Validación experimental de modelos hidrodinámicos

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“VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DE MODELOS HIDRODINÁMICOS”

TRABAJO DE GRADO Nº 0986

JUAN CAMILO PINTO ALBARRACÍN

LUIS GABRIEL RIVERA MORA

PROYECTO DE GRADO PRESENTADO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO ELECTRÓNICO

DIRECTOR:

KAMILO ANDRÉS MELO BECERRA INGENIERO ELECTRÓNICO M.Sc

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA BOGOTÁ D.C.

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Rector:

Padre Joaquín Emilio Sánchez García, S.J.

Decano Académico de la Facultad de Ingeniería: Ingeniero Francisco Javier Rebolledo Muñoz

Decano del Medio Universitario de la Facultad de Ingeniería: Padre Sergio Bernal Restrepo, S.J.

Director de Carrera de Ingeniería Electrónica: Ingeniero Juan Manuel Cruz Bohórquez

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ARTÍCULO 23 DE LA RESOLUCIÓN No. 13 DE JUNIO DE 1946

"La Universidad no se hace responsable de los conceptos emitidos por sus alumnos en sus proyectos de grado.

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Agradezco en primer lugar a Dios, A mis Padres, mi tía Maruja y mis hermanos por el apoyo tan incondicional que he recibido a través de mi vida. A toda mi familia, mi novia, a Kamilo Melo que antes que ser el director del trabajo es un gran amigo, a Lucho por ser ese excelente ser Humano y aun mejor compañero. A mis amigos de la Universidad con los cuales compartí tantas cosas que nos fueron formando como personas, los cuales siempre llevare conmigo a todos lados y que sepan que siempre contaran conmigo en las buenas y las malas. A mi pueblo Belén Boyacá del cual me siento orgulloso de pertenecer.

A mis amigos de Belén y a los que no son.

Juan Camilo Pinto

Presento mis más grandes agradecimientos a mi mama, Sara Raquel Mora porque siempre se ha preocupado por darme lo mejor y cada día que pasaba en vela estudiando ella estuvo a mi lado, A mi Hermano José Alberto que más que un hermano es un gran amigo, que me recogió a mí y a mis amigos a media noche durante los últimos días de universidad. A mi hermano Andrés por darme dos sobrinos inigualables que no me dejaban estudiar en la casa. A mi novia Laura Castellanos y Sarita por aguantarme tanto, y que a pesar de estar lejos siempre me brindaron todo su apoyo. A mis amigos, que durante toda la vida en la universidad se convirtieron en mi familia. A Pinto que debería agradecerme a mí por aguatármelo a él. A Kamilo Melo, por ser un gran maestro.

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INDICE DE FIGURAS ... 7

INDICE DE TABLAS ... 9

1. INTRODUCCIÓN... 10

2. OBJETIVOS ... 12

2.1. OBJETIVO GENERAL ... 12

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 12

3. METODOLOGÍA ... 13

4. MARCO TEÓRICO ... 14

4.1. HIDRODINÁMICA... 14

4.2. ARRASTRE... 16

4.2.1. ARRASTRE SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS ... 17

4.3. NUMERO DE REYNOLDS ... 19

4.4. ANÁLISIS DIMENSIONAL ... 19

4.5. MANEJO ESTADÍSTICO DE DATOS ... 19

4.5.1. MEDIDAS EN LA EXPERIMENTACIÓN ... 20

4.5.2. CLASIFICACIÓN DE ERRORES. ... 20

4.5.3. EXPRESIÓN DEL ERROR ... 21

4.5.4. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO ... 21

4.5.5. HISTOGRAMAS Y DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA ... 21

4.5.6. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON ... 23

4.6. MODELOS MATEMÁTICOS ... 24

5. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES... 27

5.1. REQUERIMIENTOS DEL SISTEMA ... 27

5.1.1. MODELO... 27

5.2. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES MECÁNICAS DE LA PLANTA ... 27

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5.3.1. ESPECIFICACIONES Y DESCRIPCIONES DE LA ARQUITECTURA DE CONTROL ... 30

5.3.2. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES DEL SISTEMA DE SENSORES ... 32

5.3.3. ESPECIFICACIONES DEL SISTEMA MOTOR ... 34

5.4. ESPECIFICACIONES DE SOFTWARE DE LA PLATAFORMA ... 35

5.4.1. DESCRIPCIÓN Y ESPECIFICACIONES SOBRE EL SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN ... 35

5.4.2. ESPECIFICACIONES DE LA INTERFAZ DE COMUNICACIÓN ... 36

5.5. ESPECIFICACIONES DE MOVIMIENTO... 36

6. DESARROLLO... 38

6.1. DISEÑO DE EXPERIMENTOS ... 38

6.1.1. SELECCIÓN DE VARIABLES ... 38

6.1.2. DISEÑO DE PLANTA. ... 40

6.1.3. MODELO FÍSICO... 42

6.2. CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS ... 44

6.2.1. CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA MOTOR... 44

6.2.2. CARACTERIZACIÓN DEL SISTEMA DE SENSORES ... 46

6.2.3. CARACTERIZACIÓN DE LA ETAPA DE POTENCIA ... 46

6.3. IMPLEMENTACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL ... 47

7. PRUEBAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ... 55

7.1. PROCESO DE EJECUCIÓN PARA LOS EXPERIMENTOS ... 55

7.1.1. SELECCIÓN DE DATOS ... 55

7.2. TABLA DE EXPERIMENTOS ... 56

7.3. EJECUCIÓN ... 58

7.4. VALIDACIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS ... 61

7.4.1. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE DATOS... 61

8. CONCLUSIONES ... 68

7 INDICE DE FIGURAS

Figura 4.1. Diagrama de fuerzas para esfera en caída libre en un fluido. ... 15

Figura 4.2. Velocidad Límite de un objeto en Caída libre ... 15

Figura 4.3. Objeto cilíndrico con capa limite separada [4] ... 16

Figura 4.4. Mecánica de Flujo sobre un Cilindro o Esfera [5] ... 17

Figura 4.5. Coeficiente de arrastre vs Núm. de Reynolds [5] ... 18

Figura 4.6. Fuerzas de sustentación (L) y de arrastre (D) de un perfil alar en vuelo [6] ... 18

Figura 4.7. Exactitud y Precisión ... 20

Figura 4.8. Histogramas con igual valor medio y diferente grado de dispersión [14] ... 22

Figura 4.9. Modelo matemático para una esfera. Cd vs Re ... 26

Figura 5.1. Planta ... 27

Figura 5.2. Sistema Motor ... 27

Figura 5.3. Base del Sistema Mecánico ... 28

Figura 5.4. Tanque de Experimentación ... 28

Figura 5.5. Poleas ... 29

Figura 5.6. Objetos de Prueba - Esferas ... 29

Figura 5.7. Esquema General del Proceso Electrónico ... 30

Figura 5.8. Funcionamiento General de la Arquitectura de Control ... 30

Figura 5.9. Circuito No. 1 ... 31

Figura 5.10. Circuito No. 2... 31

Figura 5.11. Fuente de Voltaje Doble KI DPS-1303D ... 32

Figura 5.12. ENCODER US DIGITAL E4P-340-360-118-HT... 33

Figura 5.13. Puente H – LM6203 PIN Sensor de Corriente ... 33

Figura 5.14. Motor DC MAXON A-max 26 con reductor GP 26 B ... 34

Figura 5.15. MPLAB IDE ... 35

Figura 5.16. Comunicación PC - Microprocesador ... 36

Figura 5.17. Voltaje Aplicado al Motor VS. Frecuencia del Encoder ... 37

Figura 6.1. Estructura de la Planta ... 42

Figura 6.2. Base, Soporte del Motor y Disco. ... 42

Figura 6.3. Diagrama de fuerzas para una esfera llevada hacia arriba por el motor e inmersa en un fluido. ... 42

Figura 6.4. Circuito motor DC controlado por armadura ... 44

Figura 6.5. Modelo Dinámico Motor DC [22] ... 45

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Figura 6.7. Diagrama de Bloque del Modelo de Control de un Motor DC ... 48

