4 AÑO - x;
Valor absoluto
Definición
Se llama valor absoluto de un número real “x” y se denota por |x| al número real no negativo que cumple:
2. |x| = 0 x = 0
Ejemplo:
|x - 2| = 0 x - 2 = 0 x = 2 5
x; |x| =
x 0 x 0
x; también: |x| = 0;
- x;
x 0 x 0 x 0
|2x - 5| = 0 2x - 5 = 0 x = 2
3. |xy| = |x| |y|
Ejemplos:
|3| = 3; pues: 3 > 0
|x2 + 1| = x2 + 1; pues: x2 + 1 > 0
Ejemplo:
|2x| = |2| |x|
|(x - 2)(x - 6)| = |x - 2| |x - 6|
|-5| = -(-5) = 5; pues: -5 < 0
| 3 - 7 | = -( 3 - 7 ) = 7 - 3 ;
x
4. y = | y | ; y | x | 0
pues: 3 - 7 < 0 |0| = 0
Interpretación geométrica
Ejemplo:
x 2
x - 3
| x | = | 2 |
| x - 3 | La distancia de un número real al cero se denomina valor
absoluto y se le representa entre barras.
Ejemplo:
|-6| |6|
5. |x2| = |x|2 = x2
Ejemplos:
x = | x |
- -6 0 6 +
|(x - 5)2| = |x - 5|2 = (x - 5)2
|x2| = x2
|(x - 2)2| = (x - 2)2
El valor absoluto de -6 es 6, ya que la distancia de -6 al 0 6. es 6 y se representa como: |-6| = 6. También: |6| = 6. x
2 = |x|
En general:
|-x| |x|
Ejemplos:
(x - 5)2
(x 1)2
= |x - 5|
= |x + 1|
- -x 0 x +
7. -|x| x |x|
Propiedades
1. |x| 0; x IR
Ejemplo:
|x2 - 2x| 0; x IR
8. |x| = |-x|
Ejemplos:
4 9. |x + y| |x| + |y|
Demostración:
|x + y|2 = (x + y)2 propiedad “5”
4. Resolver:
Solución:
|3x - 1| = x
Desarrollando:
|x + y|2 = x2 + y2 + 2xy Como no se conoce el signo de “x”, debemos considerar: x 0 (3x - 1 = x 3x - 1 = -x)
Se sabe:
|x|2 = x2; |y|2 = y2 x 0 (x = 1
2
1 x =
4 ) Reemplazando tenemos:
|x + y|2 = x2 + y2 + 2xy ... I
De otro lado:
xy |xy| propiedad “7” multiplicando por 2:
Como:
1
x = 2 > 0 x = 4 > 0 1 1 ; 1 2xy 2|xy|
ahora sumando a ambos miembros: |x|2 + |y|2 tenemos:
| x |2 | y |2 2xy |x|2+|x|2+2| x || y |
C.S. =
2
I
|x + y|2 (|x| + |y|)2
De donde:
|x + y| |x| + |y|
|xy| 5. Resolver:
Solución:
4x - 1
3 = 2x
Ecuaciones con valor absoluto
2x en el intervalo: [0; +0 x 0, debemos hallar soluciones contenidas >Teoremas 4x - 1 3 = 2x 4x - 1 3 = - 2x
1. |x| = a a 0 (x = a x = -a) 2. |x| = |a| x = a x = -a
Problemas resueltos
1. Resolver:
|2x - 1| = 7
4x - 1 = 6x 4x - 1 = - 6x
1 1
x = - 2 x = 10
- 1 0 1 x
2 10
1 Solución:
7 > 0 (2x - 1 = 7 2x - 1 = -7)
Vemos que: - 2 [0; +>: 1 7 > 0 (x = 4 x = -3)
C.S. = {-3; 4}
C.S. = 10
2. Resolver:
|x - 2| = 5
6. Resolver:
Solución:
|5x - 1| = x + 3
Solución:
3. Resolver:
5 > 0 (x - 2 = 5 x - 2 = -5) 5 > 0 (x = 7 x = -3)
C.S. = {-3; 7}
|4x - 1| = -6
x + 3 0 x -3 x [-3; +> 5x - 1 = x + 3 5x - 1 = -(x + 3)
4x = 4 6x = - 2 1 x = 1 x = - 3
Solución:
Como: -6 < 0, no hay solución, ya que el valor absoluto siempre es positivo, por lo tanto: C.S. =
-3 - 1 1 x
Vemos que las soluciones están contenidas en el
intervalo: [-3; +> Problemas para la clase
1 Bloque I
C.S. = - 3 ; 1
7. Resolver:
Solución:
|2x - 1| = |x|
1. Encuentre el valor de las expresiones que se dan a continuación para: x = -4 ; y = 2 ; z = -3
a. |2x - y|
b. 2|x| - |y| 2x - 1 = x 2x - 1 = -x
1
x = 1 x = 3 c. |xyz|
d. |xy|z 1
C.S. = 3 ; 1 xz
8. Resolver:
e. y
Solución:
|x2 - 5x| = 6
x2 - 5x = 6 x2 - 5x = -6
x2 - 5x - 6 = 0 x2 - 5x + 6 = 0
x f. y z
xz g. y (x - 6)(x + 1) = 0 (x - 3)(x - 2) = 0
C.S. = {-1; 2; 3; 6}
9. Resolver:
|x - 2| + |3x - 6| + |4x - 8| = |2x - 5|
x - y h.
