Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión

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(1)PROYECTO FIN DE CARRERA Presentado a. LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA. Para obtener el título de. INGENIERO ELÉCTRICO por. Manuel Alejandro Gil González. DEFINICIÓN DE GRUPOS COHERENTES PARA EL MONITOREO DE OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS USANDO PARTICIÓN DE GRAFOS POR MÁXIMA EXPANSIÓN. Sustentado el día 07 mes 12 de1 año 2011 frente al jurado:. Composición del jurado. -. Asesor:. Mario Alberto Ríos Mesías, Profesor Asociado, Universidad de Los Andes. -. Co-asesor:. Óscar Gómez Carmona, Estudiante doctoral, Universidad de Los Andes. -. Jurados :. Ricardo Moreno Chuquen, Profesor Asociado, Universidad de Los Andes.

(2) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 2. Contenido 1 2. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 4 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 4 2.1 Objetivo General ...................................................................................................... 4 2.2 Objetivos Específicos ............................................................................................... 4 3 DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO ........................... 5 4 MARCO TEÓRICO, CONCEPTUAL E HISTÓRICO ............................................................... 5 4.1 Coherencia en sistemas de potencia ....................................................................... 5 4.2 Teoría de grafos – árboles de máxima y mínima expansión ................................... 7 4.3 Partición de árboles de máxima y mínima expansión ............................................. 8 4.4 Estado del arte en la Universidad de los Andes....................................................... 9 5 METODOLOGÍA DEL TRABAJO ....................................................................................... 10 5.1 Sistema italiano ...................................................................................................... 10 5.2 Parámetros dinámicos ........................................................................................... 11 5.3 Modelamiento del sistema de potencia a la luz de la teoría de grafos ................. 13 5.3.1 Modelo del sistema de potencia .................................................................... 13 5.3.2 Reducción del sistema de potencia ................................................................ 14 5.3.3 Grafo equivalente y coherencia ..................................................................... 15 5.4 Matriz de afinidad y árbol de máxima expansión.................................................. 19 5.5 Definición de los grupos coherentes ..................................................................... 20 6 TRABAJO REALIZADO Y RESULTADOS ........................................................................... 22 6.1 Sistema de prueba de 68 nodos - 16 máquinas..................................................... 22 6.1.1 Partición supervisada ..................................................................................... 22 6.1.2 Partición no supervisada (Zahn) ..................................................................... 25 6.1.3 Partición Fukuyama-Sugeno 1: ....................................................................... 26 6.1.4 Partición Fukuyama-Sugeno 2: ....................................................................... 26 6.2 Sistema Italiano 678 nodos – 170 máquinas ......................................................... 27 6.2.1 Partición supervisada ..................................................................................... 27 6.2.2 Partición no supervisada (Zahn) ..................................................................... 28 6.2.3 Partición Fukuyama-Sugeno 1 ........................................................................ 28 6.2.4 Partición Fukuyama-Sugeno 2 ........................................................................ 28 7 VALIDACIÓN DEL TRABAJO ............................................................................................ 29 7.1 Sistema de prueba de 68 nodos – 16 máquinas .................................................... 29 7.2 Sistema Italiano de 678 nodos – 170 máquinas .................................................... 32 7.2.1 Partición Fukuyama-Sugeno 1 ........................................................................ 32 7.2.2 Partición Fukuyama-Sugeno 2 ........................................................................ 34 8 CONCLUSIONES ............................................................................................................. 37 9 AGRADECIMIENTOS....................................................................................................... 37 10 REFERENCIAS ............................................................................................................. 38.

(3) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 3. 11 APENDICES ................................................................................................................. 40 11.1 Parámetros dinámicos........................................................................................ 40 11.2 Grupos coherentes sistema italiano con partición Fukuyama-Sugeno 1 .......... 43 11.3 Grupos coherentes sistema italiano con partición Fukuyama-Sugeno 2 .......... 44 11.4 Funciones implementadas ................................................................................. 46 11.5 Resumen ejecutivo ............................................................................................. 57.

(4) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 1. 4. INTRODUCCIÓN. Ante la creciente demanda de energía eléctrica, la dinámica de los mercados y la problemática ambiental, el sistema eléctrico actual está quedando obsoleto. Por consiguiente, se requiere de una transición hacia un sistema mucho más eficiente e inteligente que al integrar sofisticados sistemas de control, comunicaciones, electrónica de potencia, entre otros, se consolide como la Red Inteligente (Smart Grid) del futuro. Uno de los aspectos fundamentales en la transición hacia una Smart Grid es el monitoreo en tiempo real del sistema de potencia, con el fin de identificar oscilaciones electromecánicas. Adicionalmente, se requiere de una infraestructura de comunicaciones adecuada y de dispositivos de conmutación rápida que permitan el aislamiento de posibles fallas. Sin embargo, el gran tamaño de los sistemas de potencia actuales y limitaciones prácticas en cuanto a la infraestructura, hacen necesario que se monitoreen solo ciertas áreas del sistema que se definen a partir de grupos coherentes de generación, es decir grupos de generadores que oscilan de la misma manera en presencia de perturbaciones. Estos grupos se utilizan también en aplicaciones on-line para la evaluación de la seguridad de los sistemas de potencia y en la definición de equivalentes dinámicos reducidos que disminuyen la carga computacional al momento de realizar simulaciones de estabilidad transitoria. Aunque existen diversos algoritmos de optimización para la identificación de grupos coherentes, el objetivo del proyecto consiste en modelar el sistema como un grafo para definir un árbol de máxima expansión que al ser particionado bajo un criterio adecuado de lugar a los grupos de generadores coherentes.. 2. OBJETIVOS 2.1. Objetivo General. Identificar grupos coherentes de generación en un sistema de potencia de gran tamaño (Large Power System) a partir de la teoría de grafos, y específicamente de árboles de máxima expansión. La definición de estos grupos tiene como fin el monitoreo de oscilaciones electromecánicas en el sistema mediante el uso de equivalentes dinámicos reducidos.. 2.2 Objetivos Específicos Modelar sistemas de potencia a partir de la teoría de grafos, con el fin de hacer posible la identificación de grupos coherentes mediante la partición de grafos. Definir criterios de partición de un árbol de máxima expansión para la identificación de grupos coherentes..

(5) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 5. Desarrollar una metodología para la definición de grupos de generación coherentes en un sistema de potencia. Validar los resultados obtenidos por medio de simulaciones dinámicas.. 3. DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO. La identificación de generadores coherentes ha sido una problemática que se ha abordado desde hace muchos años. En un principio se encontraba encaminada a la obtención de equivalentes reducidos de sistemas de potencia muy grandes, cuyo análisis dinámico implicaba una gran carga computacional. En el presente, ante la inminente evolución del sistema eléctrico actual hacia una Red Inteligente (Smart Grid), ha sido utilizada principalmente en la implementación de nuevos esquemas de seguridad (Islanding) que aumentan la confiabilidad del mismo, haciéndolo más robusto ante fallas que en el pasado implicarían reacciones en cadena incontrolables. Así mismo, la identificación de grupos coherentes de generadores, hace posible la ubicación óptima de PMU’s que permitan el monitoreo en tiempo real del sistema de potencia. Aunque existen diversas técnicas ampliamente utilizadas en la identificación de coherencia como lo es el “Clustering” convencional (k-means, fuzzy) [4]-[6], [24]; y las técnicas que utilizan coherencia lenta [2], [7], [22], [23]; no se han reportado estudios que utilicen el concepto de los árboles de máxima expansión, a excepción de los documentados en las referencias [27] y [28]. No obstante, los criterios de partición que son utilizados en estas referencias se basan en métodos que funcionan de manera adecuada para sistemas pequeños pero pueden llevar a resultados erróneos en sistemas mucho más grandes de estructura compleja. En el presente trabajo, se formaliza la metodología expuesta en [27] y [28] para el modelamiento del sistema de potencia como un grafo y se proponen dos métodos nuevos para la definición de grupos coherentes a partir de un árbol de máxima expansión en sistemas de gran tamaño.. 4. MARCO TEÓRICO, CONCEPTUAL E HISTÓRICO 4.1 Coherencia en sistemas de potencia. El término de coherencia se utiliza para referirse al fenómeno que se observa cuando ciertos generadores tienden a oscilar de la misma manera ante una perturbación. Se dice entonces que estos generadores conforman un grupo coherente [1]. La conformación de grupos de esta naturaleza es de especial interés puesto que a partir de este procedimiento es posible reducir sistemas de potencia muy grandes a equivalentes dinámicos que representan cargas computacionales menores [1], [2], [4], [5], [6]..

