Sistemas de ecuaciones

(1)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Y

DETERMINANTES

Prof. Esperanza Vélez, MS.

Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Bayamón

(2)

PREPRUEBA

En cada ejercicio seleccione la respuesta correcta.

1) Una solución del sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5 3 4

2 2 6

2 8

x x x

+ + =

 

− − + =



 ₋ _{− = −}



es

a)

(

1, 2, 3

)

b)

(

−1, 2, 3

)

c)

(

1, 2, 3−

)

d)

(

1, 2, 3− −

)

2) La matriz aumentada del sistema

1 3 2

3 2 1

2 1 3

3 1

2 5

x x x

− + =



 _{− = −}



 _{+ = −}



es

a)

1 3 1 1

1 1 1 2

1 1 1 5

 

 ₋ 

 

 ₋ 

 

b)

1 1 3 1

1 1 1 2

1 1 1 5

 − 

₋ ₋ 

 

 ₋ 

 

c)

1 1 3 1

1 1 1 2

1 1 1 5

 − 

 ₋ 

 

 _{− −} 

 

d)

1 1 3 1

1 1 1 2

1 1 1 5

 − − 

 ₋ ₋ 

 

 ₋ 

(3)

3) La representación matricial del sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 4

5 1

2 2

x x x

+ − = −  _{− + +} ₌   _{− − = −}  es a) 1 2 3

1 2 3 4

1 1 5 1

2 1 1 2

x x x − −       ₋     ₌        ₋ ₋     ₋       b) 1 2 3

1 1 2 4

2 1 1 1

3 5 1 2

x x x − −        ₋     ₌       ₋ ₋     ₋      

c)

[

₁ ₂ ₃

]

1 1 2 4

2 1 1 1

3 5 1 2

x x x

− −      ₋  ₌      − −   −    

d)

[

1 2 3

]

1 2 3 4

1 1 5 1

2 1 1 2

x x x

− −     ₋  ₌       ₋ ₋   ₋    

4) El valor de la variable x₁ al resolver el sistema 1 2 1 2

2 5 4

2 1 x x x x + =   − − = −

 , es

a) −2 b) 2 c) 3

d) −3

5) El valor de la variable x₂ al resolver el sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 7

4 2 5 3

2 3 0

x x x

− + − =   ₋ ₊ _{= −}   ₊ ₋ ₌  es

a) 1− b) 2 c) 1 d) −2

(4)

6) Cuál de las siguientes matrices está en forma escalonada reducida?

a)

0 0 2 0

1 0 0 0

0 1 0 1

 

 

 

b)

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 

 

 

c)

0 0 1 0

1 0 0 1

0 1 0 0

 

 

 

d)

1 0 0 4

0 1 0 5

0 0 1 2

 

 

 

7) Si la matriz escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 0 4

 

 ₋ 

 

 ₋ 

 

, entonces el sistema

a) tiene solución única. b) tiene infinitas soluciones. c) no tiene solución.

d) no se puede determinar el tipo de solución.

8) Al evaluar el determinante 2 4

5 3

−

− se obtiene a) 14

b) 14− c) 26

(5)

9) Al evaluar el determinante

1 4 5

2 1 2

0 3 3

− −

se obtiene

a) 45

b) 63

c) 51

d) −57

10) Si

(

det

)

3 4 1 5

A =

− y

(

)

(

)

3 4 6

det

1 5 2

B = +

− + − entonces a)

(

detB

) (

= detA

)

+2

b)

(

detB

) (

= detA

)

c)

(

detB

) (

=2 detA

)

d)

(

detB

) (

= − detA

)

11) Al usar la Regla de Cramer para resolver el sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2

2 1

2 2

x x x

− + =



 _{+ −} ₌



_{− +} _{− =} 

, el valor de

la variable x₁ se obtiene evaluando la expresión

a)

2 1 1

1 1 2

2 2 1

2 1 1

1 1 2

1 2 1

− − − −

−

(6)

b)

2 1 2

1 1 1

1 2 2

2 1 1

1 1 2

1 2 1

−

− −

−

− −

c)

2 1 1

1 1 2

1 2 1

2 1 2

1 1 1

1 2 2

− −

−

d)

2 2 1

1 1 2

1 2 1

2 1 1

1 1 2

1 2 1

−

− −

(7)

OBJETIVOS Al finalizar el estudio del módulo, el participante podrá:

1. resolver sistemas 2x2 usando el método de sustitución.

2. resolver sistemas 2x2 o 3x3, usando el método de eliminación.

3. escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales.

4. escribir un sistema de ecuaciones lineales, a partir de su matriz aumentada.

5. identificar una matriz escalonada reducida.

6. resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales usando el método de Eliminación Gausiana.

7. identificar el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales, a partir de su matriz escalonada reducida.

8. conocer las propiedades de los determinantes.

9. evaluar un determinante de cualquier orden.

10. resolver un sistema 2x2 o 3x3, usando la regla de Cramer, en caso de que sea aplicable.

(8)

JUSTIFICACIÓN

Los sistemas de ecuaciones lineales y la teoría de determinantes constituyen un tópico de gran importancia en el campo de las matemáticas.

El desarrollo de la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes ha recibido muchas contribuciones a través de la historia Uno de los métodos usado para resolver sistemas de ecuaciones, es el método de eliminación, el cual data de tiempos muy antiguos, pero fue organizado sistemáticamente por Karl Frederick Gauss y Camille Jordan. La teoría de matrices fue desarrollada por Arthur Cayley. El método de

determinantes fue inventado por Takakazu Seki Kowa en 1683 en Japón y por Gottfried Wilhelm von Leibniz en 1693 en Alemania. La Regla de Cramer, recibió su nombre en honor al suizo Gabriel Cramer, quien popularizó el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Actualmente, debido a la gran cantidad de aplicaciones que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones lineales, en diversos campos tales como economía, sociología, ecología, demografía, genética, electrónica, ingeniería, física, etc., la resolución de

sistemas de ecuaciones lineales es uno de los problemas más importantes en matemáticas. Usando los métodos de la matemática moderna, es posible reducir un problema de mucha complejidad, a un simple sistema de ecuaciones lineales.

