RAMO: ESTADÍSTICA II UNIDAD I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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RAMO: ESTADÍSTICA II

UNIDAD I

MUESTREO Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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2 Instituto Profesional Iplacex

CLASE 01

1. MUESTRA ALEATORIA

En estadística, el concepto de muestra aleatoria, debe quedar claro desde el comienzo del estudio, pues es la base del tópico de muestreo.

Una muestra aleatoria, de tamaño n de una población x, es una sucesión de n variables aleatorias independientes x1, x2, ..., xn; con idéntica ley de probabilidades que x.

Se entenderá por idéntica ley de probabilidades como la misma posibilidad de ser elegido.

En otras palabras, una muestra aleatoria de tamaño n es: • Una colección de n variables aleatorias

• Todas con la misma distribución • Todas independientes

Como se puede observar, esta definición idealiza la operación de repetir n veces la observación de la misma variable, siendo las repeticiones en cuestión, independientes una de otra.

Se utilizarán las siguientes definiciones formales:

Muestra aleatoria:

Es la muestra que se toma de la población, de modo que cada unidad disponible para la observación tenga la misma probabilidad de ser incluida en la muestra, es decir, todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

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Marginales1

Una vez obtenida la muestra, es decir, cuando se han extraído los n individuos de la población y “medido” la variable X en cada uno de ellos, se dispondrán de n datos u observaciones:

Por lo tanto, para que una variable aleatoria, definida a partir de una muestra aleatoria de tamaño n, tome valores, es necesario disponer de los n datos de la obtención muestral.

Todo conjunto de N unidades, tomadas de una población dada, se puede considerar como muestra de tamaño N de la población. Una muestra aleatoria se puede tomar con o sin reemplazo.

1

Para más acerca de variables aleatorias, revisar apuntes estadística I

Variable Aleatoria:

Se dice que una función: X : Ω → R, es una variable aleatoria si la "suerte" de realización de sus posibles valores puede establecerse con ayuda de los resultados de la experiencia aleatoria en estudio, cuyo espacio muestral es Ω .Se trata, en definitiva, de una función que asigna un valor numérico a cada uno de los resultados de una experiencia aleatoria (R experiencia aleatoria).

Por lo anterior, podemos definir que: Una variable aleatoria es un número que depende del resultado aleatorio de un experimento y es una regla que asigna un valor numérico (sólo uno) a cada punto en el espacio muestral de un experimento aleatorio

Variable aleatoria independiente:

Se dice que 2 variables aleatorias son independientes si cada uno de sus valores de probabilidad conjunta, es igual al producto de los correspondientes valores de las probabilidades marginales1.

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• Si se toma con reemplazo, la unidad tomada se vuelve a colocar en la población y puede ser seleccionada nuevamente, por lo que el número de unidades disponibles para seguir la operación no se afecta. Lo anterior se conoce como Muestreo Aleatorio Simple.

• Si se toma sin reemplazo, la unidad escogida no se vuelve a colocar en la población. Por lo que, el número de unidades que quedan tras cada unidad que se saca, se reduce en una unidad y en consecuencia la probabilidad de sacar cualquier unidad restante en operaciones sucesivas aumenta.

2. MUESTREO

La principal utilidad de la estadística inferencial en la investigación del comportamiento, es la de realizar inferencias acerca de un número grande de personas (población), o de otras unidades observacionales, esto a partir de datos concernientes a un grupo relativamente pequeño de personas.

La teoría del muestreo tiene por objetivo, el estudio de las relaciones existentes entre la distribución de un carácter en dicha población y las distribuciones de dicho carácter en todas sus muestras.

El muestreo ayuda a la obtención de información acerca de un todo tomando sólo una parte o muestra.

Una población está determinada por sus características definitorias. Por lo tanto, el conjunto de elementos que posea esta característica se denomina población o universo. Población es la totalidad del fenómeno a estudiar, donde las unidades de observación poseen una característica común, la que se estudia y da origen a los datos de la investigación.

Entonces, una población es el conjunto de todas las cosas que concuerdan con una serie determinada de especificaciones. Un censo, por ejemplo, es el recuento de todos los elementos de una población. Cuando no es posible medir todos los individuos de una población, se toma una muestra representativa de la misma.

Cuando se seleccionan algunos elementos con la intención de averiguar algo sobre una población determinada, nos referimos a este grupo de elementos como muestra. Por supuesto, se espera que lo que averiguado en la muestra sea cierto para la población en su conjunto. La exactitud de la información recolectada depende en gran manera de la forma en que fue seleccionada la muestra.

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La muestra descansa en el principio de que las partes representan al todo y, por tal, refleja las características que definen la población de la que fue extraída, lo cual nos indica que es representativa. Por lo tanto, la validez de la generalización depende de la validez2 de los datos y el tamaño de la muestra.

CLASE 02

Leyes del método de muestreo

El método de muestreo se basa en ciertas leyes que le otorgan su fundamento científico, las cuales son:

• Ley de los grandes números: si en una prueba, la probabilidad de un acontecimiento o suceso es P, y si éste se repite una gran cantidad de veces, la relación entre las veces que se produce el suceso y la cantidad total de pruebas (es decir, la frecuencia del suceso) tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad P.

• Cálculo de probabilidades: La probabilidad de un hecho o suceso es la relación entre el número de casos favorables (p) a este hecho con la cantidad de casos posibles, suponiendo que todos los casos son igualmente posibles. El método de establecer la probabilidad es lo que se denomina cálculo de probabilidad.

De estas dos leyes fundamentales de la estadística, se infieren aquellas que sirven de base más directamente al método de muestreo:

• Ley de la regularidad estadística: un conjunto de n unidades seleccionadas al azar de un conjunto N (población), es casi seguro que tenga las características del grupo más grande.

• Ley de la inercia de los grandes números: esta ley es contraria a la anterior. Se refiere al hecho de que en la mayoría de los fenómenos, cuando una parte varía en una dirección, es probable que una parte igual del mismo grupo, varíe en dirección opuesta. • Ley de la permanencia de los números pequeños: si una muestra suficientemente

grande es representativa de la población, una segunda muestra de igual magnitud deberá ser semejante a la primera; y, si en la primera muestra se encuentran pocos individuos con características raras, es de esperar encontrar igual proporción en la segunda muestra.

2

Validez es el grado en que una situación o instrumento de medida, mide lo que realmente pretende o quiere medir. A la validez en ocasiones se la denomina “exactitud”, es el criterio fundamental para valorar si el resultado obtenido en el estudio es adecuado.

