DIOP_U1_EA_VIDA

(1)

Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación

lineal

Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación lineal

Ingeniería en Desarrollo de software

Semestre 5

Asignatura:

Investigación de Operaciones

Unidad 1. Programación lineal

Facilitador: Jorge Alberto Galan Montero

Alumno: Vicente Díaz Ayala

(2)

Evidencia de aprendizaje. Solución a problemas de programación

lineal

Introducción: Como actividad final de la unidad, aplicarás lo aprendido en dos

ejercicios que deberán ser resueltos por los Métodos llamados de la M y de las Dos fases. Recuerda que para resolverlos debidamente es necesario estudiar todo el material propuesto en la Unidad y realizar las actividades anteriores.

Propósito: Al lograr terminar ésta actividad satisfactoriamente, comprobarás que cada

concepto y cada procedimiento descrito aquí fueron asimilado debidamente, por lo tanto, estarás listo para entrar a la siguiente unidad.

Instrucciones:

I) Resuelve los siguientes ejercicios

Tenemos: X1 -2X2 + X3 + S1 + 0 + 0 = 20

2 X1 +4X2 + X3 + 0 + S2 + 0 = 50

0 + 0 + 0+ 0 + 0 + S3 = 0

Z - 2X1 - 5X2 - 3X3 + 0 + 0 + 0 = 0

1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD S1 0 1 -2 1 1 0 0 20 --S2 0 2 4 1 0 1 0 50 25/2 S3 0 0 0 0 0 0 1 0 --Z 1 -2 -5 -3 0 0 0 0

--Variable básica entrante inicial

Variable básica saliente

(3)

2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema. S2 =X2 0 2 4 1 0 1 0 50 4 4 4 4 4 4 4 4 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 S1 0 1 -2 1 1 0 0 20 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 0 2 0 3/2 1 1/2 0 45 S3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 0 0 0 0 0 0 1 0 Z 1 -2 -5 -3 0 0 0 0 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 1 1/2 0 -7/4 0 5/4 0 125/2

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS

COMO EXISTE UN VALOR NEGATIVO EN Z SE RESUELVE NUEVAMENTE

Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD X3 =S1 0 2 0 3/2 1 1/2 0 45 20 X2 = S2 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 50 S3 0 0 0 0 0 0 1 0 --Z 1 1/2 0 -7/4 0 5/4 0 125/2

(4)

--S1 = X3 0 2 0 3/2 1 1/2 0 45 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 0 4/3 0 1 2/3 1/3 0 30 S2 = X2 0 1/2 1 1/4 0 1/4 0 25/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 1/4 0 4/3 0 1 2/3 1/3 0 30 0 1/14 1 0 -1/6 1/6 0 5 S3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4/3 0 1 2/3 1/3 0 30 0 0 0 0 0 0 1 0 Z 1 1/2 0 -7/4 0 5/4 0 125/2 -7/4 -7/4 -7/4 -7/4 -7/4 -7/4 -7/4 -7/4 0 4/3 0 1 2/3 1/3 0 30 1 17/6 0 0 7/6 11/6 0 115

Checando resultado X1= 0 , X2 = 5, X3 = 30 Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD X3= S1 0 4/3 0 1 2/3 1/3 0 30 X2 = S2 0 1/14 1 0 -1/6 1/6 0 5 S3 0 0 0 0 0 0 1 0 Z 1 17/6 0 0 7/6 11/6 0 115

(5)

Z = 2X

1

+ 5X

2

+ 3X

3

= 2(0) + 5(5) +3(30) =25 + 90

Z= 115

3.-Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También

identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.