También, los sistemas de ecuaciones lineales se usan como una herramienta en campos como el álgebra lineal, para facilitar la comprensión de otros conceptos abstractos. El propósito de este trabajo es presentar la teoría básica de los sistemas de ecuaciones lineales y los métodos para resolverlos, como también la teoría básica de los

determinantes, ya que ellos forman parte de la teoría de matrices y también son usados para resolver sistemas 2x2 y 3x3. La primera parte, Sistemas de ecuaciones lineales, contiene los sistemas 2x2 y 3x3, con su interpretación geométrica y sus métodos de resolución, el método de Gauss y el de Gauss-Jordan para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales, los sistemas lineales homogéneos y algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. La segunda parte, Determinantes, contiene determinantes de orden 2 y de orden 3, propiedades de los determinantes, evaluación de determinantes de cualquier orden y algunas aplicaciones.

(9)

CONTENIDO

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

I. Generalidades – Sistemas 2x2 y 3x3.

Una ecuación lineal con n variables (o incógnitas) es una expresión que tiene la forma 1 1 2 2 3 3 n n

a x +a x +a x + + a x =b

en donde a a a₁, ₂, ₃,,a_n son constantes llamadas coeficientes; x x₁, ₂,x₃,,x_n son las

variables (o incógnitas) y b es el término constante. Si b=0, la ecuación se llama homogénea.

Una solución de una ecuación lineal en n variables, es una n-upla ordenada

(

s s s1, 2, 3,,sn

)

de números, que satisface la ecuación. Es decir,

1 1 2 2 3 3 n n

a s +a s +a s + + a s =b

Ejemplo:

1 2 3

5x −3x +2x = −16 es una ecuación lineal en tres variables.

(

2 ,8, 1−

)

es una solución de la ecuación, ya que 5 2

( ) ( ) ( )

−3 8 + − = −2 1 16.

(

1, 5, 3−

)

también es solución de la ecuación, ya que 5 1

( ) ( ) ( )

−3 5 + − = −2 3 16.

(

4 , 8, 2−

)

NO es solución de la ecuación, ya que 5 4

( ) ( ) ( )

− − +3 8 2 2 =48≠ −16.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables es una expresión de la forma 11 1 12 2 1 1

21 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

m m m n n m

a x a x a x b

+ + + =

  



en donde a_{i j} y b_i con i=1,,m y j=1,,n son números reales y x₁,x₂,,x_n

son las variables.

Los términos b b₁, ₂ ,,b_m se llaman términos constantes.

(10)

Nota: se usa la expresión sistema m n× , para referirse a un sistema de m ecuaciones lineales con n variables.

Ejemplos:

1. 1 2

1 2 1

2 3 12

x x

+ =

 

− =

 es un sistema 2 2× .

2. 1 2 3

1 2 3

2 4

3 11

x x x

+ − = −



 ₋ _{+ =}

 es un sistema 2 3× .

3.

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 0

3 0

4 2 2 0

x x x

+ − =



_{− −} _{+ =} 

 ₊ ₋ ₌



es un sistema 3 3× , homogéneo.

Una solución de un sistema m n× , es una n-upla ordenada de números

(

s s1, 2,,sn

)

que satisface cada una de las ecuaciones del sistema; es decir, que es solución de cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

(

1, 2 , 4−

)

es una solución del sistema 1 2 3 1 2 3

2 4

3 11

x x x

+ − = −

 

− + =

 , ya que

( ) ( ) ( )

2 1 2 4 4

1 3 2 4 11

+ − − = −

 

− − + =



El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, está formado por todas las soluciones del sistema.

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si tienen el mismo el mismo conjunto solución.

Ejemplo:

El conjunto solución del sistema 1 2 1 2

3 5 9

2 7

x x

+ = −

 

− =

(11)

El conjunto solución del sistema 1 2 1 2

2 7

4 10

x x

− + = −

 

− − =

 es

{

(

2, 3−

)

}

.

Por lo tanto, el sistema 1 2 1 2

3 5 9

2 7

x x

x x + = −

 

− =

 es equivalente al sistema

1 2 1 2

2 7

4 10

x x

− + = −

 

− − =

 .

Un sistema de ecuaciones lineales es consistente, si tiene al menos una solución. En caso contrario, el sistema es inconsistente.

Teorema

Para cualquier sistema de ecuaciones lineales, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es cierto:

i) El sistema tiene sólo una solución. ii) El sistema no tiene solución.

iii) El sistema tiene un número infinito de soluciones.

El enunciado del teorema anterior se puede expresar gráficamente por medio del siguiente diagrama.

`

Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos Variables (Sistemas 2x2)

Son sistemas de la forma

11 1 12 2 1 21 1 2 2 2 2

a x a x b

+ =



 ₊ ₌



en donde a₁₁,a₁₂,a₂₁,a_{2 2},b b₁, ₂ , son constantes y x x₁, ₂ , son variables.

Sistema de Ecuaciones Lineales

Inconsistente Consistente

No hay solución Solución única Infinito número de soluciones

(12)

Ejemplo:

1 2 1 2

3 2 5

4 1

x x

+ =

 

− − =



Una solución de un sistema 2x2 es un par ordenado que satisface cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

11 4 ,

5 5

 ₋ 

 

  es solución del sistema

1 2 1 2

3 2 5

4 1

x x

+ =



_{− −} ₌

 , ya que

11 4 33 8 25

3 2 5

5 5 5 5 5

 _{+ −} ₌ _{− =} ₌

   

    y

11 4 11 16 5

4 1

5 5 5 5 5

   

−_{ }− −_ _= − + = =

   

Interpretación Geométrica de un Sistema 2x2

Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano, y cada punto de la recta es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, un sistema 2x2 representa dos rectas en el plano.

El par ordenado

(

x x₁, ₂

)

será una solución del sistema si y sólo si el punto pertenece a ambas rectas.

Geométricamente, para un sistema 2x2, se puede presentar una de las siguientes tres situaciones:

1. El sistema representa dos rectas que se intersectan en un solo punto. En este caso, la solución del sistema es el punto de intersección. El sistema tiene solución única. Esto ocurre cuando los coeficientes de x₁ y x₂ no son proporcionales. Es decir,

11 12 21 2 2

a a

(13)

Ejemplo:

La representación geométrica del sistema 1 2 1 2

3 1

2 8

x x

− =

 

− + =

 es

El punto

( )

2, 5 pertenece a ambas rectas; es decir, es solución de cada una de las ecuaciones del sistema. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es

{

( )

2, 5

}

.