(6) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 6. En general, la coherencia se define a partir de los ángulos de los rotores de los generadores. En la referencia [3] se desarrolla la siguiente expresión para la identificación de coherencia: (1) Como puede verse a partir de (1), para que dos generadores i y j sean considerados coherentes es necesario que para cualquier instante de tiempo la diferencia entre los ángulos de sus rotores ( ) sea igual a la diferencia de sus valores iniciales ( ). En la práctica, la coherencia sólo se consigue aproximadamente, con respecto a cierta tolerancia. De este modo, la expresión (1) se transforma en la siguiente condición también expuesta en [3]: (2) En la anterior expresión, es un entero positivo muy pequeño y es el tiempo que dura la coherencia. Se dice que dos generadores son exactamente coherentes si es 0 y es infinito [3].. Fig. 1. Oscilaciones electromecánicas para tres generadores distintos [3].. A partir de la Fig. 1 es posible ilustrar el concepto de coherencia asociado a la expresión (1). Como puede verse, los generadores y son coherentes puesto que para cada instante de tiempo la diferencia de los ángulos y es constante y además es igual a los valores iniciales. Por otro lado, la oscilación del generador es completamente distinta y por lo tanto no es coherente con ninguno de los otros dos. Existen diversos métodos para evaluar la coherencia del sistema, los cuales se agrupan a su vez en dos categorías generales: métodos que aplican una perturbación al sistema con el fin de observar el comportamiento oscilatorio del rotor de los generadores y métodos que se basan en propiedades independientes de la perturbación [2]. Estos últimos se suelen utilizar con mayor frecuencia debido a que permiten conformar grupos coherentes.

(7) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 7. generalizados, a diferencia de los primeros en los que el agrupamiento depende de la localización de la falla. Las aproximaciones al tema de la identificación de coherencia son numerosas y se han hecho mediante distintos métodos, siendo los más populares los métodos de “Clustering” y de “Slow Coherency”. En la referencia *4+ se utiliza “Hierarchical Clustering” para la identificación de grupos coherentes en el sistema de Nueva Inglaterra. En [5] y [6], la identificación de cohererencia se lleva a cabo a partir de “Fuzzy c-Means clustering”. Se utilizan como prueba el sistema de potencia de Taiwán (Taipower) y el sistema de prueba 30-Bus IEEE, respectivamente. En [2] y [7] se realiza una aproximación desde el método de “Slow Coherency”, el cual se basa principalmente en el modelamiento del sistema de potencia como un grafo. Finalmente, otros autores exploran métodos distintos como la identificación de identidad a partir de la distancia electromecánica [8] y la correlación de rango [9]. Para el presente proyecto, son de especial interés los métodos relacionados con la topología del sistema, ya que inicialmente se modela el sistema como un grafo. Posteriormente, se realizarán particiones a partir de un árbol de máxima expansión para así llegar a la identificación adecuada de los grupos coherentes. Se hace necesario entonces exponer aspectos generales acerca de la teoría de grafos y su aplicación en los sistemas de potencia.. 4.2 Teoría de grafos – árboles de máxima y mínima expansión Un grafo G consta de un conjunto de nodos V(G) = {v1, v2, …, vn} y un conjunto de ramas E(G) = {e1, e2, …, en} que se encuentran interconectados entre sí. Un elemento en V(G) se llama un nodo de G y un elemento en E(G), una rama de G. Una vez definido un grafo, es necesario mencionar ciertos conceptos asociados [10]: Orden: El orden del grafo G corresponde al número de nodos que contenga. Tamaño: El tamaño del grafo G número de enlaces que existan entre el conjunto de nodos. Grado: El grado de un nodo, se define como el número de ramas conectadas a ese nodo. Grafo dirigido: Grafo que consiste de un conjunto de nodos y un conjunto de ramas, en el cual cada rama corresponde a un par ordenado de nodos. Grafo con peso: Grafo en el cual las ramas de unión entre los nodos poseen un valor de peso..

(8) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 8. Camino: Secuencia de ramas y nodos de la forma v1, e1, v2, e2, …, vn, en tal que ningún nodo se encuentra repetido. Ciclo: Corresponde a un camino cerrado de longitud mayor o igual a 1 en el cual el nodo de origen es el mismo nodo de destino. A partir de la noción de grafo se deriva un tipo especial conocido como árbol. Un árbol es un grafo conexo que no contiene ciclos. A su vez, una hoja del árbol se define como un nodo de grado 1 [10]. En [7] se define un método particular para la identificación de coherencia a partir de una representación del sistema de potencia como un grafo. El objetivo del método consiste en encontrar árboles que se derivan del grafo original, con el fin de identificar grupos y resolver el problema conocido como “Islanding”. Para la construcción del grafo, los buses y las potencias de interconexión del sistema constituyen los parámetros fundamentales. Como aspecto final, es importante mencionar la definición de un árbol de máxima y mínima expansión y los algoritmos existentes para su formación. Un árbol expandido para determinado grafo G es un subgrafo de G que contiene todos sus nodos y cumple con la definición de árbol. Un árbol de mínima expansión de G es entonces un árbol expandido de G en el cual la suma de los pesos de las ramas es el valor mínimo [11]. Existen tres algoritmos reconocidos para formar árboles de mínima expansión: el algoritmo de Bor vka, el de Prim y el de Kruskal. Aunque cada uno resuelve el problema desde una aproximación distinta, todos se basan en el siguiente teorema expuesto en [11]: “Sean F1, F2,…,Fk, un bosque expandido de G, y sea (u,v) la más pequeña de todas las ramas con un solo punto final u V(F1). Entonces, existe un óptimo que contiene (u,v) entre todos los árboles expandidos que contienen todas las ramas en E(F1)” Un árbol de máxima expansión de G es un árbol expandido de G en el cual la suma de los pesos de las ramas es el valor máximo. Es posible construir un árbol de este tipo usando cualquiera de los tres algoritmos expuestos previamente, al usar el inverso del peso de cada rama del grafo original [29].. 4.3 Partición de árboles de máxima y mínima expansión Muchos métodos utilizados en áreas como el procesamiento de imágenes y la computación biológica hacen uso de árboles de mínima expansión para el análisis de gran cantidad de datos. La filosofía que se encuentra detrás de todos ellos es la misma: formar conjuntos de objetos de modo tal que la similitud entre elementos del mismo grupo (intra-cluster) sea máxima y entre elementos de distintos grupos (inter-cluster) sea mínima [29], [31]-[33]. De este modo, aparece un problema de optimización que se resuelve eliminando ramas “inconsistentes” que llevan a la aparición de subgrafos que representan los distintos grupos de objetos. En general, es posible identificar las ramas.