Tenemos: W=R1+ R2 FASE 1 X1 -2X2 + X3 + R1 = 20 = X1 -2X2 + X3 + R1 =20 R1 = 20-X1 +2X2 - X3 2 X1 +4X2 + X3 + R2-X4 = 50 = 2 X1 +4X2 + X3 + R2-X4 = 50 R2=50-2 X1 -4X2 - X3 + X4 ENTONCES: W=(20-X1 +2X2 - X3) +L (50-2 X1 -4X2 - X3 + X4 ) W=70-3X1 -2X2 - 2X3+ X4 W+3X1 +2X2 + 2X3 - X4 =70 Variable Básica X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 3 2 2 -1 0 0 70 R1 1 -2 1 0 1 0 20 20 R2 2 4 1 -1 0 1 50 25

Variable básica entrante inicial

Variable básica saliente inicial

(6)

4.- Aplica la fase 1 paso a paso. Variable a X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 3 2 2 -1 0 0 70 R1=X1 1 -2 1 0 1 0 20 20 R2 2 4 1 -1 0 1 50 25 R1=X1 1 -2 1 0 1 0 20 1 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 0 1 0 20 R2 2 4 1 -1 0 1 50 2 2 2 2 2 2 2 1 -2 1 0 1 0 20 0 8 -1 -1 -2 1 10 W 3 2 2 -1 0 0 70 3 3 3 3 3 3 3 1 -2 1 0 1 0 20 0 8 -1 -1 -3 0 10

Llenamos la nueva tabla y resolvemos

Variable a X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 0 8 -1 -1 -3 0 10 R1=X1 1 -2 1 0 1 0 20 R2 0 8 -1 -1 -2 1 10

(7)

Tabla de primera fase

5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

Como no hay números positivos se pasa a la segunda fase. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. X1 + 3/4X3 – 1/4X4 =45/2 X1 =-3/4X3+ 1/4X4 +45/2

X2 - 1/8X3 – 1/8 X4 =5/4 X2 = 1/8X3 +1/8 X4 +5/4

SE SUSTITUYEN EN LA ECUACION ORIGINAL Z= 2x1 +5X2 +3X3

Z = 2

(-3/4X2 + 1/4X4 +45/2)

+5(

1/8X3 +1/8 X4 +5/4)

+ 3(0)

R2=X2 0 8 -1 -1 -2 1 10 8 8 8 8 8 8 8 0 1 -1/8 -1/8 -1/4 1/8 10/8 W 0 8 -1 -1 -2 1 10 8 8 8 8 8 8 8 0 1 -1/8 -1/8 -1/4 1/8 10/8 0 0 0 0 -1 -1 0 R1 = X1 1 -2 1 0 1 0 20 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 1 -1/8 -1/8 -1/4 1/8 10/8 1 0 3/4 -1/4 1/2 -1/4 45/2 Variable a X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 0 0 0 0 -1 -1 0 R1= X1 1 0 3/4 -1/4 1/2 -1/4 45/2 R2=X2 0 1 -1/8 -1/8 -1/4 1/8 10/8

(8)

Z + 7/8X

3

-9/8X

4=

115/4

Variable a X1 X2 X3 X4 CD Z 0 0 7/8 -9/8 115/4 R1= X1 1 0 3/4 -1/4 45/2 R2=X2 0 1 -1/8 -1/8 5/4

Se resuelve la nueva tabla

Completamos la nueva tabla

Tenemos:

X1 = 0, X2 =5 y X3 =30

7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?

Las soluciones más factibles pienso que se dan con el método simplex que con el método de la dos fases se complica un poco más.

8.-Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

Variable a X1 X2 X3 X4 CD Z 0 0 7/8 -9/8 115/4 R1= X1 1 0 3/4 -1/4 45/2 30 R2=X2 0 1 -1/8 -1/8 5/4 --Variable a X1 X2 X3 X4 CD X3= X1 1 0 3/4 -1/4 145/2 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 4/3 0 1 -1/3 30 Variable a X1 X2 X3 X4 CD R2=X2 0 1 -1/8 -1/8 5/4 -1/8 -1/8 -1/8 -1/8 -1/8 4/3 0 1 -1/3 30 -1/6 1 0 -1/6 5 Variable a X1 X2 X3 X4 CD z 0 0 7/8 -9/8 115/4 7/8 7/8 7/8 7/8 7/8 4/3 0 1 -1/3 30 -7/6 0 0 -5/6 5 Variable a X1 X2 X3 X4 CD z -7/6 0 0 -5/6 5 X3= X1 4/3 0 1 -1/3 30 R2= X2 -1/6 1 0 -1/6 5