2. El sistema representa dos rectas paralelas. En este caso las dos rectas no tienen puntos en común, y por lo tanto el sistema no tiene solución. Es decir, el sistema es

inconsistente.

Esto ocurre cuando los coeficientes de las variables son proporcionales entre si, pero no lo son con los términos constantes. Es decir, 11 12 1

21 2 2 2

a a b

(14)

Ejemplo:

La representación geométrica del sistema 1 2 1 2

2 4

x x x x

+ =

 

+ = −

 es

Las rectas son paralelas, no hay puntos de intersección, por lo tanto el sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente.

3. El sistema representa dos rectas coincidentes. Una ecuación es múltiplo de la otra, es decir, las ecuaciones son dependientes y representan una misma recta. Cada punto de la recta es solución del sistema, por lo tanto el sistema tiene un número infinito de

soluciones.

Esto ocurre cuando los coeficientes y los términos constantes son proporcionales. Es decir, 11 12 1

21 2 2 2

a a _b

(15)

Ejemplo:

La representación geométrica del sistema 1 2 1 2 1

2 2

2 4

x x

 _{− = −}

 

_{− +} ₌



es

Las dos ecuaciones representan una misma recta, y cada punto de la recta es solución del sistema, por lo tanto el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Métodos Algebráicos para Resolver un Sistema 2x2

1. Método de Sustitución

Los pasos del método de sustitución se ilustrarán resolviendo el siguiente sistema. 1 2

1 2

5 13

2 3 12

x x

− =



 ₊ ₌



Paso 1

Se resuelve para una de las variables en términos de la otra variable, en una de las ecuaciones.

Eejemplo: se resuelve para x₂ en la primera ecuación.

2 5 1 13

(16)

Paso 2

El resultado obtenido se sustituye en la otra ecuación, obteniendo así una ecuación lineal en una variable. Se resuelve para esa variable.

Ej: sustituimos x₂ =5x₁−13 en la ecuación 2x₁+3x₂ =12

(

)

1 1

2x +3 5x −13 =12

1

17x −39 12= 1

17x =51 1 3

x =

Paso 3:

El valor obtenido para la variable, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones iniciales, para hallar el valor de la otra variable.

Ej: sustituimos x1 =3 en la ecuación x2 =5x1−13

( )

2 5 3 13

x = −

2 2

x =

El conjunto solución del sistema es

{

( )

3, 2

}

.

2. Método de Eliminación

El método consiste en sustituir el sistema original por un sistema equivalente en el cual al sumar las dos ecuaciones se elimine una de las variables.

Un sistema de ecuaciones equivalente se puede obtener al efectuar uno o varios de los siguientes pasos:

Paso 1

Intercambiar dos ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

El sistema 1 2 1 2

5 2 4

7 5

x x

− =

 

− + =

 es equivalente al sistema

1 2 1 2

7 5

5 2 4

x x

− + =

 

− =

(17)

Paso 2

Multiplicar (o dividir) ambos lados de una ecuación por un mismo número distinto de cero.

Ejemplo:

Si en el sistema 1 2 1 2

5 2 4

7 5

x x

− =

 

− + =

 se multiplica en ambos lados de la segunda ecuación por

5, se obtiene el sistema 1 2 1 2

5 2 4

5 35 25

x x

− =



₋ ₊ ₌

 ,que es equivalente al anterior.

Paso 3

Reemplazar una ecuación del sistema por la suma (o resta) de esa ecuación y un múltiplo distinto de cero de otra ecuación del sistema.

Ejemplo:

En el sistema 1 2 1 2

3 7

3 5 8

x x

− =

 

+ =

 , se va a multiplicar ambos lados de la primera ecuación

por −3. Se obtiene −3x₁+9x₂ = −21.

Ahora se va a sustituir la segunda ecuación 3x₁+5x₂ =8, por la suma de ella con 1 2

3x 9x 21

− + = − .

1 2 1 2 2

3 5 8

3 9 21

14 13

x x

x

+ =

+ − + = −

= −

Se obtiene el sistema 1 2 2

3 7

14 13

x x

x

− =

 

= −

 , el cual es equivalente al sistema inicial.

Ejemplo:

Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de eliminación.

1. 1 2

1 2 2

2 4

3

3 5 10

x x

 ₊ ₌

 

 ₋ _{== −}

(18)

Solución

Se busca obtener dos términos opuestos en una de las variables. Si escogemos por ejemplo la variable x₁, se debe buscar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de

1

x . En nuestro caso, el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6.

Se multiplica cada ecuación por el número adecuado, de tal forma que el coeficiente de 1

x en una de las ecuaciones sea 6 y en la otra sea −6.

(

)

(

)

1 2 1 2

2

2 4 3

3

3 5 10 2

x x multiplicamos por

 ₊ ₌ ₋

 

 ₋ _{= −}



Se obtiene el sistema equivalente

1 2 1 2

6 12 2

6 10 20

x x

− − = −



 ₋ _{= −}



Se suman las dos ecuaciones del sistema para obtener una ecuación en una variable. Se resuelve para la variable.

1 2 1 2 2

6 12 2

6 10 20

22 22

x x

x

− − = −

+ − = −

− = −

x₂ =1

Se sustituye el valor obtenido para la variable en cualquiera de las ecuaciones iniciales, para obtener el valor de la otra variable.

Por ejemplo, sustituimos x₂ =1 en 3x₁−5x₂ = −10.

( )

1

3x −5 1 = −10

1 3x = −5

1 5 3

x = −

El conjunto solución del sistema es 5,1 3 ₋  _ _

(19)

2. 1 2 1 2 1

2 2

2 8

x x

 ₊ _{= −}

 

 ₋ ₌



Si se quiere eliminar a x₂, se debe multiplicar la primera ecuación por 2 , para obtener el siguiente sistema equivalente al anterior.

1 2 1 2

2 4

2 8

x x

+ = −

 

− =



Se suman las dos ecuaciones del sistema para obtener una ecuación en una variable. Se resuelve para la variable.

