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EJERCICIOS RESUELTOS DE MEDIA, MODA Y MEDIANA Y OTROS
1.
Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabladatos Xi frec. Absoluta fi 61 5 64 18 67 42 70 27 73 8 100
Calcular : la media , medina y moda
Solución: primero se calcula las columnas de: Xi.fi y de las frecuencias acumuladas Fa
datos Xi frec. Absoluta fi Xi.fi Frec acumu Fa 61 5 305 5 64 18 1152 23 67 42 2814 65 70 27 1890 92 73 8 584 100 100 6745
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 6745, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético
Para calcular la mediana , usamos la expresión para calcular el término central , por lo tanto esto nos indica que la mediana esta entre el lugar 50 y 51 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 50 y 51 es el número 67. Por lo tanto la
Como la moda es el dato que más se repite la moda
2.
Calcular la media, la mediana y la moda de los siguientes datos :Higuera 2013
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Solución. Como los datos se encuentran desordenados, el primer paso es ordenar los datos y agruparlos en frecuencias :
Datos ordenados de menor a mayor
2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 8 8 8
Estos datos se agrupan en frecuencias y se calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia acumulada Fa. datos agrupados en frecuencias datos frec absol Frec acum Xi fi Xi.fi Fa 2 2 4 2 3 2 6 4 4 5 20 9 5 6 30 15 6 2 12 17 8 3 24 20 20 96
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 96, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético
Para calcular la mediana , usamos la expresión para calcular el término central , por lo tanto esto nos indica que la mediana esta entre el lugar 10 y 11 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 10 y 11 es el número 5. Por lo tanto la
Como la moda es el dato que más se repite la moda
3.
Hallar la media, mediana y moda en la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:clases o
intervalos frec. Abs [10----15) 3 [15----20) 5 [20----25) 7 [25----30 ) 4 [30 ----35) 2 21 Solución:
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Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.
clases o
intervalos frec. Abs
marca de clase xi Xi.fi Frec. Acumulada Fa [10----15) 3 12.5 37.5 3 [15----20) 5 17.5 87.5 8 [20----25) 7 22.5 157.5 15 [25----30 ) 4 27.5 110 19 [30 ----35) 2 32.5 65 21 21 457.5
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 457.5, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético
Para calcular la mediana , usamos la expresión para localizar la clase donde se encuentra la mediana, por lo tanto esto nos indica que la mediana se encuentra en el intervalo o clase [20----25), Utilizando la formula Y sustituyendo los valores :
En tenemos:
Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [20----25), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula
Y sustituyendo los valores :
en
Tenemos :
4.
Hallar la media, mediana y moda en la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:Higuera 2013
Pag. 4 clases o
intervalos frec. Abs [0----5) 3 [5----10) 5 [10----15) 7 [15----20 ) 8 [20 ----25) 2 [25 ----∞) 6 31 Solución:
Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.
clases o
intervalos frec. Abs
marca de clase xi Xi.fi Frec. Acumulada Fa [0----5) 3 2.5 7.5 3 [5----10) 5 7.5 37.5 8 [10----15) 7 12.5 87.5 15 [15----20 ) 8 17.5 140 23 [20 ----25) 2 22.5 45 25 [25 ----∞) 6 31 31
No se puede calcular la media , porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
Para calcular la mediana , usamos la expresión para localizar la clase donde se encuentra la mediana, por lo tanto esto nos indica que la mediana se encuentra en el intervalo o clase [15----20), Utilizando la formula Y sustituyendo los valores :
En tenemos:
Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [15----20), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula
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Y sustituyendo los valores :
en
Tenemos :
5.