Figura 6.8. Arquitectura Seleccionada en SISOTOOL ... 49

Figura 6.10. Ventana para el Ingreso de Paramentros... 49

Figura 6.11. TAB Analysis Plots – MATLAB® SISOTOOL ... 49

Figura 6.12. TAB Automated Tuning – MATLAB® SISOTOOL ... 50

Figura 6.13. Respuesta a Entrada Paso del Sistema General – Con Controlador PI ... 51

Figura 6.14. Graficas de Adicionales Resultantes el diseno Controlador PI ... 51

Figura 6.15. Ventana Sample Time Conversion – MATLAB® SISOTOOL... 52

Figura 6.16. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 300ms vs. Sistema Continuo ... 52

Figura 6.17. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 100ms vs. Sistema Continuo ... 53

Figura 6.18. Respuesta a Entrada Paso Sistema Discreto 20ms vs. Sistema Continuo ... 53

Figura 7.1. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM ... 55

Figura 7.2. Números de Reynolds obtenidos variando en una unidad las RPM ... 56

Figura 7.3. Experimento 1 – Muestra 1 - Corriente ... 59

Figura 7.4. Experimento 1 – Muestra 1 - Bits ... 59

Figura 7.5. Experimento 1 – Muestra 2 - Corriente ... 59

Figura 7.6. Experimento 1 – Muestra 3 - Corriente ... 59

Figura 7.7. Experimento 1 – Aire Figura 7.8. Experimento 1 - Agua ... 60

Figura 7.9. Grafica Efecto Fuerza de Empuje ... 60

Figura 7.10. Histograma – Experimento 1 ... 61

Figura 7.11. Grafica de Aproximación del Histograma – Experimento 1 ... 62

Figura 7.12. Histograma – Experimento 10 ... 63

Figura 7.13. Grafica de Aproximación del Histograma ... 63

Figura 7.14. Histograma – Experimento 10 ... 64

Figura 7.15. Grafica de Aproximación del Histograma ... 64

Figura 7.16. Corriente teórica y experimental con el mismo patrón de comportamiento. ... 65

Figura 7.17. Línea de tendencia corrientes teóricas y experimentales. ... 66

9 INDICE DE TABLAS

Tabla 4.1. Interpretación del Coeficiente de Correlación Muestral [17] ... 24

Tabla 4.2. Datos obtenidos experimentalmente [17] ... 25

Tabla 5.1. Caracterización de Velocidad del Motor ... 37

Tabla 6.1. Tabla de Análisis Dimensional No. 1 ... 38

Tabla 6.2. Tabla de Análisis Dimensional No.2... 38

Tabla 6.3. Parámetros eléctricos del motor ... 44

Tabla 6.4. Parámetros electromecánicos del motor y el reductor ... 45

Tabla 7.1. Combinaciones Posibles para diferentes números de Reynolds (Tabla Resumen) ... 57

Tabla 7.2. Tabla de Corrientes Teóricas ... 58

Tabla 7.3. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 1 ... 62

Tabla 7.4. Tabla de Análisis Estadístico – Experimento 10 ... 63

10 INDICE DE ANEXOS

ANEXO 1 - Calculo Completo de la Inercia de las Poleas ANEXO 2 - Esquemático Circuito No. 1

ANEXO 3 - Esquemático Circuito No. 2 ANEXO 4 - Hoja de Especificaciones Encoder ANEXO 5 - Hoja de Especificaciones Motor DC ANEXO 6 - Hoja de Especificaciones Reductor ANEXO 7 - Código MPLAB

ANEXO 8 - Parámetros del Sistema_MATLAB ANEXO 9 -Tabla de Experimentos

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1. INTRODUCCIÓN

A través de la historia diseñar y ejecutar experimentos a un sistema bajo ciertas condiciones ha sido de gran importancia para que la humanidad logre entender diversos fenómenos físicos que la rodean, para luego utilizando diferentes métodos llegar a describir de forma acertada estos fenómenos, mediante herramientas matemáticas que se han diseñado para ayudar a entender cierto problema o alguna situación de interés que de una interpretación comprensible para el hombre debido a que el comportamiento de la naturaleza para este, es la modelación matemática de los fenómenos. Estas mediciones han mostrado su importancia de manera eficiente para enjuiciar, captar y exhibir a la naturaleza, dando como resultado ser las actividades más útiles para aprender racionalmente sobre esta, es decir, para poder predecir su devenir.

Entonces surge la necesidad de comprender sistemas cada vez más complejos para los cuales en algunos casos los modelos matemáticos pueden convertirse en maneras tediosas y complicadas para obtener modelos del mismo. Más aun se hace necesario cuando la gran mayoría de aplicaciones requieren de algún tipo de control como es el caso de la industria en la cual es imprescindible mantener dentro de parámetros bien definidos las variables que intervienen en el proceso dado de manera que los resultados sean confiables con exactitud, precisión y repetitividad.

Debido a esto, se desarrollan técnicas que buscan lograr obtener modelos de sistemas dinámicos bajo ciertas condiciones a partir de mediciones realizadas mediante experimentos prácticos, que tienen como objetivo recopilar la información necesaria la cual debe ser procesada bajo métodos que permitan ajustar esta información de manera que se pueda llegar a obtener una cantidad de datos que serán usados posteriormente para lograr validar un modelo matemático dado.

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2. OBJETIVOS

2.1. Objetivo General

Diseñar y ejecutar experimentos que permitan recopilar y almacenar datos experimentales del comportamiento dinámico de un objeto dentro de un fluido para validar un modelo ya existente.

2.2. Objetivos Específicos

• Diseñar una serie de experimentos con base en los modelos de dos objetos de forma definida que permitan adquirir datos de la hidrodinámica del sistema.

• Implementar los experimentos y los sistemas de adquisición de datos necesarios.

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3. METODOLOGÍA

A continuación, se presenta la metodología a seguir. Inicialmente se toman modelos matemáticos que han sido el resultado de previas investigaciones como se mostrara más adelante, esto con el fin de obtener una referencia del modelo que se quiere llegar a validar en este trabajo de grado. Estas expresiones son el punto de partida para el desarrollo de experimentos que permitan llegar a obtener los datos necesarios del comportamiento de cuerpos esféricos de diferente diámetro moviéndose rectilíneamente en un fluido newtoniano con flujo uniforme y que permitan la validación del sistema con la metodología usada aquí, la cual implementa una especie de Towing Tank [1] en el cual se busca que los costos no sean significativos.

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4. MARCO TEÓRICO

En este trabajo de grado se estudia la dinámica de objetos sólidos esféricos analizados por separado, ascendiendo rectilíneamente en agua pura con flujo continuo a temperatura ambiente (25°C aproximadamente) y una presión de 1 atm. Para esto es importante tener en cuenta que cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido viscoso la resistencia que presenta el medio depende de la forma del cuerpo y de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Para realizar un análisis correcto que nos permita obtener resultados satisfactorios, es importante dar a conocer los conceptos y principios los cuales se presentaran en la siguiente sección.

4.1. Hidrodinámica

Para el estudio de la dinámica de los fluidos se consideran la velocidad, presión y flujo del fluido, normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

 El fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.

 Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que esta es bastante menor comparada con la inercia de su movimiento.

 La velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo.

También es importante tener claros conceptos que están altamente involucrados en la dinámica de fluidos, términos como, viscosidad y fluidos newtonianos que se van a trabajar a lo largo de este trabajo de grado.

 Viscosidad:

En esencia la viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales, cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. [3]

 Fluido Newtoniano:

Un fluido newtoniano es un fluido cuya viscosidad puede considerarse constante en el tiempo. Un buen número de fluidos comunes se comportan como fluidos newtonianos bajo condiciones normales de presión y temperatura: para el caso de este trabajo se utilizará agua. [3]

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción se considera el comportamiento del fluido como ideal cuyas características son las siguientes: [3]

Fluido Ideal:

• Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido • Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo • Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo

• Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto. [4]

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Figura 4.1. Diagrama de fuerzas para esfera en caída libre en un fluido.

El objeto cae acelerado hasta que las tres fuerzas que actúan sobre él se equilibran entre sí, de manera que el movimiento se vuelve uniforme y mantiene una velocidad límite [5]. Cuando el objeto alcanza un movimiento uniforme, el equilibrio de fuerzas se expresa, en términos de módulos, como:

Ecuación 4.1.