1 2 1 2 1

2 4

2 8

2 4

x x

x

+ = −

+ − =

=

x₁ =2

Se sustituye el valor de x₁ en cualquiera de las ecuaciones iniciales, para hallar el valor de x₂.

Sustituimos x₁ =2 en 1 2 1

2 2x + = −x .

( )

2 1

2 2

2 + = −x 2 1+ = −x 2

2 3

x = −

{

(

2, 3−

)

}

.

Ejemplo: (Sistema 2x2 Inconsistente)

Resolver el sistema 1 2 1 2

2 3

2 4 5

x x

+ =

 

+ =

(20)

Solución

Usando el método de sustitución, se resuelve para x₁ en la primera ecuación. 1 3 2 2

x = − x

Se sustituye esta expresión en la segunda ecuación.

(

2

)

2

2 3 2− x +4x =5

2 2 6 4− x +4x =5

6=5

Se obtiene una ecuación que es falsa, lo cual significa que el sistema no tiene solución y por lo tanto es inconsistente.

Ejemplo: (Sistema 2x2 con un número infinito de soluciones)

Resolver el sistema 1 2 1 2

2 4

2 4 8

x x

− =

 

− + = −



Solución

Usando el método de sustitución, se resuelve para x₁ en la primera ecuación. 1 4 2 2

x = + x

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, se obtiene

(

2

)

2

2 4 2x 4x 8

− + + = −

2 2

8 4x 4x 8

− − + = −

0=0

Se llega a la igualdad 0=0, lo cual significa que las dos ecuaciones del sistema son dependientes (una es múltiplo de la otra), es decir, que el sistema es equivalente a un sistema de una sola ecuación.

Todos los pares ordenados

(

x x₁, ₂

)

que satisfagan la ecuación, son soluciones del sistema.

Para expresar las infinitas soluciones del sistema, se resuelve para una de las variables en la ecuación.

1 2 2 4

x = x + o ₂ 1 ₁ 2 2

(21)

El conjunto solución se puede escribir como

(

)

/

1, 2 1 2 4 , 2 ,

x x x t x t en donde t es cualquier n umero real

 _{= +} ₌ 

 

  o,

(

1 2

)

2 /

1

, 2,

2

x x x t donde t es cualquier n u mero real

 

= −

 

 

Una solución particular se obtiene asignando un valor real arbitrario a la variable que toma sus valores en el conjunto de los reales.

Por ejemplo, en el primer caso, si se asigna t=0, entonces x₁ =4, y se obtiene el par ordenado

( )

4, 0 que es una solución particular.

Sistemas de Tres Ecuaciones Lineales con tres Variables (Sistemas 3x3)

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables x x₁, ₂,x₃ , tiene la forma 11 1 12 2 13 3 1

21 1 2 2 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b

 ₊ ₊ ₌



+ + =



 ₊ ₊ ₌



en donde a_{i j} ,b_i , con i j, =1, 2 ,3 , son constantes.

Ejemplo:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 6

3 0

3 2 3 16

x x x

+ + =

 

− − =



₋ ₊ ₋ _{= −}



Una solución de un sistema 3x3 es una terna ordenada

(

s s s₁, ₂, ₃

)

que satisface cada una de las tres ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

La terna

(

− −1, 2 , 5

)

es solución del sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 6

3 0

3 2 3 16

x x x

+ + =



 ₋ ₋ ₌



₋ ₊ ₋ _{= −}



, ya que

( ) ( ) ( )

2 − + − +1 2 2 5 =6

( ) ( ) ( )

− − − −1 3 2 5 =0

( ) ( ) ( )

3 1 2 2 3 5 16

(22)

Interpretación Geométrica de un Sistema 3x3

Cada ecuación del sistema representa un plano en el espacio, y cada punto del plano es una solución de la ecuación.

Por lo tanto, un sistema 3x3 representa tres planos en el espacio.

Una terna ordenada

(

s s s₁, ₂, ₃

)

será una solución del sistema si y sólo si el punto (en el espacio tridimensional) representado por ella pertenece a cada uno de los tres planos. Geométricamente, si se denota por H₁, H₂ y H₃ a los tres planos cuyas ecuaciones forman un sistema 3x3 cualquiera, entonces, ocurre una de las siguientes tres situaciones: 1. Que los tres planos se intersecten en un solo punto, y en este caso el sistema tiene una sola solución.

2. Que el sistema tenga ecuaciones dependientes. En este caso hay un número infinito de soluciones. Geométricamente, la intersección de los tres planos es una recta, o los tres planos son coincidentes (es decir, que el sistema representa un solo plano).

(23)

3. Que no haya puntos que pertenezcan simultáneamente a los tres planos. En este caso el sistema es inconsistente.

Método algebráico para resolver un sistema 3x3

Para ilustrar este método, se va a resolver el sistema

( )

1 2 3

1 2 3 1 2 3

2 3 0 1

2 2 7 2

3 4 3 7 3

x x x

+ − =

 

− + + = −



 ₋ ₋ ₌



en el cual se han enumerado las ecuaciones, para una mejor organización.

Paso 1

Se elimina una de las variables del sistema usando distintos pares de ecuaciones, hasta obtener un sistema 2x2.

Ejemplo: en el sistema dado, se va a eliminar x₂.

Se multiplica la ecuación

( )

1 por 2− y la ecuación que se obtenga se suma con la ecuación

( )

2 .

(

)

1 2 3

2x + −x 3x =0 × −2

se obtiene

1 2 3 4x 2x 6x 0

− − + =

Se suma esta ecuación con la ecuación

( )

2 , para obtener la ecuación

( )

4

( )

1 2 3

1 3

4 2 6 0

2 2 7

6 7 7 4

x x x

x x

− − + =

+ − + + = −

(24)

Ahora se multiplica la ecuación

( )

1 por 4 y la ecuación que se obtenga se suma con la ecuación

( )

3 .

(

)

1 2 3

2x + −x 3x =0 × 4

se obtiene

1 2 3

8x +4x −12x =0

Se suma esta ecuación con la ecuación

( )

5 .

( )

1 2 3

1 3

8 4 12 0

3 4 3 7

11 15 7 5

x x x

x x

+ − =

+ − − =

− =

De las ecuaciones

( )

4 y

( )

5 se obtiene el siguiente sistema 2x2.