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Al hablar de población, nos podemos referir por ejemplo a los estudiantes de una universidad, o el conjunto de familias chilenas. La población de interés, es seleccionada por el investigador, y debe ser definida en forma clara y precisa, de tal forma que siempre pueda clasificarse un elemento como perteneciente a ella o no.

Se ha de suponer, que en cada elemento4 de la población se ha definido una variable5, que puede ser del tipo cualitativa (como el sexo, nacionalidad) o cuantitativa (como la edad), y de las cuáles se desea conocer su distribución entre los elementos de la población.

A continuación se definen algunos términos utilizados frecuentemente a lo largo del estudio.

4_{Se llama elemento a las entidades sobre las cuales se reúnen los datos.} 5

Variable es una característica de interés de los elementos. Muestreo:

Es la actividad por la cual se seleccionan ciertas muestras de una población de elementos, basados en ciertos criterios de decisión.

El muestreo es importante porque a través de él se pueden realizar análisis de situaciones de una empresa o de algún campo de la sociedad y su función básica es determinar que parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer deducciones sobre dicha población.

Población:

Una población es la totalidad de objetos o individuos de los cuales queremos obtener información.

Muestra:

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En muchos casos, la forma de distribución es conocida por estudios anteriores o viene dada de acuerdo a la forma de recoger la información. Generalmente, se requiere conocer los parámetros de la población, es decir, aquellas características que nos permitirán determinar la distribución de la muestra.

Ejemplo Nº 1

Si la distribución de una variable x estudiada, es normal, quedará perfectamente definida determinando la media y la desviación típica de la muestra (estadística).

En síntesis, cuando la población contiene muchos elementos no es posible ni aconsejable medir la variable de interés en todos ellos; en estas ocasiones, en lugar de realizar un censo3, se selecciona un conjunto de elementos que se denomina muestra.

Por lo tanto podemos decir que, Parámetro es la característica que describe a una población y Estadístico es la característica que describe a una muestra.

3

Censo es un estudio exhaustivo y completo de todos los elementos de una población.

Parámetro:

Una parámetro es una medida numérica usada para describir alguna característica de una población, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una población.

Estadístico o Estadígrafo:

Un estadístico es una medida usada para describir alguna característica de una

muestra, tal como una media aritmética, una mediana o una desviación estándar de una muestra.

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Cuadro Nº 1: Estadística v/s Parámetro

CLASE 03

Las ventajas de estudiar una población a partir de una muestra, son principalmente: • Costo reducido

Si los datos que se buscan pueden ser obtenidos a partir de una pequeña parte del total de la población, los gastos de recoger y procesar los datos serán menores. Por ejemplo, cuando se realizan encuestas previas a una elección política, es más barato preguntar a 5.000 personas su intención de voto, que a 10.000.000.

• Mayor rapidez

Es posible obtener resultado en forma más rápida al observar una pequeña muestra que la población total. Por ejemplo se acostumbra a ver como con los resultados del escrutinio de las primeras mesas electorales, se obtiene una aproximación bastante buena del resultado final de unas elecciones, muchas horas antes de que el recuento final de votos haya finalizado.

• Más posibilidades

Existen más posibilidades para hacer cierto tipo de estudios, por ejemplo la duración de cierto tipo de ampolletas, no es posible en la práctica destruirlas todas para conocer su vida media, ya que no quedaría nada que vender. Es mejor destruir sólo una pequeña parte de ellas y sacar conclusiones sobre las demás.

Cuando la muestra está bien seleccionada, se puede obtener una información similar a la del censo, pero de manera más rápida y a un menor costo. Esto justifica que en la práctica que el análisis de poblaciones que son muy grandes, se realicen de preferencia, mediante muestreo.

Media Símbolo para el

Estadístico (muestra) Símbolo para el parámetro (población) Media x µ Desviación estándar s σ Número de elementos n N Proporción p p

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Como se puede observar el cuadro Nº 1 se llama N al tamaño de la población y n al número de elementos que forman la muestra, o tamaño muestral, según corresponda. Podemos definir:

1. Fracción de muestreo: (n/N) al cuociente entre el tamaño muestral y el de la población. 2. Factor de elevación: (N/n) al cuociente entre el tamaño de la población y el de la muestra. Es el inverso de la fracción de muestreo y representa el número de unidades que existe en la población por cada elemento de muestra.

Ejemplo N° 2

En una población de 10.000 personas, se desea obtener una muestra de 500 personas. Entonces, la fracción de muestreo (f) es:

(f) = 500/10.000 = 0.05

La fracción de muestreo indica que se va a investigar el 5% de la población.

El factor de elevación, que se denota (fe), es: (fe) = 10.000/500 = 20

Este valor indica, que cada persona en la muestra representa a 20 de la población.

De este modo, es posible destacar que al hacer estadística inferencial se deben enfrentar dos tipos de problemas:

• La elección de la muestra para la realización de la investigación (muestreo), y

• La extrapolación de las conclusiones obtenidas sobre la muestra, al resto de la población (inferencia). Es decir, los resultados obtenidos de la muestra pueden ser generalizados a toda la población

¿Pero bajo qué condiciones, resulta apropiada una muestra? Realice ejercicios Nº 1 al 3

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Existen una serie de factores que inciden en la respuesta de esta pregunta, y que resultan fundamentales en estadística inferencial.

• Una primera condición, es el tamaño que ha de tener la muestra. Parece evidente, que a mayor tamaño de la muestra, más se acercarán los estadísticos que se calculen, a los parámetros de la población

En la práctica real, el número de elementos de una muestra está determinado por una serie de factores, tales como: grado de fiabilidad deseado, dificultad en la elección de los elementos que la compongan, tiempo necesario para la elección, costos y otros.

• La segunda condición, pero no menos importante, es ¿cómo deben ser elegidos los elementos que compongan la muestra?

Para ser válidas, las muestras elegidas deben ser representativas, esto es, si se desea inferir los resultados de una muestra, en ella se ha de reproducir en igual porcentaje el carácter estudiado, que en la población total. Por tanto, será necesario, que en el momento de la elección de los elementos de la muestra, se verifique que todos los elementos de la población tengan igual probabilidad de ser elegidos para la muestra.

Cuando algunos miembros de la población tienen una probabilidad más alta que los otros de estar representados en una muestra, se dice que existe un sesgo de selección y la muestra puede no ser representativa de la población.

Ejemplo N° 3

Si se toma como población a todos los alumnos de una universidad; si existen diferencias marcadas de opinión entre los alumnos antiguos y los “mechones”, y la muestra sólo incluye a los antiguos, ésta tendrá un sesgo de selección. Es importante destacar, que el sesgo de selección no se elimina con el tamaño muestral, al preguntar a 2.000 estudiantes, en lugar de 200, no hace menor el sesgo de selección.

