clase6 solemne2 fmm112

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Clase 2. Derivadas de Funciones Elementales

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias Exactas.

Octubre 2015

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Derivada de Funciones Elementales

Derivadas de Funciones Elementales

I Sif(x) =k, conk ∈R; entoncesf0(x) =0

I Sif(x) =xn_{, conn ∈}

R; entoncesf0(x) =nxn−1

I Sif(x) =ex _{; entoncesf}0_{(x) =e}x

I Sif(x) =ax _{; entoncesf}0_{(x) =a}x_ln(a)

I Sif(x) =ln(x); entoncesf0_{(x) =} 1

x

I Sif(x) =loga(x); entoncesf0(x) =

1 xln(a)

I Sif(x) =sin(x); entoncesf0_{(x) =cos(x)}

I Sif(x) =cos(x); entoncesf0_{(x) = −sin(x)}

I Sif(x) =tan(x); entoncesf0_{(x) =sec}2_(x)

I Sif(x) =cot(x); entoncesf0_{(x) = −csc}2_(x)

I Sif(x) =sec(x); entoncesf0_{(x) =sec(x)cot(x)}

I Sif(x) =csc(x); entoncesf0_{(x) = −csc(x)cot(x)}

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Álgebra de Derivadas

Seak ∈Ryf(x)yg(x)funciones derivables dex, entonces :

I Sih(x) =kf(x); entoncesh0_{(x) =kf}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)± g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)± g}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

I Sih(x) = f(x)

g(x) ; entoncesh

0_{(x) =} f

0_{(x)g(x) −f(x)g}0_(x)

(g(x))2

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Álgebra de Derivadas

Seak ∈Ryf(x)yg(x)funciones derivables dex, entonces :

I Sih(x) =kf(x); entoncesh0_{(x) =kf}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)± g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)± g}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

I Sih(x) = f(x)

g(x) ; entoncesh

0_{(x) =} f

0_{(x)g(x) −f(x)g}0_(x)

(g(x))2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Álgebra de Derivadas

Seak ∈Ryf(x)yg(x)funciones derivables dex, entonces :

I Sih(x) =kf(x); entoncesh0_{(x) =kf}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)± g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)± g}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

I Sih(x) = f(x)

g(x) ; entoncesh

0_{(x) =} f

0_{(x)g(x) −f(x)g}0_(x)

(g(x))2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Álgebra de Derivadas

Seak ∈Ryf(x)yg(x)funciones derivables dex, entonces :

I Sih(x) =kf(x); entoncesh0_{(x) =kf}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)± g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)± g}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

I Sih(x) = f(x)

g(x) ; entoncesh

0_{(x) =}f

0_{(x)g(x) −f(x)g}0_(x)

(g(x))2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Álgebra de Derivadas

Seak ∈Ryf(x)yg(x)funciones derivables dex, entonces :

I Sih(x) =kf(x); entoncesh0_{(x) =kf}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)± g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)± g}0_(x)

I Sih(x) = (f(x)g(x)); entoncesh0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

I Sih(x) = f(x)

g(x) ; entoncesh

0_{(x) =}f

0_{(x)g(x) −f(x)g}0_(x)

(g(x))2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

1 f(x) =x−3 cos(x) +25

Solución.

f0(x) =1−3(−sin(x)) +0

f0(x) =1+3 sin(x)

2 f(x) =√x−√1 x Solución.

f(x) = (x)12− (x)−21

f0(x) = 1 2(x)

−1

2 − −1

2

(x)−23

f0(x) = 1 2√x+

1 2√x3

3 h(x) =sin(x)ln(x)

Solución.

f0(x) =cos(x)ln(x) +sen(x)1

x

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

4 g(x) = e

x_cos(x)

1−tan(x)

Solución.