( )

1 3

6 7 7 4

11 15 7 5

x x

− + = −

 

− =



Paso 2

Se resuelve el sistema 2x2 que se obtenga, para hallar los valores de dos de las variables.

Ejemplo: en este ejemplo, al resolver el sistema 2x2, se obtienen las soluciones

1 3

56 35

13 13

x = y x =

Paso 3

Las soluciones obtenidas al resolver el sistema 2x2, se sustituyen en cualquier de las ecuaciones originales del sistema, para hallar el valor de la otra variable.

Ejemplo: en este ejemplo, se va a sustituir ₁ 56 ₃ 35

13 13

x = y x = en la ecuación

( )

1 .

2

56 35

2 3 0

13 x 13

 _{+ −}  ₌

   

   

2

112 105

13 13

x = − +

2 7 13

x = −

El conjunto solución del sistema es 56, 7 35, 13 13 13

 ₋ 

_ _

(25)

Ejemplo: (Sistema 3x3 con un parámetro y un número infinito de soluciones)

Resolver el sistema

( )

1 2 3

2 0 1

2 0 2

2 3 0 3

x x x

− + =

 

+ − =



 ₊ ₋ ₌



Solución

Se va a eliminar la variable x₂.

Se suman las ecuaciones

( )

1 y

( )

4 .

( )

1 2 3

1 2 3 1 3

2 0

3 0 4

x x x

x x

− + =

+ + − =

+ =

( )

1 por 2 y la ecuación resultante se suma con la ecuación

( )

5 .

( )

1 2 3

1 2 3 1 3

2 2 4 0

2 3 0

3 0 5

x x x

x x

− + =

+ + − =

+ =

El sistema

( )

1 3

3 0 4

3 0 5

x x

+ = 



+ =

 , representa una sola ecuación, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

En la ecuación 3x1+ =x3 0, se resuelve para x1, obteniendo

1 3

x = − x

Esta expresión se sustituye en la ecuación

( )

1 y se resuelve para x₂.

3 2 3 1

2 0

3x x x

− − + =

2 3 5 3

x = x

(26)

El conjunto solución del sistema, el cual contiene infinitas soluciones está dado por

(

)

/

1 2 3 1 2 3

1 5

, , , , ; .

3 3

x x x x t x t x t t es cualquier nu mero real

 

= − = =

 

 .

Ejemplo: (Sistema 3x3 con dos parámetros y un número infinito de soluciones)

Resolver el sistema

( )

1 2 3

2 2 3 1

4 4 2 6 2

1 3

3

2 2

x x x



 ₊ ₋ ₌



+ − =

 

_{− −} ₊ _{= −} 

Solución

Se va a eliminar la variable x₃.

( )

1 por -2 y la ecuación resultante se suma con la ecuación

( )

2 .

1 2 3 1 2 3

4 4 2 6

0 0

x x x

− − + = −

+ + − =

=

Esto significa que las ecuaciones

( )

1 y

( )

2 representan una sola ecuación. Ahora se multiplica la ecuación

( )

1 por 1

2 y la ecuación resultante se suma con la ecuación

( )

3 .

1 2 3

1 3

2 2

1 3

2 2

0 0

x x x

+ − =

+ − − + = −

=

Nuevamente, las ecuaciones

( )

1 y

( )

3 representan una sola ecuación.

El sistema es equivalente a un sistema de una sola ecuación y por lo tanto tiene un número infinito de soluciones.

(27)

Se resuelve para x₁ en la ecuación

( )

1 .

1 2 3

1 3

2 2

x = − +x x +

(

1 2 3

)

1 2 3 /

1 3

, , , , ;

2 2

x x x x r t x r x t donde r y t son n u meros reales

 

= − + + = =

 

 

Ejemplos de Aplicación:

1. Una prescripción médica requiere ingerir 40 mg (miligramos) de vitamina C y 30 mg de vitamina D , diariamente. La farmacia proveedora tiene dos tipos de líquidos que pueden ser usados: el líquido A contiene 20% de vitamina C y 30% de vitamina D y el líquido B contiene 40% de vitamina C y 20% de vitamina D. ¿ Cuántos miligramos de cada tipo de líquido deben ser usados para cumplir con la prescripción médica?.

Solución

La información del problema se puede representar en la siguiente tabla:

0.20 0.40 40

0.30 0.20 30

Porciento en Porciento en Total liquido A liquido B requerido

Vitamina C mg

Vitamina D mg

Sean 1

x = cantidad de miligramos del líquido A que serán usados. 2

x = cantidad de miligramos del líquido B que serán usados. Se genera el siguiente sistema de ecuaciones

( )

1 2

0.20 0.40 40 1

0.30 0.20 30 2

x x

+ =

 

+ =



En donde la primera ecuación representa cómo obtener la cantidad requerida de vitamina C y la segunda ecuación representa cómo obtener la cantidad requerida de vitamina D.

(28)

( )

2 por 2− y la ecuación resultante se suma con la ecuación

( )

1 .

1 2

1

0.20 0.40 40

0.60 0.40 60

0.40 20

x x

x

+ =

+ − − = −

− = −

1 50

x =

Ahora se sustituye x₁=50 en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Por ejemplo, sustituimos en la ecuación

( )

1 .

( )

2

0.20 50 +0.40x =40

2 0.40x =30

2 75

x =

Por lo tanto, para que la farmacia pueda cumplir con la prescripción médica se requiere que use 50 mg del líquido A y 75 mg del líquido B.

2. Hallar una función y=ax2 + +bx c que contenga a los puntos

(

− −1, 2

)

,

(

1, 4−

)

y

( )

2, 4 .

Solución

Las coordenadas de cada punto deben satisfacer la ecuación y=ax2+ +bx c. Para el punto

(

− −1, 2

)

es cierto que − = −2 a

( )

1 2+ − +b

( )

1 c.

Para el punto

(

1, 4−

)

es cierto que − =4 a

( )

1 2+b

( )

1 +c. Para el punto

( )

2, 4 es cierto que 4=a

( )

2 2+b

( )

2 +c. Se genera entonces el siguiente sistema de ecuaciones

( )

2 1

4 2

4 2 4 3

a b c a b c a b c

− + = −

 

+ + = −



 ₊ _{+ =}

(29)

( )

4 .