(9) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 9. inconsistentes por medio de dos métodos: métodos que eliminan de manera recursiva ramas del grafo basándose exclusivamente en su peso y métodos que hacen uso adicional de “medidas de validez” que permiten evaluar cuantitativamente que tan buenos son los grupos obtenidos [31]. A continuación se describen estos dos métodos: Método 1: Es el más sencillo de todos y consiste en eliminar las ramas de menor peso del árbol de mínima expansión hasta que se alcance un criterio de parada. Si se desea un número determinado de grupos ( ), se eliminan ramas (partición supervisada) en el árbol. Si no se conoce el número de grupos, de acuerdo con el criterio de Zahn, se eliminan las ramas cuyo peso se encuentre por debajo de la media (partición no supervisada) [31]. Los anteriores criterios presentan grandes falencias cuando la estructura del grafo equivalente es compleja y la separación entre grupos es cercana a la separación entre elementos. En [32] se presenta una modificación del criterio de Zahn, en la cual se considera la relación entre una rama y sus ramas adyacentes. No obstante, requiere de la definición de parámetros que requieren de la experiencia del usuario. Método 2: Al igual que en el anterior método se eliminan ramas del árbol de mínima expansión (algunas veces en orden, otras no), pero esta vez calculando para cada iteración algún índice de validez que permite evaluar cual de las particiones realizadas obtuvo los mejores grupos en términos de la distancia “intra-cluster” e “inter-cluster”. En [32] se eliminan ramas con el objetivo de disminuir la desviación estándar total del conjunto de datos (MSDR). Los autores de *33+ definen una “razón de validez” entre la distancia intracluster y la distancia inter-cluster. Al finalizar las iteraciones, se escoge la partición que conlleve al menor valor para la razón de validez. Finalmente, en [31] se menciona la medida “Fukuyama-Sugeno”, la cual proporciona el mejor desempeño para conjuntos de datos muy grandes y ruidosos: (3) Donde es el conjunto de datos, el número de grupos, el número de elementos en el grupo , el elemento del grupo , la media del grupo y la media global. Valores pequeños de implican grupos muy cohesionados con grandes separaciones entre ellos.. 4.4 Estado del arte en la Universidad de los Andes Dentro del ámbito de la Universidad de Los Andes, el Grupo de Potencia y Energía ha desarrollado y se encuentra desarrollando trabajos enfocados a la definición de esquemas de seguridad para el sistema de potencia. La metodología propuesta consiste en la identificación de islas en un sistema de potencia interconectado, como una manera de mejorar la confiabilidad ante fallas que puedan llevar el sistema al colapso. Este procedimiento se sustenta en la teoría espectral de grafos y se aplicó a diversos sistemas.

(10) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 10. de prueba. En [12], se exponen conceptos básicos relacionados con la teoría de grafos y se aplica la estrategia de “Islanding” jerárquico a los sistemas de prueba IEEE-118 e IEEE-69. Por otro lado, en la referencia [13] se desarrollan esquemas de seguridad en el sistema de prueba IEEE-39 a partir de la definición de sub-redes. Actualmente, se encuentra en desarrollo una propuesta para trabajo doctoral relacionada con el tema de coherencia [14]. En éste trabajo, el objetivo principal será el cálculo de wac’s para un sistema de potencia a partir del reconocimiento de las áreas que deben ser monitoreadas dentro del mismo. Las referencias [27] y [28] se encuentran relacionadas con este tema y abordan la identificación de coherencia desde el modelamiento del sistema de potencia como un grafo, y tiene como fin la ubicación optima de PMU’s para observabilidad total del sistema. Particularmente, la referencia [28] analiza tres técnicas para la obtención de grupos coherentes a partir del modelo de grafo del sistema, donde una de ellas corresponde a la partición de un árbol de máxima expansión utilizando el método 1 expuesto previamente.. 5. METODOLOGÍA DEL TRABAJO. El presente proyecto tiene como objetivo definir una metodología para la identificación de grupos coherentes en un sistema de potencia real, a partir de algoritmos que explotan las características de interconexión del mismo y que por lo tanto representan una alternativa rápida y sencilla a los procedimientos convencionales [4]-[6]. En el proceso, se utilizó como sistema de prueba el sistema eléctrico italiano cuya información de flujo de carga se encuentra disponible en formato de Matpower. Aunque los algoritmos de identificación se desarrollaron teniendo en cuenta el sistema de prueba mencionado, la aplicación de estos es extensible a cualquier otro sistema de potencia si se tienen en cuenta los lineamientos propuestos en este trabajo. En las siguientes secciones se presenta la información general del sistema de potencia italiano a partir del cual se obtuvieron los parámetros dinámicos de las máquinas, se desarrolla un procedimiento para el modelamiento de sistemas de potencia a partir de la teoría de grafos que se encuentra enfocado a la identificación de grupos coherentes y se mencionan los criterios que se deben tener en cuenta para la definición de aquellos grupos.. 5.1 Sistema italiano El sistema de transmisión italiano se encuentra compuesto por dos redes a 220 kV y 380 kV respectivamente. La mayor parte de la generación se encuentra localizada en la región norte del país y consta de plantas térmicas conectadas al sistema de 380 kV en su gran mayoría y plantas hidráulicas con conexión a la red de 220 kV. En la región del centro y sur, las centrales de generación son predominantemente térmicas tal como se observa en la Fig. 2. Al finalizar el mes de diciembre de 2009, la capacidad eléctrica instalada de acuerdo con el operador de red (Terna) [17] fue de 67000 MW de los cuales 13200 MW (19.70%) correspondieron a plantas hidroeléctricas, 52400 MW (78.21%) a plantas.

(11) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 11. térmicas y los 1400 MW (2.09%) restantes a energía fotovoltaica y eólica. Partiendo de la información anterior y teniendo en cuenta que la generación eólica y fotovoltaica no se incluye en los estudios de coherencia, se tiene como supuesto que aproximadamente 130 generadores de los 170 corresponden a generación térmica mientras que los otros 40 son de tipo hidráulico.. Fig. 2. Red de transmisión italiana a 220 kV (izquierda) y 380 kV (derecha) [19].. 5.2 Parámetros dinámicos Los parámetros dinámicos de los generadores de un sistema de potencia juegan un papel fundamental en la identificación de coherencia, puesto que determinan en gran medida el comportamiento del rotor ante una falla. Al no contar el sistema de prueba original con estos parámetros, fue necesario definirlos en concordancia con las características de generación (hidráulica o térmica) y la potencia nominal de cada una de las máquinas. En primer lugar, se asociaron de manera aproximada los nodos del sistema de Matpower (678) con las regiones geográficas del sistema de transmisión italiano (Fig. 2). En [18] se presenta un diagrama unifilar representativo de la red de 380kV, donde el autor ubica el primer nodo en la localidad de Entracque cerca de la frontera con Francia:.

(12) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 12. Fig. 3. Sistema italiano de 380 kV (Povincia de Turín) y nodo 1 (Entracque) [18], [19].. Fig. 4. Diagrama unifilar de la red italiana de 380kV (izquierda) y detalle de la provincia de Turín (derecha) [18].. Partiendo de la ubicación geográfica del nodo 1, y teniendo en cuenta el nodo correspondiente a cada generador y nivel de tensión al que se encuentra conectado en la red de transmisión (Anexo 1) se definió la característica de generación de las 170 máquinas. El cálculo de la potencia nominal de cada una de éstas, se hace con base en la información disponible en Matpower. Conociendo el tipo de máquina y su capacidad nominal, se utilizaron los valores estándar disponibles en libros [15] para establecer los parámetros dinámicos de cada uno de los generadores. Con este fin, se escogió un modelo de nivel 4 en PSAT para la representación, siendo 15 los parámetros de interés [20]. En la sección de apéndices, se presentan los parámetros de todas las máquinas según el formato que se especifica..