Como se puede ver en la ecuación anterior las fuerzas involucradas en el sistema son el empuje (E), fuerza de resistencia generada por el fluido (F) y el peso del objeto (P). Por lo tanto si se considera la densidad del objeto (ρo) y su volumen (V), se puede escribir entonces así:

Ecuación 4.2.

Donde ρf es la densidad del fluido. Ahora al reemplazar el volumen por la ecuación de volumen de una esfera y despejando la velocidad se obtiene el siguiente resultado:

Ecuación 4.3.

Donde v es la velocidad limite que alcanza el objeto en su caída a través del fluido representada en la Figura 4.2.

Figura 4.2. Velocidad Límite de un objeto en Caída libre .

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Para el desarrollo de este trabajo de grado es importante tener en cuenta que las dos opciones anteriores requerirían de un alto presupuesto ya que las esferas con las que se busca realizar los experimentos necesitarían tubos de prueba relativamente largos debido a su diámetro, para lo cual se requeriría un alto presupuesto1.

Debido a esto, la intención es proponer la realización de un método que ayude a minimizar estos costos y llegar a obtener resultados que se adquirirán utilizando herramientas que estén al alcance de todos.

4.2. Arrastre

Para la validación de nuestro modelo matemático la fuerza que interesa es la proporcionada por el arrastre. A su vez es importante que los líquidos puedan tomarse incomprensibles en el estudio de estas fuerzas debido a que su densidad siempre permanece constante con el tiempo.

Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta fuerzas causadas por la acción de este. El efecto total de estas fuerzas es muy complejo. Para propósitos de diseño o para el análisis del comportamiento de un cuerpo en un fluido se utilizan dos fuerzas muy importantes las cuales son llamadas de arrastre y sustentación.

Cuando una corriente de fluido se mueve alrededor de un cuerpo, tiende a adherirse a la superficie en la porción de la longitud del cuerpo. Después de cierto punto, la capa delgada del fluido que se encuentra cerca a la superficie del cuerpo (capa limite), se separa lo que hace formar unas turbulencias, Figura 4.3.

La presión en la estela es mucho más baja que en el frente del cuerpo, así se crea una fuerza neta que actúa en dirección opuesta al movimiento del cuerpo la cual es llamada fuerza de arrastre.

Figura 4.3. Objeto cilíndrico con capa limite separada [4]

Las líneas de corriente de la figura, ilustran la trayectoria del fluido conforme este fluye en la esfera. En el punto de estancamiento de la esfera, la corriente de fluido esta en reposo.

Es de esperar que el incremento de presión en el punto de estancamiento produzca una fuerza sobre el cuerpo, opuesta a su movimiento, es decir, una fuerza de arrastre. Sin embargo esta fuerza no solo depende de la presión que se ejerce en el punto de estancamiento, también influye la presión generada en la región de separación, donde se genera una dificultad para predecir la variación real de la presión, debido a esto, es común que se utilice el coeficiente de arrastre. [5]

1

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La fuerza de arrastre se calcula por medio de la Ecuación 4.4.:

Ecuación 4.4.

p = Densidad del fluido. Debido a que la densidad de los líquidos es bastante mayor que la de un gas, el orden general de magnitud de las fuerzas de arrastre sobre objetos que se mueven en el agua es mucho más grande que para objetos que se mueven en el agua. [5]

v = Velocidad de la corriente libre del fluido con relación al cuerpo. En general no importa si el que se mueve es el cuerpo o el fluido lo cual es de gran importancia para el diseño de los experimentos que se mostrara posteriormente. Sin embargo, es necesario tener en cuenta la presencia de otras superficies cerca del cuerpo de interés debido a que pueden llegar a afectar el arrastre. [5]

A = Máxima sección transversal perpendicular a la dirección del fluido en el cuerpo.

Cd = Coeficiente de arrastre (a dimensional).

El coeficiente de arrastre depende de:

• La forma física del objeto.

• Su orientación con relación a la corriente del fluido. • Numero de Reynolds.

• Rugosidad de la superficie.

• Influencia de cuerpos o superficies en la vecindad.

4.2.1. Arrastre Sobre Cuerpos Sumergidos

La mecánica de flujo sobre un cilindro o esfera se muestra en el siguiente dibujo.

Figura 4.4. Mecánica de Flujo sobre un Cilindro o Esfera [5]

Según el análisis dimensional y semejanza, el coeficiente de resistencia para una geometría dada en flujo estacionario es función de los siguientes parámetros a dimensionales.

CD = CD (α, ε/d, Re, M, W, F) Ecuación 4.5.

Donde:

α = Angulo de ataque.

D d

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ε/d = Aspereza relativa de la superficie del cuerpo.

Re = Número de Reynolds

M = Número de Mach

W = Número de Weber

F = Número de Froude

La experiencia muestra que las cantidades relevantes que afectan al coeficiente de arrastre se pueden reducir a

Ecuación 4.6.

En general, cuando M < 0.3 se asume que el flujo es incompresible, de modo que:

Ecuación 4.7.

La representación grafica experimental de esta expresión para una esfera es la mostrada en la Figura 4.5.

Figura 4.5. Coeficiente de arrastre vs Núm. de Reynolds [5]

En general sobre un cuerpo fuselado, se presentan dos fuerzas que son la sustentación L y la de arrastre D como se muestra en la Figura 4.6., en que el arrastre tiene la misma connotación que el de un cuerpo no fuselado o no aerodinámico. En la figura mostrada a continuación se muestra claramente como es afectado el cuerpo por las fuerzas que influyen en este proceso.

Figura 4.6. Fuerzas de sustentación (L) y de arrastre (D) de un perfil alar en vuelo [6] d

Esfera lisa (ε/d = 0) CD

Re

α = 0 → cuerpo simétrico

U0 α

Centro de presión

L R

D

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4.3. Numero de Reynolds

El número de Reynolds es quizá uno de los números a dimensionales más utilizados. La importancia radica en que habla del régimen con que fluye un fluido, lo que es fundamental para el estudio del mismo.

A nivel experimental como industrial, este número es de gran utilidad debido al gran rango de aplicación que este tiene. [8]

El número de Reynolds es un número a dimensional que relaciona las propiedades físicas del fluido, su velocidad y la geometría del ducto por el que fluye y está dado por:

Ecuación 4.8.

p = Densidad del fluido

v = Velocidad característica del fluido

D = Longitud característica del sistema

µ = Viscosidad dinámica del fluido

Generalmente cuando el numero de Reynolds está por debajo de 2100, entonces el fluido tenderán a comportarse en forma laminar sin ningún problema, en el intervalo entre 2100 y 4000 es considerado como flujo de transición y para valores mayores a 4000 se considera como flujo turbulento. [8]

Es importante saber que con la minimización cuidadosa de las perturbaciones externas es posible mantener el flujo laminar para números de Reynolds, tan grandes como 50000, lo cual es de gran importancia en el análisis aquí propuesto. [4]

4.4. Análisis Dimensional

La planificación experimental es fundamental en la investigación científica. A la misma puede ayudar el conocimiento del Análisis Dimensional. Esta herramienta sencilla, pero poderosa, se basa en los conceptos de medida de una magnitud física y de las dimensiones asociadas con ella. [4]

Fourier definió el concepto de dimensión en su obra “Théorie analytique de la chaleur”, en la cual dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones” [9]. De esta forma, las ecuaciones deben ser homogéneas dimensionalmente, que es lo buscado con en el análisis dimensional.

4.5. Manejo Estadístico de Datos

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Los datos estadísticos se presentan generalmente expresando el valor de la frecuencia absoluta que toman las variables significativas de un estudio, en este caso correspondiente a una muestra de los experimentos ejecutados. La frecuencia absoluta de un valor o de una modalidad de una variable estadística es el número de datos observados que presentan ese valor.

4.5.1. Medidas en la Experimentación

En ciencias e ingeniería, el concepto de error está asociado con la incertidumbre en la determinación del resultado de una medición. Lo que se procura obtener en una medición es conocer las cotas de estas. Gráficamente, se busca establecer un intervalo de la forma mostrada a continuación:

Ecuación 4.9.

Donde con cierta probabilidad se pueda encontrar el mejor valor de la magnitud x.