g0(x) = e

x_cos(x)0

1−tan(x)− ex_{cos(x) 1−tan(x)}0

(1−tan(x))2

g0(x) = e

x_{cos(x) +e}x_{(−sen(x))(1−tan(x)− (e}x_{cos(x))(−sec}2_(x)) (1−tan(x))2

g0(x) =(e

x_{cos(x) −e}x_{sin(x))(1−tan(x)) +e}x_cos(x)sec2_(x) (1−tan(x))2

5 f(x) =3bx3₊2b

x Solución.

f0(x) =3b3x2+2b −1 x2

f0(x) =9bx2−2b

x2

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Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

4 g(x) = e

x_cos(x)

1−tan(x)

Solución.

g0_{(x) =} e

x_cos(x)0

1−tan(x)− excos(x) 1−tan(x)0 (1−tan(x))2

g0(x) = e

x_{cos(x) +e}x_{(−sen(x))(1−tan(x)− (e}x_{cos(x))(−sec}2_(x)) (1−tan(x))2

g0(x) =(e

x_{cos(x) −e}x_{sin(x))(1−tan(x)) +e}x_cos(x)sec2_(x) (1−tan(x))2

5 f(x) =3bx3₊2b

x Solución.

f0(x) =3b3x2+2b −1 x2

f0(x) =9bx2−2b

x2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

4 g(x) = e

x_cos(x)

1−tan(x)

Solución.

g0_{(x) =} e

x_cos(x)0

1−tan(x)− excos(x) 1−tan(x)0 (1−tan(x))2

g0(x) = e

x_{cos(x) +e}x_{(−sen(x))(1−tan(x)− (e}x_{cos(x))(−sec}2_(x)) (1−tan(x))2

g0(x) =(e

x_{cos(x) −e}x_{sin(x))(1−tan(x)) +e}x_cos(x)sec2_(x) (1−tan(x))2

5 f(x) =3bx3₊2b

x Solución.

f0(x) =3b3x2+2b −1 x2

f0(x) =9bx2−2b

x2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Actividad 1

Con su compañero, determine la derivada de las siguientes funciones:

4 g(x) = e

x_cos(x)

1−tan(x)

Solución.

g0_{(x) =} e

x_cos(x)0

1−tan(x)− excos(x) 1−tan(x)0 (1−tan(x))2

g0(x) = e

x_{cos(x) +e}x_{(−sen(x))(1−tan(x)− (e}x_{cos(x))(−sec}2_(x)) (1−tan(x))2

g0(x) =(e

x_{cos(x) −e}x_{sin(x))(1−tan(x)) +e}x_cos(x)sec2_(x) (1−tan(x))2

5 f(x) =3bx3₊2b

x Solución.

f0(x) =3b3x2+2b −1 x2

f0(x) =9bx2−2b

x2

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Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

1 Sif(x) =x3+3x2+5. Entonces la pendiente de la recta tangente a

esta curva, en el puntox= −1 es:

(a) −3 (b) −9 (c) 9 (d) N.A

Solución.

f0_{(x) =3x}2_+6x

f0(−1) =3(−1)2+6(−1) =3−6= −3

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva esm= −3 Luego la alternativa correcta es(a)

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Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

1 Sif(x) =x3+3x2+5. Entonces la pendiente de la recta tangente a

esta curva, en el puntox= −1 es:

(a) −3 (b) −9 (c) 9 (d) N.A

Solución.

f0_{(x) =3x}2_+6x

f0(−1) =3(−1)2+6(−1) =3−6= −3

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la curva esm= −3 Luego la alternativa correcta es(a)

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

2 Sif(x)yg(x)son funciones derivables, tales que: f(2) =5,f0(2) =3,

g(2) =4, yg0_{(2) =7. Entonces sih(x) =f(x)g(x), el valor deh}0_(2)es:

(a) 43 (b) 47 (c) 41 (d) N.A

Solución.

h0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

Luego,

h0_{(2) =f}0_{(2)g(2) +f(2)g}0₍₂₎

h0(2) = (3)(4) + (5)(7) =47 Por lo tanto, la alternativa correcta es(b)

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Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

