Principios fundamentales del conteo

Principios fundamentales del conteo

por G3.

Octubre 2014

Resumen

Damos aqu´ı los principios fundamentales del c´alculo combinatorio: El principio de la suma.

El principio del palomar. El principio del producto.

El principio del producto generalizado.

Mostramos tambi´en algunos ejemplos y aplicaciones.

Teorema 1 (Principio de la suma). Si A yB son conjuntos finitos tales que

A∩B =_∅, entonces

|A∪B|=|A|+|B|.

Demostraci´on. Sean m y n los cardinales de A y B, respectivamente. En-tonces existen funciones fA : A → Im y fB : B → In biyectivas. Definimos

f :A∪B →Im+n, tal que para cada c∈A∪B,

f(c) =

(

fA(c) si c∈A,

m+fB(c) si c∈B.

Claramente f es biyectiva (pru´ebalo!). Por tanto |A∪B|=m+n.

Corolario 1 (Principio de la suma). Sea {Ai}1≤i≤n una colecci´on finita de

conjuntos finitos, tales que Ai∩Aj =∅, para todo i6=j. Entonces

Demostraci´on. Inducci´on sobre n.

Teorema 2(Principio del palomar). SeaAun conjunto finito de cardinalm. Supongamos que{Ai}ni=1 es un partici´on deA, esto es,Ai ⊂A, Ai∩Aj =∅,

si i6=j, y S

iAi =A. Si m > n, entonces existe j tal que |Aj|>1.

Demostraci´on. Supongamos que|Ai| ≤1 para todo i= 1, ..., n. Entonces,

m =|A|

=|A₁∪A₂∪ · · · ∪An|

=|A₁|+|A₂|+· · ·+|An|

≤1 + 1 +· · ·+ 1 =n.

Contradicci´on a la hip´otesis. Se sigue entonces que existe al menos un j tal que |Aj|>1.

Ejemplo 1. El principio del palomar se interpreta del siguiente modo: Metemos m objetos en n cajas. Sim > n, entonces habr´a al menos una caja con m´as de un objeto.

Teorema 3(Principio del producto). SeanAyB conjuntos finitos. Entonces |A×B|=|A||B|.

Demostraci´on. Si B = _∅, entonces A × B = _∅, de donde es obvio que

|A×B|= 0 =|A||B|. Supongamos que B 6=∅. Sea m el cardinal deA y sea fA : A → Im una funci´on biyectiva. Probaremos por inducci´on la siguiente

afirmaci´on: Para todo n ∈_N, si B tiene cardinal n, entonces|A×B|=mn. Empezamos por el caso n = 1. Este es el caso base. Si B tiene cardinal 1, entonces podemos escribir B ={b}. Definimos entonces f :A× {b} →Im

tal que para cada (a, b)∈A× {b},

f(a, b) =fA(a).

Claramente f es biyectiva (pru´ebalo!). Por lo tanto

|A× {b}|=m=m1.

Sea B un conjunto de cardinal n + 1. Sea fB : In+1 → B una funci´on biyectiva. Sea B′ _{= f}

B(In). Note que B′ $ B y el cardinal de B′ es n.

As´ı que por hip´otesis de inducci´on, |A ×B′_{| = mn. Y por el caso base,} |A× {f(n+ 1)}|=m. Note adem´as que

A×B = (A×B′)∪(A× {f(n+ 1)}) y (A×B′)∩(A× {f(n+ 1)}) =∅.

Por lo tanto,

|A×B| =|A×B′|+|A× {f(n+ 1)}|=mn+m =m(n+ 1).

Lo que prueba que la conclusi´on de la afirmaci´on es tambi´en v´alida para n+ 1.

Podemos dar una prueba simplificada y esquem´atica, alternativa de la prueba inductiva anterior del modo siguiente.

Prueba alternativa del Principio de la producto (Teorema 3). SiA=_∅o bien B = ∅, la conclusi´on es clara. Supongamos A 6= ∅ 6= B. Sea m = |A|

y n = |B|. Podemos escribir A = {a₁, ..., am}. Para cada 1 ≤ i ≤ m, sea

Bi ={ai} ×B. Para cada b ∈B, la regla

b7→(ai, b),

define una correspondencia biyectiva de B en Bi, por lo quen =|B|=|Bi|.