(13) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 13. 5.3 Modelamiento del sistema de potencia a la luz de la teoría de grafos La metodología propuesta para la identificación de grupos de generación coherentes, consiste en el modelamiento del sistema de potencia como un grafo para posteriormente aplicar un algoritmo de optimización que permita encontrar los grupos en cuestión. En las siguientes secciones se explican los conceptos teóricos que hacen posible llegar a la representación deseada. 5.3.1 Modelo del sistema de potencia Como se mencionó en secciones anteriores, los métodos existentes para la identificación de coherencia se pueden clasificar dentro de dos grupos generales: métodos que aplican una perturbación al sistema con el fin de observar el comportamiento oscilatorio del rotor de los generadores y métodos que se basan en propiedades independientes de la perturbación (Coherencia Lenta) [2]. Para el desarrollo de la metodología que se propone en este documento son de especial interés los últimos, ya que se basan fundamentalmente en la topología del sistema y no dependen de la ubicación de la falla. Debido a que el nivel de detalle utilizado en representar los generadores no influye de manera significativa en las características básicas de la red eléctrica [21] y por lo tanto los grupos coherentes son independientes del modelo de la máquina [8], en los métodos que se basan en Coherencia Lenta [2], [22], [23], y en la gran mayoría de los demás [4], [6], se utiliza el modelo clásico del generador. Al incluir la reactancia transitoria de los generadores y crear un nodo interno ficticio para cada uno de estos, el sistema se puede representar de la siguiente manera [3]:. Fig. 5. Representación del sistema de potencia incluyendo los nodos internos de las máquinas.. En la Fig. 5, el conjunto de nodos corresponde a los nodos internos de los generadores y el conjunto al grupo formado por los nodos de carga, los nodos intermedios y los nodos terminales de los generadores. Es de vital importancia definir el grupo de nodos internos puesto que el ángulo del rotor de cada máquina se define como la fase del fasor de voltaje en estos nodos. Es este ángulo el que se encuentra sujeto a oscilaciones ante una falla y por consiguiente, con base en él se definen los criterios de coherencia..

(14) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 14. Particularmente, los autores de [23] proponen un método para una vez identificados los grupos coherentes agregar la máquina equivalente a los nodos internos. Teniendo en cuenta la representación de la Fig. 5, y tal como se mencionó previamente, los únicos nodos del sistema que son críticos en la identificación de coherencia son los pertenecientes al conjunto . Los demás nodos ( solo influyen de manera indirecta y pueden ser eliminados teniendo cuidado de conservar las inyecciones netas de potencia en los nodos retenidos. Una vez eliminados los nodos del grupo , el sistema reducido se representa como un grupo de nodos internos interconectados directamente entre sí [3].. Fig. 6. Equivalente reducido del sistema de potencia.. 5.3.2 Reducción del sistema de potencia Con el fin de llevar a cabo la reducción del sistema y eliminar los nodos del conjunto , en primer lugar debe aumentarse la matriz original para incluir los nodos internos de los generadores y las respectivas reactancias transitorias que los conectan con los ya existentes. La dimensión de la original aumenta entonces en el número de generadores que haya en el sistema. Una vez hecho lo anterior, se reorganiza la matriz aumentada de modo tal que el sistema pueda ser descrito como (4) Donde el subíndice se refiere al conjunto de nodos eliminados y el conjunto de nodos retenidos . El conjunto de nodos retenidos hace referencia a los nodos internos de los generadores. Tras realizar operaciones matriciales se obtiene el siguiente sistema equivalente (5) Siendo la matriz reducida que describe las conexiones entre los nodos pertenecientes al sistema equivalente de la Fig. 6 [3]..

(15) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 15. 5.3.3 Grafo equivalente y coherencia Convenciones: : Grafo formado por el conjunto de vértices y el conjunto de ramas . Cada rama del grafo posee un peso . : Conjunto de vértices del grafo . : Conjunto de ramas del grafo . : Peso de la rama que une los vértices y . : Conjunto de nodos internos de los generadores del sistema. Partiendo del sistema reducido de solo nodos internos de los generadores, se tiene la estructura del grafo equivalente en el que el conjunto de vértices es igual a los elementos de y el conjunto de ramas está dado por los elementos fuera de la diagonal de la matriz reducida. Resta encontrar los pesos de cada una de las ramas del grafo, los cuales son una medida de la fuerza de conexión entre generadores. Este procedimiento se basa en la metodología propuesta en [3], [27] y [28], donde se define la coherencia a partir de la potencia de sincronización entre dos generadores y las respectivas constantes de inercia. En el sistema reducido de solo generadores, el voltaje del nodo corresponde al mismo voltaje transitorio del generador respectivo ( ). Si se desprecian las conductancias mutuas , la potencia activa inyectada en el nodo puede ser expresada como (6) Siendo y los ángulos de los rotores de las máquinas y reducida.. junto a. elementos de la. Al ocurrir una falla en el sistema, pequeños cambios en el ángulo del rotor de una máquina traen consigo variaciones en la potencia neta inyectada por los demás generadores en mayor o menor grado. Para el caso de estudio, es de interés analizar en qué medida se ve afectada la potencia de inyección de un generador ( ) como consecuencia de un cambio en el ángulo del rotor de otro generador . Al representar las máquinas sincrónicas por medio del modelo clásico, la dinámica de cada máquina en el sistema reducido se puede representar mediante la ecuación de oscilación [25], [26], [2]: (7) Donde y corresponden al coeficiente de inercia y velocidad angular del rotor de la máquina, respectivamente. es la potencia mecánica de entrada y la potencia.

(16) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 16. eléctrica entregada. Si se linealizan las ecuaciones de oscilación y las expresiones correspondientes a la inyección de potencia en los nodos, con respecto al punto de operación, se obtienen las siguientes relaciones [3]: (8) (9) En la identificación de coherencia, se asume que la magnitud del voltaje en los nodos del sistema permanece constante ante un cambio en el ángulo del rotor de alguna máquina, motivo por el cual la variación de voltaje en (9) se puede considerar nula. Partiendo del supuesto anterior, es posible expresar el cambio de las potencias reales inyectadas en los nodos del sistema reducido como (10) Para el caso específico en el que se desea conocer el cambio de la potencia real suministrada por un generador ( ) como consecuencia de una variación en el ángulo del rotor de otro generador ( ) y teniendo en cuenta la expresión obtenida para , la ecuación (10) toma la forma (11) Con (12) Finalmente, (13) Por otro lado, al asumir que la potencia mecánica de entrada del generador permanece sin cambio durante el transiente de interés y que la constante de amortiguamiento puede ser despreciada debido a que no influye en la frecuencia natural de oscilación del sistema [25], [26]; la aceleración correspondiente del rotor se puede determinar con base en (7) y (13): (14).

(17) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 17. Una expresión similar puede ser escrita para la aceleración del rotor de otro generador perteneciente al sistema: (15) Se dice entonces que los generadores y son exactamente coherentes si la aceleración de los rotores y ocasionadas por una falla en un punto del sistema son iguales [3], es decir: (16) De la anterior expresión, se deduce que la potencia de sincronización ( )) que existe entre dos nodos y ó y dividida entre el coeficiente de inercia que corresponda, representa la fuerza de interconexión entre ellos. Los autores de [1] tienen en cuenta los elementos de la matriz y asumiendo que para pequeños valores de ó , y , obtienen una expresión para la coherencia exacta que únicamente depende de los elementos fuera de la diagonal de la matriz de admitancia y los correspondientes coeficientes de inercia (17) No obstante, considerando los supuestos del procedimiento planteado en este documento y con el fin de obtener un mejor desempeño de los algoritmos implementados, se utilizará la condición de coherencia exacta descrita por (16) como base del proceso de identificación de grupos coherentes. Cabe resaltar, que tal como era de esperarse y en concordancia con los métodos de coherencia lenta [2], [7], [21], [22], [23]; la medida que se utilizará para establecer la coherencia entre generadores no depende de la falla particular que ocurra en el sistema ( ). Como se mencionó al inicio de esta sección, los pesos de las ramas del grafo que modela el sistema de potencia deben representar una medida de la fuerza de conexión que existe entre generadores. Es claro entonces, que la expresión (16) puede ser utilizada para definir los valores de los pesos del grafo equivalente. Siendo un vértice correspondiente a un generador del sistema cuya potencia real generada se ve afectada por otro generador asociado a un vértice y cuyo ángulo varía debido a una falla, el peso correspondiente de la rama se puede escribir como:.