2 4

2 2

a b c a b c b − + − =

+ + + = −

= −

( )

1 4

b= −

( )

5 .

2

4 2 4

3 3 6

a b c a b c a b

− + − =

+ + + =

+ =

( )

2 5

a b+ =

Ahora se resuelve el sistema formado por las ecuaciones

( )

4 y

( )

5 .

( )

1 4

2 5

b

a b

= −  

+ = 

Sustituyendo

( )

4 en

( )

5 , se obtiene

( )

1 2

a+ − =

3

a= Se sustituye a=3 y b= −1 en la ecuación

( )

1

( ) ( )

3 − − + = −1 c 2 6

c= − Por lo tanto, la función buscada es y=3x2− −x 6.

(30)

EJERCICIOS – PARTE I

1) Determinar si los valores asignados a las variables constituyen una solución del sistema.

a) x₁=2 , x₂ = −2 , x₃=2 , para el sistema

1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 3 2 4

3 10

5 2 3 8

x x x

+ + =   − + =   ₋ ₋ ₌ 

b) x1=4 , x2 = −3 , x3=2 , para el sistema

1 3

2 3 1 2 3

4 5 6

5 17

6 5 24

x x

x x x

− =   _{− = −}  _{− −} ₊ ₌ 

2) Resolver cada sistema de ecuaciones.

a) 1 2

1 2

6 5 9

4 3 13

x x x x − = −   + =

 b)

1 2 1 2

9 7 4

11 13 48

x x x x + = −   − = −  c)

(

)

(

)

1 2 1 2

1 2 6

6 3 1 2

x x x x − = +   + = −

 d)

(

) (

)

(

)

1 2 1

2 1 2 1

2 5 4 4

10 11 12

x x x

x x x x

+ = −

 

− = −



3) Resolver cada sistema de ecuaciones.

a)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 0

2 5

3 4 1

x x x

− − =  _{− +} _{+ =}   ₋ _{− =}  b)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1

2 3 4

3 2 7 0

x x x

− − =  _{− +} ₋ _{= −}   ₋ ₋ ₌  c)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 0

3 2 2 2

5 3 2

x x x

− − =   ₊ ₊ ₌   ₊ ₊ ₌  d)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 2 2 6

7 3 2 1

2 3 4 0

x x x

− + =   ₋ ₊ _{= −}   ₋ ₊ ₌  e)

1 2 3 1 2 3

1 2 3

2 3

2 4 7

2 2 3 4

x x x

+ − = −   − + = −  ₋ ₊ ₋ ₌  e)

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4 3 8

3 3 12

6 1

x x x

+ − = −   − + =   _{+ +} ₌ 

4) Hallar números reales a , b y c , de tal forma que la gráfica de la función 2

(31)

5) Un gerente de un restaurante desea comprar 200 cajas de platos. Una caja del diseño A, cuesta $ 25, mientras que una caja del diseño B cuesta $ 45. El gerente tiene disponibles $ 7,400 para este propósito. ¿Cuántas cajas de cada diseño debe ordenar?

6) Si al numerador y al denominador de una fracción se suma uno, el valor de la fracción es 2

3, y si al numerador y al denominador se le resta uno, el valor de la fracción es 1 2. Hallar la fracción.

7) Una persona tiene $120 en 33 billetes de $5 y de $2. ¿ Cuántos billetes de $5 y cuántos de $2 hay?.

II. Métodos de Eliminación Gaussiana para Resolver un Sistema de Ecuaciones

Lineales

Matriz Aumentada de un Sistema de Ecuaciones Lineales

Para un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones lineales con n variables 11 1 12 2 1 1

21 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

n n

m m m n n m

a x a x a x b

+ + + =

  



La matiz aumentada del sistema es

11 12 1 1 21 2 2 2 2

1 2

n n

m m m n m

a a a b

 

 

 

 

    



en donde

A=

11 12 1 21 2 2 2

1 2

n n

m m m n

a a a

 

 

 

     



es la matriz de los coeficientes, y b= 1 2

m b b

b

           

 es el vector

(32)

Si se denota x= 1 2

n x x

x

           

 al vector columna de las variables, entonces el sistema m n× de

ecuaciones lineales puede representarse matricialmente por

Ax=b

Ejemplos:

1. Escribir la matriz aumentada del sistema

1 2 3 1 2 1 2 3

2 3

3 5

3 8 4 17

x x x

x x

x x x

+ − =



 ₊ ₌



 ₊ ₊ ₌



Solución

1 2 1 3

1 3 0 5

3 8 4 17

 − 

 

 

2. Dada la siguiente matriz aumentada

2 1 2 1

3 2 4 1

0 4 1 2

 − 

 ₋ 

 

 ₋ 

 

, escribir el correspondiente

sistema de ecuaciones lineales.

Solución

1 2 3 1 2 3 2 3

2 2 1

3 2 4 1

4 2

x x x

x x

+ − =



 ₊ ₋ ₌



 ₋ ₌



Operaciones Elementales sobre las Filas de una Matriz

Hay tres tipos de operaciones que se pueden realizar sobre las filas de una matriz, llamadas operaciones elementales. Estos tipos de operaciones son:

Operaciones Elementales de Tipo I

Intercambiar dos filas de una matriz. Se denota por F_i ↔F_j, lo cual significa intercambiar la fila i y la fila j.

(33)

Es decir, la fila i pasa al lugar de la fila j, y viceversa.

Ejemplo:

Dada

1 2 1

1 3 0

3 8 4

A

−

 

 

=_ _

 

 

, entonces

1 2 1

1 3 0

3 8 4

−

 

 

 

F₂ ↔F₃

1 2 1

3 8 4

1 3 0

−

 

 

 

Operaciones Elementales de Tipo II

Multiplicar cada elemento de una fila por un escalar k ≠0. Se denota por

(

0

)

i i kF →F k ≠

Significa que cada elemento de la fila i se multiplica por k≠0 y esta nueva fila sustituye a la fila i.