Sesgo de selección

Cuando la muestra escogida no es representativa de la población, ya que algunos miembros de la población tienen una probabilidad mayor que otros de estar representados en la muestra, se dice que la muestra está sesgada o tiene errores.

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Cuando no se tienen en cuenta estas dos condiciones básicas, las inferencias realizadas son deficientes. Existe una variedad de "mentiras estadísticas", procedentes de afirmaciones basadas en pequeñas muestras, o en muestras no representativas.

Ejemplo N° 4

Si se dice "7 de cada 10 dentistas consultados recomiendan el dentífrico X", no debemos inferir que el 70% de los dentistas los recomiendan, hasta saber de que forma fueron elegidos los dentistas consultados, y cuántos fueron en total.

2.1 Métodos de Selección de Muestras

Los cálculos estadísticos de muestras sirven para dar información acerca de las características de la población objetivo4.

Existen varias formas apropiadas de seleccionar muestras, pero también, métodos de muestreo inapropiados.

Se conoce como método de muestreo apropiado, a aquél que maximiza la probabilidad de que:

• La muestra resultante sea adecuadamente representativa de la población.

• Los estadígrafos o estadísticos de la muestra resultante proporcionan estimaciones precisas de los parámetros de la población.

Las muestras no representativas, con frecuencia provienen de muestras accidentales, convenientes o de voluntarios autoseleccionados; las generalizaciones basadas en este tipo de datos casi nunca son válidas y no se les puede dar demasiada credibilidad. Por lo general, es preferible no tener información que tener mala información.

Básicamente, existen dos tipos de selección de muestras: los aleatorios y los no aleatorios.

• En los primeros, el aspecto principal, es que todos los miembros de la muestra han sido elegidos al azar, de forma que cada miembro de la población tuvo igual oportunidad de ser seleccionado en la muestra. Este tipo de muestreo, que es el más consistente, es al mismo tiempo el que resulta más costoso, y el que se utilizará siempre en el desarrollo de los contenidos de esta unidad. Los centros de investigación oficiales como el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), utilizan siempre muestreos aleatorios.

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• Los segundos, carecen del grado de representatividad de los primeros, pero permiten un gran ahorro en los costos. Se eligen los elementos, en función de que sean representativos, según la opinión del investigador, es decir, están basados en el juicio de una persona (en este caso el investigador). Es el método que utilizan, generalmente, las empresas privadas, y presentan el inconveniente de que la precisión de los resultados no es muy buena, y es difícil medir el error de muestreo.

CLASE 04

Muestreos Aleatorios

El muestreo aleatorio significa que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos.

Dentro de este tipo de muestreo se encuentran: el Muestreo Aleatorio Simple, el Muestreo Aleatorio Sistemático, el Estratificado y el Por Conglomerados, los que serán observados en forma independiente.

a) Muestreo Aleatorio Simple: este método, es en la práctica, el más simple, por lo que a veces sólo se denomina como muestreo aleatorio. La definición de este método y el proceso de seleccionar una muestra aleatoria simple dependen de si la población es finita o infinita.

Para una muestra aleatoria simple de población finita, el procedimiento consiste en que al seleccionar un elemento para la muestra, cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de ser elegido. Una muestra obtenida mediante este tipo de procedimiento se le llama muestra aleatoria simple. Uno de los métodos más utilizados para lograr que la muestra sea aleatoria, es numerar todos los elementos de una población y escribir los números en tarjetas o bolas, ponerlas en una bolsa y mezclarlas. Se define el tamaño de la muestra n y se sacan las tarjetas al azar una a una, hasta que se obtenga el número deseado, como en una tómbola. Este procedimiento tiene pocas probabilidades de ser eficaz cuando la población que se esta estudiando es muy grande.

Ejemplo N° 5

Si se quiere elegir una muestra formada por 40 elementos de una población de 600, se irán seleccionando cifras aleatorias de tres en tres. Es decir, se enumeran los elementos de la población del 1 al 600, y se seleccionan el 3, 6, 8, 12,…hasta completar los 40

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elementos de la muestra. Si bien el método anteriormente descrito se utiliza comúnmente, sacar “nombres de un sombrero”, se aproxima sólo burdamente a la aleatoriedad. El método clásico utilizado es el de las tablas de números aleatorios que vienen en los apéndices de los libros de estadística.

Para una muestra aleatoria simple de población infinita, consiste en seleccionar los elementos maestrales de tal forma que se satisfacen las siguientes condiciones:

• Cada elemento seleccionado proviene de la misma población. • Cada elemento se selecciona en forma independiente

En la práctica, se suele considerar infinita la población que se estudia, si interviene en un proceso dinámico que hace imposible contar o listar a cada elemento de la población.

Por lo que, en una muestra aleatoria simple para poblaciones infinitas, no se puede utilizar el procedimiento de selección con números aleatorios, porque es imposible realizar una lista de la población. En este caso, se debe determinar un procedimiento de selección de muestra, que nos permita determinar los elementos en forma independiente y evitar un prejuicio de selección, que haga posible mayores probabilidades de selección de ciertos artículos.

b) Muestreo Aleatorio Sistemático: este tipo de muestreo es más fácil de utilizar, que el aleatorio simple, cuando la población esta ordenada en listas formales, a los cuales es posible acudir. Es análogo al muestreo anterior, aunque resulta más fácil, rápida y cómoda la elección de elementos por este método de muestreo. Se debe tener la precaución de que la característica que se estudia no tenga periocidad

Ejemplo N° 6

Si se ha de elegir 40 elementos de un grupo de 600, se comienza por calcular el cuociente 600/40, que nos dice que existen 40 grupos de 15 elementos entre los 600 de la población.

Se elige un elemento de partida entre los 15 primeros, y suponiendo que sea el k-ésimo, el resto de los elementos de cada grupo no serán considerados en la selección.

En concreto, si el elemento de partida es el número 6, los demás elementos seleccionados de los grupos de 15 elementos restantes se obtienen de la siguiente forma:

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Este procedimiento simplifica enormemente la elección de elementos, pero puede tener problemas con la representatividad de la muestra, cuando los elementos se hayan numerados por algún criterio concreto y los k-ésimos tengan una determinada característica, que haga conformarse una muestra no representativa.

Por lo tanto, para que toda unidad de la población tenga igual probabilidad de salir, el procedimiento debe comenzar al azar.

c) Muestreo Aleatorio Estratificado: cuando las poblaciones son muy grandes, se debe dividir éstas en subpoblaciones o estratos, sin elementos comunes y que contengan toda la población.