(18) 18. Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. (18) Debido a que en general pues los coeficientes de inercia generadores y son diferentes la mayoría de veces,. y. de los. (19) El grafo resultante será un grafo “dirigido” con dos ramas asociadas a cada par de nodos . En (18), los valores correspondientes de y se obtienen fácilmente de la matriz reducida y la información dinámica del sistema. , , y pueden calcularse a partir de la información del flujo de carga del sistema original. El cálculo de los voltajes transitorios de los generadores se realiza sin incluir los nodos internos de generación. Aún así, estos cálculos tienen validez para el sistema reducido pues las inyecciones netas de corriente en los nodos retenidos deben mantenerse. Teniendo todos los valores necesarios para el cálculo de (18), es posible construir una matriz con los pesos de todos los arcos del grafo equivalente. A continuación se presenta a manera de ilustración el grafo equivalente que se obtendría a partir de la metodología expuesta para un sistema de 4 generadores:. Fig. 7. Grafo equivalente y matriz de pesos para un sistema de 4 máquinas.. Como puede verse en la anterior figura, los 4 nodos de generación se encuentran interconectados entre sí por medio de parejas de ramas cuyos pesos se encuentran especificados en la matriz ..

(19) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 19. A continuación se presenta un diagrama de flujo en el que se resumen los pasos que se deben seguir para la obtención del grafo equivalente que modela el sistema de potencia que se desea estudiar: INICIO. Agregar nodos internos e impedancias de los generadores al sistema original. Obtener. Organizar y reducir. original. Calcular voltajes transitorios del sistema reducido. Construir la matriz de pesos. FIN Fig. 8. Diagrama de flujo para la obtención del grafo equivalente para análisis de coherencia.. 5.4. Matriz de afinidad y árbol de máxima expansión. Aún cuando la matriz de pesos obtenida a partir de los procedimientos descritos en la sección 5.3 representa el modelo de grafo del sistema, para la aplicación de los algoritmos de construcción de un árbol de máxima expansión (MAST) se requiere transformar el grafo original en un grafo conexo “no dirigido”. Para tal fin, se modifica la matriz seleccionando para cada par de vértices un nuevo peso que corresponda al valor crítico de la fuerza de interconexión entre los dos generadores [28]: (20) Partiendo de esta nueva matriz de pesos es posible definir una matriz de afinidad ( ) para el sistema, la cual representa la similitud entre los distintos elementos (generadores) del grafo y será utilizada en la construcción del MAST. Dentro de las principales características de se encuentran las de ser simétrica y estar normalizada [29]..

(20) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 20. Finalmente, se construye el MAST asociado al grafo no dirigido descrito por teniendo en cuenta que se debe invertir cada uno de los elementos de aquella matriz. Al tratarse de un grafo “denso” es conveniente utilizar el algoritmo de Prim para disminuir el costo computacional [29]. El árbol de máxima expansión obtenido del grafo equivalente del sistema de potencia garantiza que las ramas que permanecen representan la máxima similitud entre los generadores del sistema [30]. Bajo algún criterio apropiado, es posible eliminar ramas del MAST que conllevan a la aparición de los grupos coherentes de interés.. 5.5 Definición de los grupos coherentes Como se mencionó en la sección 4, al haber construido el árbol de máxima expansión se deben eliminar ramas inconsistentes para la obtención de los grupos de máquinas. En el presente documento, decidieron programarse los algoritmos correspondientes al método 1 y adicionalmente se proponen dos nuevos métodos que surgen de la unión de los planteamientos de [32] y [33] y la medida de validez Fukuyama-Sugeno ( ) expuesta en [31]. En el primer método propuesto (partición Fukuyama-Sugeno 1) se utiliza la estructura iterativa del procedimiento de [32], pero se utiliza la medida Fukuyama-Sugeno para la selección de la mejor partición, en vez de la “razón de validez”. El diagrama de flujo del algoritmo se presenta a continuación: INICIO Threshold = 1 Paso = 0.01 Eliminar ramas menores a Threshold Calcular Threshold - Paso Almacenar Threshold y de la iteración NO. #grupos = 1? SI Seleccionar Threshold correspondiente a la iteración de menor. Eliminar ramas menores a Threshold FIN. Fig. 9. Diagrama de flujo de la partición Fukuyama-Sugeno 1..

(21) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 21. Como puede verse, se define inicialmente un valor de Threshold en 1 y se eliminan las ramas del MAST menores a este valor, con lo cual los únicos generadores que se agrupan son aquellos cuya conexión sea máxima (peso de 1). Para cada iteración se calcula el índice Fukuyama-Sugeno y se reduce el valor del Threshold en un paso previamente definido. El procedimiento se repite hasta que el valor del Threshold es mínimo y no es posible eliminar ninguna rama del árbol (1 sólo grupo de generadores). Finalmente, se construye la partición para la cual se obtuvo el mínimo valor de . En el segundo método (partición Fukuyama-Sugeno 2) se usa nuevamente para cuantificar la validez de los distintos grupos de máquinas. Sin embargo; el proceso de partición es mucho más selectivo, pues a la largo de las iteraciones se considera la posible eliminación de cada una de las ramas del árbol [32], a diferencia del caso anterior en el que se eliminaba una única rama por iteración. INICIO. Partición actual = MAST. Calcular de la partición actual ( Anterior). Actualizar partición actual. Eliminar rama por rama y calcular correspondiente ( Actual). Eliminar rama correspondiente a Actual. Actual = Actual mínimo. Anterior = Actual. SI. Actual < Anterior? NO FIN. Fig. 10. Diagrama de flujo de la partición Fukuyama-Sugeno 2..

(22) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 6. 22. TRABAJO REALIZADO Y RESULTADOS. Con el fin de aplicar la metodología descrita en las secciones anteriores, se programó en Matlab una serie de funciones cuyo código se encuentra disponible en la sección de apéndices. La función principal se denomina gruposCoherentes y retorna una matriz cuyo número de filas corresponde al número de grupos coherentes identificados. Los elementos diferentes de 0 en cada fila indican los números de los generadores asociados a cada grupo. En la llamada de gruposCoherentes se debe pasar como parámetro el nombre de los archivos .m con la información del sistema original y aumentado (incluyendo los nodos internos y reactancias transitorias de los generadores) en formato de PSAT y el identificador del método de partición que se desea usar. Tal como fue expuesto en la sección 5.5, es posible utilizar cuatro criterios de partición dentro de la metodología desarrollada: dos descritos previamente en la literatura y otros dos propuestos en este trabajo.. 6.1 Sistema de prueba de 68 nodos - 16 máquinas Aunque el objetivo principal del trabajo desarrollado consiste en aplicar el método de identificación de coherencia en un sistema de potencia de gran tamaño (Sistema Italiano), en un primer esfuerzo por verificar el desempeño de los algoritmos se utilizó el sistema de prueba de 68 nodos descrito en [34], el cual ha sido usado en [27]-[28] para ilustrar la ubicación óptima de PMU’s (previa agrupación de generadores coherentes) y en *12+ para la definición de islas en el sistema de potencia. Este sistema corresponde a un equivalente reducido de la interconexión entre el sistema de prueba de Nueva Inglaterra (NETS) y el sistema de potencia de Nueva York (NYPS) y consta de 16 máquinas que se distribuyen en 5 regiones geográficas (Fig. 11). El árbol de máxima expansión construido por el algoritmo es el mismo, independientemente del método de partición que se seleccione. En la Fig. 12 es posible observar el MAST resultante para el sistema de prueba de 68 nodos. Como puede verse, la conexión más fuerte aparece entre los generadores 4 y 5 mientras que la más débil se encuentra entre los generadores 13 y 16, en concordancia con la conectividad del sistema. 6.1.1 Partición supervisada Para el primer caso en el cual se requiere un número determinado de grupos, se escogió un valor de con la finalidad de comparar los resultados obtenidos a partir de la metodología propuesta, con los expuestos en la referencia [28]. Como se demuestra en [29], la eliminación de las ramas de menor peso, da lugar a la solución del problema de optimización “intra-cluster, inter-cluster”. En la Tabla 1 se presentan las ramas del MAST organizadas de menor a mayor según su peso. La Tabla 2 contiene los grupos de generadores obtenidos mediante la aplicación de los algoritmos implementados y la metodología descrita en [28]..