Ejemplo:

Si sobre la matriz

1 2 1

1 3 0

3 8 4

−

 

 

 

se va a hacer −2F₁→F₁, la nueva F₁ será

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 1 2 2 2 1

F → − − − −

1 2 4 2

F → − −

y la matriz que se obtiene es

2 4 2

1 3 0

3 8 4

− −

 

 

 

.

Operaciones Elementales de Tipo III

Sumar k veces la fila i a la fila j. Se denota por

(

kF_i+F_j

)

→F_j, parak ≠0. Significa que cada elemento de la fila i se multiplica por k y este producto se suma al

(34)

Ejemplo:

Si sobre

1 2 1

1 3 0

3 8 4

−

 

 

 

se va a hacer

(

−3F₁+F₃

)

→F₃, el proceso es

1 3

3 3 6 3

3 8 4

0 2 7

F F

− → − −

+ →

La nueva fila será F₃ → 0 2 7, y la matriz que se obtiene es

1 2 1

1 3 0

0 2 7

−

 

 

 

Forma Escalonada de una Matriz

Una matriz está en forma escalonada si cumple las siguientes tres condiciones: 1. La primera entrada distinta de cero en cada fila distinta de cero es 1.

Ejemplo:

1 2 3

0 1 4

0 0 1

 

 

 

2. Si los elementos de la fila k y de la fila k+1 no son todos iguales a cero, entonces la primera entrada distinta de cero de la fila k+1 debe estar a la derecha de la primera entrada distinta de cero de la fila k.

Ejemplo:

0 0 1 4 0 3 0 0

1 ₀ ₀ ₀ ₀ ₁ ₁ ₅ ₁

Fila k

 

 

→_ _

 

+ →_ _

 

 

3. Las filas cuyos elementos sean todos iguales a cero, deben estar debajo de las filas cuyos elementos no son todos iguales a cero.

(35)

Ejemplo:

1 1 2 5

0 0 1 3

0 0 0 0

−

 

 

 

Ejemplos:

1. Las siguientes matrices están en forma escalonada

a.

1 4 0 2

0 1 1 3

0 0 1 1

0 0 0 1

 

 ₋ 

 

 

b.

1 5 2 3

0 0 1 7

0 0 0 1

0 0 0 0

−

 

 

 

2. Explique por qué cada una de las siguientes matrices no está en forma escalonada.

a.

1 5 8

0 2 3

0 0 1

 

 

 

b.

0 0 0

0 1 2

0 0 1

 

 

 

c.

0 1 0

1 0 0

0 0 0

 

 

 

Solución

a. El primer elemento distinto de cero en la fila 2 no es 1.

b. La primera fila cuyos elementos son todos ceros, debería ser la última fila de la matriz. c. El primer elemento distinto de cero de la segunda fila no está a la derecha del primer elemento distinto de cero de la primera fila.

Teorema

Cualquier matriz A_{m n}_× es equivalente por filas a una matriz en forma escalonada.

Nota

Del teorema anterior se deduce que si a una matriz A_{m n}_× se le hacen una serie de operaciones elementales entre sus filas, para transformarla en una matriz en forma escalonada, entonces, la matriz escalonada que se obtenga es equivalente por filas a la matriz inicial A.

(36)

Definición

El proceso de transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro cuya matriz aumentada esté en forma escalonada, se llama Eliminación Gausiana.

Ejemplo:

Resolver el sistema

1 2 3 4

2 4 6 10 2

2 7 4

2 7 7 7 2

4 9 10 14 6

x x x x

+ − + =



 ₊ ₋ ₊ ₌

 

+ − + =



 ₊ ₋ ₊ ₌



por el método de Eliminación

Gausiana.

Solución

Primero se escribe la matriz aumentada del sistema, la cual va a ser transformada mediante operaciones elementales sobre sus filas en una matriz en forma escalonada.

2 4 6 10 2

1 1 2 7 4

2 7 7 7 2

4 9 10 14 6

 − 

 ₋ 

 

 ₋ 

 

−

 

 

El primer elemento distinto de cero de la primera fila debe ser 1. Para conseguir ese 1, se multiplica la primera fila por 1

2, es decir, se hace la operación elemental 1 1 2F.

1 1

2 4 6 10 2 1 2 3 5 1

1 1 2 7 4 1 1 1 2 7 4

2 7 7 7 2 2 2 7 7 7 2

4 9 10 14 6 4 9 10 14 6

F F

 

 −  ₋

 

 ₋ 

−

 

  _→

 

 ₋  ₋

 

− −

   

   

Los elementos por debajo del 1 que se obtuvo como primer elemento de la primera fila, deben ser ser ceros. Estos ceros se van a obtener, usando la primera fila para hacer las siguientes operaciones elementales:

(

− +F₁ F₂

)

→F₂ ,

(

−2F₁+F₃

)

→F₃ y

(37)

1 2

1 2 3 5 1

1 1 2 7 4

0 1 1 2 3

F F − → − − − − + → − − ; 1 3

2 2 4 6 10 2

2 7 7 7 2

0 3 1 3 0

F F − → − − − − + → − − − 1 4

4 4 8 12 20 4

4 9 10 14 6

0 1 2 6 2

F F − → − − − − + → − − entonces

(

)

(

)

(

)

1 2 2 1 3 3 1 4 4

1 2 3 5 1 1 2 3 5 1

1 1 2 7 4 0 1 1 2 3

2

2 7 7 7 2 0 3 1 3 0

4

4 9 10 14 6 0 1 2 6 2

F F F

 −   −  − + →  ₋   ₋    ₋ ₊ _→    ₋   ₋ ₋  − + →     − −        

En la última matriz obtenida, el primer elemento distinto de cero de la segunda fila debe ser 1, y se va a conseguir haciendo − →F₂ F₂.

2 2

1 2 3 5

1 2 3 5 1 1

0 1 1 2 3 0 1 1 2 3

0 3 1 3 0 0 3 1 3 0

0 1 2 6 2 0 1 2 6 2

F F  −   −     ₋  ₋ − −     ₋ _→    ₋ ₋  ₋ ₋     − −        

Los elementos por debajo del 1 que se acaba de obtener, deben ser iguales a cero. Estos ceros se van a conseguir usando la segunda fila para hacer sobre la última matriz, las siguientes operaciones elementales:

(

−3F₂+F₃

)

→F₃ y

(

− +F₂ F₄

)

→F₄.

