La frecuencia detectada por un observador en infinito(r→ ∞)con

velocidadUµ_|

des:

ωd = −(kµUµ)|d

donde las velocidades del emisor(e)y del detector(d)son:

U_eµ= (Ut, Ur, Uθ, Uϕ)|e, U_dµ= (Ut, Ur, Uθ, Uϕ)|d

(19)

Corrimiento al rojo y al azul de fotones emitidos.

Los corrimientos (al rojo y al azul) observados se definen por:

1 +z= ωe

ωd

= (EγU

t₋_L

γUϕ−grrUrkr−gθθUθkθ)|e

(EγUt−LγUϕ)|d

En general, tenemos una funciónF de la forma:

1 +z = ωe

ωd

=F(r, θ, b, B, q, s)

donde los parámetros(b, B, q, s)son los cocientes:

b≡ Lγ Eγ

, B≡ L

E , q≡ Qγ

Eγ

(20)

Ejemplo: Órbitas circulares ecuatoriales (

θ

=

π/2

).

Para órbitas circulares ecuatoriales tenemosUr=Uθ= 0(recuerde

queb=Lγ/Eγ) y por lo tanto:

1 +z = (EγU

t₋_L γUϕ)|e

(EγUt−LγUϕ)|d

=(U

t₋_{b U}ϕ₎_| e

(Ut₋_{b U}ϕ₎_| d

Introduciendo,

b=|b| donde ≡ ±1

tenemos para los corrimientos al rojo y al azul:

1 +z =

(Ut₋_|_b_|_Uϕ₎_| e

(21)

Corrimientos gravitacional y cinemáticos.

Calculamos ahora el corrimiento al rojo puramente gravitacional que

corresponde al valorb= 0(partícula estática) medido por un

observador localizado enr→ ∞,

1 +zc =

(Ut)|e

(Ut₎_| d

A fin de tener corrimientos al rojo y al azul cinemáticos respecto al

observador estático centrado enb= 0, tenemos que substraer la

cantidad previa a los corrimientoszlo que resulta en:

Zred = z+−zc=

(Ut eU

ϕ d −U

t dU

ϕ e)

Ut d(U

t

d− |b|U ϕ d)

(22)

Corrimientos cinemáticos.

Zblue = z−−zc=−

(Ut eU

ϕ d −U

t dUeϕ)

Ut

d(Udt+|b|U ϕ d)

|b|

En general, tenemos queZred6=Zbluedebido al arrastre (dragging) del

sistema inercial del detector debido a la rotación del espacio-tiempo

y codificado porU_dϕ.

Cuando el detector está suficientemente lejos (r→ ∞), tenemos:

U_dϕ Ut d

=dϕ

dt ≡Ωd1

En este límite,Zred =Zblue≡Z, y entonces tenemos:

Z2= _Uϕ

e

Ut d

2

(23)

E

y

L

para órbitas circulares ecuatoriales.

Uϕ_,_Ut_,_E_y_L_{para órbitas circulares ecuatoriales son:}

Uϕ(r, π/2) = (2M a)E+ (r−2M)L

r(r2₊_a2₋₂_{M r}₎

Ut(r, π/2) = (r

3₊_a2_r_{+ 2}_{M a}2₎_E₋₍₂_{M a}₎_L

r(r2₊_a2₋₂_{M r}₎

E= r

3/2₋₂_{M r}1/2_±_aM1/2

r3/4₍_r3/2₋₃_{M r}1/2_±₂_aM1/2₎1/2

L= (±) M

1/2₍_r2_∓₂_aM1/2_r1/2₊_a2₎

(24)

El parámetro

b

para fotones.

Escogemos el valor del parámetro de impactob=Lγ/Eγ como el

valor para el cualkr

e= 0, que corresponde a puntos sobre el eje

horizontal perpendicular a la geodésica nula en el punto de emisión

del fotón. De la relaciónkµ_k

µ|e= 0, encontramos:

b± =

−gtϕ±

q

g2

tϕ−gttgϕϕ

gtt

Usando la métrica de Kerr, tenemos:

b± =

(25)

Caso general

En el caso general tenemos las siguientes relaciones:

Zred = F1(r, θ, M, a),

Zblue = F2(r, θ, M, a),

que en principio se pueden invertir para obtener las expresiones

M = G1(r, θ, Zred, Zblue),

a = G2(r, θ, Zred, Zblue)

(26)

Caso general

En el caso particular en querd→ ∞tenemos las siguientes

relaciones:

zred= ±M

1 2

2M a+re

√

r2

e−2M re+a2

r

3 4

e re−2M

q

r

3 2

e−3M r

1 2

e±2M

1 2a

,

zblue= ±M

1 2

2M a−re

√

r2

e−2M re+a2

r

3 4

e re−2M

q

r

3 2

e−3M r

1 2

e±2M

1 2a

.

Finalmente para un agujero negro de Schwarzschild:

M= 1 + 5z2+√1 + 10z2₊_z4

(27)

Contenido

(28)

Conclusiones

Método para determinar los parámetrosM yadel agujero negro

de Kerr en términos de los corrimientos al rojo y al azul de fotones emitidos por partículas masivas moviéndose en

geodésicas sobre el agujero negro de Kerr (curvas de rotación

del agujero negro).

Para trabajo futuro: calcular el corrimiento para órbitas más generales: circulares no ecuatoriales, elípticas ecuatoriales, elípticas no ecuatoriales, etc.

Con muestras inventadas de datos aleatorios y sus respectivos

errores, estimar los parámetros (M,a) mediante un ajuste

bayesiano. Este análisis nos permitirá conocer el grado de precisión que se requiere medir para los corrimientos en una/un observación/experimento real.