2 Sif(x)yg(x)son funciones derivables, tales que: f(2) =5,f0(2) =3,

g(2) =4, yg0_{(2) =7. Entonces sih(x) =f(x)g(x), el valor deh}0_(2)es:

(a) 43 (b) 47 (c) 41 (d) N.A

Solución.

h0_{(x) =f}0_{(x)g(x) +f(x)g}0_(x)

Luego,

h0_{(2) =f}0_{(2)g(2) +f(2)g}0₍₂₎

h0(2) = (3)(4) + (5)(7) =47 Por lo tanto, la alternativa correcta es(b)

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Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

3 Sif(x) =

sin(x) −cos(x)

cos(x) , entoncesf

0₍π

2)es:

(a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) @

Solución.

Tenemos que,

f(x) = sin(x) cos(x)−1

f(x) =tan(x) −1 Luego,

f0_{(x) =sec}2_(x)

f0(π 2) =@ Por lo tanto, la alternativa correcta es(d)

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Actividad 2: En grupos de 3 personas

Determine, en cada caso, la alternativa correcta. Justifique su respuesta.

3 Sif(x) =

sin(x) −cos(x)

cos(x) , entoncesf

0₍π

2)es:

(a) 1 (b) 2 (c) 0 (d) @

Solución. Tenemos que,

f(x) = sin(x) cos(x)−1

f(x) =tan(x) −1 Luego,

f0_{(x) =sec}2_(x)

f0(π 2) =@ Por lo tanto, la alternativa correcta es(d)

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Actividad 3: En grupos de 3 personas

Resuelva con sus compañeros los siguientes ejercicios:

1 Sif(x) = 3ax

2_−a2

2x . Determine el valor dea ∈Rsi se sabe que f0_{(1) =5}

Solución.

f0(x) =6ax(2x) − (3ax 2_−a2₎₂ (2x)2

f0(x) =6ax 2_+2a2 4x2 Luego,

f0_{(1) =} 6a+2a

2

4 Por lo tanto,

6a+2a2 4 =5 2a2_+6a=20 2a2+6a−20=0

a2+3a−10=0 Luego,a= −5 óa= −2

Unidad Derivadas. Universidad Andrés Bello

Actividad 3: En grupos de 3 personas

Resuelva con sus compañeros los siguientes ejercicios:

1 Sif(x) = 3ax

2_−a2

2x . Determine el valor dea ∈Rsi se sabe que f0_{(1) =5}

Solución.

f0(x) =6ax(2x) − (3ax 2_−a2₎₂ (2x)2

f0(x) =6ax 2_+2a2 4x2 Luego,

f0_{(1) =}6a+2a

2

4 Por lo tanto,

6a+2a2 4 =5 2a2_+6a=20 2a2+6a−20=0

a2+3a−10=0 Luego,a= −5 óa= −2

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Actividad 3: En grupos de 3 personas

Resuelva con sus compañeros los siguientes ejercicios:

2 Sif(x) = (b−a)

x3 6 − x2 2

cona, b ∈_Rya 6=b. Determine para que valor dexse cumplef0_{(x) =0}

Solución.

f0_{(x) = (b−a)}

1 6(3x

2_{) −} 1 2(2x)

f0_{(x) = (b−a)}

1 2x

2_−x

Luego,f0_{(x) =0 sí y sólo sí(b−a)}

1 2x 2 −x =0

Comob 6=a, entonces 1 2x

2 −x=0 Luego,x=0, óx=2

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Actividad 3: En grupos de 3 personas

Resuelva con sus compañeros los siguientes ejercicios:

2 Sif(x) = (b−a)

x3 6 − x2 2

cona, b ∈_Rya 6=b. Determine para que valor dexse cumplef0_{(x) =0}

Solución.

f0_{(x) = (b−a)}

1 6(3x

2_{) −} 1 2(2x)

f0_{(x) = (b}

−a) 1 2x 2 −x

Luego,f0_{(x) =0 sí y sólo sí(b−a)}

1 2x 2 −x =0

Comob 6=a, entonces 1 2x

2 −x=0 Luego,x=0, óx=2