(9)

1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema. Tenemos: 2X1 + X2 + 3X3 + S1 + 0 + 0 = 60 3X1 +3X2 + 5X3 + 0 + S2 + 0 = 50 Z - 3X1 - 2X2 - 4X3 + 0 + 0 + 0 = 0 Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD S1 0 2 1 3 1 0 0 60 20 S2 0 3 3 5 0 1 0 120 24 Z 1 -3 -2 -4 0 0 0 0

Método simplex paso a paso para resolver el problema.

S1 =X3 0 2 1 3 1 0 0 60

(10)

0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20 S2 0 3 3 5 0 1 0 120 5 5 5 5 5 5 5 5 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20 0 -1/3 4/3 0 -5/3 1 0 20 Z 1 -3 -2 -4 0 0 0 0 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20 1 -1/3 -2/3 0 4/3 0 0 80

Resolvemos pues hay números negativos en Z

S1 =X3 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 0 -1/4 1 0 -15/12 3/4 0 15 0 9/12 0 1 27/36 -1/4 0 15 Z 1 -1/3 -2/3 0 4/3 0 0 80 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 -2/3 0 -1/4 1 0 -15/12 3/4 0 15 1 -1/2 0 0 1/2 1/2 0 90

COMPLETANDO LAS TABLAS OBTENIDAS Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD X3 =S1 0 2/3 1/3 1 1/3 0 0 20 60 S2 0 -1/3 4/3 0 -5/3 1 0 20 15 Z 1 -1/3 -2/3 0 4/3 0 0 80 --X2 = S2 0 -1/3 4/3 0 -5/3 1 0 20 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 0 -1/4 1 0 -15/12 3/4 0 15 Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD X3 =X1 0 9/12 0 1 9/12 -1/4 0 15 20 X2= S2 0 -1/4 1 0 -15/12 3/4 0 15 ---Z 1 -1/2 0 0 1/2 1/2 0 90

(11)

---Resolvemos pues hay números negativos en Z S2 =X2 0 -1/4 1 0 -15/12 3/4 0 15 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 0 1 0 12/9 1 -1/3 0 20 0 0 1 1/3 -1 8/12 0 20 Z 1 -1/2 0 0 1/2 1/2 0 90 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 0 1 0 12/9 1 1/3 0 20 1 0 0 6/9 1 2/3 0 100 TABLA FINAL Checando resultado X1= 20 , X2 = 20, X3 = 0 Y Z=100

Z = 3(20)+ 2(20)

+ 4(0)

= 60 + 40 + 0 = 100

Z= 100 X1 = X3 0 9/12 0 1 9/12 -1/4 0 15 9/12 9/12 9/12 9/12 9/12 9/12 9/12 9/12 0 1 0 12/9 1 -1/3 0 20 Variable Básica Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 CD X1 0 1 0 12/9 1 -1/3 0 20 X2 0 0 1 1/3 -1 8/12 0 20 Z 1 0 0 6/9 1 2/3 0 100

(12)

2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema. Tenemos: W=R1+ R2 FASE 1 2X1 + X2 + 3X3 + R1 = 60 = R1 = -2X1 -X2 - 3X3 + 60 3X1 +3X2 + 5X3 + R2-X4 = 120 = R2=-2 X1 -4X2 - X3 + X4 =120 ENTONCES: W+5X1 +4X2 + 8X3 - X4 =180 Variable Básica X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 5 4 8 -1 0 0 180 R1 2 1 3 0 1 0 60 20 R2 3 3 5 -1 0 1 120 25

4.- Aplica la fase 1 paso a paso.