(23) 23. Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión NETS. G03 G07. G16. G13. G02. 03. AREA#5. NYPS. 16. G05 62. 07 23. 13. 02. 05. G04. 65. 20 04. 43. 58. 60. 64. G06. 19. 18. 59. 63. 39. G12. 66. 50. 44. 17. 45. 12. 57. 36 34. 52. 22 21. 35. 56. 68. 49. 61. 37. 33. 55. 32. 27. 30. 38. 11 31 10. G11 09. 41 28. 29. 42. 46. 24. G09. AREA#4. 67 06. 51. G10. 53 25. 26. 54. 08. 14 47. 01 G08. 48. 40. G01. Fig. 11. Sistema de prueba de 68 nodos y 16 máquinas [27].. Fig. 12. Árbol de máxima expansión (MAST) asociado al sistema de prueba de 68 nodos.. G14 AREA# 3. G15. 15.

(24) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 24. Tabla 1. Ramas del MAST organizadas en orden ascendente. Rama From 13 1 15 4 12 3 11 8. Peso To 16 11 16 8 13 6 12 9. 0.0538 0.1632 0.175 0.1794 0.2062 0.2142 0.2187 0.2729. Rama From 14 4 2 1 10 6 4. Peso To 15 6 3 8 11 7 5. 0.3147 0.4137 0.439 0.4468 0.496 0.8643 1. Tabla 2. Comparación de resultados partición supervisada. Grupo 1. Grupo 2. Grupo 3. Grupo 4. Grupo 5. Grupo 6. Grupo 7. Metodología propuesta. 1, 8, 9. 2, 3. 4, 5, 6, 7. 10, 11, 12. 13. 14, 15. 16. Metodología [28]. 1, 8, 9. 2, 3. 4, 5, 6, 7. 10, 11, 12, 13. 14. 15. 16. Los grupos 1, 2, 3 y 7 son exactamente iguales para ambas metodologías. No obstante, el generador 13 que corresponde a un único grupo en la metodología propuesta, es agrupado con los generadores 10, 11 y 12 para el otro caso. Adicionalmente, en [28] el generador 14 es separado del 15, contrario a lo que ocurre en el método propio.. Fig. 13. Grupos coherentes obtenidos con partición supervisada..

(25) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 25. 6.1.2 Partición no supervisada (Zahn) El segundo método para la identificación de grupos a partir del MAST se enmarca al igual que la partición supervisada dentro del método 1 expuesto en la sección 5.5. Sin embargo, no se requiere de un número predefinido de grupos. La partición del árbol continúa hasta que se hayan eliminado todas aquellas ramas menores a la media global. La comparación de resultados se presenta en la Tabla 3. Tal como se observa, los dos métodos encuentran 10 grupos de generadores que difieren ligeramente entre sí. El grupo 3 obtenido con la metodología propuesta, es una unión de los grupos 3 y 4 de [28], mientras que el grupo 7 de esta última referencia, une los grupos 6 y 7 del primer método. Tabla 3. Comparación de resultados partición no supervisada.. Metodología propuesta Metodología [28]. Grupo 1 1, 8. Grupo 2 9. Grupo 3 4, 5, 6, 7. Grupo 4 2, 3. Grupo 5 10, 11. Grupo 6 12. Grupo 7 13. Grupo 8 14. Grupo 9 15. Grupo 10 16. 1, 8. 9. 4, 5. 6, 7. 2, 3. 10, 11. 12, 13. 14. 15. 16. Fig. 14. Grupos coherentes obtenidos con partición no supervisada.. Hasta este momento se han presentado los resultados obtenidos para el sistema de prueba de 68 nodos, al utilizar la metodología para el modelamiento de sistemas de potencia a la luz de la teoría de grafos expuesta en la sección 5.3. Los criterios aplicados en la partición del árbol de máxima expansión obtenido a partir del grafo equivalente (partición supervisada y no supervisada), han sido usados recurrentemente en otros campos y particularmente permitieron la comparación con los resultados expuestos en.

(26) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 26. [28]. En las dos siguientes secciones, se presentan los resultados obtenidos a partir de los criterios de partición propuestos en el presente trabajo, los cuales fueron descritos en la sección 5.5. 6.1.3 Partición Fukuyama-Sugeno 1: Tabla 4. Resultados para partición Fukuyama-Sugeno 1.. Metodología propuesta. Grupo 1. Grupo 2. Grupo 3. Grupo 4. Grupo 5. Grupo 6. Grupo 7. Grupo 8. 1, 8, 9. 2, 3. 4, 5, 6, 7. 10, 11. 12. 13. 14, 15. 16. Fig. 15. Grupos coherentes obtenidos con partición Fukuyama-Sugeno 1.. Como se observa en la Tabla 4 y la Fig. 15, se obtienen 8 grupos de generadores coherentes al aplicar el criterio de partición Fukuyama-Sugeno 1. A pesar de que no es posible comparar los resultados obtenidos con otras referencias como consecuencia de la novedad del criterio utilizado, es posible ver que las máquinas se agrupan casi de la misma manera que al particionar de manera supervisada en 7 grupos. La única diferencia, consiste en la separación del generador 12 de los generadores 10 y 11, los cuales se encontraban incluidos en un único grupo. 6.1.4 Partición Fukuyama-Sugeno 2: Tabla 5. Resultados para partición Fukuyama-Sugeno 2.. Metodología propuesta. Grupo 1. Grupo 2. Grupo 3. Grupo 4. Grupo 5. 1, 8, 9. 2, 3. 4, 5, 6, 7. 10, 11. 12, 13, 14, 15, 16.

(27) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 27. Fig. 15. Grupos coherentes obtenidos con partición Fukuyama-Sugeno 2.. Aplicando el segundo de los métodos de partición propuestos, el número de grupos de generadores se reduce a 5. Aunque la estructura general de los primeros grupos coincide con la obtenida a partir de los otros tres métodos, es interesante observar que los generadores 12, 13, 14, 15 y 16 se incluyen dentro de un solo grupo a pesar de que las conexiones entre las parejas de generadores 13-16 y 15-16 se encuentran dentro de las tres más débiles. Lo anterior es indicio de la existencia de un mínimo local en el cual el algoritmo queda estancado, motivo por el cual no consigue eliminar más ramas que lleven a la obtención de un mínimo global en el cual el índice Fukuyama-Sugeno sea menor.. 6.2 Sistema Italiano 678 nodos – 170 máquinas Una vez analizados los resultados obtenidos para el sistema de prueba de 68 nodos, se procedió a la obtención de los grupos coherentes en el sistema italiano. Nuevamente se aplican los 4 criterios de partición usados previamente, para así poder comparar los distintos resultados y demostrar la superioridad de los criterios desarrollados. 6.2.1 Partición supervisada Al definir un número de grupos con base en el promedio de grupos obtenidos en las particiones Fukuyama-Sugeno 1 y 2 (como se verá próximamente), se tiene que 19 generadores son dispuestos en grupos individuales. Los dos grupos más grandes constan de 86 y 27 generadores, respectivamente. Los 9 grupos restantes contienen a los demás generadores en proporciones más o menos iguales. De este modo, es posible ver que la partición supervisada no obtiene muy buenos resultados en el sistema italiano, ya que más del 50% de los grupos conformados comprende máquinas individuales y otro.