La altura de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dados por la tabla:clases o
intervalos frec. Abs [1.70 ----1.75) 1 [1.75 ----1.80 3 [1.80 ----1.85) 4 [1.85 ----1.90) 8 [1.90 ----1.95) 5 [1.95 ----2.00) 2 23
Hallar la media, mediana y moda Solución:
Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa
clases o
intervalos frec. Abs
marca de clase xi Xi.fi Frec. Acumulada Fa [1.70 ----1.75) 1 1.725 1.725 1 [1.75 ----1.80 3 1.775 5.325 4 [1.80 ----1.85) 4 1.825 7.3 8 [1.85 ----1.90) 8 1.875 15 16 [1.90 ----1.95) 5 1.925 9.625 21 [1.95 ----2.00) 2 1.975 3.95 23 23 42.925
Higuera 2013
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El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 42.925, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético .
Para calcular la mediana , usamos la expresión para localizar la clase donde se encuentra la mediana, por lo tanto esto nos indica que la mediana se encuentra en el intervalo o clase [1.85----1.90), Utilizando la formula
Y sustituyendo los valores :
En tenemos:
Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda, observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [1.85----1.90), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda . Usamos la formula
Y sustituyendo los valores :
en
Tenemos :
6.
El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de bachillerato es el siguiente: 42 27 18 8 5 72 27 75 8 63 5 66 18 69 42 60Pag. 7 a) Formar la tabla de la distribución
b) Calcular la media. Mediana y moda Solución:
a) La tabla de frecuencias absolutas es :
b) Para calcular la media. Mediana y moda; hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, después calculamos el producto de Xi.fi y por último calculamos la columna de frecuencias acumuladas Fa.
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 6975, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético .
Para calcular la mediana , usamos la expresión para localizar la clase donde se encuentra la mediana, por lo tanto esto nos indica que la mediana se encuentra en el intervalo o clase [66----69), Utilizando la formula
Y sustituyendo los valores :
clases o
intervalos frec. Abs
[60----63) 5 [63----66) 18 [66----69) 42 [69----72) 27 [72----75) 8 100 clases o
intervalos frec. Abs
marca de clase xi Xi.fi Frec. Acumulada Fa [60----63) 5 61.5 307.5 5 [63----66) 18 64.5 1161 23 [66----69) 42 67.5 2835 65 [69----72) 27 70.5 1903.5 92 [72----75) 8 73.5 588 100 100 6795
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En tenemos:
Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda,
observando en la tabla, tenemos que los datos que más se repiten están en el intervalo [66---69), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde está la moda .
Usamos la formula
Y sustituyendo los valores :
en
Tenemos :
7.
Complete los datos que faltan en la siguiente tabla considerando una muestra de 50 datos y además calcules Calcular la media. Mediana y modaSolución: para calcular los datos que hacen falta en la tabla anterior hacemos lo siguiente:
En el caso de la frecuencia acumulada del primer renglón se repite la frecuencia absoluta del primer renglón o primer dato esto es Fa = 4,
Para la frecuencia acumulada del segundo renglón, sumamos la frecuencia acumulada del primer renglón ( 4) la frecuencia absoluta del segundo renglón (4) el resultado es 8.
datos frec absol Frec acum frec relativa Xi fi Fa Fr 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 8 50
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Para calcular la frecuencia relativa dividimos la frecuencia absoluta de cada renglón entre el número de datos ; asi , de tal manera que para calcular la frecuencia relativa del segundo renglón hacemos la siguiente operación , es decir dividimos la frecuencia absoluta absoluta del segundo renglón que es 4 entre 50 datos de la muestra.
Para calcular la frecuencia acumulada del cuarto renglón sumamos la frecuencia acumulada del tercer renglón la frecuencia absoluta del cuarto renglón esto es 16+7= 23.
Para calcular la frecuencia absoluta del renglón 6, restamos a la frecuencia acumulada del renglón 6 la del renglón 5, esto es 38-20 = 10.