Variable básica entrante inicial

Variable básica saliente inicial

(13)

R1=X3 2 1 3 0 1 0 60 3 3 3 3 3 3 3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 20 R2 3 3 5 -1 0 1 120 5 5 5 5 5 5 5 2/3 1/3 1 0 1/3 0 20 -1/3 4/3 0 -1 -5/3 1 20 W 5 4 8 -1 0 0 180 8 8 8 8 8 8 8 2/3 1/3 1 0 1/3 0 20 -1/3 4/3 0 -1 -8/3 0 20

Llenamos la nueva tabla y resolvemos

Variable a X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W -1/3 4/3 0 -1 -8/3 0 20 R1=X3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 20 R2 -1/3 4/3 0 -1 -5/3 1 20 R2=X2 -1/3 4/3 0 -1 -5/3 1 20 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 -1/4 1 0 -3/4 -5/4 3/4 15 R1 = X3 2/3 1/3 1 0 1/3 0 20 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 -1/4 1 0 -3/4 -5/3 3/4 15 3/4 0 1 1/4 3/4 -1/4 15 W -1/3 4/3 0 -1 -8/3 0 20 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 4/3 -1/4 1 0 -3/4 -5/3 3/4 15 0 0 0 0 -1 -1 0

(14)

Tabla de primera fase

5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2.

Como no hay números positivos se pasa a la segunda fase. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. 3/4X1 + X3 +1/4X4 =15 X3 =-3/4X1- 1/4X4 +15

-1/4X1 + X2 – 3/4X4 =5/4 X2 = 1/4X1 +3/4 X4 + 15

SE SUSTITUYEN EN LA ECUACION ORIGINAL Z= 3x1 +2(1/4X1 +3/4 X4 + 15)+4(-3/4X1- 1/4X4 +15)

Z = -5/2X

1

+ 1/2X

4

=90

Z + 5/2 X

1

– 1/2X

4=

90

Variable a X1 X2 X3 X4 CD Z 5/2 0 0 -1/2 90 R1= X3 3/4 0 1 1/4 15 R2=X2 -1/4 1 0 -3/4 15

Se resuelve la nueva tabla

Completamos la nueva tabla

Variable a X1 X2 X3 X4 R1 R2 CD W 0 0 0 0 -1 -1 0 R1= X3 3/4 0 1 1/4 3/4 -1/4 15 R2=X2 -1/4 1 0 -3/4 -5/4 3/4 15 X1 X2 X3 X4 CD X3= X1 3/4 0 1 1/4 15 3/4 3/4 3/4 3/4 3/4 1 0 4/3 3 20 X1 X2 X3 X4 CD R2=X2 -1/4 1 0 -3/4 15 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 -1/4 1 0 4/3 3 20 0 1 1/3 0 20 X1 X2 X3 X4 CD z 5/2 0 0 -1/2 90 5/2 5/2 5/2 5/2 5/2 1 0 4/3 3 20 0 0 10/3 7 40

(15)

Tenemos:

X1 = 20, X2 =20 y X3 =0

Z=3X1 +2 X2 +4X3

Z= 60+40

Z=100

3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? Yo pienso que el método simplex de la m es más fácil y me costó menos trabajo llegar a la solución.

4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

II) Guarda los 2 ejercicios en un archivo de Microsoft Word con el nombre

DIOP_U1_EA_XXYZ.Doc. Sustituye las XX por las dos primeras letras del primer nombre, la Y por la inicial del apellido paterno y la Z por la inicial del apellido materno

III) Envía el archivo a tu Facilitador mediante la sección de Tareas para recibir

retroalimentación.

IV) Revisa la escala de evaluación de la Evidencia de aprendizaje que encontrarás en

el archivo Instrumentos de evaluación.

Variable a X1 X2 X3 X4 CD z 0 0 10/3 7 40 X1 1 0 4/3 3 20 X2 0 1 1/3 0 20