Note que para todo 1 ≤ i, j ≤ m, si i 6= j, entonces ai 6= aj y en

consecuencia Bi∩Bj = ∅. Y por otro lado, es claro que A×B = Sn_i=1Bi.

Luego,

|A×B|=

n X

i=1

|Bi|= m X

i=1 1

!

n=mn.

Corolario 2 (Principio del producto). Sean A1,...,An conjuntos finitos.

En-tonces

|A1×A2× · · ·An|=|A1||A2| · · · |An|.

Ejemplo 2. Supongamos que para cada i= 1, ..., m, tenemos n objetos del tipoi. Entonces el n´umero total de objetos que tenemos esmn. En efecto, asociamos cada pareja ordenada (i, j) ∈ Im ×In, con el j-´esimo objeto del

tipo i. Claramente, el n´umero total de objetos es justamente el cardinal de

Im×In, es decir, seg´un el principio del producto, mn.

Ejemplo 3. Podemos pensar el ejemplo anterior como un proceso de

selecci´onal azar de un objeto dentro de una multitud de objetos, realizada en dos fases o tiempos. El modelo es el siguiente: Cada una de murnas, contiene n objetos. Debemos elegir un objeto mediante el siguiente procedimiento consistente en dos tiempos:

I) Se elige una urna.

II) De la urna elegida se elige un objeto.

Podemos visualizar este experimento con el siguiente diagrama:

.. .

1

2

b

b

.. .

1

2

n−1

n

1

2

n−1

n

.. .

m m−1

b

b

.. .

n n−1

2 1

n n−1

2 1

b

.. . .. .

.. . Elección de un objeto

Ponemos algunos ejemplos espec´ıficos para este ejemplo en particular.

Ejemplo 4.Pe˜na Nieto va elegir una mansi´on en la playa para su esposa la Gaviota. Tiene dos posibilidades, comprar un departamento o una casa. De cada opci´on, a su vez, puede elegir entre 1, 2 ´o 3 dormitorios. ¿Cu´antos tipos de residencia tiene posibilidad de elegir Pe˜na? Soluci´on. Hay dos tipos de mansi´on (objetos): Departamento y Casa. Cada tipo de mansi´on tiene tres opciones (objetos). Por tanto, hay 2·3 = 6 opciones para la mansi´on de la Gaviota.

Ejemplo 5.Supongamos ahora que Pe˜na tiene la posibilidad de incluir, en cada una de las opciones anteriores, un ba˜no con jacuzzi, o un recibidor con bar, o un teatro en casa, o bien un gimnasio. ¿Cu´antas posibilidades tiene Pe˜na ahora? Soluci´on: Ya hab´ıa 6 opciones anteriormente, cada una tiene ahora 4 posibilidades m´as, de modo que el nuevo n´umero de posibilidades es de 6·4 = 24. Podemos representar con un diagrama este razonamiento.

Mansión de Peña

Casab

1 Hab

2 Hab

3 Hab

b

Jacuzzi Bar Teatro Gym

b

b

Jacuzzi Bar Teatro Gym

Jacuzzi Bar Teatro Gym

Deptob

1 Hab

2 Hab

3 Hab

b

Jacuzzi Bar Teatro Gym

b

b

Jacuzzi Bar Teatro Gym

Jacuzzi Bar Teatro Gym

El diagrama muestra un ´arbol de desici´on, donde los caminos marcados son todas las posibles decisiones que se pueden tomar. Si contamos cada camino, vemos que son 2·3·4 = 24.

Podemos proceder tambi´en del modo siguiente: Primero identificamos cada posibilidad con una terna ordenada (i, j, k), donde 1≤i≤2, 1≤j ≤3 y 1 ≤ k ≤ 4. Cada coordenada nos indica el camino en el diagrama que hemos tomado. Por ejemplo, la terna (2,3,2), es el camino

Depto7→3 Hab 7→Bar.

Que significa que Pe˜na compr´o un departamente con 3 habitaciones y un Bar.