En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos utilizados, el método de medición, el observador que realiza la medición aun el mismo proceso introduce errores. [9]

Otras fuentes de error que se originan en los instrumentos de medición son la exactitud y precisión de los mismos instrumentos Figura 4.7. La precisión es el grado de concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. La exactitud es el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. [11]

Figura 4.7. Exactitud y Precisión

Se dice que se conoce el valor de una magnitud dada, en la medida en que se conocen sus errores. En ciencia se considera que la medición de una magnitud con un cierto error no significa que se haya cometido una equivocación o que se haya realizado una mala medición. Con la indicación del error de medición se expresa, en forma cuantitativa y lo más precisamente posible, las limitaciones que el proceso de medición introduce en la determinación de la magnitud medida.

4.5.2. Clasificación de Errores.

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• Error Sistemático: Permanecen constantes a lo largo de todo el proceso de medida y afectan a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para estas. En este grupo podemos encontrar errores tales como Instrumentales, personales y por la elección del método.

• Errores Accidentales: Se producen en las variaciones que pueden darse entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Estas variaciones no son reproducibles de una medición a otra y su valor es diferente para cada medida. Las causas de estos errores no son controlables por parte del observador. [11]

4.5.3. Expresión del Error

Para la presentación de un error es necesario establecer un determinado valor que acote la medida, siguiendo esto la expresión correcta para una medida es: [12]

Ecuación 4.10.

4.5.4. Error Absoluto y Error relativo

En toda medida resulta necesario dar alguna indicación del error cometido, que dé cuenta de cuánto puede alejarse el resultado obtenido del valor exacto.

 Error Absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor obtenido experimentalmente y el verdadero valor de esta. Ecuación 4.10.

 Error Relativo: Cociente entre el error absoluto y el verdadero valor de la misma.

Ecuación 4.11. [13]

4.5.5. Histogramas y Distribución Estadística

Si se toma una muestra de tamaño N y para la misma se miden ciertos parámetros, este experimento dará

N resultados: . Todos estos datos estarán comprendidos en un intervalo ( ). Una

manera útil de visualizar las características de este conjunto de datos consiste en dividir el intervalo ( ) en m sub-intervalos iguales, delimitados por los puntos (y1, y2,..., ym) que determinan lo que

se llamara el rango de clases [10]. A continuación, se definen los intervalos con los cuales se va a distribuir la cantidad de datos tomados nj. La función de distribución se define como:

Ecuación 4.12.

Esta función de distribución está normalizada, como se muestra en la Ecuación 4.13.:

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El grafico de da una clara idea de cómo se distribuye el parámetro medido en estudio. Este tipo de grafico se llama un Histograma y programas como Microsoft® Excel o calculadora de Open Office contienen herramientas para realizar la operación que se describió anteriormente, dando como resultado en la mayoría de casos distribuciones como las mostradas a continuación:

Figura 4.8. Histogramas con igual valor medio y diferente grado de dispersión [14]

El valor medio da una idea de la localización de los valores en la muestra.

Ecuación 4.14.

La varianza y la desviación estándar dan una idea de la dispersión de los datos alrededor del valor promedio.

Ecuación 4.15.

Ecuación 4.16.

Una distribución de probabilidad muy común en diversos campos es la llamada Gaussiana que está dada por la expresión mostrada a continuación: [10]

Ecuación 4.17.

Esta expresión contiene las siguientes características:

• La campana de Gauss está centrada en m y su ancho está determinado por la desviación estándar. • los puntos de inflexión de la curva están en x-σ y x+σ.

• El área de esta curva entre los dos puntos anteriores constituye el 68.3% del área total.

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• Media o promedio:

Ecuación 4.18.

• Mediana: Es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos.

• Moda: Valor de la variable donde está la máxima frecuencia.

4.5.6. Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson

El coeficiente de correlación de Pearson, pensado para variables cuantitativas, es un índice que mide el grado de covarianza entre distintas variables relacionadas linealmente [16]. Este es un índice de fácil ejecución e, igualmente de fácil interpretación. Si se tienen dos variables, definimos el coeficiente de correlación de Pearson entre dos variables como rxy entonces:

-1≤rxy≤1

Si rxy=1, la relación es perfectamente positiva.

Si rxy=-1, la relación es perfectamente negativa.

Relación perfectamente positiva, cuando exactamente en la medida que aumenta una de ellas aumenta la otra. Esto sucede cuando la relación entre ambas variables es funcionalmente exacta. Se dice que la relación es perfectamente negativa cuando exactamente en la medida que aumenta una variable disminuye la otra. [16]

Ecuación 4.19.

.

Ecuación 4.20.

Ecuación 4.21.

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La interpretación del coeficiente de correlación muestral depende del valor, del signo que tome y de las características de la muestra. A continuación, se mostrará la Tabla 4.1., con las posibles interpretaciones que se pueden dar: [17]

VALOR DEL COEFICIENTE INTERPRETACIÓN

0 < r < 1 & r → 1 Relación Lineal positiva fuerte

0 < r < 1 & r → 0 Relación Lineal Positiva Débil

r = 0 No existe relación lineal

-1 < r < 0 & r → -1 Relación Negativa y fuerte

-1 < r < 0 & r → 0 Relación lineal negativa y débil

Tabla 4.1. Interpretación del Coeficiente de Correlación Muestral [17]

4.6. Modelos Matemáticos

A continuación, se presentan los modelos que se utilizaran para la realización de la validación experimental de las esferas dentro de un fluido. Cabe aclarar que el modelo está limitado a una región específica para la cual se diseñan experimentos que permitan recopilar datos para su posterior análisis. El modelo matemático completo de la esfera en un fluido como se mostrara posteriormente es una recopilación de varios estudios realizados a través de la historia. A continuación, se muestran los modelos obtenidos:

Una expresión analítica para el coeficiente de arrastre estacionario sobre una esfera moviéndose a su velocidad terminal en un flujo uniforme y Re tendiendo a 0 fue obtenida por Hadamard y Rybczynski (1911). Esta expresión produce la ley de Stokes para una esfera solida, la cual se muestra a continuación: [15]

Modelo de Stokes 0 < Re < 1 [19]

Cd (Stokes, 1845)

Ecuación 4.22.

La primera corrección fue realizada por Oseen (1910) quien obtuvo el siguiente resultado: [15]

Modelo de Oseen 0.5 <= Re < 1.5

Ecuación 4.23.

Para Re más grandes, el coeficiente de arrastre para una esfera aislada se estima mediante las siguientes ecuaciones:

Modelo de Schiller and Nauman 1 <= Re < 700 [16]

Ecuación 4.24.

25

Ecuación 4.25.

Modelo de Brauer 10443 <= Re < 1.5*10^5 [16]

Ecuación 4.26.

Modelo de Wieselsberger por Experimentación: [16]

1.5*105 <= Re < 2.6*105 Cd = -3.013*10

-7_*Re+0.5187;

Ecuación 4.27.

2.6*105 <= Re < 3.0*105 Cd = -1.40*10

-6_*Re+0.8020;

Ecuación 4.28.

3.0*105 <= Re < 3.79*105 Cd = -3.0144*10

-6_*Re+1.2350;

Ecuación 4.29.

Partes del modelo se han realizado de forma experimental como se muestra a continuación.[17]

Tabla datos

Experimentales

Tabla datos

Experimentales

Re Cd Re Cd

0,4786 58,88 58880 0,4732

3,02 10,86 100000 0,4624

7,015 5,623 170200 0,4395

15,49 3,388 231700 0,4046

57,54 1,479 264800 0,3733

144,5 0,9204 271000 0,3467

264,9 0,7194 285100 0,2472

512,9 0,5623 302000 0,1778

1000 0,4786 338800 0,1047

1862 0,4365 398100 0,09772

3162 0,4074 512900 0,1

4764 0,389 1778000 0,1778

8375 0,3981 2291000 0,1862

15560 0,4395 5012000 0,1862

26

Al graficar los modelos matemáticos antes descritos, se obtiene la Figura 4.9.