(28) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 28. pequeño porcentaje de los grupos contiene al resto. Esta distribución de grupos no es de utilidad en el monitoreo de oscilaciones electromecánicas y aún menos en esquemas de seguridad que implican operación en isla. 6.2.2 Partición no supervisada (Zahn) Como se sabe de secciones anteriores, en la partición supervisada no es necesario especificar el número de grupos que se desea, con lo cual es de esperarse una mayor autonomía del algoritmo y por ende mejores resultados. Sin embargo, al utilizar un criterio sencillo como el de Zahn en un sistema de potencia de gran tamaño, la relevancia de los grupos obtenidos es menor que para el caso de la partición supervisada. Al particionar de manera no supervisada el MAST asociado al sistema italiano, se obtienen 107 grupos de máquinas de los cuales 74 corresponden a generadores individuales. El grupo con mayor número de elementos contiene un total de 8, seguido por otros dos grupos de 6 elementos. El remanente de los grupos contiene entre 2 y 3 generadores. 6.2.3 Partición Fukuyama-Sugeno 1 Aplicando el primero de los métodos propuestos, se obtiene una mejor distribución de grupos, siendo conformados 17 de ellos. De los 170 generadores, únicamente 6 se consideran como grupos individuales. Como se verá en la próxima sección, lo anterior se debe a la notable diferencia que existe entre el comportamiento del ángulo del rotor de estos y el del resto de generadores. Un grupo grande de 92 generadores incluye máquinas que posiblemente se encuentran en la región norte de Italia, donde la concentración de plantas es mucho mayor con respecto a las otras regiones. Los otros 10 grupos contienen al resto de generadores y su distribución se puede observar en la sección de apéndices. La Fig. 16 muestra una distribución geográfica aproximada de los grupos coherentes obtenidos con esta partición. 6.2.4 Partición Fukuyama-Sugeno 2 Finalmente, los grupos que se obtienen mediante la aplicación del criterio FukuyamaSugeno 2 son mucho más uniformes y compactos. De 43 grupos que se crean a partir de la división del árbol de máxima expansión, solamente 4 generadores se separan de manera individual. A parte del grupo 1 que contiene el número máximo de máquinas (23), el resto de grupos contiene entre 2 y 8 generadores. Los resultados se encuentran en la sección de apéndices. Dentro de los cuatro métodos utilizados para la definición de grupos coherentes en el sistema italiano, el método asociado a la partición Fukuyama-Sugeno 2 parece proporcionar los mejores resultados. No obstante - como se observará en la sección 7 algunos generadores pueden ser incluidos de manera incorrecta en algún grupo, como consecuencia de la existencia de mínimos locales..

(29) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 29. Fig. 16. Distribución geográfica aproximada de los grupos obtenidos por partición Fukuyama-Sugeno 1 [19].. 7. VALIDACIÓN DEL TRABAJO. Con el fin de verificar la validez de los grupos de generadores obtenidos a partir de los métodos propuestos, se realizaron simulaciones dinámicas en los sistemas de prueba para observar el comportamiento del ángulo de los rotores ( ) de los generadores ante una falla.. 7.1. Sistema de prueba de 68 nodos – 16 máquinas. Para el sistema de 68 nodos se simula una falla trifásica que ocurre en el bus 61 en . La falla es despejada en con la apertura de la línea 61-60. El comportamiento de los ángulos de los rotores de las 16 máquinas del sistema se aprecia en la Fig. 17..

(30) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 30. Fig. 17. Ángulo del rotor de todos los generadores del sistema de 68 nodos.. Se observa que la trayectoria de todos los ángulos ante una falla es aproximadamente la misma. Sin embargo, ciertas diferencias en la forma en la que oscilan permiten distinguir entre distintos grupos. Las figuras 18 a 20 corresponden al comportamiento de los de las máquinas asociadas a los grupos 3, 7 y 2 obtenidos mediante la aplicación del criterio Fukuyama-Sugeno 1 (Tabla 4). Estos grupos son los más representativos del sistema y permiten comprobar la validez de los tres grupos mencionados. Por otro lado, la Fig. 21 muestra el comportamiento de los tres generadores que se separan en grupos individuales. A pesar de que el comportamiento oscilatorio de los generadores 12 y 13 es prácticamente la misma, su separación mutua evita que el algoritmo los incluya dentro de un mismo grupo.. Fig. 18. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 3 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – 68 nodos)..

(31) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 31. Fig. 19. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 7 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – 68 nodos).. Fig. 20. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 2 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – 68 nodos).. Fig. 21. Ángulo del rotor de los generadores de los grupos 5, 6 y 8 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – 68 nodos)..

(32) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 32. 7.2 Sistema Italiano de 678 nodos – 170 máquinas Para el sistema de prueba italiano se hicieron simulaciones correspondientes a los criterios de partición Fukuyama-Sugeno 1 y 2 con el fin de comparar la validez de los resultados obtenidos por los dos métodos. Las simulaciones dinámicas corresponden a una falla trifásica que ocurre en el bus 169 en y se despeja con la apertura de la línea 169-203 en . 7.2.1. Partición Fukuyama-Sugeno 1. En la Fig. 22 se muestran los de los generadores separados en grupos individuales al aplicar el criterio Fukuyama-Sugeno 1. En este caso, la diferencia entre el comportamiento oscilatorio de las distintas máquinas es mucho más clara en comparación a los resultados de la Fig. 21. Aquella discordancia se presenta no solo entre los 7 generadores en cuestión sino también con respecto a los demás generadores del sistema. Por tal motivo, el algoritmo de partición se encarga de crear exitosamente 7 grupos cuyas conexiones con los demás son bastante débiles.. Fig. 22. Ángulo del rotor de los generadores de los grupos 12-17 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – Italia).. En las gráficas 23 a 26 es posible verificar la coherencia de los generadores que pertenecen a cada uno de los grupos evaluados (10, 4, 5 y 11). Nuevamente se escogen grupos representativos que facilitan la validación de los resultados. Cabe resaltar el resultado obtenido para los grupos 10 (Fig. 23) y 11 (Fig. 26) cuya similitud es tan grande que algunas de las curvas se sobrelapan. En el caso del grupo 10, las diez curvas asociadas a cada uno de los generadores se sobrelapan en parejas permitiendo distinguir solo 5 curvas. Lo mismo ocurre con las curvas correspondientes a los generadores del grupo 11, donde se identifican solo 2 de las 4 existentes..

(33) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. Fig. 23. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 10 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – Italia).. Fig. 24. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 4 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – Italia).. Fig. 25. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 5 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – Italia).. 33.

(34) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 34. Fig. 26. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 11 (partición Fukuyama-Sugeno 1 – Italia).. 7.2.2 Partición Fukuyama-Sugeno 2 Como se mencionó en la sección 6.2.4, cuando se crean grupos utilizando el método Fukuyama-Sugeno 2 solamente aparecen cuatro generadores que se separan de manera individual. El comportamiento del ángulo del rotor de estos generadores puede observarse en la Fig. 27. Aunque es posible notar la diferencia que existe entre las 4 curvas, no se presenta de manera tan evidente como ocurre para los grupos individuales obtenidos con la partición Fukuyama-Sugeno 1.. Fig. 27. Ángulo del rotor de los generadores de los grupos 40-43 (partición Fukuyama-Sugeno 2 – Italia)..