Una vez hecho esto se puede elegir, por muestreo aleatorio simple, de cada estrato, un número de elementos igual o proporcional al tamaño del estrato.

Este procedimiento tiene la gran ventaja de que se puede obtener una mayor precisión (o menor error muestral) que si se selecciona una muestra por el muestreo aleatorio simple, considerando la población total. La finalidad de este tipo de muestreo es asegurarse de que todas las subpoblaciones de interés estarán representadas adecuadamente en la muestra.

Ejemplo Nº 7

Si se decidiera realizar una encuesta sobre la incidencia del tabaco en un Colegio cualquiera, se podría razonar de la siguiente forma: el colegio tiene 2000 alumnos, 720 en 3º Medio, 700 en 4º Medio, 340 en 1º Medio, y 240 en 2º Medio.

Si se desea tomar una muestra de 100 alumnos, para analizar la incidencia del tabaco en la adolescencia, bastaría tomar un número igual de alumnos de cada estrato, es decir 25 de 1º medio, 25 de 2º medio, 25 de 3º medio y 25 de 4º medio.

Sin embargo, si lo que se quiere es hacer una encuesta para conocer la opinión que tiene el alumnado sobre una medida que ha tomado el Consejo Escolar, es más

6; 15 + 6; 2×15+6; 3×15+6;…;39×15+6

cantidad K-esimo de elementos elemento por grupo de partida

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representativo elegir de cada estrato, y en número proporcional a su tamaño, los elementos que compondrán la muestra.

En este caso, 3º Medio representa al 36% _

     ×100 2000

720 _{del alumnado, por lo que en la}

muestra se debe representar el 36% de este nivel (es decir 36 alumnos) los que se elegirán de por muestreo aleatorio simple. De igual forma, el 4º medio representa el 35% 

     ×100 2000 700

del alumnado y debe estar representado por 35 alumnos en la muestra y así hasta completar los 100 elementos de la muestra.

Ejemplo Nº 8

Supongamos que se realiza un estudio sobre la población de estudiantes de una Universidad, en el que a través de una muestra de 10 alumnos se desea obtener información sobre el uso de lápices labiales.

En una primera aproximación, lo que procede es hacer un muestreo aleatorio simple, pero en su lugar podemos reflexionar sobre el hecho de que el comportamiento de la población con respecto a este carácter no es homogéneo, y atendiendo a él, podemos dividir a la población en dos estratos:

Estudiantes masculinos (60% del total); Estudiantes femeninos (40% restante).

De modo, que se repartan proporcionalmente en ambos grupos, el número total de la muestras, en función de sus respectivos tamaños (6 varones y 4 mujeres). Esto es lo que se denomina asignación proporcional al estrato.

Si se observa con más atención, nos encontramos (salvo sorpresas de probabilidad reducida) que el comportamiento de los varones con respecto al carácter (uso de lápices labiales) que se estudia es muy homogéneo y diferenciado del grupo de las mujeres.

Por otra parte, con toda seguridad la precisión sobre el carácter que estudiamos, será muy alta en el grupo de los varones y con una pequeña dispersión de los datos, mientras que en el grupo de las mujeres habrá mayor dispersión.

Cuando las varianzas poblacionales son pequeñas, con pocos elementos en una muestra se obtiene una información más precisa del total de la población, que cuando la varianza es grande. Por tanto, si nuestros medios sólo nos permiten tomar una muestra de 10 alumnos, será más conveniente dividir la muestra en dos estratos, y tomar mediante muestreo aleatorio simple cierto número de individuos de cada estrato, de modo que se elegirán más individuos en los grupos de mayor variabilidad.

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Así, probablemente, obtendríamos mejores resultados estudiando una muestra compuesta por:

1 varón. 9 hembras.

Esto es lo que se denomina asignación óptima.

• Asignación proporcional: sea n el número de individuos de la población total que forman parte de alguna muestra:

Cuando la asignación es proporcional al tamaño de la muestra de cada estrato, también es proporcional al tamaño del estrato correspondiente, con respecto a la población total:

• Asignación óptima: cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada uno de los estratos, ni, los elige quien hace el muestreo, y para

ello puede basarse en alguno de los siguientes criterios:

− Elegir los ni de tal modo que se minimice la varianza del estimador, para un costo

especificado.

− Fijar la varianza para el estimador que minimice el costo en la obtención de la muestra.

Así en un estrato dado, se tiende a tomar una muestra más grande cuando: − El estrato es más grande

− El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza) − El muestreo es más barato en ese estrato.

d) Muestreo Aleatorio por Conglomerados: a veces, para simplificar los procesos de toma de datos de una población, se empieza por elegir ciertos conglomerados (que pueden ser bloques de viviendas, municipios, urnas electorales, etc.) y dentro de ellos se realiza el muestreo aleatorio. k n n n n= ₁+ ₂ +...+ N N n ni = · i

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Este tipo de muestra consiste en seleccionar primero al azar, grupos, de elementos poblacionales, llamados conglomerados, y en tomar luego una submuestra, de cada conglomerado, para constituir la muestra global.

Los pasos, son los siguientes:

1. Se debe dividir la población en grupos que resulten convenientes para el muestreo. 2. En seguida, seleccionar una porción de los grupos al azar o por un método

sistemático.

Muestreo no Aleatorio o no Probabilístico

En este tipo de muestreo, la muestra no se selecciona al azar, al contrario son elegidas por el encargado de realizar el muestreo. El costo de estos muestreos es mas bajo comparado con el muestreo probabilístico

Se encuentran clasificados en:

a) Muestreo por Juicio: Una muestra se denomina “por juicio” cuando sus elementos son seleccionados mediante el juicio personal del investigador para decidir qué elemento se elegirá de la muestra.

Una muestra de juicio es llamada muestra no probabilística, puesto que este método está basado en los puntos de vista subjetivos de una persona, por lo que la teoría de la probabilidad no puede emplearse para medir el error de muestreo.

Las principales ventajas de este tipo de muestreo, es la facilidad de obtención de los datos maestrales y el bajo costo que implica su realización.

Realice ejercicios Nº 6 y 7

Error Muestral o de Muestreo:

La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadístico) y el resultado obtenido de la población (parámetro), se conoce como error de muestreo o error muestral.

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b) Muestreo por Conveniencia: como su nombre lo indica, la muestra se identifica y selecciona, principalmente, por conveniencia. Es decir, se incorporan los elementos en la muestra sin probabilidades conocidas de selección.