Figura 4.9. Modelo matemático para una esfera. Cd vs Re

27

5. DESCRIPCIONES Y ESPECIFICACIONES

5.1. Requerimientos del Sistema

Para establecer los requerimientos del sistema, es necesario conocer los medios que ayudaran a llevar a cabo los objetivos, para lo cual es preciso describir de forma específica las diferentes secciones en la cuales se divide este trabajo y sus respectivos alcances.

Es importante entonces, detallar los elementos necesarios en cada sección del sistema, tales como la descripción de los modelos a utilizar, los métodos e instrumentos para la medición de parámetros y el software necesario para realizar tanto la adquisición de datos como las simulaciones necesarias, así como las herramientas matemáticas y estadísticas para la manipulación de datos y su posterior presentación.

5.1.1. Modelo

Este trabajo consiste en la validación de modelos matemáticos para esferas de diferente diámetro. En el cual se busca un modelo matemático ya obtenido en repetidas ocasiones, con la diferencia primordial que se realizara con un bajo presupuesto y que podrá ser extrapolado a otras aplicaciones siempre y cuando las restricciones que se den, sean tenidas en cuenta para la ejecución de los experimentos.

5.2. Descripciones y Especificaciones Mecánicas de la Planta

El sistema completo está constituido por una serie de elementos básicos: La estructura de soporte en forma de trípode sirve de armazón y da estabilidad al sistema mecánico el cual está compuesto por el motor, las poleas y los objetos de prueba, al mismo tiempo la base del trípode se sitúa encima del tanque el cual es utilizado como recipiente de experimentación, tal como se observa en la Figura 5.1. Sobre la base del trípode se encuentra el motor ajustado por medio de un soporte que lo sostiene firmemente para evitar cualquier vibración generada por el movimiento de rotación del motor y que pueden llegar a afectar el adecuado desarrollo de los experimentos. Ver Figura 5.2. Por otro lado, el motor tiene anclado a su eje una polea, la cual tiene una cuerda atada que permite que el objeto de prueba se desplace dentro del fluido de forma rectilínea hacia arriba. Ver Figura 5.3. A continuación, se describen las características mecánicas más importantes.

28 Extremidades:

Descripción (Material): Lamina de Acero doblado en forma paralelepípedo recto con 1mm de espesor

Masa: 381 g c/u ,

Dimensiones: 99,4 cm × 5,1 cm × 2 cm

Base:

Descripción (Material): Nylon de color natural cortado en dos secciones en forma de disco, en la cual se fijan las extremidades. Ver Figura 5.3.

Masa: 404 g

Dimensiones: Figura irregular

Tanque:

Descripción: Recipiente de cristal de forma cilíndrica. Ver Figura 5.4.

Masa: 2,321 kg

Dimensiones: 50 cm (Alto) × 20 cm (Diámetro) × 6 mm (Espesor)

Figura 5.3. Base del Sistema Mecánico Figura 5.4. Tanque de Experimentación

Soporte del Motor:

Descripción: Nylon de color natural cortado en forma cilíndrica

Masa: 281 g

Dimensiones: 11,5 cm (Alto) × 5,2 cm (Diámetro)

Objetos de prueba:

Descripción: Dos esferas de Acero. Ver Figura 5.5.

Esfera 1:

Masa: 226,53 g

29 Esfera 2:

Masa: 131,20 g

Dimensiones: 3,17 cm (Diámetro)

Poleas:

Descripción: 2 unidades de Nylon de color natural cortado en forma de polea. Ver Figura 5.6.

Polea 1:

Masa: 92,58 g

Dimensiones: 10 cm (Diámetro) × 1 cm (Ancho)

Inercia: 11,57×10-5 kg.m2. Ver ANEXO 1 - Cálculo Completo de la Inercia de las Poleas

Polea 2:

Masa: 44,41g

Dimensiones: 6 cm (Diámetro) × 1 cm (Ancho)

Inercia: 1,99×10-5 kg.m2

Figura 5.5. Poleas Figura 5.6. Objetos de Prueba - Esferas

Cabe aclarar que las masas de las extremidades, la base, el tanque e incluso el motor no afectan el desempeño y/o el funcionamiento de la plataforma, por eso pueden ser consideradas como irrelevantes para posteriores análisis.

Por otra parte, las masas y las dimensiones de los objetos de prueba (Esfera 1 y Esfera 2) y de las poleas (Polea 1 y Polea 2) son sumamente importantes debido a que estos parámetros son parte fundamental del diseño de los experimentos, del modelo del controlador y por ende de sus resultados.

5.3. Especificaciones y Descripciones Electrónicas de la Plataforma

30

especial. En el siguiente esquema de la Figura 5.7., se observa de forma general el procedimiento que se sigue para llevar a cabo las diferentes pruebas.

Figura 5.7. Esquema General del Proceso Electrónico

5.3.1. Especificaciones y Descripciones de la Arquitectura de Control

El funcionamiento de la arquitectura de control se divide en varias etapas. Inicialmente el usuario por medio de un enlace entre la computadora y el sistema electrónico usando directamente MPLAB®, define una velocidad específica a la cual el motor tiene que moverse. Seguido a esto, el microcontrolador que está previamente programado se encarga de seguir el algoritmo de programación que controla el sistema. El microcontrolador programado envía instrucciones al actuador y recibe información del sistema de sensores siguiendo una secuencia específica, parte de la información recibida es realimentada al microcontrolador para seguir con el algoritmo de control.

Como se desea controlar la velocidad de desplazamiento del objeto de prueba, el microcontrolador envía la información correspondiente a la velocidad determinada por el usuario, directamente al motor, acto seguido la información obtenida de un sensor de velocidad es comparada con la velocidad de referencia, para que de este modo por medio de un control digital sintetizado dentro del microcontrolador, se logre mantener la velocidad deseada a pesar de las perturbaciones.

Por otro lado se busca que por medio de un sensor de corriente, se obtenga la información relacionada a la fuerza que utiliza el motor para subir el elemento de prueba como variable importante de medición.

El funcionamiento general de la arquitectura de control y procesamiento anteriormente descrito, se puede observar en el esquema de la Figura 5.8.

Figura 5.8. Funcionamiento General de la Arquitectura de Control

Se implementaron dos circuitos impresos sobre los cuales se integraron todos los componentes electrónicos que conforman la etapa de procesamiento, etapa de transmisión de datos, etapa de potencia, y

VELOCIDAD COMPUTADOR

MICROCONTROLADOR

SISTEMA MOTOR

MOTOR

SISTEMA SENSORIAL

31

sistemas de alimentación de energía eléctrica. A continuación, se destacan sus características más importantes de funcionamiento.

Circuito impreso 1. Ver ANEXO 2 – Esquemático Circuito No.1

Descripción: Etapa de procesamiento, potencia y alimentación de energía. Ver Figura 5.9.

Voltaje de alimentación: 12 V

Voltaje de alimentación a etapa de potencia: 12 V

Voltaje de alimentación a etapa de control y sensorial: 5 V regulados

Dimensiones: 7,2 cm × 7,8 cm

Circuito impreso 2. Ver ANEXO 3 – Esquemático Circuito No.2

Descripción: Tarjeta RS232, Etapa de transmisión de datos. Ver Figura 5.10.

Voltaje de alimentación: 5 V regulados

Tasa Baudios 9600 bauds

Dimensiones: 3,4 cm × 2,7 cm

Figura 5.9. Circuito No. 1 Figura 5.10. Circuito No. 2

Fuente de Alimentación

Descripción: Fuente de voltaje DC doble. Ver Figura 5.11.

Marca: KI

Modelo: DPS-1303D

Voltaje Máximo: 30 V

32

Figura 5.11. Fuente de Voltaje Doble KI DPS-1303D

Microcontrolador

Arquitectura: RISC de 16 bits

Serie: dsPIC30F4011

Voltaje de Operación: 5 V

Número de Pines: 40 pines

Número de Puertos I/O: 5

Módulos de PWM (incluyendo complementarios): 6

Frecuencia de PWM: 49 kHz

Comunicación serial: UART

Tasa de baudios UART: 9600 bauds

Driver o Puente H

Descripción: Etapa de potencia

Referencia: L6203

Voltaje de alimentación lógica (enable): 5 V

Voltaje de Trabajo: 12 V

Corriente de Operación: 200 mA

5.3.2. Descripciones y Especificaciones del Sistema de Sensores

33

5.3.2.1. Encoder

Se utilizó el encoder US DIGITAL E4P-360-118-HT (ANEXO 4 – Hoja de Especificaciones Encoder)el cual se observa en la Figura 5.12. Este es un encoder diseñado para brindar alta precisión en un alto volumen de aplicaciones las cuales tienen limitaciones de espacio, este enconder esta acoplado con un motor MAXON A-max 110960 (ANEXO 5 – Hoja de Especificaciones Motor DC) de alta precisión y eficiencia del cual se hablará más adelante.