As´ı que podemos rehacer el diagrama de la forma siguiente:

Mansión de Peña

1 b

(1,1)

(1,2)

(1,3)

b

(1,1,1)

(1,1,2)

(1,1,3)

(1,1,4)

b

b

(1,2,1)

(1,2,2)

(1,2,3)

(1,2,4)

(1,3,1)

(1,3,2)

(1,3,3)

(1,3,4)

2 b

(2,1)

(2,2)

(2,3)

b

(2,1,1)

(2,1,2)

(2,1,3)

(2,1,4)

b

b

(2,2,1)

(2,2,2)

(2,2,3)

(2,2,4)

(2,3,1)

(2,3,2)

(2,3,3)

(2,3,4)

b

Este diagrama es justamente la construcci´on del conjuntoI2×I3×I4. Por lo tanto, el n´umero que buscamos, seg´un el principio del producto es

Ejemplo 6.Veamos otro ejemplo con un poco m´as de complejidad: Queremos acomodar 4 libros en una estanter´ıa con 4 lugares. ¿De cu´antas formas podemos acomodar los libros? Soluci´on. En el primer lugar de la estanter´ıa, podemos colocar cualquiera de los 4 libros. As´ı que tenemos 4 elecciones posibles para el primer lugar. Una vez ocupado en primer lugar, el segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los tres libros restantes. O sea, teneos 3 elecciones posibles para ocupar el segundo lugar. Una vez colocados los dos primeros libros, tenemos solo dos libros para escoger uno que ocupar´a el tercero. Por ´ultimo, el cuarto lugar, solo puede ser escogido de una sola manera, con el libro restante. Por tanto, el n´umero de ordenaciones es

4·3·2·1 = 24.

Ejemplo 7.Volviendo al ejemplo de los libros anterior, planteamos una situaci´o un poco m´as compleja: Supongamos que queremos acomodar 4 li-bros en un estante con 4 lugares, de las materias de a:=´algebra, c:=c´alculo, g:=geometr´ıa, f:=f´ısica, pero de tal forma que el segundo estante sea ocupa-do por el libro de c´alculo o de f´ısica. ¿De cu´antas formas se pueden acomodar los libros? Soluci´on.Para resolver este problema hacemos un dibujito

Dos formas posiblesayg

Dos formas posibles:cyf

Dos formas posibles: Cualquiera que no esté en 1 y 2

Una forma posible: El libro restante, después de acomodar los tres primeros.

1

2

3

4

Por lo tanto hay 2·2·2·1 = 8 formas de acomodar los libros.

Espec´ıficamente, sea S el conjunto de todas las formas que hay de aco-modar los libros con la especificaci´on indicada. Entonces

S ={(a, c, g, f),(a, c, f, g),(a, f, g, c),(a, f, c, g), (g, c, a, f),(g, c, f, a),(g, f, a, c),(g, f, c, a)}.

a

(a, c)

(a, c, g) (a, c, g, f)

(a, c, f, g)

(a, f)

(a, f, g) (a, f, g, c)

(a, f, c) (a, f, c, g)

g

(g, f)

(g, f, a)

(g, f, c, a)

(g, f, a, c)

(g, c)

(g, c, a) (g, c, a, f)

(g, c, f) (g, c, f, a)

b

(g, f, c)

(a, c, f)

Desde este diagrama es claro que |S|= 2·2·2·1 = 8.

Todos estos ejemplos tienen justificaci´on a partir del resultado que sigue.

Teorema 4 (Principio del Producto Generalizado). Sean A y B conjuntos finitos. Sea S ⊂A×B. Supongamos que para cada a∈Dom(S),

|{b∈B : (a, b)∈S}|=n,

donde n ∈_N∪ {0} es fijo. Entonces

|S|=mn,

donde m =|Dom(S)|.

Demostraci´on. Daremos una prueba esquem´atica. Tambi´en se puede usar inducci´on, pero eso lleva m´as explicaciones.

Pues bien, para cada a ∈ Dom(S), para abreviar notaci´on, definimos Ba = {b ∈ B : (a, b) ∈ S}. Note que los conjuntos {a} ×Ba, donde a ∈

Dom(S), forman una familia finita de conjuntos ajenos, y claramente

S = [

a∈Dom(S)

(Algunos autores dicen que {a} ×Ba es la “fibra” de a). Y por otro lado,

seg´un el principio del producto, |{a} ×Ba|=|{a}| · |Ba|=|Ba|.