z
x 2z
Solución:
|x - 2| + |3(x - 2)| + |4(x - 2)| = |2x - 5| |x - 2| + 3|x - 2| + 4|x - 2| = |2x - 5|
8|x - 2| = |2x - 5| |8x - 16| = |2x - 5|
8x - 16 = 2x - 5 8x - 16 = -(2x - 5) 6x = 11 10x = 21
i. y
x - y j. 3y z
x - y k. 3 y z 11
x = 6 x = 10 21 11 ; 21
xy l. x y
10.Resolver:
C.S. =
6 10 x y z
m. x y z
Solución:
|3x - 2| |2x + 3| + |x - 5|
2. Resolver la ecuación:
|x - 5| = 4 3x - 2 = (2x + 3) + (x - 5)
2x 3 + x - 5 | | 2x 3 |+| x - 5 |
indicando la mayor solución.
|
a) 1 d) 4 b) 2 e) 9 c) 3
Propiedad “9” |
+ | || + ||
3. Resolver la ecuación: Vemos que se cumple la desigualdad triangular, por lo
tanto:
C.S. = IR
| 2x + 3 | = 7 hallar el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
4. Resolver la ecuación:
|3x - 8| = 4 indicar una solución.
4
2. Resolver la ecuación: x 3
x - 3 = 7
a) 1 b) 2 c) 3
d) -6 e) 20
5. Resolver la ecuación:
|4x - 9| = 11 hallar una solución.
a) 4 b) 5 c) 2
d) 3 e) 4
6. Resolver la ecuación:
|4x + 5| = 15 indicando una solución.
hallar el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
3. Resolver:
2x 1 x - 1 = 3 hallar el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
4. Resolver: 5
a) 2 1 d) 7
2 b) 5 1 e) 5
1
c) 3 |x| 5
a) x [-5 ; 5] b) x <-; -5] [5 ; +>
c) x IR d) x
e) x IR+
7. Resolver la ecuación:
|8 - x| = 4 5. Resolver: |x2 - 4x| = 0
hallando el número de soluciones. hallar el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7 d) 4 e) 5
8. Resolver la ecuación:
|7 - 2x| = 9
6. Resolver:
||x - 3| - 5| = 0
hallar una solución. hallar el número de soluciones.
a) 1 b) -1 c) 2 a) 1 b) 2 c) 3
d) -2 e) -3 d) 4 e) 6
9. Resolver la ecuación:
|3x - 2| = |2x + 3|
7. Resolver:
|x2 - 4| = x - 2
hallar el número de soluciones. indicando el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6 d) 4 e) 5
10.Resolver e indicar una raíz.
|x - 4| = |5 - 2x| 8. Resolver: x2 + 6 = 5|x|
a) 3 b) 4 c) 9
d) 10 e) 20
Bloque II
1. Resolver la ecuación hallando el número de soluciones. |5x| = 6 - x
indicando el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Resolver:
x2 - 2x + 3|x - 1| = 9
indicar la suma de sus soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 a) 4 b) 2 c) - 2
a) 4 b) 3 c) 2
d) -3 e) -4
10.Hallar el número de soluciones:
||x| - 1| = x a) {-1} d) {1} b) {1;1/2} e) {-1;-1/3} c) {-1/3}
a) 1 b) 2 c) 3 6. Resolver:
d) 4 e) 0 | 2x + 4 | = | x - 10 |
Bloque III
1. Resolver:
|2x - 1| = x
a) {-2} b) {-14} c) {-14; 2}
d) {-14;-2} e) {14}
7. Resolver:
x2 - 4|x| + 4 = 0
a) {-1 ; -1/3} b) {-1 ; 1/3}
c) {1/3} d) {1 ; 1/3}
e) {1}
2. Resolver:
indicar el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
| 3x - 1 | = x + 7 8. Resolver:
|6-x-x2-x4| - |x4+x2+x-6|+|x2-9|=0
a) {4} b) {-3/2} c) {-3/2 ; 4}
d) e) IR
3. Resolver:
|x2 - x + 1| = 13
indicar la menor solución.
hallar la suma de soluciones.
a) 0 b) 1 c) 2
d) -3 e) 4
9. Resolver:
|2x + 9| = x - 1 hallar la suma de soluciones.
4. Resolver:
38
a) - 3 b) -10 c) - 3 8
|x - 1| = x2 - x - 1
a) { 2 ; 2} b) {- 2 ; 2}
c) {-2;2} d) { 2 ; - 2 }
d) absurdo e) ecuación compatible
10.Indicar la suma de soluciones:
3|x + 1| + |x - 8| = 19
e) { 2 ; -2} a) 2 17 b) 4 9 c) 7 5
5. Resolver:
|2x + 1| = |x|
17
d) - 2 e) N.A.