Este tipo de muestra posee las mismas ventajas que el por juicio, que son la fácil selección y recolección de los datos.

Sin embargo, no es posible, estadísticamente, comprobar si los resultados obtenidos son buenos o no, por lo que hay que tener especial cuidado en cómo interpretar estos resultados, en especial cuando se utilizan para hacer inferencias acerca de poblaciones.

c) Muestreo Secuencial: es aquel en el que se obtiene información de los elementos de la población mientras que se considere que la información que arroja es útil y nueva, cuando se considere que la información se repite con el mismo patrón, se considera concluido este tipo de muestreo.

d) Diseño Bola de Nieve: este tipo de muestreo se aplica a las poblaciones de difícil acceso ya sea por distancia o porque son difíciles de encontrar como por ejemplo: drogadictos, delincuentes , habitantes de zonas apartadas, etc.

Este tipo de muestreo consiste en que un individuo de la población que es objeto de estudio indique a otras personas de igual característica para localizarlos y así continuar con el muestreo

Ejemplo Nº 9

Un profesor que lleva a cabo una investigación universitaria puede usar alumnos voluntarios para formar una muestra, tan sólo porque dispone fácilmente de ellos y participan como elementos a un bajo o nulo costo lo que representa una muestra por conveniencia.

CLASE 05

3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Uno de los objetivos de la estadística es hacer inferencias con respecto a la población, basándose en la información contenida en la muestra estudiada.

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Si la muestra aleatoria de tamaño n de la población f(x), se define como: x1, x2, ..., xn.

Su función de probabilidad conjunta se expresa como:

En donde, la distribución de probabilidad de cualquier estadístico de la muestra se denomina distribución muestral del estadístico.

Por lo tanto, el estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

A continuación se enumeran y explican las más importante distribuciones muestrales: • Distribución Normal

• Distribución de la Media Muestral

• Distribución de la Varianza Muestral Chi-cuadrado • Distribución T de Student

• Distribución F de Fisher o de Snedecor

Distribución Normal o Gaussiana

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró estudios más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "Campana de Gauss".

La importancia de la distribución normal se debe, principalmente, a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que presentan esta distribución así, como:

• Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros; poseen una distribución normal de sus datos.

f(x1, x2, ..., xn) = f(x1) f(x2 ) ... f(xn )

Distribución Muestral:

La distribución muestral o distribución del muestreo de un estadístico es la distribución de probabilidades de los valores que puede tomar ese estadístico a lo largo de todas las posibles muestras que se pueden extraer de la población.

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• Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono; se distribuyen normal.

• Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen; sus datos se distribuyen normal.

• Caracteres psicológicos, por ejemplo: cuociente intelectual, grado de adaptación a un medio; poseen una distribución normal.

• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes, poseen este tipo de distribución. • Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media se distribuye normal.

• Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales. Y en general, cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores, presenta una distribución normal.

La distribución de una variable normal se encuentra determinada por dos parámetros poblacionales, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por las letras griegas µ y σ.

3.1.1 Función de Densidad de Probabilidad

Para cada valor de µ y σ se tienen distintas funciones de densidad.

Con esta definición la función de densidad de de probabilidad de la distribución normal viene dada por:

Función de densidad de probabilidad:

Es la función asociada a la variable aleatoria en cuestión.

( )

x IR e e e x x f e _ ∀ ∈     ₋ − = , 2 1 µ 2

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Dicha ecuación determina la curva en forma de campana (Figura Nº 1). Así, se dice que una característica sigue una distribución normal de media µ y desviación estándar σ, y se denota, si su función de densidad viene dada por la Ecuación anteriormente expuesta, como:

Lo que se lee, la variable X sigue una distribución normal con media µ y variación σ

Figura Nº 1: Representación Gráfica de la Función de Densidad para Distribución Normal

En donde, la esperanza de media de la variable x, se define como

Y la varianza

X ~ N(µ, σ)

E(x) = µ (X) = σ2

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Figura Nº 2: Distribuciones Gaussianas con Diferentes Medias e Igual Dispersión

En donde, µ, ≠ µ1≠ µ2≠ µ3, pero la dispersión de los datos son iguales (σ1 = σ2 = σ3).

Como se puede observar en las figuras Nº 1 y Nº 2, la forma de la campana depende de los parámetros µ y σ; pues µ indico la posición de la campana (parámetro de centralización) y σ2 (o equivalente, σ) será el parámetro de dispersión. Cuanto menor sea la dispersión de datos, mayor cantidad de masa de probabilidad habrá concentrada alrededor de la media (como se muestra en la Figura Nº 3, función _f(x) y cuanto mayor sea σ

(dispersión) la función de x se presentara más aplastada (_f(x)”).

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CLASE 06

3.1.2 Función de Distribución

La función de la distribución normal, que es la mas importante de todas las distribuciones de probabilidad, cumple las siguientes condiciones:

• Puede tomar cualquier valor (- ∞, +∞).

• Son más probables los valores cercanos a uno central al cual llamamos media µ

• Conforme nos separamos de ese valor µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma para la derecha que para la izquierda (es simétrica). Es decir, la campana es simétrica. • Conforme nos separamos de ese valor µ la probabilidad va decreciendo de forma más o

menos rápida, dependiendo del parámetro σ, que es la desviación típica.

3.1.3 Propiedades de la Distribución Normal

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene destacar: Tiene una única Moda, que coincide con su media (

_

χ) y su mediana (Me).

La curva normal es asintótica al eje de abscisas, es decir, nunca toca el eje x. Por ello, cualquier valor entre -∞ y +∞es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

• Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor a esta.

• La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación estándar (σ). Cuanto mayor sea σ, más aplanada será la curva de la densidad.

• El área bajo la curva comprendida entre los valores situados, aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media, es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo (µ - 1,96, σ,µ +1,96 σ). • La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ. La media indica la

(24)

desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza.

De todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1. , y que se denota como Z. Así, la expresión que define su densidad es:

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una distribución normal (N (µ, σ), se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar normal con media µ y varianza σ, al efectuar la siguiente transformación:

Es decir, podemos representar la transformación de la variable como sigue:

Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica, ya que para una distribución N(0,1) existen tablas estadísticas publicadas, a partir de las que se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor z, y que permiten resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal. Ésta es la distribución Normal Estándar.

Z ~ N (0,1) fz z e z z IR Z ∈ ∀ = ⇔ 2 2 1 ) ( 2 X ~ N (µ, σ2) Z X ~ N

( )

0,1 σ−µ = ⇒ σ µ − = x Z

(25)

Ejemplo Nº 10

Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg. y una desviación estándar de 10 Kg.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso superior a 100 Kg.?