Entonces, seg´un el principio de la suma,

|S|=

[

a∈Dom(S)

{a} ×Ba

= X

a∈Dom(S)

|{a} ×Ba|

=



 X

a∈Dom(S) 1



n – pues |Ba|=n

=|Dom(S)|n =mn.

Enunciamos la versi´on general de este principio

Corolario 3 (Principio del Producto Generalizado). Sea A₁,...,Ak una

colecci´on finita de conjuntos finitos, y sea A=A1×A2× · · · ×Ak. Para cada

1≤j ≤k, definimos la proyecci´on sobre las primeras j coordenadas como la funci´onPj :A→A1×· · ·×Aj, tal que para cadak-ada(a1, ..., aj, ..., ak)∈A,

Pj(a1, ..., aj, ..., ak) = (a1, ..., aj).

Sea S ⊂ A. Supongamos que para cada 1< j ≤ k, y para todo (a₁, ..., aj)∈

Pj(S), existe nj ∈N∪ {0} tal que

|{a∈Aj : (a1, ..., aj−1, a)∈Pj(S)}|=nj.

Entonces,

|S|=n1n2· · ·nk,

donde n₁ =|P1(S)|.

Interpretaci´on. Queremos ocupar k lugares vac´ıos y ordenados del 1 al k, con k objetos, de acuerdo a la siguiente especificaci´on de orden:

1. El primer objeto, que ocupar´a el primer lugar, se puede elegir de un conjunto de n1 objetos. En otras palabaras, el primer objeto puede elegirse den₁ formas.

2. El j-´esimo objeto, que ocupar´a el j-´esimo lugar, para cada j = 2, ..., k, debe elegirse de modo tal que despu´es de colocar los pri-meros j −1 objetos ordenadamente, s´olo puede elegirse de un conjunto de nj objetos. En otras palabras, el j-´esimo objeto

pue-de elegirse solo pue-denj formas, despu´es de colocar los primerosj−1

objetos.

Entonces el principio del producto generalizado dice que el n´umero total de formas en que podemos llenar estosklugares, seg´un la especificaci´on descrita, es

n1n2· · ·nk.

Veamos como este principio y el resto de los principios del conteo son ´

utiles para resolver problemas.

Ejemplo 8. Volviendo al ejemplo de los libros, supongamos ahora que queremos ordenar los libros de tal forma que el libro de c´alculo nunca quede al ´ultimo. ¿Cu´antas ordenaciones hay? Soluci´on: Hay tres formas de poner el libro de c´alculo sin que ´este quede al final.

S1 = conjunto de ordenaciones tal que el libro de c´alculo queda en el lugar 1. S2 = conjunto de ordenaciones tal que el libro de c´alculo queda en el lugar 2. S₃ = conjunto de ordenaciones tal que el libro de c´alculo queda en el lugar 3.

Si S es el conjunto de todas las ordenaciones posibles tal que el libro de c´alculo no queda al ´ultimo entonces

S =S₁∪S₂∪S₃.

Note adem´as que Si∩Sj =∅, si i6=j. Por tanto

Ahora,

|S₁|= 1·3·2·1 = 6.

|S₂|= 3·1·2·1 = 6.

|S₃|= 3·2·1·1 = 6.

As´ı que |S|= 6 + 6 + 6 = 18.

Ejemplo 9.Ahora queremos ordenar los libros de tal forma que el libro de c´alculo no quede junto al de geometr´ıa. Hay entonces 4 posibilidades para hacer estas ordenaciones.

S1 = cqueda en 1 yg no est´a en 2. S2 = cest´a en 2 yg no est´a en 1 ni en 3. S₃ = cest´a en 3 yg no est´a en 2 ni en 3. S₄ = cest´a en 4 yg no est´a en 3.

An´alogo a lo anterior, si S es el n´umero total de ordenaciones de libros con esta especificaci´on entoncesS=S₁∪S₂∪S₃∪S₄. Note adem´as queSi∩Sj =∅,

si i6=j. Ahora,

|S₁|= 1·2·2·1 = 4

|S₂|= 2·1·1·1 = 2

|S₃|= 1·2·1·1 = 2

|S₄|= 1·2·2·1 = 4.