(35) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 35. Una vez más se escogieron grupos representativos en los que se apreciara fácilmente la fuerte conexión entre generadores de un mismo conjunto, la cual se ve reflejada en la similitud del comportamiento oscilatorio de los ángulos de los rotores. En las figuras 28 a 30 se muestran las curvas asociadas a los grupos 38, 18 y 22. Como ocurría en algunos casos de la partición Fukuyama-Sugeno 1, las distintas curvas se sobrelapan como consecuencia del gran parecido entre ellas. Con lo anterior, nuevamente se comprueba la validez de los grupos coherentes obtenidos a partir del método propuesto.. Fig. 28. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 38 (partición Fukuyama-Sugeno 2 – Italia).. Fig. 29. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 18 (partición Fukuyama-Sugeno 2 – Italia)..

(36) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 36. Fig. 30. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 22 (partición Fukuyama-Sugeno 2 – Italia).. Para finalizar, en la Fig. 31 se presentan las curvas correspondientes a los 21 generadores del grupo 1. Se observa fácilmente que dos de los generadores (54 y 39) han sido incluidos de manera errónea dentro del grupo, puesto que el comportamiento de sus respectivos ángulos difiere bastante del de los demás. Estos mismos generadores habían sido separados en grupos individuales al aplicar el criterio Fukuyama-Sugeno 1 (Fig. 22). Esta partición incorrecta ocurre debido a la existencia de mínimos locales en los cuales el algoritmo se estanca como consecuencia de los resultados obtenidos en iteraciones anteriores. Aún así, los 19 generadores restantes son agrupados de manera exitosa, pues el comportamiento de sus se encuentra altamente relacionado.. Fig. 31. Ángulo del rotor de los generadores del grupo 1 (partición Fukuyama-Sugeno 2 – Italia)..

(37) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 8. 37. CONCLUSIONES Con el presente proyecto fue posible desarrollar una metodología rápida y robusta para la obtención de grupos de generadores coherentes en sistemas de potencia, la cual es de utilidad principalmente en los estudios de ubicación óptima de PMU’s y el desarrollo de esquemas de seguridad que permitan la operación en isla de ciertos sectores del sistema. En primer lugar se modeló el sistema de potencia como un grafo, para lo cual se tomaron como base los planteamientos expuestos en las referencias [3], [27] y [28]. Posteriormente, se obtuvo un árbol de máxima expansión que representa las conexiones más fuertes entre los generadores del sistema, y a partir del cual se definen los grupos de interés mediante la eliminación de ramas “inconsistentes”. Aunque los árboles de máxima y mínima expansión han sido ampliamente usados en otras áreas relacionadas con el análisis de gran número de datos, no se reportan técnicas relacionadas en la identificación de coherencia, a excepción de [27] y [28]. La selección de un criterio adecuado de partición del árbol de máxima expansión es fundamental para la obtención de grupos validos y de utilidad práctica. Al utilizar dos criterios de partición sencillos (partición supervisada y Zahn) se obtienen resultados válidos para el sistema de prueba de 68 nodos. Sin embargo, al ser aplicados en un sistema de potencia mucho más grande (sistema italiano) cuya estructura es más compleja, los grupos de generadores son identificados erróneamente. Con el fin de solucionar el problema anterior, se plantean dos nuevos criterios de partición que se validan en los dos sistemas de prueba por medio de simulaciones dinámicas. Aunque el segundo de ellos proporciona grupos más compactos y distribuidos de mejor manera, representa una mayor carga computacional y adicionalmente puede agrupar de manera incorrecta algún pequeño porcentaje de los generadores. De este modo, el primero de los criterios representa la mejor opción en términos de validez y carga computacional. Se plantea como trabajo futuro la comparación de la metodología propuesta con las distintas técnicas ya existentes para la definición de grupos coherentes en sistemas de potencia, teniendo en cuenta la validez de los resultados y costo computacional de cada una. Adicionalmente, se propone su inclusión en los estudios relacionados con la ubicación de PMU’s y esquemas de Islanding y la aplicación de las teorías expuestas en otras áreas asociadas al análisis de sistemas de potencia, en la que la representación por medio de grafos sea de utilidad.. 9. AGRADECIMIENTOS. Agradezco principalmente a mi asesor Mario Ríos por sus sugerencias y correcciones a lo largo del semestre, y a mi co-asesor Oscar Gómez por su constante seguimiento y el aporte de la idea original a partir de la cual surgió el proyecto..

(38) Definición de grupos coherentes para el monitoreo de oscilaciones electromecánicas usando partición de grafos por máxima expansión. 38. 10 REFERENCIAS [1] [2]. [3] [4]. [5]. [6]. [7]. [8]. [9] [10] [11] [12]. [13]. [14]. [15] [16] [17]. Gallai, A.; Thomas, R. "Coherency identification for large electric power systems," Circuits and Systems, IEEE Transactions on , vol.29, no.11, pp. 777- 782, Nov 1982. Yusof, S.B.; Rogers, G.J.; Alden, R.T.H.; , "Slow coherency based network partitioning including load buses," Power Systems, IEEE Transactions on , vol.8, no.3, pp.13751382, Aug 1993. J. Machowski, J. Bialek, J. Bumby. Power Systems Dynamics: Stability and Control. 2ed. Jhon Wiley & Sons. 2008. pp. 140-144, 514-515, 557-573. Davodi, Moez, Banejad, Mahdi, Ahmadyfard, Alireza, Oloomi Buygi, Majid. “Coherency Identification Using Hierarchical Clustering Method in Power Systems”. The International Conference on Electrical Engineering 2008. S. Wang, P. Huang, C. Wu, Y. Chuang. “Direct Coherency Identiﬁcation of Synchronous Generators in Taiwan Power System Based on Fuzzy c-Means Clustering”. IEICE trans. fundamentals, vol.e90–a, no.10. Oct. 2007 M. El-Arini, A. Fathy. “Identification of Coherent Groups of Generators Based on Fuzzy Algorithm”. 14th International Middle East Power Systems Conference (MEPCON’10), Cairo University, Egypt. Dec. 2010. Guangyue Xu; Vittal, V.; , "Slow Coherency Based Cutset Determination Algorithm for Large Power Systems," Power Systems, IEEE Transactions on , vol.25, no.2, pp.877884, May 2010. Lino, O.Y.; Fette, M.; Ramirez, J.M.; , "Electromechanical distance and identity recognition in dynamic equivalencing," Power Tech, 2005 IEEE Russia , vol., no., pp.19, 27-30 June 2005. E. Atmaca, N. Serifoglu. “A rank correlation-based method for power network reduction”. 2003. L. Hsu, C. Lin. Graph Theory and Interconnection Networks. CRC Press. 2009. B. Wu, K. Chao. Spanning Trees and Optimization Problems. Chapman & Hall/CRC. 2004. Moreno, R.; Torres, A.; , "Security of the power system based on the separation into islands," Innovative Smart Grid Technologies (ISGT Latin America), 2011 IEEE PES Conference on , vol., no., pp.1-5, 19-21 Oct. 2011. Moreno, R.; Rios, M.A.; Torres, A.; , "Security schemes of power systems against blackouts," Bulk Power System Dynamics and Control (iREP) - VIII (iREP), 2010 iREP Symposium , vol., no., pp.1-6, 1-6 Aug. 2010. O. Gomez. “Cálculo de Controladores de Área Amplia (wac) para Separación Controladora en Sistemas de Potencia”. Propuesta de trabajo doctoral en desarrollo. 2011-10. P. M. Anderson, A. A. Fouad. Power System Control and Stability. 2ed. John Wiley & Sons. p.p. 13-31, 555-578. P. Kundur. Power System Stability and Control. McGraw-Hill. 1994. Terna S.p.A. Electric System [online]. Disponible en: http://www.terna.it/default.aspx?tabid=123.