Para calcular la frecuencia absoluta del renglón 8, al total de datos le restamos la frecuencia acunulada del renglón 7, esto es 50-45 = 5
A continuación tenemos la tabla con los datos que faltan: datos frec absol Frec acum frec relativa fi/n Xi fi Fa Fr 1 4 4 0.08 2 4 8 0.08 3 8 16 0.16 4 7 23 0.14 5 5 28 0.10 6 10 38 0.20 7 7 45 0.14 8 5 50 0.10 50 1.00
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c) Para calcular Calcular la media. Mediana y moda, determinamos los valores Xi.fi
datos frec absol Frec acum frec relativa fi/n Xi fi Fa Fr Xi.fI 1 4 4 0.08 4 2 4 8 0.08 8 3 8 16 0.16 24 4 7 23 0.14 28 5 5 28 0.10 25 6 10 38 0.20 60 7 7 45 0.14 49 8 5 50 0.10 40 50 1.00 238
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 238, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético .
Para calcular la mediana , usamos la expresión para calcular el término central , por lo tanto esto nos indica que la mediana es igual al dato que esta en el lugar 26 y este dato corresponde al dato con numero 5, Por lo tanto la
.
Como la moda es el dato que más se repite la moda
8.
Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez.datos meses frec absol niños Xi fi 9 1 10 4 11 9 12 16 13 11 14 8 15 1 50
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a) Calcular la media. Mediana y moda
Solución . calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia acumulada Fa. datos
meses
frec absol
niños acum Frec
Xi fi Xi.fi Fa 9 1 9 1 10 4 40 5 11 9 99 14 12 16 192 30 13 11 143 41 14 8 112 49 15 1 15 50 suman 50 610
El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 610, con esta información y usando la fórmula : ∑ calculamos la Media o el promedio aritmético
Para calcular la mediana , usamos la expresión para calcular el término central , por lo tanto esto nos indica que la mediana esta entre el lugar 25 y 26 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que están en los lugares 25 y 26 es el número 12. Por lo tanto la
Como la moda es el dato que más se repite la moda
9.
. Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de ochenta personas:(a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55].
(b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg.
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a) Distribución de los datos agrupados en clases o intervalos de amplitud= 5
clases o
intervalos frec. Abs
frec acum Fa frec relat en % fr frac relat acumul Fra en % [50----55) 2 2 2.50 2.5 [55----60) 9 11 11.25 13.75 [60----65) 20 31 25.00 38.75 [65----70 ) 29 60 36.25 75.00 [70 ----75) 12 72 15.00 90.00 [75 ----80) 6 78 7.50 97.50 [80 ----85) 2 80 2.50 100.00 80 100
b) Observando la columna de frecuencias acumuladas se deducen que existe 31 individuos cuyo peso es menor que 65 Kg. Que en términos de % corresponden a 38.75% o calculados también dividiendo 31 entre el total de la muestra multiplicado por 100, esto es
c) El numero de individuos con peso comprendido entre 70 y 85 Kg. Son : 12+6+2= 20 individuos que representan.
10.
Dada la distribución siguiente, constrúyase una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y las frecuencia relativas acumuladas. datos Xi frec. Abs fi 1 5 2 7 3 9 4 6 5 7 6 6 40Pag. 13 datos Xi frec. Abs fi frec relat en % (fi/40)*100 fr frac relat acumul Fra en % 1 5 12.50 12.50 2 7 17.50 30.00 3 9 22.50 52.50 4 6 15.00 67.50 5 7 17.50 85.00 6 6 15.00 100.00 40 100.00
11.
Las edades de los empleados de una determinada empresa son las que aparecen en la siguiente tabla: edad Xi No de empleados frec acumulada Fa Menos de 25 22 menos de 35 70 menos de 45 121 menos de 55 157 menos de 65 184Sabiendo que el empleado más joven tiene 18 años, escríbase la distribución de frecuencias acumuladas decrecientes ( o más de ).
Solución en principio hay que obtener , las frecuencias absolutas.
edad Xi frec. Abs fi No de empleados frec acumulada Fa [18--- 25) 22 22 [25--- 35) 48 70 [35--- 45) 51 121 [45--- 55) 36 157 [55--- 65) 27 184 184
Higuera 2013 Pag. 14 edad Xi No de empleados frec acumulada Fa mas de 18 184 más de 25 162 más de 35 114 más de 45 63 más de 55 27