Se denota por X, a la variable que representa el peso de los individuos en esa población, ésta sigue una distribución normal, con media 80 kg. Y desviación estándar 10 kg. N (80,10).

Al transformar esta variable en una normal estándar, podríamos utilizar la tabla tipificada para calcular la probabilidad que nos interesa.

Por lo tanto:

Así, la probabilidad que se desea calcular será:

Como el área total bajo la curva es igual a 1, se puede deducir que su complemento es:

Esta última probabilidad puede ser fácilmente obtenida de la tabla Z, que podemos observar en el anexo 1, resultando ser P(z > 2)=0.9772. .

Reemplazando 10 80 − = x Z

(

)

(

2

)

10 80 100 100 = _ > − _= > > p z p z x p

(

z > 2

)

= 1− p

(

z ≤ 2

)

p

(

)

(

)

(

)

(

2

)

0,0228 9772 , 0 1 2 2 1 2 = > − = > ≤ − = > z p z p z p z p

(26)

Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona elegida aleatoriamente de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg., es de 1–0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de un 2.3%.

De modo análogo, se puede obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esté entre 60 y 100 Kg.

Primero, se debe transformar la variable x en normal estándar (z), como sigue:

Segundo tomando a = -2 y b = 2, podemos deducir que:

Se sabe que p(z ≤2)= 0,9772. Ahora para la segunda probabilidad definida, sin embargo, encontramos el problema de que las tablas estadísticas estándar no nos proporcionan el valor de p(z ≤ -z) para valores negativos de la variable. No obstante haciendo uso de la simetría de la distribución normal, se tiene que:

Finalmente, la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre 60 y 100 Kg., es de 0.9772-0.0228=0.9544, es decir, aproximadamente de un 95%.

3.1.4 Características de la Distribución Normal Estándar (reducida, tipificada) La distribución normal estándar, posee las siguientes características: • No depende de ningún parámetro.

• Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. Recordemos, que esta ultima es resultado de la raíz cuadrada de la varianza, en este caso 1=1.

• La curva f(x) es simétrica respecto del eje Y.

(

)

(

2 2

)

10 80 100 10 80 60 100 60≤x≤ = p_ − ≤ z≤ − _= p − ≤z≤ p

(

z≤−2

) (

= p z≥2

)

=1− p

(

z≤2

)

=1−0,9772=0,0228 p

(

−2 ≤ z ≤ 2

)

= p

(

z ≤ 2

) (

− p z ≤ −2

)

p

(27)

• Tiene un máximo en el eje Y; que es donde lo intercepta. • Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

3.1.5 La distribución Normal con Aproximación a la Binomial (Teorema de De Moivre) Se demostró que bajo determinadas condiciones (para un tamaño muestral n grande, y tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial se puede aproximar mediante una distribución normal.

Primero, debemos aclarar que la distribución de la variable X se denomina distribución binomial de parámetro n y p. El parámetro n es el número de tiradas (un número entero positivo), y el parámetro p la probabilidad de éxito de una tirada (un valor entre 0 y la unidad, esto es, 0 ≤ p ≤ 1).

El hecho de que X siga una distribución binomial con parámetro n y p, lo denotaremos abreviadamente como:

Luego, podemos transformar esta variable binomial en una normal al utilizar la siguiente fórmula:

Y por medio del teorema de Moivre, reemplazamos en la transformación de una variable normal o estándar:

Hay que tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación realizada. Es decir, basta con que se verifique que:

• np ≥ 5 y nq ≥ 5, gracias a esta aproximación es fácil encontrar probabilidades binomiales, que para valores grandes de n resulten muy complicados de calcular. Se debe tener presente que para realizar correctamente esta transformación, de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal), es necesario hacer una corrección de continuidad que depende de la forma de la campana de Gauss

(

n, p

)

. B x →

( )

0,1 esN npq np X Z = −

(28)

A continuación, representan cada una de las conexiones de continuidad, según la grafica de la distribución.

Por lo anterior se puede decir que , se representa el valor “a” de la binomial por un intervalo continuo.

(29)

CLASE 07

3.2 Distribución de la Media Muestral (

_

X)

Si se considera que un experimento es el proceso de elegir una muestra aleatoria simple, la media de la muestra

_

Xes la descripción numérica del resultado de un experimento. En consecuencia, la media de la muestra es una variable aleatoria.

De esto se desprende que, al igual que otras variables aleatorias,

_

X tiene una media o valor esperado, una varianza y una distribución de probabilidades.

Dado que los diversos valores posibles de

_

X son el resultado de distintas muestras aleatorias simples, a la distribución de

_

X se le conoce como Distribución Muestral de

_

X. Por lo anteriormente expuesto podemos concluir que: la distribución de la media muestral se define como: la distribución de los valores de las medias muestrales de todas las posibles muestras de tamaño “n” tomadas de la misma población.

Dada una población con una muestra aleatoria de tamaño “n”, con media aritmética “µ” y donde la desviación es representada por , pueden formarse n2 muestras con reemplazamiento distintas, formadas por dos elementos de la población.

La media muestral es representada por (

_

X); y esta dada por: Realice ejercicios Nº 10 al 14

(30)

Se ha dicho, que el objetivo de un estudio es poder extender o generalizar a la población las conclusiones que se obtengan de una muestra.

Suponga que de la población formada por todos los alumnos de un Liceo, se extrae aleatoriamente una muestra de 40 alumnos, y a los cuales se les consulta por su edad, encontrando que la edad media obtenida es de 15,8 años.

Pero, ¿Qué ocurriría, si se extrajera otra muestra? • ¿Coincidirían las medias?

• ¿Y coincidirían con la media de la población?

Lo cierto es que, parece lógico pensar que aunque no tengan porqué coincidir, si deberían aproximarse bastante. No obstante:

• ¿Qué tan próximas se encuentran?

• ¿Esta proximidad depende del tamaño de las muestras que elegimos?

Mencionadas estas inquietudes parece necesario, estudiar la variabilidad de las medias obtenidas de las muestras, que repetidamente se extraigan de una población.

Cada muestra de tamaño n que se pueda extrae de una población proporciona una media. Si se considera cada una de estas medias como una variable aleatoria, se puede estudiar su distribución, la cual se conoce como: Distribución Muestral de Medias.

• Si se tiene una población normal N(µ, σ) y se extrae de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

(

n

)

N X ~ , / _ σ µ

(31)

Ejemplo Nº 11

Un guardabosque que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pino, se interesa en estimar el área promedio de la base de los pinos. Al estudiar las áreas de la base de árboles similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) tienen una distribución normal con una desviación estándar aprox. de 4 pulgadas cuadradas.