Sus características principales del encoder son:

Voltaje de alimentación: 5 V

Señal de Salida (frecuencia de conteo): 4 KHz - 49 KHz

Consumo de corriente: 10 mA

Resolución: 360 CPR (Conteos por revolución)

Figura 5.12. ENCODER US DIGITAL E4P-340-360-118-HT

5.3.2.2. Sensor de Corriente – Driver ó Puente H

Se utilizó el sensor de corriente del puente H - L6203, con el fin de monitorear y registrar las diferentes corrientes del motor, las cuales sirven para realizar el análisis estadístico y validar el modelo hidrodinámico.

Este es un sensor de corriente, el cual por medio de una resistencia Rs conectada adecuadamente al pin SENSE. Ver Figura 5.13. Provee una equivalencia sobre las corrientes del motor en determinadas condiciones. Esta información es al mismo tiempo registrada y almacenada en la computadora por medio de un puerto ADC del microcontrolador.

34 Sus características principales son las siguientes:

Voltaje de registro: -1 a + 4 V

La información guardada en la computadora por medio del puerto ADC del microcontrolador es después interpretada como una corriente y tratada analíticamente con el fin de conocer su error, varianza, desviación estándar, etc. Se realiza un análisis adecuado para verificar que los datos obtenidos son confiables para poder ser aplicados a las formulas matemáticas que permitirán validar un modelo hidrodinámico.

5.3.3. Especificaciones del Sistema Motor

El sistema motor consta de un motor DC con reductor encargado de dar movimiento a los diferentes objetos de prueba a una determinada velocidad. Sus características se exponen a continuación.

5.3.3.1. Motor DC con Reductor

Se utilizó un motor DC MAXON A-max 26 110960 de alto desempeño y eficiencia, con reductor planetario GP 26 B con reducción de 53:1 (ANEXO 6 – Hojas de Especificaciones Reductor). Ver Figura 5.14. Este es un motor de 8010 rpm con un reductor acoplado, el cual genera una velocidad de salida en su eje de hasta 151 rpm.

Figura 5.14. Motor DC MAXON A-max 26 con reductor GP 26 B

Sus características principales son:

Referencia Motor: MAXON A-max 26 110960

Referencia Reductor: Planetary Gearhead GP 26 B

Largo: 8,5 cm

Diámetro: 2,6 cm

Peso (Motor + Reductor): 227 g Corriente nominal sin carga: 56,7 mA

Voltaje Máximo de Operación: 12 V

35

Relación de Moto-reductor: 53:1

Velocidad Máxima: 8010 rpm

5.4. Especificaciones de Software de la Plataforma

La plataforma usa dos tipos de software, uno destinado a la programación del microprocesador y otro utilizado para permitir la recepción de datos al computador.

5.4.1. Descripción y Especificaciones Sobre el Software de Programación

El Software utilizado para la programación del microcontrolador es MPLAB® IDE v8.46. Ver Figura 5.15. Este es un programa gratuito pero limitado, que sirve como herramienta para desarrollar aplicaciones que involucren los microprocesadores dsPIC y PIC de Microchip. Cuenta con una interfaz gráfica que permite acceder a todas sus herramientas por un solo usuario. Permite simular, depurar y programar los proyectos que se realizan con esta herramienta.

Figura 5.15. MPLAB IDE

La programación del algoritmo de control se desarrollo en lenguaje C++ usando el compilador C30 que trae MPLAB® por defecto. El proceso de programación se realizó en varias etapas a medida que se iban desarrollando el proyecto. Sin embargo, al finalizar se consolidaron todas las rutinas de programación en un único y definitivo código fuente. ANEXO 7 – Código MPLAB

Para la programación del microprocesador se utilizó el programador ICD2 de Microchip® y la tarjeta de desarrollo dsPICDEM2 del mismo fabricante. El ICD2 se conecta vía USB entre el computador del usuario con MPLAB IDE instalado y la tarjeta de desarrollo vía RJ-12. Ver Figura 5.16. Actúa como interfaz entre los dos, permitiendo al usuario mirar activamente dentro del microcontrolador, observando el estado de las variables, estableciendo puntos específicos de interrupción en la rutina. Por otra parte, la tarjeta de desarrollo dsPICDEM2 es una herramienta de desarrollo para la serie de microprocesadores dsPIC30 que incluye elementos de hardware y software que facilitan el desarrollo de las aplicaciones.

36

Figura 5.16. Comunicación PC - Microprocesador

5.4.2. Especificaciones de la Interfaz de Comunicación

Se utilizó un software abierto en periodo de evaluación llamado Docklight®. Este software es una herramienta de prueba, análisis y simulación para protocolos de comunicación RS232. Permite al usuario monitorear la comunicación entre dos dispositivos seriales, en este caso la tarjeta de desarrollo o la tarjeta RS232 implementada en el circuito definitivo. Docklight® facilita significativamente la recepción de los datos provenientes del modulo UART del microprocesador. Esta herramienta recibe datos relacionados a la corriente del motor y permite que sean fácilmente copiados y analizados analíticamente con Excel®.

5.5. Especificaciones de Movimiento

Referente al sistema mecánico, ya que es este el que tiene que responder mecánicamente a la programación realizada y ejecutada por el usuario. Se diseñó entonces, un control de velocidad con el fin de cumplir los requerimientos de los experimentos, ya que se necesitan tener velocidades constantes para el correcto desarrollo y obtención de los datos en cada una de las pruebas.

37

Tabla 5.1. Caracterización de Velocidad del Motor

En la Figura 5.17., se muestra la relación que tiene la respuesta del encoder en frecuencia con respecto al voltaje aplicado al motor.

Figura 5.17. Voltaje Aplicado al Motor VS. Frecuencia del Encoder

Controlador (REF)

Voltaje Aplicado [V]

Frecuencia Encoder [kHz]

Frecuencia Motor [Hz] (Sin Reductor)

Frecuencia Motor [rpm] (Sin Reductor)

Frecuencia Motor [rpm] (Con Reductor)

1 2.78 5.10 14.17 850.00 16.04

10 3.26 6.90 19.17 1150.00 21.70

20 3.82 9 25.00 1500.00 28.30

30 4.39 11 30.56 1833.33 34.59

40 4.80 13.1 36.39 2183.33 41.19

50 5.47 15.1 41.94 2516.67 47.48

60 5.95 17.2 47.78 2866.67 54.09

70 6.43 19.4 53.89 3233.33 61.01

80 6.89 21.4 59.44 3566.67 67.30

90 7.34 23.6 65.56 3933.33 74.21

100 7.78 25.5 70.83 4250.00 80.19

110 8.23 27.6 76.67 4600.00 86.79

120 8.66 30 83.33 5000.00 94.34

130 9.12 32 88.89 5333.33 100.63

140 9.58 34 94.44 5666.67 106.92

150 10.08 36.5 101.39 6083.33 114.78

160 10.61 38.5 106.94 6416.67 121.07

170 11.14 40 111.11 6666.67 125.79

180 11.18 42.5 118.06 7083.33 133.65

190 11.40 45 125.00 7500.00 141.51

38

6. DESARROLLO

6.1. Diseño de Experimentos

6.1.1. Selección de Variables

Como se describió anteriormente, es necesaria la realización del análisis dimensional con las variables que influyen en el proceso, para de esta forma determinar que parámetros seleccionar para llegar a variar estos para permitan su manipulación a un bajo costo.

a) Se listan todos los parámetros significativos:

F, v, D, p, µ

Con lo cual tenemos que N=5 parámetros.

b) Seleccionar un conjunto fundamental de dimensiones:

VARIABLE DIMENSIONES UNIDADES

Fuerza MLT-2 Kg*m/s2

Diámetro L m

Densidad ML-3 _Kg/m3

Viscosidad ML-1 T-1 Kg/ms

Velocidad L-1 T-1 m/s

Tabla 6.1. Tabla de Análisis Dimensional No. 1

c) Listar las dimensiones de todos los parámetros, expresándolas en función de las dimensiones primarias:

Dimensiones fundamentales usadas

DIMENSION SIMBOLO

Longitud L

Masa M

Tiempo T

Tabla 6.2. Tabla de Análisis Dimensional No.2

d) Numero de parámetros a dimensionales independientes:

I= N-R = 5-3 = 2

Ecuación 6.1.

Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos seleccionados en el cuarto paso, con cada uno de os parámetros restantes, buscando formar parámetros a dimensionales.

39

F = pa * µb * Dc * Vd

Ecuación 6.2.

Entonces las expresiones dimensionales son:

MLT-2 = (ML-3)a * (ML-1T-1)b * Lc * (LT-1)d

Ecuación 6.3.

Se agrupa

MLT-2= (Ma+b) * (L-3a-b+c+d) * (T-b-d)

Ecuación 6.4.

Igualando exponentes

1=a+b para M 1=-3a-b+c+d para L -2=-b-d para T

Al resolver

a=1-b c=2-b d=2-b

Sustituyendo en la Ecuación 6.1.

F = p1-b * µb * D2-b * V2-b

Ecuación 6.5

F = p * D2 * V2 *(p-1 * µ * D-1 * V-1) b

Ecuación 6.6.

Ecuación 6.7.

Ecuación 6.8.

De la ecuación anterior se puede concluir que las variables a manipular para la realización de los experimentos son, la Fuerza, el diámetro de la esfera, la velocidad del fluido y la densidad, las cuales son el resultado del análisis dimensional. Un punto importante tras este resultado es observar que variar la densidad del fluido, en repetidas ocasiones, no es un procedimiento práctico ni económico.

40

incrementarían los costos. Esto indica que los parámetros que son fácilmente manipulables son la velocidad, Fuerza y el área transversal del sistema.

6.1.2. Diseño de Planta.

Para llegar a registrar alguno de los parámetros anteriormente mencionados, se procede a la realización de la planta la cual debe mantener algunos parámetros como constantes, mientras otros varían, para de esta forma con la Ecuación 6.8., poder calcular diferentes valores de número de Reynolds.

Diferentes estudios para el análisis del coeficiente de arrastre en esferas se han realizado en tanques de prueba [17] en los cuales la esfera se deja caer en un fluido libremente. En estos experimentos la altura del tubo de prueba depende principalmente de la Ecuación 6.3. Debido que para la realización del análisis, el objeto que se deja caer en el fluido debe alcanzar su velocidad de sedimentación o velocidad límite, [5] la cual está directamente relacionada con el radio de las esferas y la densidad del fluido por el cual se mueve.

Realizando el análisis se puede observar que para no llegar a obtener velocidades de sedimentación demasiado altas, se podría cambiar la densidad del fluido por el cual el objeto cae libremente, o bien realizar los experimentos con radios de esferas relativamente pequeños, sin embargo en la primera opción hacer el cambio de fluido para de esta manera tener uno con densidad superior a la del agua, incrementaría costos ya que sería necesario llenar con este un recipiente determinado para la ejecución de los experimentos. La segunda opción está restringida en este trabajo de grado ya que se quiere realizar el análisis con dos objetos de forma definida.

De esta manera se hace necesario buscar un método que permita relacionar totas las variables implicadas en el proceso y a su vez que permita un fácil registro de los datos de interés para su posterior validación.

Debido a las necesidades que se plantearon anteriormente surge la idea de poder llevar el objeto a una velocidad constante a través del fluido, lo cual evitaría tener que cambiar la densidad del fluido y a su vez poder utilizar un recipiente que no implique grandes inversiones.

6.1.2.1. Mecánica de la planta

6.1.2.1.1. Motor

Logrando controlar la velocidad para que el movimiento de la esfera se mantenga como una constante cuando se mueve a través del fluido y revisando la Ecuación 6.8, la cual nos relaciona los parámetros con el numero de Reynolds, surge la idea de llevar la esfera a una velocidad constante verticalmente hacia arriba con un motor en el cual se implementara un control que permita hacer esto posible. Para llevar la esfera hacia arriba es necesario utilizar una cuerda con peso y diámetro despreciable respecto a los objetos que interesan para el estudio aquí presentado.

Para relacionar los parámetros que afectan el proceso con el motor es necesario ver como se relaciona la fuerza que tiene que realizar el motor para poder llevar la esfera a través del fluido. Debido a que la corriente que necesita un motor para su funcionamiento está estrechamente relacionada con la fuerza que este debe hacer para el movimiento de una carga determinada y que su relación está dada como se muestra a continuación:

41

= Fuerza del motor

= radio del eje

Ecuación 6.9.

Ecuación 6.10.

6.1.2.1.2. Poleas

Ahora es importante llegar a utilizar solamente un motor para evitar mayores costos, lo cual implica que el intervalo de velocidades a las cuales se puede llevar la esfera verticalmente hacia arriba en el fluido, está limitado a ciertos rango de números de Reynolds debido a la velocidad tangencial que brindaría el eje del motor a utilizar. Dado que es necesario abarcar un intervalo mayor que el que puede proporcionar la velocidad tangencial a la cual gira el eje del motor se decide realizar dos poleas de diámetro diferente (3,5cm) las cuales permitirán aumentar esta, la cual está directamente relacionada con la Ecuación 6.8.De esta manera para una velocidad angular, tendríamos diferentes valores de velocidades tangenciales a las cuales se moverá la esfera inmersa en el fluido, lo cual permita ampliar el intervalo de número de Reynolds a validar en este trabajo.

6.1.2.2. Estructura de la planta

La estructura de la planta debe cumplir con ciertos requisitos para lograr garantizar las exigencias anteriormente descritas. Para esto es necesario diseñar una estructura liviana que no signifique mayores costos en el proyecto pero que a su vez sea funcional. Esta estructura debe permitir buena estabilidad, ya que sobre ella irán empotrados el motor (con el cual se llevara la esfera hacia arriba) y una base, la cual tiene como función soportar el motor, para poder ejecutar los experimentos.

Para permitir una buena estabilidad la estructura es diseñada en forma de trípode tal como se muestra en la Figura 6.1. Esta estructura contiene en su parte superior un eje con una polea, la cual ayuda para que la esfera siempre se mantenga en el centro del recipiente el cual contiene el fluido.

42

Figura 6.1. Estructura de la Planta Figura 6.2. Base, Soporte del Motor y Disco.

En la Figura 6.2., se puede observar cómo va empotrado el sistema mecánico a la estructura trípode.

6.1.3. Modelo Físico

Realizando el diagrama de fuerzas para la subida de la esfera en un fluido (agua) a velocidad constante y relacionando la Fuerza del motor con los demás fuerzas en el proceso, tenemos:

Figura 6.3. Diagrama de fuerzas para una esfera llevada hacia arriba por el motor e inmersa en un fluido.

E Fm



d

F

g

m

r

43

Para una esfera, “Stokes” se determina el valor de k

(k=6*π*r)

Ecuación 6.11.

Ecuación 6.12.

Debido a que la velocidad de subida se mantiene constante, tenemos aceleración 0, así entonces podemos escribir:

Ecuación 6.13.

Ecuación 6.14.

Ecuación 6.15.

Dado que el empuje se define en la Ecuación 6.15, se obtiene:

Ecuación 6.16.

Ecuación 6.17.

Ecuación 6.18.

Despejamos la fuerza de arrastre la cual es equivalente a:

Ecuación 6.19.

44 6.2. Caracterización de Sistemas

6.2.1. Caracterización del Sistema Motor

Desde un principio la búsqueda del motor adecuado para el desarrollo del proyecto se basó en la velocidad máxima necesaria para realizar los experimentos, también se busco que cumpliera con las características suficientes para el desarrollo del diseño. Cualidades tales como el voltaje de alimentación, el consumo de corriente sin carga y el torque suficiente para mover peso estimado de los objetos de prueba eran necesarias para la elección. Después de investigar en páginas web de fabricantes de motores, servicios en ingeniería y quizás más importante, revisar la disponibilidad, se optó por emplear el motor MAXON A-max 26 110960, fabricado por MAXON Motor con caja reductora de relación 53:1, ya que este motor cumple con las características necesarias para su implementación, funciona a 12 V, su velocidad después del reductor es aproximadamente 151 rpm, la corriente sin carga es 56 mA. Estas y demás características hacen que este motor se ajuste conforme a lo necesitado.