As´ı que

|S|=|S₁|+|S₂|+|S₃|+|S₄|= 4 + 2 + 2 + 4 = 12.

Ejemplo 10. En este ejemplo presenta otra interpretaci´on del principio del producto. Supongamos que tenemos dos conjuntos distintos de figuras distintas R y B, de colores rojo y azul, respectivamente, con las siguientes formas

R ={♠, _{, }} B ={♣, , ⋆, ♥}.

Nos preguntamos por el n´umero de combinaciones posibles de pares de figuras distintas que se pueden formar, con una figura de color rojo, y la otra de color azul.

No nos interesa el orden, lo ´unico que nos interesa es tener un par de figuras conformado por una roja y una azul.

Dibujamos a continuaci´on el conjunto C de todas las combinaciones po-sibles

♠♣, ♣, ♣, ♠ , , , ♠⋆, ⋆, ⋆, ♠♥, ♥, ♥. Es claro entonces que el n´umero que buscamos es

12 = 3·4 =|R||B|.

Lo que estamos haciendo es identificar cada combinaci´on de C con cada par ordenado de R ×B. Lo hacemos de esta forma porque el orden de en que formamos las combinaciones de colores no nos importa.

Observe la diferencia que hay si suponemos que el orden de los colores realmente nos importa. En este caso, tenemos que distinguir entre el caso en el cual la primera figura es roja, y el caso en el cual la primera figura es azul. En este caso, el n´umero de ordenaciones es

|R×B|+|B×R|=|R||B|+|B||R|= 2|R||B|= 2·12 = 24.

Damos una visi´on general de este ejemplo en el siguiente resultado.

Proposici´on 1. SeanAyB conjuntos finitos no vac´ıos tales queA∩B =∅. Sea C el conjunto de todos los conjuntos C ⊂A∪B tales que |A∩C|= 1 =

|B ∩C| (esto es, C tiene exactamente un elemento de A y exactamente un elemento de B). Entonces C es finito y

|C| =|A||B|.

Demostraci´on. Escribimos C ={{a, b}:a ∈A y b ∈B}. Para cada a∈ A y cada b ∈B, la regla

(a, b)7→ {a} ∪ {b}={a, b},

define una correspondencia biyectiva de A×B en C. Por lo tantoC es finito y

Con un razonamiento an´alogo o bien con inducci´on, puede probarse la siguiente versi´on m´as general.

Corolario 4. Supongamos queA₁,...,An es una colecci´on finita de conjuntos

finitos no vac´ıos y ajenos. Sea C el conjunto de todos los conjuntos C ⊂

Sn

i=1Ai, tal que |C∩Ai|= 1, es decir, C tiene exactamente un elemento da

cada Ai. Entonces

|C|=|A1||A2| · · · |An|.

Un conjunto de la forma {a, b} tambi´en puede escribirse de la forma

{a} ∪ {b}. Esta idea, permite probar una variante un poquito m´as general de la proposici´on anterior, como consecuencia del principio de la suma.

Proposici´on 2. Sea A un familia finita de conjuntos (finitos o no), y para

cada A∈ A, sea BA un conjunto tal que A∩BA=∅. Entonces el conjunto

de todos los conjuntos de la forma A∪ {b}, con A∈ A y b ∈BA, es finito y

tiene cardinal igual a

X

A∈A

|BA|. (1)

En particular, si n = |BA|, para todo A ∈ A, entonces (1) es simplemente

igual a

|A|n.

Demostraci´on. SeaA ∈ Ay seaCA ={A∪ {b}:b∈BA}. Para cadab ∈BA,

la regla

A∪ {b} 7→b,

define una correspondencia biyectiva del conjuntoCA, enBA. En consecuencia

|CA|=|BA|.

Ahora, note que para todoA, A′ _{∈ A, si A6=A}′_{, entonces C}

A∩ CA′ =∅. Y por otra parte, siC ={A∪ {b}:A∈ A y b∈BA}, entoncesC =S_A∈ACA.

De donde,

|C|= X

A∈A

|CA| = X

A∈A |BA|.