Si el guardabosque selecciona una muestra de nueve árboles. Encuentre la probabilidad de que la media muestral se desvíe a lo más en 2 pulgadas cuadradas de la media poblacional.

Datos:

X = áreas de las bases de pinos en pulgadas cuadradas. X ~ N(µ, 16)

n = 9

Se pide calcular, la siguiente probabilidad:

    < < − =     < 2 2 · _ _ X P Z X I P µ_I

(32)

Transformamos a distribución normal estándar

[

]

[

]

[

]

( ) (

1 ,

5

1 ,

5 )

5 ,

1

5 ,

1

5 .

1

5 .

1

3 / 4 2 3 / 4 · 3 / 4 2 _

−

=

<

−

∉<

=

<

−

=         < < − =

Z

P

Z

P X p µ

De la tabla estadística normal estándar (anexo 1) se obtienen las siguientes probabilidades:

(

)

8664 . 0 0668 . 0 9332 . 0 9332 . 0 1 9332 . 0 = − = − − =       < − < − = n n x n p / 2 / / 2 σ σ µ σ Reemplazamos           < − < − = 9 / 4 2 9 / 4 9 / 4 2 3 2 1 Z x P µ

(33)

Ejemplo Nº 12

Las notas de cierto examen se distribuyen según una distribución normal, de media 5,8 (µ) y desviación estándar 2,4 (σ). Hallar la probabilidad de que la media de una muestra tomada al azar de 16 estudiantes está comprendida entre 5 y 7.

Datos:

µ =5,8 σ =2,4 n = 16

Como N (µ, σ / n ), se tiene que el promedio de notas se distribuyen normal con µ = 5,8 y σ/ 0,6 16 4 , 2 ₌ = n , es decir,       6 , 0 ; 8 , 5 ~ N x

Se transforma a distribución normal estándar:

          − ≤ − ≤ − n n x n p Z / 7 / / 5 σ µ σ µ ω µ 3 2 1 Reemplazamos

[

1,33 2

]

6 , 0 2 , 1 6 , 0 8 , 0 16 / 4 , 2 8 , 5 7 16 / 4 , 2 8 , 5 5 ≤ ≤ −       ≤ ≤ − =       ₋ ≤ ≤ − Z p Z p Z p p(-1.33 ≤ X ≤ 2) = P(z ≤ 2) - [1 – P(z ≤ 1.33) ] = 0,9773 - (1- 0,9082) = 0,9773 – 0,0918 = 0,8855

• Si la población no sigue una distribución normal, pero n > 30, aplicando el llamado Teorema Central del Límite, la distribución muestral de medias se aproxima también a la distribución normal descrita con anterioridad.

(34)

En relación a la media muestral se puede concluir que:

• A medida que “n” aumenta, su dispersión se hace cada vez menor, y • Tienen una distribución cada vez mas simétrica, unimodal y acampanada

CLASE 08

3.2.1 Error Estándar de la Media

A la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media (

_

x), se le denomina error estándar de la media.

El error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la población (σ) dividido entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra “n”; es decir:

Debe recordarse que el error de muestreo concerniente a una media de la muestra es la diferencia entre el estadístico

_ x y el parámetro poblacional µ _      − µ x _ . Cuando n es grande, la desviación estándar de la población σ es pequeña y, consecuentemente, los errores de muestreo son pequeños, debido a que la diferencia entre el estadístico y el parámetro de la media es pequeña.

A medida que el tamaño muestral aumenta, la magnitud del error de muestreo disminuye.

n

x σ

(35)

Datos: µ=80 σ=8 n=36 Solución: µx = µ=80 Ejemplo Nº13

Una población estudiada posee una distribución normal, con una media µ=80 y una desviación estándar σ=8, determinar los parámetros µx y de la distribución muestral de

la media para el siguiente tamaño de la muestra : n=36

1.3333

• Relación entre el tamaño de la muestra y la distribución muestral de

_

X Como la esperanza de la media muestral, que se denota ,

_ µ =       x E es independiente del tamaño de la muestra. Así, la media de todos los valores posibles de

_

x es igual a la media de la población, µ, independientemente del tamaño de la muestra n. Sin embargo, en la ecuación anterior, se puede apreciar que el error estándar de la media, σ / ,

_

n

xσ =σ se

relaciona con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. En forma específica, siempre que aumenta el tamaño muestral, disminuye el error estándar de la media,

_ x σ . n x n n cuando n x σ σ σ σ = ; < 1 1±

(36)

En consecuencia, con el mayor tamaño de muestra, se obtendrá una probabilidad mayor de que la media de la muestra quede dentro de los límites especificados respecto a la media poblacional.

3.2.2 Teorema Central del Límite

El Teorema Central del Límite expone que al tener un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.

Supóngase que se tiene una población con media µ y desviación estándar σ. al extraer de forma aleatoria todas las posibles muestras, todas ellas de tamaño n. muestrales que se obtienen con los medios muestrales se podría comprobar que:

• La media de los datos, es la media µ de la población, es decir la media de las medias de las muestras, es igual que la media de la población (esto corresponde al valor esperado).

• Estas medias se distribuyen alrededor de la media de la población, con una desviación típica (llamada desviación estándar de la media ) igual a la de la población dividida por la raíz de n, es decir, la desviación estándar de la media es _

     n σ

• La distribución de las medias muestrales, es una distribución de tipo "normal", independiente de que la población de procedencia lo sea, incluso si no lo es, siempre que el tamaño de las muestras sea mayor o igual a 30.

En consecuencia, "si una población tiene media µ y desviación estándar σ, y tomamos muestras de tamaño n (de tamaño al menos 30, o cualquier tamaño, si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la siguiente distribución normal .

Cabe señalar, que cuanto mayor es el valor de n, mejor es la aproximación a la distribución "normal".       n N µ, σ

(37)

Lo anterior queda graficado de la siguiente forma:

En lo anterior expuesto, se ha utilizado un concepto importante: la desviación estándar de la media

n

σ _{, la que nos indica que cuanto menor sea ésta, más ajustadas a la media de} la población serán las medias que obtengamos de una muestra.

De su propia definición, es fácil darse cuenta de que cuanto mayor es el tamaño de la muestra, menor es este grado de variabilidad, y por tanto más similar a la media de la población será la media obtenida de la muestra.

Ejemplo Nº 14

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara se le otorga el valor 1 y si sale cruz, el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli5, con media 0,5 y varianza 0,25.