2 3

3 0 3 3 6 9

0 3 1 3 0

0 0 2 3 9

F F − → − + → − − ; 2 4

0 1 1 2 3

0 1 2 6 2

0 0 3 4 5

F F − → − + → − − es decir,

(

)

(

22 43

)

43

1 2 3 5 1 1 2 3 5 1

3

0 1 1 2 3 0 1 1 2 3

0 3 1 3 0 0 0 2 3 9

0 1 2 6 2 0 0 3 4 5

F F F

 −   −   ₋ _{− −}  ₋ ₊ _→  ₋ _{− −}       ₋ ₋  _{− +} _→       − −        

(38)

En la última matriz, el primer elemento distinto de cero de la tercera fila debe ser 1, y se va a conseguir haciendo 1 ₃ ₃

2F →F .

3 3

1 2 3 5 1

0 1 1 2 3

0 1 1 2 3 1

3 9

0 0 2 3 9 2 0 0 1

2 2

0 0 3 4 5

F F  −   −  _ _ − − −  ₋ _{− −}  _ _   _→ _ _   _ _   _ _ −     __ ₋ __

El elemento debajo del 1 que se acaba de conseguir, debe ser igual a cero. Este cero se va a obtener haciendo

(

−3F₃+F₄

)

→F₄.

3 4

9 27

3 0 0 3

2 2

0 0 3 4 5

17 17

0 0 0

2 2 F F − → − − − + → − − −

(

3 4

)

4

1 2 3 5 1

0 1 1 2 3

3 9

3

3 9 0 0 1

0 0 1 ₂ ₂

2 2

17 17

0 0 3 4 5 0 0 0

2 2

F F F

 −   −  _ _ − − −  ₋ _{− −}  _ _   _ _ − + →   _ _   _ _   _ _ − − −     _ _

Por último, el primer elemento distinto de cero en la cuarta fila debe ser 1. Este 1 se consigue haciendo 4 4

2

17F F

− → .

4 4

1 2 3 5 1

0 1 1 2 3

2

3 9

0 0 1

17 0 0 1

2 2

17 17

0 0 0 1 1

0 0 0

2 2 F F  −  _ ₋ _  ₋ ₋ ₋  _ _   _ ₋ _{− −} _   ₋ _→ _ _   _ _   _ _  ₋ ₋  _ _      

(39)

La matriz

1 2 3 5 1

0 1 1 2 3

3 9

0 0 1

2 2

0 0 0 1 1

 − 

 ₋ _{− −} 

 

 

es escalonada y el sistema de ecuaciones lineales

representado por ella es , el cual es equivalente al sistema de ecuaciones lineales inicial, es

( )

1 2 3 4

2 3 4 3 4

4

2 3 5 1 1

2 3 2

3 9

3

2 2

1 4

x x x x

x x x

x x

x

+ − + =

 

− − = −

 

+ =

 

= 

Se sustituye x₄ =1 en la ecuación

( )

3

( )

3

3 9

1

2 2

x + =

3 3

x =

Se sustituyen x₄ =1 y x₃ =3 en la ecuación

( )

2

( ) ( )

2 3 2 1 3

x − − = −

2 2

x =

Por último, se sustituyen x4 =1 , x3 =3 y x2 =2 en la ecuación

( )

1

( ) ( ) ( )

1 2 2 3 3 5 1 1

x + − + =

1 1

x =

(40)

Forma Escalonada Reducida de una Matriz

Una matriz está en forma escalonada reducida si cumple las siguientes condiciones: 1. La matriz está en forma escalonada.

2. El primer elemento distinto de cero en cada fila es el único elemento distinto de cero en su correspondiente columna.

Ejemplo:

Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida.

a.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

 

 

b.

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 1

0 0 0 0

 

 

 

c.

0 1 2 0

0 0 0 1

0 0 0 0

 

 

 

Definición

El proceso de transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro cuya matriz aumentada esté en forma escalonada reducida, se llama Proceso de Eliminación de Gauss-Jordan.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2

2 2 4

3 2 2 5

3 8 5 17

x x x

− + − =



₋ ₊ ₊ ₌

 

+ + =



₋ ₊ ₊ ₌



, usando el

método de eliminación de Gauus-Jordan.

Solución

La matriz aumentada del sistema es

1 2 1 2

2 2 1 4

3 2 2 5

3 8 5 17

− − 

₋ 

 

−

 

 

(41)

El primer elemento distinto de cero de la primera fila debe ser 1 y todos los demás elementos de la primera columna deben ser ceros.

(

)

(

)

(

)

1 2 2

1 1 1 3 3

1 4 4

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

2 2 1 4 2 2 1 4 0 2 3 0

3

3 2 2 5 3 2 2 5 0 8 1 11

3

3 8 5 17 3 8 5 17 0 2 8 11

F F F

F F F F F

F F F

− −   − −   − −  + → ₋  ₋   ₋    _{− →}   ₋ ₊ _→        ₋  + →       − −            

El primer elemento distinto de cero en la segunda fila debe ser 1 y todos los demás elementos de la segunda columna deben ser ceros.

(

)

(

)

(

)

2 1 1

2 2 2 3 3

2 4 4

1 2 1 2 1 0 2 2

2

3 3

0 1 0 0 1 0

1

8

2 2

2

0 8 1 11 2 0 0 11 11

0 2 8 11 0 0 11 11

F F F

F F F F F

F F F

 − −   − −    ₊ _→    ₋   ₋      − → − + →     − − + →            

El primer elemento distinto de cero en la tercera fila debe ser 1 y todos los demás elementos de la tercera columna deben ser ceros.

(

)

(

)

3 1 1

3 3 3 2 2

3 4 4

1 0 2 2 1 0 0 0

2

3 3

0 1 0 0 1 0

1 3

2 2

11 2

0 0 1 1

11

0 0 0 0

0 0 11 11

F F F

F F F F F

F F F

 − −    + →   _ _  ₋  _ _ _ _   → _ + _→           ₋ ₊ _→     __ __  

La última matriz está en forma escalonada reducida y de ella se obtiene que

1 2 3

3

0 , 1

2

x = x = y x =

El conjunto solución del sistema es 0 ,3, 1 2   _ _