6.2.1.1. Parámetros Eléctricos del Motor DC

Para realizar el diseño del control de velocidad para un motor DC, en principio se deben tener en cuenta sus características principales. En muchas ocasiones existe la necesidad de caracterizar el motor con el fin de obtener estos parámetros para definir su función de transferencia. Sin embargo, en este proyecto se utilizó el motor MAXON A-max 26, el cual cuenta con sus propias hojas de especificaciones que contienen todos los parámetros necesarios para la investigación.

Al ser el motor DC controlado por armadura se sigue el modelo mostrado en la Figura 6.4. Así que se deben conocer los parámetros eléctricos del motor, como: la resistencia del devanado de armadura Ra, la inductancia de armadura La y constante de tiempo τ.

VDC

Ra

La

_ia

Jm, Bm

τ

_ω

Figura 6.4. Circuito motor DC controlado por armadura

Después de revisar la hoja de especificaciones del motor se consideraron los parámetros necesarios para la realización de la función de transferencia. En la Tabla 6.3., se relacionan estos parámetros.

Parámetro Abreviatura Valor Unidades

Constante de Tiempo τ 2.4 ms

Resistencia de Armadura Ra 2.50 Ω

Inductancia de Armadura La 227×10-6 H

45

6.2.1.2. Parámetros Electromecánicos del Motor DC

Partiendo del esquema de la función de transferencia del modelo dinámico de un motor DC con salidaω (velocidad angular)Figura 6.5., y con base en las hojas de especificaciones del motor MAXON A-max 26 110960 y del reductor planetario GP 26 B 144035, se observan los diferentes parámetros involucrados en el modelo, como lo son la inductancia y la resistencia del bobinado, las constantes de torque del motor y de Back EMF y en la parte mecánica del motor, se incluyen parámetros de la inercia del rotor del motor así como la inercia de la carga, reflejados al eje del motor, incluyendo la inercia del reductor. [22]

Figura 6.5. Modelo Dinámico Motor DC [22]

Dando enfoque a la parte mecánica del motor, donde se contempla la inercia equivalente a ser reflejada al eje del motor, se realiza el cálculo teniendo en cuenta la conservación de la energía, en donde el resultado se puede calcular mediante la Ecuación 6.20.

= + r+ c Ecuación 6.20.

En donde el momento de inercia equivalente visto desde el eje del rotor del motor esta dado por la suma entre la inercia del motor (Jm), la inercia del reductor (Jr) y la inercia de la carga (Jc): comprendida por la suma entre la inercia de la polea de nylon (Jp) y la inercia de la masa de acero (Je).

Después de realizar el análisis de inercias, se extraen de las hojas de especificaciones del motor y del reductor, los parámetros electromecánicos mencionados anteriormente para ser relacionados en el modelo dinámico del motor DC, estos se observan en la Tabla 6.4. Las hojas de especificaciones del motor y del reductor con todos sus parámetros pueden ser vistos en los ANEXOS 5 y 6.

Parámetro Abreviatura Valor Unidades

Constante de Torque del Motor Kt 13.9×10-3 _Nm/A

Constante de Torque del BACK EMF Ke 13.86×10-3 _V/(rad/s)

Inductancia de Armadura La 227×10-6 _H

Resistencia de Armadura Ra 2.50 Ω

Inercia del Rotor del Motor Jm 1.35×10-6 Kg.m2

Inercia del Reductor Jr 4×10-7 Kg.m2

Inercia de la Carga Jc 148×10-6 _Kg.m2

Inercia Equivalente Jeq 150×10-6 _Kg.m2

Constante de Reducción Red 53

Tabla 6.4. Parámetros electromecánicos del motor y el reductor Ra sLa+ 1 Kt eq sJ 1 Ke + − em(s)

e(s) ω(s)

46 6.2.2. Caracterización del Sistema de Sensores

6.2.2.1. Encoder

Al ser necesario contar con la información de la velocidad del motor como parámetro esencial para el control de velocidad. Se decidió utilizar un dispositivo que permitiera obtener este parámetro, entonces se buscó un encoder, primero de fácil y adecuado acoplamiento. Segundo, se consideró que este sensor brindara una adecuada resolución sobre la medida de velocidad, por lo tanto el encoder seleccionado debería realizar aproximadamente 150 conteos mínimos por vuelta, que es la velocidad del motor con el reductor acoplado. Sin embargó, para mayor resolución y precisión en las medidas se seleccionó un encoder de 360 conteos por vuelta. El cálculo de la resolución se encuentra en la Ecuación 6.21.

Ecuación 6.21

Ahora, como el objetivo de caracterizar el encoder es lograr implementar su señal de salida con el microcontrolador, este último se programó de tal manera que pudiera identificar cada uno de los 360 ciclos por revolución del motor.

Por otra parte, se debía determinar con anterioridad la lectura del microcontrolador si el motor estuviera girando a su máxima velocidad, en este caso y partiendo de la información impresa en las hojas de especificaciones del motor, a 12 V el rotor del motor gira a 8010 rpm. Al mismo tiempo, como el motor esta acoplado a un reductor, la velocidad se reduce 53 veces, así que la velocidad en el eje seria igual a 151.1 rpm (2.52 Hz) @ 12 V.

Como el encoder está unido al rotor del motor se calculó el número máximo de ciclos a velocidad máxima, como se observa en la Ecuación 6.22. Esto indica que la salida del encoder es interpretada como una señal máxima de aproximadamente 48.1 kHz.

Ecuación 6.22.

Ahora se calcula la ganancia del encoder, comparando el dato que lee el encoder a máxima velocidad y la velocidad máxima teórica del motor con el reductor acoplado. Tal como se observa en la Ecuación 6.23.

Ecuación 6.23.

6.2.3. Caracterización de la Etapa de Potencia

La implementación de una etapa de potencia que va a alimentar el motor DC se realizó conectado el

driver o puente H – L6203, utilizado comúnmente para aplicaciones de control de motores y que por sus características (frecuencia máx. de operación, voltaje máx. de alimentación y su alta eficiencia entre otros) se adecua perfectamente al diseño. Además, este dispositivo cuenta entre sus terminales con un sensor de corriente por el cual se busca obtener información que permitirá validar el modelo hidrodinámico.

47

determina su tendencia lineal, de tal manera que se obtenga la pendiente de la recta la cual representa la constante del driver implementado. Ver Figura 6.6.

Figura 6.6. Voltaje aplicado al motor Vs. Porcentaje de Ciclo Útil

Al analizar la Figura 6.6., se puede ver la Ecuación 6.24., donde la pendiente de la grafica de tendencia lineal es igual a 6.82 y corresponde como se aclaro anteriormente, a la constante del driver a ser implementada más adelante en el sistema de control. Ver Ecuación 6.25.

Ecuación 6.24.

Ecuación 6.25

Como el driver funciona con una señal PWM, se desarrolló un programa en MPLAB® que genera un PWM en el microprocesador para ser implementado posteriormente en el código definitivo. El código completo se puede encontrar en el ANEXO 7 – Código MPLAB

6.3. Implementación del Sistema de Control

Con el fin de asegurar que el motor gire a la misma velocidad angular programada por el usuario para garantizar el buen desempeño de los experimentos, se implementó un control de velocidad teniendo en cuenta las características del motor. Este control está integrado como un bloque independiente en el funcionamiento del sistema.

Como se aclaro anteriormente en la caracterización del motor, se utilizó el modelo dinámico de un motor DC como se observa en la Figura 6.5. Los parámetros utilizados en este modelo fueron extraídos de hojas de especificaciones del motor y del reductor planetario. Ver Tabla 6.4.

y = 6.8174x - 0.0294

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 2 4 6 8 10 12 14

C

ic

lo

U

til

(%

)

Voltaje Aplicado (V)

VOLTAJE APLICADO VS. CICLO UTIL