5

En un experimento de Bernoulli, se denomina éxito al suceso en estudio, Ao 1, y fracaso a su contrario Ā o O., Ā. A dicho experimento le asociamos una variable aleatoria X definida como. El número de éxitos al realizar el experimento, es decir,

A ocurre si ocurre si X 1 0 : _ Α Desviación estándar de la media:

(38)

Para analizar la probabilidad de que salgan más de 60 caras, se debe calcular la variable normal estándar (Z) equivalente:

00 , 2 10 5 50 60 100 5 50 60 / = − = − = − = n x Z σ µ

(*) 5 es la raíz cuadrada de 25, o sea la desviación estándar de esta distribución. Por lo tanto, para calcular la probabilidad solicitada

P (X > 60) = P (Z > 2,0) = 1- P (Z < 2,0) = 1 - 0,9772 = 0,0228

Es decir, la probabilidad de que al tirar 100 veces la moneda, salgan más de 60 caras es tan sólo del 2,28%.

Se pide calcular la probabilidad de que en los 100 lanzamientos, salgan más de 60 caras. La variable que representa la suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, según una distribución normal la que posee los siguientes parámetros poblacionales:

diremos que X tiene una distribución de Bernoulli de parámetros p, donde p es la probabilidad de éxito, que se encontrara entre 0 y 1 (0 ≤ p ≤ 1). La denotaremos brevemente como :

X→b(p). Media = 100 * 0,5 = 50 =µ Varianza = 100 * 0,25 = 25 =σ2

(39)

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como la de variables continuas.

Los parámetros de la distribución normal son: Media: n *

_

x (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n * s2 (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales)

Ejemplo Nº 15

La variable "tirar una moneda al aire" sigue la distribución de Bernouilli. Al lanzar la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre si) se distribuye según una distribución normal, de acuerdo al teorema del limite central, donde n > 30

CLASE 09

3.2.3 Diferencia de Medias Teorema:

Si se sacan al azar muestras independientes de tamaño n1 y n2, de 2 poblaciones discretas o continuas, con medias µ1 y µ2; varianzas σ2 1 y σ2 2 respectivamente, entonces la

distribución muestral de la diferencia de las medias 2 _ 1 _

x

x − es aproximadamente normal con media: Y varianza 2 1 2 _ 1 _ µ µ µx−x = − 2 2 1 1 var 2 2 2 _ 1 _ n n x x =σ +σ      −

(40)

Si las probabilidades son independientes, entonces la variable:

(

) (

)

_~

_{( )}

₀_,₁ 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 N n n x x Z σ σ µ µ + − − − =

Si ambas probabilidades son independientes, con varianzas desconocidas pero iguales, entonces la variable aleatoria, para diferencia de las medias se utiliza la siguiente formula

(

) (

)

_{( )}

1 , 0 ~ 1 1 2 1 2 1 2 1 N n n S x x T p       +       − − = − µ µ Donde,

(

)

(

)

2 2 1 1 2 1 1 22 2 1 2 − + − + − = n n S n S n S p

Es la varianza ponderada, que representa un estándar puntual de la varianza común.

3.2.4 Diferencia Muestral de Proporciones

Muchas aplicaciones involucran poblaciones de datos cualitativos que deben compararse utilizando porcentajes. A continuación se citan algunos ejemplos:

• Educación.- ¿Es mayor la proporción de estudiantes que aprueban matemática que las de los que aprueben inglés?

• Medicina.- ¿Es menor el porcentaje de los usuarios del medicamento A, que presenten una reacción adversa, que el de los usuarios del fármaco B que también presentan una reacción de ese tipo?

• Administración.- ¿Hay diferencia entre el porcentaje de hombres y mujeres en posiciones gerenciales?

• Ingeniería.- ¿Existe diferencia entre la proporción de artículos defectuosos que genera la máquina A a los que genera la máquina B.?

Cuando el muestreo procede de dos poblaciones binomiales y se trabaja con dos proporciones maestrales, la distribución muestral de diferencia de proporciones es aproximadamente normal para tamaños de muestra grande (n1p1 ≥ 5, n1q1≥ 5, n2p2 ≥ 5 y

(41)

n2q2≥ 5). Entonces p1 y p2 tienen distribuciones muestrales aproximadamente normales, así

que su diferencia p1, p2 también tiene una distribución muestral aproximadamente normal.

En estos casos la variable aleatoria toma solamente dos valores diferentes (éxito o fracaso), es decir, sigue una distribución binomial y cuando la extensión de la población es grande la distribución binomial B(n,p) se aproxima a la normal N (pn, npq).

Para muestras de tamaño n>30, la distribución muestral de proporciones sigue una distribución normal:

Donde p es la proporción de uno de los valores que presenta la variable estadística en la población y q =1-p

Ejemplo Nº 16

Si se lanza una moneda no trucada al aire 100 veces ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan más de 55 caras?

− En una moneda no trucada, la proporción de caras es 0.5, con lo que p = 0.5 y n = 100.

− La distribución muestral de proporciones se distribuye N(0.5, 0.05)

− Si se llama p’ a la proporción en la muestra, se calcula la probabilidad P(p’>0,55)













n

pq

p

N

,

(42)

La probabilidad de P(p’>0,55), se transforma a normal:

            − > n pq p z p 0,55 Reemplazamos:

(

)

(

)

1587 , 0 8413 , 0 1 1 Z p 1 1 z P 0025 , 0 05 , 0 z p 100 5 , 0 55 , 0 5 , 0 55 , 0 z p = − = ≤ − = >         > =             − − >

Al buscar en la tabla estadística distribución normal estándar N(0,1) la probabilidad correspondiente al valor Z

CLASE 10

3.3 Distribución de la Varianza Muestral Chi-cuadrado (x2)

La prueba Chi-Cuadrado fue desarrollada por Karl Pearson (1857-1936) en 1900, aplicando sus resultados en el ámbito biológico. “Se podría definir como una suma de variables normales al cuadrado”.

(43)

Si Z1, Z2,..., Zv, son variables aleatorias normalmente distribuidas e independientes con media=0 y varianza = 1, la suma de sus cuadrados, esta representada por χ2, donde:

Al considerar una variable aleatoria cuya distribución es z~ n(0,1) , la variable aleatoria, X = Z2 se distribuye según una ley de probabilidad como chi-cuadrado (x2) con n grado de libertad, que se representa como:

Si se tiene n variables aleatorias independientes, que se distribuyen z~ n(0,1) la suma de sus cuadrados respectivos es una distribución que lleva por nombre ley de distribución con n grados de libertad, que se denota por:

La media y varianza de esta variable son respectivamente: 3.3.1 Función de Densidad